Phương Trình Lượng Giác

Phương trình lượng giác Phương trình lượng giác Ta xét bài toán sau Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Ðất theo một quỹ đạo hình elip Ðộ cao h (tính bằng kilômet) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất đ[.]

Phương trình lượng giác Ta xét tốn sau : Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Ðất theo quỹ đạo hình elip.Ðộ cao h (tính kilơmet) vệ tinh so với bề mặt Trái Đất xác định cơng thức Trong t thời gian tính phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo.Người ta cần thực thí nghiệm khóa học vệ tinh cách mặt đất 250km Hãy tìm thời điểm để thực thí nghiệm Bài tốn dẫn đến việc giải phương trình Nếu đặt ,hay phương trình có dạng Trên thực tế,có nhiều tốn dẫn đến việc giải phương trình có dạng , x ẩn số ( ) m số cho trước Ðó phương trình lượng giác Phương trình a Ðể làm ví dụ,ta xét phương trình cụ thể,chẳng hạn (1) Tìm nghiệm phương trình (1) Để tìm tất nghiệm (1),ta làm sau : Xét đường trịn lượng giác góc A.Trên trục sin , ta lấy điểm K cho Ðường thẳng qua K vng góc với trục sin cắt đường trịn lượng giác hai điểm ; hai điểm đối xứng qua trục sin Ta có Dễ thấy số đo (radian) góc lượng giác ( ( nghiệm (1) Lấy nghiệm tùy ý (1),chẳng hạn ) có số đo ; góc ( ) có số đo ) tất Khi góc ( Vậy Sử dụng kí hiệu "[" thay cho từ "hoặc",ta viết lại kết sau : b Giả sử m số cho.Xét phương trình Hiển nhiên phương trình (I) xác định với (I) Ta biết với x.Do phương trình (I) vơ nghiệm Mặt khác,khi thay đổi,sin x nhận giá trị từ -1 đến nên phương trình ln có nghiệm Làm tương tự phương trình (1),ta có : Nếu nghiệm phương trình (I) , nghia (Ia) Ta nói hai nghiệm phương trình (I) Kể từ đây,để cho gọn ta quy ước biểu thức nghiệm phương trình lượng giác có chứa k mà khơng giải thích thêm ta hiểu k nhận giá trị thuộc Z Chẳng hạn , có nghĩa x lấy giá trị thuộc tập hợp Ví dụ Giải phương trình sau : Giải ; Do Vì nên nên có số để Do Giải phương trình Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đồ thị (G) hàm số đường thẳng (d) : hồnh độ giao điểm (d) (G) (nếu có ) nghiệm phương trình Trên đồ thị hàm số ,hãy điểm có hồnh độ khoảng nghiệm phương trình CHÚ Ý Khi { } , cơng thức (Ia) viết gọn sau : , Dễ thấy với m cho trước mà nằm đoạn ,phương trình \ Người ta thường kí hiệu nghiệm (đọc ác-sin m) có nghiệm Khi Vậy ví dụ câu 2) viết Từ (Ia) ta thấy : Nếu hai số thực có số ngun k để Ví dụ 2: Tìm số x thỏa mãn phương trình Giải Vậy số x cần tìm Giải phương tình Phương trình Xét phương trình , (II) m số cho trước Hiển nhiên phương tình (II) xác định với Khi Dễ thấy : ,phương trình (II) vo nghiệm Khi ,phương trình (II) ln có nghiệm.