Tài liệu ôn thi vào 10

Mét ®êng th¼ng d chia tam gi¸c ABC cho tríc thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau vµ chu vi b»ng nhau... Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC..[r]

ôn tập vào lớp 10 năm học 2009-2010

PhÇn 1: Các loại tập biểu thức Bài 1: Cho biÓu thøc : 

      a a a a P a 

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị a để P<1

Bµi 2: Cho biÓu thøc: P= 

                         2 : 1 x x x x x x x x x

a) Rót gän P

b)Tìm giá trị a để P<0

Bµi 3: Cho biĨu thøc: P= 

                       3 : 1 x x x x x x x

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x để P=

5

Bµi 4: Cho biÓu thøc P= 

                     1 : 1 a a a a a a a a a) Rót gän P

b) Tìm giá tr ca a P<1

c) Tìm giá trị cđa P nÕu a 19 

Bµi 5: Cho biÓu thøc: P=

                                a a a a a a a a a 1 1 : )

( 3

a) Rót gän P

b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc M=a.(P-12)

Bµi 6: Cho biĨu thøc: P = 

                          2 1 : 1 2 x x x x x x x x x x

a) Rót gän P

b) Tính giá trị P x 3 2

1  

Bµi 7: Cho biÓu thøc: P= 

                   

 : 1

1 x x x x x x x x

a) Rót gän P

Bµi 8: Cho biĨu thøc: P=                       a a a a a a a a 1 1 3

a) Rót gän P

b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc P 1 a

Bµi 9: Cho biĨu thøc P=

1 1 1 :

1 

               x x x x x x x x

a) Rót gän P

b) So sánh P với

Bài 10: Cho biÓu thøc : P= 

                    a a a a a a a a 1 1 a) Rót gän P

b) Tìm a để P<7 

Bµi 11: Cho biĨu thøc: P= 

                     



2 : 3 3 x x x x x x x x

a) Rót gän P

b) Tìm x để P<12

c) Tìm giá trị nhỏ P

Bài 12: Cho biÓu thøc: P= 

                          2 : x x x x x x x x x x

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x để P<1

Bµi 13: Cho biÓu thøc : P= 152 113 31 2 33

         x x x x x x x

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x để P=12 c) Chứng minh P

3 

Bµi 14: Cho biĨu thøc: P= 2 4 m x m m x x m x x    

 víi m>0

a) Rót gän P

b) Tính x theo m để P=0

c) Xác định giá trị m để x tìm đợc câu b thoả mãn điều kiện x>1

Bµi 15: Cho biÓu thøc P= 1       a a a a a a a

a) Rót gän P

b) Biết a>1 Hãy so sánh P với P c) Tìm a để P=2

Bµi 16: Cho biĨu thøc P=                            1 1 : 1 1 ab a ab ab a ab a ab ab a

a) Rót gọn P

b) Tính giá trị P a=2  vµ b=

3 1

c) Tìm giá trị nhỏ P nÕu a b 4

Bµi 17: Cho biĨu thøc : P= 

                        1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a

a) Rót gän P

b) Víi gi¸ trị a P=7 c) Với giá trị a P>6

Bài 18: Cho biểu thøc: P=                      1 1 2 a a a a a a a) Rót gän P

b) Tìm giá trị a để P<0 c) Tìm giá trị a để P=-2 Bài 19: Cho biểu thức P= 

ab a b b a b a ab b a   

 .

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rút gọn P

c) Tính giá trị P a=2 vµ b=

Bµi 20: Cho biĨu thøc : P= : 2 1 1                 x x x x x x x x

a) Rót gän P

b) Chøng minh r»ng P>0 x 1

Bµi 21: Cho biÓu thøc : P=                        : 1 x x x x x x x x

a) Rót gän P

b) TÝnh P x=5 2

Bµi 22: Cho biÓu thøc P= x x x x

x

1 : 42 :                  

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x để P=20

Bµi 23: Cho biÓu thøc : P= xx yy xy xy   x xy y xy          

 3

:

a) Rót gän P

b) Chøng minh P 0

Bµi 24: Cho biĨu thøc P=

                               

 a ab b

a) Rót gän P

b) TÝnh P a=16 vµ b=4

Bµi 25: Cho biĨu thøc: P= 2 1 1                   a a a a a a a a a a a a

a) Rót gän P b) Cho P=

6

6

tìm giá trị a

c) Chøng minh r»ng P>

3

Bµi 26: Cho biĨu thøc: P= 

                          5 15 25 : 25 x x x x x x x x x x

a) Rót gän P

b) Với giá trị x P<1

Bµi 27: Cho biĨu thøc P=

   b ab a b a a b a b b a a a b ab a a 2 : 3                  

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên Bài 28: Cho biểu thức P= 

                   2 : 1 a a a a a a

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị a để P>

6

Bµi 29: Cho biÓu thøc:

P= 3

3 : 1 1 xy y x y y x x y x y x y x y x                        

a) Rót gän P

b) Cho x.y=16 Xác định x,y để P có giá trị nhỏ Bài 30: Cho biểu thức : P= xyx y x x xxy y  xx

 1 2 2

a) Rót gän P

b) Tìm tất số nguyên dơng x để y=625 P<0,2 Bài tập rút gọn

Bµi 31 :

1) Đơn giản biểu thức : P = 14 5  14 5 .

2) Cho biÓu thøc : Q = x x x

x

x x x

�   � 



� �

�   �

� �

b) Tìm x để Q > - Q.

c) Tìm số ngun x để Q có giá trị nguyên.

H

íng dÉn : 1 P = 6

2 a) §KX§ : x > ; x � BiĨu thøc rót gän : Q =

1  x .

b) Q > - Q  x > 1.

c) x = 2;3 th× Q  Z

Bµi 32 : Cho biĨu thøc P = x 11  x xx

 

a) Rót gän biĨu thøc sau P.

b) Tính giá trị biểu thức P x = 12.

H

íng dÉn :

a) §KX§ : x > ; x � BiĨu thøc rót gän : P =

x x

 

1

.

b) Víi x = 12 th× P = - – 2 2.

Bµi 33 : Cho biĨu thøc : A = 11 11 

 

x x x

x x

a) Rót gän biĨu thøc sau A.

b) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A x = 41

c) Tìm x để A < 0.

d) Tìm x để A = A.

H

íng dÉn :

a) §KX§ : x � 0, x � BiĨu thøc rót gän : A =

1 

x x

.

b) Víi x = 14 th× A = - 1.

c) Víi  x < th× A < 0.

d) Víi x > A = A.

Bài 34 : Cho biÓu thøc : A = 1

a a a

�  �� �

�   �� �

� �� �

a) Rót gän biĨu thøc sau A.

b) Xác định a để biểu thức A > 21 .

H

a) §KX§ : a > vµ a�9 BiĨu thøc rót gän : A =

3

 a .

b) Víi < a < biểu thức A > 12

Bài 35 : Cho biÓu thøc: A =

2

x x x 4x x 2003.

x x x x

�      � 

�   �

� � .

1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa. 2) Rút gọn A.

3) Với x � Z ? để A � Z ?

H

íng dÉn :

a) §KX§ : x ≠ ; x ≠ 

b) BiĨu thøc rót gän : A = x 2003x víi x ≠ ; x ≠  1.

c) x = - 2003 ; 2003 th× A � Z .

Bµi 36 : Cho biĨu thøc: A =

 

2 x x x x x x

:

x

x x x x

 

�   �



� �

�   � 

� � .

a) Rót gän A.

b) Tìm x để A < 0.

c) Tìm x ngun để A có giá trị nguyên.

H

íng dÉn :

a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A = xx11.

b) Víi < x < th× A < 0. c) x = 4;9 th× A  Z.

Bµi 37 : Cho biĨu thøc: A = x x : x x x x x 1 x

�  � 

 

� �

�     �

� �

a) Rót gän biÓu thøc A.

b) Chøng minh r»ng: < A < 2.

H

íng dÉn :

a) §KX§ : x > ; x ≠ BiĨu thøc rót gän : A = x 2x1

b) Ta xÐt hai trêng hỵp :

+) A > 

1

  x

+) A < 

1

  x

x <  2(x x1) >  x  x > đúng

v× theo gt x > (2)

Từ (1) (2) suy < A < 2(đpcm)

Bài 38 : Cho biÓu thøc: P = a a a 44 a

a a

    



  (a � 0; a �

4)

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị cđa P víi a = 9.

H

íng dÉn :

a) §KX§ : a � 0, a �4 BiĨu thøc rót gän : P =

2

 a

b) Ta thÊy a =  §KX§ Suy P = 4

Bµi 39 : Cho biĨu thøc: N = a a a a

a a

�  ��  �

 

� �� �

�  ��  �

� �� �

1) Rót gän biĨu thøc N.

2) Tìm giá trị a để N = -2004

H

íng dÉn :

a) §KX§ : a � 0, a �1 BiĨu thøc rót gän : N = – a

b) Ta thÊy a = - 2004 ĐKXĐ Suy N = 2005.

Bài 40 : Cho biÓu thøc P x xx 226xx319 2xx1 xx 33

      

 



a Rót gän P

b Tính giá trị P x7 4 3

c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ đó.

H

íng dÉn :

a ) §KX§ : x � 0, x �1 BiĨu thøc rót gän :

3 x

16 x P

 



b) Ta thÊy x7 4 3  §KX§ Suy

22 3 3 103

P 

Bµi 41 : Cho biĨu thøc                          2 : 3 3 x x x x x x x x P

a Rút gọn P b Tìm x để P  21 c Tỡm

giá trị nhỏ P.

H

íng dÉn :

a ) §KX§ : x � 0, x �9 BiĨu thøc rót gän :

3 x 3 P   

b Víi 0x9 th×

2 1

P 

c Pmin= -1 x = 0

Bµi 42: Cho A= 1

1

a a

a a

a a a

�   �� �

  

� �� �

�   �� �

� � víi x>0 ,x�1

a Rót gän A

b TÝnh A víi a = 4 15 10     4 15

( KQ : A= 4a )

Bµi 43: Cho A= :

9

x x x x x

x x x x x

� ��    �

  

� �� �

�  ��    �

� �� � víi x�0 , x�9,

x�4

a Rót gän A.

b x= ? Th× A < 1.

c Tìm x Z� để A Z�

(KQ : A= x32)

Bµi 44: Cho A = 15 11 2

2 3

x x x

x x x x

    

    víi x�0 , x�1.

a Rót gän A.

b T×m GTLN cđa A.

c Tìm x để A = 12

d CMR : A �23 (KQ: A = 2

3

x x



 )

Bµi 45: Cho A = 1

1 1

x x

x x x x x

   

    víi x�0 , x�1.

a Rót gän A.

b T×m GTLN cña A ( KQ : A =

1

x

Bµi 46: Cho A = x1 1x x3 1 x 2x 1

    víi x�0 , x�1.

a Rót gän A.

b CMR : 0� �A 1 ( KQ : A =

1

x

x x )

Bµi 47: Cho A = : 25

25 15

x x x x x

x x x x x

�  ��      �

� �� �

�  ��    �

� �� �

a Rót gän A.

b Tìm x Z� để A Z�

( KQ : A =

5

x )

Bµi 48: Cho A =

5

a a a

a a a a

    

    víi a �0 , a�9 , a�4.

a Rót gän A.

b Tìm a để A < 1

c Tìm a Z� để A Z� ( KQ : A =

3

a a

  )

Bµi 49: Cho A= : 2

4 2

x x x x x

x x x x x

�  ��   �

  

� �� �

�   ��    �

� �� � víi x >

0 , x�4

a Rót gän A.

b So s¸nh A víi 1A ( KQ : A = 6xx9 )

Bµi50: Cho A =  

2

3

: x y xy

x y

x y

y x

x y x y

�   �  

�  �

�   � 

� � víi x

�0 , y�

0, x�y

a.Rót gän A.

b. CMR : A �0 ( KQ : A = xy

Bµi 51 : Cho A = 1 1

1

x x x x x x

x

x x x x x x x

� �

   �  �   

� �

� �� �

  � ��   � Víi x >

0 , x�1.

a Rót gän A.

b Tìm x để A = ( KQ : A =

 

2 x x

x

 

)

Bµi 52 : Cho A =   :

2

2

x x x

x x x

x x

�  ��  �

�  ��  �

� �

�   ��  �

� �

víi x > , x�4.

a Rót gän A

b TÝnh A víi x = 6 5 (KQ: A = 1 x)

Bµi 53 : Cho A= 1 : 1

1 x x x x x

�  ��  �

�  ��  �

� �� � víi x > , x�

1.

a Rót gän A

b TÝnh A víi x = 6 5 (KQ: A =

2 x )

Bµi 54 : Cho A=

2 1

:

1

1

x x

x x x

x

�  ��  �

 

� �� �

�   ��   �

� � víi x�0 , x�1.

a Rót gän A.

b Tìm x Z� để A Z� (KQ: A =

3

x

x )

Bµi 55: Cho A= 2 :

1 1

x

x

x x x x x x

�  �� �

 

� �� �

�     ��   �

� � víi x�0 , x�

1.

a Rót gän A.

b Tìm x Z� để A Z�

c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: A =

1

x x

  )

Bµi 56 : Cho A = 3 : 2

3 3

x x x x

x

x x x

�  ��  �

  

� �� �

�    ��  �

� �� � víi x�0 , x�9

b Tìm x để A < -12

( KQ : A = a33)

Bµi 57 : Cho A = 1 :

1

1 1

x x x x x

x x

x x x

�   ��   �

  

� �� �

�    ��   �

� �� � víi x�0 , x

�1.

a Rót gän A

b TÝnh A víi x = 6 5 (KQ: A =

4

x

x )

c CMR : A �1

Bµi 58 : Cho A = 1 :

1

x

x x x x x



�  �

�  �  

� � víi x > , x�

1.

a Rót gän A (KQ: A =

1

x x



)

b.So s¸nh A víi 1

Bµi 59 : Cho A = 1 :

3 3

x x x

x

x x x

�  ��  �

  

� �� �

�    ��  �

� �� � Víi

1 0,

9

x� x�

a Rót gän A.

b Tìm x để A =65

c Tìm x để A < 1.

( KQ : A =

3

x x

x

  )

Bµi 60 : Cho A = 2 2

1 2

x x x x

x x x

�   �  



� �

�    �

� � víi x�0 , x�1.

a Rót gän A.

b CMR nÕu < x < th× A > 0

c TÝnh A x =3+2

d T×m GTLN cđa A (KQ: A = x(1 x)

Bµi 61 : Cho A = :

1 1

x x x

x x x x x

�  � 

 

� �

�     �

� � víi x�0 , x�1.

a Rót gän A.

b CMR nÕu x�0 , x�1 th× A > , (KQ: A =

2

x x )

Bµi 62 : Cho A = :

1

1

x x

x x

x



�  �

�   � 

� � víi x > , x�1,

x�4.

a Rót gän

b Tìm x để A = 12

Bµi 63 : Cho A = :

1

1

x x x x

x x

x x

�    �� �

 

� �� �

�   ��   �

� � víi x�0 , x�1.

a Rót gän A.

b TÝnh A x= 0,36

c Tìm x Z� để A Z�

Bµi 64 : Cho A= : 2

1

x x x x

x x x x x

� ��    �

  

� �� �

�  ��     �

� �� � víi x �0 ,

x�9 , x�4.

a Rót gän A.

b Tìm x Z� để A Z�

c Tìm x để A < (KQ: A =

x x

  )

Phần 2: Các tập hệ ph ơng trình bậc 2: Bài 1: Cho phơng trình : m 2x  212  2 xm2

a) Gi¶i phơng trình m

b) Tỡm m để phơng trình có nghiệm x3 

c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Bài 2: Cho phơng trình :

 4 2    

 x mx m

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x Tìm nghiệm cịn lại

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt c) Tính

2

1 x

x  theo m Bµi 3: Cho phơng trình :

2    

 m x m

x (x lµ Èn )

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu

b) Chứng minh phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m

c) Chøng minh biểu thức M=x11 x2x21 x1 không phụ thuộc vào

m

Bài 4: Tìm m để phơng trình :

a) x2 x2m 1 0 cã hai nghiÖm dơng phân biệt

b) 4x22xm10 có hai nghiệm ©m ph©n biÖt

c) m21x2  2m1x2m10 cã hai nghiệm trái dấu

Bài 5: Cho phơng trình :  1 2     

 a x a a

x

a) Chứng minh phơng trình có nghiƯm tr¸I dÊu víi mäi a

b) Gäi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trÞ cđa a

để

2

1 x

x  đạt giá trị nhỏ

Bµi 6: Cho b vµ c lµ hai sè tho¶ m·n hƯ thøc:1121 c b

CMR Ýt nhÊt hai phơng trình sau phải có nghiệm

0

2

  

  

b cx x

c bx x

Bài 7:Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm số chung:

42 93 22 1236 00((12))

   

   

x m x

x m x

Bài 8: Cho phơng trình :

2x2 2mxm2 20

a) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân bit

b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm d-ơng lớn phd-ơng trình

Bài 9: Cho phơng trình bậc hai tham số m : x24xm10

a) Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm

b) T×m m cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả m·n

®iỊu kiƯn

10

2

1 x 

x

Bµi 10: Cho phơng trình

2 1    

 m x m

a) Chứng minh phơng trình ln có hai nghiệm với m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu Khi hai

nghiƯm mang dÊu g× ? Bài 11: Cho phơng trình

2 1 10    

 m x m

x (víi m lµ tham số )

a) Giải biện luận số nghiệm phơng trình

b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2

; hÃy tìm hệ thức liên hệ x1; x2 mà không phụ thuộc

vào m

c) Tìm giá trị m để 2 2

10xx x x đạt giá trị nh nht

Bài 12: Cho phơng trình

 1 2    

 x mx m

m víi m tham số

a) CMR phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt m 1

b) Xác định giá trị m dể phơng trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiêm ca phng trỡnh

c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức:

1 2

1   

x x x x

Bài 13: A) Cho phơng trình :

x2 mxm10 (m tham số)

a) Chứng tỏ phơnh trình có nghiệm x1; x2 víi mäi m ; tÝnh

nghiƯm kÐp ( có) phơng trình giá trị m tơng ứng

b) Đặt

2 2

1 x 6 xx

x

A  

 Chøng minh Am2 8m8

Tỡm m A=8

Tìm giá trị nhỏ A giá trị m tơng ứng

c) Tìm m cho phơng trình có nghiệm hai lần nghiệm

B) Cho phơng trình

x2 2mx2m 10

a) Chứng tỏ phơnh trình cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m

b) §Ỉt A= 2

2

1 )

(

2 x x  xx

 CMR A=8m2  18m9

 T×m m cho A=27

c)Tìm m cho phơng trình có nghiệm hai nghiệm

Bài 14: Giả sử phơng trình a.x2 bxc0 có nghiệm phân biệt

2 1; x

x .Đặt n n

n x x

a) CMR a.Sn2bSn1cSn 0

b) ¸p dơng TÝnh gi¸ trÞ cđa : A=

5 5                   

Bµi 15: Cho

f(x) = x2 - (m+2).x + 6m+1

a) CMR phơng trình f(x) = 0có nghiệm với m

b) Đặt x=t+2 Tính f(x) theo t, từ tìm iu kin i vi m

phơng trình f(x) = 0có nghiệm lớn

Bài 16: Cho phơng trình :

x2 2m1xm2 4m50

a) Xác định giá trị m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng

c) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối trái dấu

d) Gäi x1; x2 hai nghiệm có phơng trình TÝnh 22

1 x

x 

theo m

Bài 17: Cho phơng trình x2 4x 380 cã hai nghiƯm lµ 1; x

x .

Không giải phơng trình , hÃy tính giá trÞ cđa biĨu thøc :

2 3 2 2 5 10 x x x x x x x x M    

Bµi 18: Cho phơng trình

xx 2m2xm10

a) Giải phơng trình m=

2

b) Tỡm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m

để :

2

2

1(1 2x ) x (1 2x ) m

x

Bài 19: Cho phơng tr×nh

x2mxn 30 (1) (n , m lµ tham sè)

 Cho n=0 CMR phơng trình có nghiệm với m

 Tìm m n để hai nghiệm x1; x2 phơng trình (1)

tho¶ m·n hƯ :        2 2 x x x x

Bài 20: Cho phơng trình:

2 2    

 k x k

x ( k lµ tham sè)

a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị k b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị cña k

18

2

1 x 

x

Bài 21: Cho phơng trình

2 4   

 x mx

m (1)

a) Giải phơng trình (1) m=1 b) Giải phơng trình (1) m bÊt k×

c) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm m Bài 22:Cho phơng trình :

2 3    

 m x m m

x

a) CMR phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2thoả mãn

6

1x1 x2 Bµi tËp vỊ hµm sè bËc nhÊt

B

µi 23:

1) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4)

2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng với trục tung trục hồnh

H

íng dÉn :

1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b

Do đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) ta có hệ pt :

  

   

 

b a

b a

4 2

  

  

1 3

b a

Vậy pt đờng thẳng cần tìm y = 3x – 13

B

µi 24 Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3.

1) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến

2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ

3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy

H

íng dÉn :

1) Hµm sè y = (m – 2)x + m +  m – <  m < 2.

2) Do đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Suy : x= ; y =

3) Giao điểm hai đồ thị y = -x + ; y = 2x – nghiệm hệ pt :

  

 

  

1 2

2

x y

x y

 (x;y) = (1;1)

Để đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + y = 2x – đồng quy cần :

(x;y) = (1;1) lµ nghiƯm cña pt : y = (m – 2)x + m + Víi (x;y) = (1;1)  m =

2 

2) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -1 ; Đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ

B

µi 25: Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3.

1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x +

2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m

H

íng dÉn :

1) Để hai đồ thị hàm số song song với cần : m – = -

 m = -1.

Vậy với m = -1 đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x +

2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + Ta đợc : m = -3

Vậy với m = -3 đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị qua M(x0 ;y0) Ta có

y0 = (m – 1)x0 + m +  (x0 – 1)m - x0 - y0 + = 

  

  2 1

0

y x

Vậy với m đồ thị qua điểm cố định (1;2)

B

à26 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB

2) Tìm giá trị m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 –

Ta cã : víi m  Z 2m , vây phơng trình có nghiÖm : x = - (m + 2) - 2m4-3

để pt có nghiệm ngun  2m –

Giải ta đợc m = 2, m =

VÝ dơ : T×m nghiệm nguyên dơng phơng trình : 7x + 4y = 23

Gi¶i :

a) Ta cã : 7x + 4y = 23  y = 234-7x = – 2x + x 4 V× y  Z  x – 

Giải ta đợc x = v y =

bài tập phần hệ pt B

ài : Giải hệ phơng trình: a)��  2x 3y3x 4y 2  5

� b)

x 4y 4x 3y

  �

�  

� c)

2x y y 4x

  � �  

� d) x y

x y   � �   �

e) ��   2x 04x 2y  3

� f)

2

2 x x y 1,7 x x y

�  

� 

� �

�  

� 

�

B

µi : Cho hệ phơng trình : mx y

x my   �

�  

1) Giải hệ phơng trình theo tham số m

2) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm giá trị m để x + y = -1

3) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m B

ài : Cho hệ phơng trình: x 2y m

2x y 3(m 2)    �

�   

�

1) Giải hệ phơng trình thay m = -1

2) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm m để x2 + y2

đạt giá trị nhỏ B

(a 1)x y a x (a 1)y

   �

�   

� cã nghiƯm nhÊt lµ (x; y)

1) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào a 2) Tìm giá trị a thoả mãn 6x2 – 17y = 5.

3) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức 2x 5yx y nhận giá trị nguyên

B

µi : Cho hệ phơng trình: x ay

(1) ax y

  � �   �

1) Gi¶i hƯ (1) a =

2) Với giá trị a hÖ cã nghiÖm nhÊt B

ài : Xác định hệ số m n, biết hệ phơng trình mx y n

nx my   �

�  

�

cã nghiƯm lµ 1; 3

4.Vài tốn ứng dụng định lý Viét a)Tính nhm nghim.

Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a  0)

 NÕu a + b + c = th× phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2

= ac

 NÕu a – b + c = phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2

= - ac

 NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn phơng trình có

nghiệm

x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m

b) Lập phơng trình bËc hai biÕt hai nghiƯm x1 ,x2 cđa nã

Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2

- LËp tÝch p = x1x2

- Phơng trình cần tìm lµ : x2 – S x + p =

c)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trớc.(Các điều kiện

cho trớc thờng gặp cách biến đổi):

*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p

*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p

*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp

*) 2 1 x x x x x x    = p S *) 2 2 1 2 x x x x x x x x    = p p S2 

*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2

*)

2 2 ) )( ( 1 a aS p a S a x a x a x x a x a

x  

         

(Chú ý : giá trị tham số rút từ điều kiện cho trớc phải thoả mÃn ®iỊu kiƯn  0)

d)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trớc Tìm nghiệm thứ 2

Cách giải:

Tỡm iu kin phng trỡnh có nghiệm x= x1 cho trớc có

hai c¸ch lµm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc cho có nghiệm:

0 (hc / 

 ) (*)

- Thay x = x1 vào phơng trình cho ,tìm đợc giá

trÞ cña

tham sè

- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc tham số với điều kiện(*)

để kết luận

+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện (hoặc /

) mà ta

thay lu«n

x = x1 vào phơng trình cho, tìm đợc giá trị

cđa tham sè

- Sau thay giá trị tìm đợc tham số vào ph-ơng trình

giải phơng trình

Chỳ ý : Nu sau thay giá trị tham số vào phơng trình

cho mà phơng trình bậc hai có  < kết luận khơng có giá trị tham số để phơng trình có nghim x1 cho trc

Đê tìm nghiệm thứ ta có cách làm

+) Cỏch 1: Thay giá trị tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình (nh cách trình bầy trên)

+) Cách :Thay giá trị tham số tìm đợc vào cơng thức tổng nghiệm tìm đợc nghiệm thứ

B Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải biện luận phơng trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 =

0

Gi¶i. Ta cã / = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 –

+ NÕu / >  m2 – >  m < - m > Phơng

trỡnh cho có nghiệm phân biệt: x1 = m + - m2  x2 = m + + m2 

+ NÕu / =  m = 3

- Víi m =3 phơng trình có nghiệm x1.2 =

- Với m = -3 phơng trình có nghiệm lµ x1.2 = -2

+ NÕu / < -3 < m < phơng trình vô nghiệm

Kết kuận:

Với m = phơng trình có nghiệm x = Với m = - phơng trình có nghiƯm x = -2

 Víi m < - m > phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt

x1 = m + - m2  x2 = m + + m2 

 Víi -3< m < phơng trình vô nghiệm

Bài 2: Giải biện luận phơng trình: (m- 3) x2 2mx + m – = 0

Híng dÉn

 Nếu m – =  m = phơng trình cho có dạng

- 6x – =  x = -

2

* Nếu m – 0  m  Phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số / = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18

- NÕu / =  9m – 18 =  m = phơng trình có nghiệm

kép

x1 = x2 = - 223

/  

a b

= -

- NÕu / > m >2 Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt

x1,2 =

3

  

m m m

- NÕu / <  m < Phơng trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2

Víi m > vµ m phơng trình có nghiệm x1,2 = 3

  

m m m

Với m < phơng trình vô nghiệm

Bài 3: Giải phơng trình sau cách nhẩm nhanh nhÊt a) 2x2 + 2007x – 2009 =

b) 17x2 + 221x + 204 = 0

c) x2 + ( 3  5)x - 15 =

d) x2 –(3 - 2 7)x - 6 7 = 0

Gi¶i

a) 2x2 + 2007x – 2009 = cã a + b + c = + 2007 +(-2009) =

0

Vậy phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt: x1 = , x2 =

2 2009   a c

b) 17x2 + 221x + 204 = cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0

VËy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 ,

x2 = - ac  20417 = - 12

c) x2 + ( 3  5)x - 15 = cã: ac = - 15 <

Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ

thøc Viet ta cã :

x1 + x2 = -(  5) = - +

x1x2 = - 15 = (- 3)

Vậy phơng trình có nghiƯm lµ x1 = - , x2=

(hc x1 = , x2 = - 3)

d ) x2 –(3 - 2 7)x - 6 7 = cã : ac = - 6 7 <

Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ

thøc ViÐt ,ta cã

   

 

 

) 7 3(-2 7 6 - x x

7 2 - 3 x x

2

2

Vậy phơng trình có nghiÖm x1 = , x2 = -

Bài : Giải phơng trình sau cánh nhẩm nhanh (m tham số)

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = 0

Híng dÉn :

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m

+ =

Suy : x1 =

Hc x2 = 3

 m

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*)

* m- =  m = (*) trë thµnh – 4x – =  x = - 1

* m –   m  (*)            2 m m x x

Bài 5: Gọi x1 , x2 nghịêm phơng trình : x2 3x =

a) TÝnh:

A = x12 + x22 B = x 1 x2

C= 1 1

2

1 

  x

x D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

b) lập phơng trình bậc có nghiệm 1

1

x vµ 1

2 

x

Giải ;

Phơng trình bâc hai x2 3x – = cã tÝch ac = - < , suy ra

phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2

Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7

a)Ta cã

+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23

+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = x 1 x2 = S2  4p  37

+ C = 1 1

2

1 

  x

x =

1 ) )( ( ) ( 2

1 

        S p S x x x x + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2

= 10x1x2 + (x12 + x22)

= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1

b)Ta cã :

S = 1 1 91

2      x

x (theo c©u a)

p = ( 1)(1 1) 1 91

2      

 x p S

x

VËy 1

1 

x vµ 1

2

x nghiệm hơng trình :

X2 – SX + p =  X2 +

9

X -

9

=  9X2 + X - = 0

x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè)

1 Chứng minh phơng trình (1 ) có hai nghiệm phân biệt với giá trị k

2 Tìm giá trị k để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu

3 Gọi x1 , x2 nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 +

x23 >

Giải.

1 Phơng trình (1) phơng tr×nh bËc hai cã:

 = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 -

5

k + 59) = 5(k2 – 2.

5

k + 259 + 3625 ) = 5(k - 53) + 365 > víi mäi gi¸ trị k Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

2 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p <

 - k2 + k – <  - ( k2 – 2.

2

k + 41 + 47 ) <

 -(k -

2

)2 -

4

< ln với k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với k

3 Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)

Vì phơng trình có nghiệm với mäi k Theo hÖ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k –

 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)

= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]

= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)

= (k – 1)[(2k - 45 )2 +

16 87

] Do x13 + x23 >  (k – 1)[(2k - 4

5

)2 +

16 87

] >  k – > ( v× (2k -

4

)2 +

16 87

> víi mäi k)  k >

Vậy k > giá trị cần tìm Bài 7:

Cho phơng trình : x2 – 2( m + 1) x + m – = (1) (m lµ tham sè)

1 Giải phơng trình (1) với m = -5

2 Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2

ph©n biƯt víi mäi m

3 Tìm m để x 1 x2 đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hao nghiệm

Gi¶i

1 Víi m = - phơng trình (1) trở thành x2 + 8x = vµ cã 2

nghiƯm lµ x1 = , x2 = -

2 Cã / = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m

+

= m2 + 2.m.

2

+

4

+

4 19

= (m +

2

)2 +

4 19

> víi mäi m

Vậy phơng trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2

3 Vì phơng tr×nh cã nghiƯm víi mäi m ,theo hƯ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m –

Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4)

= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +

2

)2 +

4 19

]

=> x 1 x2 =

4 19 )

(m 2

4 19

 = 19 m +

2

=  m =

-2

Vậy x 1 x2 đạt giá trị nhỏ 19 m = -

2

Bài : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – =

(m tham số)

1) Giải phơng tr×nh m = -

2

2) Chứng minh phơng trình cho có nghiệm với mi m

3) Tìm tất giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm

Gi¶i:

1) Thay m = - 29 vào phơng trình cho thu gọn ta đợc 5x2 - 20 x + 15 = 0

ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = , x2=

2) + Nếu: m + = => m = - phơng trình cho trở thành;

5x – =  x = 1

+ Nếu : m +  => m  - Khi phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số :

Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 2( 2)

5    m m

=

4    m m

x2 = 2

3 ) ( ) ( ) (          m m m m m m

Tóm lại phơng trình cho ln có nghiệm với m

3)Theo câu ta có m  - phơng trình cho cú hai

nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta sét trờng hợp

Trờng hỵp : 3x1 = x2  = 23

  m m

giải ta đợc m = - 29 (đã giải câu 1)

Trêng hỵp 2: x1 = 3x2  1= 23

  m m

 m + = 3m –  m =

2 11

(thoả mÃn điều kiện m - 2)

Kiểm tra lại: Thay m = 112 vào phơng trình cho ta đợc phơng trình :

15x2 – 20x + = phơng trình có hai nghiệm

x1 = , x2 = 15

5

= 13 (thoả mÃn đầu bài)

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m = (1) víi m lµ

tham sè

1 Biện luận theo m có nghiệm phơng trình (1) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Giải

1.+ NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – =  x = 43 + NÕu m 0 LËp biÖt sè /= (m – 2)2 – m(m-3)

= m2- 4m + – m2 + 3m

= - m +

/

 <  - m + <  m > : (1) v« nghiƯm

/

 =  - m + =  m = : (1) cã nghiÖm kÐp

x1 = x2 = - 422 21

/      m m a b /

 >  - m + >  m < 4: (1) cã nghiƯm ph©n biƯt

x1 =

m m m 2  4

; x2 =

m m m 2  4

VËy : m > : phơng trình (1) vô nghiệm

m = : phơng trình (1) Có nghiệm kép x = 21

x1 =

m m

m 2  4 ; x

2 =

m m m 2  4

m = : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x = 43 (1) có nghiệm trái dấu 

a c

< 

m m

<                     0 0 3 0 0 3 m m m m                   0 3 0 3 m m m m Trêng hỵp      0 3 m m

không thoả mÃn

Trờng hợp    0 3 m m

 < m < 3

3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm

/

   m  (*) (ở câu a có)

- Thay x = vào phơng trình (1) ta có :

9m – 6(m – 2) + m -3 =  4m = -9  m = -94 - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - 94 thoả mÃn

*) Cách 2: Không cần lập điều kiện / mà thay x = vµo

(1) để tìm đợc m = -49 Sau thay m = -49 vào phơng trình (1) :

-4

x2 –

2(-4

- 2)x -

4

- =  -9x2 +34x – 21 = 0

cã / = 289 – 189 = 100 > =>        x x

Cách 1: Thay m = - 94 vào phơng trình cho giải phơng trình để tìm đợc x2 = 9

7

(Nh phần làm)

C¸ch 2: Thay m = -94 vào công thức tính tổng nghiÖm:

x1 + x2 = 9

34

9 ) ( ) (

 

   

m m

 x2 = 349 - x1 = 349 - = 97

Cách 3: Thay m = - 94 vào công trức tÝnh tÝch hai nghiÖm

x1x2 = 9

21

9

 

   

m m

=> x2 = 219 : x1 = 219 : = 97

Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + – 5k = (1) víi k lµ tham

sè

1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép

2 Tim k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều

kiÖn :

x12 + x22 = 10

Giải.

1.Phơng tr×nh (1) cã nghiƯm kÐp  / =  k2 – (2 – 5k) =

 k2 + 5k – = ( cã  = 25 + = 33 > )

 k1 =

2 33 

 ; k

2 =

2 33

Vậy có giá trị k1 =  2 33 hc k2 =  2 33 phơng

trình (1) Có nghiệm kép 2.Có cách giải

Cỏch 1: Lp iu kiện để phơng trình (1) có nghiệm:

/

   k2 + 5k –  (*)

Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10

Víi ®iỊu kiƯn(*) , ¸p dơng hƯ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - ab - 2k vµ x1x2

= – 5k

VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10  2k2 + 5k – = 0

(Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = - 2

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào / = k2 +

5k –

+ k1 = => / = + – = > ; tho¶ m·n

+ k2 = - 2

7

=> /=

8 29

8 70 49 2 35 49

     

 không thoả mÃn

Vậy k = giá trị cần tìm

Cách : Không cần lập điều kiện / Cách giải là:

T điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = ; k2 = - 2

7

(cách tìm nh trên)

Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)

+ Với k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 =

+ Víi k2 = - 27 (1) => x2- 7x + 392 = (cã = 49 -78 = - 29 < )

.Phơng trình vô nghiệm Vậy k = giá trị cần tìm

Bµi tËp vỊ pt bËc hai B

ài : Cho phơng trình : x2 6x + = 0, gäi x

1 vµ x2 hai

nghiệm phơng trình Không giải phơng trình, hÃy tính: 1) x12 + x22

2) x x1 1x x2

3)    

2

1 x

2 2

1 2

x x x x x x x x x x

  

  

B

µi : Cho phơng trình: 2x2 5x + = 0.

TÝnh x x1 2x x2 (víi x1, x2 hai nghiệm phơng trình)

B

ài : Cho phơng trình bậc hai: x2 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 0

1) Tìm giá trị m để phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong x1, x2 hai

nghiƯm phơng trình) B

ài : Cho phơng trình:

x2 2mx + 2m = 0.

1) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m

2) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu 3) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2, tìm giá trị

m để:

x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8

B

x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0.

1) Giải phơng trình với m =

2) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị

m thoả m·n 5x1 + x2 =

Baøi : Cho phơng trình: x2 + 4x + = (1)

1) Giải phơng trình (1)

2) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình (1) Tính B = x13 + x23

B

µi : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m lµ tham

sè)

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13

+ x23 �

B

µi : Cho phơng trình:

(m 1)x2 + 2mx + m = (*)

1) Giải phơng tr×nh m =

2) Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm phân biệt

Bµi Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0

Xỏc nh m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Bài 10: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1  Xét 2m-10=> m 1/2 ta có

,

 = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0)

víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x=m2mm11=2m1 1 pt cã nghiƯm kho¶ng (-1,0)=> -1<2 1



m <0

   

 

  

0 1 2

0 1 1 2

1

m

m =>

   

 

 

0 1 2

0 1 2

2

m m m

=>m<0

VËy Pt cã nghiÖm khoảng (-1,0) m<0 Phần 3: Hệ ph ơng trình:

Bi53: Tỡm giỏ tr ca m để hệ phơng trình ;   

  

  

   

2

1

y m x

m y x m

a)        x y y x b)         4 y x y x c)         12 1 x y x y

Bµi 55: Cho hệ phơng trình :

     ay bx by x

a)Giải hệ phơng trình a b

b)Xác định a b để hệ phơng trình có nghiệm : * (1;-2)

* ( 1; 2)

*Để hệ có vô số nghiệm

Bài 56:Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m:         m my x m y mx

Bµi 57: Với giá trị a hệ phơng trình :        · y ax ay x

a) Cã mét nghiệm b) Vô nghiệm

Bài 58 :Giải hệ phơng trình sau:       19 2 y xy x y xy x

Bài 59*: Tìm m cho hệ phơng trình sau có nghiệm:                   1

2 m x y x y

y x

y x

Bài 60 :GiảI hệ phơng trình:     13 2 2 y xy x y xy x

Bài 61*: Cho a b thoả mÃn hệ phơng trình :      2 2 b b a a b b a

TÝnh a 2 b2

Bài 61:Cho hệ phơng trình :      a y x a y x a ) (

a) Gi¶i hệ phơng rình a=-

b) Xỏc nh giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y>0

Bµi 62: Cho hµm sè y= (m-2)x+n (d)

Tìm giá trị m n để đồ thị (d) hàm số : a) Đi qua hai điểm A(-1;2) B(3;-4)

b) Cắt trục tung điểm cótung độ 1- 2và cắt trục

hồnh điểm có hồnh độ 2+

c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0

d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1 Bài 63: Cho hàm số : y 2x2 (P)

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Tìm đồ thị điểm cách hai trục toạ độ

c) Xét số giao điểm (P) với đờng thẳng (d) y mx 1 theo m

d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') qua điểm M(0;-2) tiếp xúc với (P)

Bài 64 : Cho (P) y x2 đờng thẳng (d) y2xm

1.Xác định m để hai đờng :

a) Tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm

b) Cắt hai điểm phân biệt A B , điểm có hồnh độ x=-1 Tìm hồnh độ điểm cịn lại Tìm toạ độ A v B

2.Trong trờng hợp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M vµ N

Tìm toạ độ trung điểm I đoạn MN theo m tìm quỹ tích điểm I m thay đổi

Bài 65: Cho đờng thẳng (d) 2(m 1)x(m 2)y 2

a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y x2 hai điểm

ph©n biƯt A vµ B

b) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB theo m c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng Max d) Tìm điểm cố định mà (d) qua m thay đổi Bài 66: Cho (P) y x2

a) Tìm tập hợp điểm M cho từ kẻ đợc hai đờng thẳng vng góc với tiếp xúc với (P)

b) Tìm (P) điểm cho khoảng cách tới gốc toạ độ

Bài 67: Cho đờng thẳng (d)

  x

y

a) VÏ (d)

b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành (d) hai trục toạ độ

a) Nhận xét dạng đồ thị Vẽ đồ thị (d)

b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm phơng trình

m x 

Bài 69: Với giá trị m hai đờng thẳng :

(d) y(m1)x2 (d') y 3 x

a) Song song với b) Cắt

c) Vuông gãc víi

Bài 70: Tìm giá trị a để ba đờng thẳng :

12 ) (

2 )

(

5 ) (

3

 

 

 

x a y d

x y d

x y d

đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ

Bài 71: CMR m thay đổi (d) 2x+(m-1)y=1 qua điểm cố định

Bµi 72: Cho (P)

2

x

y  đờng thẳng (d) y=a.x+b Xác định a và

b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1;0) tiếp xúc với (P) Bài 73: Cho hàm số yx 1 x2

a) Vẽ đồ thị hàn số

b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm phơng trình x1 x2 m

Bài 74: Cho (P) y x2 đờng thẳng (d) y=2x+m

a) VÏ (P)

b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Bài 75: Cho (P)

4

2

x

y  vµ (d) y=x+m

a) VÏ (P)

b) Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B

c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) cắt (P) điẻm có tung độ -4

d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vng góc với (d') qua giao điểm (d') (P)

Bµi 76: Cho hµm sè y x2 (P) vµ hµm sè y=x+m (d)

a) Tìm m cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B

b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vng góc với (d) tiếp xúc với (P)

c) ThiÕt lËp công thức tính khoảng cách hai điểm áp dụng: Tìm m cho khoảng cách hai ®iĨm A vµ B b»ng

Bài 77: Cho điểm A(-2;2) đờng thẳng (d1) y=-2(x+1)

a) Điểm A có thuộc (d1) ? Vì ?

b) Tìm a để hàm số y a.x2 (P) qua A

c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d2) qua A vng

gãc víi (d1)

d) Gọi A B giao điểm (P) (d2) ; C giao điểm (

d ) với trục tung Tìm toạ độ B C Tính diện tích tam

giác ABC

Bài 78: Cho (P)

4 x

y  đờng thẳng (d) qua hai điểm A B trên

(P) có hồnh độ lầm lợt -2

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)

c) Tìm điểm M cung AB (P) tơng ứng hoành độ  2;4



x cho tam gi¸c MAB cã diƯn tÝch lín nhÊt

Bµi 79: Cho (P)

4

2

x

y điểm M (1;-2)

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M có hệ số góc m

b) CMR (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B m thay đổi

c) Gọi x ;A xB lần lợt hoành độ A B Xác định m để

2

B A B

Ax x x

x  đạt giá trị nhỏ tính giá trị ú

d) Gọi A' B' lần lợt hình chiếu A B trục hoành S diện tích tứ giác AA'B'B

*TÝnh S theo m

*Xác định m để S=4(8 2 2)   m m m Bài 80: Cho hàm số y x2 (P)

a) VÏ (P)

b) Gọi A,B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt -1 Viết phơng trình đờng thẳng AB

c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P)

Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P)

4

x y 

đờng thẳng (d) y mx 2m

a) VÏ (P)

b) Tìm m cho (P) (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm

c) Chứng tỏ (d) qua điểm cố định Bài 82: Cho (P)

4

x

y điểm I(0;-2) Gọi (d) đờng thẳng

a) Vẽ (P) CMR (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B

R m  

b) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn Bài 83: Cho (P)

4

2

x

y  đờng thẳng (d) qua điểm I( ;1

) cã hƯ sè gãc lµ m

a) Vẽ (P) viết phơng trình (d) b) Tìm m cho (d) tiÕp xóc (P)

c) T×m m cho (d) (P) có hai điểm chung phân biƯt Bµi 84: Cho (P)

4

2

x

y  đờng thẳng (d) 2   x y

a) VÏ (P) vµ (d)

b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (d)

c) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đờng tiếp tuyến (P) song song với (d)

Bµi 85: Cho (P) y x2

a) VÏ (P)

b) Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt -1 Viết phơng trình đờng thẳng AB

c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P)

Bµi 86: Cho (P) y 2x2

a) VÏ (P)

b) Trên (P) lấy điểm A có hồnh độ x=1 điểm B có hồnh độ x=2 Xác định giá trị m n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) song song với AB

Bài 87: Xác định giá trị m để hai đờng thẳng có phơng trình (( )) 1

2

 

 

y mx d

m y x d

cắt điểm (P) y2x2 Phần 5: Giải toán cách lập ph ơng trình

1 chuyển động

Bài 88: Hai tỉnh A B cách 180 km Cùng lúc , ôtô từ A đến B xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B ơtơ hết , cịn từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc xe biết đờng AB hai xe chạy với vận tốc không đổi

Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau lại ngựơc từ B trở A Thời gian xi thời gian ngợc 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nớc km/h

Bài 91: Một ngời chuyển động quãng đờng gồm đoạn đờng đoạn đờng dốc Vận tốc đoạn đờng đoạn đờng dốc tơng ứng 40 km/h 20 km/h Biết đoạn đờng dốc ngắn đoạn đờng 110km thời gian để ngời quãng đờng 30 phút Tính chiều dài quãng đờng ngời

Bài 92: Một xe tải xe khởi hành từ A đến B Xe tảI với vận tốc 30 Km/h , xe với vận tốc 45 Km/h Sau đợc 43 quãng đờng AB , xe tăng vận tốc thêm Km/h qng đờng cịn lại Tính qng đờng AB biết xe đến B sớm xe tải 2giờ 20 phút

Bài 93: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 33 Km với vận tốc xác định Khi từ B A ngời đờng khác dài trớc 29 Km nhng với vận tốc lớn vận tốc lúc Km/h Tính vận tốc lúc , biết thời gian nhiều thời gian 30 phút

Bµi 94:Hai ca nô khởi hành từ hai bến A, B cách 85 Km ngợc chiều Sau 1h40 gặp Tính vận tốc riêng ca nô , biết vận tốc ca nô xuôi lớn vận tốc ca nô ngợc 9Km/h vận tốc dòng nớc Km/h

Bài 95: Hai địa điểm A,B cách 56 Km Lúc 6h45phút ngời xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h Sau ngời xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h Hỏi đến họ gặp chỗ gặp cách A Km ?

Bài 97: Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30 Km/h Khi đến B ngời nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình 24 Km/h Tính quãng đờng AB biết thời gian lẫn 50 phút

Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau ngợc từ B A Thời gian xi thời gian ngợc 40 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nớc Km/h vận tốc riêng ca nô không đổi

Bài 99: Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình 40 Km/h Lúc đầu tơ với vận tốc , cịn 60 Km đợc nửa quãng đờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h qng đờng cịn lại Do tơ đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đờng AB

Bài 100: Hai ca nô khởi hành lúc chạy từ bến A đến bến B Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h Trên đờng ca nơ II dừng lại 40 phút , sau tiếp tục chạy Tính chiều dài qng đờng sơng AB biết hai ca nô đến B lúc

Bài 101: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50 Km Sau 30 phút , ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe , biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp

Bài 102: Một ca nô chạy sông , xi dịng 108 Km ngợc dịng 63 Km Một lần khác , ca nơ chạy giờ, xi dịng 81 Km ngợc dịng 84 Km Tính vận tốc dịng nớc chảy vận tốc riêng ( thực ) ca nô

Bài103: Một tầu thuỷ chạy khúc sông dài 80 Km , giê 20 TÝnh vËn tèc cđa tÇu nớc yên lặng , biết vận tốc dòng nớc lµ Km/h

Bài 105: Một ôtô chuyển động với vận tốc định để hết quãng đờng dài 120 Km thời gian định Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ phút nên để đến nơi , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h nửa qng đờng cịn lại Tính thời gian xe lăn bánh đờng

Bài 106: Một ôtô dự định từ A đén B cách 120 Km thời gian quy định Sau đợc ôtô bị chắn đờng xe hoả 10 phút Do , để đến B hạn , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h Tính vận tốc lúc đầu ôtô

Bài107: Một ngời xe đạp từ A đến B thời gian định Khi cách B 30 Km , ngời nhận thấy đến B chậm nửa giữ nguyên vận tốc , nhng tăng vận tốc thêm Km/h tới đích sớm nửa Tính vận tốc xe đạp tren quãng đờng lúc đầu

2 Năng xuất

Bi 108: Hai đội cơng nhân làm cơng việc làm xong Nếu đội làm để làm xong cơng việc , đội thứ cần thời gian so với đội thứ hai Hỏi đội làm xong cơng việc bao lâu?

Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hồn thành kế hoạch 26 ngày Nhng cải tiến kỹ thuật nên ngày vợt mức 6000 đơi giầy hoàn thành kế hoạch định 24 ngày mà cịn vợt mức 104 000 đơi giầy Tính số đơi giầy phải làm theo kế hoạch

Bài 110: Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt đợc 20 cá , nhng vợt mức đợc tuần nên hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà vợt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch định

đợc 32 mức khoán Nếu để tổ làm riêng tổ làm xong mức khốn tổ phải làm ?

Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung 12 hồn thành xong cơng việc định Họ làm chung với tổ thứ đợc điều làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ thứ hai làm sau hồn thành cơng việc

Bài 114: Hai ngời thợ làm cơng việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm họ làm đợc 25% cơngviệc Hỏi ngời làm cơng việc xong

3 ThĨ tÝch

Bài 115: Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc làm đầy bể 50 phút Nếu chảy riêng vịi thứ hai chảy đầy bể nhanh vòi thứ Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể ?

Bài 116: Hai vòi nớc chảy vào bể nớc chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng , vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai 30 phút Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ?

Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian quy định phải bơm đợc 10 m3

Sau bơm đợc 31 thể tích bể chứa , máy bơm hoạt động với công suất lớn , bơm đợc 15 m3 Do so với quy

định , bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút Tính thể tích bể chứa Bài 118: Nếu hai vòi nớc chảy vào bể chứa khơng có nớc sau 30 phút đầy bể Nếu mở vịi thứ 15 phút khố lại mở vòi thứ hai chảy tiếp 20 phút đ-ợc 51 bể Hỏi vịi chảy riêng sau đầy bể ?

chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ?

GiảI toán cách lập pt B

ài : Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ơ tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe tơ B

ài 12 : Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau đợc 2/3 quãng đờng với vận tốc đó, đờng khó nên ng-ời lái xe phải giảm vận tốc 10 km qng đờng cịn lại Do tơ đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB

B

ài : Hai vòi nớc chảy vào bể sau 48 phút đầy Nðu chảy thời gian nh lợng nớc vịi II 2/3 lơng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể

B

ài : Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu

B

ài : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ơtơ thứ hai 2h Tính vận tốc ôtô?

B

ài : Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam nữ) trồng đợc tất 80 Biết số bạn nam trồng đợc số bạn nữ trồng đợc ; bạn nam trồng đợc nhiều bạn nữ Tính số học sinh nam số học sinh nữ tổ

B

ài : Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc tơ

B

µi : Một hình chữ nhật có diện tích 300m2 Nếu giảm chiỊu

rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m ta đợc hình chữ nhật có diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu

B

B

ài : Khoảng cách hai tỉnh A B 108 km Hai ô tô cùng khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe

B

ài 10 : Theo kế hoạch, tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến làm việc, phải điều công nhân làm việc khác nên cơng nhân cịn lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có cơng nhân? Biết suất lao động công nhân nh

B

ài 11: Ba bình tích tổng cộng 120lít Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ đem rót vào hai bình bình thứ đầy nớc, bình thứ đợc 1/2 thể tích nó, bình thứ đầy nớc bình thứ đợc 1/3 thể tích Tìm thể tích bình

B

ài 11 : Hai địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45' ngời từ A với vận tốc 10km/h Sau 2h , ngời xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến họ gặp nhau, chỗ gặp cách A km

B

ài 12 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau ng-ợc từ B trở A Thời gian xi thời gian ngng-ợc 40' Tính khoảng cách A B Biết vận tốc ca nơ khơng đổi, vận tốc dịng nớc 3km/h

B

ài 13 : Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 1h30' ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp

B

ài 14 : Một phịng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành hàng số ghế hàng Nếu số hàng tăng thêm số ghế hàng tăng thêm phịng có 400 ghế Hỏi có hàng, hàng có ghế?

B

B

ài 16 : Hai vật chuyển động đờng trịn có đờng kính 20m , xuất phát núc từ điểm Nếu chúng

chuyển động ngợc chiều

thì giây lại gặp Nếu chúng chuyển động chiều nhauthì sau 10 giây lại gặp nhua Tính vận tốc vật B

ài 17 : Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vợt 15%.tổ vợt 20% Do cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thứ tổ sản xuất đợc sản phẩm

B

ài 18 : Một khối lớp tổ chức tham quan tơ Mỗi xe chở 22 h/s cịn thừa 01 h/s Nếu bớt 01 ơtơ xếp h/s ơtơ cịn lại Hỏi lúc đầu có ơtơ, h/s Mỗi xe chở không 32 h/s

Bài 19 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian định dự định sản xuất 300 chi tiết máy ngày Nhng thực tế ngày làm thêm đợc 100 chi tiết, nên sản xuất thêm đợc tất 600 chi tiết hoàn thành kế hoạch trớc ngày

Tính số chi tiết máy d nh sn xut

Bài 20: Một ca nô xuôi dòng 42km ngợc dòng trở lại 20km mát tổng cộng 5giờ Biết vận tốc dòng chảy 2km/h Tìm vận tốc ca nô lúc dòng nớc yên lặng

Bi 21: Mt i xe cn chun chở 120 hàng Hơm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có xe?

Bài 22: Hai ô tô khởi hành lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc ô tô thứ hai 100phút Tính vận tốc tơ biết quãng đờng AB dài 240km

Bµi 23: NÕu më hai vòi nớc chảy vào mệt bể cạn sau 55phút bể đầy bể Nếu mở riêng vòi vòi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai hai Hỏi mở riêng vòi vòi chảy đầy bÓ?

Nếu lấy tổ chuyển cho tổ số trồng đợc hai tổ

Nếu lấy 10 tổ chuyển cho tổ hai số trồng đợc tổ hai gấp đôi số tổ

Hỏi tổ trồng đợc cây? Bài 25: Hai ô tô A B khởi hành lúc từ hai tỉnh cách 150km, ngợc chiều gặp sau Tìm vận tốc tô, biết vận tốc ô tô A tăng thêm 5km/h vận tốc ô tô B giảm 5km/h vận tốc tơ A lần vận tốc ô tô B

Bài 26: Hai hợp tác xã bán cho nhà nớc 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác xã ó

bán cho nhà nớc Biết lần số thóc hợp tác xà thứ bán cho nhà nớc nhiều hai lần số thóc hợp tác xà thứ hai bán 280

Phần : Hình học

A lý thuyết: I.Đờng tròn:

1,Định nghĩa:

Tp hp cỏc điểm cách điểm cho trớc khoảng cách R > khơng đổi gọi đờng trịn tâm bán kính R Kí hiệu : ( ; R) 2, Vị trí t ơng đối:

* Của điểm với đờng tròn :

xÐt (0 ; R ) điểm M

v trí tơng đối Hệ thức

M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R M n»m trªn ( O ; R ) hay M

* Của đờng thẳng với đờng tròn :

xét ( O ; R ) đờng thẳng a ( với d khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức

a c¾t ( O ; R ) d < R

a tiÕp xóc ( O ; R ) d = R a vµ ( O ; R ) kh«ng

giao d > R

* Của hai đờng tròn :

xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ )

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức Hai đờng tròn cắt

nhau R – r < d < R- r

Hai đờng tròn tiếp xúc :

+ tiÕp xóc ngoµi : + tiÕp xóc :

1

d = R + r d = R – r Haiđờng tròn

khơng giao : +hai đờng trịn ngồi :

+đờng tròn lớn đựng đờng tròn nhỏ :

0

d > R + r d < R -r 3 Tiếp tuyến đ ờng tròn :

a Định nghĩa :

ng thng d đợc gọi tiếp tuyến đờng tròn có điểm chung với đờng

+ Tính chất : Nếu đờng thẳng tiếp tuyến đờng trịn vng góc với bán kính đI qua tiếp điểm

+ Tính chất : Nếu hai tiếp tuyến đờng tròn cắt điểm giao điểm cách hai tiếp điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đờng trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến

c, C¸ch chøng minh :

 Cách : chứng minh đờng thẳng có điểm chung với đờng trịn

 Cách : chứng minh đờng thẳng vng góc với bán kính đờng trịn điểm điểm thuộc đờng trịn 4 Quan hệ đ ờng kính dây cung :

* Định lí : Đờng kính vuông góc với dây cung chia dây cung thành hai phần

* Định lí : Đờng kính đI qua trung điểm dây cung không qua tâm vuông góc víi d©y cung Êy

5 Quan hệ dây cung khoảng cách đến tâm :

* Định lí : Trong đờng trịn hai dây cung chúng cách tâm

* Định lí : Trong hai dây cung khơng đờng trịn, dây cung lớn gần tâm

II Góc đờng trịn:

1, Các loại góc đ ờng tròn:

- Góc ë t©m - Gãc néi tiÕp

- Góc có đỉnh bên hay bên ngồi đờng trịn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung

2, Mối quan hệ cung dây cung:

* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn: a, Hai cung căng hai dây

b, Đảo lại, hai dây trơng hai cung * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ đờng tròn:

b, Dây lớn trơng cung lớn 3, Tứ giác nội tiếp:

a, Định nghĩa:

T giỏc nội tiếp đờng trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng trịn Đơng trịn đợc gọi đờng tròn ngoại tiếp tứ giác

b, C¸ch chøng minh :

* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh tứ giác thuộc đờng trịn

* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800

* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện dới góc

B Bµi tËp:

Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH Đờng trịn đờng kính AH cắt cạnh AB, AC lần lợt E v F

a CM: tứ giác AEHF hình chữ nhật b CM: tứ giác EFCB nội tiếp

c Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC

d CMR: NÕu S ABC = S AEHF tam giác ABC vuông cân

Bi 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O) Vẽ đờng phân giác góc  cắt (O) M Nối OM cắt BC I

1 Chứng minh tam giác BMC cân Chứng minh: góc BMA < gãc AMC

3 Chøng minh: gãc ABC + gãc ACB = gãc BMC

4 §êng cao AH BP tam giác ABC cắt Q Chøng minh OH // AH

5 Trªn AH lấy điểm D cho AD = MO Tứ giác OMDA hình gì?

7 OM kéo dài cắt (O) N Vẽ OE vuông góc víi NC Chøng minh

MB OE

2



8 Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE

9 Chøng minh c¸c tø gi¸c ABHP vµ QPCH néi tiÕp

10 Tõ C vÏ tiếp tuyến (O) cắt BM kéo dài K Chứng minh CM phân giác góc BCK

11 So sánh góc KMC KCB với góc A

12 Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM S Chứng minh tam giác BMS cân M

13 13.Chøng minh gãc S = gãc EOI – gãc MOC 14 Chøng minh gãc SBC = gãc NCM

15 Chøng minh gãc ABF = gãc AON

16 Tõ A kỴ AF // BC, F thuéc (O) Chøng minh BF = CA

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng trịn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD

1 Chøng minh AI vu«ng gãc víi BC Chøng minh gãc IDE = gãc IAE Chøng minh : AE EC = BE EI

4 Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE đều.

Bµi 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đờng cao AH tam giác ABC cắt (O) D , AO kéo dài cắt (O) E

a Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân

b Gọi M điểm chình cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm cđa BC

c TÝnh b¸n kÝnh cđa (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = cm

Bài 5: Trên nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M N cho cung AM, MN, NB Gọi P giao điểm AM BN, H giao điểm AN với BM CMR:

b PH ┴ AB Từ suy P, H, O thẳng hàng

c ON tiếp tuyến đờng tròn đơnngf kính PH

Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R Gọi M điểm giữa cung nhỏ AB Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB E F CMR: a Tam giác MAE MCA đồng dạng

b ME MC = MF MD c Tø gi¸c CEFD néi tiÕp

d Khi AB R tam giác OAM

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân A ( AB > AC ), đờng cao AH. Vẽ đờng trịn tâm I đờng kính BH cắt AB E, đờng trịn tâm K đờng kính CH cắt AC F

a Tø gi¸c AEHF hình gì?

b Chứng minh tứ giác BEFC néi tiÕp c Chøng minh AE AB = AF AC

d Chømg minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cđa (O) vµ (I)

e Gọi Ax tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax // EF

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng vng góc với CD H, đờng thẳng BH cắt CA E a Chứng minh tứ giác AHBC nội tiếp

b TÝnh gãc AHE

c Chứng minh tam giác EAH EBC đồng dạng d Chứng minh AD = AE

e Khi điểm D di chuyển cạnh AB điểm H di chuyển đờng nào?

Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gọi E giao điểm AB CD, F giao điểm AD BC Chứng minh rằng:

a EF ┴ AC

c Tø gi¸c BDFE néi tiÕp

Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O). Vẽ bán kính OK // BA ( K A nằm phía BC ) Tiếp tuyến với đờng trịn (O) C cắt OK I

a Chøng minh IA lµ tiÕp tun cđa (O)

b Chøng minh CK tia phân giác góc ACI c Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm TÝnh OI, CI

Bài 11: Cho đoạn thẳng AB O trung điểm AB Vẽ cùng phía với AB tia Ax, By vuông góc với AB Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển Ax By cho góc MON = 900 Gọi I là

trung điểm MN Chứng minh r»ng : a AB lµ tiÕp tun cđa (I ; IO)

b MO tia phân giác góc AMN

c MN tiếp tuyến đờng tròn ng kớnh AB

d Khi điểm M, N di chuyển Ax, By tích AM BN không dæi

Bài 12: Cho (O;R) (O’; r)tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung hai đờng tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn A cắt BC M

a Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M

b Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối với (M) nói trên? c Xác định tâm đờng trịn qua ba điểm O, O’ , M

d Chứng minh BC tiếp tuyến đờng tròn qua ba điểm O, O’, M

Bài 13: Cho (O) (O’)tiếp xúcngồi A Đờng thẳng Ơ’ cắt (O) (O’) theo thứ tự tạu B C ( khác A ) Gọi DE tiếp tuyến chung hai đờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) M giao điểm BD CE Chứng minh :

a Gãc DME lµ gãc vu«ng

c MD MB = ME MC

Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M trung điểm BC

a Chøng minh tø gi¸c BCDE néi tiÕp

b Chứng minh tam giác ADE ABC đồng dạng c Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) Chứng minh Ax // DE

d Chøng minh r»ng nÕu gãc BAC = 600 tam giác DME tam

giỏc u

Bài 15: Cho (O) điểm A nằm bên (O) Vẽ tiếp tuyến AB AC , cát tuyến ADE Gọi H trung điểm cđa DE

a Chøng minh tø gi¸c BHOC néi tiếp

b Chứng minh HA tia phân giác góc BHA

c Gọi I giao điểm cđa BC vµ DE Chøng minh : AB2 = AI AH.

d BH cắt (O) K Chøng minh AE // CK

Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C,D hai điểm di động hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N

a Chứng minh tam giác ACD AMN đồng dạng b Tứ giác MNDC nội tiếp

c Chứng minh AC AM = AD AN tích khơng đổi C, D di động

Bài 17: Xét nửa đờng trịn (O), đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc Cax cắt nửa đờng tròn D, tia AD BC cắt E

a Chøng minh tam giác ABE cân B

b Các dây AC BD cắt K Chứng minh EK ┴ AB

Bài 18: Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O ; R)

Hai tiếp tuyến B D cắt T a Chứng minh OT // AB

b Chøng minh ba ®iĨm O, C, T thẳng hàng c Tính chu vi diện tích tam gi¸c TBD theo R

d TÝnh diƯn tÝch hình giới hạn hai cạnh TB, TD cung BCD theo R

Bài 19: Hai đờngtròn (O) (O’) có bán kính R R’ ( R > R’) tiếp xúc C Gọi AC BC hai đờng kính qua C (O) (O’) DE dây cung (O) vng góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng DC với (O’) l F

a Tứ giác AEBD hình gì?

b Chøng minh r»ng ba ®iĨm B, E, F thẳng hàng c Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp

d DB cắt (O’) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui e Chứng minh MF DE

2

 vµ MF lµ tiÕp tun cđa (O’)

Bài 20: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đờng trịn tâm O’ đờng kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vng góc với AB, DC cắt (O’) I

a.Tứ giác ADBE hình ? sao? b.Chøng minh BI // AD

c.Chøng minh ba ®iĨm I, B, E thẳng hàng MD = MI

d.Xác định giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MI với (O’)

Bài 21: Từ điểm A bên ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đờng trịn Gọi I trung điểm dây MN

b Nếu AB = OB tứ giác ABOC hình ? Tại sao? Tính diện tích hình trịn độ dài đờng trịn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R (O)

Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt BC D, cắt (O) E Tiếp tuyến đờng tròn A cắt đờng thẳng BC M

a Chøng minh MA = MD

b Gọi I điểm đối xứng với D qua M, gọi F giao điểm IA với (O).Chứng minh E, O, F thẳng hàng

Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S

a Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp CA tia phân giác góc SCB

b Gi E l giao điểm BC với (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui

c Chøng minh DM phân giác góc ADE

d Chứng minh M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 24: Cho tam giác ABC vuông A.

a Nêu cách dựng (O) qua A tiếp xúc với BC B Nêu cách dựng (O) qua tiÕp xóc víi BC t¹i C

b Hai đờng trịn (O) (O’) vị trí tơng đối no?

Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (O’)

c Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC bán kính (O) , (O’)

Bài 25: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, bán kính OC vng góc với AB Gọi M điểm di động cung BC ( M ≠ B, M ≠ C) AM cắt OC N

a Chứng minh tích AM AN khơng đổi

Bµi 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H trực tâm tam giác ABC, M điểm cung BC không chứa điểm A

a Xỏc nh vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành b Gọi N E lần lợt điểm đối xứng M qua AB AC

Chứng minh ba điểm N H , E thẳng hµng

c Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn

Bài 27: Cho (O,R) (O’,r) tiếp xúc M ( R > r ) Đờng thẳng OO’ cắt (O) C, cắt (O’) D Tiếp tuyến chung AB (A(O),B(O') ) cắt đòng thẳng OO’ H Tiếp tuyến chung

hai đờng tròn M cắt AB I

a Chøng minh c¸c tam gi¸c OIO’ AMB tam giác vuông b Chứng minh AB 2 R.r

c Tia AM c¾t (O’) A, tia BM cắt (O) B Chứng minh ba điểm A, O, B A , O , B thẳng hàng CD2 = BB2 + AA2.

d Gọi N N’ lần lợt giao điểm AM với OI BM với O’I Tính độ dài đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R r Bài 28: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm đờng tròn Tiếp tuyến Cx (O) cắt tia AB I Phân giác góc CIA cắt OC O’

a Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB

b Gäi D,E theo thø tù lµ giao ®iĨm thø hai cđa CA, CB víi (O’) Chøng minh D, O, E thẳng hàng

c Tỡm vị trí C cho đờng trịn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC

Bài 29: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C D hai điểm di động nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E F ( F nằm B E )

a Chứng minh hai tam giác ABF BDF đồng dạng b Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp

c Khi D C di động nửa đờng tròn , chứng tỏ : AC AE = AD AF = const

là điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chứng minh rằng:

a Gãc MAH = gãc MCB b Tam gi¸c ADE cân c Tứ giác AHBK nội tiếp

Bi 31 Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B. Ngời ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz vng góc với tia CI C cắt By K Đờng trịn đờng kính IC cắt IK P Chứng minh:

a Tø gi¸c CPKB néi tiÕp b AI.BK=AC.CB

c  APB vu«ng

d Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn

Bài 32 Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM<AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với (O)

a Chứng minh bốn điểm A, O, E, C nằm đờng tròn

b Chøng minh gãc AOC=gãc BIC c Chøng minh BI//MN

d Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn

Bài 33 Cho tam giác ABC vuông A (AB<AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD=HB Vẽ CE vng góc với AD (EAD)

a Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp

b Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE

c Chøng minh CH tia phân giác góc ACE

d Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA, CH cung nhỏ AH đờng trịn nói biết AC=6cm; góc ACB = 30o.

Bài 34 Cho (O) có đờng kính BC Gọi A điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC) D điểm thuộc bán kính OC Đờng vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F

a Chøng minh tø gi¸c ADCF néi tiÕp

c Chøng minh AM lµ tiÕp tun cđa (O)

d TÝnh diƯn tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA vµ cung nhá AC cđa (O) biÕt BC=8cm; gãc ABC = 60o.

Bài 35 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R điểm M di chuyển nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với AB N Đờng tròn cắt MA, MB lần lợt điểm thứ hai C, D

a Chøng minh CD//AB

b Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN qua điểm K cố định

c Chứng minh tích KM.KN cố định

d Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA lần lợt C', D' Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ đợc

Bài 36 Cho đờng trịn đờng kính AB, điểm C, D trên đờng tròn cho C, D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD>AC Gọi điểm cung AC, AD lần lợt M, N Giao điểm MN với AC, AD lần lợt H, I Giao điểm MD với CN K

a CM: NKD MAK cân

b CM: tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH//AD c So sánh góc CAK với góc DAK

d Tìm hệ thức số đo AC, số đo AD điều kiện cần đủ để AK//ND

Bµi 37 Cho (O1) vµ (O2) tiÕp xóc ngoµi víi điểm A tiếp

tuyn chung Ax Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt

B, C cắt Ax điểm M Kẻ đờng kính BO1D, CO2E

a Chøng minh M trung điểm BC b Chứng minh O1MO2 vuông

c Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng

Phần 2: Hình học không gian A.Lý thuyết:

I Một số kiến thức hình học khơng gian: 1 Các vị trí t ơng đối:

a.Vị trí t ơng đối hai đ ờng thẳng:

* a // b  a , b (P), a b điểm chung * a c¾t b  a , b  (P), a b có điểm chung

* a b chéo  a b không thuộc mặt phẳng b Vị trí t ơng đối đ ờng thẳng a mặt phẳng (P):

* a // (P)  a vµ (P) điểm chung * a cắt (P) a (P) có điểm chung * a (P) a (P) có vô số điểm chung

c Vị trí t ơng đối hai mặt phẳng (P) (Q):

* (P) // (Q)  kh«ng cã ®iĨm chung

* (P)  (Q) = a  có đờng thẳng a chung ( a gọi giao tuyến hai mặt phẳng)

* (P)  (Q)

2 Mét sè c¸ch chøng minh:

a Chứng minh hai đ ờng thẳng song song:

a b ®iĨm chung C2: a // c vµ b // c

C3 : a b

b R Q a R P Q P // ) ( ) ( ) ( ) ( ) //( ) (          

b.Chøng minh đ ờng thẳng song song với mặt phẳng:

) //( ) ( // P a P b b a     

c.Chøng minh hai mặt phẳng song song:

) //( ) ( ) //( ), //( ), ( , Q P P b P a aXb Q b a   

d.Chứng minh hai đ ờng thẳng vu«ng gãc:

b a P b P a        ) ( ) (

e.Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng:

( ) ) ( ), ( , , P a P c P b bXc c a b a      

g.Chứng minh hai mặt phẳng vu«ng gãc: ( ) ( ) ) ( ) ( Q P Q a P a   

II Một số hình không gian: 1 Hình lăng trụ:

Sxq = P h víi P: chu vi

đáy

V = B h h : chiÒu cao

B: diện tích đáy

1 H×nh trơ:

Sxq = P.h = 2R.h víi R: b¸n kÝnh

đáy

V = B.h = R2.h h: chiỊu

cao

2 H×nh chãp :

h B V d P Sxq  

với d: đờng cao mặt bên

2 H×nh nãn:

d: đờng sinh; h: chiều cao 3 Hình chóp cụt:

 

B B BB h V

d P P Sxq

' '

1

'

1

  

 

3 H×nh nãn côt:

   

B B BB h hR r Rr

V

d r R d

P P Sxq

' '

1

'

1

2

  

  

  



4 Hình cầu:

3

3 4

R V

R S

 

 

B Bµi tËp:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD điểm S n»m ngoµi mp(ABCD) Gäi M, N theo thø tù trung điểm SA, SD Tứ giác MNCB hình gì?

Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi G, H theo thứ tự trung điểm AD, CD LÊy ®iĨm E AB, F  BC cho: AE AB CF CB

4 ;

4





a Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH

b Gọi I giao điểm EG (BCD) CMR: F, H, I thẳng hàng Bài 3: CMR: Nếu mặt phẳng song song với đờng thẳng a mp(Q) mà (P) (Q) cắt giao tuyến chúng song song với a

Bµi 4: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d Một mặt phẳng thứ ba (R) cắt (P) , (Q) theo thứ tự giao tuyến a vµ b CMR:

a Nếu a x d = M a, b, d đồng qui

b Nếu a // d a, b, d đơi song song

Bài 5: Cho tứ diện S.ABC, điểm D  SA cho SD SA,EAB

1

cho BE BA

4

 Gọi M trung điểm SC, I giao điểm DM

và AC, N giao ®iĨm cđa IE vµ BC CMR: a SB // (IDE)

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Một đờng thẳng d  (ABC) A Trên d lấy điểm S

a Chøng minh BC  SH

b Kẻ AI đờng cao tam giác SAH Chứng minh AI  (SBC) c Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm Tính BC, SH

tÝnh Sxq, Stp, V cđa h×nh chãp S ABC

Bài 7: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, điểm I  AM cho IA = 2.IM Qua I vẽ đờng thẳng d vng góc với mp(ABC), d lấy điểm S

a Chøng minh SA = SB = SC

b Gọi IH đờng cao tam giác SIM CMR: IH  (SBC)

c Tính Sxq V hình chóp S ABC biÕt AB 3 3cm; SA =

cm

Bài 8: Cho tứ diện S ABC Điểm E  SA, F  AB cho

BA BF

SA SE

3 ;

3



 Gäi G, H theo thứ tự trung điểm SC, BC

CMR:

a EF // GH

b EG, FH, AC ng qui

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông t¹i A, AB = cm, AC = cm Một đ-ờng thẳng d vuông góc vói mp(ABC) B, d lấy điểm S cho SA = 10 cm

a CMR: SB  AC b TÝnh SB, BC, SC

c CM: Tam giác SAC vuông d TÝnh Stp , V

Bài 10: Cho hình vng ABCD cạnh cm Trên đờng thẳng d vuông góc với mp(ABCD) A lấy điểm S cho SA = cm CMR:

a (SAB)  (SAD) b SC  BD

Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy hình thoi Biét đờng cao AA’ = cm, đờng chéo AC’ = 15 cm , DB’ = cm

a TÝnh AB?

b TÝnh Sxq, V hình lăng trụ ABCD ABCD

c Tính Sxq, V cđa h×nh chãp B’ ABCD

Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AA’ = cm , góc BAB’ = 450 Tính S

xq vµ V

Bµi 13: Hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có AD = cm, AB = cm, BD’ = 13 cm Tính Sxq V ?

