* Nhaän xeùt: Đối với các ví dụ trên, ta có thể giải được nhiều cách, tuy nhiên ở đây các ví dụ đều chỉ ra sử dụng phương pháp tách hạng tử bx dựa vào cách hướng dẫn ở trên để thực hành [r]
(1)KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn A- PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TAØI Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung chương trình toán, áp dụng nhiều vào giải các bài tập Phương pháp này là công cụ hữu ích cho học sinh quá trình luyện tập như: Rút gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức… không vận dụng giải các bài toán chương trình lớp mà còn vận dụng giải các bài tập các lớp 9, 10 và sau này Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua số năm giảng dạy tôi thấy học sinh sau học còn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử và thường mắc phải sai sót làm bài tập Để giúp học sinh tự học tránh sai sót và định hướng số cách giải gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành nhân tử, đó tôi chọn viết đề tài: “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” để dạy cho học sinh Đề tài gồm phần: Phần A là mở đầu, phần B là nội dung, phần C là kết quả, phần D là kết luận Trong phần nội dung đề tài chủ yếu là các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, phương pháp có ví dụ cụ thể, bài tập tự luyện và có hướng dẫn giải bài tập tự luyện Một số bài tập sử dụng Máy tính bỏ túi để phân tích đa thức thành nhân tử và số ví dụ nhận định số sai sót làm bài tập và hướng khaéc phuïc cho hoïc sinh II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nhằm đào sâu nội dung phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh nắm các phương pháp phân tích, rèn luyện nhiều kĩ giải Toán loại này và nhằm phát triển lực tư duy, lực sáng tạo học sinh Giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức bản, có hệ thống phân tích đa thức thành nhân tử Cho học sinh thấy tầm quan trọng phân tích đa thức thành nhân tử Toán học, rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận sáng tạo người nghiên cứu khoa hoïc III ĐỐI TƯỢNG VAØ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1.Đối tượng nghiên cứu Học sinh hai lớp 8A, 8B trường PTDT Nội trú Than Uyên Nội dung nghiên cứu Lop6.net (2) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hay sử dụng chương trình Toán THCS, áp dụng máy tính Casio fx-570MS vào phân tích đa thức thành nhân tử IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, sách tham khảo, tài liệu có lieân quan Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập học sinh Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập đối tượng học sinh B- NOÄI DUNG CHÍNH PHẦN I: THỰC TRẠNG Thực tế học sinh trường PTDT Nội trú Than Uyên tiếp thu bài còn chậm và vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế Các em còn nhầm lẫn và chưa thành thạo sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử, thời lượng làm bài tập còn ít nên chưa giải dạng toán mở rộng, nâng cao Trong quá trình giải bài tập, đa số học sinh thường mắc các lỗi : Đặt nhân tử chung Chưa vận dụng thành thạo đẳng thức đáng nhớ vào làm bài tập Sử dụng phương pháp nhóm chưa hợp lý Chưa biết cách tách hạng tử Khi gặp đa thức bậc cao, hệ số lớn thì không tìm cách giải Nguyeân nhaân hoïc sinh coøn toàn taïi caùc khuyeát ñieåm treân laø : + Do thời lượng luyện tập chính khóa còn ít, vì học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều + Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu, số học máy móc, hiểu cách đơn giản chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn quá trình