Tải Các bài toán Hình học ôn thi vào lớp 10 - Tài liệu luyện thi vào lớp 10 môn Toán

Bài 21 Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. OM cắt AC tại I. MB cắt CD tại K. Tính diện tích tam giác MIK theo R. Bài 22 Trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấ[r]

x

Hình 01 O

K H

M E

D C

B A

CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI VÀO LỚP 10

(Dành tặng cho em học sinh lớp chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 không chuyên)

Bài Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) A D chúng cắt E Gọi M giao điểm hai đường chéo AC BD

1 Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Chứng minh AB // EM

3 Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD BC hình thang H K Chứng minh M trung điểm HK

2 1

HK AB CD 4 Chứng minh BÀI GIẢI CHI TIẾT (hình 01)

1 Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp



2 EAC 

ACTa có : sđ (góc tạo tia tiếp tuyến AE dây AC đường tròn (O))



2 xDB



DBTương tự: sđ (Dx tia đối tia tiếp tuyến DE)

 

AC BD EACxDBMà AC = BD (do ABCD hình thang cân) nên Do Vậy tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn

2 Chứng minh AB // EM

 

EAD EMD EADABDTứ giác AEDM nội tiếp nên (cùng chắn cung ED) Mà (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung với góc nội tiếp chắn cung AD)

 

EMDABDSuy ra: Do EM // AB.

3 Chứng minh M trung điểm HK DAB



HM DH AB DA

 

CAB



MK CK AB CB

  DH CK

DA CB

HM MK

AB AB có HM // AB có MK // AB Mà (định lí Ta let cho hình thang ABCD) Nên Do MH = MK Vậy M trung điểm HK

2 1

// =

O M

H K D

C

B A

Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta được: HM DM

AB DB

KM BM

CD BD (1) Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác BCD có KM // CD ta được: (2)

1 HM KM DM BM DM BM BD

AB CD DB BD BD BD 

      2HM 2KM

AB  CD 

HK HK AB CD 

2 1

HK AB CD Cộng (1) (2) vế theo vế ta được: Suy ra: , mà MH = MK nên 2HM = 2KM = HK Do đó: Suy ra: (đpcm)

Lời bàn: ADC BCD

  1 Do AC = BD nên để chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp ta sử dụng phương pháp: Nếu tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đối đỉnh đỉnh tứ giác nội tiếp Với cách suy nghĩ cần vẽ tia Dx tia đối tia tiếp tuyến DE tốn giải dễ dàng Có thể chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp cách chứng minh khác không? (phần dành cho em suy nghĩ nhé)

2 Câu có cịn cách chứng minh khác khơng? Có Thử chứng minh tam giác AHM tam giác BKM từ suy đpcm

3 Câu toán quen thuộc lớp phải không em? Do học tốn em cần ý tập quen thuộc Tuy câu cịn cách giải Em thử nghĩ xem?

Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC Gọi M điểm cung AC Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM K cắt tia OM D OD cắt AC H

1 Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp Chứng minh CD = MB DM = CB

3 Xác định vị trí điểm C nửa đường trịn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn

4 Trong trường hợp AD tiếp tuyến cửa nửa đường trịn (O), tính diện tích phần tam giác ADC ngồi đường trịn (O) theo R

BÀI GIẢI CHI TIẾT

1 Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp  900

AMB  AM MB  MKC900(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AB) Mà CD // BM (gt) nên AM CD Vậy

 

// =

O M

H K D

C

B A

 

180

MKC MHC  Tứ giác CKMH có nên nội tiếp đường tròn

2 Chứng minh CD = MB DM = CB ACB 900

 Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Hình 2 Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB hình bình hành Suy ra: CD = MB DM = CB

3 Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn

AD AB

  ADC   AD tiếp tuyến đường trịn (O) có AK CD DH AC nên M trực tâm tam giác Suy ra: CM AD

ADAB   AM BCVậy CM // AB AM MC AM BC AM MC BC 

Mà nên = 600. Tính diện tích phần tam giác ADC ngồi (O) theo R: Gọi S diện tích phần tam giác ADC ngồi

đường trịn (O) S1 diện tích tứ giác AOCD S2 diện tích hình quạt góc tâm AOC

Ta có: S = S1 – S2 hình 3  Tính S1:

 AM MC BC  600  AOD600AD tiếp tuyến đường tròn (O)