Bài 14: Cho hình hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm

a CM: Các tứ giác ACCA, BDDB hình chữ nhËt b CM: AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2.

c TÝnh Stp , V ?

Bµi 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCDcó AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 300 TÝnh S

tp vµ V ?

Bài 16: Cho hình lập phơng ABCD A’B’C’D’ có độ dài cạnh cm

a Tính đờng chéo BD’

b Tính Stp V hình chóp A ABD

c Tính Stp V hình chóp A’.BC’D

Bài 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy, đờng cao hình trụ dm Hỏi thùng chứa đợc lít nớc ? ( biết dm3 = lít ).

Bài 18: Một mặt phẳng qua trục OO’ hình trụ, phần mặt phẳng bị giới hạn hình trụ ( cịn gọi thiết diện) hình chữ nhật có diện tích 72 cm2 Tính bán kính đáy, đờng cao

của hình trụ biết đờng kính đáy nửa chiều cao Bài 19: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình chữ nhật có chiều dài cm, chiều rộng cm Tính Sxq V hình trụ

Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đờng sinh AB = cm, bán kính đáy OB = cm

a TÝnh Sxq cđa h×nh nãn

c Gäi CD dây cung (O; OB)vuông góc với OB CMR: CD  (AOB)

Bài 21: Cho tam giác ABC vng A quay vịng quanh AB Tính bán kính đáy, đờng cao hình nón tạo thành Từ tính Sxq , V hình nón biết BC = cm, góc ACB = 600

Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh cm Tính Sxq V

Bài 23: Một hình nón cụt có đờng cao 12 cm, bán kính đáy 10 cm 15 cm

a TÝnh Sxq cđa h×nh nãn cơt

b Tính V hình nón sinh hình nón cụt

Bµi 24: Một hình thang ABCD có góc A góc D =900, AB = BC = a

, gãc C = 600 Tính S

tp hình tạo thành quay hình thang

vuông vòng xung quanh: a C¹nh AD

b C¹nh DC

Bài120: Cho hai đờng trịn tâm O O’ có R > R’ tiếp xúc ngoài

tại C Kẻ đờng kính COA CO’B Qua trung điểm M AB ,

dùng DE  AB

a) Tứ giác ADBE hình ? Tại ?

b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O’ F CMR ba điểm B , F , E

thẳng hàng

c) Ni D với B cắt đờng tròn tâm O’ G CMR EC qua G

d) *Xét vị trí MF đờng tròn tâm O’ , vị trí AE với

đờng trịn ngoại tiếp tứ giác MCFE

Bài 121: Cho nửa đờng trịn đờng kính COD = 2R Dựng Cx , Dy vng góc với CD Từ điểm E nửa đờng trịn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx P , cắt Dy Q

a) Chứng minh  POQ vuông ;  POQ đồng dạng với  CED b) Tính tích CP.DQ theo R

c) Khi PC= R2 CMR

16 25  

d) Tính thể tích hình giới hạn nửa đờng trịn tâm O hình thang vuông CPQD chúng quay theo chiều trọn vòng quanh CD

Bài 122: Cho đờng trịn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vng góc với Lấy điểm E OA , nối CE cắt đờng tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn , qua E dựng Ey vng góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey

a) Chứng minh I,F,E,O nằm đờng tròn b) Tứ giác CEIO hình ?

c) Khi E chuyển động AB I chuyển động đờng ?

Bài 123: Cho đờng tròn tâm O điểm A đờng tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm Q , dựng tiếp tuyến QB

a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc

b) Gọi E trung điểm QO , tìm quỹ tích E Q chuyển động Ax

c) Hạ BK Ax , BK cắt QO H CMR tứ giác OBHA hình thoi suy q tÝch cđa ®iĨm H

Bài 124: Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Các đờng cao AD , BK cắt H , BK kéo dài cắt đờng F Vẽ đờng kính BOE

a) Tứ giác AFEC hình ? Tại ?

b) Gọi I trung điểm AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng c) CMR OI = BH2 H ; F đối xứng qua AC

Bµi 125: Cho (O,R) vµ (O’,R’ ) (víi R>R’ ) tiÕp xóc t¹i A

Đ-ờng nối tâm cắt đĐ-ờng tròn O’ đờng tròn O B C Qua

trung điểm P BC dựng dây MN vng góc với BC Nối A với M cắt đờng tròn O’ E

a) So sánh  AMO với  NMC ( - đọc góc)

b) Chøng minh N , B , E thẳng hàng OP = R ; OP = R’

c) Xét vị trí PE với đờng tròn tâm O’

Bài 126: Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB Lấy B làm tâm vẽ đờng trịn bán kính OB Đờng tròn cắt đờng tròn O C D

b) CMR OC  AD ; OD  AC

c) CMR trực tâm tam giác CDB nằm đờng tròn tâm B Bài 127: Cho đờng tròn tâm O đờng thẳng d cắt đ-ờng trịn hai điểm cố định A B Từ điểm M đờng thẳng d nằm ngồi đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn MP MQ ( P, Q tiếp điểm )

a) TÝnh c¸c gãc cđa MPQ biết góc hai tiếp tuyến MP

và MQ lµ 450

b) Gọi I trung điểm AB CMR điểm M , P , Q , O , I nằm đờng trịn

c) Tìm quỹ tích tâm đờng trịn ngoại tiếp  MPQ M chạy d

Bài 128: Cho  ABC nội tiếp đờng trịn tâm O , tia phân giác góc A cắt cạnh BC E cắt đờng tròn M

a) CMR OM  BC

b) Dựng tia phân giác ngồi Ax góc A CMR Ax qua điểm cố định

c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài F CMR FB EC = FC EB

Bµi 129: Cho  ABC ( AB = AC ,  A < 900 ), mét cung trßn BC

nằm  ABC tiếp xúc với AB , AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đờng vng góc MI , MH , MK xuống cạnh t-ơng ứng BC , CA , AB Gọi P giao điểm MB , IK Q giao điểm MC , IH

a) CMR tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc b) CMR tia đối tia MI phân giác  HMK

c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc Suy PQ  BC

Bµi 130: Cho  ABC ( AC > AB ; B ˆAC > 900 ) I , K theo thø tù lµ

các trung điểm AB , AC.Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E; tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F

a) CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc

c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy

Bài 131: Cho đờng tròn (O;R) điểm A với OA =R ,

a) CMR OI  MN Suy I di chuyển cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O)

b) Tính theo R độ dài AB , AC Suy A , O , B , C bốn đỉnh hình vng

c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn đoạn AB , AC cung nhỏ BC (O)

Bài132: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R , C trung điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F Trên dây BF lấy điểm E cho BE = AF

a)  AFC vµ  BEC cã quan hƯ víi nh ? Tại ? b) CMR FEC vuông cân

c) Gi D l giao im ca đờng thẳng AC với tiếp tuyến B nửa đờng tròn CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc

Bài133: Cho đờng tròn (O;R) hai đờng kính AB , CD vng góc với E điểm cung nhỏ BD ( E B;E D )

EC cắt AB M , EA cắt CD N a) CMR  AMC đồng dạng  ANC b) CMR : AM.CN = 2R2

c) Gi¶ sư AM=3MB TÝnh tØ sè ND

CN

d) Bài 134: Một điểm M nằm đờng trịn tâm (O) đờng kính AB Gọi H , I lần lợt hai điểm cungAM , MB ; gọi Q trung điểm dây MB , K giao điểm AM , HI a) Tính độ lớn góc HKM

b) Vẽ IP  AM P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O)

c) Dựng hình bình hành APQR Tìm tập hợp điểm R M di động nửa đờng tròn (O) đờng kính AB

Bài 135: Gọi O trung điểm cạnh BC  ABC Vẽ góc xOy =600 cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lần lợt M, N

a) CMR  OBM đồng dạng  NCO , từ suy BC2 = BM.CN

Bài136: Cho M điểm nửa đờng trịn tâm (O) đ-ờng kính AB=2R (M A,B) Vẽ tiếp tuyến Ax , By , Mz nửa đờng trịn Đờng Mz cắt Ax , By lần lợt N P Đờng thẳng AM cắt By C đờng thẳng BM cắt Ax D Chứng minh :

a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn NP = AN + BP b) N P lần lợt trung điểm đoạn thẳng AD BC c) AD.BC = 4R2

d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ

Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tâm (O) I điểm cung AB (cung AB khơng chứa C D ) Dây ID , IC cắt AB lần lợt M N

a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp đờng tròn

b) IC AD cắt E ; ID BC cắt F CMR EF // AB Bài 138: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B (B C) vẽ đờng trịn tâm (O’) đờng kính BC Gọi M

là trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB , DC cắt đờng tròn (O’) I

a) Tứ giác ADBE hình ? Tại ?

b) Chøng minh ba ®iĨm I , B , E thẳng hàng

c) CMR: MI l tiếp tuyến đờng tròn (O’) MI2 = MB.MC

Bài 139: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R điểm M di động nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) M tiếp xúc với đờng kính AB N Đờng tròn cắt MA , MB lần lợt điểm thứ hai C , D

a) Chøng minh : CD // AB

b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN qua điểm K cố định

c) CMR : KM.KN không đổi

Bài 140: Cho đờng tròn đờng kính AB , điểm C , D đờng trịn cho C , D khơng nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC , AD lần lợt M , N ; giao điểm MN với AC , AD lần lợt H , I ; giao điểm MD với CN K

a) CMR: NKD ; MAK c©n

Bài 141: Cho ba điểm A , B , C đờng thẳng theo thứ tự đờng thẳng (d) vng góc với AC A Vẽ đờng trịn đờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đờng thẳng d D ; tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P

a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc

b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí M c) Tứ giác APND hình ? Tại ?

Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn P điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD lần lợt cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I ; dây BC PD kéo dài cắt K CMR:

a) Góc CID góc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc c) IK // AB

d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA t¹i A

Bài 145: Cho (O;R) có dây AB = R cố định

một điểm M di động cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB ; P , Q lần lợt giao điểm thứ hai đờng thẳng AH , BH với đờng tròn (O) ; S giao điểm đờng thẳng PB , QA

a) CMR : PQ đờng kính đờng trịn (O) b) Tứ giác AMBS hình ? Tại ?

c) Chứng minh độ dài SH không đổi

Bài 146: Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax lấy điểm P cho AP > R Kẻ tiếp tuyến PM (M tiếp điểm )

a) CMR : BM // OP

b) Đờngthẳng vuông gócvới AB O cắt tia BM N Tứ giác OBNP hình ? Tại ?

c) Gọi K giao điểm AN với OP ; I giao điểm ON với PM ; J giao điểm PN với OM CMR : K , I , J thẳng hàng d) Xác định vị trí P cho K nằm đờng tròn (O)

Bài 147: Cho đờng tròn (O;R) , hai đờng kính AB CD vng góc Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đ-ờng thẳng CM cắt đđ-ờng tròn (O) điểm thứ hai N Đđ-ờng thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đờng tròn (O) điểm P

b) Tứ giác CMPO hình ? Tại ? c) CMR : CM.CN không đổi

d) CMR : M di động đoạn AB P chạy mộtđờng thẳng cố định

Bài 148: Cho hai đờng tròn (O) , (O’) cắt hai điểm A B Các đờng thẳng AO , AO’ cắt đờng tròn (O) lần lợt điểm thứ hai C , D cắt đờng tròn (O’) lần lợt điểm thứ hai E , F

a) CMR: B , F , C thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc

c) Chứng minh A tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE

d) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung đờng tròn (O) , (O’)

Bài 149: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn ( M khác A B ) Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt đờng trung trực đoạn AB I Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d C D ( D nằm góc BOM )

a) CMR c¸c tia OC , OD tia phân giác góc AOM , BOM

b) CMR : CA DB vng góc với AB c) CMR : AMB đồng dạng COD

d) CMR : AC.BD = R2

Bài 150: Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB điểm M đờng tròn Gọi điểm cung AM , MB lần lợt H , I Cãc dây AM HI cắt K

a) Chứng minh góc HKM có độ lớn khơng đổi

b) H¹  Chøng minh IP lµ tiÕp tun cđa (O;R)

c) Gọi Q trung điểm dây MB Vẽ hình bình hành APQS Chứng minh S thuộc đờng tròn (O;R)

d) CMR kkhi M di động thì đờng thẳng HI ln ln tiếp xúc với đờng tròn cố định

Bài 151: Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB hai điểm C , D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC < 900 COˆD 900 Gọi M

là điểm nửa đờng tròn cho C điểm chính cung AM Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lợt E v F

a) Tứ giác OEMF hình ? Tại ?

c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt tia OC , OD lần lợt I , K CMR tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc

Bµi 152: Cho ABC (AB = AC ) , mét cung trßn BC n»m bªn

tam giác ABC tiếp xúc với AB , AC B , C cho A tâm cung BC nằm khác phía BC Trên cung BC lấy điểm M kẻ đờng vng góc MI , MH , MK xuống cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gọi giao điểm BM , IK P ; giao điểm CM , IH Q

a) CMR tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc b) CMR : MI2 = MH MK

c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc Suy PQ  MI d) CMR KI = KB IH = IC

Sở giáo dục đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT

Nghệ an Năm học 2009 - 2010

Môn thi : Toán

Thi gian: 120 phỳt (khụng k thi gian giao )

Câu I (3,0 điểm) Cho biÓu thøc A = x x x

x x

  

 

1) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x = 94

3) Tìm tất giá trị x để A <

Câu II (2,5 điểm) Cho phng trỡnh bËc hai, víi tham sè m : 2x2 –

(m + 3)x + m = (1)

1) Gi¶i phương trình (1) m =

2) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn

x1 + x2 =

5 x x

2

3) Gäi x1, x2 hai nghiệm phng trình (1) Tìm giá trị

nhỏ biểu thức

P = x x1

Câu III (1,5 điểm) Một ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 45m Tính diện tích ruộng, biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng khơng thay đổi

Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R), đường kính AB cố định CD đường kính thay đổi khơng trùng với AB Tiếp tuyến đường tròn (O;R) B cắt đường thẳng AC AD E F

1) Chøng minh r»ng BE.BF = 4R2.

2) Chøng minh tứ giác CEFD nội tiếp c ng tròn

3) Gọi I tâm đường tròn tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh tâm I nằm đường thẳng cố định

-Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh :….………

Sở Giáo dục đào tạo Hà Nội

Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học: 2009 - 2010

Môn thi: Toán

Ngày thi: 24 tháng năm

2009

Bài I (2,5 điểm)

Cho biểu thức 4 1

2

x A

x x x

= + +

- - + , víi x≥0; x≠4 1) Rót gän biĨu thøc A

2) Tính giá trị biểu thức A x=25 3) Tìm giá trị x để

3

A=- .

Bài II (2,5 điểm)

Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình:

Hai t sn sut may loại áo Nếu tổ thứ may ngày, tổ thứ hai may ngày hai tổ may đợc 1310 áo Biết ngày tổ thứ may đợc nhiều tổ thứ hai 10 áo Hỏi tổ may ngày đợc áo?

Bài III (1,0 điểm)

Cho phơng trình (ẩn x): x2- 2(m+1)x m+ 2+ =2 0

1) Giải phơng trình cho với m=1

2) Tìm giá trị m để phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức: x12+x22=10

Bài IV (3,5 điểm)

Cho ng trũn (O; R) A điểm nằm bên đờng tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C tiếp điểm)

1) Chøng minh ABOC tứ giác nội tiếp

2) Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vuông góc với OA OE.OA=R2.

3) Trờn cung nhỏ BC đờng tròn (O; R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K đờng tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự điểm P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC

4) Đờng thẳng qua O, vng góc với OA cắt đờng thẳng AB, AC theo thứ tự điểm M, N Chứng minh PM+QN ≥ MN

Bµi V (0,5 điểm)

Giải phơng trình:

( )

2 1

2

4

-HÕt -L u ý: Giám thị không giải thích thêm.

Họ tên thí sinh: Số báo danh

Chữ ký giám thị số 1: Chữ ký giám thị số 2:

S GIO DC V ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT QUẢNG NAM NĂM HỌC 2009-2010

Mơn thi TỐN ( chung cho tất thí sinh)

Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài (2.0 điểm )

1 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa

a) x b)

1

x

2 Trục thức mẫu

a)

2 b)

1 1 Giải hệ phương trình :

3

x x y

� � � � �

    Bài (3.0 điểm )

Cho hàm số y = x2 y = x + 2

a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm A,B đồ thị hai hàm số phép

tính

c) Tính diện tích tam giác OAB

Bài (1.0 điểm )

Cho phương trình x2 – 2mx + m – m + có hai nghiệm x ; x

(với m tham số ) Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ

Bài (4.0 điểm )

Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC Vẽ dây BD vng góc với AC K ( K nằm A O).Lấy điểm E cung nhỏ CD ( E không trùng C D), AE cắt BD H

a) Chứng minh tam giác CBD cân tứ giác CEHK nội tiếp b) Chứng minh AD2 = AH AE.

c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm Tính chu vi hình trịn (O)

d) Cho góc BCD α Trên mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân M Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O)

-Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2009 – 2010

Mơn: TỐN

ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày 19.6.2009

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2.00 điểm) (Khơng dùng máy tính cầm tay)

a) Cho biết A 5 15 A 5 15 Hãy so sánh: A + B tích A.B b) Giải hệ phương trình: 2x

3x 12

y y

  �

�   �

Bài 2: (2.50 điểm)

Cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = mx – ( m tham số,

m  0)

a) Vẽ đồ thị (P) mặt phẳng toạ độ Õy

b) Khi m = 3, tìm toạ độ giao điểm (P) (d)

c) Gọi A(xA; yA), B(xB;yB) hai giao điểm phân biệt (P) (d) Tìm

các giá trị m cho: yA + yB = 2(xA + xB) –

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 6m bình phương độ dài đường chéo gấp lần chu vi Xác định chiều dài chiều rộng hình chữ nhật

Bài 4: (1.50 điểm)

Cho đường tròn (O;R) Từ điểm M (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B tiếp điểm) Lấy điểm C cung nhỏ AB (C khác A B) Gọi D, E, F hình chiếu vng góc C AB, AM, BM

a) Chứng minh AECD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: C E CBA�D  � .

c) Gọi I giao điểm AC DE; K giao điểm BC DF Chứng minh: IK//AB

d) Xác nhận vị trí điểm C cung nhỏ AB để (AC2 + CB2) nhỏ Tính

giá trị nhỏ OM = 2R

HẾT

-Đề thi có 01 trang

Giám thị khơng giải thích thêm.

SBD: ………Phịng: ………

SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO TỈNH BÌNH ĐỊNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM HỌC 2009-2010

Mơn thi: TỐN ( hệ số – mơn Tốn chung) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (1,5 điểm)

Cho 1

1

1

x x x

P

x

x x x x

  

  



  

a Rút gọn P

b Chứng minh P <1/3 với x#1 Bài 2: (2,0 điểm)

Cho phương trình:

(1)

a Chứng minh phương trình (1) ln ln có nghiệm phân biệt

b Gọi nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức

c Tìm hệ thức khơng phụ thuộc vào m Câu 3: (2,5 điểm)

Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước đầy bể Nếu để riêng vịi thứ chảy giờ, sau đóng lại mở vòi thứ hai chảy tiếp 2/5 bể Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể bao lâu?

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I trung điểm BC, M điểm đoạn CI (M khác C I) Đường thẳng AM cắt (O) D, tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM M cắt BD P cắt DC Q

a Chứng minh DM AI = MP IB b Tính tỉ số

Câu 5: (1,0 điểm)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT QUẢNG TRỊ

Mơn: Tốn (Thời gian làm 120 phút)

Bài (1,5 điểm)

Cho biểu thức A = 12

1 27

9x  x  x với x > 3

a/ Rút gọn biểu thức A

b/ Tìm x cho A có giá trị Bài (1,5 điểm)

Cho hàm số y = ax + b

Tìm a, b biết đồ thị hàm số qua điểm (2, -1) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ

2

Bài (1,5 điểm).

Rút gọn biểu thức: P =    

  

   

 

  

 





2

1 :

1 1

a a a

a a

a với a > 0, a1,a4

Bài (2 điểm).

Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 - 2(m + 1)x + m - = (1)

a/ Chứng minh phương trình (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m

b/ Gọi x1, x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (1)

Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1x2

Bài (3,5 điểm).

Cho tam giác ABC có góc A 600, góc B, C nhọn vẽ các

đường cao BD CE tam giác ABC Gọi H giao điểm BD CE a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp

b/ Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB c/ Tính tỉ số BCDE

d/ Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA vng góc với DE

Sở GD & ĐT Bến Tre KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

Đề khảo sát Mơn: Tốn Thời gian : 120 phút Bài 1:(4 điểm)

1) Cho hệ phương trình :

  

 

  

1 3

5 2

y mx

y mx

a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m để x – y =

2)Tính

1 20 45 125

5

B  

3)Cho biÓu thøc : A= 1 : 1

1- x x x x x

�  ��  �

�  ��  � 

� �� �

a) Rót gän biểu thức A

b) Tính giá trị A x = 3 Bài 2:(4 điểm)

Cho phương trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - =

a) Giải phương trình m=

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1

- 4x2 = 11

c) Tìm đẳng thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào

m

d) Với giá trị m phng trỡnh cú nghiệm x1 vµ x2 cïng

dấu

Bài 3: (1 điểm)

Hai tơ khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ơ tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe tơ

Bài :(3 điểm)

a) Vẽ (P) (D) hệ trục toạ độ vng góc.Xác định toạ độ giao điểm (P) (D)

b) Viết phương trình đường thẳng (d) cắt (P) điểm A B có hồnh độ -2

Bài 5: (8 điểm)

Cho hai đng tròn (O1) (O2) có bán kính R cắt A

và B , qua A vẽ cát tuyến cắt hai ng tròn (O1) (O2) thứ tự E

và F , ng thẳng EC , DF cắt P 1) Chøng minh r»ng : BE = BF

2) Một cát tuyến qua A vuông góc với AB cắt (O1) (O2)

lần lt C,D Chứng minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp BP vu«ng gãc víi EF

3) Tính diện tích phần giao hai đờng trịn AB = R

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MƠN TỐN CHUNG TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN BÌNH ĐỊNH Câu (1 điểm)

Hăy rút gọn biểu thức: A = a a a a

a a a a

  

  (với a > 0, a  1)

Câu (2 điểm)

Cho hàm số bậc y =  1 x –

a) Hàm số đă cho đồng biến hay nghịch biến R? VV́ sao? b) Tính giá trị y x = 1

Câu (3 điểm)

Cho phương trình bậc hai: x2 – 4x + m + = 0

a) Tìm điều kiện tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Giải phương trình m =

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh BA lấy điểm N, cạnh CA lấy điểm P cho BM = BN CM = CP Chứng minh rằng:

a) O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn

Câu (1 điểm)

Cho tam giác có số đo ba cạnh x, y, z nguyên thỏa măn: 2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = 0

GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TỐN CHUNG TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN BÌNH ĐỊNH Câu 1.(1 điểm)

Rút gọn:

A = a a a a

a a a a   

  (a > 0, a ¹ 1)

=  

    

3

a a a a a a 1

a a

a a a a

     

  

 

= a a a a a

a a

      

(a > 0, a  1) Câu 2.(2 điểm)

a) Hàm số y =  1 x – đồng biến R có hệ số a =  1 < b) Khi x = 1 y =   1 1 1= – – = -

Câu 3.(3 điểm)

a) Phương trình x2 – 4x + m + = 0

Ta có biệt số  ’ = – (m + 1) = – m.

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: ’ >  – m >  m <

b) Khi m= phương trình đă cho trở thành: x2 – 4x + = 0

’ = – = > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = - 3, x2 = +

Câu 4.(3 điểm)

a) Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp  MNP

A

N

B M C

P

O

2

2

1

2

1 1

Ta có: O giao điểm ba đường phân giác ABC nên từ điều kiện giả thiết suy ra:

OBM = OMN (c.g.c)� OM = ON (1) OCM = OCP (c.g.c) � OM = OP (2) Từ (1), (2) suy OM = ON = OP

Vậy O tâm đường tròn ngoại tiếp MNP b) Chứng minh tứ giác ANOP nội tiếp

Ta có OBM = OMN � M N�1�1, OCM = OCP � P M� �2 2

Mặt khác � � � �

1 2

P P 180 M M    (kề bù) � � �

1

P M � P N� �1 1

VV N N� �1 2= 1800 nên � �

1

P N = 1800.

Vây tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn Câu (1 điểm)

Chứng minh tam giác đều

Ta có: 2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = (1)

VV x, y, z  N* nên từ (1) suy y số chẵn.

