Tải Chuyên đề tứ giác nội tiếp lớp 9 - Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Chøng minh tø gi¸c OCEI néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn.. Chøng minh tø gi¸c IMCB néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn...[r]

B D

O A

C M

CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP LỚP 9

I KiÕn thøc cÇn nhí:

Để giải toán liên quan đến tứ giác nội tiếp học sinh cần nắm kiến thức sau:

1 Định nghĩa tứ giác nội tiếp: HS nắm định nghĩa số 6, phần ôn tập chương III, SGK Tốn 9, tập 2-Trang 101

2 Tính chất tứ giác nội tiếp: HS nắm định lý 14, phần ơn tập chương III, SGK Tốn 9, tập 2-Trang 103

3 Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: HS nắm định lý 15 - SGK Tốn 9, tập 2-Trang 103 (phần ơn tập chương)

4 Các định lý khác thường áp dụng:

4-1: Hình thang nội tiếp đường trịn hình thang cân ngược lại 4-2: Hình bình hành nội tiếp đường trịn hình chữ nhật ngược lại 4-3: Tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính tiếp im

4-4: Đường kính qua trung điểm dây cung không qua tâm vuông góc với dây cung

4-5: Đường kính qua điểm cung vuông góc với dây căng cung 4-6: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo 1v

II. Bài tập áp dụng:

Dạng 1:Chứng minh tứ giác nội tiÕp:

Để chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn ta phải áp dụng linh hoạt dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, phương pháp chứng minh

 Phương pháp 1:

Sử dụng tính chất: Nếu tổng số đo hai góc đối diện tứ giác nội tiếp 1800thì

tứ giác nội tiếp đường trịn.

VÝ dơ 1:

Cho đường trịn đường kính AB D điểm thuộc đường tròn Trên tia đối tia BA lấy điểm C Đường thẳng vng góc với BC C cắt đường thẳng AD M

Chứng minh tứ giác MCBD nội tiếp Hướng dẫn:

H·y chØ  MCB MDB 1800

(Chó ý: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số ®o b»ng 1v).

VÝ dơ 2:Cho tam gi¸c ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AB Đường thẳng vuông góc với AO trung điểm I AO cắt AC M cắt tiếp tuyến C đường tròn E

M

O B

S

E

A

C

I

0 A 0'

B

F

E C

Hướng dẫn:

a ChØ EIO OCE  1800 b ChØ MIB BCM  1800

(Chó ý: TiÕp tun cđa mét ®­êng tròn vuông góc với bán kính qua tiếp ®iĨm)

VÝ dơ 3:

Cho hai đường trịn (O) (O’)tiếp xúc A Đường nối tâm cắt (O) (O’)tại điểm thứ hai tương ứng B C Gọi EF tiếp tuyến trung ngoài( F thuộc (O) E thuộc (O’))

a Chứng minh tam giác FAE vuông A b Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp Hướng dẫn:

a

Cách 1: Kẻ tiếp tuyến chung A chứng minh tam giác FAE vuông A dựa vào tính chất trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông

Cỏch 2:Tớnh tng s hai gúc tam giác FAE biến đổi 900

 1

2

AFE FOA

 1'

2

AEF  AO E

  1( ' ) 1.1800 900

2

AEF AFE  AOO AO E  

b Tính tổng sđ hai góc đối diện tứ giác:

     1800

FBC FEC AFE AEF AEC     ( AEC900) VÝ dô 4:

Cho hai đường tròn (O) (O) cắt Avà B Qua A vẽ hai cát tuyến CAD EAF (C,E (O); D,F (O)) Đường thẳng CE cắt đường thẳng DF P Chứng minh tứ gi¸c BEPF néi tiÕp

Hướng dẫn:

C¸ch 1: Ta cã   BEP ECB EBC  (gãc ngoµi) màECB BAF (góc tứ giác ABCE nội tiÕp)

  

EBC EAC DAF  nªn    BEP BAF DAF BAD   Mà tứ giác ABFD nội tiếp nên BAD BFD 1800

BEP BFP 1800BEPF tứ giác néi tiÕp. C¸ch 2: Cã     

   1800

PEB PFB PEF AEB PFB ABC ACB CAB

   

   

(Tæng gãc tam gi¸c ABC) NhËn xÐt:

Để chứng minh tổng hai góc đối tứ giác có số đo 1800 ta nghĩ tới tổng ba góc tam

gi¸c.

