Khi một dây rung với một tần số nhất định, rung động tại tần số này được truyền vào trong không khí - dưới dạng rung động có chu kỳ vào mật độ không khí và được gọi là sóng âm - đến tai [r]
(1)Phương trình vi phân Bài 10B PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO § 8.6 Dây rung và Phương trình truyền sóng chiều • Dây rung và Phương trình truyền sóng chiều • Phương pháp tách biến Đặt vấn đề • Phương pháp chuỗi lượng giác phương trình đạo hàm riêng xuất vào kỷ 18 Euler và Bernouli nghiên cứu bài toán dây rung • Cần có mô hình toán mô tả tượng này Dây rung và phương trình truyền sóng • Để nghiên cứu dao động sóng trên dây mềm đồng chất với mật độ vật liệu là ρ căng lực T điểm cố định x = và x = L Hình 8.6.1 Các lực trên đoạn ngắn dây rung • Sử dụng định luật II Newton F = ma, và tính toán ta nhận ρ ∂2 y =T ∂2 y + F (x) (2.1) ∂t ∂x là phương trình mô tả rung động theo phương thẳng đứng dây với số mật độ tuyến tính ρ và lực căng T ảnh hưởng ngoại lực F(x) T , F ( x ) ≡ thì (2.1) có dạng ∂2 y ∂2 y =a ∂t ∂x mô tả nên rung động tự dây mềm đồng chất với đầu mút cố định x = và x = L • Đặt a = ρ • Ta xác định chuyển động sợi dây biết ∗ Vị trí ban đầu: y ( x,0 ) = f ( x ) (0 < x < L ) Lop12.net (2) ∗ Tốc độ ban đầu y t ( x,0 ) = g ( x ) (0 < x < L ) • Từ đó ta có bài toán giá trị biên ∂2 y ∂t = a2 ∂2 y ∂x ( < x < L, t > 0); (2.2) y ( 0, t ) = y ( L, t ) = (2.3) y ( x,0 ) = f ( x ) (0 < x < L ) (2.4) y t ( x,0 ) = g ( x ) (0 < x < L ) (2.5) Tìm nghiệm phương pháp tách biến • Phương trình (2.2) có hai điều kiện không (2.4) và (2.5) cần xử lý • Ta tách bài toán (2.2) − (2.4) thành hai bài toán riêng biệt Bài toán A Bài toán B y tt = a y xx ; y tt = a y xx ; y ( 0, t ) = y ( L, t ) = y ( 0, t ) = y ( L, t ) = y ( x,0 ) = f ( x ) , y ( x,0 ) = 0, y t ( x,0 ) = y t ( x,0 ) = g ( x ) • Nếu tìm nghiệm Bài toán A là là y A , còn bài toán B là y B thì bài toán gốc ban đầu có nghiệm y ( x, t ) = y A ( x, t ) + y B ( x, t ) Thật vậy, rõ ràng luôn thoả mãn (2.2) và (2.3), ta kiểm tra (2.4) và (2.5) có y ( x,0 ) = y A ( x,0 ) + y B ( x,0 ) = f ( x ) + = f ( x ) y t ( x,0 ) = d d ( y A ) ( x,0 ) + ( y B ) ( x,0 ) = + g ( x ) = g ( x ) dt dt ♦ Ta giải bài toán A phương pháp tách biến, tức là tìm nghiệm dạng y ( x, t ) = X ( x ) T ( t ) • Thay vào (2.2) có X" T" X" T" = , ∀t , đó có = = −λ X X aT aT X "+ λ X = • Hệ T "+ λ a T = X ( )T ( t ) = • Từ điều kiện y ( 0, t ) = = y ( L, t ) ⇔ X ( L )T ( t ) = Lop12.net (3) Để có T ( t ) không tầm thường ⇒ X ( ) = Y ( L ) = • Phương trình X "+ λ X = 0, X ( ) = X ( L ) = có giá trị riêng λn = n 2π L2 , nπ x , n = 1, 2, 3, L • Tương tự, từ điều kiện: y t ( x, ) = = X ( x )T ′ ( ) , ∀ x ⇒ T ′ ( ) = nên có hàm riêng X n ( x ) = sin Khi đó Tn ( t ) ứng với λn trên thỏa mãn phương trình Tn′′ + n 2π 2a 2 L Tn = , Tn′′ ( ) = nπ at nπ at + Bn sin L L nπ a nπ at nπ at Vì Tn′ ( t ) = − An sin + Bn cos L L L Do đó có nghiệm tổng quát Tn ( t ) = An cos nπ at L nπ at nπ x • Từ đó có y n ( x, t ) = X n ( x )Tn ( t ) = cos sin , n = 1, 2, 3, L L • Dùng nguyên lí chồng nghiệm, ta có nghiệm chuỗi hình thức bài toán A là Do Tn′ ( ) = nên có Tn ( t ) = cos L ∞ nπ at nπ x nπ x y n ( x, t ) = An cos sin , đó An = f ( x )sin dx L L L L n =1 ∑ ∫ ∞ (Do khai triển Fourier sine f(x) ta có f ( x ) = ∑ An sin n =0 nπ x ) L Nhận xét Nghiệm chuỗi suy từ chuỗi Fourier sine hàm f ( x ) cách thêm thừa số cos ( nπ at / L ) vào phần tử thứ n Ví dụ Ta nhận thấy cách trực tiếp nghiệm bài toán giá trị biên ∂2y ∂2y = (0 < x < π , t > 0) ∂t ∂x y ( 0, t ) = y (π , t ) = 0, sin3 x 10 y t ( x,0 ) = 0, y ( x,0 ) = Lop12.net (4) 3 sin x − sin3 x nên có f ( x, ) = sin x − sin3 x 4 40 40 • Từ trên ta có biểu diễn chuỗi Fourier sine hàm f ( x ) là • Ta có sin3 x = f (x) = tức có A1 = sin x − sin3 x 40 40 −1 , A3 = , An = 40 40 • Vận dụng công thức nghiệm trên với L = π và a = , có nghiệm là y ( x, t ) = cos 2t sin x − cos 6t sin x 40 40 Ví dụ Hình 8.6.2 Vị trí ban đầu lò xo bị kéo dãn Ví dụ • Một lò xo dài là L làm cho chuyển động cách di chuyển điểm L x = khoảng là bL sau đó thả thời điểm t = Hãy tìm y ( x, t ) 2 • Bài toán giá trị biên tương ứng có dạng y tt = a y xx ( < x < L, t > ) ; y ( 0, t ) = y ( L, t ) = 0, y ( x,0 ) = f ( x ) , y t ( x,0 ) = L bx , ≤ x ≤ đó f ( x ) = b ( L − x ) , L ≤ x ≤ L • Ta có L L L nπ x nπ x nπ x An = f ( x )sin dx = bx sin dx + b(L − x )sin dx L L L L L L ∫ ∫ 0 ∫L Lop12.net (5) L 2 2 L nπ x L nπ x = b − x cos + sin L nπ L L 0 nπ L 2 ( L nπ x L nπ x ) + b − L − x cos − sin L nπ L L L nπ 2 2 L L nπ L nπ L L nπ L nπ = − + + cos cos + b sin sin L nπ 2 nπ L nπ nπ 2b L nπ 4bL nπ = = 2 sin sin L nπ 2 n π • Phương trình đã cho có nghiệm hình thức là y ( x, t ) = = 4bL π2 ∞ ∑ n sin n =1 nπ nπ at nπ x cos sin L L π at πx 4bL 3π at 3π x cos sin − cos sin + L L L L π a) Âm nhạc • Hầu hết các nhạc cụ âm nhạc quen thuộc sử dụng dây rung để sinh âm Khi dây rung với tần số định, rung động tần số này truyền vào không khí - dạng rung động có chu kỳ vào mật độ không khí và gọi là sóng âm - đến tai người nghe ∞ • Chuỗi y ( x, t ) = ∑ An cos n =1 nπ at nπ x sin thể chuyển động dây L L dạng phép chồng nhiều rung động vô hạn với các tần số khác T (Hz) 2L ρ − Tần số (thấp nhất) v1 = − Tần số hoà âm v n = nv1 (do đó dây rung nghe có cảm giác du dương) • Cường độ âm sinh sợi dây xác định sau: E= π 2T 4L ∞ ∑ n2 An2 n =1 Lop12.net (6) b) Nghiệm d’Alembert • Ngược lại với nghiệm chuỗi phương trình truyền nhiệt, nghiệm chuỗi hình thức phương trình