01 DAPAN HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC VAØ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC � Baøi 01 HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC I – ĐỊNH NGHĨA 1) Hàm số sin Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực sin x sin sin x x y x → =[.]
CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LƯNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIAÙC Tác giả: Huỳnh Đức Khánh SĐT: 0975120189 Facebook: https://www.facebook.com/duckhanh0205 Bài 01 HÀM SỐ LƯNG GIÁC I – ĐỊNH NGHĨA 1) Hàm số sin Quy tắc đặt tương ứng với số thực x với số thực sin x sin x : ℝ → ℝ x ֏ y = sin x gọi hàm số sin, kí hiệu y = sin x Tập xác định hàm số sin ℝ 2) Hàm số côsin Quy tắc đặt tương ứng với số thực x với số thực cos x cos x : ℝ → ℝ x ֏ y = cos x gọi hàm số sin, kí hiệu y = cos x Tập xác định hàm số cô sin ℝ 3) Hàm số tang Hàm số tang hàm số xác định công thức y = sin x cos x (cos x ≠ 0), kí hiệu y = tan x π Tập xác định hàm số y = tan x D = ℝ \ + k π, k ∈ ℤ 4) Hàm số côtang Hàm số côtang hàm số xác định công thức y = cos x sin x (sin x ≠ 0), kí hiệu y = cot x Tập xác định hàm số y = cot x D = ℝ \ {k π, k ∈ ℤ} II – TÍNH TUẦN HO=N V= CHU KÌ CỦA H=M SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Định nghĩa Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D gọi hàm số tuần hoàn, tồn số T ≠ cho với x ∈ D ta có: x −T ∈ D x +T ∈ D ● ● f ( x +T ) = f ( x ) Số dương T nhỏ thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm số tuần hồn Người ta chứng minh hàm số y = sin x tuần hồn với chu kì T = 2π ; hàm số y = cos x tuần hồn với chu kì T = 2π ; hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì T = π ; hàm số y = cot x tuần hồn với chu kì T = π 2) Chú ý ● Hàm số y = sin (ax + b ) tuần hồn với chu kì T0 = 2π a ● Hàm số y = cos (ax + b ) tuần hồn với chu kì T0 = 2π a ● Hàm số y = tan (ax + b ) tuần hồn với chu kì T0 = π a ● Hàm số y = cot (ax + b ) tuần hồn với chu kì T0 = π a ● Hàm số y = f ( x ) tuần hồn với chu kì T1 hàm số y = f ( x ) tuần hoàn với chu kì T2 hàm số y = f ( x ) ± f ( x ) tuần hoàn với chu kì T0 bội chung nhỏ T1 T2 III – SỰ BIẾN THIÊN V= ĐỒ THỊ CỦA H=M SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Hàm số y = sin x ● Tập xác định D = ℝ , có nghĩa xác định với x ∈ ℝ; ● Tập giá trị T = [−1;1] , có nghĩa −1 ≤ sin x ≤ 1; ● Là hàm số tuần hồn với chu kì π, có nghĩa sin ( x + k 2π ) = sin x với k ∈ ℤ π π Hàm số đồng biến khoảng − + k 2π; + k 2π nghịch biến π 3π khoảng + k 2π; + k 2π , k ∈ ℤ ● ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng 2) Hàm số y = cos x ● Tập xác định D = ℝ , có nghĩa xác định với x ∈ ℝ; ● Tập giá trị T = [−1;1] , có nghĩa −1 ≤ cos x ≤ 1; ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì π, có nghĩa cos ( x + k π ) = cos x với k ∈ ℤ ● Hàm số đồng biến khoảng (−π + k 2π; k 2π ) nghịch biến khoảng (k π; π + k 2π ) , k ∈ ℤ ● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng 3) Hàm số y = tan x ● π Tập xác định D = ℝ \ + k π, k ∈ ℤ ; Tập giá trị T = ℝ; ● Là hàm số tuần hồn với chu kì π, có nghĩa tan ( x + k π ) = tan x với k ∈ ℤ ● π π Hàm số đồng biến khoảng − + k π; + k π , k ∈ ℤ; ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng ● y x − 3π −π π − O π π 3π 4) Hàm số y = cot x ● Tập xác định D = ℝ \ {k π, k ∈ ℤ} ; ● Tập giá trị T = ℝ; ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì π, có nghĩa tan ( x + k π ) = tan x với k ∈ ℤ ● Hàm số đồng biến khoảng (k π; π + k π ), k ∈ ℤ; ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng y −2π − 3π −π − π O π π 3π 2π x CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TẬP XÁC ĐỊNH Câu Tìm tập xác định D hàm số y = A D = ℝ 2017 sin x B D = ℝ \ {0} π D D = ℝ \ + k π, k ∈ ℤ Lời giải Hàm số xác định sin x ≠ ⇔ x ≠ k π, k ∈ ℤ C D = ℝ \ {k π, k ∈ ℤ} Vật tập xác định D = ℝ \ {k π, k ∈ ℤ} Chọn C Câu Tìm tập xác định D hàm số y = A D = ℝ C D = ℝ \ {k π, k ∈ ℤ} − sin x cos x −1 π B D = ℝ \ + k π, k ∈ ℤ D D = ℝ \ {k 2π, k ∈ ℤ} Lời giải Hàm số xác định cos x − ≠ ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ k 2π, k ∈ ℤ Vậy tập xác định D = ℝ \ {k 2π, k ∈ ℤ} Chọn D Câu Tìm tập xác định D hàm số y = π A D = ℝ \ k , k ∈ Z π C D = ℝ \ (1 + k ) , k ∈ Z π sin x − 2 B D = ℝ \ {k π, k ∈ Z} D D = ℝ \ {(1 + k ) π, k ∈ Z} π π π Lời giải Hàm số xác định ⇔ sin x − ≠ ⇔ x − ≠ k π ⇔ x ≠ + k π, k ∈ ℤ 2 2 π Vậy tập xác định D = ℝ \ + k π, k ∈ ℤ Chọn C sin x − cos x π B D = ℝ \ − + k π, k ∈ ℤ Câu Tìm tập xác định D hàm số y = A D = ℝ π C D = ℝ \ + k 2π, k ∈ ℤ π D D = ℝ \ + k π, k ∈ ℤ π Lời giải Hàm số xác định ⇔ sin x − cos x ≠ ⇔ tan x ≠ ⇔ x ≠ + k π, k ∈ ℤ π Vậy tập xác định D = ℝ \ + k π, k ∈ ℤ Chọn D Câu Hàm số y = tan x + cot x + 1 + không xác định khoảng sin x cos x khoảng sau đây? 3π π A k 2π; + k π với k ∈ ℤ B π + k π; + k π với k ∈ ℤ 2 π C + k 2π; π + k 2π với k ∈ ℤ D (π + k 2π;2 π + k 2π ) với k ∈ ℤ sin x ≠ kπ Lời giải Hàm số xác định ⇔ ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ k π ⇔ x ≠ , k ∈ ℤ cos x ≠ 3π 3π điểm thuộc khoảng (π + k 2π;2 π + k 2π ) 2 Vậy hàm số không xác định khoảng (π + k 2π;2 π + k 2π ) Chọn D Ta chọn k = →x ≠ π Câu Tìm tập xác định D hàm số y = cot 2 x − + sin x 4 π A D = ℝ \ + k π, k ∈ ℤ π π C D = ℝ \ + k , k ∈ ℤ B D = ∅ D D = ℝ π π π kπ Lời giải Hàm số xác định sin 2 x − ≠ ⇔ x − ≠ k π ⇔ x ≠ + , k ∈ ℤ 4 π π Vậy tập xác định D = ℝ \ + k , k ∈ ℤ Chọn C x π Câu Tìm tập xác định D hàm số y = tan − 3π A D = ℝ \ + k π, k ∈ ℤ 3π C D = ℝ \ + k π, k ∈ ℤ π B D = ℝ \ + k 2π, k ∈ ℤ π D D = ℝ \ + k π, k ∈ ℤ x π 3π x π π Lời giải Hàm số xác định ⇔ cos − ≠ ⇔ − ≠ + k π ⇔ x ≠ + k π, k ∈ ℤ 2 3π Vậy tập xác định D = ℝ \ + k π, k ∈ ℤ Chọn A Câu Hàm số y = cos x không xác định khoảng khoảng sau + tan x đây? π 3π A + k 2π; + k 2π với k ∈ ℤ 3π 3π C + k 2π; + k 2π với k ∈ ℤ π π B − + k 2π; + k 2π với k ∈ ℤ 3π D π + k π; + k π với k ∈ ℤ Lời giải Hàm số xác định + tan x ≠ tan x xác định x ≠ − π + k π tan x ≠ −1 ⇔ ⇔ , k ∈ ℤ cos x ≠ π x ≠ + k π x ≠ − π π π π Ta chọn k = → điểm − thuộc khoảng − + k 2π; + k 2π π x ≠ π π Vậy hàm số không xác định khoảng − + k 2π; + k 2π Chọn B tan x − − sin x π B D = ℝ \ + k π, k ∈ ℤ Câu Tìm tập xác định D hàm số y = π A D = ℝ \ + k 2π, k ∈ ℤ C D = ℝ \ {π + k π, k ∈ ℤ} D D = ℝ Lời giải Hàm số xác định − sin x ≠ tan x xác định sin x ≠ π ⇔ ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ + k π, k ∈ ℤ cos x ≠ π Vậy tập xác định D = ℝ \ + k π, k ∈ ℤ Chọn B Câu 10 Tìm tập xác định D hàm số y = sin x + A D = ℝ B D = [−2; +∞) C D = [0;2π ] D D = ∅ Lời giải Ta có −1 ≤ sin x ≤ → ≤ sin x + ≤ 3, ∀x ∈ ℝ Do ln tồn bậc hai sin x + với x ∈ ℝ Vậy tập xác định D = ℝ Chọn A Câu 11 Tìm tập xác định D hàm số y = sin x − A D = ℝ B ℝ \ {k π, k ∈ ℤ} C D = [−1;1] D D = ∅ →−3 ≤ sin x − ≤ −1, ∀x ∈ ℝ Lời giải Ta có −1 ≤ sin x ≤ Do khơng tồn bậc hai sin x − Vậy tập xác định D = ∅ Chọn D Câu 12 Tìm tập xác định D hàm số y = A D = ℝ \ {k π, k ∈ ℤ} − sin x π B D = ℝ \ + k π, k ∈ ℤ π C D = ℝ \ + k 2π, k ∈ ℤ D D = ∅ Lời giải Hàm số xác định − sin x > ⇔ sin x < Mà −1 ≤ sin x ≤ nên (*) ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ (* ) π + k 2π, k ∈ ℤ π Vậy tập xác định D = ℝ \ + k 2π, k ∈ ℤ Chọn C Câu 13 Tìm tập xác định D hàm số y = − sin x − + sin x A D = ∅ π 5π C D = + k 2π; + k 2π , k ∈ ℤ B D = ℝ 5π 13π D D = + k 2π; + k 2π , k ∈ ℤ 1 + sin x ≥ Lời giải Ta có −1 ≤ sin x ≤ ⇒ , ∀x ∈ ℝ 1 − sin x ≥ Vậy tập xác định D = ℝ Chọn B π Câu 14 Tìm tập xác định D hàm số y = + cot x − sin x + cot + x k π A D = ℝ \ , k ∈ ℤ C D = ℝ π B D = ℝ \ − + k π, k ∈ ℤ D D = ℝ \ {k π, k ∈ ℤ} Lời giải Hàm số xác định điều kiện sau thỏa mãn đồng thời π + cot x − sin x ≥ , cot + x xác định cot x xác định 2 cot x ≥ → + cot x − sin x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ Ta có −1 ≤ sin x ≤ → − ≥ sin x π π π π cot + x xác định ⇔ sin + x ≠ ⇔ + x ≠ k π ⇔ x ≠ − + k π, k ∈ ℤ 2 cot x xác định ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ k π, k ∈ ℤ π x ≠ − + kπ kπ Do hàm số xác định ⇔ ⇔x≠ , k ∈ ℤ x ≠ k π kπ Vậy tập xác định D = ℝ \ , k ∈ ℤ Chọn A π Câu 15 Tìm tập xác định D hàm số y = tan cos x π A D = ℝ \ + k π, k ∈ ℤ C D = ℝ π B D = ℝ \ + k 2π, k ∈ ℤ D D = ℝ \ {k π, k ∈ ℤ} Lời giải Hàm số xác định π π cos x ≠ + k π ⇔ cos x ≠ + k (*) 2 Do k ∈ ℤ nên (*) ⇔ cos x ≠ ±1 ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ k π, k ∈ ℤ Vậy tập xác định D = ℝ \ {k π, k ∈ ℤ} Chọn D Vấn đề TÍNH CHẴN LẺ Câu 16 Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? A y = sin x B y = cos x C y = tan x D y = cot x Lời giải Nhắc lại