B A

P

O

O' E

F C

A

B H C

D

E

 Phương pháp 2:

Nếu tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp đường trịn (Phương pháp coi hệ phương pháp 1)

VÝ dô 1:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O); I điểm cung AB ( Không chứa C D) IC, ID cắt AB tương ứng E F

Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp Hướng dẫn:

H·y chØ F1  C1 :

                 1 1 2

F sd A D sd IB

sd A D sd IA sd ID C

VÝ dụ 2:

Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Kẻ HD vuông góc với AB D; HE vuông góc với AC E

Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp Hướng dẫn:

H·y chØ ra: A D E  A H E  E C B

hc: A D E  B A H  E C B VÝ dô 3:

Cho tam giác ABC vuông A; đường cao AH Trên AC

lấy điểm D BD cắt AH M Qua A vẽ đường thẳng vuông góc BD N cắt BC P Chứng minh r»ng:

a Tứ giác MNPH nội tiếp b Tứ giác NDCH nội tiếp Hướng dẫn:

a Sử dụng phương pháp 1, tính tổng số đo hai góc:



M H D vµ M N P

b ChØ gãc ngoµi N1 b»ng gãc C1

  1 1 1

N A C vµ   N1 P C1  1( PM // AC, cïng vu«ng gãc AB)

 Phương pháp 3:

Nếu tứ giác có hai đỉnh kề nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh cịn lại góc  thì tứ giác nội tiếp được trong đường trịn.

VÝ dơ 1:

Cho bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự nằm đường trịn (O); I điểm cung AB( Không chứa C D) IC kéo dài cắt AD kéo dài E; ID kéo dài cắt BC kéo dài F Chứng minh

a Để chứng minh tứ giác CDEF nội phương pháp ta chọn cạnh tứ giác chứng minh đỉnh khơng thuộc cạnh nhìn cạnh chọn góc

Chẳng hạn ta chọn cạnh DC, hai đỉnh E F nhìn đoạn DC hai góc có số đo Trong toán ta chọn cạnh EF chứng minh EDF ECF   1sd AI 1sdBI

2 2

Là phù hợp

b Chøng minh: DAB DEF  (Cïng bï víi BCD) VÝ dơ 2:

Cho hình vng ABCD; dựng góc xA y  4 50 sao cho tia Ax cắt BD, BC P và Q; Tia Ay cắt BD, CD F E

Chøng minh r»ng:

a Tứ giác ABQF nội tiếp b Tứ giác APED nội tiếp Hướng dẫn:

a Hãy hai đỉnh A B nhìn đoạn QF hai góc 450.

b Hãy hai đỉnh A D nhìn đoạn EP hai góc 450.

VÝ dơ 3:

Cho tam giác ABC cân A Các trung tuyến AH, BE, CF cắt G Gọi M trung điểm BG; N trung điểm FG

Chứng minh tứ giác CMNE nội tiếp Hướng dẫn:

Hãy hai đỉnh M C nhìn đoạn NE góc.(ABE NME NCE    )

 Phương pháp 4:

Chứng minh đỉnh tứ giác cách điểm cố định.

VÝ dơ 1:

Cho hình thoi ABCD cạnh có độ dài a Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh MNPQ tứ giác nội tiếp

Hướng dẫn:

Gäi O lµ giao điểm hai đường chéo, theo tính chất hình thoi trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông ta cã OM = ON = OP = OQtø gi¸c MNPQ nội tiếp đường tròn (O;OM)

Nhận xét:

i với tốn ta hồn tồn chứng minh theo phương pháp khác Nhìn chung, ta chứng minh tứ giác nội tiếp phương pháp chứng minh phương pháp kia, điều quan trọng cần hướng dẫn học sinh tìm phương pháp ngắn gọn, dễ hiểu nhất.