sóng không thể vi phân phần tử để xác định nghiệm (vì có thể làm cho chuỗi phân kì) • Để khắc phục điều này, ta có cách tiếp cận khác nhờ sử dụng công thức sin A cos B = sin ( A + B ) + sin ( A − B ) Khi đó ta có ∞ y ( x, t ) = ∑ An sin n =1 nπ x nπ at cos L L ∞ ∞ nπ nπ = An sin An sin ( x + at ) + ( x − at ) n =1 L n =1 L ∑ = ∑ F ( x + at ) + F ( x − at ) 2 ∞ đó ∑ An sin n =1 nπ x = F ( x ) là mở rộng lẻ với chu kỳ 2L hàm f ( x ) L • Nhắc lại F khả vi cấp thì có hàm y ( x, t ) chính là nghiệm (dạng d'Alembert) bài toán dây rung y tt = a2 y xx , y ( 0, t ) = y ( L, t ) = , y ( x,0 ) = f ( x ) , • Các hàm F ( x + at ) , F ( x − at ) biểu diễn chuyển động sóng tương ứng phía trái và phía phải dọc theo trục x với tốc độ a Do đó nghiệm dạng d’Alembert y ( x, t ) là tổng hợp hai dao động sóng chuyển động theo hai hướng ngược chiều với tốc độ a Lop12.net (7) Hình 8.6.3 Xung F ( x ) tạo nên hai sóng - chuyển động phía trái, chuyển động phía phải c) Dây với tốc độ ban đầu • Lập luận bài toán A, ta nhận nghiệm bài toán B là ∞ y ( x, t ) = ∑ Bn sin n =1 nπ at nπ x sin , L L L ∞ nπ a nπ x nπ x đó y t ( x,0 ) = Bn sin = g ( x ) , dó Bn = g ( x ) sin dx π n a L L L n =1 ∑ ∫ Ví dụ Xét dây đàn ghita nằm chéo chữ thập với mặt sau quân bài, thời điểm t = bật quân bài vào tường gạch với vận tốc ban đầu v Tìm dao động dây đàn • Ta có g ( x ) ≡ v , đó Bn = nπ a L ∫ ν sin 2v L nπ x n dx = 02 1 − ( −1) L n π a • Nghiệm cần tìm có dạng y ( x, t ) = 4v 0L ∑ n2 sin π 2a n lÎ Lop12.net nπ at nπ x sin L L (8) ∞ • Lấy đạo hàm theo t ta có biểu thức y ( x, t ) = ∑ Bn sin n =1 ∞ y t ( x, t ) = ∑ bn sin n =1 nπ at nπ x sin ta có L L nπ x nπ at cos = G ( x + at ) + G ( x − at ) L L đó G là mở rộng lẻ với chu kỳ 2L hàm vận tốc ban đầu g ( x ) • Ngoài ta có y ( x, t ) = H ( x + at ) + H ( x − at ) 2a x ∫ đó H ( x ) = G(s )ds ( [F x + at ) + F ( x − at )] ta có dao động sợi dây với điều kiện ban đầu tổng quát cho 1 H ( x + at ) + H ( x − at ) y ( x, t ) = F ( x + at ) + F ( x − at ) + 2a là tổng hợp bốn chuyển động dọc theo trục x với tốc độ a, hai chuyển động sang trái và hai chuyển động sang phải • Kết hợp với nghiệm dạng d’Alembert y ( x, t ) = Chú ý Dạng toán mục này là giải bài toán giá trị biên 1, 10 trang 378 Lop12.net (9) § 8.7 Trạng thái nhiệt độ ổn định và phương trình Laplace • Bài toán Dirichlet • Bài toán Dirichlet cho hình chữ nhật • Bài toán Dirichlet cho đĩa tròn Đặt vấn đề • Ta nghiên cứu nhiệt độ kim loại phẳng mỏng, có diện tích R mặt phẳng xy giới hạn đường cong C trơn khúc hình 8.7.1 Hình 8.7.1 Vùng mặt phẳng R và đường cong C bao quanh • Giả sử mặt đĩa cách nhiệt, đó có phương trình truyền nhiệt là ∂ 2u ∂ 2u ∂u = k + (1.1) ∂x ∂t ∂ y K với số khuyếch tán nhiệt k = , k _ số dẫn nhiệt, mật