Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

Sử dụng tính đơn điệu chứng minh phương trình có tối đa 2 nghiệm : 1 Giải phương trình: Phương trình tương đương với: Rõ ràng phương trình có.. là hàm liên tục,đồng biến và nhận cả giá t[r]

Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit PHẦN 1: PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH MŨ Phương pháp 1: Đưa cùng số: Giải phương trình x 1 x 1  3.2 x 3 Hdẫn: (1)  ( ) 1 x  2 x 1 x2 x4 x 3 2) 7.3    x 1 x 1 x 1 Hdẫn: (2)    ( )   x  1 1): 4.9 x x 1 x  500 3) Hdẫn: (3)  x 5 x 3 ( 3( x 1) x  4) [ 27  x ) x x    x 3 ] x 3 x x 3  (5.2 ) x x  2 3 x x 5 x 3  x x 3  (2 ) x   x  1   5.2 x   x   log   37 ĐS: x=10 Tương tự: Giải các phương trình: x3 4 5) 8 x 6) x  x 1  x   x  x 1  x   7) x  x   8) cos x  x2   9 x x 1 x Đáp số: x=2; x  1  13 Đáp sô: x  log5 31  x  2x   cos x  x2 9) x  4.3 x   2 x 1.33 x  Đáp số: x  Phưong pháp 2: Đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ đưa phương trình đại sô: x2  x  22 x  x  x2  x  t (t  0) Phương trình trở thành: Hdẫn: Đặt t   x  1 t  3   t t  1(l )  x  1) 2 x 5 2)  36.3x 1   ĐS: x=-1; x=-2 Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ Lop12.net log2  Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit x  x 1 3)  28.3 x x x 4)   2.4 x2  x   ĐS: x=-2; x=1 Hdẫn: Chia vế cho 4x ta phương trình ( ) 5) x  x 5  12.2 x 1 Hdẫn: Đặt  x  x 5 6)   x x 5 2x  ( ) x   ĐS: x=0   x  t   x  x    t (t  0)     x  t   x  x      (  5)  2  x  3(1  2) x    Hdẫn: Đặt t  (1  2) x ; t  pt  t  (  5)t  3t     (t  1)(t  (  4)t   1)  t  x    t   2   x  2  t    x   x 1 7)  3x    6.3x  32( x 1) ĐS: x  log (2  11 ) 8) Giải phương trình Đặt Giải phương trình trên ta Tương tự giải phương trình x 9) 4.3 x  9.2x  5.6 x  2 Chia vế cho , đặt t    2 đáp số: x=4 x   x 10)  21  7(5  21)x  2x 3 11) (KB-2007) Giải phương trình  ĐS: x=0   x 1   x   2  ĐS: x=-1,x=1 12) (KA-2006) Giải phương trình 3.8 x  4.12x  18 x  2.27 x  Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ Lop12.net Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit t  1 x Chia vế phương trình cho , đặt t  ( ) ta phương trình 3t  4t  t     t   Đặt ẩn phụ, phân tích thành nhân tử 1) x  x   x Giải: Đặt 2x  u,3 x  v (u,v  0) Phương trình (1) trỏ thành u  u  v   uv   u  11  v     v  x -Với u=1    x  - Với v=1  x   x  KL: Phương trình có nghiệm x=0 3x Tương tự Giải các phương trình: 2 2) x 3 x   x  x 5  x 3 x   ĐS: x  5; 1;1;2 3) x  x  21 x   x 1  4) 8.3 x  3.2 x  24  x ĐS: x  1;3 5) 12.3 x  3.15 x  x 1  20 ĐS: x  log3 6) 2x 2 5 x  ĐS: x  1;1;2;3  21 x  2.26 5 x  2 7) (KD-2006) Giải phương trình 2x  x  4.2x  x  22 x   2 Đặt 2x  x  u,2x  x  v phương trình trở thành  u  1  v   ĐS: x=0;x=1 8) (KD-2003) Giải phương trình 2x x  22  x  x  ĐS: x=-1;x=2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn x2 x2 1) 3.16  (3 x  10)4   x =0 Hdẫn : x2 Đặt  t (t  0) Pt trở thành :  x2   t   x   log 3t  (3 x  10)t   x       x2  x  t   x    x  Tương tự Giải các phương trình: 2) x  x  x  9.2 x  3) x   x x   x  4) x  2. x  .3 x  x   5) 3.25 x   3 x  10 .5 x    x        ĐS : x=0,x=2 ĐS : x=1 Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ Lop12.net Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit Phương pháp 3: lôgarit hoá: 1)  100 ĐK: x nguyên dương x x1 x (1)  x ( x 1).23 x  52( x 1).22( x 1)  x  x2  2 x  log 5.