Qua ví dụ chứng minh tứ giác nội tiếp ta thấy nhiều trường hợp tứ giác cần chứng minh nội tiếp thuộc hai dạng sau đây:

G A

B C

H

E F N

M

Q P

E F A

D

B

C

P N M

Q

O

A C

B

Q P N

M

Đối với hình ta chứng minh tứ giác ABCD nội phương pháp tức có

  90 90 1800

ABC ADC    Đối với hình ta chứng minh tứ giác MNPQ nội phương pháp hai đỉnh M,N nhìn PQ góc có số đo 900.

Dạng 2:Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp để chứng minh quan hệ hình học Ghi nhớ:

Khi tứ giác nội tiếp ta suy được: - Hai góc đối bù

- Góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Các góc nt chắn cung

VÝ dơ 1:

Cho đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD Gọi I điểm cung

AB( Không chứa C D) IC cắt AB M cắt AD kéo dài N ID cắt AB P cắt BC kéo dài Q

Chứng minh r»ng:

a Tø gi¸c PMCD néi tiÕp b AB // NQ

c IA2 = IB2 = IP.ID = IM.IC

Hướng dẫn:

a ChØ gãc ngoµi P1 b»ng gãc C1

b Chỉ cặp góc sole P1 Q1 cách dựa vào hai tứ giác nội tiếp: DNQC DPMC ( Hoặc xem cách chứng minh ví dụ - phương pháp dạng toán này)

c Dựa vào cặp tam giác đồng dạng( Trường hợp góc - góc)

;

AI ID BI IC

AID PIA BIC MBI

PI IA MI IB

        IA2=IB2

= IP.ID = IM.IC

*VÝ dô 2:Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên AB lấy điểm C đường tròn (O) lấy điểm D ( D khác A B ) Gọi I điểm cung nhỏ BD IC cắt đường tròn điểm thứ hai E DE cắt AI K cắt đường thẳng qua C song song víi AD t¹i F

Chøng minh r»ng:

1

1

P I M

N

A

B

C D

Q

1

1

1

1

2

F K

C B

A

D I

E A

B

a Tø gi¸c AKCE néi tiÕp b CKAD

c CF = CB Hướng dẫn:

a ChØ  KAC KEC

b H·y chøng tá CK // BD b»ng c¸ch chØ KCA DBA AED   ( )

c Ta cã: CBE D F   1 1 Tø gi¸c BCEF néi tiếp

CBF E 1êvav

vàaF 2 E2 Hơn F F 1 2 CBF F 2 CBF cân CCF = CB Ví dụ 3:

Cho đường tròn (O) M điểm nằm bên đường tròn Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn( A, B tiếp điểm) Gọi C điểm cung nhỏ AB

Từ C kẻ CD AB D; CEMA E CFMB F Gọi I giao điểm CA DE; K giao điểm BC DF Chứng minh rằng:

a C¸c tø gi¸c ADCE, DCFB néi tiÕp b DC2 = CE.CF

c IK // AB Hướng dẫn:

a Tính tổng số đo hai góc đối diện

b Chỉ hai tam giác:EDCDFC theo trường hợp góc – góc:

       

CED CAB CBF CDF CDE CAE CBA CFD

  

  

c Chỉ hai cặp góc đồng vị nhau: + Chứng minh tứ giác ICKD nội tiếp

 CIK CDK CED CAD     

VÝ dụ :

Cho đường tròn (O) M điểm nằm bên đường tròn Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn( A, B hai tiếp điểm).Qua M vẽ cát tuyến MCD với đưòng tròn Gọi I trung điểm CD

a Chứng minh tứ giác AIOB nội tiếp đường tròn

b Gọi K trung điểm AM Tia BK cắt đường tròn điểm thứ hai P Tia MP cắt đường tròn ®iĨm thø hai lµ N