độ δ cδ kim loại, nhiệt độ C • Có thể viết lại phương trình trên dạng: ∂u ∂ 2u ∂ 2u 2 = k ∇ u , đó ∇ u = + ∂t ∂x ∂y ta thấy phương trình này có dạng giống phương trình đẳng nhiệt ut = ku xx • Với cùng lập luận trên, từ phương trình truyền sóng chiều ztt = a 2zx x ta nhận phương trình truyền sóng hai chiều: ∂2z ∂t ∂2z ∂2z = a + = a2∇ z ∂x ∂y Lop12.net (10) • Ta giới hạn chú ý vào trạng thái ổn định, đó nhiệt độ u không thay đổi theo thời gian, đó ut = , vì phương trình (1.1) trở thành phương trình Laplace hai chiều ∇ 2u = hay ∂ 2u ∂x + ∂ 2u ∂y = Đây là phương trình vi phân đạo hàm riêng khá quan trọng và nó gọi là phương trình điện Bài toán Direchlet Tìm nhiệt độ trạng thái ổn định đĩa với các giá trị biên cho trước cho ∂ 2u ∂x + ∂ 2u ∂y = 0, ( x, y ) ∈ R trong mặt phẳng u ( x, y ) = f ( x, y ) , (x, y) trên biên C R Bài toán Dirichlet hình chữ nhật u xx + uyy = • Bài toán Dirichlet ( x, y ) ∈R u ( x,0 ) = f1 ( x ) , u ( x, b ) = f2 ( x ) u ( 0, y ) = g1 ( y ) , u ( a, y ) = g ( y ) (0 < x < a ), (0 < y < b ) (3.1) • Đây là bài toán có bốn điều kiện không • Ta giải bài toán (3.1) cách tách nó thành bài toán, mà bài toán có điều kiện không nhất, và không dọc theo cạnh còn lại (xem hình 8.7.3) Hình 8.7.3 Bài toán giá trị biên Ví dụ Ví dụ Hãy giải bài toán giá trị biên sau u xx + u yy = u ( 0, y ) = u ( a, y ) = u ( x, b ) = u ( x,0 ) = f ( x ) hình chữ nhật Hình 8.7.3 10 Lop12.net (11) • Sử dụng phương pháp tách biến, tìm u ( x, y ) = X ( x ) Y ( y ) , thay vào phương trình u xx + u yy = ta có X" Y" =− = −λ X Y (3.2) • X "+ λ X = 0, X ( ) = X ( a ) = Có giá trị riêng và hàm riêng tương ứng là λn = • Từ đó và từ (3.2) có Yn" − n 2π a , X n ( x ) = sin nπ x a (3.3) n 2π Yn = 0, Yn ( b ) = a2 nπ y nπ y có nghiệm Yn ( y ) = An cosh + Bn sinh , a a • Từ điều kiện u ( x, b ) = ⇒ y n ( b ) = , đó có Yn ( y ) = cn sinh nπ ( b − y ) a (3.4) An nπ b sinh a • Từ (3.3) và (3.4) có nghiệm chuỗi hình thức bài toán Dirichlet đó cn = ∞ u ( x, y ) = ∑ ∞ X n ( x ) Yn ( y ) = n =1 ∑ n =1 cn sin nπ ( b − y ) nπ x sinh a a đó a nπ x cn = f ( x ) sin dx (nhận từ điều kiện u ( x, ) = f ( x ) ) a sinh(nπ b / a ) a ∫ Ví dụ Cho R là dải bán vô hạn Hình 8.7.5 Hình 8.7.5 Dải bán vô hạn Ví dụ 11 Lop12.net (12) Hãy giải bài toán giá trị biên u xx + u yy = (trong R ); u ( x,0 ) = u ( x, b ) = (0 < x < + ∞ ), u ( x, y ) lµ giíi néi x → +∞, u ( 0, y ) = g ( y ) • Là dạng bài toán điển hình Dirichlet cho miền giới nội, thực tách biến Y" X" trên ta có =− = −λ , Y X • Y "+ λY = 0, Y (0) = Y (b ) = có các giá trị riêng và hàm riêng tương ứng λn = • Thay vào trên có phương trình X n" − có nghiệm X n ( x ) = An nπ x e b + Bn n 2π b n 2π b2 , Yn ( y ) = sin nπ y , b Xn = − nπ x e b nπ x • Do điều kiện u ( x, y ) giới nội x → +∞ nên có X n ( x ) = exp − b • Từ đó nhận nghiệm chuỗi hình thức: u ( x, y ) = ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ bn X n ( x )Yn ( y ) = ∑ bn exp − ∞ • Từ điều kiện biên u ( 0, y ) = ∑ n =1 bn sin nπ x nπ y sin b b nπ y = g (y ) b b nπ y nên có bn = g ( y ) sin dy là chuỗi Fourier sine b b ∫ Bài toán Dirichlet cho đĩa tròn Hình 8.7.7 Bài toán Dirichlet cho đĩa tròn 12 Lop12.net (13) • Xét nhiệt độ trạng thái ổn định đĩa tròn bán kính a với hai mặt cách nhiệt và nhiệt độ biên cho trước • Sử dụng tọa độ cực nhận mô hình toán bài toán nói trên là ∂u ∂ 2u ∇ u≡ 2+ + = r ∂r r ∂θ ∂r ∂ 2u (4.1) với điều kiện: u ( a,θ ) = f (θ ) , f (θ ) tuần hoàn với chu kỳ 2π • Sử dụng phương pháp tách biến tìm u ( r ,θ ) = R ( r ) Θ (θ ) , thay vào (4.1) có 1 r 2R "+ rR ' Θ" ′′ ′′ R Θ + R ' Θ + RΘ = ⇔ =− =λ r R Θ r ⇔ r 2R "+ rR '− λ R = và Θ "+ λΘ = (4.2) (4.3) • Phương trình (4.3) có nghiệm tổng quát là Θ (θ ) = A cos αΘ + B sin αθ λ = α > Θ (θ ) = A + BΘ λ = λ = −α < Θ (θ ) = Aeαθ + Be −αθ Từ điều kiện đầu có • Khi λ = λn = n , đó λ0 = , Θ0 (θ ) = 1, λn = n , Θn (θ ) = An cos nθ + Bn sin nθ • λ0 = có R0 ( r ) = C0 + D0 ln r và λ = n có r 2Rn" + rRn' − n 2Rn = Phương trình này có nghiệm tổng quát là Rn ( r ) = Cn r n + Dn r2 , đó Rn ( r ) = Cn r n (do liên tục r = 0) • Từ đó có nghiệm chuỗi hình thức dạng ∞ ∞ a u ( r ,θ ) = Rn ( r ) Θn (θ ) = + ana n cos nθ + bnan sin nθ n =1 n =0 ∑ ∑( ) • Từ điều kiện u ( a,θ ) = f (θ ) , ta có chuỗi đã cho là chuỗi Fourier hàm f (θ ) , nên có an = π an 2π 2π ∫ f (θ )cos nθdθ , bn = π an ∫ f (θ )sin nθdθ , (n = 1, 2, 3, ) 0 13 Lop12.net (14) Ví dụ Giải bài toán Dirichlet nửa hình tròn r = a , ≤ θ ≤ π biết u ( r , ) = u ( r , π ) = , u ( a, θ ) = cos2 θ ∞ a • Nghiệm u ( r , θ ) = + r n ( an cos nθ + bn sin nθ ) n =1 ∑ ∞ • Do u ( r , ) = = u ( r , π ) nên có an = 0, ∀ n , vì u ( r , θ ) = ∑ r ncn sin nθ n =1 đó cn = π πa n π ∫ f (θ ) sin nθ dθ = π an ∫ (1 + cos 2θ ) sin nθ dθ 0 π 1 cos = − n θ + π an n π ∫0 ( sin ( n + )θ + sin ( n − )θ ) dθ π ( ( ) n ) −1 − cos ( n + ) θ − cos ( n − ) θ = −1 − + 2n + n−2 π an n = = ( ( ) n ) −1 ( ( ) n ) ( ( )n ) − − + − − − −1 − 2n + n−2 π an n πa ( ( −1)n ) + − n n 1 + ( n + ) ( n − ) 0, = 1 2k +1 2k + + ( 2k + ) + ( 2k − 1) , π a ∞ • u (r, θ ) = n = 2k n = 2k + 1 ∑ r 2k +1 π a2k +1 2k + + ( 2k + ) + ( 2k − 1) sin ( 2k + 1)θ k =0 Chú ý Dạng toán mục này là: Bài toán Dirichlet hình chữ nhật và hình tròn Các bài – 9, 13, 14, 15 (trang 393) Ghi nhớ • Tuần này vào tiết sau bài tập có bài kiểm tra số (Chương 4, chương 5, và mục 6.1, 6.2) các lớp có bài tập vào thứ 4, 5, • Buổi sau lí thuyết học các mục: 9.1 và 9.3 • Tuần sau bài tập làm bài tập lẻ các mục: 6.4, 7.1 và 7.2 14 Lop12.net (15)