Đặt y = 2k (k  N*), thay vào (1):

2x2 + 12k2 + 2z2 – 8xk + 2xz – 20 =  x2 + 6k2 + z2 – 4xk + xz – 10 = 0

 x2 – x(4k – z) + (6k2 + z2 – 10) = (2)

Xem (2) phương trình bậc hai theo ẩn x

Ta có:  = (4k – z)2 – 4(6k2 + z2 – 10) = 16k2 – 8kz + z2 – 24k2 – 4z2 + 40 =

= - 8k2 – 8kz – 3z2 + 40

Nếu k  2, z  suy  < 0: phương trình (2) vơ nghiệm Do k = 1, suy y =

Thay k = vào biệt thức :

 = - – 8z – 3z2 + 40 = - 3z2 – 8z + 32

Nếu z   < 0: phương trình (2) vơ nghiệm Do z = 1,

Nêu z =  = - – + 32 = 21: khơng phương, suy phương trình (2) khơng có nghiệm ngun

Do z =

Thay z = 2, k = vào phương trình (2):

x2 – 2x + (6 + – 10) =  x2 – 2x =  x(x – 2) =  x = (x > 0)

Suy x = y = z =

Phòng GD - ĐT

Trực Ninh Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 năm học 2009-2010 Môn Toán

( Thời gian làm 120 phút)

Bài 1: Trắc nghiệm (2 điểm) Hóy vit vo bi làm

phương án trả lời mà em cho ,

( Chỉ cần viết chữ ứng với câu trả lời đó)

Câu Giá trị biểu thức (3 5)2 bằng

A 3 B 3 C D 5

Câu Đường thẳng y = mx + song song với đường thẳng y = 3x  A m = 2 B m = C m = D m = 3

Câu x 7  x

A 10 B 52 C 46 D 14

Câu Điểm thuộc đồ thị hàm số y = 2x2

A ( 2;  8) B (3; 12) C (1; 2) D (3; 18) Câu Đường thẳng y = x  cắt trục hồnh điểm có toạ độ A (2; 0) B (0; 2) C (0; 2) D ( 2; 0)

Câu Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Ta có A sin B AC

AB

 B sin B AH

AB

 C sin B AB

BC

 D sin B BH

AB 

Câu Một hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h Diện tích xung quanh hình trụ

A r2h B 2r2h C 2rh D rh

Câu Cho hình vẽ bên, biết BC đường kính đường trịn (O), điểm A nằm đường thẳng BC, AM tiếp tuyến (O) M góc MBC = 650.

Số đo góc MAC

A 150 B 250 C 350 D 400

Bài 2: (2 điểm)

Cho biÓu thøc 22 1

2

2  

    

  

 

 

 

 x x

x x

x x

x A

a) Rót gän A

b) Tìm giá trị x để A = - Bài 3: ( điểm)

Trên hệ trục toạ độ Oxy Cho Parabol y = x2 (P ) và đờng

th¼ng y = 2mx - m2 + m - (d)

a) Khi m=1 Hãy tìm toạ độ giao điểm (d) (P)? b) Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt?

A

B O

C M

c) Khi đờng thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt Gọi x1; x2

là hồnh độ giao điểm Hãy tìm m để biểu thức A = x1x2 -

x1 - x2 t giỏ tr nh nht ?

Bài 4: Hình häc ( ®iĨm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường trịn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp AH vng góc với BC

b) Chứng minh AE.AB = AF.AC

c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC K trung điểm BC

Tính tỉ số OKBC tứ giác BHOC nội tiếp

d) Cho HF = cm, HB = cm, CE = cm HC > HE Tính HC

Bµi 3: ( ®iĨm) Cho số thực dương x; y Chứng minh rằng: y

x x y y x2

 



HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN

Bài (2,0 điểm)

- HS chọn câu cho 0,25 điểm - Đáp án

Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu 8

A C B D A B C D

Bµi 2: ®iÓm 22

1

2

2  

             

 x x

x x

x x

x

A §K

1 ,  o x x             1 2 2          x x x x x x x 0,5 ®    

 1 1.2 1        x x x x x x 0,5®

 1





 x x 0,25®

b) NÕu A = -2 ta cã  x. x  12

đặt ẩn phụ x y( y 0) ta có phương trình -y(y-1)= -

0,25®

- y2 + y + = giải phơng trình có nghiệm y

1= -1 ( Loại )

và y2 = 0,25®

2  

y x

x VËy x=

Bài 3: điểm

Câu a: Khi m =1 PT đờng thẳng d y = 2x – 1

Toạ độ giao điểm (d) (P) phải nghiệm hệ ph-ương trình

  

  

1 2

2

x y

x y

0,25®

Giải hệ phương trình kết luận toạ độ giao điểm (d) (P) (1,1) 0,25đ

C©u b

(d) (P) cát điểm phân biệt

hệ phơng trình

  

    

1

2

2

m m mx y

x y

cã nghiÖm

0,25®

0

2

2     

 x mx m m có nghiệm phân biệt

Lập công thức b2 4ac giải tìm đợc m1

0,25đ

Vậy m1 (d) (P) cắt điểm phân biệt

0,25đ Câu C

Khi đờng thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt Gọi x1; x2

hồnh độ giao điểm

VËy x1; x2 lµ nghiƯm cđa PT x2  2mxm2 m10 0,25®

A = x1x2 - x1 - x2 = x1x2 – (x1 + x2)

Vận dụng định lý viet Thay vào biểu thức …

0,25®

tính đợc m = 1,5 A đạt giá trị nh nht

0,25đ

Bài 4: điểm

a) Ta có E, F giao điểm AB, AC với đường trịn đường kính BC

Tứ giác BEFC nội tiếp đường trịn đường kính BC 0,25®

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

AH vng góc với BC 0,25®

b) Xét Δ AEC Δ AFB có: chung

Δ AEC đồng dạng với Δ AFB 0,25® 0,25® c) Khi BHOC nội tiếp ta có:

mà (do AEHF nội

tiếp)

0,25®

0,25®

Ta có: K trung điểm BC, O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC OK vng góc với BC mà tam giác OBC cân O (OB = OC )

0,25®

Vậy mà BC = 2KC nên

0,25®

d) Xét Δ EHB Δ FHC có:

(đối đỉnh)

Δ EHB đồng dạng với Δ FHC

0,25®

HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12

Với x y dương, ta có xy ;0 x y 0 0,25®

0

) )(

( 3 2

       

 x y x y x y x y xy 0,25®

 x y

x y y x2

 

 (1) 0,50®

Vậy (1) với x0, y0

§Ị thi tun sinh *Trêng THPT Nguyễn TrÃi

( Hải Dơng 2002- 2003, dành cho lớp chuyên tự nhiên) Thời gian: 150 phút

Bài (3 điểm) Cho biểu thức A =

1 4

2 2

4

2  

   



       

x x

x x

x x

1) Rót gän biĨu thøc A

2) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên Bài 2.( điểm)

1) Gäi x1 x2 hai nghiệm phơng trình

x2 -(2m-3)x +1-m = 0

Tìm giá trị m để: x12+ x22 +3 x1.x2 (x + x2 ) t

giá trị lớn

2) Cho a,b số hữu tỉ thoả mÃn: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003

Chứng minh phơng trình: x2 +2x+ab = cã hai nghiƯm

h÷u tØ

1) Cho tam giác cân ABC, gãc A = 1800 TÝnh tØ sè

AB BC

2) Cho hình quạt trịn giới hạn cung trịn hai bán kính OA,OB vng góc với Gọi I trung điểm OB, phân giác góc AIO cắt OA D, qua D kẻ đờng thẳng song song với OB cắt cung C Tính góc ACD

Bµi ( ®iÓm)

Chứng minh bất đẳng thức: | a2b2  a2c2|  | b-c|

víi a, b,c lµ số thực

*Trờng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150) Bài ( điểm) cho biểu thøc: P(x) =

1

1

2

 

 

x x

x x

1) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) 2) Chứng minh x > P(x).P(-x) <

Bµi ( điểm)

1) cho phơng trình:

2

6 ) (

2

2

 

   

x

m m x m

x (1)

a) Giải phơng trình m = 32

b) Tìm tất giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 thoả x1 +2 x2 =16

2) Giải phơng trình: 2

1 1

2

  

x x

x

Bµi (2 điểm)

1) Cho x,y hai số thùc tho¶ m·n x2+4y2 = 1

Chøng minh r»ng: |x-y|

2 

2) Cho ph©n sè : A=

5

2

Hỏi có số tự nhiên thoả mÃn 1n2004 cho A phân

số cha tối gi¶n

Bài 4( điểm) Cho hai đờng trịn (01) (02) cắt P

Q Tiếp tuyến chung gần P hai đờng tròn tiếp xúc với (01)

t¹i A, tiÕp xóc víi (02 ) t¹i B TiÕp tun cđa (01) t¹i P cắt (02 )

im th hai D khỏc P, đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BD R Hãy chứng minh rằng:

1)Bốn điểm A, B, Q,R thuộc đờng tròn 2)Tam giác BPR cân

3)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB vµ RB

Bài (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB Trên AB lấy D, Trên AC lấy điểm E cho DB = BC = CE Chứng minh khoảng cách tâm đờng tròn nội tiếp tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giỏc ADE

Trờng Trần Đại Nghĩa - TP HCM

(năm học: 2004- 2005 thời gian: 150 phút )

Câu Cho phơng trình x2 +px +1 = cã hai nghiƯm ph©n

biƯt a1, a2 phơng trình x2 +qx +1 = có hai nghiƯm ph©n

biƯt b1,b2 Chøng minh: (a1- b1)( a2 - b1)( a1 + b1 b2 +b2) = q2

- p2

Câu 2: cho số a, b, c, x, y, z tho¶ m·n x = by +cz

y = ax +cz

z = ax +by ; víi x + y+z 0

Chøng minh:

1 1

1

1

    

a b c

b) Cho số dơng x;y;z tho¶ m·n x3+y3+z3 =1

Chøng minh:

1

1

2

2

2

    

 z

z y

y x

x

Câu Chứng minh có số nguyên x,y thoả mÃn phơng trình: x3-y3 = 1993.

Chuyên Lê Quý Đôn _ tỉnh Bình Định (năm học 2005-2006, môn chung, thời gian:150) Câu 1(1đ):

tính giá trị biểu thức A= 11 11

 b

a víi a=2

 b=

Câu 2(1.5đ):

Giải pt: x2 4x4x8 Câu 3(3đ):

Cho hm s y=x2 có đồ thị (P) hai điểm A,B thuộc (P) có

hồnh độ lần lợt -1

a) Viết phơng trình đờng thẳng AB

b) Vẽ đồ thị (P) tìm toạ độ điểm M thuộc cung AB đồ thị (P) cho tam giỏc MAB cú din tớch max

Câu4(3,5đ):

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) có trực tâm H Phân giác góc A cắt đờng tròn (O) M Kẻ đờng cao Ak tam giác.Chứng minh:

a) đờng thẳng OM qu trung điểm N BC b) góc KAM MAO

S= 1.2 +2.3 + 3.4 + +n(n+1)

Đề thi vào chuyên 10( Hải Dơng)

thời gian: 150

Bài 1(3) Giải phơng trình: 1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27

2)x(x1 2) (x11)2 201

Bài 2(1) Cho số thực dơng a,b,c vµ ab>c; a3+b3=c3+1 Chøng

minh r»ng a+b> c+1

Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y số thực thoả mãn đẳng thức sau: x+y=a, x3+y3=b3,x5+y5=c5 Tìm đẳng thức liên h gia a,b,c

không phụ thuộc x,y

Bài 4(1,5) Chứng minh phơng trình (n+1)x2+2x-n(n+2)

(n+3)=0 có nghiệm số hữu tỉ với số nguyên n

1) Chøng minh r»ng MI vu«ng gãc víi PQ

2) Chứng minh tiếp tuyến chung đờng tròn tâm P tiếp xúc với MB đờng trịn tâm Q tiếp xúc với MA ln song song với đờng thẳng cố định M thay i

Chuyên tỉnh Bà Địa Vũng Tàu (2004-2005)

thời gian:150 phút

Bài 1:

1/iải phơng tr×nh:

4

1 2

5

5    

x x x x

2/chứng minh không tồn số nguyên x,y,z thoả mÃn: x3+y3+z3 =x +y+z+2005

Bài 2:

Cho hệ phơng trình:

x2 +xy = a(y – 1)

y2 +xy = a(x-1)

1/ gi¶i hƯ a= -1

2/ tìm giá trị a để hệ có nghiệm Bài 3:

1/ cho x,y,z lµ số thực thoả mÃn x2+ y2+z2 =1 Tìm giá trị nhá

nhÊt cña A =2xy +yz+ zx

2/ Tìm tất giá trị m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt:

x4 – 2x3 +2(m+1)x2 –(2m+1)x +m(m+1) =0

Bµi 4:

1/Tam giác DKI đồng dạng với tam giác BAM 2/

DH AC DK

AB DI BC

Bài 2: (3đ)

Cho hệ phơng trình:

(m-1)x + y = m x + (m-1)y =2

gäi nghiÖm hệ phơng trình (x;y)

1/ Tỡm ng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m 2/ Tìm giá trị m thoả mãn 2x2 -7y =1

3/ Tìm giá trị m để biểu thức 2xx 3yy nhận giá trị nguyên

Bài (3đ)

Cho tam giác ABC (A 900) Từ B dựng đoạn thẳng BD phía

ngoài tam giác ABC cho BC=BD ABC CBD ; gọi I trung

điểm CD; AI cắt BC E Chứng minh: 1.CAI DBI

2 ABE tam giác cân AB.CD = BC.AE

Bài 4: (1đ)

tính giá trị biểu thức A= 4 3 23 119

5

 

  

x x

x x x

víi

4 1

2 

 x x

*Trờng Chu Văn An HN AMSTERDAM(2005 2006) (dành cho chuyên Toán chuyên Tin; thời gian :150) Bài 1: (2đ)

Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) abc với a,b,c số nguyên Chứng minh a +b +c chia hÕt cho th× P chia hÕt cho

Bài 2(2đ)

Cho hệ phơng trình:

(x+y)4 +13 = 6x2y2 + m

xy(x2+y2)=m

1 Gi hƯ víi m= -10

2 Chứng minh không tồn giá trị tham số m để hệ có nghiệm nhất./

Bài (2đ):

Ba số dơng x, y,z tho¶ m·n hƯ thøc 1 236

z y

x , xÐt biÓu thøc P =

x + y2+ z3

1 Chøng minh P x+2y+3z-3

2.T×m giá trị nhỏ P Bài (3đ):

Cho tam giác ABC, lấy điểm D,E,F theo thứ tự cạnh BC,CA,AB cho AEDF tứ giác nội tiếp Trên tia AD lấy điểm P (D n»m gi÷a A&P) cho DA.DP = DB.DC

1 chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp tam giác DEF, PCB đồng dạng

2 gäi S S lần lợt diện tích hai tam gi¸c ABC & DEF, chøng minh: ' 2 2

  

  

AD EF s

s

Cho hình vng ABCD 2005 đờng thẳng thoả mãn đồng thời hai điều kiện:

 Mỗi đờng thẳng cắt hai cạnh đối hình vng

 Mỗi đờng thẳng chia hình vng thành hai phần có tỷ số diện tích 0.5

Chứng minh 2005 đờng thẳng có 502 đờng thẳng đồng quy

Đề thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005) (toán bảng B thời gian: 150)

Bài 1

a) Rót gän biĨu thøc:

P= 

  

  

 

 

y y x x y

x y x xy

y

x2 2 2

) (

b)Giải phơng trình: (5 6x (52 6x 10 Bài 2

a) Số đo hai cạnh góc vng tam giác vng nghiệm phơng trình bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0 Hãy xác định

giá trị m để số đo đờng cao ứng với cạnh huyền tam gíac 25

b) T×m Max & Min cđa biĨu thøc y=

1

2

 

x x

Bµi 3

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, có góc C=450.

b> chøng minh 2.MN = AB Bµi 4:

Cho hình thoi ABCD có góc B= 600 Một đờng thẳng qua D

khơng cắt hình thoi, nhng cắt đờng thẳng AB,BC lần lợt E&F Gọi M giao AF & CE Chứng minh đờng thẳng AD tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDF

*Trờng Chu Văn An & HN – AMSTERDAM ( 2005-2006) (dành cho đối tợng , thời gian: 150’)

Bài 1(2đ): Cho biểu thức P=

x x x x

x x x x

x

x 1 1

 

 

 

1.Rót gän P

2 T×m x biết P= 9/2

Bài 2(2đ): Cho bất phơng trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m là tham số)

1 Gi¶i bpt víi m= 1- 2

2 Tìm m để bpt nhận giá trị x >1 nghiệm Bài 3(2đ):

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d):2x – y –a2 = 0

và parabol (P):y= ax2 (a tham số dơng).

1 Tìm a để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A&B Chứng minh A&B nằm bên phải trục tung

2 Gọi xA&xB hồnh độ A&B, tìm giá trị Min biểu

thøc T=

B A B

A x x x

Bài 4(3đ):

ng trịn tâm O có dây cung AB cố định I điểm cung lớn AB Lấy điểm M cung lớn AB, dựng tia Ax vng góc với đờng thẳng MI H cắt tia BM C

1 Chøng minh c¸c tam giác AIB & AMC tam gíac cân

2 Khi điểm M di động, chứng minh điểm C di chuyển cung tròn cố định

3 Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giỏc AMC t Max

Bài 5(1đ):

Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC vµ trung tuyÕn AM, gãc ACB = ,gãc AMB =  Chøng minh r»ng: (sin +cos )2= 1+ sin

Hồ Chí Minh năm học 2004-2005, lớp (thời gian:90) Bài 1(3đ): Tính:

a)

  

        

  

             

  1

3 1

3 3

1

3

b) (63+3.62 + 33) :13

c) 109  901  721  561  421  301  201  121  61 12

Bµi 2(3đ):

a) Cho ba cb ac a+b+c #0, a= 2005 TÝnh b,c

b) Chøng minh r»ng tõ tû lÖ thøc 1#

d c

d c b a

b a

    

ta cã tû lÖ thøc ba dc

Bài 3(4đ):

bài 4(3đ):

Vẽ đồ thị hàm số: 2x với x 

y = x với x<0 Bài 5(3đ):

Chứng tỏ rằng: A = 75(42004 + 42003 + +42 +4 +1) +25 lµ số chia

hết cho 100 Bài 6(4đ):

Cho tam giác ABC có góc A = 600 Tia phân giác góc B cắt

AC ti D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác cắt I Chứng minh ID = IE

Thi häc sinh giái TP H¶i Phòng (2004-2005) (Toán bảng A- thời gian:150)

Bµi 1:

a Rót gän biĨu thøc: P =      

  

 

 

y y x x y x

y x xy

y

x2 2 2

b Giải phơng trình:

2

2

2

  

   



x x x

x

Bµi 2:

a ( đề nh bảng B)

b Vẽ đờng thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 hệ trục toạ độ Chứng minh hình chữ nhật giới hạn bơỉ đờng thẳng khơng có điểm ngun thuộc đờng thẳng 3x + 5y =

Cho tứ giác ABCD có cạnh đối diện AD cắt BC E & AB cắt CD F, Chứng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn là: EA.ED + FA.FB = EF2.

Bµi 4:

Cho tam giác ABC cân A, AB =(2/3).BC, đờng cao AE Đờng tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC F

a chứng minh BF tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giỏc ECF

b Gọi M giao điểm BF với (O) Chứng minh: BMOC tứ giác nội tiÕp

Thi häc sinh giái tØnh HaØ D¬ng (2004-2005) ( lớp 9, thời gian: 150)

Bài 1(3,5đ):

1 Gọi x1, x2 la nghiệm phơng trình x2 + 2004x + = vµ

x3, x4 nghiệm phơng trình x2 + 2005 x +1 =0 Tính giá trị

của biểu thức: ( x1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2-x4)

2 Cho a,b,c số thực a2 + b2 < Chứng minh:phơng

trình (a2+b2-1)x2 -2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 lu«n cã nghiƯm.

Bài (1,5đ):

Cho hai số tự nhiên m n thoả mÃn mn1nm1là số nguyên chứng

Bài (3đ):

Cho hai đờng tròn (O1), (O2) cắt A & B Tiếp tuyến

chung gần B hai đờng tròn lần lợt tiếp xúc với (O1), (O2) C &

D Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD, lần lợt cắt (O1), (O2) M

& N Các đờng thẳng BC,BD lần lợt cắt đờng thẳng MN P & Q; đòng thẳng CM, DN cắt E Chứng minh:

a Đờng thẳng AE vng góc với đờng thẳng CD b Tam giác EPQ tam giác cân

Bµi (2đ):

Giải hệ phơng trình: x+y =

x5 + y5 =11

§Ị thi học sinh giỏi lớp (năm học 2003-2004) Tỉnh Vĩnh Phúc (150phút)

Câu 1: (3đ) Cho hệ pt víi tham sè a: x4y x

y  x a 1 a gi¶i hƯ pt a=-2

b tìm giá trị tham số a để hệ pt có hai nghiệm Câu 2(2đ):

b.Cho tứ giác ABCD (cạnh AB,CD có độ dài) nội tiếp đờng trịn bán kính Chứng minh: tứ giác ABCD ngoại tiếp đờng trịn bán kính r r

2

Câu 3(2đ):

Tim tất số nguyên dơng n cho phơng trình: 499(1997n +1) = x2 +x có nghiệm nguyên.

Câu (3®):

Cho tam giác ABC vng C đờng trịn (O) đờng kính CD cắt AC & BC E & F( D hình chiếu vng góc C lên AB) Gọi M giao điểm thứ hai đờng thẳng BE với (O), hai đờng thẳng AC, MF cắt tạiK, giao điểm đờng thẳng EF BK P

a chứng minh bốn điểm B,M,F,P thuộc đờng trịn

b gi¶ sử ba điểm D,M,P thẳng hàng tính số đo góc cđa tam gi¸c ABC

c giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng, gọi O trung điểm đoạn CD Chứng minh CM vng góc với đờng thẳng nối tâm đơng tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MFP

 Tỉnh Haỉ D ơng (150 phút) Bài 1(2.5đ):

Giải pt: xy x ya x2y2x2yxy2 xy 4b 0víi

a=  573 6 386 57 6 386

b= 1712  3 2  32

Bài 2(2.5đ)

Hai phơng trình: x2+ (a-1)x +1 =0; x2 + x + c =0 cã nghiÖm

chung, đồng thời hai pt: x2 + x +a -1= 0; x2 +cx +b +1 =0 có

nghiƯm chung

Cho hai đờng tròn tâm O1, O2 cắt A,B Đờng thẳng O1A

cắt (O2) D, đờng thẳng O2A cắt (O1) C

Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD căt (O1) M (O2) N

Chøng minh r»ng:

1 Năm điểm B,C,D,O1,O2 nằm ng trũn

2 BC+BD = MN Bài 4(2đ)

Tìm số thực x, y thoả mÃn x2 +y2 = x+y số nguyên.

Tỉnh Bình Thuận (150 phút) Bài 1(6đ):

1 Chứng minh rằng: A =

2

48 13

  

 lµ sè nguyên.

2 Tìm tất số tự nhiên cã ch÷ sè abc cho: abc = n2

cba =(n-2)2 Baì 2(6đ)

1 Gi¶i pt: x3 + 2x2 + 2 2x +2 2 =0

2 Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 đờng thẳng (d): y= (1/2)x +2.

a) Vẽ (P), (d) hệ trục toạ độ Oxy

b) Gọi A,B giao điểm (P),(d) Tìm điểm M trªn cung AB cđa (P) cho diƯn tÝch tam giác MAB max

c) tìm điểm N trục hoành cho NA+NB ngắn Bài 3(8đ):

1 Cho đờng tròn tâm O dây cung BC không qua O Một điểm A chuyển động đờng tròn (A#B,C) gọi M trung điểm đoạn AC, H chân đờng vng góc hạ từ M xuống đờng thẳng AB Chứng tỏ H nằm đờng tròn cố định

* Tỉnh Phú Thọ (150 phút) Bài 1(2đ):

a) chứng minh p số nguyên tố lớn th× (p-1) (p+1) chia hÕt cho 24

b) tìm nghiệm nguyên dơng pt: xy 2x 3y +1= Bài 2(2đ):

Cho cỏc s a,b,c khác đôi khác nhau, thoả mãn điều kiện a3 + b3 + c3 = 3abc Tính: 

  

 

        



 

   

b a

c a c

b c b

a c

b a b

a c a

c b

Bài 3(2đ)

a) tỡm a để pt: x +2ax = 3a -1 có nghiệm

b) cho tam thøc bËc hai f(x)=ax2 +bx+ c thoả mÃn điều kiện )

( x

f  víi mäi x   1;1 Tìm max biểu thức 4a2 +3b2 Bài (1,5®)

Cho góc xOy hai điểm A,B lần lợt nằm hai tia Ox,Oy thoả mãn OA- OB = m (m độ dài cho trớc) Chứng minh:đờng thẳng qua trọng tâm G tam giác ABO vng góc với AB ln qua điểm c nh

Bài 5(2.5đ):

Cho tam giỏc nhn ABC Gọi ha,hb,hc lần lợt đờng cao

l-ợt bán kính đờng trịn ngoại tiếp & nội tiếp tam gíac ABC Chứng minh rằngmh mh mh Rr r

c c b

b a

a   

Đề số 1:

Bài cho c¸c sè a1,a2,a3…,a2003 BiÕt:

ak =  3

2

1 3

k k

k k

  

víi mäi k = 1,2,3….2003 TÝnh tỉng:a1 + a2 + a3+ +a2003

Bµi Cho A = 1- +13 -19 +25 -31 +……… a) BiÕt A cã 40 số hạng Tính giá trị A

b) Biết A có n số hạng Tính giá trị A theo n

Bài Cho tam giác ABC cân A, góc BAC = 400, đờng cao

AH Các điểm E, F theo thứ tự thuộc đoạn th¼ng AH, AC cho gãc EBA = gãc FBC = 300 Chøng minh r»ng AE = AF.