Chøng minh r»ng: AK2= KP KB

c Chứng minh AM // BN Hướng dẫn:

a Chứng minh điểm M, A, I, O, B nhìn đoạn OM góc vuôngTứ giác AIOB nội tiếp

b Chứng minh hai tam giác đồng dạng:

AKBPKA

c Chøng minh hai gãc: MNB KMN 

Từ hai tam giác AKB PKA đồng dạng suy

P D

C

O

M

A

B K

N I

K I

M O

A

B

C E

ra hai tam giác BKM MKP đồng dạng theo trường hợp c.g.c

Nhận xét: Để chứng minh tứ giác nội tiếp phần a/ người ta chọn thêm 1 điểm với điểm đỉnh tứ giác sau chứng minh điểm thuộc một đường tròn.

VÝ dơ :

Cho tø gi¸c ABCD néi tiếp đường tròn (O) đường kính AD Gọi I giao điểm AC BD H chân đường vuông góc hạ từ I xuống AD M trung ®iĨm cđa ID Chøng minh r»ng:

a C¸c tø giác ABIH, HICD nội tiếp

b Tia CA tia phân giác góc BCH suy I tâm đường tròn nội tiếpBCH c Tứ giác BCMH nội tiÕp

Hướng dẫn:

a Sử dụng phương pháp “tổng hai góc đối 1800”

b ChØ BCA ACH  b»ng c¸ch:

 

BCA BDA (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AB)

ACH BDA (do tứ giác CDHI néi tiÕp)

Tương tự chứng minh BI phân giác CBHĐiểm I tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH

c Sử dụng phương pháp 3: Chỉ BCH BMH  cách:

 2

BCH  ICH vµ BMH2IDH

VÝ dơ :

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BD, CE tam giác ABC cắt H cắt đường tròn (O) M N Chứng minh:

a C¸c tø gi¸c ADHE, BEDC néi tiÕp b DE//MN

c OA DE Hướng dẫn:

a Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào hai trường hợp đặc biệt nêu

b Chøng minh   DEC DBC MNC  DE MN//

c Chøng minh

C¸ch 1:  ACN ABM AM AN  A điểm cung MNOA MNOA

DE

Cách 2: Kẻ tiếp tuyến Ax, chứng minh xAB ACB AED    Ax//DE, mµ OA Ax nên OADE

III.một số Bài tập tham khảo:

Bµi 1:

Cho tam giác ABC vng A điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD; AE cắt đường tròn điểm thứ hai F G Chứng minh rằng:

a Tø gi¸c ADEC , AFBC néi tiÕp

M

0 I

A D

B

C

H

x

D

E O

A

B C

M

b BE.BC = BD.BA c AC // FG

d Các đường thẳng CA, FB, ED đồng quy

e AF kéo dài cắt đường tròn đường kính BD ®iĨm thø hai lµ S Chøng minh r»ng DE = DS

Bài 2:

Cho đường tròn (O), dây AB điểm C đường tròn nằm tia AB Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt dây AB D Tia CP cắt đường tròn điểm thứ hai I AB cắt QI K Chứng minh rằng:

a Tø gi¸c PDKI néi tiÕp b CI.CP = CK.CD

c IC phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB Bài 3:

Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm D cạnh BC kẻ đường thẳng vng góc với BC Đường thẳng cắt AC F tia đối tia AB E Gọi H giao điểm BF CE Chứng minh rằng:

a BHCE

b Tứ giác EADC nội tiếp đường trịn Xác định tâm O bán kính đường trũn ny

c Tia DH cắt đường tròn (O) t¹i K Chøng minh AK // BH

d Chứng minh D di chuyển cạnh BC H di chuyển đường trịn cố định

Bµi 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (0; R), A < 900 Các đường cao BH, CK

cắt (O) D E

1 Chøng minh ®iĨm B, C, H, K nằm đường tròn

2 Chứng minh DE // HK

3 Chøng minh OA  HK Bài 5:

Cho năm điểm thẳng hàng theo thứ tù lµ A, B, C, D, E cho AB = BC = CD = DE = R VÏ c¸c đường tròn ( C; 2R) ( B; R) Dây MN đường tròn ( B) Dây MN (C) vuông góc với AD D AM cắt ( B) điểm thứ hai K

a Chứng minh DK tiếp tuyến (B)

b Tam giác DKM AMN tam giác ? giải thÝch ?