( x  x  2)   x x    x  1  log 2(l ) x x 3 x  x 6 2)   x  x 5  Hdẫn: (2)  x 2  2( x 2)( x  4)  x   ( x  2)( x  4)log x    x  log  x x 1 x 3)  500 Lôgarit hóa vế theo số ta có : x =  x - 3  log +  =   x   x = -log 4) 2x 5) 2 x x x 2 .3 x  ĐS: x  1; x   log2  4.34  x ĐS: x  4; x  2  log3 Phương pháp 4: Sử dụng tính đơn điệu hàm số Phương trình dạng f(x)=g(x) với f(x) ĐB, g(x) NB f(x) đơn điệu g(x)=const x x     1) Giải PT :  sin    cos   (1)(SGK giải tích NC trang 127) 5  5   x  x     Giải: Do  sin  1;0  cos  nên f ( x)   sin    cos  là hàm số nghịch biến trên  5 5  5  +Dễ thấy x=2 là nghiệm phương trình (1) x x 2 x x 2         +Nếu x>2 thì  sin    cos    sin    cos   5  5  5  5          +Nếu x<2 thì  sin    cos    sin    cos   5  5  5  5  +Vậy x=2 là nghiệm phương trình (1) Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ Lop12.net Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit x 1 2)Giải phương trình :    x  (2) 3 (SGK giải tích NC trang 127) Giải: x 1 +Xét hàm số f ( x)    ; g ( x)  x  trên  3 +Dễ thấy f ( x) nghịch biến trên  , còn g(x) đồng biến trên  +x=-1 là nghiệm phương trình (2) 1 x x 1 1 1 +Nếu x>-1 thì        x      x  3 3 3 1 x x 1 1 1 +Nếu x<-1 thì        x      x  3 3 3 Vậy x=-1 là nghiệm PT (2) 3) Giải phương trình : x x x 1 1 1     x        2 x  (3) (SBT giải tích 12 NC) 3 2 6 x Giải: x x x 1 1 1 -Xét hàm số f ( x)  3x     x       ; g ( x)  2 x  trên  3 2 6 x x x 1 1 1 1 1 - Vì  ; ;  nên f '( x)  3x ln    ln  x ln    ln    ln  0, x    f ( x) đồng 6 3 2 biến trên  , g '( x)  2  0, x   nên g(x) nghịch biến trên  và f(1)=g(1)=4 -Với x>1 ta có f  x   f 1  g (1)  g ( x) -Với x<1 ta có f  x   f 1  g (1)  g ( x) Vậy x=1 là nghiệm PT (3) 4)  3  x  (  2) x  ( 5) x Hdẫn : (3)  ( 3 x 3 x ) ( ) 1 5 3 3  u;0  u  1;  v; v  5 Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ Lop12.net Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit x x +Nếu x  : u  0; v   VT  +Nếu x  : u  1; v   VT  Vậy pt vô nghiệm 5) Cho a, b, c là các số dương, a<c, b<c CMR : phương trình ax+bx=cx có và nghiệm x a c x b c Hdẫn :  ( )  ( )   x x Đặt VT=f(x) Ta có f(x) là hàm số liên tục trên R, f(x) là hàm nghịch biến trên R lim f ( x)  1; lim f ( x)    ! x0   : f ( x0 )  hay pt có nghiệm x  x  Tương tự x 6)   x 7)  7   x 3  x    x Pt dạng f (u )  f (v ) đó f là hàm số đơn điệu 1) Giải các phương trình: x 1  x 1   x  1 Đặt x   u, x   v pt trở thành : 2u  2v  v  u  2u  u  2v  v Xét hàm f (t )  2t  t trên  , HSDDB trên  nên u=v Từ đó giải nghiệm pt là x=1 2) Giải phương trình sau 2 x2 3cos x 2 x2 4cos3 x  cos x (10) Giải : Biến đổi phương trình sau x2 3cos x x2 4cos3 x  cos x  2  7(4 cos x  cos x ) x2 3cos x x2 4cos3 x 2  x  cos x   x  cos x (10’) x2 3cos x 2 x2 4cos3 x     