Đang tải... (xem toàn văn)
+ Ba đường cao của một tam giác đồng qui tại một điểm .Điểm này gọi là trực tâm cña tam gi¸c * Trong tam giác cân đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao , đường phân gi[r]
(1)Chủ đề : Thèng kª – tam gi¸c A.Thèng kª : I Thu thập số liệu thống kê, bảng tần số các giá trị dấu hiệu,Biểu đồ I.1 KiÕn thøc c¬ b¶n 1.Vấn đề hay tượng mà người điều tra cần quan tâm tìm hiểu gọi là dấu hiệu.Dấu hiêụ thường kí hiệu chữ X , Y C¸c sè liÖu thu thËp ®îc ®iÒu tra vÒ mét dÊu hiÖu gäi lµ dÊu liÖu thèng kª.Mçi sè liÖu lµ mét gi¸ trÞ cña dÊu hiÖu 3.Số tất các giá trị (không thiết phải khác ) dấu hiệu số các đơn vÞ ®iÒu tra 4.Số lần xuất cuaá trị dãy giá trị dấu hiệu kà tần số giá trị đó (kí hiËu lµ n ) Tõ b¶ng thu thËp sè liËu ®iÒu tra ban ®Çu cã thÓ lËp b¶ng “ tÇn sè “ B¶ng tÇn sè giúp người điều tra dễ có nhận xét chung phân phối các giá trị dấu hiÖu vµ tiÖn lîi cho sù tÝnh to¸n sau nµy 6.Để có hình ảnh rõ ràng dấu hiệu X người ta dùng các biểu đồ ,Biểu đồ đoạn thẳng , biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt II.2 Bµi tËp Trong chơi lớp 7A sân trường, đo chiều cao 18 em nữ cách ngẫu nhiên, ta thu kết sau ( đơn vị cm ) 137 140 142 142 147 141 140 144 142 140 139 141 143 138 141 145 142 143 a) Dấu hiệu mà người điều tra quan tâm là gì ? có bao nhiêu giá trị ? b) Có bao nhiêu giá trị khác dãy giá trị dấu hiệu đó ? c) ViÕt c¸c gi¸ trÞ kh¸c cña dÊu hiÖu vµ tÇn sè cña chóng ? Tæng sè ®iÓm m«n thi cña c¸c häc sinh mét phßng ®îc cho nh sau 32 30 22 30 30 22 31 35 35 19 28 22 30 39 32 30 30 30 31 28 35 30 22 28 a) dÊu hiÖu ë ®©y lµ g× ?sè tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ lµ bao nhiªu ? b) LËp b¶ng tÇn sè c) từ bảng tần số hãy biểu diễn biểu đồ hình chữ nhật ? Thống kê mức tiêu thụ điện 20 gia đình sau : ( đơn vị là kw/h ) 200 180 190 180 150 136 100 95 96 120 110 130 140 200 120 136 100 96 100 120 a) TÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña dÊu hiÖu lµ bao nhiªu? Lop7.net (2) b) lËp b¶ng tÇn sè ? Sau điều tra trình độ văn hoá nhà xuất thu kết sau: 30% c¸n bé häc hÕt cÊp THCS 20% c¸n bé häc hÕt cÊp PTTH 50% cán học hết đại học Biết tổng số cán nhà xuất là 100 người.Hãy lập biểu đồ đoạn thẳng và biểu đồ hình quạt từ số liệu điều tra trên Thống kê số học sinh số lớp trường THCS ta có bảng số liệu sau: Líp 6A 6B 6C 6D 7A 7B 7C 7D Sè häc sinh 48 48 47 49 50 49 49 50 a) H·y lËp b¶ng "tÇn sè "víi c¸c gi¸ trÞ cña dÊu hiÖu b) Căn vào bảng tần số, vẽ biểu đồ hình chữ nhật II Hướng dẫn giải a) Dấu hiệu mà người điều tra quan tâm là: ChiÒu cao cña häc sinh n÷ cña líp 7A Cã tÊt c¶ 18 gi¸ trÞ b) có 10 giá trị khác 18 giá trị dấu hiệu đó c) 137 138 139 140 141 142 143 144 145 1 3 1 n 147 a) DÊu hiÖu lµ tæng sè ®iÓm thi cña mçi häc sinh Cã tÊt c¶ 24 gi¸ trÞ b) B¶ng "tÇn sè" §iÓm sè (x) 19 Sè häc sinh (n) c) Biểu đồ 22 28 30 31 32 35 39 2 Lop7.net N = 24 (3) Cã tÊt c¶ 20 gi¸ trÞ cña dÊu hiÖu Cã tÊt c¶ 12 gi¸ trÞ kh¸c : 95, 96, 100, 110, 120,130,136,140,150,180,190,200 Tần số các giá trị này là : 1; 2; ; 1; 3; ; 2; ; 1; 2; ; Sè c¸n bé häc hÕt cÊp THCS lµ : 30% 100 = 30 (người) Sè c¸n bé häc hÕt cÊp PTTH lµ : 20% 100 = 20 (người) Số cán học hết đại họclà : 50% 100 = 50 (người) Với số liệu trên ta lập biểu đồ đoạn thẳng: y^ 50 §h 50% 30 20 o PTTH 20% thsc ptth ®h > x Biểu đồ hình quạt Biểu đồ đoạn thẳng 5.a) B¶ng tÇn sè x 47 n b) Biểu đồ hình chữ nhật THCS 30% 48 49 50 y ^Sè líp Sè häc sÞnh > x o II Sè trung b×nh céng Mèt: A KiÕn thøc c¬ b¶n Sè trung b×nh céng cña mét dÊu hiÖu (KÝ hiÖu X ) ®îc tÝnh tõ b¶ng tÇn sã theo các bước sau: Nhân giá trị với tần số tương ứng Céng c¸c tÝch võa t×m ®îc