R 

2

1

2 2

R AD AO R R

Do đó: AD = AO tg 600 = S

ADO =

AOD COD

   

2

3 R

2 3

R (c.g.c) SAOD = SCOD SAOCD = SADO = =

 AC1200 

2

0

.120 360 R



3 R 

Tính S2: S quạt AOC = =  R2

2

3 R

 3

3 R  R

 

2

3 3 R

 

Tính S: S = S1 – S2 = – = = (đvdt) Lời bàn:

N

y

x

O K

F

E

M

B A

được suy từ kết số 14 trang 72 SGK toán tập Các em lưu ý tập vận dụng vào việc giải tập khác

2 Không cần phải bàn, kết luận gợi liền cách chứng minh phải không em? Rõ ràng câu hỏi khó số em, kể hiểu giải , có nhiều em may mắn vẽ ngẫu nhiên lại rơi vào hình từ nghĩ vị trí điểm C nửa đường trịn Khi gặp loại tốn địi hỏi phải tư cao Thơng thường nghĩ có kết tốn xảy điều ? Kết hợp với giả thiết kết từ câu ta tìm lời giải tốn Với tập phát M trực tâm tam giác khơng phải khó, nhiên cần kết hợp với tập 13 trang 72 sách Toán 9T2 giả thiết M điểm cung AC ta tìm vị trí C

 600

BC BC 600Với cách trình bày mệnh đề “khi khi” kết hợp với suy luận cho ta lời giải chặt chẽ Em viết lời giải cách khác cách đưa nhận định trước chứng minh với nhận định có kết , nhiên phải trình bày phần đảo: Điểm C nằm nửa đường trịn mà AD tiếp tuyến Chứng minh nhận định xong ta lại trình bày phần đảo: AD tiếp tuyến Từ kết luận

4 Phát diện tích phần tam giác ADC ngồi đường trịn (O) hiệu diện tích tứ giác AOCD diện tích hình quạt AOC tốn dễ tính so với cách tính tam giác ADC trừ cho diện tích viên phân cung AC

Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = a Gọi Ax, By tia vng góc với AB ( Ax, By thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (O) (M khác A B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O); cắt Ax, By E F



EOF 90 1 Chứng minh:

2 Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB OEF đồng dạng MK AB3 Gọi K giao điểm AF BE, chứng minh

34 Khi MB = MA, tính diện tích tam giác KAB theo a

BÀI GIẢI CHI TIẾT



EOF 90 1 Chứng minh:

EA, EM hai tiếp tuyến đường tròn (O) 

AOM cắt E nên OE phân giác



AOM BOM EOF 900

 Mà kề bù nên: (đpcm) hình 4

2 Chứng minh: Tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB OEF đồng dạng

  900

EAO EMO  Ta có: (tính chất tiếp tuyến)

 

180

EAO EMO  Tứ giác AEMO có nên nội tiếp đường tròn.  AMBEOF 90  MAB MEO  Tam giác AMB tam giác EOF có:, (cùng chắn cung MO đường trịn ngoại tiếp tứ giác AEMO Vậy Tam giác AMB tam giác EOF đồng dạng (g.g)

MK AB3 Gọi K giao điểm AF BE, chứng minh AK AE

KF BF

AK ME

KF MF  Tam giác AEK có AE // FB nên: Mà : AE = ME BF = MF (t/chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Nên Do MK // AE (định lí đảo định lí Ta-let) Lại có: AE AB (gt) nên MK AB

34 Khi MB = MA, tính diện tích tam giác KAB theo a Gọi N giao điểm MK AB, suy MN AB 

MK FK AE FA 

NK BK

AE BE FEA có MK//AE nên (1) BEA có NK//AE nên (2). FK BK

KA KE

FK BK

KA FK BK KE

FK BK

FA BE Mà (do BF // AE) nên hay (3). MK KN

AE AE Từ (1), (2) (3) suy Vậy MK = NK.

2 AKB

AMB S KN

S MN  Tam giác AKB tam giác AMB có chung đáy AB nên:

2 AKB AMB S  S

Do

MB

MA  MAB 600

  Tam giác AMB vuông M nên tg A =

a a



1

2 2 AKB

a a S

 

16a Vậy AM = MB = = (đvdt).