Bµi Cho sáu số tự nhiên a1, a2 , a3, a4 , a5, a6 tho¶ m·n:

2003 = a1<a2 <a3<a4 <a5<a6

1) Nếu tính tổng hai số thực đợc tổng? 2) Biết tất tổng khác Chứng minh a6 

2012

Bài Hãy khôi phục lại chữ số bị xố( để lại vết tích

chữ số dấu * ) để phép toán đúng.

***



*** §Ị sè 2: Bài

Giải hệ phơng trình

   

  

  

  

0 3

0 3 2

0 2

z x xz

y z yz

y x xy

Bµi

Tìm tất số nguyên dơng a,b cho ab = 3(b-a)

Bµi Cho x2 +y2 =1 Tìm giá trị lớn giá trÞ nhá nhÊt

cđa biĨu thøc : S = (2-x)(2-y) Bài 4.

Cho tam giác cân ABC( AC =AB) víi gãc ACB = 800 Trong tam

giác ABC có điểm M cho góc MAB = 100 vµ gãc MBA = 300.

TÝnh gãc BMC Bµi

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) AC cắt BD I (O1),

(O2) theo thứ tự đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABI,

CDI Một đờng thẳng qua I cắt (O) X Y cắt(O1

),(O2) theo thứ tự Z, T ( Z T khác I) Chøng minh r»ng XZ = YT §Ị sè 3:

Bài Cho số phơng A, B, C.

Chøng tá r»ng ( A- B)(B-C)(C-A) chia hÕt cho 12 Bµi Chøng minh r»ng :

3 3 3

9 9 1

2   

b a b a a c a c c b c b b c a c b a a b c b a c c a b a c b                     ) )( ( ) )( ( ) )( ( 2 2 2

Bài Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, a+b+c = 9; x,y,z lần lợt độ dài phân giác góc A,B,C Chứng minh rằng:

z y x 1   >1

Bµi Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng:

   CB CA HB HA BA BC HA HC AC AB HC HB

Đề số 4: Bài 1.

BiÕt r»ng 654 999 997 1965

9 100         sè ch A

Chøng minh r»ng A chia hÕt cho Bµi 2

Cho số thực dơng cho tổng tất tích cặp hai số chúng Chứng minh tồn bốn năm số có tổng nhỏ

Bài

Tồn hay không số nguyên a,b,c thoả mÃn: a(b-c)(b+c-a)2+c(a-b)(a+b-c)2=1

Bài 4.

Giải phơng trình x4+16x+8=0

Một đờng thẳng d chia tam giác ABC cho trớc thành hai phần có diện tích chu vi Chứng minh tâm đờng tròn nội tiếp tam giácABC nằm đờng thẳng d

Đề số 5 Bài 1

Phân tích tuỳ ý số 2005 thành tổng hai số tự nhiên lớn xét tích hai số Trong cách phân tích nói trên, hÃy cách mà tích số có giá trị nhỏ

Bài 2.

Cho số không âm a,b,x,y thoả mÃn điều kiện

1 ;

1 2005 2005 2005

2005 b  x y  a

Chøng minh r»ng:a1975.x30 b1975.y30 1 Bµi

Giải phơng trình

5 ) ( 2005 60

40 24

10    x   

Bµi

Với số nguyên dơng n, kí hiệu

!

) (

2

n n n

a n

n

  

 TÝnh tæng

2005

1 a a

a    Trong n! kí hiệu tích n số ngun dng

liên tiếp Đề số 6:

Bµi 1:

Chøng minh r»ng sè 20052 +22005 nguyªn tè cïng víi sè

Bài 2:

Cho ba số dơng a,b,c chứng minh r»ng:

3 3

cb c ba b ac a a c c b b a

 

  

Bµi 3:

giải phơng trình: x4 + x3+ x2+x +

2

=0 Bµi 4:

Giả sử O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC AD,BE,CF đờng cao tam giác Đờng thẳng EF cắt (O) P,Q Gọi M trung điểm BC Chứng minh AP2 = AQ2=

2AD.OM Bµi 5:

Xác định M nằm tam giác ABC cho tích khoảng cách từ M tới cạnh tam giác đạt giá trị lớn

§Ị sè 7:

Bài 1: Giải phơng trình: x3 - x - = x3 + x + 1

Bµi 2:

t×m Max cđa biĨu thøc x x3  xx3 víi x 1 Bµi 3:

Giải hệ phơng trình:

( )

2

2 xy y x y

x    

x2004+y2004 = 22005

Bµi 4:

a,b,c lần lợt độ dài ba cạnh BC,CA,AB Chứng minh: (a+b) (a2+b2- c2)= 2a2b

Bµi 5:

Cho tam giác ABC Điểm O nằm tam giác BO cắt AC taị M, CO cắt AB N Dựng hình bình hành OMEN OBFC Chứng minh: A,E,F thẳng hàng AEAE AMAB..ACAN OMOB..OCON

Đề số 8 Bµi 1:

Cho số 155*701*4*16 có 12 chữ số Chứng minh thay đổi dấu (*) chữ số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ ý số ln chia hết cho 396

Bµi 2:

Giải hệ phơng trình:

x2 xy +y2 =3

z2 +yz +1 =0

Bµi 3:

T×m Max cđa biĨu thøc: A=

4

8003

2

6006 2004

2

2

 

     

x x

x x x x

x

Bài 4:

Cho a,b,c cạnh tam gi¸c, chøng minh:

3 3

3

3 ab c bc a ca b a b c Bài 5:

Đề số 9: Bài 1:

Giả sử (a1;a2;a3;a37),(b1;b2;b3;b37),(c1;c2;c3;.c37) ba sè

nguyên Chứng minh tồn số k,l,n thuộc tập hợp số {1;2;…37} để số a= 1/3(ak +al + an); b=1/3(bk + bl+ bn); c=

1/3(ck +cl + cn); đồng thời số ngun

Bµi 2:

Tìm a để phơng trình (ẩn x) sau có nghiệm: x=(a-x)/ x2  Bài 3:

Tìm m để phơng trình sau có bốn nghiệm ngun:

1

2

2 xm m m x 

m

Bµi 4:

Cho tam giác ABC, H điểm cạnh BC AD đờng phân giác tam giác Dựng AL đối xứng với AH qua AD (L thuộc BC) Chứng minh: BH.CH/(BL.CL)=HD2/LD2

Bµi 5:

Cho tam giác ABC nội tiếp (O;1) Một đờng thẳng qua O cắt hai cạnh AB AC lần lợt M&N Ký hiệu SAMN diện tích tam

gi¸c AMN

Chøng minh r»ng:

8 3

3

SAMN

Đề số 10. Bài 1:

Cho p số nguyên tố >3

Chứng minh r»ng pt: x2 + y2 + z2 = 4p2 +1 có nghiệm dơng

(x0;y0;z0)

Bài 2:

Cho ba số dơng a,b,c thoả mÃn a+b+c =3 Chứng minh r»ng:

2

1

1    a2 

c c b b a

Bµi 3:

Bµi 4:

Cho tam giấcBC (AB<AC) P điểm nằm tam giác cho góc ^PBA=^PCA Gọi H & K chân đờng vng góc hạ từ P xuống AB & AC; I trung điểm BC Chứng minh: ^HIB <^KIC

Bµi 5:

Cho tam giác ABC không cân, ngoại tiếp (O) gọi D,E,F tiếp điểm (O) với cạnh BC,CA,AB Gọi M giao điểm đ-ờng thẳng AO,DE; Nlà giao điểm đđ-ờng thẳng BO,EF; P giao điẻm Co DF Chøng minh c¸c tam gi¸c NAB,MAC,PBC cã cïng diƯn tÝch

Đề số 11:

Bài 1: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc:

P= a/(a+b) +b/(b+c) + c/(c+a) a,b,c số thực thoả mãn iu kin a>=b>=c>0

Bài 2:

Tồn hay không số nguyên thoả mÃn : n3 + 2003n = 20052005+1?

A= 20031.2004 20051.2006

1

1

 

 

B=

1004 2006

1

2005 1005

1 2006

1004

1



Chứng minh A/B số nguyên Bµi 4:

Cho tam giác ABC có điểm M thuộc BC Gọi E&F hình chiếu vng góc M AB&AC; O trung diểm EF; Q hình chiếu vng góc A đơng thẳng OM Chúng minh M chuyển động BC Q ln thuộc đơng thẳng cố định

Bµi 5:

Cho lục giác nội tiếp đờng trịn ABCDEF có AB = AF; DC= DE Chứng minh: AD> (1/2)(BC+EF)

Đề số 12: Bài 1: Cho Sn=

1

3

 

 

n n

S S

với n số tự nhiên không nhỏ Biết S1 =

1, tính S = S1 + S2 + S3 +… + S2004 + S2005

Bài 2:

Giải hệ phơng trình: xy x y y x

x2008 + y2008 =8(xy)

2 2005

Bµi 3:

Tổng số bi đỏ số bi xanh bốn hộp: A,B,C,D 48 Biết rằng: số bi đỏ số bi xanh hộp A nhau; số bi đỏ hộp B gấp hai lần số bi xanh hộp B; số bi đỏ hộp C gấp ba lần số bi xanh hộp C; số bi đỏ hộp D gấp sáu lần số bi xanh hộp D; bốn hộp có hộp chứa hịn bi xanh, hộp chứa bi xanh,một hộp chứa bi xanh, hộp chứa hịn bi xanh Tìm số bi đỏ số bi xanh hộp

Bµi 4:

Chứng minh bất đẳng thức: a + b + c

2 ) (

) (

)

(b c a2003 c a b2003 ab c2003

 

 

với a,b,c số dơng

Đề sè 13: Bµi 1:

Cho 2005 số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 đặt trớc số dấu “trừ” dấu “cộng” thực phép tính đợc tổng A tìm giá trị khơng âm nhỏ mà A nhận đợc

Cho f(x) = ax2 + bx + c tho¶ m·n: f(-3) <-10; f(-1) > 0; f(1) < -1.

hãy xác định dấu hệ số a Bài 3:

Gi¶i pt: (x – 2005)6 + (x- 2006)8 = 1

Bµi 4:

Cho a1=1/2; an+1= 

  

 

 

2

1

n n

an víi n = 1,2,3,… ,2004 Chøng minh

r»ng: a1 + a2 + a3 +…+ a2005 <

Bµi 5:

Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M thuộc BC đờng trịn đờng kính AM BC cắt N ( N # B), gọi L giao điểm BN & CD Chứng minh: ML vuông gúc vi AC

Đề số 14: Bài 1:

Chøng minh r»ng pt x2 – 2y = 2005 kh«ng có nghiệm nguyên.

Bài 2:

Giải pt: 48x(x +1)(x3 -4) = (x4 + 8x +12)2

Bµi 3:

Gi¶i hƯ pt: 3x – y -5z -2yz = x- 5y –z – 2z2 =0

x +9y -3z + 2xz = Bµi 4:

Cho tam giác ABC cân A ^A= 360 Chứng minh: BA/BC số

vô tỉ Bài 5:

Đề 1

Câu1 : Cho biÓu thøc

A= : (1 2) 1 1 2 3                     x x x x x x x x x

Víi x 2;1

.a, Ruý gän biểu thức A

.b , Tính giá trị cđa biĨu thøc cho x= 2

c Tìm giá trị x để A=3 Câu2.a, Giải hệ phơng trình:          12 3 2 4 ) (3 ) ( y x y x y x

b Giải bất phơng trình: 15 2      x x x x x <0

Câu3 Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0

Xỏc nh m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Câu Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC Điểm A thuộc nửa đờng trịn Dng hình vng ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C Gọi Flà giao điểm Aevà nửa đờng tròn (O) Gọi Klà giao điểm CFvà ED

a chứng minh điểm E,B,F,K nằm đờng tròn b Tam giác BKC tam giác ? Vì ?

đáp án Câu 1: a Rút gọn A=

x x2 

b.Thay x= 2 vào A ta đợc A=

2 2  

c.A=3<=> x2-3x-2=0=> x=

2 17 

Câu : a)Đặt x-y=a ta đợc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4

Từ ta có

O K F E D C B A *         12 3 2 4 y x y x (2)

Giải hệ (1) ta đợc x=3, y=2 Giải hệ (2) ta c x=0, y=4

Vậy hệ phơng trình có nghiệm x=3, y=2 x=0; y=4 b) Ta cã x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3)

mµ x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 víi mäi x

Vậy bất phơng trình tơng đơng với x-5>0 =>x>5 Câu 3: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1  Xét 2m-10=> m 1/2 ta có

,

 = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0)

víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x=m2mm11=2 1

 m

pt cã nghiƯm kho¶ng (-1,0)=> -1<2m1 1<0

         0 1 2 0 1 1 2 1 m m =>         0 1 2 0 1 2 2 m m m =>m<0

VËy Pt cã nghiƯm kho¶ng (-1,0) m<0 Câu 4:

a Ta cã �KEB= 900

mặt khác �BFC= 900( góc nội tiếp chắn đờng trịn)

do CF kéo dài cắt ED D

=> BFK= 900 => E,F thuộc đờng trịn đờng kính BK

hay điểm E,F,B,K thuộc đờng trịn đờng kính BK b �BCF= �BAF

Mµ � BAF= �BAE=450=> � BCF= 450

Ta cã �BKF= � BEF

Mà � BEF= � BEA=450(EA đờng chéo hình vng

ABED)=> �BKF=450

V× � BKC= � BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân B

Đề 2

Bµi 1: Cho biĨu thøc: P =  

a,Rót gän P

b,Tìm x ngun để P có giá trị ngun

Bµi 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*)

a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm

b.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn

3 x

x  =50

Bài 3: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = có hai nghiệm dơng

phân biệt x1, x2Chứng minh:

a,Phơng trình ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dơng

phân biệt t1 vµ t2

b,Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2 4

Bài 4: Cho tam giác có góc nhọn ABC nội tiếp đờng trịn tâm O H trực tâm tam giác D điểm cung BC không chứa điểm A

a, Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD hình bình hành

b, Gọi P Q lần lợt điểm đối xứng điểm D qua đờng thẳng AB AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng

c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn Bài 5: Cho hai số dơng x; y thoả mãn: x + y 

Tìm giá trị nhỏ của: A = x2 1y2 501xy

Đáp án

Bài 1: (2 điểm) ĐK: x 0;x1

a, Rút gän: P =  

 

 

1

:

1

2

  



x x x

x x

x z <=> P =

1 )

1 (

1

2 

  



x x x

x

b P =

1 1

    

x x

Để P nguyên ) ( 0 1 1 Loai x x x x x x x x x x x                         

Vậy với x= 0;4;9 P có giá trị nguyên

Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm ©m th×:

                         0 1 2 0 6 0 6 4 1 2 2 2 m x x m m x x m m m )3 )(2 ( 25                    m m m m

b Giải phơng trình: 23 ( 3)3 50   m m                       5 1 50 ) 3 ( 2 m m m m m m

Bài 3: a Vì x1 nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = nªn

ax12 + bx1 + c =0

V× x1> => c

1

1   

     a x b

x Chøng tá

1

x lµ mét nghiƯm dơng

của phơng trình: ct2 + bt + a = 0; t =

1

1

x Vì x2 nghiệm

phơng trình:

ax2 + bx + c = => ax

22 + bx2 + c =0

v× x2> nªn c

2 2                a x b

x điều chứng tỏ

1

x

nghiệm dơng phơng trình ct2 + bt + a = ; t =

2

Vậy phơng trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân

biệt x1; x2 phơng trình : ct2 + bt + a =0 cịng cã hai nghiƯm

d¬ng ph©n biƯt t1 ; t2 t1 =

1

1

x ; t2 = 2 x

b Do x1; x1; t1; t2 nghiệm dơng nên

t1+ x1 =

1

1

x + x1 2 t2 + x2 = 2

x + x2 2

Do x1 + x2 + t1 + t2 4

Bµi 4

a Giả sử tìm đợc điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam giác ABC nên

CH AB vµ BHAC => BD AB vµ CD AC

Do đó: �ABD = 900 �ACD = 900

Vậy AD đờng kính đờng trịn tâm O Ngợc lại D đầu đờng kính AD

của đờng trịn tõm O thỡ

tứ giác BHCD hình bình hµnh

b) Vì P đối xứng với D qua AB nên �APB = �ADB nhng �ADB =�ACB nhng �ADB = �ACB

Do đó: �APB = �ACB Mặt khác:

�AHB + �ACB = 1800 => �APB + �AHB = 1800

Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên �PAB = �PHB Mà �PAB = �DAB đó: �PHB = �DAB

Chøng minh t¬ng tù ta cã: �CHQ = �DAC

VËy �PHQ = �PHB + �BHC +� CHQ = �BAC + �BHC = 1800

Ba điểm P; H; Q thẳng hàng c) Ta thấy  APQ tam giác cân đỉnh A

Có AP = AQ = AD �PAQ = �2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ H

O P

Q

D

C B

đạt giá trị lớn  AP AQ lớn hay  AD lớn  D đầu đờng kính kẻ từ A đờng trịn tâm O

Đề 3

Bài 1: Cho biÓu thøc:

   x  y

xy x

y x

y y

y x

x P

  

 

 

 

1 1

) )

1 )( (

a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P =

Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) có hệ số góc m

®i qua ®iĨm M(-1 ; -2)

a) Chøng minh r»ng víi giá trị m (d) cắt (P) hai điểm A , B phân biệt

b) Xỏc định m để A,B nằm hai phía trục tung

Bài 3: Giải hệ phơng trình :

      

  

  

  

27 1 1

9

zx yz xy

z y x

z y x

Bài 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R C điểm

thuộc đờng tròn (C A;C B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có

chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N

a) Chøng minh c¸c tam giác BAN MCN cân b) Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R

Bµi 5: Cho x,y,z R tháa m·n :

z y x z y

x     

1

1

H·y tÝnh giá trị biểu thức : M = 43 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 –

x10)

Đáp án

Bi 1: a) iu kin để P xác định :;

0 ;

1 ;

0 ;

0    

 y y x y

*) Rót gän P:  

   

(1 ) (1 )

1

x x y y xy x y

P

x y x y

                 ( ) 1

x y x x y y xy x y

x y x y

    



  

  

 1 1 

x y x y x xy y xy

x y x y

     



  

      

  

1 1

1

x x y x y x x

x y

     



 

1 

x y y y x

y

  



       

1 1

1

x y y y y

y

   



  x  xy  y

VËy P = x  xy  y

b) P =  x  xy  y.=

 1 11    1 1

         y x y y x

Ta cã: + y �1  x �1 ۣ�ۣ x  x = 0; 1; 2; ;

Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) thoả mÃn

Bi 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) Nên phơng trình đờng thẳng (d) : y = mx + m – Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phơng trình: - x2 = mx + m –

 x2 + mx + m – = (*)

Vì phơng trình (*) có m2  4m 8 m  22 4 0m nªn

ph-ơng trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt , (d) (P) ln cắt hai điểm phân biệt A B

b) A vµ B n»m vỊ hai phÝa cđa trơc tung  ph¬ng tr×nh : x2 +

mx + m – = cã hai nghiƯm tr¸i dÊu  m – <  m < 2.

Bµi :

                    3 27 ) 2 ( 1 1 1 1 1 9 xz yz xy z y x z y x

Q N M O C B A          

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

81 81

81 27

2( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x y z x y z xy yz zx

x y z xy yz zx x y z

x y z xy yz zx x y z xy yz zx

x y y z z x

x y x y

y z y z x y z

z x z x          � �          � �            � �       � �   � �   �   � � �� � �   � � �

Thay vµo (1) => x = y = z =

Ta thÊy x = y = z = thõa mÃn hệ phơng trình Vậy hệ phơng trình cã nghiÖm nhÊt x = y = z =

Bµi 4:

a) XÐt  ABM vµ NBM

Ta có: AB đờng kính đờng tròn (O) nên :AMB = NMB = 90o

M điểm cung nhỏ AC nªn ABM = MBN => BAM = BNM

=> BAN cân đỉnh B Tứ giác AMCB nội tiếp

=> BAM = MCN ( bù với góc MCB) => MCN = MNC ( góc BAM) => Tam giác MCN cân đỉnh M

b) XÐt  MCB vµ  MNQ cã :

MC = MN (theo cm MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt) � BMC =� MNQ ( v× : �MCB = �MNC ; �MBC = �MQN ) =>  MCB  MNQ (c.g.c) => BC = NQ

Xét tam giác vuông ABQ có AC BQ  AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ)

=> AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R)

=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( 5  1)R

Bµi 5:

Tõ : 1x  1y  1z x  1y  z =>1 1 0      z y x z y x

=>   0

       z y x z z z y x xy y x      

  ( )

0 ) ( 1                                x z z y y x z y x xyz xy z zy zx y x z y x z xy y z

Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).=

z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)

VËy M = 43 + (x + y) (y + z) (z + x).A = 43

§Ị 4

Bài 1: 1) Cho đờng thẳng d xác định y = 2x + Đờng

thẳng d/ đối xứng với đờng thẳng d qua đờng thẳng y = x là:

A.y =

2

x + ; B.y = x - ; C.y =

2

x - ; D.y = - 2x - Hãy chọn câu trả lời

2) Một hình trụ có chiều cao gấp đơi đờng kính đáy đựng đầy nớc, nhúng chìm vào bình hình cầu lấy mực nớc bình cịn lại 32 bình Tỉ số bán kính hình trụ bán kính hình cầu A.2 ; B.3 2 ; C 3; D kết khác

Bìa2: 1) Giải phơng trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + = 0

2) Cho x + y = (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn A

= x + y

Bµi 3: 1) Tìm số nguyên a, b, c cho ®a thøc : (x + a) (x - 4) -

Phân tích thành thừa số đợc : (x + b).(x + c)

2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt điểm cố định tia Ax, Ay cho AB < AC, điểm M di động góc xAy cho MBMA = 12

Xác định vị trí điểm M để MB + MC đạt giá trị nhỏ

Bài 4: Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB CD vng góc với

nhau, lÊy ®iĨm I bÊt kỳ đoan CD

a) Tìm điểm M tia AD, điểm N tia AC cho I lag trung ®iĨm cđa MN

b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi

c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua hai điểm cố định

Híng dÉn

Bài 1: 1) Chọn C Trả lời đúng.

M D

C B A

x

Bµi : 1)A = (n + 1)4 + n4 + = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1)

= (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1)

= (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2

VËy A chia hÕt cho số phơng khác với số nguyên dơng n

2) Do A > nªn A lín nhÊt A2 lín nhÊt.

XÐt A2 = ( x+ y )2 = x + y + 2 xy = + 2 xy (1)

Ta cã:

2

y x 

xy

 (Bất đẳng thức Cô si)

=> > xy (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = + 2 xy < + = 2

Max A2 = <=> x = y =

2

, max A = <=> x = y =

2

Bài3 Câu 1Với x ta có (x + a)(x - 4) - = (x + b)(x + c) Nên với x = - = (4 + b)(4 + c)

Cã trờng hợp: + b = + b = + c = - + c = - Trêng hỵp thø nhÊt cho b = - 3, c = - 11, a = - 10

Ta cã (x - 10)(x - 4) - = (x - 3)(x - 11) Trêng hỵp thø hai cho b = 3, c = - 5, a =

Ta cã (x + 2)(x - 4) - = (x + 3)(x - 5)

Câu2 (1,5điểm)

Gọi D điểm cạnh AB cho:

AD = 41 AB Ta có D điểm cố định Mà MAAB = 12 (gt) MAAD = 21

Xét tam giác AMB tam giác ADM có M©B (chung) MAAB = MAAD = 21

Do Δ AMB ~ Δ ADM => MDMB = MAAD = => MD = 2MD (0,25 điểm)

Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (khơng đổi) Do MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC

DÊu "=" x¶y <=> M thuộc đoạn thẳng DC Giá trị nhỏ nhÊt cđa MB + MC lµ DC

* Cách dựng điểm M

K O

N

M

I

D C

B A

- Dựng D tia Ax cho AD = 14 AB M giao điểm DC đờng tròn (A; 21 AB)

Bài 4: a) Dựng (I, IA) cắt AD M cắt tia AC N

Do MâN = 900 nên MN đờng kính

VËy I trung điểm MN b) Kẻ MK // AC ta cã : ΔINC = ΔIMK (g.c.g)

=> CN = MK = MD (vì ΔMKD vng cân) Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA => AM = AN = AD + AC không đổi

c) Ta cã IA = IB = IM = IN

Vậy đờng tròn ngoại tiếp ΔAMN qua hai điểm A, B cố định

§Ị 5

Bài Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời :

2 2 1 2 1 2 1 0

x  y  y  z z x Tính giá trị biểu thøc :A x 2007y2007z2007.

Bµi 2) Cho biĨu thøc :M x25x y 2xy4y2014.