kiến thức bản: Hàm số y = sin x hàm số lẻ Hàm số y = cos x hàm số chẵn Hàm số y = tan x hàm số lẻ Hàm số y = cot x hàm số lẻ Vậy B đáp án Chọn B Câu 17 Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? A y = − sin x B y = cos x − sin x C y = cos x + sin x D y = cos x sin x Lời giải Tất các hàm số có TXĐ: D = ℝ Do ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D Bây ta kiểm tra f (−x ) = f ( x ) f (−x ) = − f ( x ) Với y = f ( x ) = − sin x Ta có f (−x ) = − sin (−x ) = sin x = −(− sin x ) → f (−x ) = − f ( x ) Suy hàm số y = − sin x hàm số lẻ Với y = f ( x ) = cos x − sin x Ta có f (−x ) = cos (−x ) − sin (−x ) = cos x + sin x → f (−x ) ≠ {− f ( x ), f ( x )} Suy hàm số y = cos x − sin x không chẵn không lẻ Với y = f ( x ) = cos x + sin x Ta có f (− x ) = cos (− x ) + sin (− x ) 2 = cos (− x ) + sin (− x ) = cos x + [− sin x ] = cos x + sin x → f (−x ) = f ( x ) Suy hàm số y = cos x + sin x hàm số chẵn Chọn C Với y = f ( x ) = cos x sin x Ta có f (− x ) = cos (− x ).sin (− x ) = − cos x sin x → f (−x ) = − f ( x ) Suy hàm số y = cos x sin x hàm số lẻ Câu 18 Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? A y = sin x B y = x cos x C y = cos x cot x D y = tan x sin x Lời giải Xét hàm số y = f ( x ) = sin x TXĐ: D = ℝ Do ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D Ta có f (−x ) = sin (−2 x ) = − sin x = − f ( x ) → f ( x ) hàm số lẻ Xét hàm số y = f ( x ) = x cos x TXĐ: D = ℝ Do ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D Ta có f (−x ) = (− x ).cos (− x ) = − x cos x = − f ( x ) → f ( x ) hàm số lẻ Xét hàm số y = f ( x ) = cos x cot x TXĐ: D = ℝ \ {k π ( k ∈ ℤ )} Do ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D Ta có f (−x ) = cos (− x ).cot (− x ) = − cos x cot x = − f ( x ) → f ( x ) hàm số lẻ tan x sin x π TXĐ: D = ℝ \ k ( k ∈ ℤ ) Do ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D tan (− x ) − tan x tan x Ta có f (−x ) = → f ( x ) hàm số chẵn Chọn D = = = f ( x ) sin (− x ) − sin x sin x Xét hàm số y = f ( x ) = Câu 19 Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? x A y = sin x B y = x sin x C y = cos x D y = x + sin x Lời giải Ta kiểm tra A hàm số chẵn, đáp án B, C, D hàm số lẻ Chọn A Câu 20 Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị đối xứng qua trục tung? π A y = sin x cos x B y = sin x cos x − 2 C y = tan x tan x + D y = cos x sin x Lời giải Ta dễ dàng kiểm tra A, C, D hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O π Xét đáp án B, ta có y = f ( x ) = sin x cos x − = sin x sin x = sin x Kiểm tra 2 hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung Chọn B Câu 21 Trong hàm số sau, hàm số hàm số lẻ? A y = cos x + sin x B y = sin x + cos x C y = − cos x D y = sin x cos 3x Lời giải Ta kiểm tra đáp án A C hàm số chẵn Đáp án B hàm số không chẵn, không lẻ Đáp án D hàm số lẻ Chọn