t ' t Xét hàm số f (t )   7t , t  R, f (t )  ln   Hàm f(t) đồng biến trên R 10 '  f ( x  3cos x)  f ( x  cos3 x)  x  3cos x  x  cos3 x  cos x   x    k 2 Có thể gặp đề thi HSG các tỉnh các ví dụ tương tự 3) Giải phương trình 32 x  x2  3x 2 x  x3  x   (Chọn đội tuyển tỉnh Ninh Bình) Giải: 32 x  x2  3x 2 x  x3  x    32 x  x2  x  x   3x Xét hàm số f (t )  3t  t , t   f '(t )  3t ln   0, t   nên f(t) là HS ĐB trên  Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ Lop12.net 2 x  x3  x Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit Phương trình trên chính là f  x3  x    f ( x3  x)  x3  x   x3  x  x  2  x3  x     x   x  1    x  Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=-2 ; x=1 1 x 4) x2  1 x 2 5)   x2 x 1   1  x  74 ĐS: x   x  x 1 Sử dụng tính đơn điệu chứng minh phương trình có tối đa nghiệm : 1) Giải phương trình: Phương trình tương đương với: Rõ ràng phương trình có là nghiệm Ta có với ; Suy là hàm liên tục,đồng biến và nhận giá trị âm,cả giá trị dương trên R nên phương trình có nghiệm Từ bảng biến thiên hàm Vậy phương trình có đúng hai nghiệm : có không quá hai nghiệm Chú ý : * Có thể chứng minh phương trình có nghiệm sau : Ta có : Suy phương trình có nghiệm 2x 2x x x 1 x 1 2) Giải phương trình :      x  (13) Giải : Xét hàm sô f (t )  3t  2t  t trên  Ta có f '(t )  3t ln  2t ln   với t   nên hàm số đồng biến trên  Phương trình (5) có dạng f  x   f  x  1  x  x   x  x   (13’) Xét hàm số g (u )  2u  u  trên  Ta có g '(u )  2u ln  g ''(u )  2u (ln 2)  với u   nên g '(u ) là hàm số đồng biến trên  , đó g '(u )  có tối đa nghiệm thực Từ bảng biến thiên g (u ) Suy g (u )  có tối đa nghiệm thực Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ Lop12.net Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit Mà g (0)  g (1)  nên phương trình (13’) có đúng nghiệm x  0, x  Vậy phương trình (13) có nghiệm x  0, x  3) Cho hàm số f ( x)  e x  sin x  x2 Tìm GTNN hàm số và CMR: f(x)=3 có đúng nghiệm Giải: Ta có f '( x)  e x  cos x  x, x   f "( x)  e x  sin x   0, x   Suy f '( x) đồng biến trên  , f’(0)=0 f ( x)  e x  sin x  Mà x2 x2 x2  e x    sin x   e x   2  x2  lim  e x       lim f ( x)   x  x  2   x x2  lim  e       lim f ( x)   x  x  2  Ta có BBT  x f’(x) f(x)  - +   Từ BBT ta có f ( x)  f (0)  và phương trình f(x)=3 có đúng nghiệm phân biệt  CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ x x Bài : Tìm m để pt m.2    có nghiệm Giải : t Đặt t=2x , t>o Pt trở thành : mt     f (t )  mt  5t   +Nếu m=0 : t=1/5 (t.m) + Nếu m≠0 : Pt đã cho có nghiệm và pt (2) có nghiệm dương Xét TH : Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ Lop12.net Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit  m  t1   t2 m   t   t  m  25 1 m   0  t1  t2   m    0  Bài : Cho pt : m.16  2.81  5.36 a) Giải pt m=3 b) Tìm m để pt có nghiệm x x x Hdẫn : Đặt t  ( ) ; t  Pt trở thành 2t  5t  m  (2) x a) x=0 ; x=1/2 b) (2)  m  2t  5t Pt đã cho có nghiệm và pt (2) có đúng nghiệm dương Khảo sát hàm số y=-2t2+5t trên (0 :+∞) ta m  25 ;m  Bài : Tìm a để pt sau có