Lời bàn:

(Đây đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 tỉnh Hà Nam)

x

H Q I

N M

O C

B A

K x

H Q I

N M

O C

B A

những em thi năm qua tỉnh Hà Nam xem trúng tủ Bài tốn có nhiều câu khó, câu khó mà người đề khai thác từ câu: MK cắt AB N Chứng minh: K trung điểm MN

Nếu ý MK đường thẳng chứa đường cao tam giác AMB câu tam giác AKB AMB có chung đáy AB em nghĩ đến định lí: Nếu hai tam giác có chung đáy tỉ số diện tích hai tam giác tỉ số hai đường cao tương ứng, toán qui tính diện tích tam giác AMB khơng phải khó phải khơng em?

Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Từ điểm M tiếp tuyến Ax nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C tiếp điểm) Hạ CH vng góc với AB, đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) Q cắt CH N Gọi giao điểm MO AC I Chứng minh rằng:

 

AQI ACOa) Tứ giác AMQI nội tiếp b) c) CN = NH.

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Ninh)

BÀI GIẢI CHI TIẾT

a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp:

Ta có: MA = MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau) OA = OC (bán kính đường trịn (O))

 MIA900Do đó: MO AC  900

AQB (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O))  900

MQA

  Hai đỉnh I Q nhìn AM Hình 5 góc vng nên tứ giác AMQI nội tiếp

trong đường tròn

 

AQI ACOb) Chứng minh:.

 

AQI AMITứ giác AMQI nội tiếp nên Hình 6



MAC(cùng phụ ) (2)

AOC

  CAO ACO AQI ACOcó OA = OC nên cân O (3) Từ (1), (2) (3) suy

//

=

x F

E

O

D C

B A



90

ACB     Gọi K giao điểm BC tia Ax Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O)) AC BK , AC OM OM // BK Tam giác ABK có: OA = OB, OM // BK MA = MK

ABM

 Áp dụng hệ định lí Ta let cho có NH // AM (cùng AB) ta được: NH BN

AM BM BKM 

CN BN KM BM

NH CN

AM KM (4) Áp dụng hệ định lí Ta let cho có CN // KM (cùng AB) ta được: (5) Từ (4) (5) suy ra: Mà KM = AM nên CN = NH (đpcm)

Lời bàn

1 Câu hình vẽ gợi cho ta suy nghĩ: Cần chứng minh hai đỉnh Q I nhìn AM góc vng Góc AQM vng có kề bù với ACB vng, góc MIA vng suy từ tính chất hai tiếp tuyến cắt

AQIAMI ACO CAO

 IMA CAO 2 Câu suy từ câu 1, dễ dàng thấy , , vấn đề lại cần , điều khơng khó phải không em?

3 Do CH // MA , mà đề toán yêu cầu chứng minh CN = NH ta nghĩ việc kéo dài BC cắt Ax K toán trở toán quen thuộc: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Kẻ đường thẳng d // BC cắt AB, AC AM E, D I Chứng minh IE = ID Nhớ tốn có liên quan đến phần thi ta qui toán giải đề thi cách dễ dàng

Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F cho BF cắt đường trịn C, tia phân giác góc ABF cắt Ax E cắt đường tròn D

a) Chứng minh OD // BC

b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp

d) Xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD hình thoi Tính diện tích hình thoi AOCD theo R

BÀI GIẢI CHI TIẾT

a) Chứng minh OD // BC Hình 7 BOD

  OBD ODB  cân O (vì OD = OB = R)

 

OBD CBD ODB CBD  Mà (gt) nên Do đó: OD // BC. b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF

 900

x F

E D

C

B O

A



90

ACB  ACBF(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O) EAB

  vuông A (do Ax tiếp tuyến ), có AD BE nên: AB2 = BD.BE (1).

FAB

  vuông A (do Ax tiếp tuyến), có AC BF nên AB2 = BC.BF (2). Từ (1) (2) suy ra: BD.BE = BC.BF

c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp: Ta có:

 

 

CDB CAB CAB CFA

 

 

 

 (hai góc nội tiếp chắn cung BC) 

FAC  CDB CFA  ( phụ ) Do tứ giác CDEF nội tiếp

Cách khác DBC FBE B

BD BC

BF BE CDB EFB và có: chung (suy từ BD.BE = BC.BF) nên chúng đồng dạng (c.g.c) Suy ra: Vậy tứ giác CDEF tứ giác nội tiếp

d) Xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD hình thoi:

 

ABD CBD ABC  AD CD Ta có: (do BD phân giác )  Tứ giác AOCD hình thoi OA = AD = DC = OC

  AD DC  600  AC1200  ABC600AD = DC = R  600

ABC Vậy tứ giác AOCD hình thoi. Tính diện tích hình thoi AOCD theo R:

 1200 3

AC  AC R .