laøm baøi taäp PHAÀN II: GIAÛI PHAÙP Đề tài đưa các giải pháp sau: - Sắp xếp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử theo các mức độ, từ dễ đến khó - Xây dựng các phương pháp phân tích để phân tích đa thức thành nhân tử Lop6.net (3) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức + Phương pháp Đặt nhân tử chung + Phương pháp Dùng đẳng thức + Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ + Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) + Chữa các sai lầm thường gặp học sinh giải toán + Củng cố các phép biến đổi và hoàn thiện các kĩ thực hành Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư + Giới thiệu thêm các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Naâng cao) +Tìm tòi cách giải hay, khai thác bài toán ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG Trong đa thức các hạng tử có nhân tử giống thì ta có thể đưa làm nhân tử chung theo công thức sau: A.B + A.C = A(B + C) a/ Caùc ví duï: Ví duï1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x – 6y Giaûi : Ta coù: 3x – 6y = x – 2y = ( x – 2y) Nhận xét : Ở đây nhân tử chung là đó ta có thể đưa ngoài làm nhân tử chung theo công thức A.B + A.C = A(B + C) dạy, cần chú ý học sinh xác định nhân tử chung Sau ví dụ và nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực ví dụ Ví duï2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3(x – y) – 5x(y – x) Giaûi : Ta coù : 3(x – y) – 5x(y – x) = 3(x – y) + 5x (x – y) = (x – y)(3 + 5x) Nhận xét : Ở ví dụ đa thức cần phân tích có hai hạng tử là 3(x – y) và – 5x(y – x) nhìn qua ta chưa thấy nhân tử chung Ta có thể đổi dấu – 5x(y – x) thành 5x (x – y) để xuất nhân tử chung đặt nhân tử chung Lop6.net (4) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn Khi dạy học sinh thông qua ví dụ, giáo viên có thể đưa thêm ví dụ để rèn luyện cho học sinh thành thạo các bước phân tích Ví duï3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y) Giaûi : Ta coù : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y) = 5(x – 2y)2.x – 5(x – 2y).2y (Nhân tử chung đây là 5(x – 2y)) = 5(x – 2y)[x (x – 2y) – 2y] = 5(x – 2y)( x2 – 2xy – 2y) * Nhaän xeùt : Đối với các ví dụ trên sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung giáo viên cần chú ý cho học sinh cách tìm nhân tử chung với đa thức có hệ số nguyên sau : + Hệ số là ƯCLN các hệ số nguyên dương các hạng tử + Các lũy thừa chữ có mặt hạng tử với số mũ lũy thừa là số muõ nhoû nhaát cuûa noù + Một số trường hợp sử dụng quy tắc đổi biến để làm xuất nhân tử chung b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a, 5x – 20y b, x2 + xy – x c, 10x(x – y ) – 8y (y – x ) d, 14x2 – 21xy2 + 28x2y2 Baøi 2: Tìm x bieát x3 + x = Bài 3: Chứng minh n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho với số nguyên n c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: Các bước giải và kết sau: Baøi 1: a, 5x – 20y = 5(x – 4y ) b, x2 + xy – x = x(x + y -1 ) c, 10x(x – y ) – 8y (y – x ) = 2(x –y ).5x + 2(x – y ).4y = 2(x –y )(5x + 4y) d, 14x2 – 21x y2 + 28x2y2 = 7x.2x – 7x.3y2 + 7x.4xy2 = 7x(2x – 3y2 + 4xy2) Baøi 2: Ta coù : x3 + x = x(x2 + ) = x = x2 + = + TH1: x = + TH2: x2 + = (vô lý vì x2 với x) Lop6.net (5) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn Vaäy x = Baøi 3: Ta coù n2(n + 1) + 2n(n + 1) = n n (n + 1) + 2n(n +1) = n( n + 1)(n + 2) Khi n Z thì n( n + 1)(n + 2) laø tích cuûa ba soá nguyeân lieân tieáp neân M2; maø(2,3) =1 đó n( n + 1)(n + 2) M6 DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC Các đẳng thức đáng nhớ : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A + B) (A – B)2 A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2) Phương pháp này chủ yếu là vận dụng các đẳng thức để phân tích, học sinh phải học thuộc các đẳng thức a/ Caùc ví duï: Ví duï1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 6xy + 9y2 Giaûi : Ta coù : x2 – 6xy + 9y2 = x2 – 2.x 3y + (3y)2 = ( x – 3y)2 Nhận xét: Ở đây ta đã viết các hạng tử thứ và thứ ba đa thức dạng lũy thừa để áp dụng đẳng thức bình phương hiệu Qua ví dụ này học sinh chú ý đa thức có ba hạng tử, đó có hai hạng tử viết dạng lũy thừa thì ta nghĩ đến đẳng thức bình phương hiệu bình phương tổng Ví duï2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – Giaûi : Ta coù : x2 – = x2 – ( )2 = (x – )(x + ) Nhận xét: Để áp dụng đẳng thức thì hạng tử thứ hai đa thức phải viết dạng lũy thừa = ( )2.Khi đó đẳng thức sử dụng là hiệu hai bình phöông Lop6.net (6) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn Ví duï3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x – y)2 – (y – t)2 Giaûi : Ta coù : (x – y)2 – (y – t)2 = [(x – y ) + (y – t )][(x – y ) – (y – t )] = (x – y + y – t )(x – y – y + t) = (x – t )(x – 2y + t) Nhận xét : Từ ví dụ trên ta chú ý áp dụng đẳng thức A2 – B2 = (A + B)(A – B) B là đa thức thì viết A – B ta phải dùng thêm dấu ngoặc để không sai dấu b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a, x2 – 4y2 b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 c, 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3 Baøi 2: Tính nhanh a, 1052 – 25 b, 452 + 402 – 152 + 80.45 Bài 3: Rút gọn biểu thức a, ( 3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2 b, (6x + )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + )( 6x - ) c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: Một số bước giải và kết quả: Baøi : a, Baøi 2: a, x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y) b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 = [(3x – y ) + (x + 2y)][(3x – y ) – (x + 2y)] = (3x – y + x + 2y )(3x – y – x – 2y) = (4x + y )(2x – 3y) c, 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + (2x)2y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 1052 – 25 = 1052 – 52 = (105 + 5)(105 – 5) = 110.100 = 11000 b , 452 + 402 – 152 + 80.45 = (452 + 2.40.45 + 402 ) – 152 = (45 + 40)2 – 152 = 852 – 152 = (85 + 15 ) (85– 15) Lop6.net (7) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn = 100 70 = 7000 Baøi 3: a ( 3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2 = [(3x –1) + (2x + 1)]2 = (3x – + 2x + )2 = (5x)2 = 25x2 b (6x + )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + )( 6x - ) = [(6x + ) – ( 6x - )]2 = (6x + – 6x + )2 = NHÓM CÁC HẠNG TỬ a/ Caùc ví duï: Ví duï1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2) – x + Giaûi : Ta coù : 5x(x – 2) – x + = 5x(x – 2) – (x – ) = (x – 2) (5x – 1) Nhận xét : Với ba hạng tử đa thức trên ta có thể nhóm hai hạng tử thứ hai và thứ ba với ta nhân tử chung là x – Ví duï2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – x – y2 – y Giaûi : Ta coù : x2 – x – y2 – y = (x2 – y2) – (x + y ) = (x + y ) (x – y) – (x + y ) = (x + y )(x – y – 1) Nhận xét: Hạng tử thứ và thứ ba là dạng đẳng thức nên ta nhóm hai hạng tử đó với nhau,vậy thì hai hạng tử còn lại nhóm thành nhóm Ví duï3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – y2 + 6x + Giaûi : Ta coù : x2 – y2 + 6x + = (x2 + 6x + 9) – y2 = (x + 3)2 – y2 = (x + + y)(x + – y) Nhận xét : Nếu ta tiếp tục nhóm hai hạng tử thành nhóm thì không phân tích đa thức trên thành nhân tử Như ta có thể nhóm ba hạng tử x2 , 6x , thành Lop6.net (8) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn nhóm để đưa đẳng thức, tiếp tục sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phương để ta phân tích Sau ví duï, giaùo vieân cho hoïc sinh laøm moät soá baøi taäp sau : b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a x2 + 4x – y2 + b 3x2 – 3xy – 5x + 5y c x3 – 2x2 + x – xy2 d x2 – + (x – 2)2 Baøi : Laøm tính chia a (x2 – y2 + 6x + ) : (x + y + 3) b (x2 – 3x + xy – 3y ) : (x + y) Bài : Chứng minh x2 - 2xy + y2 + > với số thực x và y c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: Các bước giải giáo viên mong đợi học sinh thực sau: Baøi : a x2 + 4x – y2 + = (x2 + 4x + 4) – y2 = (x + 2)2 – y2 = (x + + y ) (x + – y) b 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x (x – y) – (x – y) = (x – y) (3x – 5) c x3 – 2x2 + x – xy2 = x(x2 - 2x + – y2) = x[(x2 - 2x + 1) – y2] = x[(x – 1)2 – y2] = x(x – + y )(x – – y) d x2 – + (x – 2)2 = (x – 2)(x + 2) + (x + 2) = (x + ) (x – + ) = (x + ) (x – 1) Baøi 2: a (x2 – y2 + 6x + ) : (x + y + 3) Ta coù : x2 – y2 + 6x + = (x2 + 6x + 9) – y2 = (x + 3)2 – y2 = (x + + y )(x + – y) Do đó (x + + y )(x + – y) : (x + + y ) = x + – y Lop6.net (9) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn b Ta coù: x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y) = x (x – 3) + y(x – 3) = (x – 3) (x + y) Do đó (x – 3x + xy – 3y) : (x + y) = x – Baøi : Ta coù : x2 - 2xy + y2 + = (x2 - 2xy + y2) + = (x – y)2 + Vì (x – y)2 với x, y R nên (x – y)2 + > với x, y R * Nhaän xeùt : Phương pháp nhóm các hạng tử là phương pháp mà học sinh sai sót và nhầm lẫn nhầm từ cách nhóm các hạng tử không hợp lý dẫn đến quá trình phân tích không thực nhóm các hạng tử với mà có dấu trừ thì hay sai dấu, vì maø giaùo vieân caàn chuù yù reøn luyeän kyõ naêng vaän duïng caùch nhoùm cho hoïc sinh TÁCH MỘT HẠNG TỬ THAØNH NHIỀU HẠNG TỬ KHÁC Ởû phương pháp này có nhiều cách tách khác nhau, với tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a 0) có thể tách hạng tử có bậc cao tách hạng tử tự thông thường ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho : b1 + b2 = b b1 b2 = a c Trong thực hành ta có thể làm sau : Bước 1: Tìm tích a.c Bước 2: Phân tích a.c thành tích hai số nguyên cách Bước : Chọn thừa số có tích a.c nói trên mà có tổng b a/ Caùc ví duï : Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 -10x +16 Giaûi : Ta coù x2 -10x +16 = x2 – 2x – 8x + 16 = (x2 – 2x) – (8x – 16) = x(x – ) – 8(x - 2) = (x – 2)(x – 8) Nhận xét : Ở đây ta đã tách -10x thành -2x và -8x, sau đó dùng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - x – Giaûi : Ta coù x2 – x – = x2 – 3x + 2x – = (x2 – 3x )+ (2x – 6) Lop6.net (10) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn = x(x – 3) + 2(x – 3) = (x – 3)(x + 2) Nhận xét : Ở đây ta đã tách -x thành -3x và 2x, sau đó dùng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung Ví duï3 : Tìm x bieát : x2 + 5x + = Để tìm x trước hết ta phân tích đa thức x2 + 5x + thành nhân tử Giaûi : Ta coù x2 + 5x + = x2 + 2x + 3x + = (x2 + 2x )+ (3x + 6) = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3) Neân x + 5x + = (x + 2)(x + 3) = x + = x + = + x + = x = -2 + x + = x = -3 Vaäy x = -2; -3 * Nhaän xeùt: Đối với các ví dụ trên, ta có thể giải nhiều cách, nhiên đây các ví dụ sử dụng phương pháp tách hạng tử bx dựa vào cách hướng dẫn trên để thực hành giải bài toán, nhằm giúp học sinh biết vận dụng phương pháp tách, rèn luyện kỹ sử dụng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung ,đặc biệt phải chú ý đến bước sử dụng phương pháp nhóm đó chính là phối hợp