Chia tổng đó cho số các giá trị (tổng các tần số) C«ng thøc sè trung b×nh céng Gi¶ sö dÊu hiÖu X cã k gi¸ trÞ lµ x1 , x2 , x3, , xk vµ k tÇn sè lµ f1 , f2 , , fk th× ta cã c«ng thøc: X x1 f1 x2 f xk f k N ý nghÜa cña sè trung b×nh céng Lop7.net (4) Số trung bình cộng X thường đại diện cho dấu hiệu , đặc biệt là muốn so sánh các đơn vị cùng loại Nếu dấu hiệu có khoảng chênh lệch quá lớn thì X khó có thể "đại diện" cho các giá trị dấu hiệu đó Mèt lµ gi¸ trÞ cã tÇn sè lín nhÊt b¶ng "tÇn sè" B.Bµi tËp Đo chiều cao 50 em lứa tuổi 14 - 15 ta các số liệu sau (đơn vị : cm) x 138 140 142 144 146 148 150 152 n 11 5 N=50 H·y tÝn sè trung b×nh céng cña c¸c gi¸ trÞ cña dÊu hiÖu trªn T×m mèt cña b¶ng trªn Theo dâi vËn tèc cña mét ®oµn tµu háa 10 giê , kÕt qu¶ nh sau : Sè thø tù giê 10 tµu ch¹y Qu·ng ®êng 55 58 56 60 57 59 60 57 58 tµu ®i ®îc Tõ b¶ng sè liÖu trªn h·y : a) LËp b¶ng tÇn sè b) TÝnh vËn tèc trung b×nh cña tµu háa Mười đội bóng tham gia giải bóng đá.Mỗi đội phải đá lượt và lượt với đội khác a) Cã tÊt c¶ bao nhiªu trËn toµn gi¶i b) Số bàn thắng các trận đấu toàn giải ghi bảng sau: Sè bµn th¾ng(x) TÇn sè (n) 12 16 20 12 T×m sè bµn th¾ng trung b×nh mét trËn cña c¶ gi¶i c) T×m mèt Cho b¶ng " tÇn sè" c¸c gi¸ trÞ cña dÊu hiÖu X Gi¸ trÞ (x) x1 x2 x3 xk TÇn sè(n) n1 n2 n3 nk N= 20 a) TÝnh sè trung b×nh céng b) Nếu giá trị dấu hiệu tăng lên lần thì số trung bình cộng thay đổi nµo? c) Nếu giá trị dấu hiệu tăng lên đơn vị thì số trung bình cộng thay đổi nµo? Lop7.net (5) II Hướng dẫn giải: Gi¸ trÞ (x) TÇn sè(n) 138 11 140 142 144 146 148 150 152 n = 50 C¸c tÝch 1518 840 1278 1008 730 740 600 456 Tæng 7170 X = 7170 143, 50 Mèt lµ 138 cm Giải tương tự bài X = 57,5(km/h) 3.a) cã tÊt c¶ 90 trËn b) Giải tương tự bài X = bàn c) Mèt cña b¶ng tÇn sè lµ a) X x1 f1 x2 f xk f k N b) Gäi Y lµ sè trung b×nh céng míi Y (2 x1 ).n1 (2 x2 ).n2 (2 xk ).nk x f x f xk f k = 1 2 = X N N VËy sè trung b×nh céng míi t¨ng lªn lÇn c) Gäi Z lµ sè trung b×nh céng míi ( x1 5)n1 ( x2 5)n2 ( xk 5)nk N x n x n xk nk 5(n1 n2 nk ) 1 2 N N X 5 Z B Tam gi¸c I Các trường hợp tam giác I KiÕn thøc c¬ b¶n: 1.Trường hợp thứ tam giác: cạnh - cạnh - cạnh (c - c- c) Nếu ba cạnh tam giác này ba cạnh tam giác thì hai tam giác đó b»ng .Trường hợp thứ hai tam giác : cạnh -góc cạnh (c -g- c) NÕu hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gi¸c nµy b»ng hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam giác thì hai tam giác đó .Trường hợp thứ ba tam giác : góc- cạnh -góc (g-c-g) NÕu mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam giác thì hai tam giác đó I Bµi tËp Lop7.net (6) Quan sát hình và chọn kết đúng tam giác nhau: a) SPT vµ RST b) SPT vµ QPT c) RQT vµ RST d) RQT vµ RST e) STP vµ RTQ Trong các hình đây, hình nào không chứa hai tam giác ? a) H×nh ch÷ nhËt d) H×nh b×nh hµnh b) H×nh vu«ng e) H×nh thang c) H×nh thoi CD là đường trung trực AB , giao điểm CD và AB là M Xét mệnh đề * CAM = CBM * CMA lµ mét tam gi¸c vu«ng * ABC lµ mét tam gi¸c cã CA = CB Hãy chọn mệnh đề đúng a) ChØ c) vµ b) vµ d) Cả mệnh đề trên đúng Cho tam gi¸c ABC vµ ABD cã AB = BC = CA = cm; AD = BD = cm (C,D nằm khác phía AB) A A Chøng minh r»ng CAD CBD Hai ®o¹n th¼ng AB vµ CD c¾t t¹i trung ®iÓm O cña mçi ®o¹n th¼ng Chøng minh r»ng AC // BD Cho ABC cã OA = OB Tia ph©n gi¸c gãc O c¾t AB ë D Chøng minh r»ng a) DA = DB b) OD AB Để chứng minh đoạn thẳng (2 góc) ta thường làm nào? I Hướng dẫn giải Chän e : STP vµ RTQ Chän e : H×nh thang Chọn d : Cả mệnh đề trên (H×nh bªn) CAD vµ CBD cã CD : C¹nh chung AC = BC (gt) AD = BD (gt) A A Do đó CAD = CBD (c.c.c) CAD ( cặp góc tương ứng) CBD AOC = BOD ( c-g - c ) AA B A ( Cặp góc có cạnh tương ứng ) a c o Hai ®êng th¼ng AC vµ BD t¹o víi AB hai gãc so le b»ng AA BA d nªn AC //BD b 7) a) AOD vµ BOD OD lµ c¹nh chung oA1 oA2 ( OD lµ tia ph©n gi¸c gãc D ) OA = OB ( gt ) Do đó AOD = BOD DA = DB ( cặp góc tương ứng ) A D A 90 o b) AOD = BOD c©u a D Lop7.net (7) VËy OD AB a) Ta đã biết hai tam giác thì suy các cặp cạnh tương ứng nhau, các cặp góc tương ứng Đó chính là lợi ích việc chứng minh hai tam giác Vì để chứng minh hai đoạn thẳng ( hay hai góc ) ta thường làm theo các bước sau : Bước : Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc ) đó là hai đoạn thẳng (hay hai góc ) thuéc tam gi¸c nµo Bước : chứng minh hai tam giác đó Bước : suy cặp cạnh ( hay cặp góc ) tương ứng II.tam giác cân - định lí py ta go II.1.KiÕn thøc c¬ b¶n 1.§Þnh nghÜa : tam gi¸c c©n lµ tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng - Hai c¹nh b»ng lµ hai c¹nh bªn - Cạnh còn lại là cạnh đáy Đặc biệt : tam giác là tam giác có cạnh 2.TÝnh chÊt : Trong tam giác cân hai góc đáy §Æc biÖt : Trong tam gi¸c vu«ng c©n ,mçi gãc nhän b»ng 450 Trong tam giác góc 600 3.DÊu hiÖu nhËn biÕt Tam gi¸c cã gãc b»ng lµ tam gi¸c c©n Đặc biệt : Tam giác có ba góc là tam giác Tam giác có hai góc 600 là tam giác Tam giác cân có góc 600 là tam giác đêu 4.Trong tam giác vuông bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh gãc vu«ng Đảo lại : Nếu tam giác có bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh thì tam giác đó là tam giác vuông c A 90 a2 + b2 = c ABC cã A a b a c b II.2 Bµi tËp a) Tính góc đáy tam giác cân biết góc đỉnh 800 ,bằng a0 b) Tính góc đỉnh tam giác cân biết góc đáy 500 , a TÝnh c¸c gãc cßn l¹i cña mét tam gi¸c c©n biÕt biÕt tam gi¸c c©n nµy cã mét gãc b»ng a) 1100 b) a0 Cho ABC vu«ng t¹i A ,trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M vµ N cho BM = BA ; A CN = CA TÝnh MAN ? Một cây tre cao m ,bị gãy ngang thân ,ngọn cây chạm đát cách gốc 3m Hỏi ®iÓm g·y c¸ch gèc bao nhiªu ? d T×m sè ®o c¸c gãc cña tam gi¸c ACD trªn h×nh bªn b a Lop7.net c (8) TÝnh ®êng chÐo cña mét mÆt bµn h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi 10dm ; chiÒu réng dm II.3 : Hướng dẫn giải: a) §¸p sè : 0 180 80 0 180 a 50 ; 2 b) §¸p sè : 1800 - 50 0.2 = 800 ; 1800 - a0 2.a) Góc 1100 không thể là góc đáy tam giác cân vì thì tổng góc lớn 1800 Vậy góc 1100 là góc đỉnh góc đáy = 350 b) Nếu 900 ≤ a <1800 thì góc đỉnh là a , góc đáy là (1800 - a) : NÕu a< 900 th× Góc đỉnh có thể là a góc đáy là (1800 - a) : Góc đáy có thể là a góc đỉnh là (1800 -2 a) Gãc MAN = 450 §iÓm gÉy c¸ch gèc m A 90 ; D A 22,50 ; ACD A Cã A 67,50 §é dµi ®êng chÐo mÆt bµn lµ 125 11, 2(dm) III Các trường hợp tam giác vuông III KiÕn thøc c¬ b¶n: Hai c¹nh gãc vu«ng 2.C¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy 3.C¹nh huyÒn - gãc nhän C¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng III Bµi tËp: Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AM còng lµ ph©n gi¸c Chøng minh tam gi¸c ABC c©n A Gi¶i VÏ MH AB ; MK AC HAM = KAM (c¹nh huyÒn - gãc nhän) MH = MK H K HAM = KAM (c¹nh huyÒn - c¹nh gãc vu«ng) A BA C b c M VËy tam gi¸c ABC c©n t¹i A 2.Cho ABC = ADC Khẳng định nào sau đây là không đúng a) AC lµ trung trùc cña BD A DAC A b) ABC c) AB =AD d) AC lµ ph©n gi¸c gãc BAD Khẳng định không đúng là b) a Gi¶i: b 3.Xem hình sau cho biết khẳng định nào đây là đúng a) ABC = ADC (c.c.c) b) ABC = ADC (c.g.c) c) ABC = ADC (g.c.g) Lop7.net c d (9) d) ABC = ADC (c¹nh huyÒn c¹nh gãc vu«ng) Gi¶i: Khẳng định đúng là d) a b d Chủ đề : Biểu thức đại số I Ví dụ biểu thức đại số - giá trị biểu thức đại số c I KiÕn thøc c¬ b¶n Biểu thức đại số là biểu thức đó