D Câu 22 Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ? sin x + A y = cot x B y = C y = tan x D y = cot x cos x Lời giải Ta kiểm tra đáp án A hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ Chọn A Đáp án B hàm số không chẵn, không lẻ Đáp án C D hàm số chẵn Câu 23 Trong hàm số sau, hàm số hàm số lẻ? π cot x tan x A y = sin − x B y = sin x C y = D y = cos x sin x π Lời giải Viết lại đáp án A y = sin − x = cos x Ta kiểm tra đáp án A, B D hàm số chẵn Đáp án C hàm số lẻ Chọn C Câu 24 Trong hàm số sau, hàm số hàm số lẻ? A y = − sin x B y = cot x sin x C y = x tan x − cot x D y = + cot x + tan x Lời giải Ta kiểm tra đáp án A, B D hàm số chẵn Đáp án C hàm số lẻ Chọn C Câu 25 Cho hàm số f ( x ) = sin x g ( x ) = tan x Chọn mệnh đề A f ( x ) hàm số chẵn, g ( x ) hàm số lẻ B f ( x ) hàm số lẻ, g ( x ) hàm số chẵn C f ( x ) hàm số chẵn, g ( x ) hàm số chẵn D f ( x ) g ( x ) hàm số lẻ Lời giải Xét hàm số f ( x ) = sin x TXĐ: D = ℝ Do ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D Ta có f (−x ) = sin (−2 x ) = − sin x = − f ( x ) → f ( x ) hàm số lẻ Xét hàm số g ( x ) = tan x π TXĐ: D = ℝ \ + k π (k ∈ ℤ ) Do ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D 2 Ta có g (−x ) = tan (−x ) = (− tan x ) = tan x = g ( x ) → f ( x ) hàm số chẵn Chọn B Câu 26 Cho hai hàm số f ( x ) = sin x − cos x cos x g ( x ) = Mệnh đề + sin x + tan x sau đúng? A f ( x ) lẻ g ( x ) chẵn B f ( x ) g ( x ) chẵn C f ( x ) chẵn, g ( x ) lẻ D f ( x ) g ( x ) lẻ cos x + sin x TXĐ: D = ℝ Do ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D cos (−2 x ) cos x Ta có f (−x ) = → f ( x ) hàm số chẵn = = f ( x ) + sin (−3 x ) + sin x Lời giải Xét hàm số f ( x ) = Xét hàm số g ( x ) = sin x − cos x + tan x π TXĐ: D = ℝ \ + k π (k ∈ ℤ ) Do ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D Ta có g (−x ) = sin (−2 x ) − cos (−3 x ) + tan (−x ) = sin x − cos x + tan x → g ( x ) hàm số chẵn = g ( x ) Vậy f ( x ) g ( x ) chẵn Chọn B Câu 27 Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ? π π A y = B y = sin x + C y = cos x − D y = sin x 4 4 sin x π Lời giải Viết lại đáp án B y = sin x + = (sin x + cos x ) 4 π Viết lại đáp án C y = cos x − = sin x + cos x 4 Kiểm tra đáp án A hàm số lẻ nên có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ Chọn A ... y = x 2017 + cos x − 3 2 Chọn x = C y = 2015 + cos x + sin 2018 x D y = tan 2017 x + sin 2018 x π Lời giải Viết lại đáp án B y = x 2017 + cos x − = y = x 2017 + sin... T = π Chọn A 4 Câu 45 Tìm chu kì T hàm số y = cos x + 2017 A T = 3π B T = 2π C T = π Lời giải Ta có y = cos x + 2017 = cos x + 2018 Suy hàm số tuần hồn với chu kì T = π Chọn C D T = π Câu... T hàm số y = cos + 2016 A T = π B T = 2π C T = −2π D T = π Lời giải Hàm số y = cos (ax + b ) tuần hồn với chu kì T = 2π a x Áp dụng: Hàm số y = cos + 2016 tuần hồn với chu