2

1

2 2

R OD AC R R 

Sthoi AOCD = (đvdt) Hình 8 Lời bàn



ODBOBD

1 Với câu 1, từ gt BD phân giác góc ABC kết hợp với tam giác cân ta nghĩ đến cần chứng minh hai góc so le

H

N

F E

C B

A

suy BD.BE = BC.BF Với cách thực có ưu việc giải ln câu Các em thử thực xem sao?

3 Khi giải câu câu sử dụng câu , chứng minh giải

 1200 3

AC   AC R 4 Câu với đề yêu cầu xác định số đo góc ABC để tứ giác AOCD trở thành hình thoi khơng phải khó Từ việc suy luận AD = CD = R nghĩ đến cung AC 1200 từ suy số đo góc ABC 600 Tính diện tích hình thoi cần nhớ công thức, nhớ kiến thức đặc biệt mà q trình ơn tập thầy giáo bổ sung , em tính dễ dàng

Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB, AC E F ; BF cắt EC H Tia AH cắt đường thẳng BC N

a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp 

EFNb) Chứng minh FB phân giác 

BACc) Giả sử AH = BC Tính số đo góc ABC

BÀI GIẢI CHI TIẾT

a) Chứng minh tứ giác HFCN nội tiếp:

  900

BFCBEC  Ta có :

(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính BC)

  1800

HFC HNC  Tứ giác HFCN có nên nội tiếp đường trịn đường kính HC) (đpcm)

b) Chứng minh FB tia phân giác góc EFN:

 

EFBECB BETa có (hai góc nội tiếp chắn đường trịn đường kính BC).

 

ECB BFN HN(hai góc nội tiếp chắn đường trịn đường kính HC).

 

EFBBFN Suy ra: Vậy FB tia phân giác góc EFN (đpcm) c) Giả sử AH = BC Tính số đo góc BAC tam giác ABC:

  AFHBFC 900 FAH FBC ACB  FAH FBC có: , AH = BC (gt), (cùng phụ ) Vậy FAH = FBC (cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: FA = FB

 BAC450AFB vuông F; FA = FB nên vng cân Do Bài (Các em tự giải)

=

// O

F E

C

D B

A

a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp b) Chứng minh AD AC = AE AB

c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA DE.  600

BAC  d) Cho biết OA = R , Tính BH BD + CH CE theo R.

Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên tia AB lấy điểm D nằm đoạn AB kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn (O) (C tiếp điểm) Gọi E chân đường vng góc hạ từ A xuống đường thẳng CD F chân đường vng góc hạ từ D xuống đường thẳng AC

Chứng minh:

a) Tứ giác EFDA nội tiếp 

EADb) AF phân giác

c) Tam giác EFA tam giác BDC đồng dạng d) Các tam giác ACD ABF có diện tích

(Trích đề thi tốt nghiệp xét tuyển vào lớp 10- năm học 2000- 2001)

BÀI GIẢI

a) Chứng minh tứ giác EFDA nội tiếp:  AFD 90

AED  Ta có: (gt) Hai đỉnh E F nhìn AD góc 900 nên tứ giác EFDA nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh AF phân giác góc EAD : Ta có:

// AE CD

AE OC OC CD

 

 



 EAC CAD Vậy ( so le trong)

 

CAO OCA EAC CAD Tam giác AOC cân O (vì OA = OC = R) nên Do đó: Vậy AF phân giác góc EAD (đpcm)

c) Chứng minh tam giác EFA tam giác BDC đồng dạng:  EFA BDC có:

 

EFACDB AE (hai góc nội tiếp chắn đường tròn ngoại tiếp tứ giác

O P K M

H

A

C

B

 

 

 

EAC CAB

EAF BCD CAB DCB

 



 



 

   Vậy EFA BDC đồng dạng (góc- góc). d) Chứng minh tam giác ACD ABF có diện tích:

1 2DF AC

1

.AF

2BC SACD = SABF = (1)

 AF

BC AC

DF  BC // DF (cùng AF) nên hay DF AC = BC.AF (2).

