Bổ sung kiến thức về phương trình lượng giác

Chuyên đề 7 LƯỢNG GIÁC TRONG TAM KIÊN THỨC A.. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC L.. Đường tròn lượng øiác: Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: AM =a+k2n... Định nøhĩa các hàm số lượng øiác

Trang 1

Chuyên đề 7 LƯỢNG GIÁC

TRONG TAM KIÊN THỨC

A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

L Đơn vị đo góc và cung:

vxwtr x Góc] =ĩ§ góc bẹt ;

7 (tia ngọn)

2 Đường tròn lượng øiác:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: AM =a+k2n

Trang 2

III Dinh nghia ham số lượng øiác:

1 Đường tròn lượng øiác:

A: điểm gốc

e xOx: trục côsin ( trục hoành ) x

° yOy :truc sin (trục tung )

e tAt :truc tang

e uBu:trục cotang

2 Định nøhĩa các hàm số lượng øiác:

a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=z

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên xOx và yOy

T, U lân lượt là giao điểm của tia OM với tAt và uBu

—l<sinø <1 hay |sinz| <1

—l<cosơ <1 hay |eoszl|<1

(k €Z) tan(œ +kZr) = tana

cot(œ +kZ) =cota

28

Trang 3

y

IV Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:

Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt

3 3 cotz |kxđ| 3 | 1 |43|1 0 J3 | -!I | -x3 | kxđ | kxổđ

3 3

29

Trang 4

V Hàm số lượng øiác của các cung (øóc) có liên quan đặc biệt:

4 Cung hon kém ¬

cos(+ø) =—sinø

Hơn kém — rẽ

cos bang tri sin tanC +2) HBB

cous +a) =—tana

Hon kém 7 tang , cotang

30

Trang 5

VỊ Công thức lương giac:

1 cos°x +sinÍx =1— 2sin x cos” x

2 cos’ x+sin® x =1—3sin’ xcos’ x

cos(ø + Ø) = cosøz.cos Ø — sin øz.sin Ø

cos(ø — Ø) = cos.cos /Ø + sin z.sin Ø sin(ø + Ø) = sin#.cos Ø + sin Ø.cosø

sin( — Ø) = sinø.cos Ø — sin đ.cosø anaes) = tanz+tan

I—tanz.tan 8 banVØ—/9j'= tana —tanf

Trang 6

3 3 sin z — sin 3ø sin” œ =——————— 4

cos a = ———;_ sin’ a = ————_; tan” œ = ——————

Trang 7

7 Công thức biến đổi tích thành tổng :

COSØZ.cOS / == [costa + B)+cos(a— Ø)|

sinØ.sin Ø = [costa — B)—cos(a + f)|

sina.cos 3 == [sina +/)+sin(ø — Ø)|

cosa —cos # = —2sin <F sin B

Trang 8

B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Các bước giải một phương trình lượng giác

Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải

Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)

Trang 9

6x =—Z+4x+k27 7

Xi =— Tiến

II Các phương trình lượng giác cơ bản:

1 Dang 1: sinx =m; cosx=m ;tanx=m ; cotx=m (VmeR)

* Gpt : sinx = m (1)

e Néu |m|>1 thi pt(1) vô nghiệm

e Néu |m|<1 thita dit m=sina va ta cé

Trang 10

Các trường hợp đặc biệt:

snx=-l © X =_—-—+k27 snx=0 <> ãẽ=kz

21% = = <= 5 Z E O cosx=-l1 & x =a+k2z

cosxx=0 <= xe S+kz cosx= 1 S Xe k7n

V2

7 2) cos(x “7? = —

Trang 11

3) sin2x + cos2x = l © Ý5co|2x — 7) =

4) cos'x + sin‘ x = cos2x © cos 2x

1) 1+cos* x—sin* x =2cos2x 3) 4(sin? x+ cos” x) + sin 4x T— 2 = 0

2) sin® x+cos° x = cos4x 4) sin? x.cosx—cos* x.sin x =

Bai giai

1) 1+cos* x—sin* x =2cos2x = cos2x =1

S24 =k27

&x=krz Vậy nghiệm pt là x = kZ

2) sin°x+cos° x =cos4x © C6 =cos4x

a

Trang 12

3) 4(sin” x + cos” x) + sin 4x — 2 = 0 © 3 + cos4x + sin4x — 2 = 0

Trang 13

Ta dudc phuong trinh: at? +bt+c=0 (1)

Giải phương trình (1) tìm t, rỗi suy ra x

Đặt ẩn phụ :t=sinx (t=cosx; t=tanx; t= cotX)

Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)