c Chøng minh tø gi¸c KMDC néi tiếp đường tròn

d Tìm diện tích hình giới hạn ba đường tròn (C; 2R) ; ( B; R) đường tròn ngoại tiếp tứ giác KMDC

Bài 6:

Cho tam giỏc ABC nội tiếp (O) đường kính AA’ Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh AC kéo dài phía C lấy điểm N cho BM = CN

3 Gäi I lµ giao điểm MN BC Chứng minh I trung điểm MN Bài 7:

Cho ng trịn (O) đường kính BC Dây AD khơng qua tâm cắt BC M Gọi E, F chân đường vng góc hạ từ B, C tới AD I, K chân đường vuông góc hạ từ A, D tới BC Chứng minh:

a C¸c tø gi¸c ABIE, CDFK, EKFI néi tiÕp

b EK//AC Bài 8:

Cho nửa đường tròn (O) ®­êng kÝnh AB = 2R Gäi I lµ trung ®iĨm AO, đường thẳng vuông góc với AB I cắt nửa đường tròn (O) K C điểm chạy đoạn IK, đường thẳng AC cắt nửa đường tròn điểm thứ hai M; BM cắt đường thẳng IK D Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt CD N

a/ Chứng minh tứ giác MBIC nội tiếp đường tròn b/ Chứng minh tam giác NCM tam giác cân

c/ Chøng minh AI.BI = CI.DI Bµi 9:

Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB Vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI C cắt tia By K Đường tròn đường kính IC cắt IK P

1 Chứng minh CPKB tứ giác nội tiếp Chứng minh AI.BK= AC.CB

3 Chứng minhAPB vuông Bài 10:

Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai ®iĨm A vµ B cho OA = OB Mét đường thẳng qua A cắt OB M (M nằm O B) Từ B hạ đường vuông góc với AM H cắt tia AO I

1 Chøng minh tø gi¸c AOHB néi tiÕp Chøng minh OI = OM

VI.hướng dẫn giải Bài tập tham khảo:

Bµi 1

c ChØ hai gãc sole b»ng nhau:

 

ACD GED vµ GFD GED 

e Chøng minh BED = BSD ( c - g- c)

Bµi 2

c  AIP PAB vµ BIC PAB 

Bµi 3

d H ln nhìn BC góc khơng đổi = 900 Bài 6:

1 ChØ tø gi¸c A’ICN néi tiÕp

 A IN' 900

A’IMN

I lµ trung điểm MN Bài 7:

a Ta có:

      KIE BAE BAE BCD BCD EFK        

Tø gi¸c FIEK néi tiÕp b Tø gi¸c AIFC néi tiÕp IFA ICA  (1)

Tø gi¸c EIFK néi tiÕp  IFA IKE (2) Tõ (1) vµ (2)  ICA IKE EK // AC Bµi 8:

b  NMC MBI vµ MBI MCN  ( Cïng phơ víi MDC)

  NMC NCM

c ACI  DBI Bµi 9:

2, AIC  BCK ( AIC BCK v× cïng phơ víi ICK) 3,APB ICK

Bài 10:

2 Chỉ raIOM vuông cân O

   450

OMI OHI OAB

3 Chỉ raOKH vuông cân K (OHK450)

G E C A B D F S K H F D C B E A j I I

B Q C

O A A' M N K I F E M

B O C

AME 2ACB

ABC 600

 2

BAC  BDC

V. BÀI TẬP VN DNG

Dạng bài: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn

Dng 1: T giỏc cú hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh góc nhau