Từ (1) (2) suy : SACD = SABF (đpcm) (Lưu ý: giải cách khác nữa)  450

BAC Bài Cho tam giác ABC ( ) nội tiếp nửa đường trịn tâm O đường kính AB Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) C gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến tiếp tuyến AH cắt đường trịn (O) M (M  A) Đường vng góc với AC

kẻ từ M cắt AC K AB P

a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp b) Chứng minh MAP cân

c) Tìm điều kiện ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng

BÀI GIẢI

a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp:



90

MHC  MKC 900Ta có : (gt), (gt) Tứ giác MKCH có tổng hai góc đối

bằng 1800 nên nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh tam giác MAP cân:

 

MACACOAH // OC (cùng vng góc CH) nên (so le trong)

 ACO CAO MAC CAO MAB AOC cân O (vì OA = OC = R) nên Do đó: Vậy AC phân giác Tam giác MAP có AK đường cao (do AC MP), đồng thời đường phân giác nên tam giác MAP cân A (đpcm)

AMP HCK HMK HCA CBA

2 AC CBA MPA 

Cách Tứ giác MKCH nội tiếp nên (cùng bù ) (cùng sđ), (hai góc đồng vị MP// CB)

 

AMPAPM Suy ra: Vậy tam giác AMP cân A.

c) Tìm điều kiện cho tam giác ABC để ba điểm M; K; O thẳng hàng:

/ / // //

H Q

P I

O N

M

C B

A



30

CAB CAB 300 Do Đảo lại: ta chứng minh P O:  300

CAB  MAB600 MAB MAO600   Khi (do AC phân giác ) Tam giác MAO cân O có nên MAO Do đó: AO = AM Mà AM = AP (do MAP cân A) nên AO = AP Vậy P O



30

CAB Trả lời: Tam giác ABC cho trước có ba điểm M; K O thẳng hàng. Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đường trịn tâm O đường kính AH cắt cạnh AB, AC M N ( A M&N) Gọi I, P Q

trung điểm đoạn thẳng OH, BH, CH Chứng minh:

 

AHN ACBa)

b) Tứ giác BMNC nội tiếp

c) Điểm I trực tâm tam giác APQ BÀI GIẢI

 

AHN ACBa) Chứng minh :



90

ANH  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).  900

AHC  AHN ACB HACNên Tam giác ANH vuông N (do AH đường cao ABC) nên tam giác AHC vuông H Do (cùng phụ )

b) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp:

 

AMN AHNTa có : (hai góc nội tiếp chắn cung AN)

 

AHN ACB (câu a)

 

AMN ACBVậy: Do tứ giác BMNC tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh I trực tâm tam giác APQ:

 OA = OH QH = QC (gt) nên QO đường trung bình tam giác AHC. Suy ra: OQ//AC, mà AC AB nên QO AB

      Tam giác ABQ có AH BQ QO AB nên O trực tâm tam giác Vậy BO AQ Mặt khác PI đường trung bình tam giác BHO nên PI // BO Kết hợp với BO AQ ta PI AQ Tam giác APQ có AH PQ PI AQ nên I trực tâm tam giác APQ (đpcm)

Bài 11 Cho đường trịn (O;R) đường kính AB.Gọi C điểm thuộc đường trịn (C A&B) M, N điểm cung nhỏ AC BC Các

H

/ /

= =

P

O K I

N M

C

B

A

a) Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường trịn ngoại tiếp tứ giác b) KN tiếp tuyến đường tròn (O; R)

c) Chứng minh C di động đường tròn (O;R) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định

BÀI GIẢI

a) Chứng minh tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường trịn ngoại tiếp tứ giác đó:

 

90

ACB ANB  Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)).

  900

ICP INP  Do đó:

 

180

ICP INP  Tứ giác ICPN có nên nội tiếp được đường tròn Tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác ICPN trung điểm đoạn thẳng IP

b) Chứng minh KN tiếp tuyến đường tròn (O) Tam giác INP vuông N, K trung điểm IP nên

1

KN KI  IP  

KIN KNI Vậy tam giác IKN cân K Do (1).

