Phương trình vi phân tấm chịu uốn doc

7.4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TẤM CHỊU UỐN − Ở trên đã thấy rằng, tất cả các thành phần ứng suất hay nội lực, biến dạng của tấm đếu được biểu diễn qua hàm độ võng w(x,y) của mặt trung bình. Do vậy, trước hết và đầu tiên là cần tìm được hàm độ võng w(x,y) đó. − Khảo sát sự cân bằng của một phân tố mặt trung bình có kích thước dxdy. Đặt các lực tác dụng lên phân tố (gồm cả ngoại lực và nội lực) như hình vẽ H.1 Phương trình cân bằng phân tố trong tấm  Từ phương trình cân bằng chiếu lên phương x ta có. 0 y x z Q Q dxdy dydx p dxdy x y ∂ ∂ + + = ∂ ∂ Hay 0 y x z Q Q p x y ∂ ∂ + + = ∂ ∂ (a)  Từ phương trình moment với trục y bỏ qua các đại lượng vô cùng bé bậc cao, ta được: 0=− ∂ ∂ + ∂ ∂ dxdyQdydx y M dxdy x M x yx x Hay: x yx x Q y M x M = ∂ ∂ + ∂ ∂ (b)  Từ phương trình moment uốn với trục x, tương tự ta có : xy y y M M Q x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ (c) Thay phương trình (b), (c) vào (a), loại bỏ lực cắt 2 2 2 2 2 2 xy y x z M M M p x x y y ∂ ∂ ∂ + + = − ∂ ∂ ∂ ∂ Thay các biểu thức M x , M xy , M y theo hàm độ võng w(x,y) vào, ta có: 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 4 2 2 2(1 ) z w w w w w D p x x y x y y x y υ υ υ   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − + + − + + = −  ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   Đơn giản còn: 4 4 4 4 2 2 4 2 z w w w D p x x y y   ∂ ∂ ∂ + + =  ÷ ∂ ∂ ∂ ∂   Hay: 4 z D w p∇ = Hay: 4 z p w D ∇ = (7.10) − (7.10) là phương trình cân bằng vi phân của mặt trung bình khi võng. Nó còn được gọi là phương trình vi phân tấm chịu uốn. Phương trình (7.10) có dạng vi phân cấp 4. Nó là phương trình vi phân chủ đạo của bài toán tấm mỏng chịu uốn, và biểu diễn theo hàm độ võng w của mặt trung bình. − Đôi lúc phương trình vi phân này được biểu diễn ở dạng vi phân cấp 2. Bằng cách đưa ra một hàm momen M (momen function) hay còn gọi là hàm momen tổng (momen sum) 2 2 4 2 2 ( ) (1 ) x y M M w w M D D w x y υ + ∂ ∂ = = − + = − ∇ + ∂ ∂ Khi đó, các lực cắt sẽ là: x M Q x ∂ = ∂ và y M Q y ∂ = ∂ Và cuối cùng, dễ thấy rằng phương trình vi phân cấp 4 được thay thế bằng 2 phương trình vi phân cấp 2: 2 2 2 2 2 z M M M p x y ∂ ∂ ∇ = + = − ∂ ∂ 2 2 2 2 2 w w M w x y D ∂ ∂ − ∇ = + = − ∂ ∂ Trong bài toán dao động của tấm, chỉ cần thay lực phân bố ở vế phải là: 2 2 h q=q(x,y,t)- g w t γ ∂ ∂ Và phương trình dao động của tấm là: 2 4 2 ( , , )h w q x y t w gD t D γ ∂ ∇ + = ∂ (a) Trong đó cần hiểu: 4 4 4 4 4 2 2 4 2 x x y y ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ w=w(x,y,t) Trường hợp dao động tự do: q(x,y,t)=0 Phương trình dao động của tấm là: 2 4 2 0 h w w gD t γ ∂ ∇ + = ∂ (b) Khi đó hàm độ võng w(x,y,t) thường tìm được trong dạng: W(x,y,t)=W(x,y)T(t) (c) Thay (c) vào (b) ta được phương trình: Nếu T(t) là hàm điều hòa: T= -w 2 T Hay: 2 T T ω = − (d) Hay: 2 0T T ω + = Thì ta có phương trình biên độ dao động: (thay (d) vào (b)): 4 4 0K W∇ − = (e) Với: 4 2 h K gD γ ω = (d): phương trình dao động (c): phương trình biên độ. . (7.10) là phương trình cân bằng vi phân của mặt trung bình khi võng. Nó còn được gọi là phương trình vi phân tấm chịu uốn. Phương trình (7.10) có dạng vi phân cấp 4. Nó là phương trình vi phân chủ. vi phân chủ đạo của bài toán tấm mỏng chịu uốn, và biểu diễn theo hàm độ võng w của mặt trung bình. − Đôi lúc phương trình vi phân này được biểu diễn ở dạng vi phân cấp 2. Bằng cách đưa ra. 7.4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TẤM CHỊU UỐN − Ở trên đã thấy rằng, tất cả các thành phần ứng suất hay nội lực, biến dạng của tấm đếu được biểu diễn qua hàm độ võng