các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử Sau giaùo vieân daïy hoïc sinh thoâng qua ví duï cuï theå cuûa phöông phaùp taùch haïng tử, cho học sinh làm bài tập tự luyện sau: b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a 16x – 5x2– b x2 – 7x + 12 c 2x2 + 3x – d 4x2 – 3x – Bài 2: Chứng minh a x(x – 6) + 10 > b -x2 - x - < Bài : Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức A = x2 – 6x + 11 B = 2x2 + 10x – C = 5x – x2 Lop6.net 10 (11) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: Các lời giải ngắn gọn yêu cầu học sinh thực được: Baøi : a – 5x2 +16x – = -5x2 + 15x + x – = (-5x2 + 15x) + (x – 3) = -5x(x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (-5x + 1) b x – 7x + 12 = x2 – 3x – 4x + 12 = (x2 – 3x) – (4x – 12) = x(x – 3) – 4(x – 3) = (x – )(x – ) c 2x + 3x – = 2x2 + 5x – 2x – = (2x2 + 5x )– (2x + 5) = x(2x + 5) – (2x + 5) = (2x + 5) (x – 1) d 4x2 – 3x – = 4x2 – 4x + x – = (4x2 – 4x)+( x – 1) = 4x(x – 1) + (x – 1) = (x – 1)(4x + 1) Baøi 2: Baøi : a Ta coù x(x – 6) + 10 = x2 – 6x + 10 = x2 – x + 32+ = (x – 3)2 + > x 1 +( )2 + ] 2 = – [(x + ) + ] < b Ta coù -x2 - x - = -[( x2 + 2.x a Ta coù : A = x2 – 6x + 11 = x2 – x + 32+ = (x – 3)2 + Vaäy Amin = taïi x = b B = 2x2 + 10x – = 2(x2+ 5x ) – = 2(x2 + 2.x 25 25 + – ) –1 4 25 ) – –1 2 27 27 =– + 2(x + )2 – 2 = 2(x + Vaäy Bmin = – 27 taïi x = - 2 Lop6.net 11 (12) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn c C = 5x – x2 = - [x2 – 2.x = Vaäy Cmax = 5 25 + ( )2]+ 2 25 25 – (x – )2 4 25 taïi x = * PHỐI HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP: MỘT SỐ BAØI TOÁN CÓ THỂ GIẢI ĐƯỢC NHIỀU CÁCH HOẶC TRONG MỘT CÁCH CÓ PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x2 + 6xy + 3y2– 3z2 Giaûi : Ta coù 3x2 + 6xy + 3y2– 3z2 = 3(x2 + 2xy + y2– z2) (Đặt nhân tử chung ) = [( x2 + 2xy +y2) – z2] (Nhoùm) 2 = 3[(x + y) – z ] ( Dùng đẳng thức ) = 3(x + y + z)(x + y– z) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 -10x +16 Giaûi : Caùch1: Ta coù x2 -10x +16 = x2 – 2x – 8x + 16 (Taùch -10x thaønh -2x vaø -8x) = (x – 2x) – (8x – 16) = x(x – ) – 8(x - 2) (x – 2)(x – 8) Caùch 2: Ta coù x -10x +16 = x2 – – 10x + 20 (Taùch 16 thaønh -4 vaø 20 ) = (x – 4) – (10x – 20) = (x – 2) (x + 2) – 10 (x – 2) = (x – 2) (x + – 10) = (x – 2) (x – 8) Caùch 3: Ta coù x -10x +16 = x2 – 4x + – 6x + 12 (Taùch -10x thaønh -4x vaø -6x ; = (x2 – 4x + 4) – (6x – 12) 16 thaønh vaø 12) = (x – 2)2 – 6(x – 2) = (x – 2) (x – – 6) = (x – 2) (x – ) Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2 – 3x – Giaûi : Caùch1: 4x2 – 3x – = 3x2– 3x + x2 – (Taùch 4x2 thaønh3x2 vaø x2 ) = 3x(x – 1) + (x +1)(x– 1) Lop6.net 12 (13) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn = (x – 1)(3x + x +1) = (x – 1)(4x + 1) Caùch : 4x2 – 3x – = 4x2 – 4x + x – = (4x2 – 4x) + ( x – 1) = 4x(x – 1) + (x – 1) = (x – 1)(4x + 1) (Taùch -3x thaønh -4x vaø x) Caùch : 4x2 – 3x – = 4x2– – 3x + (Taùch -1 thaønh -4 vaø 3) = 4(x – 1) – 3( x –1) = 4(x – 1)(x + 1) – (x – 1) = (x – 1)(4x + 1) * Nhaän xeùt : Một bài toán có thể có nhiều lời giải khác cuối cùng có chung keát quaû Nhö vaäy caùc tieát luyeän taäp, giaùo vieân coù theå cho hoïc sinh giaûi moät soá baøi taäp các dạng khác nhau, sử dụng các phương pháp khác nhau, sau đó nhận xét và so sánh, lời giaûi naøo hay vaø ngaén goïn Giaùo vieân cho hoïc sinh laøm moät soá baøi taäp sau : b/ Bài tập tự luyện : Bài : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a x3 – 2x2y + xy2 – 9x b 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 c x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y Baøi : Tìm x bieát a 7x – 6x2 – = b 16x – 5x2 – = c 2x2 + 3x – = HEÄ SOÁ BAÁT ÑÒNH Mệnh đề : Nếu hai đa thức A và B thì các hạng tử cùng bậc hai đa thức đó phaûi coù heä soá baèng a/ Caùc ví duï: Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x3 – 5x2 + 8x – Giaûi : Ta coù 2x3 – 5x2 + 8x – = 2x3 – x2 – x2+ 2x + 6x – = (2x3 – x2) – (4 x2– 2x) + (6x – 3) Lop6.net 13 (14) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn = x2(2x – 1) – 2x(2x – 1) + 3(2x – 1) = (2x – 1) (x2– 2x+ 3) Nhận xét : Đa thức bậc ba ví dụ phân tích thành tích mộtt nhị thức bậc và tam thức bậc hai, đó ta còn có cách giải tổng quát sau : Với đa thức bậc : a1x3 + b1x2 + c1x + d1 (a1 0) ta luôn phân tích thành tích nhị thức bậc và tam thức bậc hai sau : a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = (ax + b ) (cx2 + dx + m) (*) a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm ac a1 ad bc b Đồng các hệ số với ta được: am bd c1 bm d1 Giải ta tìm các giá trị a, b, c, d, m, thay vào vế phải (*) ta có kết cần tìm Aùp dụng : Bài toán ví dụ 1ta có cách giải khác sau : Ta coù 2x3 – 5x2 + 8x – = (ax + b ) (cx2 + dx + m) 2x3 – 5x2 + 8x – = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm Đồng thức ta có : ac = 2, ad + bc = -5, am + bd = 8, bm = -3 Giả thiết a > (nếu a < thì ta đổi dấu hai nhân tử ) đó a = a = Xeùt a = c = 1, 2d +b = -5 , 2m + bd = , bm = -3 , b coù theå baèng 1; Xeùt b = -1 thì m = , d = -2 thoûa maõn caùc ñieàu kieän treân Vaäy a = 2, c = 1, b = -1, m = 3, d = -2 ta coù : 2x3 – 5x2 + 8x – = (2x – 1)(x2 – 2x + 3) Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3+ 3x2 + 3x + Giaûi: Ñaët x3 + 3x2 + 3x + = (ax + b ) (cx2 + dx + m) x3 + 3x2 + 3x + = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm ac ad bc Đồng thức ta có: am bd bm Giả thiết a > (nếu a < thì ta đổi dấu hai nhân tử ) đó a = Xeùt a = c = 1, d + b = , m + bd = , bm = , b coù theå baèng ; Xeùt b = thì m =1, d = thoûa maõn caùc ñieàu kieän treân Vaäy a =1, c = 1, b = 2, m = 1, d = ta coù : x3 + 3x2 + 3x + = (x + 2)(x2 + x + 1) Lop6.net 14 (15) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn * Nhaän xeùt: Khi sử dụng phương pháp hệ số bất định dựa vào mối quan hệ các hệ số để ta đưa các giá trị tương ứng a,c từ đó ta tìm các giá trị các hệ số còn lại b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử phương pháp dùng hệ số bất định a 2x3 – 12x2 + 17x – b 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + Bài : Tìm số nguyên a cho đa thức (x + a)(x – 5) + phân tích thành (x + b)(x + c) với b, c là các số nguyên Bài 3: Tìm số nguyên m cho đa thức (x + m)(x + 5) + phân tích thành (x + a)(x + b) với a, b là các số nguyên c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: Các lời giải mong đợi học sinh trình bầy được: Baøi : a Đồng đa thức này với đa thức cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm ta : ac = 2, ad + bc = -12, am + bd = 17, bm = -2 Giả thiết a > (nếu a < thì ta đổi dấu hai nhân tử ) đó a = a = Xeùt a = c = 2, d + 2b = -12 , m + bd = 17, bm = -2, b coù theå baèng ; Xeùt b = -2 thì m = 1, d = -8, thoûa maõn caùc ñieàu kieän treân Vaäy a = 1, b = -2,c = 2, d = -8, m = 2x3 – 12x2 + 17x – = (x – 2)(2x2 – 8x + 1) b Đa thức 3x2 – 22xy– 4x + 8y + 7y2 + phân tích thành nhân tử có dạng (3x + ay + b)(x + cy + d) Pheùp nhaân naøy cho ta keát quaû 3x2 + (3c + a)xy + (3d +b)x + (ad + cb)y + acy2 + bd Đồng đa thức với đa thức 3x2 –22xy– 4x + 8y + 7y2 + ta : 3c + a = -22; 3d + b = -4 ; ad + cb = 8; ac = 7; bd = Từ bd = và 3d + b = -4 nên b = d = -1 ac = mà a + c = -8 nên c = -7, a = -1 Thoûa maõn 3c + a = -22 Vaäy a = b = d = -1; c = -7 Neân 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + = (3x - y - 1)(x - 7y - 1) Baøi : Với x ta có (x + a)(x – 5) + = (x + b)(x + c) (1) Khi x = thì = (5 + b)(5 + c) Vì b, c là nguyên nên (5 + b)(5 + c) là tích hai số nguyên Số viết dạng tích hai số nguyên hai cách 1.2 (-1).