Bài 1: Cho đường tròn đường kính AB, C điểm đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm D, gọi M điểm cung BD Đường thẳng MC cắt đường tròn E, đường thẳng DE cắt AM K Đường thẳng qua C song song với AD cắt DE F Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AKCE nội tiếp đường tròn b) CK AD

c) CF = CB

Bài 2: Cho đường tròn tâm O có đường kính BC Gọi A điểm thuéc cung BC (  AB AC ); D lµ điểm thuộc bán kính OC Đường thẳng vuông góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F

a) Chứng minh tứ giác ADCF tứ giác nội tiếp b) Gọi M trung điểm cña EF Chøng minh r»ng :

c) Chøng minh AM tiếp tuyến đường tròn (O)

d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC đường tròn (O) biÕt BC = 8cm;

Bài 3: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC, AD lấy điểm E, F cho EAF 450 Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự G, H Chứng minh rng

ADFG; GHFE tứ giác nội tiếp

Tam giác CGH tứ giác GHFE có diện tÝch b»ng

Bài 4: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC

a) Chøng minh r»ng

b) Gọi M điểm cung AC, tia đối tia MB lấy điểm E cho ME = MC Chứng minh bốn điểm B; D; E; C thuộc đường tròn

Bài 5: Trên đường tròn (O) lấy hai điểm B D Gọi A điểm cung lớn BD Các tia AD, AB cắt tiếp tuyến Bx Dy đường tròn N M Chứng minh

a) Tø gi¸c BDNM nội tiếp đường tròn b) MN// BD

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, với AC > AB Trên AC lấy điểm M, vẽ đường tròn tâm O đường kính MC Tia BM cắt đường tròn (O) D Đường thẳng qua A D cắt đường tròn (O) S

a) Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh  ABD ACD

c) Chøng minh AC lµ tia phân giác góc SCB

d) Gi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy

e) Chứng minh DM tia phân giác góc ADE

f) Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE

k) Bit bỏn kính đường trịn (O) R ACB300 Tính độ dài cung MS.

Bài 7: Cho đường tròn (O;R) có AB đường kính cố định, cịn CD kà đường kính thay đổi Gọi (d) tiếp tuyến đường tròn B; AC, AD cắt (d) P, Q

a) Chøng minh tø gi¸c CPQD nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh đường trung tuyến AI tam tam giác AQP vuông góc víi DC

c) Khi CD thay đổi tâm E đường tròn ngoại tiếp tam giác CPD chuyển động đường ?

Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800

Bài 1: Cho tam giác ABC có góc nhọn Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB, AC F; E Gọi H giao điểm BE, CF; D giao điểm AH với BC

1 Chøng minh r»ng: a) C¸c tø gi¸c AEHF; AEDB nội tiếp đường tròn b) AF.AB = AE.AC

2 Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh AD +BE + CF = 9r tam giác ABC

Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC cã gãc nhän (AC > BC) nội tiếp đường tròn tâm O Vẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm O A B, tiếp tuyến cắt M Gọi H hình chiếu vuông góc O MC

a) Chứng minh rằng: MAOH tứ giác nội tiếp b) Tia HM phân giác góc AHB

c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MA, MB E F Nối HE cắt AC F, nối HF cắt BC Q Chứng minh PQ//EF

Bµi 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c BFEC, BFHD néi tiÕp

Bµi 4: Cho nưa đường tròn (O) đường kính AB Điểm M thuộc nửa đường tròn, điểm C thuộc đoạn OA Trên nửa mặt ph¼ng bê AB cã chøa M vÏ tiÕp tuyÕn Ax By Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By P Q AM cắt CP E; BM cắt CQ F

a) Chøng minh r»ng tø gi¸c APMC néi tiÕp b) Chøng minh r»ng PCQ v1

c) Chøng minh r»ng EF // AB

Bài 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB C điểm thuộc nửa đường trịn Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho AD = AB Trên đoạn AB lấy điểm E cho AE = AC; DE cắt BC H; AH cắt nửa đường tròn K Chứng minh:

a)  DAH BAH b) OKBC

c) Tø gi¸c ACHE nội tiếp d) B, K, D thẳng hàng

Dạng 3: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện

Bài 1: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Gọi C, D hai điểm di động đường tròn Các tia AC, AD cắt Bx E F ( F nằm B E)

a) Chøng minh r»ng ABF ~BDF

b) Chøng minh tø gi¸c CEFD nội tiếp

c) Khi C, D di động nửa đường tròn Chứng minh AC.AE = AD.AF có giá trị khơng đổi d) Cho BOD30 ,0 DOC600 Hãy tính diện tích tứ giác ACDB.