chứa các số các chữ và các phép toán các số , các chữ đó Những chữ biểu thức đại số có thể là số (thường dùng các chữ a, b,c ) có thể là biến số(thường dùng các chữ x ,y,z ) Biểu thức đại số không chứa biến mẫu gọi là biểu thức nguyên , biểu thức đại số chøa biÕn ë mÉu gäi lµ biÓu thøc ph©n Muốn tính giá trị biểu thức đại số biết giá trị các biến biểu thức đã cho , ta thay giá trị các biến vào thực phép tính Một biểu thức nguyên xác định giá trị biến Một biểu thức phân không xác định giá trị biến làm cho mẫu số I Bµi tËp Viết biểu thức diễn đạt các ý sau: a) Tổng lập phương số x và y b) Lập phương tổng số x và y c) Hiệu lập phương số x và y chia cho lần tích chúng ( x 0; y ) d) Lập phương hiệu số x và y chia cho tổng số đó ( x y ) Trong c¸c biÓu thøc ë bµi tËp trªn biÓu thøc nµo lµ biÕn thøc nguyªn ? BiÓu thøc nµo lµ biÓu thøc ph©n T×m c¸c gi¸ trÞ kh«ng thÝch hîp cña c¸c biÕn x vµ y c¸c biÓu thøc sau: a) x2 6x xy ; b) ; c) ( x 1)( y 1) xy y xy 4.Xác định giá trị biến để các biểu thức sau có nghĩa: a) x 1 x 1 ax by c ; b) ; c) x 2 x 1 xy y TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x 3x t ¹ix 1 x2 b)N x y 7t ¹ix 1; y a) M TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P x 3y x y biÕt ( y 0) x 3y 18 Tìm các giá trị biến để : a) BiÓu thøc (x+1)(y2 - 6) cã gi¸ trÞ b»ng b) BiÓu thøc (x2 -12x + ) cã gi¸ trÞ lín h¬n a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt (GTNN) cña biÓu thøc: C = (x + 2)2 + (y- )2 - 10 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt (GTLN) cña biÓu thøc: Lop7.net (10) B= x2 y2 x2 y2 I Hướng dẫn giải a) x3 + y b) (x + y )3 c) x y3 ( x 0; y 0) xy d) ( x y )3 ( x y 0) xy BiÓu thøc nguyªn :a) vµ b) BiÓu thøc ph©n :c) vµ d) a) x = 1; y = b) 6x 6x xy y y( x 3) Gi¸ trÞ kh«ng thÝch hîp cña hai biÕn lµ : y = ; x = c) Gi¸ trÞ kh«ng thÝch hîp lµ x = y a)x R; x b)x R (dox 0) x c) xy y y( x 2) y VËyx R; y R; x 2; y 5a) M = -3 t¹i x = -1 b) N= t¹i x = -1; y = 6.) P = 1/7 (y 0) a) x 1 y x 12 b) x a) GTNN cña C = -10 x= -2 ; y =1/5 b) GTLN cña B = 3/2 x = y = II)đơn thức II.1 KiÕn thøc c¬ b¶n 1.Đơn thưc là biểu thức đại số,hoăc biến tích các số và các biến ví dụ: -5;x; x y; y x; là đơn thức Đơn thưc thu gọn là đơn thức gồm tích hệ số với các biến đã viết thành lũy thừa với số mũ nguyên dương ví dụ:đơn thức 3xy thỉ là hệ số ; xy là phần biến số Bậc đơn thức : Bậc đơn thức biến là số mũ biến đó dang thu gọn đơn thøc Bậc đơn thức có hệ số khác là tổng số mũ tất các biến đơn thức đó Lop7.net (11) Số thực khác là đơn thức bậc số coi là đơn thức không có bậc Ví dụ đơn thức 3x y Bậc biến x là 1, biến y là 2,của đơn thức là 4.nhân hai đơn thức Để nhân hai đơn thức ta nhân các hệ số với và nhân các biến vơi Lưu ý :khi nâng đơn thức lên lũy thừa bậc n(n N ) thì hệ số đơn thức nâng lªn lòy thõa bËc n cßn sè mò cña mçi biÕn ®îc nh©n lªn víi n VÝ dô: (3 x y )2 32 x y x y 5.Đơn thức đông dạng: + Hai đơn thức đông dạng là hai đơn thức,sau thu gọn có hệ số khác và có cùng phÇn biÕn Chảng hạn: 5x yz và 7x yz là hai đơn thưc đông dạng +Mọi số là các đơn thức đồng dạng +Để cộng (trừ).hai đơn thức đồng dạng ta cộng (trừ) các hệ số với nhau, giữ nguyên phÇn biÕn II.2 bµi tËp 1)Trong các biểu thức sau, hãy chọn đúng mục có biểu thức là đơn thức a) x2 3a b) 4xy c)x+y 2)Thu gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c ®on thøc sau víi x= ; y = -1 ; x = -2 a) (xyz)(xyz2)(yz) ; b) 3x2 (xy2z)(3xyz)2 3) T×m c¸c sè a,b ,c biÕt ab = ; bc = ; ac = 4) Trong cặp các đơn thức đây , cặp nào là đơn thức đồng dạng : a) 3xy2z4 vµ -5xyz; b) -4xz2 vµ x2z ; c) ax3 vµ - 4ax3 ) Cộng và trừ các đơn thức: a) 3a2b + (-a2b) + a2b-(- 6a2b ) b) (-7y2) + (-y2) -( -8y2) ; c) 5an + (- 2a)n + 6an Viết đơn thức 64 x6 y12 dạng lũy thừa đơn thức II Hướng dẫn giải: §¬n thøc lµ b) a) -16 b) -216 VËy a = ; b = ; c = 3;hoÆc a = - ; b = -2 ;c = -3 4.Hai đơn thức đồng dạng là c) 5.a) 10 a2b b) c) 11 (2)n a n 64 x6 y12 =(±8 x3 y6)2 =(4 x2 y4)3 =(±2 x y2)6 III §a thøc III.1 KiÕn thøc c¬ b¶n Đa thức là tổng các đơn thức đơn thức tổng gọi là hạng tử ®a thøc Mçi ®a thøc lµ mét biÓu thøc lµ mét biÓu thøc nguyªn Lop7.net (12) §¬n thøc lµ mét ®a thøc chØ cã mét sè h¹ng Nếu đa thức có chứa các hạng tử đồng dạng ,ta thực phép cộng các đơn thức đồng dạng dó thì kết là đa thức thu gọn 3.Muốn cộng(hay trừ) các đa thức ,ta thực các bước: Bước 1:Viết các đa thức vào ngoặc ròi nối chúng với dấu cộng hay dÊu trõ Bước 2:Bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc Bước 3: Thu gọn các hạng tử đồng dạng (nếu có) 4.XÐt ®a thøc thu gän Bậc đa thức biến là số mũ lớn biến đó đa thức Bậc đa thứ (đối với tập hợp các biến) là bậc hạng tử có bậc cao III.2 Bµi tËp 1.Thu gọn các số hạng đồng dạng các đa thức sau: a)4x-5a+5x-8a-3c b)x+4x+4a-x+8a c)5ax-3a x -4ax+7ax 2T×m bËc cña c¸c ®a thøc sau: a) x3.y3 + 6x2 y2 + 12xy b) x.y2 + 2x2 y - x3.y + 3xy5 3.TÝnh tæng vµ hiÖu cña hai ®a thøc P vµ Q a) P = ab - a + vµ Q = 2ab - ( ab - a + ) b) P = a2b + 2a.ab - 3ac ; Q = a2b - 2ab + 3ac 4.So s¸nh A vµ B biÕt A = ( x2 + 2xy + y2 ) - ( x2 - 2xy + y2 ) B = ( x2 - 3xy + y2 ) - ( x2 - 7xy + y2 - ) 5.Viết các số tự nhiên sau dạng đa thức có hai biến x và y a) xyz b) yxy5 6.T×m c¸c sè a, b, c th¶o m·n ®iÒu kiÖn sau : a + b = ; b + c = -2 vµ a + c = - TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau biÕt x - y = M = 7x - 7y + 4ax - 4ay - BiÕt A x yz; B xy z; C xyz2 vµ x y z Chøng tá r»ng : A + B + C = xyz III3.Hướng dẫn giải : 1.a)9 x 13a 3c b)4 x 12 a c)4 ax ax a) BËc b) BËc 3.a) P + Q = (ab -a+ 1+) + [2ab -(ab-a+2)] P + Q = ab -a +1 +ab +a-2 P + Q = 2ab -1 b) P + Q = (a2b + 2a2b - 3ac) + (a2b - 2ab + 3ac) P + Q = 4a2b - 2ab A = 4xy ; B = 4xy +2 ; Lop7.net B>A (13) a) xyx 100 x 10 y x 101x 10 y b) yxy5 1000 y 100 x 10 y 1010 y 100 x a + b -1(1) ; b + c = -2 (2); a + c= -7 (3) 2( a + b + c ) = -8 a + b + c = -4 (4) LÊy (4) trõ ®i (1) ®îc c = - LÊy (4) trõ ®i (2) ®îc a = - LÊy (4) trõ ®i (3) ®îc b = M = 7(x- y) + 4a(x- y ) - Thay x - y = M = + 4a - M=-5 A + B + C = x yz xy z xyz2 A + B + C = xyz( x + y + z ) A + B + C = xyz ( v× x + y + z = IV §a thøc mét biÕn - NghiÖm cña ®a thøc mét biÕn IV KiÕn thøc c¬ b¶n 1.Đa thức biến là tổng các đơn thức cùng biến - §a thøc mét biÕn x kÝ hiÖu lµ f(x) ,g (x) ;h(x) - Đa thức biến thường xếp theo lũy thừa tăng ( giảm ) biến Bậc đa thức biến khác đa thức ( đã thu gọn ) là số mũ lớn biến có đa thức đó 3.HÖ sè gi¸ trÞ cña mét ®a thøc : HÖ sè cña sè h¹ng cã bËc cao nhÊt lµ ,hÖ sè cña sè h¹ng tù lµ , Cho ®a thøc f ( x ) x x x x Gi¸ trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x = a lµ f(a) 4.Hai ®a thøc f(x) vµ g(x) gäi lµ b»ng chóng cã lòy thõa cïng bËc b»ng 5.Muèn céng trõ ®a thøc mét biÕn - C¸ch 1:Nh phÐp céng vµ trõ ®a thøc - C¸ch : S¾p xÕp chóng cïng theo lòy thõa gi¶m dÇn hoÆc t¨ng dÇn cña biÕn và đặt phép tính cộng và trừ các số ( Đặt các đơn thức đồng dạng cùng cét ) NghiÖm cña ®a thøc mét biÕn NÕu t¹i x = a ®a thøc f(x) = th× a lµ mét nghiÖm cña f(x) Mét ®a thøc cã thÓ cã mét hay nhiÒu nghiÖm hoÆc kh«ng cã nghiÖm nµo IV.2.Bµi tËp H·y ®iÒn vµo chç trèng.: NÕu f(x) = 3x3 + x2 - x + th× : a) Sè h¹ng tö cña f(x) lµ b) BËc cña f(x) lµ c) f(1) b»ng d) f(0) b»ng Lop7.net (14) 2.H·y s¾p xÕp c¸c h¹ng tö cña c¸c ®a thøc sau theo lòy thõa gi¶m cña biÕn vµ ®iÒn vµ chç ( ) a) 2x + x2 -3 b) 3x2 -3 x3 +3 x - 3.Gi¶ sö P = x - ; Q = - x Trong các đẳng thức sau hãy chọn đẳng thức đúng: a) P - Q = b) P + Q = c) Q - P = d ) Kh«ng ph¶i a , b , c 4.LÊy - 2x +5x2 trõ ®i ®a thøc nµo th× ®îc kÕt qu¶ : -5x2 + 3x - H·y chän kÕt qu¶ phï hîp c¸c kÕt qu¶ sau : a) x - b) - 5x + 10x2 c) -10x2 + 5x -7 d) Không xác định Thu gän vµ s¾p xÕp c¸c sè h¹ng cña ®a thøc theo lòy thõa t¨ng cña biÕn cña biÕn a) x7 - x4 + 2x3 -3x4 - x2 + x7 - x + - x3 b) x x x x x x 6.Cho c¸c ®a thøc : f(x) = x4 - 3x2 + x3 + g(x) = x4 - x3 +x2 + x + TÝnh a ) f(x) + g(x) b) f(x) - g(x) TÝnh f(x) + g(x) - h (x) biÕt : f(x) = x5 - 4x3 + x2 - 2x + g(x) = x5 - 2x3 + x2 - 5x + h(x) = 4x3 - 3x2 +0 2x - 8.Cho ®a thøc f(x) = x2 - 4x - a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña f(x) t¹i x = ; x= ; x = -5 ; x = -1 b)Cho biÕt mét nghiÖm cña ®a thøc T×m nghiÖm cña c¸c ®a thøc sau: a) 2x + b) 4x - 0.5 c) x2 - x 10 Cho đa thức f(x) = x2 + ax + b Xác định a và b biết đa thức f(x) có nghiÖm x1 = ; x2 = 11 Chøng tá r»ng ®a thøc f(x) = x2 + 2x + kh«ng cã nghiÖm 12.§è em t×m ®îc sè mµ a) Bình phương nó chính nó b) Lập phương nó chính nó V.3 Hướng dẫn giải: Đẳng thức đúng là P+ Q = KÕt qu¶ phï hîp lµ b) a) - x - x2 + x3 - 4x4 +2x7 b) -1/2 x - 2x2 - 3x4 - 4x5 a) f(x) + g(x) = + 2x - 2x2 - x3 + 4x4 b)f(x) - g(x) = - 4x2 + x3 f(x) + g(x) - h(x) = -9 x + 5x2 - 4x3 - 3x4 +2x5 a) f(1) = -8 ; f( -1 ) = ; f(2) =-9 ;f(-5) = 40 b) Mét nghiÖm cña ®a thøc lµ x = -1 Lop7.net (15) a) x = -3 ; b) x = 1/8 ;c) x1 = ; x2 = 10 a = -5 ; b= 11.®a thøc x2 + 2x + kh«ng cã nghiÖm 12.a) Gäi x lµ sè cÇn t×m x = hoÆc x = 1; b) Cã sè thâa m·n lµ ; ; -1 Chủ đề : Quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè tam giác , các đường đồng qui tam giác I.Quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè tam gi¸c I.1,Quan hệ góc và cạnh đối diện tam giác Trong tam giác : Góc đối diện với cạnh lớn là góc lớn - Cạnh đối diện với góc lớn là cạnh lớn Trong h×nh 22 a A B A A ABC : AB AC C c b 2.Quan hÖ gi÷a ®êng vu«ng gãc vµ ®êng xiªn ®êng xiªn vµ h×nh chiÕu a b h a a b h ca - Nếu AH và Bh là đường vuông góc , đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng a th× AH < AB - Nếu AB , AC là hai đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng a ,HB và HC là hai h×nh chiÕu cña Ab vµ AC th× AB > AC HB > HC ; AB = AC HB = HC 3.Quan hệ ba cạnh tam giác ,bất đẳng thức tam giác Trong tam giác , độ dài cạnh lớn hiệu và nhỏ tổng độ A dµi cña hai c¹nh cßn l¹i Trong h×nh : b - c < a < b + c b c c a I.2.Bµi tËp : b Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A ,BiÕt gãc C < 450 Hãy so sánh ba cạnh tam giác đó 2.Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 800 , gãc C = 400 a) H·y so s¸nh c¸c c¹nh cña tam gi¸c b) Trên tia đối tia CB lấy điểm D Chứng minh : AD > AC 3.Cho tam giác ABC vuông A,tia phân giác góc C cắt cạnh AB D So sánh độ dµi c¸c ®o¹n th¼ng AD vµ BD 4.Cho tam gi¸c ABC BiÕt AB : AC : BC = 4: :6 vµ chu vi tam gi¸c b»ng 32 cm So sánh độ lớn các góc tam giác ? A A 5.Cho tam gi¸c ABC , Trung tuyÕn AM BiÕt BAM h·y so s¸nh gãc B vµ gãc C CAM Lop7.net (16) Cho góc xOy = 450 Trên tia đối tia Oy lấy hai điểm A và B cho AB = Tính độ dài hình chiếu đoạn thẳng AB trên Ox Cho tam giác ABC vuông A Trên tia đối tia CA lấy theo thứ tự hai điểm D và E So sánh độ dài các đoạn thẳng AB , BC ,BD , BE Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A Gäi E lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ B Gäi F lµ ®iÓm n»m gi÷a Avaf C Chøng minh r»ng : EF < BF < BC Cho tam giác ABC vuông C Kẻ CH AB Trên các cạnh AB và AC lấy tương øng hai ®iÓm M vµ N cho BM = BC , CN = CH Chøng