BÀI TẬPMÔN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY pdf

BÀI TẬP MÔN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 1.1 Giải các phương trình vi phân có biến số phân ly 1... Tìm nghiệm tổng quát của phương

BÀI TẬP MÔN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

1.1 Giải các phương trình vi phân có biến số phân ly

1 ycos 2ysiny0

y

 

y x  xy y

x y



5 y 1 12

y

  

6 y 4xy12

2

y  x y x

1y e dx e dy x  y  1y dy0

1

1

m

x y y



  

  

11

 2 2

x y

 

2

2

y y

x

13  2  2 2  4 4

y  x y y x y 

1

y

x y

 

 

15 y e x y 1

16 y  4x 2y 1

17  2 2  2 2

0

y xy dx x yx dy

2y yy dx 1x dy0

19

2 2



2

y  y  xyx

1.2 Giải các phương trình vi phân thuần nhất

xdyydx x y dx

22

y x

xy  yxe

23 xy ycos ln y

x

 

x y  xyy y 

xyy  yy

xyy x  y 

(3x y )y(y x xy) 0

x  xyy dx y  xyx dy

29 2x y 1dx4x 2y 3dy 0

30 y y sin y

   , với  1

2

y 

31 xy  y1 ln  y lnx, y 1 e

32 2 2

y x yxyy

33 2x 4y 6dxxy 3dy 0

34 xy 1  y x 2y 0

x  xy y  y  xy

36 dx dy

yx yx

x x y dx x y dy

38 y 2dx2xy 4dy 0

39 xy y x ylnx y

x



40 x ycos y dx xcosy dy 0

1.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính

arctan

y  xyxe

44  2  2 

x x y x  y x

45 ysinxy 1 cosx

sin yxcoty y1

47 2e yx y 1

48 1 2xy y   y y( 1)

y xyx

2

y

x y

ye  y y  xe

52  2 

0

x y dxxdy

53 y 2 y 32,y 1 1

x x

1

xy y

x

  



55 2x1x y 3x4y2x 1x 0

sin

xy yx x

y xy x thỏa mãn điều kiện y(0)=0

y x y x thỏa mãn điều kiện y(0) =0

1.4 Giải các phương trình Becnuli

ln

xy y y x

3y y ay x1

61  2 3

1

xyx y y

62 3

y x yxy  y

x  y y x y x x

64 x e yy2

1 x y

y  e 

x y  x y dx y dy

x y  y xy

cos

y x

y

điều kiện y 0  

69 y xy dx xdy

2x y  y 2xy y (coi x = x(y))

71 tan

cos

x

y

72 y y x

x y

  

cos

xy  x y  y

xyy y x ( là tham số)

1.5 Giải các phương trình vi phân toàn phần

2x 1 x y dx x ydy0

x x xy dx x y dy

y dx xy dy

e  xy dx e ydy

y x x dy y x y x dx

2x3x y dx 3y x dy

82

2

1

x y y

dx

y x x

dy

y x y x dx xy x dy

y

thỏa mãn điều kiện y(0) = 2

y  dx y  xy y dy

2

1 cos

x

dx



87 ye xsiny dx x e xcosy dy 0

88 x siny dx xcosy siny dy  0

89

3 2

3x (1 ln )y dx 2y x dy

y

90

2

2

2

2 sin 2

y

2

1 cos 2

x



92

2

2 cos 2 ln

2

x

x y xdyydx  ax x dx (thừa

số tích phân)

94 xcosyysiny dy xsinyycosy dx  0

.(thừa số tích phân)

1y sin 2x dxaycos xdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó và giải

1y sin 2x dxaycos xdy0 với a tìm được

1.6 Giải các phương trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0,

96 3

' 1

xy   y

y

1

y x e , coi x là hàm, y là biến

99 yy1 y cosy

1.7 Giải các phương trình Lagrange- Klero

100 y2xysiny

2

y y x y y

102 x y 12

 

103 xyylny

2y yxy  1

2 ' '

y xyy

Chương II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO

2.1 Giải các phương trình vi phân cấp cao

106 2 2

1

y x 

y  y  thoả mãn các điều

kiện ban đầu:

a) y0 , y2 khi x0

b) y0, y1 khi x0

108  2 2

1x yy  1 0

109  2

1

y  y ay

y y  y y  

2

1

yy

yy y

x



  

 dạng thuần nhất,

yy y

113 y 1 y 12 y 1

x x

    

y y y y y

x



y y e

1

y y  y y

1

yyy 

2xy y  y 1

119    2

1

x yx y  y

120 ycosy y 2siny y

121 y y  y

xy yx

123 2

y yy yy

124 xy yx

2.2 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên

x y  yx x, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x2

126 Giải phương trình y 2 y y cot gx

     biết một nghiệm riêng của phương

trình vi phân thuần nhất tương ứng y1 sin x

x

127 Giải phương trình vi phân: 2 

x x y  y biết một nghiệm y1 1 1

x

 