Bµi 2: Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F

a) Chứng minh tứ giác AFHE hình chữ nhật b) Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp

c) Chứng minh: AE.AB = AF.AC

d) Chøng minh EF lµ tiÕp tuyến chung hai nửa đường tròn

Bi 3: Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn điểm thứ hai F, G Chứng minh:

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp

c) AC //FG

Bài 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B.Các tiếp tuyến A hai đường tròn (O’); (O) cắt đường tròn (O); (O’) C D Trung trực AC trung trực AD cắt S

a) Tứ giác AOSO tứ giác ? V× sao? Chøng SBAB

b) Lấy E đối xứng với A qua B Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp Dạng 5: Chứng minh điểm nằm mt ng trũn

Bài 1: Từ điểm A bên đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC cát tuyến AMN Gọi I trung điểm MN

a) Chøng minh AB2 = AM.AN.

b) Chøng minh r»ng ®iĨm A, B, I, C, O nằm đường tròn c) Gọi K giao điểm BC AI Chứng minh rằng: IB KB=

IC KC

Bài 2: Cho ba điểm A, B, C nằm đường thẳng xy theo thứ tự Vẽ đường trịn (O) qua hai điểm B C Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N thuộc đường tròn) Gọi E hình chiếu O xy; AO cắt MN F

a) Chøng minh AM2 = AB AC

b) Chøng minh ®iĨm A, N, O, E, M nằm đường tròn c) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) I Chứng minh IN // AB

d) Chứng minh tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OEF ln nằm đường thẳng cố định đường tròn (O) thay đổi

Bài 3: Từ điểm A bên đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AN, AM Trên nửa mặt phẳng bờ AN không chứa M lấy điểm B cho ABO900 Đường thẳng BO cắt AN D, cắt đường thẳng AM C Đường thẳng BM cắt AN K Gọi I trung điểm AC BI cắt AN E Chứng minh:

a) Năm ®iĨm A, B, N, O, M cïng n»m trªn mét đường tròn b) BD phân giác tam giác BKN

c) DN.AK = AN.DK d) Tam gi¸c BEN c©n

Bài 4: Cho hình vng ABCD điểm M cạnh BC Vẽ hình vng AMPQ cho P Q thuộc nửa mặt phẳng bờ AM không chứa đỉnh B Chứng minh rằng:

a) Ba điểm Q, C, D thẳng hàng

b) Năm điểm A, M, C, P, Q thuộc ®­êng trßn

c) điểm P chạy đoạn thẳng cố định M chuyển động cạnh BC

Bài 5: Cho đường tròn (O) điểm A nằm bên đường tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B C tiếp điểm) cát tuyến AMN (M nằm A N) với đường tròn Gọi E hình chiếu O MN, I giao điểm thứ hai đường thẳng CE với đường tròn

b) Chøng minh  AEC BIC c) Chøng minh BI//MN

d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Dạng bài: Vị trí tương đối hai đường trịn

Bµi 1: Cho hai đường tròn (O) (O) cắt A B Trên nửa mặt phẳng bờ OO cã chøa B vÏ tiÕp tuyÕn chung EF (E(O);F(O’)) Mét cát tuyến qua A song song với EF cắt (O) C cắt (O) D; CE giao DF ë I Chøng minh:

a) IA CD

b) Tứ giác IEBF nội tiếp

c) AB qua trung điểm EF

Bài 2: Cho hai đường tròn (O1) (O2) tiếp xúc K.Vẽ tiÕp tuyÕn chung ngoµi AD (A 

(O1); D (O2)) vẽ đường kính AB đường tròn (O1) Qua B vÏ tiÕp tun BM víi ®­êng

tròn (O2) Chứng minh

a) Ba điểm B, K, D thẳng hàng b) AB2= BK.BD