nghiệm :   x 1  a   x   2x Hdẫn : x x  1  1     1 2     x  1 a Đặt t=   (t>0) phương trình trở thành : t    t  t  a  t   ĐS : a   a  x x 73  73  Bài : Biện luận theo a, số nghiệm phương trình    a  8 2     x 73  a 2 Đặt t=   (t>0), phương trình trở thành t    t  8t  a   a  t  8t t   Khảo sát hs và lập bảng biến thiên +a>16 ; pt vô nghiệm +a=16 a≤0 : pt có nghiệm +0<a<16 : pt có nghiệm phân biệt sin x Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 81 Hdẫn: Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ Lop12.net  81cos x  m Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit sin x Đặt t  81  t  1;81 Phương trình trở thành: t  81 m t Khảo sát hàm số ta kết 18≤m≤82 4 x 2 x Bài 6: Cho phương trình  2.3  2m   a) Giải phương trình m=0 b) Xác định m để phương trình có nghiệm 2 x Giải: Đặt  t  t   0;9 a) x=±1 t2 b) Khảo sát hàm số f (t )    t  ; t   0;9 -30≤m≤2 2 1 1t  (a  2).31 64  t  3;9 Khảo sát hs  a  Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm 1 1t Hdẫn: Đặt t= Bài 8: Cho phương trình Hdẫn: Đặt   1 x2    1 x2  1 x 1 1t  2a    m  Tìm m để phương trình có nghiệm  t  t  1;   Phương trình trở thành: m  t  1 t 1 ; t  1;   m  2   m  2  t x  mx  Bài 9: Cho phương trình  52 x  mx  2 m  x  2mx  m Tìm m để phương trình có đúng Khảo sát hàm số f (t )  t  nghiệm thuộc (0;2) Hdẫn: u  x  2mx  Đặt   v  u  x  2mx  m v  x  4mx   m Phương trình trở thành   v  u   u   v  f (u )  f (v) với f(t)=5t+t u v u v Ta có f(t) là HSĐB trên R nên pt tương đương u=v  g ( x)  x  2mx  m  (*) Pt đã cho có đúng nghiệm thuộc (0 ;2) và pt (*) có đúng nghiệm thuộc (0 ;2) Khảo sát hàm số ta kết không tồn m thoả mãn Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ Lop12.net Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit Bài tập tổng hợp phương trình mũ Bài 1: Giải các phương trình: a) x  4 8 x b) x  x 1  x   x  x 1  x   9 x  c) x  x   x  2x  x4 x2 x 1 x  e)  2 d) cos x x  x 1 x  cos x  x2 Bài 2: Giải các phưong trình:  a)  x c)    3   x x x 3 x b) x  18 x  2.27 x Đáp số: x=0 d) x  6.2 x   20  e)  9.5  27.(125 Bài 3: Giải các phương trình: 3x  7.2 x  x x b) 5.3 x 1  7.3 x 1   6.3 x  x 1  f) 4.2 x  3.2 x   2 x   x  2 a) log x 1  x log x  48 d) 4.3  9.2  5.6 b) 2.9 log x  x e)  Bài 5: Giải các phương trình: a) x  x  x  9.2 x  c) x  2. x  .3 x  x   Bài 6: Giải các phương trình: 2 a) x 3 x   x  x 5  x 3 x   c) 8.3 x  3.2 x  24  x e) x  x   x Bài 7: Giải các phương trình:  12 1 2x  )  64 d) lg x  50  x lg Bài 4: Giải các phương trình: x  x a) 4.33 x  x 1   x x 3.( x 1)   x log  x  x 12    2   x  x 1    b) x  x  21 x   x 1  d) 12.3 x  3.15 x  x 1  20 2 x c)  7   3  x b) x   d) x  x log  x log   b) x   2.x  x  x    x d) cos x   2 x  1 x e) 9.7 x   x Bài 9: Giải các phương trình: a) x 1 c) x 2  cos x x 1   x  1  2x  cos x 2 b) x   x x   x  d) 3.25 x   3 x  10 .5 x    x  a) x  x log  x log  x x c)  2  x  x 1  x 1  x  Bài 8: Giải các phương trình: a) x  cos x x 1 x 1 x b)  cos x d)   Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ Lop12.net x2 2  x2 x 1   1  x  74  x  x 1