(-2) Giả sử b c ta xét hai trường hợp : * 5 b b 4 5 c c 3 Lop6.net 15 (16) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn Thay vào (1) ta dược (x + a)(x – 5) + = (x – 3)(x – 4) với x Với x = thì a = -2 Vậy đa thức phân tích thành (x – 2)(x – 5) + = (x – 4)(x – 3) * 5 b 2 b 7 5 c 1 c 6 Thay vào (1) ta (x + a)(x – 5) + = (x – 7)(x – 6) với x Với x = thì a = -8 Vậy đa thức phân tích thành (x – 8)(x – 5) + = (x – 7)(x – 6) Baøi 3: Bài này giáo viên yêu cầu học sinh tự giải Kết quả: (x + 9)(x + 5) + = (x + 8)(x + 6) với m = (x +1)(x + 5) + = (x + 2)(x + 4) với m = ÑAËT BIEÁN SOÁ PHUÏ Phân tích đa thức thành nhân tử đôi ta phải dùng biến phụ việc phân tích ñôn giaûn hôn a/ Caùc ví duï : Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) +128 Giaûi : Ta coù A = x(x +10)(x + 4)(x + 6) +128 = (x2 + 10x )(x2 + 10x + 24) +128 Đặt x2 + 10x + 12 = y Khi đó đa thức đã cho trở thành : (y – 12)(y +12) +128 = y2 -144 +128 = y2 - 16 = (y - 4)(y + 4) = (x2 + 10x + 8)(x2 + 10x + 16) Nhận xét : Ở đây ta đã dùng biến phụ là y = x2 + 10x + 12 Như dùng biến phụ để phân tích đa thức thành nhân tử thì sau phân tích xong ta phải đổi biến cũ * Ta có bài toán tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A* = (x + a) (x + b )(x + c)(x + d) + m - Đối với bài toán này thường dùng phương pháp đặt biến số phụ chú ý : + Khi a + b = c + d thì ta gheùp [(x + a)(x + b)] ; [(x + c )(x + d)] Lop6.net 16 (17) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn vaø ñaët y = x2 + (a + b)x + ab cd + Khi a + c = b + d thì ta gheùp [(x + a)(x + c)] ; [(x + b)(x + d)] vaø ñaët y = x2 + (a + c)x + ac bd + Khi a + d = b + c thì ta gheùp [(x + a)(x + d)] ; [(x + b)(x + c)] Vaø ñaët y = x2 + (a + d)x + ad bc Aùp dụng bài toán tổng quát giáo viên cho học sinh làm ví dụ sau : Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử x(x – 1)(x + 1)(x + 2) – 24 Giaûi : Ta coù A = [x(x + 1)][(x – 1)(x + 2)] – 24 (Do + = -1+ 2) = (x2 + x )(x2 + x – 2) – 24 Đặt x2 + x – = y Đa thức đã cho có dạng : (y +1) (y – 1) – 24 = y2– – 24 = y2– 25 = (y – 5)(y + 5) = (x2 + x + – 5)(x2 + x + + 5) = (x2 + x – 4)( x2 + x + 6) b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72 b (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 c (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 Baøi : Giaûi phöông trình (6x + )2(3x + 4) ( x + 1) = Baøi : Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: Các bước giải và kết cần hướng dẫn cho học sinh: Baøi 1: a Ta coù : (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72 = (x2 – 4)( x2 – 10) – 72 Đặt x2 – = y, đa thức trên trở thành : (y – 3)( y + 3) – 72 = y2 – – 72 = y2 – 81 = (y – )(y + 9) Vaäy (x + 2) (x – 2)( x – 10) – 72 = (x2 – + 9) (x2 – – 9) = (x2 + ) (x2 – 16) = (x2 + 2) (x + 4) (x – 4) Lop6.net 17 (18) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn b (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = [(x – 7) (x – 2)][ (x – 5) (x – 4) ] - 72 = (x2 – 9x + 14)( x2 – 9x + 20) - 72 Đặt x2 – 9x + 17 = y Đa thức trở thành (y – 3)(y + 3) – 72 Làm tương tự câu a ta kết sau: (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = (x2 – 9x + 26)( x2 – 9x + 8) = (x2 – 9x + 26)(x – 8) (x – 1) c Ñaët a – b = x ; b – c = y; c – a = z suy x + y + z = hay z = -(x + y) Từ đó đa thức có