Để tìm tất nghiệm (II),trên trục côsin ta lấy điểm H cho Gọi (l) đường thẳng qua H vng góc với trục cơsin Do nên đường thằng (l) cắt đường trịn lượng giác hai điểm Hai điểm đối xứng với qua trục côsin (chúng trùng ).Ta thấy số đo góc luongj giác tất nghiệm (II).Nếu số đo góc chúng , nói cách khác,nếu góc có số đo Vậy ta có : nghiệm (II) nghiệm phương trình (II),nghĩa (IIa) Giải phương trình sau CHÚ Ý 1) Đặc biệt,khi { },cơng thức (IIa) viết gọn sau , , Dễ thấy với số m cho trước mà nghiệm nằm đoạn Người ta thường kí hiệu nghiệm ,phương trình (đọc ác-cơsin m) Khi mà thường viết Từ (IIa) ta thấy : nguyên k để có hai số thực Hãy giải phương trình có số Phương trình Cho m số tùy ý.Xét phương trình (III) Điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình (III) Ta biết,khi x thay đổi, tan x nhận giá trị từ đến Do phương trình (III) ln có nhiệm.Để tìm tất nghiệm (III),trên trục tang,ta lấy điểm T cho Đường thẳng OT cắt đường trịn lượng giác hai điểm Ta có Gọi số đo góc lượng giác ; nói cách khác , nghiệm phương trình (III).Khi m góc lượng giác có số đo Đó tất nghiệm phương trình (III) (hiển nhiên chúng thỏa mãn ĐKXĐ (III) Vậy ta có: Nếu nghiệm phương trình (III), nghĩa (IIIa) Ví dụ 3: Giải phương trình sau : 1) 2) Giải 1) Vì 2) Gọi nên số mà (Có thể tìm số tính bỏ túi.Cụ thể Khi thỏa mãn ) cách tra bảng số dùng máy CHÚ Ý 1) Dễ thấy với số m cho trước,phương trình nằm khoảng có nghiệm Người ta thường kí hiệu nghiệm arctan m (đọc ác-tang m) Khi 2) Từ (IIIa) ta thấy : Nếu hai số thực mà có số ngun k để xác định Giải phương trình Phương trình Cho m số tùy ý,xét phương trình ĐKXĐ phương trình (IV) ,ta có (IV) Tương tự phương trình Nếu nghiệm phương trình (IV), nghĩa (IVa) Ví dụ 4: Giải phương trình sau : 1) 2) Giải 1) Gọi số tính bỏ túi,ta tìm Khi ,tức ) (chẳng hạn,bằng bảng số máy 2) CHÚ Ý Dễ thấy với số m cho trước,phương trình khoảng có nghiệm nằm Người ta thường kí hiệu nghiệm arccot m (đọc ác-cơtang m) Khi Giải phương trình Một số điều cần lưu ý 1) Khi cho số m,ta tính giá trị arcsin m, arccos m (với m máy tính bỏ túi với phím 2) acrsin m , arctan m (với ta viết,chẳng hạn ), arctan ), arctan m arccot m có giá trị số thực.Do mà khơng viết 3) Khi xét phương trình lượng giác ta coi ẩn số x số đo rađian góc lượng giác.Trên thực tế,ta cịn gặp tốn u cầu tìm số đo độ góc (cung) lượng giác cho sin (cơsin,tang côtang) chúng số m cho trước chẳng hạn Khi giải phương trình (mà lạm dụng ngơn ngữ,ta gọi giải phương trình lượng giác),ta áp dụng cơng thức nêu lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ "công thức nghiệm" cho thống nhất,chẳng hạn viết không viết Tuy nhiên,ta quy ước giải thích thêm phương trình lượng giác khơng sử dụng đơn vị đo góc độ ẩn số số đo rađian góc lượng giác Ví dụ 5: Giải phương trình Giải Vì nên Giải phương trình sau : 1) 2) ; ... Làm tương tự phương trình (1),ta có : Nếu nghiệm phương trình (I) , nghia (Ia) Ta nói hai nghiệm phương trình (I) Kể từ đây,để cho gọn ta quy ước biểu thức nghiệm phương trình lượng giác có chứa... x thỏa mãn phương trình Giải Vậy số x cần tìm Giải phương tình Phương trình Xét phương trình , (II) m số cho trước Hiển nhiên phương tình (II) xác định với Khi Dễ thấy : ,phương trình (II)... thẳng OT cắt đường tròn lượng giác hai điểm Ta có Gọi số đo góc lượng giác ; nói cách khác , nghiệm phương trình (III).Khi m góc lượng giác có số đo Đó tất nghiệm phương trình (III) (hiển nhiên