A Baøi giaûi: Gọi H là trung điểm của BE thì KH là đường trung bình của hình E thang vuông OEBI ,suy ra HK//OE//BI,mà OE AB KH BE Từ đó Tam O H giaùc KBE caân taïi K,suy ra KEB=K[r]
(1)http://violet.vn/nguyenthanh1981 Chuyên đề : TOÁN CHỨNG MINH NHIỀU ĐIỂM THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN I-MUÏC TIEÂU: HS:Nắm vững các phương pháp chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn HS:Có kỹ vận dụng các phương pháp vào bài tập môït cách linh hoạt HS:Rèn luyện kỷ vẽ thêm đường phụ ,chọn phương án giải phù hợp với đề bài ,rèn luyện tính linh hoạt sáng tạo II-THỜI LƯỢNG:(8Tiết) Tieát 1,2,3 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH: 1-Chỉ các điểm cùng cách điểm 2-Chứng minh hai góc đối tứ giác bù 3-Chứng minh hai đỉnh liên tiếp tứ giác cùng nhìn xuông đoạn góc nhau.(Dựa vào cung chứa góc) Các cách khác để chứng minh tứ giác nội tiếp -Chứng minh tứ giác là hình thang cân -Chứng minh góc tứ giác góc ngoài góc đối diện Ví du1ï: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) M là điểm thuộc AC.Gọi H,I,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến các đường thẳng AB,AC,BC Chứng minh rằng: a)các điểm A,M,H,I cùng thuộc đường tròn H b)Các điểm M,I,K,C cùng thuộc đường tròn M c)Caùc ñieåm I,H,K thaúng haøng A Giải:Giả sử H nằm ngoài cạnh AB ,điểm K nằm trên cạnh BC I 0 a) Tứ giác AHMI có AHM + AIM = 90 +90 = 180 O => AHMI là tứ giác nội tiếp => A,H,M,I cùng thuộc đường tròn B C K b) MIC = MKC = 900 => I và K thuộc đường tròn có đường kính MC => M,I,K,C cùng thuộc đường tròn c) Từ câu a) => MIH = MAH (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung HM) Từ câu b) => MIK+ MCK = 1800 (Tính chất tứ giác …) Ta laïi coù MAH = MCK (cuøng buø BAM) => MIH + MIK = 1800 Vaäy H,I,K thaúng haøng Ví duï 2: A Cho tam giác ABC, các đường cao AM,BN ,CP cắt H Gọi D,E,F theo thứ tự là trung điểm BC,AC,AB Gọi (Q) là N đường tròn qua D,E,F.Gọi I là trung điểm HA I a) C/M tứ giác DEIF là tứ giác nội tiếp F E b) Gọi K,L theo thứ tự là trung điểm HB,HC C/m K,L thuộc đường tròn (Q) Q P H c) C/m:M,N,P thuộc đường tròn (Q) L Lop7.net B M D C (2) http://violet.vn/nguyenthanh1981 Baøi giaûi a) Theo tính chất đường trung bình tam giác ,FI //BH, FD //AC ,maø BH AC neân FI FD IFD = 900 Tương tự DEI = 900 Vậy DEIF là tứ giác nội tiếp đường tròn có đường kính DI Đường tròn này qua D,E,F nên là đường tròn (Q) b) Theo câu a) đường tròn (Q) qua trung điểm AH ,do đó tương tự đường tròn (Q) qua trung điểm HB,HC tức là K,L thuộc đường tròn (Q) c) Ta có IMD = 900 = > M thuộc đường tròn đường kính ID tức là đường tròn (Q) Tương tự N,P thuộc đường tròn (Q) Ví duï 3: Cho đường tròn tâm (O) và đường thẳng xy ngoài đường tròn đó Từ O vẽ OA vuông góc với xy ; Từ A vẽ cát tuyến cắt đường tròn B và C cắt xy D và E Chứng minh AD = AE HD: C Chuùng minh :OAD = OBD = 1v => B,D thuộc đương tròn đường kính OD hay tứ giác OBAD O nội tiếp đường tròn đường kính OD Chứng minh:OCE =1v;OAE =1v B => OCE + OAE =1v+1v= 2v y x => OCEA noäi tieáp A E D Chứng minh OBD = OCE (g-c-g) => OD =OE E => DA = AE C Ví dụ 4:Cho đường tròn tâm O AB là đường kính ta kẽ hai đường thẳng cắt tiếp tuyến đường tròn B E và F và cắt đường tròn C và D c/m A tứ giác ECDF nội tiếp HD: Chuùng minh CEF = CDA = > CEF + CDF = 2v => CEFD nội tiếp đường tròn Ví duï5: B O D F Trên đường tròn (O;R) đường kính AB , lấy hai điểm M,E theo thứ tự A,M,E,B (hai điểm M,E khaùc hai ñieåm A,B).AM caét BE taïi C ;AE caét BM taïi D C a) Chứng minh MCED là tứ giác nội tiếp và CD AB b) Goïi H laø giao ñieåm cuûa CD vaø AB Chuùng minh BE.BC = BH.BA I M c)Chứng minh các tiếp tuyến Mvà E (O) cắt tạitrung điểm IE D cuûa CD 0 d)Cho bieát BAM = 45 vaø BAE = 30 