Trang 14

3) 2(sin* x + cos* x) — cos(> —2x)=0© a" — sin2x = 0

«© 2sin” 2x + 2sin2x — 4 = 0 sinze |

4

So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình (1) là x = = +k2n

40

Trang 15

Chia hai vế của pn trinh cho ¥ a +b” thi pt

qd) <© TT COSX +————— rae sin x “-=—c @2) : g2

Trang 16

2) 4(sin* x+cos* x)+ V3 sin4x = 2© cos4x+^x/3sin4x = —1

Trang 17

Do (cosx+sin x)” =1+2sinx.cosx => sinx.cosx=

Thay vào (1) ta được phương trình :

sin 2x + 4(cos x — sin x) = 4

4 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :

a Phương pháp l: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng

giác cơ bản đã biết

Ví dụ: Giải phương trình:

1) sin* x+cos* x+ sin2x= 2 =0

2) sin3x — V3 cos3x = 2sin2x

Ụ

3) tanx —V3 = COS X

b Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số

Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:

A=0 A=0

AB=0 © R 5 hoặc A.8C=0 « |B=0

Trang 18

c Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ

Một số dấu hiệu nhận biết :

* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)

Ví dụ : Giải các phương trình :

a cos3x + cos2x —cosx-1=0

b 4cos* x —cos2x —4cosx+1=0

* Phuong trinh cé chifa (cosx+sinx) va sinx.cosx

Ví dụ : Giải phương trình : 1+sin” x+cos” x= —sin2x

BÀI TAP REN LUYEN

Trang 19

Bài giải:

2) 2sin x(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx

Phương trình đã cho tương đương với

4sinx cos”x+sin2x = l +2cosx © (2cosx+l)(sin2x —l) =0

3) sin® x — V3 cos* x = sinx cos’ x — V3 sin’ x cosx

Phuong trinh da cho tuong duong voi

sinx(eos”x —sin “x)+ V3 cos x(cos°x —sin’x) =0

_© cos 2x(sin x +3 cosx) = 0

* c052x =0 C x= +,

sinx + ^3cosx =()€@ X =“ kĩ

Nghiệm của phương trình là x = 7 Ll x= Đo kn (ke Z)

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau

1) (1 + sin’ x) cos x — (1 + cos” x) sin x =l+sin2x

2) 2sin” 2x + sin 7x — 1 = sinx

2

3) [sin * + cos | + V3 cosx =2

Bai giai

1) (1 + sin? x) cos x + (1 + cos? x) sin x =1+sin2x

Phương trình đã cho <= (sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)*

= xa tkax= + k2n,x=k2n (k eZ)

Bai giai:

2) 2sin” 2x + sin 7x — 1 = sinx

45

Trang 20

Phương trình đã cho tương đương với:

sin 7x —sinx +2sin*2x -1=0< cos4x(2sin 3x— I) = 0

3) [sin + cos] + V3 cosx = 2

x_

— x= 5 +k2n,x=—7+k2n (keZ)

2 (cos® x + sin® x) — sin x cos x

ald —2sinx ¡

2) core +sinx(1 + tan x tan Š] =F

Điều kiện: sin x # ` (1)

2(sinf x +cos* x )—sinx cos x =0 22/1 -sin`2x ]~ sin2x =0

Trang 21

Điều kiện: sinx #0, cosx #0, cos #0 (1)

Ä sac 1N cos X cos = +sin x sin =

12

Bài giải:

3) cos 3x + cos2x — cosx — Ì = 0

€ sin? x (2cosx +1) =0

e snx=0@x=kn (ke Z)

° cosx=— 5 eo xat +k2n (ke)

1) cos’ 3x cos 2x — cos’ x = 0

2) 1+sinx + cosx + sin2x+cos2x=0

3) cos‘ x +sin‘x + sin{ 3x — *leos|x — ] sa = 0

4 4) 2

1) cos” 3x cos 2x — cos” x = 0

Trang 22

2) 1+ sinx + cosx + sin2x-+cos2x=0

sinx +cosx +2sinx cosx + 2cos? x =0

=> sinx + cosx + 2cos x(sinx +cosx)=0

< (sinx + cos x)(2cosx +1)=0

° sinx +cosx =0 <> tgx=—leox=—S+kn (keZ)

* 2cosx +1=0 > cosx=-—~@ x=t—+k2n (k eZ)

Bai giai:

4 <a Š Tv Tv 3

3) cos x +sin x + sin{ 3x — * Jcos|x — *| “% = 0

Trang 23

Sinx

= (cos x-sinx)(l-—sinxcosx+ sin? x)=0

COS x—Sin x =

THI: sin x=cosx > tgx=leox=T+hn (k eZ) thỏa mãn điều kiện (*)

TH2: l—sin xcos x+ sin x=0 @1~- sin2y+sin x=0: vônghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là: x= tke (keZ)

Bài giải:

2) 5sinx — 2 = 3(1— sin x) tan” x

3) (2cosx — 1)(2sin x + cosx) = sin2x — sỉn x

( 2cosx —1) (2sinx + cosx) = sin2x — sinx

° 2eosx ~ 1= 0 €> cosx => œ x=# + k2, kế Z

Vậy phương trình có nghiệm là: x =+.+ k2m và x =-i+ kn, keZ

Hét

49

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	4,31 MB