minh a) MN AC b) AC + BC < AB + CH 10 Có thể có tam giác nào mà độ dài cạnh sau không ? a) cm ; cm ; 11 cm b) 5,1 cm ; 3,3 cm ; 8,4 cm 11 TÝnh chu vi mét tam gi¸c c©n cã hai c¹nh lµ cm vµ 10 cm 12 Cho tam gi¸c ABC vµ ®iÓm M n»m tam gi¸c Chøng minh r»ng :AM + MB < AC + BC 13 Chu vi tam giác cân là 21 cm Biết cạnh dài cm , Cạnh đó là cạnh bên hay cạnh đáy 14.Tam gi¸c ABC cã AB > AC , ph©n gi¸c AD LÊy ®iÓm M thuéc AD ( M kh«ng trïng A ) chøng minh AB - AC > MB - MC I.3 Hướng dẫn giải: 1.tam gi¸c ABC cã gãc A = 900 nªn A 90 0.mµ C A 45 nªn B A 450 Do đó C A B A A A b C Suy AB < AC< BC 2.H×nh A A B A C A 180 a) ta cã A A B A A A AB AC BC VËy C 80 A A b) ACD lµ 140 Trong tam gi¸c ACD th× ACD b Gãc lín nhÊt nªn AD > AC A C A KÎ DE CB CD lµ ph©n gi¸c gãc C C Ta cã A ABC A EDC ( C¹nh huyÒn - Gãc nhän ) AD = DE A B A nªn DE< DB AD<BD Trong A BDE th× E 40 d c a d b 4.Ta cã AB:AC : BC = : : c e AB AC BC AB AC BC 30 2 456 15 VËy AB = cm ; AC = 10cm ; BC = 12 cm b A B A A A Do đó AB < AC < BC suy C A BA C §é dµi h×nh chiÕu ®o¹n th¼ng AB trªn Ox laf1 Ta cã AB < BC ( ®êng vu«ng gãc ng¾n h¬n ®êng xiªn ) (1) A V× AC < AD < AE nªn BC < BD < BE Lop7.net c d e (17) ( §êng xiªn nµo cã h×nh chiÕu lín h¬n th× lín h¬n,) ( 2) Tõ (1) vµ (2 ) AB < BC < BD < BE VËn dông quan hÖ gi÷a ®êng xiªn vµ h×nh chiÕu ta cã : V× AE < AB nªn FE < FB (1) V× AF < AC nªn BF < BC (2) Tõ (1) vµ (2) EF < BF < BC 9.Tam gi¸c BMC c©n t¹i B v× cã BM = BC (gt) A A Nªn MCB CMB Ta cã : b f c A e b h A MCB A NCB 90 A A Vµ MCH MCB 90 m A A NCM MCH A MNC A MHC(c g c) A A Do đó MNC MHC 90 n c A VËy MN AC 10 a) Có tam giác mà cạnh là 6cm ; cm ; 11 cm vì cạnh nhỏ hai cạnh b) Kh«ng cã tam gi¸c nµo mµ c¹nh lµ 5,1 cm ; 3,3 cm ; vµ 8,4 cm V× 8,4 cm = 5,1 cm + 3, cm 11 Cạnh cm là cạnh đáy ; hai cạnh bên tam giác là 10cm chu vi tam giác là : + 10 + 10 = 25 cm 12 Gäi giao ®iÓm tia AM víi BC lµ N áp dụng bất đẳng thức tam giác với hai tam gi¸c ANC vµ BMN Ta có : AN < AC + NC (1) BM < BN + MN ( 2) Céng (1) vµ (2) theo tõng vÕ ta ®îc : AN + BM + MN < AC + BC + MN Do đó AM +BM < AC + BC A m c b n 13 Cạnh 4cm là cạnh đáy A 14 Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E cho AC = AE VËy BE = AB - AE = AB - AC m A AME A AMC(c g c) ME MC XÐt A EBM cã BE BM ME hay BE MB MC e VËy AB - AC > BM - MC b Lop7.net d c (18) II Các đường đồng quy tam giác II,1.KiÕn thøc c¬ b¶n 1.TÝnh chÊt ba ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c Ba đường trung tuyến tam giác đồng quy điểm ( điểm này gọi là träng t©m cña tam gi¸c ) độ dài trung tuyến qua đỉnh Trọng tâm cách mối đỉnh khoảng Êy Trong tam giác ABC các trung tuyến AD , BE < CF đồng quy điểm G và ta AG BG CG cã §iÓm G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC AD BE CE A f e g b c d 2.TÝnh chÊt tia ph©n gi¸c cña mét gãc TÝnh chÊt ba ph©n gi¸c cña mét tam gi¸c + Điểm nằm trên tia phân giác góc thì cách hai cạnh góc + Đảo lại : Điểm nằm bên góc và cách hai cạnh góc thì nằm trên tia phân giác góc đó x A m o b y + Ba đường phân giác tam giác cùng qua điểm Điểm này cách ba cạnh cuat tam giác đó c h k o b l A 3.TÝnh chÊt ®êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng - TÝnh chÊt ba ®êng trung trùc cña mét tam gi¸c + §iÓm n»m trªn ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng th× m cách hai đầu mút đoạn thẳng đó + Đảo lại , điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực đoạn thẳng đó A i b + Ba đường trung trực tam giác đồng qui điểm Điểm này cách ba đỉnh tam giác Lop7.net (19) a o b c 4.TÝnh chÊt ba ®êng cao cña tam gi¸c + Ba đường cao tam giác đồng qui điểm Điểm này gọi là trực tâm cña tam gi¸c * Trong tam giác cân đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao , đường phân giác , đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tam giác đó * Trong tam giác , các điểm ,trọng tâm , Trực tâm , điểm cách ba đỉnh , điểm cách ba cạnh là bốn điểm trùng * Trong mét tam gi¸c ,nÕu hai bèn lo¹i ®êng , ®êng trung tuyÕn ,®êng phân giác, đường trung trực , đường cao trùng thì tam giác đó là tam giác cân II.2 Bµi tËp 1.Chứng minh trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông tam giác vuông th× b»ng mét nöa c¹nh huyÒn Chøng minh r»ng nÕu mét tam gi¸c cã hai hai trung tuyÕn b»ng th× tam gi¸c đó là tam giác cân 3.Cho G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh GA = GB = GC 4.Cho tam giác ABC ,ba trung tuyến AD , BE CF đồng qui G a) So s¸nh diÖn tÝch tam gi¸c ABG vµ tam gi¸c ABD b) So s¸nh diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ABD vµ tam gi¸c ABC c) Chøng minh r»ng c¸c tam gi¸c GAB , GAC , GBC cã diÖn tÝch b»ng ? Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A , D lµ trung ®iÓm cña BC GäI E vµ F lµ ch©n c¸c đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC Chứng minh DE = DF 6) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A = 700 , C¸c ®êng ph©n gi¸c DB ,CE c¾t t¹i I A TÝnh BIC 7) Cho tam gi¸c ABC c©n ë A Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ,gäi I lµ giao ®iÓm c¸c ph©n gi¸ cña tam gi¸c ,gäi K lµ giao ®iÓm hai ®êng ph©n gi¸c gãc ngoµi t¹i B vµ C Chøng minh r»ng bèn ®iÓm A , G , I , K th¼ng hµng 8) Tia ph©n gi¸c gãc A cña tam gi¸c ABC c¾t c¹nh BC ë D ®êng th¼ng kÎ qua D A A 60 song song víi AB c¾t AC ë M.TÝnh AMD ,biÕt A 9) Cho tam gi¸c c©n ABC cã gãc A = 360 ,§êng trung trùc cña AB c¾t Ac ë D , Chøng minh BD lµ tia ph©n gi¸c cña tam gi¸c ABC 10) Cho tam gi¸c c©n ABC ë A ,Trung tuyÕn Am Gäi I lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ M Chøng minh r»ng tam gi¸c AIB b»ng tam gi¸c AIC vµ tam gi¸c IBM b»ng tam gi¸c ICM 11) Chứng minh tam giác có trung tuyến đồng thời là trung trực thì tam giác đó là tam giác đó là tam giác cân 12 )Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 900 vµ AB < AC §êng trung trùc cña c¹nh BC c¾t AC ë M BiÕt BM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ABC TÝnh gãc ACB ? 13) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A , §êng trung tuyÕn AM Qua A kÎ ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi AM chøng minh r»ng d song song víi BC Lop7.net (20) 14) Cho tam gi¸c nhän ABC cã gãc B = 450 Hai ®êng cao AD vµ CE c¾t ë I a) chøng minh BI AC A b) tÝnh AIC 15) Tam giác ABC có AB = AC = 17 cm ; BC = 16 cm Tính độ dài trung tuyến Am II.3.Hướng dẫn giải A 90 ,Trung tuyến AM Trên tia đối tia Am lấy điểm 1) XÐt tam gi¸c vu«ng cã A N cho MN = MA A A TA cã MB = MC (gt) , AMC NMB ( đối đỉnh) a VËy A MAC A MNB (c g c) A A nªn BN // AC , MCA MBN A ABN A Do đó CAB 180 ( hai gãc cïng phÝa cña hai ®êng th¼ng song song ) A 90 v× thÕ ABN A mµ CAB 90 b BN = AC ( cạnh tương ứng hai tam giác nhau) suy A ABC A BAN(c g c) Do đó AN = BC mà AM = AN : ,Vì AM = BC: n A Gi¶ sö BM c¾t CN t¹i G Cã GM = GN GBN GCM (c.g.c) BN = BM mµ BN = 1/2 AB ; CM= 1/2 AC AB = AC Tam gi¸c ABC c©n t¹i A Các tia AG , BG , CG cắt các cạnh D , E , F TA cã BE = CF = AD N C A E F G B a)SABG = 2/3 SABD b) S ABD = 1/2 S ABC c) SABG = SACG = S BCG B A 1250 BIC Lop7.net C D E F XÐt tam gi¸c vu«ng BED vµ CFD cã A A (v× tam gi¸c ABC c©n t¹i A) BD = CD (gt) EBD FCD BED CFD (c¹nh huyÒn - gãc nhän) DE = DF M G B BEC CFB(c.g c)vaBEA ADB(c.g c) V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC CG = 2/3 CF ; BG = 2/3 BE ; AG = 2/3 AD VËy CG = BG = AG c m G C D A E F B D C (21)