A O B Tính dieän tích tam giaùc ABC theo R H H.Daãn: Câu a:Chứng minh tứ giác MCED nôi tiếp Cm:CMD + CED = 1v+1v = 2v Chứng minh:CD AB (Tính chất các đường cao tam giác) Lop7.net (3) http://violet.vn/nguyenthanh1981 Câu b: Chứng minh hai tam giác BEA và BHC đồng dạng => BE.BC = BH.BA Câu c: Chứng minh IM là tiếp tuến (O) Ta chuùng minh:IMD =MAB => MI laø tieáp tuyeán cuûa (O) Tương tự chúng minh trên ta C/m IE là tiếp tuyến (O) Caâu d:Tính dieän tích tam giaùc ABC theo R R 1 R R2 Tính CH = Từ đó S ABC AB.CH R (ñvdt) 2 1 1 1 Ví dụ 6:Cho tam giác ABC cân A,nội tiếp tong (O) đường kính AI Gọi E là trung điểm AB và K là trung điểm OI C/mR:AEKC là tứ giác nội tiếp A Baøi giaûi: Gọi H là trung điểm BE thì KH là đường trung bình hình E thang vuông OEBI ,suy HK//OE//BI,mà OE AB KH BE Từ đó Tam O H giaùc KBE caân taïi K,suy KEB=KBE,Maët khaùc KBE=KCA Vaäy K B C KEB=KCA.Do đó Tứ giác AEKC nội tiếp Ví duï 7: Cho đoạn thẳng AB = 2a coi trung điểm là O trên cùng nửa mp bờ AB I dựng nửa (O) đường kính AB và nửa (O’) đường kính AO Trên (O’) lấy điểm M (khác A và O) ,tia OM cắt (O) C ,gọi D là giao điểm thứ hai CA với (O’) a)Chứng minh tam giác ADM cân b) Tiếp tuyến C (O) cắt tia OD H ,đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt (O) điểm thứ hai là N ,chứng minh ba điểm A,N và M thẳng hàng c)Taïi vò trí cuûa M cho ME//AB ,haõy tính OM theo a Höoùng daãn: hay DAM caân taïi D 1)Tacoù OAC caân taïi O coù OD AC , MOD=DOA DM AD 2)Deã thaáy AOE COE (c.g c) EAO=ECO =900 hay EA AB noùi caùch khaùc EA laø tieáp tuyeán chung cuûa (O) vaø (O’) 3)Giả sử AM cắt (O) N’ ,AOC=2AN’C COH=CN’H Dẫn đến tứ giác CHON’ nội N’ tiếp đường tròn ,từ đó ta có N ' N A, M , N Thẳng hàng C 4)Vẽ MK AO Từ GT :EM//AB ,ta suy MEO cân M và M tứ giác AEMK là hình chữ nhật Đặt ME=MO=x Ta có MO2=AO2- E D AM2=AO2-AO.AK=AO2-AO.ME O O’ B Vậy x2=a2-ax.Giải ta được:x = a A K Tieát 5,6,7, LUYEÄN TAÄP: Bài 1: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh AB lấ điểm E và trên cạnh AC kéo dài phía C lấy F cho BE = CF Vẽ đường kính AA’ (O) Chứng minh tam giác A’EF cân và tứ giác AEA’F nôi tiếp Goïi I laø giao ñieåm cuûa EF vaø BC Chuùng minh IE =IF Lop7.net (4) http://violet.vn/nguyenthanh1981 Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) H là trực tâm BD và CE là hai đường cao a) Chứng minh tứ giác ADEH nội tiếp b) Gọi H’ là điểm đối xứng H qua BC Chứng minh tứ giác ABH’Cnội tiếp (O) c) Chuùng minh raèng :OA vuoâng goùc DE Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A lấy D trên AB vẽ đường tròn dường kính BD cắt BC E và CD cắt đường tròn F AE cắt (O) Tại G a) Chứng minh tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp b) Chuùng minh :FG//AC c) Chúng minh đường ED,CA,BF đồng quy điểm Baøi 4: Cho tam giaùc ABC caân taïi A Veõ (O) tieáp xuùc AB taïi B vaø tieáp xuùc AC taïi C.Treân cung nhỏ BC bên tam giác ABC lấy M vẽ MD,ME và MF vuông góc với BC ,ABvaøAC a) Chứng minh :Các tứ giác :MDBE và MDCF nội tiếp b) Chứng minh :MD2 = ME.MF c) Chứng minh :M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF d) Gọi P và Q lầ lượt là giao điểm BM với DE và MC với DF.Chứng minh :Tứ giaùc MPDQ noäi tieáp Bài 5: Cho (O;R),đường kính AB Kẽ tiếp tuyến Bx Mlà điểm di động trên Bx (M khaùc B).AM caét (O) taïiN.Goïi I laø trung ñieåm cuûa AN a) C/m: Tứ giác BOIM nội tiếp b) C/m:Tam giác IBN đồng dạng với tam giác OMB c) Tìm vị trí M trên tia Bx để diện tích tam giác AIO có giá trị lớn Baøi 6: Cho hình vuoâng ABCD laáy M thuoäc AB vaø N thuoäc CB cho MB= CN goïi o laø giao điểm hai đường chéo AN cắt DC kéo dài tạiP, BP cắt ON Q a) Chúng minh :Tứ giác BMON nôi tiếp b) Chuùng minh raèng :MN//BP c) Chứng minh :CQ vuông góc với PB - Lop7.net (5)