Đang tải... (xem toàn văn)
Hiện tượng này di do nhiều nguyên nhân, trong đó chủ yếu là do các học sinh đó chưa có điều kiện tốt cho học tập, giáo viên chưa khơi dậy được niềm đam mê học toán cho học sinh …Vấn đề n[r]
(1)S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Më ®Çu I - Lý chọn đề tài Trong công tác dạy và học nhà trường phổ thông mị cấp học, việc đổi phương pháp giảng dạy cần thiết tạo tiền đề cho việc rèn luyện tính tích cực, chủ động tìm kiến thức học tập cho học sinh theo phương châm: "Phát huy tính độc lập suy nghĩ, tự chủ học tập và rèn luyện" Trong thực tế, các trường THCS số học sinh còn non môn toán chiếm tỷ lệ đáng kể Hiện tượng này di nhiều nguyên nhân, đó chủ yếu là các học sinh đó chưa có điều kiện tốt cho học tập, giáo viên chưa khơi dậy niềm đam mê học toán cho học sinh …Vấn đề này đặt cho người thầy phương pháp giảng dạy, thông qua tiết dạy, bài dạy trên lớp thực theo định hướng là làm nào để học sinh phát huy tính tích cực, sáng tạo, giúp các em biết cách học, cách suy nghĩ, tìm tòi và bước sáng tạo häc to¸n Với tinh thần đó, nhiệm vụ giáo viên phổ thông nói chung, giáo viên dạy toán nói riêng phải chủ động tìm cách giải hợp lý để khơi dậy niềm đam mª häc to¸n cho häc sinh, gióp cho tÊt c¶ c¸c häc sinh n¾m ®îc c¸c kiÕn thøc bản, từ đó tự khai thác các kiến thức cao hơn, sâu hơn, tạo điều kiện tiếp cận khoa học kỹ thuật đại, tiên tiến Góp phần thực mục tiêu chiến lựơc ngành Giáo dục và Đào tạo nay: "Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài" Lµ gi¸o viªn d¹y to¸n, t«i thÊy r»ng: m«n To¸n cã kh¶ n¨ng to lín ph¸t triÓn trÝ tuÖ häc sinh th«ng qua viÖc rÌn luyÖn c¸c thao t¸c t (Ph©n tÝch, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá và cụ thể hoá) Năng lực lĩnh hội các khái niệm trừu tượng, lực suy luận lôgic và ngôn ngữ nhằm rèn luyện phẩm chất trí tuệ tư dy độc lập, tư sáng tạo Trong n¨m qua, ®îc ph©n c«ng gi¶ng d¹y to¸n líp ë phÇn ®a thøc SGK đề cập đến cộng, trừ đa thức, chứng tỏ giá trị nào đó biến lµ nghiÖm cña ®a thøc (hoÆc kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc), t×m nghiÖm cña đa thức mức độ đơn giản…Do dó, cần phải khai thác thêm các dạng toán phức tạp để tạo hội cho học sinh tư sáng tạo học phần này Từ đó giúp các em học tốt chương trình đại số sau này Lop7.net (2) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm II Mục đích đề tài Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh lớp nắm chắc, đào sâu kiến thøc vÒ phÇn ®a thøc th«ng qua viÖc: + Rèn luyện cho học sinh tư độc lập, sáng tạo + Học sinh biết cách suy luận, lập luận đúng để tìm tòi dự đoán và phát vấn đề + Häc sinh biÕt t×m nhiÒu lêi gi¶i, chän lêi gi¶i hîp lý, khoa häc Néi dung chÝnh: Mét sè vÝ dô: XuÊt ph¸t tõ bµi tËp ë SGK: VÝ dô 1: Cho c¸c ®a thøc A(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - B(x) = x3 + 4x2 + 8x + Chøng tá r»ng: a) x = lµ mét nghiÖm cña ®a thøc A(x) b) x = -1 lµ mét nghiÖm cña ®a thøc B(x) - Häc sinh dÔ dµng chØ ®îc: A(1) = 3.13 - 5.12+ 4.1 - = - + - = B(-1) = (-1)3 + (-1)2 + 8(-1) + = -1 + - + = Từ đó kết luận x = lµ mét nghiÖm cña ®a thøc A(x) x = -1 lµ mét nghiÖm cña ®a thøc B(x) Qua ví dụ này giáo viên có thể nêu câu hỏi gợi mở để học sinh dự đoán, nhËn xÐt vÒ hÖ sè c¸c h¹ng tö cña ®a thøc vµ ®a bµi to¸n míi: VÝ dô 2: Cho ®a thøc f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d Chøng minh r»ng: a) NÕu a + b + c + d = th× x = lµ mét nghiÖm cña ®a thøc f(x) b) NÕu a + c = b + d th× x = -1 lµ mét nghiÖm cña ®a thøc f(x) Với bài toán này cần sử dụng định nghĩa nghiệm đa thức: Lop7.net (3) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm "x = a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) f(a) = 0" a) x = lµ mét nghiÖm cña f(x) f(1) = ThËt vËy, f(1) = a.13 + b.12 + c.1 + d f(1) = a + b + c + d mµ a + b + c + d = (theo gt) f(1) = b) x = -1 lµ mét nghiÖm cña ®a thøc f(x) f(-1) = ThËt vËy, f(-1) = a.(-1)3 + b.(-1)2 + c.(-1) + d f(-1) = -a + b - c + d (1) mµ a + c = b + d (gt) -a - c + b + d = (2) Tõ (1) vµ (2) f(-1) = Qua bµi to¸n nµy, gi¸o viªn cã thÓ tæng qu¸t: " x = lµ mét nghiÖm cña ®a thøc f(x) vµ chØ tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö b»ng 0" " x = -1 lµ mét nghiÖm cña ®a thøc f(x) vµ chØ tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö cã luü thõa bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö cã luü thõa bËc lÎ (xem h¹ng tö tù lµ hÖ sè cña x0)" VÝ dô 3: T×m nghiÖm cña c¸c ®a thøc: M(x) = x2 + 3x + N(x) = x2 - 4x + Häc sinh dÔ dµng nhÈm ®îc x = -1 lµ mét nghiÖm cña ®a thøc M(x) (Vì…….1 + = 3) Vấn đề đặt là tìm các nghiệm còn lại đa thức là nh thÕ nµo ? Giáo viên cần gợi ý để học sinh hiểu x = a là nghiệm f(x) f(x) = (x - a).g(x) Từ đó, học sinh tìm cách giải: a) Ta cã M(x) = x2 + 3x +2 = x2 + x + 2x + = x(x + 1) + 2.(x + 1) = (x + 1) (x + 2) M(x) = (x + 1) (x + 2) = x + = x = -1 x + = x = -1 Lop7.net (4) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm VËy, x = -1, x = -2 lµ nghiÖm cña ®a thøc M(x) b) Ta cã: N(x) = x2 - 4x + = x2 - x - 3x + = x(x - 1) - 3(x - 1) = (x - 1)(x - 3) N(x) = (x - 1)(x - 3) = x-1=0x=1 x-3=0x=3 VËy x = 1, x = lµ nghiÖm cña ®a thøc N(x) Qua ví dụ này, giáo viên gợi mở để học sinh nhận xét được: " Mét ®a thøc víi hÖ sè nguyªn vµ hÖ sè cao nhÊt b»ng th× moÞ nghiÖm nguyªn cña ®a thøc (nÕu cã) lµ íc cña h¹ng tö tù do" VÝ dô 4: Chøng tá r»ng ®a thøc: P(x) = x2- 4x + chia hÕt cho ®a thøc Q(x) = x - Cách 1: Sử dụng phép biến đổi mục b ví dụ 3: P(x) = (x- 1) (x - 3) Học sinh đễ dàng đa thức Q(x) là ước đa thức P(x) Qua đó, giáo viên có thể gợi mở để học sinh hiểu P(x) chia hết cho Q(x) vµ chØ tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña Q(x) còng lµ nghiÖm cña P(x) Ta cã c¸ch gi¶i 2: Q(x) = x - = x = Víi x = 3, ta cã: P(3) = 32 - 4.3 + = - 12 + = VËy ®a thøc P(x) chia hÕt cho ®a thøc Q(x) VÝ dô 5: Chøng tá r»ng biÓu thøc: M= x3 + 6x2 + 3x - 10 x2 +x-2 nguyªn ( Bài toán này chưa đề cập đến điều kiện có nghĩa biểu thức) DÔ thÊy M nguyªn ®a thøc x2 + x - lµ íc cña ®a thøc x3 + 6x2 +3x - 10 Do đó, ta có cách giải sau: §Æt f(x) = x3 + 6x2 + 3x - 10 Lop7.net (5) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm g(x) = x2 + x - g(x) = x2 + x - = (x - 1) (x + 2) = x = hoÆc x = Víi x = 1, ta cã: f(1) = 13 + 6.12 + 3.1 - 10 = Víi x = -2, ta cã: f(-2) = (-2)3 + 6(-2)2 + (-2) - 10 = Do mäi nghiÖm cña g(x) còng lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) Suy ra: f(x) chia hÕt cho g(x) VËy: M= x3 + 6x2 + 3x - 10 x2 + x - nguyªn VÝ dô 6: T×m gi¸ trÞ cña m vµ n, cho: Q= 2x4 - 3x3 + 7x2 - (m + 1)x - n - x2 - 5x + nguyªn VËn dông c¸ch gi¶i vÝ dô 5, häc sinh gi¶i nh sau: §Æt M(x) = 2x4 - 3x3 + 7x2 -(m + 1)x - n - N(x) = x2 - 5x + N(x) = x2 - 5x + = (x - 2)(x - 3) = x = hoÆc x = Q nguyªn M(x) chia hÕt cho N(x) M(2) = M(3) = 2.24 - 3.23 + 7.22 -(m + 1).2 - n - = 2.34 - 3.33 + 7.32 - (m + 1).3 - n - = 33 - 2m - n = (1) 130 - 3m - n = (2) Tõ (1) suy ra: n = 33 - 2m, thay vµo (2) ta cã: Lop7.net (6) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 130 - 3m - (33 - 2m) = m = 97 Thay m = 97 vµo n = 33 - 2m ta ®îc: n = -161 VËy víi m = 97 vµ n = -161 th× biÓu thøc Q nguyªn VÝ dô 7: Tim nghiÖm nguyªn cña ®a thøc: f(x,y) = (x - y) (x + y) - Học sinh đã làm quen với cách tìm a, b nguyên, biết a b = k (kz) đã học lớp NÕu k = a = hoÆc b = NÕu k 0; viÕt k = ki kj (ki, kj lµ íc cña k), ®a vÒ: a = kj b = ki HoÆc a = ki b = kj Từ đó đưa cách giải cho bài tập ví dụ f(x,y) = (x - y) (x + y) - = (x - y) (x + y) = (1) Ta cã: = 1.5 = (-1).(-5) x-y=5 x = 3; y = -2 x+y=1 x-y=1 (1) x = 3; y = x+y=5 x - y = -1 x = -3; y = x + y = -5 x - y = -5 x = -3; y = -2 x + y = -1 VËy ®a thøc f(x,y) cã nghiÖm nguyªn lµ: (x = 3; y = -2); (x = 3; y = 2); (x = -3; y = 2); (x = -3; y = -2) VÝ dô 8: T×m nguyÖn nguyªn cña ®a thøc: g(x,y) = 3x2 + 5xy + 2y2 + Lop7.net (7) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Víi bµi to¸n d¹ng nµy ®a vÒ: 3x2 + 5xy + 2y2 + = 3x2 + 5xy + 2y2 = -7 (3x + 2y) (x + y) = -7 Đến đây bài toán giải tương tự ví dụ * Mét sè bµi to¸n cÇn lu ý thªm: Chøng tá r»ng ®a thøc: f(x) cã Ýt nhÊt hai nghiÖm, biÕt r»ng: xf(x + 1) = (x + 2)f(x) T×m nghiÖm cña ®a thøc: f(x) = 4x2 + 4x + (đề thi khảo sát học sinh khá, giỏi) Cho c¸c ®a thøc: f(x) = x3 - 7x2 - 9x + g(x) = ax + b h(x) = x2 + x - a) Tìm a, b để f(x) = g(x) h(x) b) Có tồn a và b để f(x) = g(x) (x - 1) không ? T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, (bÐ nhÊt) Lop7.net (8)