 

NKP NCP Mặt khác (hai góc nội tiếp chắn cung PN đường tròn (K)) (2)

 

CN BN  CN NB N trung điểm cung CB nên Vậy NCB cân N

 

NCB NBC INK IBCDo : (3) Từ (1), (2) (3) suy , hai góc vị trí đồng vị nên KN // BC

 Mặt khác ON BC nên KN ON Vậy KN tiếp tuyến đường tròn (O).

  900  900

KNI ONB   KNO Chú ý: * Có thể chứng minh

  900  900

KNA ANO   KNO * chứng minh

c) Chứng minh C di động đường tròn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định:

AM MC AOM MOC AOC

Ta có (gt) nên Vậy OM phân giác 

COB AOC COB MON 900

 Tương tự ON phân giác , mà kề bù nên Vậy tam giác MON vuông cân O

 2

2 R

/ /

//

//

H O

K

E D

C B

A

_ =

= /

/ O

K H

E D

C B

A

2 R

Vậy C di động đường trịn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định (O; )

Bài 12 Từ điểm A ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( B, C tiếp điểm) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) D E (D nằm A E , dây DE không qua tâm O) Gọi H trung điểm DE, AE cắt BC K

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn 

BHCb) Chứng minh HA tia phân giác

2 1

AK AD AE c) Chứng minh :

BÀI GIẢI

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp:

  900

ABO ACO  (tính chất tiếp tuyến)

  1800

ABO ACO  Tứ giác ABOC có nên nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh HA tia phân giác góc BHC:

 

ABAC AHB AHC AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy Do Vậy HA tia phân giác góc BHC

2 1

AK AD AE c) Chứng minh :  ABD AEB có:



BAE ABDAEB

1

2 BD chung, (cùng sđ )  Suy : ABD ~ AEB

2 .

AB AD

AB AD AE

AE AB   Do đó: (1)  ABK AHB có:



BAH ABK AHB ABAC

chung, (do ) nên chúng đồng dạng

2 .

AK AB

AB AK AH

60

O

J I

N M

B A

1

AH AK AE AD

  2

AH AK AE AD

  2 

AD DH

AE AD

 2

AD DH

AE AD 



AD AD ED AE AD

 

===

AE AD AE AD

 1

ADAE = (do AD + DE = AE DE = 2DH)

2 1

AK AD AEVậy: (đpcm).

 600

MAB Bài 13 Cho đường trịn (O;R) có đường kính AB Trên đường tròn (O;R) lấy điểm M cho Vẽ đường tròn (B; BM) cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai N

a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường trịn (B; BM)

b) Kẻ đường kính MOI đường tròn (O; R) MBJ đường tròn (B; BM) Chứng minh N, I J thẳng hàng JI JN = 6R2

c) Tính phần diện tích hình trịn (B; BM) nằm bên ngồi đường tròn (O; R) theo R

BÀI G I ẢI

a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến

  900

AMBANB đường trịn (B; BM) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O))

Điểm M N thuộc (B;BM); AM MB

và AN NB Nên AM; AN tiếp tuyến (B; BM). b) Chứng minh N; I; J thẳng hàng JI JN = 6R2.

 

90

MNI MNJ   (các góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm O tâm B) Nên IN MN JN MN Vậy ba điểm N; I J thẳng hàng

 600

MAO Tam giác MJI có BO đường trung bình nên IJ = 2BO = 2R Tam giác AMO cân O (vì OM = OA), nên tam giác MAO

AB MN H (tính chất dây chung hai đường trịn (O) (B) cắt nhau).

1

2OA2R

3

2

R R

R

  2.3

2 R

NJ R

  

Nên OH = Vậy HB = HO + OB = Vậy JI JN = 2R 3R = 6R2

_ / / // = M O I H D C B A

Gọi S diện tích phần hình trịn nằm (B; BM) nằm bên ngồi hình trịn (O; R) S1 diện tích hình trịn tâm (B; BM) S2 diện tích hình quạt MBN S3 ; S4 diện tích hai viên phân cung MB NB đường trịn (O; R)

Ta có : S = S1 – (S2 + S3 + S4)

 600  1200

MAB  MB  MB R  

2

2

3

R R

  

Tính S1: Vậy: S1 =  600

MBN  

 2 0 60 360 R  2 R 

Tính S2: S2 = =  1200

MOB 

2

0 120 360 R R   

Tính S3: S3 = Squạt MOB – SMOB Squạt MOB = 

1

1 2 AM MB

1

4R R

2

3 R

OA = OB SMOB = SAMB = = =

2

3 R



4 R 

Vậy S3 = = S4 (do tính chất đối xứng) Từ S = S1 - (S2 + 2S3)