Với giá trị x, y M đạt giá trị nhỏ ? Tỡm giỏ tr nh nht ú

Bài Giải hệ phơng trình :

2 18

1 72

x y x y

x x y y

�     �

�   

� �

Bài Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp

tuyến điểm M bbất kỳ đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến A B lần lợt C D

a.Chøng minh : AC BD = R2.

b.Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác COD nhỏ

Bài 5.Cho a, b số thực d¬ng Chøng minh r»ng :  2

2

2

a b

a b   a b b a

Bài 6).Cho tam giác ABC có phân giác AD Chứng minh : AD2 = AB

AC - BD DC

Bài Từ giả thiết ta có :

2 2

2 2

x y y z z x �    �    � �    �

Cộng vế đẳng thức ta có :x22x 1  y22y 1 z22z 1 0

  2  2 2

1 1

x  y  z 

� 1 x y z   � �   � � �   �

x  y z

�

 2007  2007  2007

2007 2007 2007 1 1 1 3

A x y z        

� Vậy : A = -3

Bài 2.(1,5 điểm) Ta cã :

 4 4  2 1  2 2 2007

M  x  x  y  y  xy x  y 

  2  2   

2 2007

M  x  y  x y 

  1  3 2

2 1 2007

2

M �x  y � y 

� � �

� � Do  2

1

y � vµ    

2

1

2

2

x y

�    ��

� �

� � x y,

2007

M

 �Mmin 2007�x2;y1

Bµi §Ỉt :  

 

1

u x x

v y y

�  �

�  �

� Ta cã :

18 72 u v uv   � � 

� � u ; v nghiệm phơng trình :

2

1

18 72 12;

X  X   �X  X 

� 12 u v  � �  � ; 12 u v  � �  � �     12 x x y y �   � �   � � ;     12 x x y y �   � �   � � Giải hai hệ ta đợc : Nghiệm hệ :

(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) hoán vị

Bµi a.Ta cã CA = CM; DB = DM

Tam giác COD vuông đỉnh O, OM đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên :

MO2 = CM MD

�R2 = AC BD

b.C¸c tø gi¸c ACMO ; BDMO néi tiÕp

� � ;� �

MCO MAO MDO MBO 

�

 

COD AMB g g

�V : V (0,25đ) Do :

1

Chu vi COD OM

Chu vi AMB MH

V

V (MH1  AB)

Do MH1 � OM nªn

1

1

OM

MH �

� Chu vi VCOD� chu vi VAMB

DÊu = x¶y � MH1 = OM � M�O M điểm của cung AB

Bài (1,5 điểm) Ta có :

2

1

0;

2

a b

�  �� �  ��

� � � �

� � � �  a , b >

1

0;

4

a a b b

� � � ( 1) ( 1)

4

a a  b b

� �  a , b >

1

0

a b  a b 

� � MỈt khác a b ab Nhân vế ta cã :      

2

a b ��a b  ��� ab a b

� �

  2 

2

2

a b

a b   a b b a

� �

Bài (1 điểm) Vẽ đờng trịn tâm O ngoại tiếp VABC

Gäi E lµ giao điểm AD (O) Ta có:VABD: VCED (g.g)

BD AD

AB ED BD CD

ED  CD 

� �

 

2

AD AE AD BD CD

AD AD AE BD CD

 

�

 

�

L¹i cã : VABD: VAEC g g 

o h

d

c

m

b a

d

e

c b

2

AB AD

AB AC AE AD

AE AC

AD AB AC BD CD

  � �  Đè 6 Câu 1: Cho hàm số f(x) = x2  4x4

a) TÝnh f(-1); f(5)

b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A =

4 ) (  x x f

x  2 C©u 2: Giải hệ phơng trình

        )3 )( 7 2( )7 2 )( 3 ( )4 )( 2 ( )2 ( y x y x y x y x

C©u 3: Cho biĨu thøcA = 

                     : 1 1 x x x x x x x x

víi x > vµ x  a) Rót gän A

b) Tìm giá trị x để A =

Câu 4: Từ điểm P nằm đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H chân đờng vng góc hạ từ A đến đ-ờng kính BC

a) Chøng minh PC cắt AH trung điểm E AH b) Gi¶ sư PO = d TÝnh AH theo R d

Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0

Khơng giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11

đáp án Câu 1a) f(x) = x2  4x4 (x 2)2 x

Suy f(-1) = 3; f(5) =

b) 

c) 2( )4 (  2)(22)     x x x x x f A

Víi x > suy x - > suy 12

 

x A

Víi x < suy x - < suy 12

   x A C©u 2

( 2) ( 2)( 4) 2

( 3)(2 7) (2 7)( 3) 21 21

x y x y xy x xy y x x y

x y x y xy y x xy y x x y

             � � � � � � � �      �        �  � � � � � x -2 y

C©u a) Ta cã: A = 

                     : 1 1 x x x x x x x x =                             1 ) ( : 1 ) )( ( ) )( ( x x x x x x x x x x x x =                          : 1 1 x x x x x x x x x = : 1       x x x x x x = :     x x x

x =

x x x x 1      = x x 

b) A = =>

x x



2 = => 3x +

x - = => x = 2/3 Câu 4

Do HA // PB (Cùng vuông gãc víi BC)

a) nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có EHPB CHCB ; (1)

Mặt khác, PO // AC (cùng vng góc với AB) => �POB = �ACB (hai góc đồng vị) =>  AHC   POB

Do đó: AHPB OBCH (2)

Do CB = 2OB, kết hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E trung điểm cđa AH

b) Xét tam giác vng BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R

-CH).CH

Theo (1) vµ AH = 2EH ta cã

) ( 2PB AH.CB 2PB AH.CB AH2  R

 AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB

 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2

 AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB

2 2 2 2 2 2 2 d R d 2.R 4R ) R 4(d R d 8R (2R) 4PB 4R.2R.PB CB 4.PB 4R.CB.PB AH           

C©u Để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 th×  >

<=> (2m - 1)2 - (m - 1) > 0

Từ suy m  1,5 (1)

Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có:

                  11 4x 3x m x x 2m x x 2                11 8m -26 7m 4m -13 8m -26 7m x 4m -13 x 1

Giải phơng tr×nh 11

8m -26 7m 4m -13

3   

ta đợc m = - m = 4,125 (2)

Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 + x2 = 11

C©u 1: Cho P = x x x   + 1 x x x    - 1 x x   a/ Rót gän P

b/ Chøng minh: P <

3 víi x � vµ x �1

Câu 2: Cho phơng trình : x2 2(m - 1)x + m2 – = ( ) ; m

lµ tham sè

a/ Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm

b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm ba lần nghiệm

C©u 3: a/ Giải phơng trình : 1

x +

1

2 x = b/ Cho a, b, c số thực thõa mÃn :

0

2 11

a b

a b c

a b c

� � � � � �     � �     �

Tìm giá trị lớn giá trị bé Q = a + b + 2006 c Câu 4: Cho VABC cân A với AB > BC Điểm D di động cạnh AB, ( D không trùng với A, B) Gọi (O) đờng tròn ngoại tiếp VBCD Tiếp tuyến (O) C D cắt K

a/ Chøng minh tø gi¸c ADCK néi tiÕp b/ Tứ giác ABCK hình gì? Vì sao?

c/ Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCK l hỡnh bỡnh hnh

Đáp án

Câu 1: Điều kiện: x x (0,25 ®iÓm) P =

1 x x x   + 1 x x x    - ( 1)( 1)

x

x x



 

=

2 ( )

x x   + 1 x x x    - 1 x = ( 1)( 1) ( 1)

( 1)( 1)

x x x x x

x x x

      

  

=

( 1)( 1)

x x

x x x



   =

x x x b/ Víi x � vµ x �1 Ta cã: P <

3 �

x

x x < � 3 x < x + x + ; ( v× x + x + > )

� x - 2 x + >

Câu 2:a/ Phơng trình (1) có nghiệm ’ � � (m - 1)2 – m2 – � 0

� – 2m � 0

� m �

b/ Víi m � th× (1) cã nghiƯm

Gäi mét nghiệm (1) a nghiệm 3a Theo Viet ,ta cã:

3 2

.3

a a m

a a m

  

�

�  

�

� a=

m �

3(

m

)2 = m2 – 3

� m2 + 6m – 15 = 0

� m = 32 ( thõa mÃn điều kiện) Câu 3:

§iỊu kiƯn x � ; – x2 > � x � ; x < 2.

Đặt y = 2 x >

Ta cã:

2 2 (1)

1

2 (2)

x y

x y

�   �

�   �

�

Từ (2) có : x + y = 2xy Thay vào (1) có : xy = xy = -1 * Nếu xy = x+ y = Khi x, y nghiệm phơng trình:

X2 – 2X + = � X = � x = y = 1.

* NÕu xy = -1

2 x+ y = -1 Khi x, y nghiệm phơng trình:

X2 + X - 1

2 = � X =

1  � V× y > nªn: y =

2

  � x =  

Vậy phơng trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 =

2   C©u 4: c/ Theo câu b, tứ giác ABCK hình thang

Do đó, tứ giác ABCK hình bình hành � AB // CK � BAC� �ACK

Mà

ACK sđEC = 1

2sđBD = DCB Nên BCD BAC

O

K

D

C B

Dựng tia Cy cho BCy BAC� � Khi đó, D giao điểm �AB Cy

Với giả thiết AB > BC BCA > BAC > BDC� . � D � AB

Vậy điểm D xác định nh điểm cần tìm Đề 8

Câu 1: a) Xác định x R để biểu thức :A =

x x x x      1 2 Là số tự nhiên

b Cho biểu thøc: P = 2 1 22 2 

  

 zx z

z y yz y x xy x

BiÕt x.y.z = , tính P

Câu 2:Cho điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)

a Chøng minh điểm A, B ,D thẳng hàng; điểm A, B, C không thẳng hàng

b Tính diện tích tam giác ABC

Câu3 Giải phơng trình: x1 2 x 5

Câu Cho đờng tròn (O;R) điểm A cho OA = R Vẽ

các tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn Một góc xOy = 450 cắt đoạn

th¼ng AB AC lần lợt D E Chứng minh r»ng:

a.DE tiếp tuyến đờng tròn ( O ) b RDER

3

đáp án Câu 1: a.

A = x x x x x

x x x x x x x

x ( )

) ).( (

1 2

2 2                 

A số tự nhiên  -2x số tự nhiên  x = 2k (trong k Z k )

b.Điều kiện xác định: x,y,z  0, kết hpọ với x.y.z = ta đợc x,

y, z > vµ xyz 2

Nhân tử mẫu hạng tử thứ với x; thay mẫu hạng tử thứ xyz ta đợc:

P =

2 2 ( 2

2   

         

 xy x

xy x xy x z z x xy xy x xy x (1đ)

P P >

Câu 2:a.Đờng thẳng qua điểm A B có dạng y = ax + b Điểm A(-2;0) B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên  b = 4; a = 2

Điểm C(1;1) có toạ độ khơng thoả mãn y = 2x + nên C không thuộc đờng thẳng AB  A, B, C không thẳng hàng.

Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + nên điểm D thuộc đ-ờng thẳng AB  A,B,D thẳng hàn

b.Ta cã :

AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20

AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10

BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10

 AB2 = AC2 + BC2  ABC vu«ng t¹i C

Vậy SABC = 1/2AC.BC = 12 10 10 5 ( đơn vị diện tích )

Câu 3:Đkxđ x1, đặt x1u; 2 x v ta có hệ phơng trình:

  

 

 

1 5

3 v

u v u

Giải hệ phơng trình phơng pháp ta đợc: v =

 x = 10.

C©u 4

a.áp dụng định lí Pitago tính đợc AB = AC = R  ABOC hình

vu«ng (0.5đ) Kẻ bán kính OM cho BOD = MOD

MOE = EOC (0.5®)

Chøng minh BOD = MOD

 OMD = OBD = 900

T¬ng tù: OME = 900

 D, M, E thẳng hàng Do DE tiếp tuyến đờng trịn (O) b.Xét ADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC

 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R DE < R

Ta có DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC Cộng vế ta đợc: 3DE > 2R  DE >

3

R VËy R > DE >

3

R

§Ị 9 Câu 1: Cho hàm số f(x) = 4

  x x a) TÝnh f(-1); f(5)

b) Tìm x để f(x) = 10

B

M A

O

C D

c) Rót gän A = ) (  x x f

x  Câu 2: Giải hệ phơng trình

          )3 )( 7 2( )7 2 )( 3 ( )4 )( 2 ( )2 ( y x y x y x y x

C©u 3: Cho biĨu thøc

A = 

                     : 1 1 x x x x x x x x

víi x > vµ x  a) Rót gän A

2) Tìm giá trị x để A =

Câu 4: Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H chân đờng vng góc hạ từ A đến đ-ờng kính BC

a) Chứng minh PC cắt AH trung ®iĨm E cđa AH b) Gi¶ sư PO = d Tính AH theo R d

Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0

Khơng giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11

đáp án Câu 1

a) f(x) = x2  4x4 (x 2)2 x

Suy f(-1) = 3; f(5) =

b) 

                12 10 10 10 ) ( x x x x x f

c) 2( )4 (  2)(22)     x x x x x f A

Víi x > suy x - > suy 12

 

Víi x < suy x - < suy 12    x A C©u 2                                           2 y -2 x 0 4 21 6 7 2 21 7 6 2 8 4 2 2 )3 )(7 2( )7 2)( 3 ( )4 )(2 ( )2 ( y x y x x y xy x y xy x y xy x xy y x y x y x yx

C©u 3a) Ta cã: A = 

                     : 1 1 x x x x x x x x =                            1 ) ( : 1 ) )( ( ) )( ( x x x x x x x x x x x x =                         : 1 1 x x x x x x x x x = : 1       x x x x x x = :     x x x x

= xx

x x 1      = x x 

b) A = =>

x x



2 = => 3x +

x - = => x = 2/3 C©u 4

B H C

a) Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)

b) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có

CB CH PB EH

 ; (1)

Mặt khác, PO // AC (cùng vuông gãc víi AB)

=> POB = ACB (hai góc đồng vị) =>  AHC   POB

Do đó: AHPB OBCH (2)

Do CB = 2OB, kết hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E trug điểm AH

b) Xét tam giác vng BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R

-CH).CH

Theo (1) vµ AH = 2EH ta cã

)

2 (

2PB AH.CB 2PB

AH.CB AH2  R

 AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB

 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2

 AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB

2 2 2

2

2 2

2

2

d R d 2.R 4R

) R 4(d

R d 8R

(2R) 4PB

4R.2R.PB CB

4.PB

4R.CB.PB AH

 

 

 

 

 



§Ĩ phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 th×  >

<=> (2m - 1)2 - (m - 1) > 0

Từ suy m  1,5 (1)

Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có:

                  11 4x 3x m x x 2m x x 2                11 8m -26 7m 4m -13 8m -26 7m x 4m -13 x 1

Giải phơng trình 11

8m -26 7m 4m -13

3   

ta đợc m = - m = 4,125 (2)

Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt t

§Ị 10 Câu I : Tính giá trị biểu thức: A =

5

1

 +

 +

1

 + + 97 99 

B = 35 + 335 + 3335 + +     

3 99 35 3333 số Câu II :Phân tích thành nhân tử :

1) X2 -7X -18

2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4) 3) 1+ a5 + a10

C©u III :

1) Chøng minh : (ab+cd)2  (a2+c2)( b2 +d2)

2) áp dụng : cho x+4y = Tìm GTNN cđa biĨu thøc : M= 4x2 +

4y2

Câu : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I trung điểm BC, M điểm đoạn CI ( M khác C I ) Đờng thẳng AM cắt (O) D, tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM M cắt BD DC P Q

C©u 5: Cho P =

x x x

  

3

Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức.

đáp án Câu :

1) A = 31 5+ 51 7 + 71 9+ + 97 1 99

= 12 (  3+  5+  7+ + 99  97) =

2

( 99  3)

2) B = 35 + 335 + 3335 + +     

3 99

35 3333

sè =

=33 +2 +333+2 +3333+2+ + 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33)

= 198 +

3

( 99+999+9999+ +999 99)

198 + 31( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 +

B = 

  



 

27 10 10101

+165

C©u 2: 1)x2 -7x -18 = x2 -4 – 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)

(x-9) (1®)

2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3

= (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3

= (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x

+4)-2

= [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1]

= (x2+5x +3)(x2+5x +7)

3) a10+a5+1

= a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1

- (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a )

= a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2

+a+1)

-a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1)

=(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1)

Câu 3: 4đ

a2b2+2abcd+c2d2  a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 <=>

 a2d2 - 2cbcd+c2b2 <=>

 (ad - bc)2 (®pcm )

DÊu = x·y ad=bc

2) áp dụng đẳng thức ta có :

52 = (x+4y)2 = (x + 4y)  (x2 + y2)( 1 16)=>

x2 + y2 

17 25

=> 4x2 + 4y2 

17 100

dÊu = x·y x= 175 , y =1720 (2đ)

Câu : 5đ

Ta cã : gãc DMP= gãc AMQ = góc AIC Mặt khác góc ADB = góc BCA=>

 MPD đồng dạng với  ICA =>

IA MP CI

DM

 => DM.IA=MP.CI hay

DM.IA=MP.IB (1)

Ta cã gãc ADC = gãc CBA,

Gãc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - gãc AIM = gãc BIA.

Do  DMQ đồng dạng với  BIA =>

IA MQ BI

DM

 => DM.IA=MQ.IB (2)

Tõ (1) vµ (2) ta suy MQMP = C©u

Để P xác định : x2-4x+3  1-x >0

Tõ 1-x > => x <

MỈt khác : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < nên ta cã :

(x-1) < (x-3) < từ suy tích (x-1)(x-3) > Vậy với x < biểu thức có nghĩa

Víi x < Ta cã : P =

x x x

  

3

= x

x x x

  

 

3

) )( (

§Ị 11

C©u : a Rót gän biĨu thøc  2

1 1

1

   

a a

A Với a > 0.

b Tính giá trị cđa tỉng

2 2

2

2 100

1 99

1

1

1

1

1

1         

B

C©u : Cho pt x2  mxm10

b Gäi x1, x2 hai nghiệm pt Tìm GTLN, GTNN cña bt

 1

2 2 2 2      x x x x x x P

C©u : Cho x1, y1 Chøng minh.

xy y

x    

 1 1 2

Câu Cho đờng tròn tâm o dây AB M điểm chuyển động đờng tròn, từM kẻ MH  AB (H  AB) Gọi E F lần lợt là hình chiếu vng góc H MA MB Qua M kẻ đờng thẳng vng góc với è cắt dây AB D

1 Chứng minh đờng thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đờng tròn

2 Chøng minh

BH AD BD AH MB MA 2 H ớng dẫn Câu a Bình ph¬ng vÕ 2 11

     a a a a

A (V× a > 0)

c áp dụng câu a 100 9999 100 100 1 1         B a a A

C©u a : cm 0 m

B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có:

       1 2 m x x m x x 2     m m

P (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn.

1 2 1              m GTNN m GTLN P

b®t          

1

1 2 

        xy y y x y xy x x y x

  2 1   

 x y xy xy 1 Câu 4: a

- Kẻ thêm đờng phụ

- Chứng minh MD đờng kính (o) =>

b

Gäi E', F' lÇn lợt hình chiếu D MA MB §Ỉt HE = H1

HF = H2

 1 2 2 MB h HF MA h HE BH AD BD AH   HEF 

 ∞ DF'E'

 HF.h2 HE.h

Thay vµo (1) ta cã:

BH AD BD AH MB MA 2 Đề 12

Câu 1: Cho biểu thøc D = 

          ab b a ab b a

1 : 

        ab ab b a

a) Tìm điều kiện xác định D rút gọn D b) Tính giá trị D với a =

3

2

c) Tìm giá trị lớn D

Câu 2: Cho phơng trình

3

2

 x

2- mx +

3

2

 m

2 + 4m - = (1)

a) Gi¶i phơng trình (1) với m = -1

b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm thoã mãn

2 1 x x x

x   

Câu 3: Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b,

) 90 (

ˆ   

A Chøng minh r»ng AI =

c b

Cos bc



2 

(Cho Sin2 2SinCos )

Câu 4: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB điểm N di động

trên nửa đờng tròn cho NA NB.V vo ng trũn

hình vuông ANMP

a) Chứng minh đờng thẳng NP qua điểm cố định Q

b) Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp

c) Chứng minh đờng thẳng MP qua điểm cố định

C©u 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = vµ x + y + z = -1

H·y tÝnh giá trị của:

B = xyz zxy xyzx

Đáp án

Cõu 1: a) - Điều kiện xác định D

    

  

1 0 0

ab b a

- Rót gän D

D = 

  

 

 

ab a b a

2

:    

ab ab b a

1

D =

1



a a

b) a = ( 1)

1 (

2

      

 a

VËy D =

2 3

2 2

    

c b a I C B A   1

2 a a  D

VËy giá trị D

Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1)

2

1 2    2  

 x x x x

           10 1 10 1 x x

b) Để phơng trình có nghiệm 8m20 m41 (*)

+ Để phơng trình có nghiƯm kh¸c                2 3 4 2 3 4 0 1 4 2 1 2 m m m m (*) +                0 1 0 0 )1 )( ( 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 xx x x xx x x x x x x                  19 4 19 4 0 03 8 0 2 m m m m m m

Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = m4  19

C©u 3: + ;  cSin AI SABI 

+ ;  bSin AI SAIC 

+ ;

2



bcSin SABC 

AIC ABI

ABC S S

1 2 F I Q P N M B A c b bcCos c b Sin bcSin AI c b AISin bcSin         2 ) ( ) (     

C©u 4: a) N ˆ1 Nˆ2Gäi Q = NP (O)

QA QB

� ) ) Suy Q cố định b) Aˆ1 Mˆ1(Aˆ2)

 Tø gi¸c ABMI néi tiÕp

c) Trên tia đối QB lấy điểm F cho QF = QB, F cố định Tam giác ABF có: AQ = QB = QF

ABF vuông A Bˆ 450  AFˆB450

L¹i cã Pˆ1 450  AFBPˆ1  Tø gi¸c APQF néi tiÕp

 APˆF AQˆF 900

Ta cã: ˆ ˆ 900 900 1800

   APM F

P A

M1,P,F Thẳng hàng

Cõu 5: Bin i B = xyz         2 2 1 z y x = 2   xyz xyz  Đề 13

Bµi 1: Cho biĨu thøc A =

2

4( 1) 4( 1)

1 4( 1)

x x x x

x x x      � �  �  � � �  

a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A

Bài : Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4)

a) Viết phơng tình đờng thẳng AB

b) Xác định điểm M trục hoành để tam giác MAB cân M

Bài : Tìm tất số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau: x2 - m2x + m + = 0

Bài : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D  BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A D đồng thời tiếp xúc với BC D Đờng tròn cắt AB AC lần lợt E F Chứng minh

a) EF // BC

b) Các tam giác AED ADC; àD ABD tam giác đồng dạng

c) AE.AC = µ.AB = AC2

Bµi : Cho c¸c sè dơng x, y thỏa mÃn điều kiện x2 + y2  x3 + y4.