dạng : x3 + y3 + z3 = x3 + y3 – (x + y)3 = (x + y)(x2 – xy + y2) – (x + y)(x2 + 2xy + y2) = (x + y)[(x2 – xy + y2) – (x2 + 2xy + y2) = (x + y)(x2 –xy + y2 – x2 – 2xy – y2 ) = -3xy(x + y) = 3xyz Vaäy B = 3(a – b)(b – c)(c – a) Qua baøi treân ta suy : Neáu coù X + Y + Z = ta luoân coù X3 + Y3 + X3 = 3XYZ Baøi : Giaûi phöông trình (6x + )2(3x + 4) ( x + 1) = (6x + )2(3x + 4) ( x + 1) 12 = 12 (6x + )2(6x + 8) ( 6x + 6) = 72 Đặt 6x + = y, phương trình trở thành y2(y + 1)( y – 1) = 72 y4 – y2 – 72 = y4 – 9y2 + 8y – 72 = y2(y2 – 9) + 8(y2 – 9) = (y2 – 9)(y2 + 8) = y = -3 y = 5 2 Với y = x = Với y = -3 x = Vaäy phöông trình coù nghieäm laø Baøi : 5 2 vaø 3 Ta coù : A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = [(x – 1)(x + 6)][( x + 2)(x + 3)] = (x2 + 5x – 6)( x2 + 5x + 6) Đặt x2 + 5x = y đó A = y2 – 36 -36 Amin = -36 x2 + 5x = x = , x = -5 Lop6.net 18 (19) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn ÁP DỤNG THỰC HAØNH : Sử dụng Máy tính bỏ túi Casio fx-570MS để phân tích đa thức thành nhân tử Kiến thức cần nhớ: Định lý (Định lý Bơdu) : (Nhà toán học Pháp Bezout 1730-1783) Đa thức f(x) Mx – c f(c) = Số c gọi là nghiệm đa thức f(x) đó f(x) phân tích f(x) = (x – a ).g(x) Trong đó g(x) là đa thức có bậc nhỏ đơn vị so với bậc đa thức f(x) Định lý : Cho đa thức bậc n , f(x) = anxn + an-1xn-1 +…….+ ao có n nghiệm là c1, c2, c3,…cn thì f(x) phân tích thành nhân tử là f(x) = an(x –c1)(x –c2)….(x –cn) (Vì lý sư phạm nên ta công nhận không chứng minh hai định lý trên ) Do máy tính Casio fx-570MS có chức giải phương trình, nên ta có thể dạy học sinh biết cách sử dụng máy đểø tìm nghiệm phương trình, từ đó áp dụng vào phân tích đa thức thành nhân tử a/ Caùc ví duï : Ví duï1 : Cho đa thức P(x) = 2x2 + 4x – a/ Tìm x để P(x) = b/ Em hãy phân tích P(x) thành nhân tử Giaûi : a/ P(x) = 2x2 + 4x – = Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm P(x) dãy phím sau: MODE (EQN) > (Degree) 2 () maùy cho keát quaû x1 = 1, aán tieáp maùy cho keát quaû x2 = -3 Vaäy x = ; -3 thì P(x) = b/ Ta nhận thấy P(x) có hai nghiệm là 1; -3 nên P(x) phân tích thành nhân tử là : P(x) = 2(x – 1) (x + 3) Ví duï2 : Cho đa thức f(x) = 5x3 – 10x2 – 25x + 30 Lop6.net 19 (20) KiÒu ViÖt TuÊn - PTDT Néi tró Than Uyªn a/ Tìm x để f(x) = b/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử Giaûi : a/ Để f(x) = thì 5x3 – 10x2 – 25x + 30 = Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm P(x) dãy phím sau: MODE (EQN) > (Degree) () () maùy cho keát quaû x1 = -2, aán tieáp maùy cho keát quaû x2 =1, aán tieáp maùy cho keát quaû x3 = Vaäy x = -2; 1; thì f(x) = b/ Theo câu a, f(x) có nghiệm là x = -2; 1; nên f(x) phân tích thành nhân tử sau: f(x) = 5(x + 2)(x – 1)(x – 3) Ví duï3 : Cho f(x) = x3 – 3x2 – 3x – a/ Tìm x để f(x) = b/ Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử Giaûi : a/ f(x) = x3 – 3x2 – 3x – = Quy trình bấm phím giống các ví dụ trên ta tìm nghiệm là x = b/ Theo caâu a thì f(x) coù nghieäm laø Dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc để tìm đa thức thương ta có: x -3 -3 -4 1 Vaäy x3 – 3x2 – 3x – = (x – 4)(x2+ x +1) Ví dụ4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử f(x) = 10x5 – 81x4 + 90x3 – 102x2 + 80x - 21 Giải : Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm nghiệm f(x) cách nhập f(x) vào máy baèng daõy phím sau: 1 x ^ ALPHA x ^ ALPHA đó ấn tiếp SHIFT SOLVE SHIFT x ^ ALPHA x aán tieáp ALPHA ALPHA ALPHA x ^ SOLVE chờ chút máy cho kết x = sau Dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc để tìm đa thức thương , ta có: x 10 -81 90 Lop6.net 20 -102 80 -21 (21)