2

3R

2 2 2 3

2

R R R

            2

11 3

6 R R

 

= – = (đvdt)

Bài 14 Cho đường tròn (O; R) , đường kính AB Trên tiếp tuyến kẻ từ A của đường tròn lấy điểm C cho AC = AB Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD đường tròn (O; R), với D tiếp điểm

a) Chứng minh ACDO tứ giác nội tiếp

b) Gọi H giao điểm AD OC Tính theo R độ dài đoạn thẳng AH; AD

 450

MHD c) Đường thẳng BC cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai M Chứng minh

d) Đường trịn (I) ngoại tiếp tam giác MHB Tính diện tích phần hình trịn nằm ngồi đường trịn (O; R)

BÀI GIẢI

a) Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp:

  900

CAO CDO  (tính chất tiếp tuyến).

  1800

CAO CDO  Tứ giác ACDO có nên nội tiếp đường tròn

OC AD

  OA = OD =R AH = HD Tam giác ACO vuông A, AH OC

2 2

1 1

AH AO AC  2

1

2

R  R

5 4R

2 5

R 5 R

nên = = Vậy AH = AD = 2AH =



45

MHD c) Chứng minh :  900

AMB  CMA 900 ACM MHD (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Hai đỉnh H M nhìn AC góc 900 nên ACMH tứ giác nội tiếp Suy ra:



45

ACB Tam giác ACB vuông A, AC = AB(gt) nên vuông cân Vậy

 450

MHD Do :

d) Tính diện tích hình trịn (I) nằm ngồi đường trịn (O) theo R:  900

CHD MHD 450  CHM 450 CBA 450 Từ mà (do CAB vuông cân ở B)

 

CHM CBA MHB MOB 900Nên Tứ giác HMBO nội tiếp Do Vậy tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác MHB trung điểm MB Gọi S diện tích phần hình trịn (I) ngồi đường trịn (O)

S1 diện tích nửa hình trịn đường kính MB S2 diện tích viên phân MDB Ta có S = S1 – S2 Tính S1:

 900 2

MB  MB R

2

1

2

R R   

 

  Vậy S1 =



2

0

.90

360

R R





2

4

R R 



Tính S2: S2 = SquạtMOB – SMOB = = 

2

4 R 



2

4

R R 



2

2 R

S = ( ) =

Bài 15 Cho đường trịn (O) đường kính AB 6cm Gọi H làđiểm nằm A B cho AH = 1cm Qua H vẽ đường thẳng vng góc với AB , đường thẳng cắt đường tròn (O) C D Hai đường thẳng BC DA cắt M Từ M hạ đường vng góc MN với đường thẳng AB ( N thuộc thẳng AB)

a) Chứng minh MNAC tứ giác nội tiếp 

ABCb) Tính độ dài đoạn thẳng CH tính tg.

E I K

H O

N M

D C

B A

d) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt NC E Chứng minh đường thẳng EB qua trung điểm đoạn thẳng CH

BÀI GIẢI

a) Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp:  900

ACB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  900

MCA N C 1800Suy Tứ giác MNAC có nên nội tiếp đường trịn

b) Tính CH tg ABC

 AB = (cm) ; AH = (cm) HB = (cm).   Tam giác ACB vuông C, CH AB

5

CH

 

5 CH

BH  CH2 = AH BH = = (cm) Do tg ABC = c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường tròn (O):

 

NCA NMA NMA ADC ADC ABC AC NCA ABC



2 ABC 

AC 

1 NCA

  

AC Ta có (hai góc nội tiếp chắn cung AN đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNAC) (so le MN // CD) (cùng chắn ) Nên Do sđ sđ Suy CN tiếp tuyến đường tròn (O) (xem lại tập 30 trang 79 SGK toán tập 2)

d) Chứng minh EB qua trung điểm CH:

 AKB DCB DAB DCB DAB MAN MAN MCN MN Gọi K giao điểm của AE BC; I giao điểm CH EB KE//CD (cùngvới AB) (đồng vị) (cùng chắn cung BD) (đối đỉnh) (cùng chắn )

 

EKC ECK  KECSuy ra: cân E Do EK = EC Mà EC = EA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên EK = EA

KBE

 

CI BI

KE BE ABE 

IH BI

AE BE có CI // KE có IH // AE CI IH

KE AEVậy mà KE = AE nên IC = IH (đpcm).