128 Giải phương trình vi phân x2 1y2y0 nếu biết một nghiệm của nó có dạng đa thức

2x 1 y  2x 1 y  2yx x biết nó có hai nghiệm riêng

130 Xác định hằng số  sao cho x2

ye là nghiệm riêng của phương trình vi phân

 2 

y xy x  y Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

131 Giải phương trình xy2yxycotx biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng y1 sin x

x



x y xy y x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x

133 Giải phương trình 2

'

xy y x

x

  , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1 x

y e

135 Giải phương trình 2 

x x y xyy , biết một nghiệm riêng có dạng ,

yx   là hằng số

136 Tìm nghiệm riêng của phương trình  2  2   

2xx y x 2 y' 2 1 x y0 thỏa mãn   ' 

y  y  , biết một nghiệm riêng của nó là x

ye

137 Giải phương trình  2  

2xx y2 x1 y' 2 y 2, biết nó có hai nghiệm riêng là y1 1,y2 x

138 Giải phương trình 22 ' 21

x

  , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y 1 1

139 Giải phương trình 2x 1y 4x 2y' 8  y 0, biết một nghiệm riêng có dạng ye ax,

140 Tìm nghiệm riêng của phương trình 22 ' 22

x

 3 22, ' 1005  2000

y  y  , biết một nghiệm riêng của nó là y1x

141 Giải phương trình x y 2xy' 2 yx cosx, biết một nghiệm riêng của

phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1x

142 Giải phương trình  2

1x y2xy' 2 yx, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1x

143 Giải phương trình 2 2 ' 2 2 1 2

x

phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1x

144 Giải phương trình

2

2 '

x

e

    , biết một nghiệm riêng của phương trình

vi phân thuần nhất tương ứng là 1

x

e y x



145 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

3x 1 xy2y6xy 4 12x biết rằng nó có hai nghiệm riêng

y  x y  x

2.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số

146 y13y12y0

147 y2y9y18y0

148 y 4 y 0

149 y 4  2y  3y  2y y 0

150 y 7  3y 6  3y 5 y 4  0

151 y2y4yexcosx

y y y e  x

153 y  y 2 sinx4 cosx

sin

y n y nx

155 y ysin sin 2x x

y  y x e có nghiệm riêng

2

y e

157 Với những giá trị nào của p và

q thì tất cả các nghiệm của

phương trình

y pyq giới nội  x 0

p 0 , q 0

158 p q , ? thì tất cả các nghiệm của

phương trình y pyq0 là

những hàm tuần hoàn của x

p 0,q 0

159 2

x yxy yx x

ln

t x

160 2x12 y4 2 x1y8y 8x4

161 y 1 y 12 y 2 sin ln x

x x

ln

t x

162 1x2 y1x y y4 cos ln 1 x

t ln 1 x

163 Dùng phép biến đổi hàm y z2

x



để giải phương trình vi phân:

 

x y xy x  ye

164 y y exsinx cosx

y e  ye ye bằng đổi biến x

te

yyxe

167 y2y2yx e x1

y x y xy x đặt t

= sinx

169 2y5y29 sinx x

sin

y y

x

y  y  x e

x

e

x

   

173 xy2yxye x bằng phép đổi hàm zxy

174 yytanxycos x0 dùng t =

sinx

175 y2y5y xsin 3x

176 xy2(1x y) (x2)yex

bằng phép đổi hàm zxy

y y yxe x

178 2

2

x y xy

x

     bằng phép

biến đổi x = 1/t

x

e

x

   

180 2

x yxyyxbằng biến đổi

t

xe

yyxe

182 y4y5ye cosx

183 2

x y xy y bằng biến đổi

t

xe

y y y e x

y y ye  x

x

e

x



   

187 y yxe x2ex

188 yy2ycosx3sinx

2 2 cos

y y x

190 y  y sinxcos 2x

Chương III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Giải các hệ phương trình vi phân

191

5 cos 2

dx

dt

dy

x y dt



 







192

dx

dt

dy

x y dt









193

2 4

dx

x y dt

dy

y x dt









194

3 4

dx

x y dt

dy

y x dt









195

2

dx

x y z dt

dy

y x z dt

dz

x z dt



















196

2

2

2

dx

x y z dt

dy

x y z dt

dz

x y z dt



















197

2

dx

x y z dt

dy

x y z dt

dz

x y dt

















198

dx

x z dt

dy

y z dt

dz

x y dt

















199

2

dx

x y z dt

dy

dt dz

dt

