Bài 16 Cho đường trịn tâm O, đường kính AC Vẽ dây BD vng góc với AC K (K nằm A O) Lấy điểm E cung nhỏ CD (E không trùng C D), AE cắt BD H

/ / ? _

 K

E H

M

O

D

C B

A c) Cho BD = 24cm; BC = 20cm Tính chu vi hình trịn (O)

d) BCD  Cho Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tam giác MBC cân M Tính góc MBC theo để M thuộc đường tròn (O)

Hướng dẫn

c) Tính BK = 12 cm, CK = 16 cm, dùng hệ thức  lượng tính CA = 25 cm R = 12,5 cm.

Từ tính C = 25

d) M (O) ta cần có tứ giác ABMC nội tiếp.  ABM ACM 1800



0

90 180

2 MBC 

   

 1800

4 MBC  

Từ tính

Bài 17 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc xAC cắt nửa đường tròn D, tia AD BC cắt E

a) Chứng minh ABE cân

b) Đường thẳng BD cắt AC K, cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp

 300

CAB c) Cho Chứng minh AK = 2CK.

Bài 18 Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB; AC cát tuyến AMN không qua tâm O Gọi I trung điểm MN

a) Chứng minh AB2 = AM AN

b) Chứng minh tứ giác ABIO nội tiếp IB DB

IC DCc) Gọi D giao điểm BC AI Chứng minh 

BACBài 19 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Phân giác cắt BC D cắt đường tròn M Phân giác Acắt đường thẳng BC E cắt đường tròn N Gọi K trung điểm DE Chứng minh:

a) MN vng góc với BC trung điểm BC

 

ABN EAK b)

Bài 20 Cho ba điểm A, B,C nằm đường thẳng xy theo thứ tự Vẽ đường trịn (O) qua B C Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM AN Gọi E F trung điểm BC MN

a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB AC

b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) I Chứng minh IN // AB

c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm đường thẳng cố định đường tròn (O) thay đổi

Bài 21 Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R Điểm C nằm (O) mà AC > BC Kẻ CD  AB ( D  AB ) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt BC E

Tiếp tuyến C đường tròn (O) cắt AE M OM cắt AC I MB cắt CD K a) Chứng minh M trung điểm AE

b) Chứng minh IK // AB

c) Cho OM = AB Tính diện tích tam giác MIK theo R

Bài 22 Trên cung nhỏ BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy một điểm P tuỳ ý Gọi giao điểm AP BC

a) Chứng minh BC2 = AP AQ

b) Trên AP lấy điểm M cho PM = PB Chứng minh BP+PC= AP

1 1

PQ PB PC c) Chứng minh

Bài 23 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R điểm C nằm ngồi nửa đường trịn CA cắt nửa đường tròn M, CB cắt nửa đường tròn N Gọi H giao điểm AN BM

a) Chứng minh CH  AB

b) Gọi I trung điểm CH Chứng minh MI tiếp tuyến nửa đường tròn (O)



MNc) Giả sử CH =2R Tính số đo cung

Bài 24 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R dây MN có độ dài bán kính (M thuộc cung AN) Các tia AM BN cắt I Các dây AN BM cắt K



MIN AKBa) Tính

b) Tìm quỹ tích điểm I quỹ tích điểm K dây MN thay đổi vị trí c) Chứng minh I trực tâm tam giác KAB

e) Với vị trí dây MN tam giác IAB có diện tích lớn nhất? Tính giá trị diện tích lớn theo R

Bài 25 Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B C Gọi M, N P theo thứ tự là điểm cung AB, BC AC BP cắt AN I, NM cắt AB E

Gọi D giao điểm AN BC Chứng minh rằng: AN AB

BN BD a) BNI cân b) AE.BN = EB.AN c) EI  BC d)

Bài 26 Cho hai đường trịn (O) (O1) ngồi Đường nối tâm OO1 cắt đường tròn (O) (O1) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến tuyến chung EF (E  (O), F  (O1)) Gọi M giao điểm AE DF, N giao điểm EB FC Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN  AD

c) ME MA = MF MD

- HẾT