Chøng minh:

Đáp án Bài 1:

a) Điều kiÖn x tháa m·n

2

1

4( 1) 4( 1) 4( 1)

x

x x

x x

x x

 � � �

  �

� �

  �

�

�   

�



1 1

x x x x

� � � � � �� � � � �

 x > vµ x 

KL: A xác định < x < x > b) Rút gọn A

A = ( 1)2 (2 1)2 ( 2)

x x x

x x

     

 

A = 1 1

2

x x x

x x

     

 

Víi < x < A = 1 x Víi x > A =

1

x KÕt ln

Víi < x < th× A = 1 x Víi x > th× A =

1

x Bµi 2:

a) A B có hồnh độ tung độ khác nên phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b

A(5; 2)  AB  5a + b = B(3; -4)  AB  3a + b = -4 Gi¶i hƯ ta cã a = 3; b = -13

Vậy phơng trình đờng thẳng AB y = 3x - 13 b) Giả sử M (x, 0)  xx’ ta có

MA = (x5)2 (0 2)2

MB = (x3)2 (0 4)2

MAB c©n  MA = MB  (x5)2 4 (x3)216

 (x - 5)2 + = (x - 3)2 + 16

 x =

Phơng trình có nghiệm nguyên  = m4 - 4m - lµ sè

chính phơng

Ta lại có: m = 0; < loại m = = = 2 nhËn

m  th× 2m(m - 2) >  2m2 - 4m - > 0

 - (2m2 - 2m - 5) < < + 4m + 4   m4 - 2m + < < m

 (m2 - 1)2 < < (m 2)2

kh«ng phơng

Vậy m = giá trị cần tìm Bài 4:

a) ( � )

EAD EFD  sdED (0,25)

� � ( � )

2

FAD FDC  sdFD (0,25)

mµ �EDA FAD � �EFD FDC�  � (0,25)

 EF // BC (2 gãc so le b»ng nhau) b) AD lµ phân giác góc BAC nên DE DF

sđ

ACD s®(AED DF� � ) = 1

2sđAE� = sđ�ADE �ACD ADE � EAD DAC� �

 DADC (g.g)

T¬ng tù: s® � � (� � )

2

ADF  sdAF  sd AFD DF = 1( � � ) �

2 sdAFD DE sdABD 

� �

ADF ABD

do AFD ~ (g.g c) Theo trên:

+ AED ~  DB

 AEAD ADAC hay AD2 = AE.AC (1)

+ ADF ~ ABD    AD AF

AB  AD

 AD2 = AB.AF (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF

Bài (1đ):

Ta cã (y2 - y) +   2y3  y4 + y2

 (x3 + y2) + (x2 + y3)  (x2 + y2) + (y4 + x3)

mà x3 + y4  x2 + y3 đó

x3 + y3  x2 + y2 (1)

+ Ta cã: x(x - 1)2  0: y(y + 1)(y - 1)2  0

F E

A

B

 x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2  0

 x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y  0

 (x2 + y2) + (x2 + y3)  (x + y) + (x3 + y4)

mµ x2 + y3  x3 + y4

 x2 + y2  x + y (2)

vµ (x + 1)(x - 1)  0.(y - 1)(y3 -1)  0

x3 - x2 - x + + y4 - y - y3 +  0

 (x + y) + (x2 + y3)  + (x3 + y4)

mµ x2 + y3  x3 + y4

 x + y 

Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã:

x3 + y3  x2 + y2  x + y  2

Đề 14

Câu 1: x- 4(x-1) + x + 4(x-1)

1

cho A= ( -)

x2- 4(1)

x-1

a/ rót gän biĨu thøc A

b/ Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên

Câu 2: Xác định giá trị tham số m để phơng trình

x2-(m+5)x-m+6 =0

Cã nghiƯm x1 vµ x2 tho· m·n mét ®iỊu kiƯn sau:

a/ Nghiệm lớn nghiệm đơn vị b/ 2x1+3x2=13

Câu 3Tìm giá trị m để hệ phơng trình

mx-y=1

m3x+(m2-1)y =2

v« nghiệm, vô số nghiệm

Câu 4: tìm max cđa biĨu thøc: x +3x+12

x2+1

Câu 5: Từ đỉnh A hình vng ABCD kẻ hai tia tạo với nhau

một góc 450 Một tia cắt cạnh BC E cắt đờng chéo BD P Tia

kia cắt cạnh CD F cắt đờng chéo BD Q

a/ Chứng minh điểm E, P, Q, F C nằm đờng tròn

c/ Kẻ trung trực cạnh CD cắt AE M tính số đo góc MAB biÕt CPD=CM

h

íng dÉn

Câu 1: a/ Biểu thức A xác định x≠2 x>1

( x-1 -1)2+ ( x-1 +1)2 x-2

A= ( )

(x-2)2 x-1

x- -1 + x-1 + x- x- = = = x-2 x-1 x-1 x-1 b/ Để A nguyên x- ớc dơng

* x- =1 x=0 loại * x- =2 x=5

vậy với x = A nhận giá trị nguyªn b»ng

Câu 2: Ta có ∆x = (m+5)2-4(-m+6) = m2+14m+10 phng

trìnhcó hai nghiệmphân biệt vµchØ m≤-7-4 vµ m≥-7+4 (*)

a/ Gi¶ sư x2>x1 ta cã hƯ x2-x1=1 (1)

x1+x2=m+5 (2)

x1x2 =-m+6 (3)

Giải hệ tađợc m=0 m=-14 thỗ mãn (*) b/ Theo giả thiết ta có: 2x1+3x2 =13(1’)

x1+x2 = m+5(2’)

x1x2 =-m+6 (3’)

giải hệ ta đợc m=0 m= Thoả mãn (*)

C©u 3: *Để hệ vô nghiệm m/m3=-1/(m2-1) 1/2

3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0

3m2-1≠-2 3m2≠-1 m=±1/2

m=±1/2

m *Hệvô số nghiệm thì: m/m3=-1/(m2-1) =1/2

3m3-m=-m3 m=0

3m2-1= -2 m=±1/2

V« nghiƯm

Khơng có giá trị m để hệ vô số nghiệm

Câu 4: Hàm số xác định với ∀x(vì x2+1≠0) x2+3x+1

gọi y0 giá trịcủa hàmphơng trình: y0=

1

Q

P M

F

E

D C

B A

(y0-1)x2-6x+y0-1 =0 cã nghiÖm

*y0=1 suy x = y0 ≠ 1; ∆’=9-(y0-1)2≥0

(y0-1)2≤ suy -2 ≤ y0 ≤ 4

VËy: ymin=-2 vµ y max=4

Câu 5: ( Học sinh tự vẽ hình) Giải

a/ A1 B1 nhìn đoạn QE díi mét gãc

450

 tứ giác ABEQ nội tiếp đợc  �FQE = �ABE =1v

chøng minh t¬ng tù ta cã �FBE = 1v

 Q, P, C nằm đờng tròn đờng kinh EF

b/ Từ câu a suy AQE vuông cân AQAE = (1)

tơng tự APF vuông cân AFAB = (2)

tõ (1) vµ (2)  AQP ~ AEF (c.g.c)

AEF AQP

S

S = ( )2 hay SAEF = 2SAQP

c/ §Ĩ thÊy CPMD néi tiÕp, MC=MD vµ �APD=�CPD �MCD= �MPD=�APD=�CPD=�CMD

MD=CD  ∆MCD  �MPD=600

mµ �MPD lµ gãc ngoµi cđa ∆ABM ta cã �APB=450 vËy �

MAB=600-450=150

Đề 15 Bài 1: Cho biểu thức M =

x x x

x x

x x

   

   



2 3

1

9

a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = 5

c Tìm x  Z để M  Z

3x2 +10 xy + 8y2 =96

b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ =

Bµi 3: a Cho số x, y, z dơng thoà m·n 1x + 1y + 1z = Chøng ming r»ng: 2x1yz + x21yz + xy12z 1

b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = 2 2 2006

x x

x  

(víi x 0)

Bµi 4: Cho hình vuông ABCD Kẻ tia Ax, Ay cho x Ay = 450

Tia Ax cắt CB BD lần lợt E P, tia Ay cắt CD BD lần lợt F Q

a Chứng minh điểm E; P; Q; F; C nằm đờng tròn b SAEF = SAPQ

Kẻ đờng trung trực CD cắt AE M Tính số đo góc MAB biết

D P

C ˆ = C ˆMD

Bµi 5: (1®)

Cho ba sè a, b , c kh¸c tho· m·n:

1 1    c b

a ; H·y tÝnh P =

2 2 b ac a bc c ac   đáp án Bài 1:M =

x x x x x x x          3

a.§K x0;x4;x9 0,5®

Rót gän M =         

3 2 3          x x x x x x x

Biến đổi ta có kết quả: M =  xx 2x x2 3 M =

  

  

c M =

3

4 3

1

   

    

x x

x x

x

Do M znên x 3là ớc x nhận giá trị: -4; -2;

-1; 1; 2; 1;4;16;25;49



 x x4 x1;16;25;49

Bµi a 3x2 + 10xy + 8y2 = 96

< > 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96

< > (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96

< > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96

< > (x + 2y)(3x + 4y) = 96

Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng 3x + 4y > x + 2y 3

mà 96 = 25 có ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc

biĨu diƠn thµnh tÝch thừa số không nhỏ là: 96 = 3.32 = 4.24 = 16 = 12

Lại có x + 2y 3x + 4y có tích 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y số chẳn

  

 

 

24 4 3

6 2

y x

y x

Hệ PT vô nghiệm

Hc

  

 

 

16 4 3

6 2

y x

y x

  

  

1 4

y x

Hc

  

 

 

12 4 3

8 2

y x

y x

HÖ PT vô nghiệm

Nên /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/

3 / / / 2008 2005

/     

 x x (1)

mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = (2)

Kết hợp (1 (2) ta cã / x - 2006/ + / y - 2007/ 0

(3)

(3) s¶y vµ chØ

  

   

 

 

 

2007 2006 0/ 2007 /

0/ 2006 /

y x y

x

Bµi 3

a Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ

b Víi mäi a, b thuéc R: x, y > ta cã   (*) 2

2

y x

b a y b x a

   

< >(a2y + b2x)(x + y)ab2xy

�a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy � a2xy + 2abxy + b2xy

�a2y2 + b2x2 � 2abxy

�a2y2 – 2abxy + b2x2 � 0

�(ay - bx)2 � (**) bất đẳng thức (**) với a, b, x,y

>

Dấu (=) xảy ay = bx hay ax  by áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có

2 2 2

1 1 1 1

1 2 2 4 4

2x y z 2x y z x y x z x y x z

�  � � � � � �  � �  �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � �

 �   

       

2 2

1 1

1 1

4 4

16

x y x z x y z

� � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � �     

� � �

T¬ng tù 1

2 16

x y z x y z

�   �

� � �

  � �

1 1

2 16

x y z x y z

� �

 

� � �

  � �

Cộng vế bất đẳng thức ta có:

1 1 1 1 1 1

2 2 16 16 16

1 4 4 1 1

16 16

x y z x y z x y z x y z x y z x y z

x y z x y z

� � � � � �   � �   � �   � �  �       � � � � � � � � � �      � � �� � �� � � � �

V× 1

x  y z

  2 2006 x x B x x    � Ta cã: x x x B x x x B 2006 2006 2006 2006 2006

2 2

2            2006 2005 2006 2005 2006 2005 2006 2 2         x x x x x B

V× (x - 2006)2 � víi mäi x

x2 > víi mäi x kh¸c

 

2

2006 2005 2005

0 2006

2006 2006 2006

x

B B khix

x

  �

Bµi 4a EBQ EAQ)  ) 450 �YEBAQ) néi tiÕp; ˆB = 900 gãc AQE = 900

à gãcEQF = 900

T¬ng tù gãc FDP = gãc FAP = 450

à Tø gi¸c FDAP néi tiÕp gãc D = 900 gãc APF = 900 gãc EPF =

900 0,25đ

Các điểm Q, P,C nhìn dới 1góc900 nên điểm E, P, Q, F,

C nằm đờng tròn đờng kính EF ………0,25đ b Ta có góc APQ + góc QPE = 1800 (2 góc kề bù)  góc APQ =

Gãc AFE + gãc EPQ = 1800

àTam giác APQ đồng dạng với tam giác AEF (g.g)

2

2 1 2

2

APQ

APQ AEE

AEF

S

k S S

S



 



� �

 � � � 

� �

c gãc CPD = gãc CMD tø gi¸c MPCD néi tiÕp gãc MCD = góc CPD (cùng chắn cung MD)

Lại có gãc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cña AC) gãc MCD = gãc MDC (do M thc trung trùc cđa DC)

à góc CPD = gócMDC = góc CMD = gócMCD tam giác MDC góc CMD = 600

à tam gi¸c DMA cân D (vì AD = DC = DM) Vµ gãc ADM =gãcADC – gãcMDC = 900 – 600 = 300

à gãc MAD = gãc AMD (1800 - 300) : = 750

à gãcMAB = 900 750 = 150

Bài 5Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c x + y + z = (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0)

à x = -(y + z)

à x3 + y3 + z3 – xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz

à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x)

= - 3yz =

Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = x3 + y3 + z3 = 3xyz

à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc

Do P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) =

abc.3/abc =

Đề 16 Bài 1Cho biểu thøc A = ( 3)22 12

x x

x   + (x2)2 8x2

a Rót gän biĨu thøc A

b Tìm giá trị nguyên x cho biểu thức A có giá trị nguyên

Bài 2: (2 ®iĨm)

Cho đờng thẳng:

y = x-2 (d1)

y = 2x – (d2)

y = mx + (m+2) (d3)

a Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d3 ) luụn i qua vi mi

giá trị m

b Tìm m để ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) ng quy

Bài 3: Cho phơng tr×nh x2 - 2(m-1)x + m - = (1)

a Chứng minh phơng trình có nghiệm phân biệt b Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình (1) mà không phụ thuộc vào m

c Tìm giá trị nhỏ cđa P = x2

1 + x22 (víi x1, x2 nghiệm

của phơng trình (1))

Bi 4: Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định điểm A thay đổi vị trí cung lớn BC cho AC>AB AC > BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q lần lợt giao điểm cặp đờng thẳng AB với CD; AD CE

a Chøng minh r»ng DE// BC

b Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp

c Gọi giao điểm dây AD BC lµ F Chøng minh hƯ thøc: CE1 = CQ1 + CE1 Bài 5: Cho số dơng a, b, c Chøng minh r»ng:

2

1 

     

a c

c c b

b b a

a

đáp án Bài 1: - Điều kiện : x 0

a Rót gän: 4

2

    

 x x

x x x A

2

  

 x

x x

- Víi x <0:

x x x

A 2

2  





- Víi 0<x 2:

x x

A2 3

- Víi x>2 :

x x x

A 2

2 



b Tìm x nguyên để A nguyên: A nguyên <=> x2 + x

<=> 3=> xx =  ; 3;1;3 

Bµi 2:

a (d1) : y = mx + (m +2)

<=> m (x+1)+ (2-y) = Để hàm số qua điểm cố định với m

       0 2 0 1 y x =.>       2 1 y x

Vậy N(-1; 2) điểm cố định mà (d3) qua

b Gọi M giao điểm (d1) (d2) Tọa độ M nghiệm

hÖ        4 2 2 x y x y =>      0 2 y x

VËy M (2; 0)

Nếu (d3) qua M(2,0) M(2,0) lµ nghiƯm (d3)

Ta cã : = 2m + (m+2) => m=

-3

Vậy m = -32 (d1); (d2); (d3) đồng quy

Bµi 3: a '= m2 –3m + = (m -

2

)2 +

4

>0 m

Vậy phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt b Theo ViÐt:

        3 )1 (2 2 m x x m x x =>         6 2 2 2 2 2 m x x m x x

<=> x1+ x2 – 2x1x2 = không phụ thuộc vào m

a P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – (m-3)

= (2m - 25 )2 +  m

4 15 15

VËyPmin = 4

15

Bài 4: Vẽ hình – viết giả thiết – kết luận a SđCDE = 12Sđ DC = 21 Sđ BD = BCD

=> DE// BC (2 gãc vÞ trÝ so le) b  APC =

2

s® (AC - DC) =  AQC

=> APQC néi tiÕp (vì APC = AQC

cùng nhìn đoan AC) c.Tø gi¸c APQC néi tiÕp

 CPQ =  CAQ (cïng ch¾n cung CQ)  CAQ =  CDE (cïng ch¾n cung DC)

Suy  CPQ =  CDE => DE// PQ

Ta cã: PQDE = CQCE (v× DE//PQ) (1)

FC DE

= QCQE (v× DE// BC) (2) Céng (1) vµ (2) :     1

CQ CQ CQ

QE CE FC DE PQ DE

=> PQ1  FC1 DE1 (3)

ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy PQ = CQ

Thay vµo (3) : CQ1 CF1 CE1 Bµi 5:Ta cã: a ba c



 < b a a

 < a b c c a

 



(1)

c b a

b 

 < b c b

 <a b c a b

 



(2) a cb c



 < c a c

 < a b c b c

 



(3) Céng tõng vÕ (1),(2),(3) :

< aab + bbc + cca < §Ị sè 15:

Bài 1:

Biết x, y số tự nhiên có 2005 chữ số.Số x viết chữ số số y viết chữ số HÃy so sánh tổng chữ tích xy tổng chữ số x2.

Bµi 2:

Hãy xác định a để hệ pt sau có nghiệm nhất: 4xy – 2x + 2y + 4z29x+y) =4a + 3

Bµi 3:

Cho x x21y y211 tÝnh M = x y21y x21

Bµi 4:

Cho tam giác ABC, AB < AC Các điểm M,N lần lợt thuộc cạnh AB, AC cho BM = CN Gọi giao điểm BN CM O Đờng thẳng qua O, song song vơí phân giác ^BAC cắt đờng thẳng AB, AC theo thứ tự X, Y

Chøng minh: BX = CA; CY = BA Đề số 16:

Bài 1:

Tìm tất số nguyen dơng n cho 2n + 153 bình

ph-ơng số nguyên Bài 2:

Cho a,b,c số thực dơng thoả mÃn abc =1 HÃy tính Min biểu thøc: P =

b b a c a

a c b c

c b

a2 2 2 2 2

     

Bµi 3:

Chøng minh số hai số sau: p -1; p +1 số phơng với p tích 2005 số nguyên tố

Bài 4:

Cho AB & CD hai đờng kính vng góc với đờng trịn (O,R).M điểm (O) Tìm Max P = MA.MB.MC.MD

Bµi 5:

Trong mặt phẳng cho (O) hai điểm A,B cố định nằm đ-ờng trịn Tìm vị trí điểm m cho đđ-ờng thẳng AM cắt (O) C AM = AC + CB (C#A)

Đề số 17: Bài 1:

Bài 2:

Tìm tất số thực dơng x,y,z thoả mÃn hệ phơng trình: x+ y + z =6

1x1y1z 2 xyz4 Bµi 3:

Cho f(x) = x3 - 3x2 + 3x +3 Chøng minh : f (

2005 2006

) < f(

2004 2005

) Bµi 4:

Cho tam giác ABC, điểm O nằm tam giác BO,CO theo thứ tự cắt AC,AB M,N Dựng hình bình hành OMEN,OBFC Chứng minh A,E,F thẳng hàng AFAE AMAB..ACAN OMOB.OC.ON

Bài 5:

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB =c =2R Tìm nửa đờng trịn (khơng kể hai đầu mút A,B) tất ba điểm C1,

C2, C3 cho BC1 + AC2 = BC2 + AC3 = BC3 + AC1 = d,

d độ dài đoạn thẳng cho trớc Bin lun

Đề số 18; Bài 1:

Cho số nguyên n > 2005 số thực x thoả m·n 2006n + 2005n

=xn Hái x cã thÓ số nguyên không?

Bài 2:

Biết rằng: x2 + y2 = x =y Tìm giá trị Max & Min cđa F = x –y

Bµi 3: Rót gän:

T =

   

 

 

  

 

    

 



   



 

   

      

  

4 2006 4

4 2005 4 1

4

4

4

4

Giả sử hai tam giác ABC,DEF có ^C =^F, AB = DE cạnh lại thoả mãn điều kiện: BC + FD = EF + CA Chứng minh: hai tam giác

Bµi 5:

Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Tìm quỹ tích điểm M cho tổng khoảng cách từ M tới đờng thẳng AB,BC ,CD ,DA 2a

§Ị thi tun sinh *Trêng THPT Nguyễn TrÃi

( Hải Dơng 2002- 2003, dành cho lớp chuyên tự nhiên) Thời gian: 150 phút

Bài (3 điểm) Cho biểu thức A =

1 4

2 2

4

2  

   



       

x x

x x

x x

1) Rót gän biĨu thøc A

2) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên Bài 2.( điểm)

x2 -(2m-3)x +1-m = 0

Tìm giá trị m để: x12+ x22 +3 x1.x2 (x + x2 ) t

giá trị lớn

2) Cho a,b số hữu tỉ thoả mÃn: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003

Chøng minh r»ng ph¬ng trình: x2 +2x+ab = có hai nghiệm

hữu tỉ

Bài ( điểm)

1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 1800 Tính tỉ sè

AB BC

2) Cho hình quạt trịn giới hạn cung trịn hai bán kính OA,OB vng góc với Gọi I trung điểm OB, phân giác góc AIO cắt OA D, qua D kẻ đờng thẳng song song với OB cắt cung C Tính góc ACD

Bài ( điểm)

Chng minh bt ng thức: | a2b2  a2c2|  | b-c|

với a, b,c số thực

*Trờng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150) Bài ( ®iĨm) cho biĨu thøc: P(x) =

1

1

2

 

 

x x

x x

1) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) 2) Chứng minh x > P(x).P(-x) <

Bài ( điểm)

1) cho phơng trình:

2

6 ) (

2

2

 

   

x

m m x m x

(1) a) Giải phơng trình m = 32

2) Giải phơng trình: 2

1 1

2

  

x x

x

Bµi (2 điểm)

1) Cho x,y hai số thùc tho¶ m·n x2+4y2 = 1

Chøng minh r»ng: |x-y|

2 

2) Cho ph©n sè : A=

5

2

  n n

Hái cã bao nhiªu sè tù nhiªn thoả mÃn 1n2004 cho A phân

số cha tèi gi¶n

Bài 4( điểm) Cho hai đờng tròn (01) (02) cắt P

Q Tiếp tuyến chung gần P hai đờng trịn tiếp xúc với (01)

t¹i A, tiÕp xóc víi (02 ) t¹i B TiÕp tun cđa (01) P cắt (02 )

im th hai D khác P, đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BD R Hãy chứng minh rằng:

1)Bốn điểm A, B, Q,R thuộc đờng tròn 2)Tam giác BPR cõn

3)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xóc víi PB vµ RB

Bài (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB Trên AB lấy D, Trên AC lấy điểm E cho DB = BC = CE Chứng minh khoảng cách tâm đờng tròn nội tiếp tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bán kính đờng trịn ngoi tip tam giỏc ADE

Toán 9(150)

Bài 1(5) Cho 

  

 

   



1

2 x x x

A :

x x x

x x

3

2  

  

a) Rót gän A

b) Tìm A để x= 6013 c) Tìm x để A <0 d) Tìm x để A nguyên

a) Rót gän A

b) Chøng minh A chia hÕt cho víi mäi x,y,z nguyªn

Bài 3.( 4) Sau loạt bắn đạn thật chiến sĩ Hùng, Dũng, Cờng ( ngời bắn viên), ngời báo bia cho biết có ba điểm khác 8,9,10 thông báo:

a) Hùng đạt điểm 10

b) Dũng không đạt điểm 10 c) Cờng không đạt điểm

Đồng thời cho biết thơng báo có thơng báo đúng, cho biết kết điểm bắn mi ngi

Bài 4(5) Cho tam giác ABC vuông A, AB= c,AC=b Lần lợt dựng AB, AC bên tam giác ABC tam giác vuông cân ABD t¹i D, ACE t¹i E

a) Chøng minh điểm E, A, D thẳng hàng

b) Gọi trung điểm BC I, chứng minh tam giác DIE vuông c) Tính diện tích tứ giác BDEC

d) Đờng thẳng EDcắt đờng thẳng CB K Tính tỉ số sau theo b,c

Bµi 5(3) Cho tứ giác ABCD,M điểm CD( khác C, D) Chøng minh r»ng MA + MB < Max {CA+CB; DA+DB}( Là giá trị lớn giá trị CA+CB;DA+DB)

Toán 9( 120 phút) Bài 1(4)

110 100

1

12

1 11

1 110

10

1 102

1 101

1

  

    

 

 

 x

Bµi 2(4)

Tìm x để hàm số y= x/(x+2004)2 có giá trị lớn nhất

Bµi 3( 4)

Cho phơng trình

2

3

2

 

      

x x

ax x

a x

a

Với giá trị a phơng trình có nghiệm không nhỏ 1?

Bµi 4(4)

Từ điểm O thuộc miền hình thang cân ABCD( AB=CD) nối đỉnh hình thang đợc đoạn thẳng OA,OB,OC,OD Chứng minh từ đoạn thẳng nhận đợc, dựng đợc tứ giác nội tiếp hình thang này( đỉnh tứ giác nằm cạnh hình thang cân)

Bµi 5(4)

Cho tam gi¸c ABC cã AB= c, BC=a,CA=b Gäi Ib,Ic theo thø tự

Đề thi vào chuyên 10( Hải Dơng)

thời gian: 150

Bài 1(3) Giải phơng trình: 1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27

2)x(x1 2) (x11)2 201

Bài 2(1) Cho số thực dơng a,b,c ab>c; a3+b3=c3+1 Chøng

minh r»ng a+b> c+1

Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y số thực thoả mãn đẳng thức sau: x+y=a, x3+y3=b3,x5+y5=c5 Tìm đẳng thức liên hệ a,b,c

không phụ thuộc x,y

Bài 4(1,5) Chứng minh phơng trình (n+1)x2+2x-n(n+2)

(n+3)=0 có nghiệm số hữu tỉ với số nguyên n

Bi 5(2,5) Cho đờng tròn tâm O dây AB( AB khơng qua O) M điểm đờng trịn cho tam giác AMB tam giác nhọn, đờng phân giác góc MAB góc MBA cắt đờng tròn tâm O lần lợt P Q Gọi I giao điểm AP BQ

1) Chøng minh r»ng MI vu«ng gãc víi PQ

*Chuyên tỉnh Bà Địa Vũng Tàu (2004-2005)

thời gian:150 phút

Bài 1:

1/iải phơng tr×nh:

4

1 2

5

5    

x x x x

2/chứng minh không tồn số nguyên x,y,z thoả mÃn: x3+y3+z3 =x +y+z+2005

Bài 2:

Cho hệ phơng trình:

x2 +xy = a(y – 1)

y2 +xy = a(x-1)

1/ gi¶i hƯ a= -1

2/ tìm giá trị a để hệ có nghiệm Bài 3:

1/ cho x,y,z lµ số thực thoả mÃn x2+ y2+z2 =1 Tìm giá trị nhá

nhÊt cña A =2xy +yz+ zx

2/ Tìm tất giá trị m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt:

x4 – 2x3 +2(m+1)x2 –(2m+1)x +m(m+1) =0

Bµi 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) , D điểm cung BC không chứa đỉnh A Gọi I,K H lần lợt hình chiếu cuả D đờng thẳng BC,AB,và AC Đờng thẳng qua D song song với BC cắt đờng tròn N ( N# D); AN cắt BC M Chứng minh:

*Chuyên toán- tin tỉnh Thái Bình (2005-2006,150 phút) Bài (3đ):

1 Giải pt: x1 3x 2x1

2 Trong hệ trục toạ độ Oxy tìm đờng thẳng y= 2x +1 điểm M(x;y) thoả mãn điều kiện: y2 – 5y x+6x = 0.

Bài 2(2,5đ):

1 Cho pt: (m+1)x2 (m-1)x +m+3 = (m lµ tham sè)

tìm tất giá trị m dể pt có nghiệm số nguyên

2 Cho ba số x,y,z Đặt a= x +y +z, b= xy +yz + zx, c= xyz Chứng minh phơng trình sau có nghiệm:

t2 + 2at +3b =0; at2 2bt + 3c =0

Bài 3(3đ)

Cho tam gi¸c ABC

1 Gọi M trung điểm AC Cho biết BM = AC Gọi D điểm đối xứng B qua A, E điểm đối xứng M qua C chứng minh: DM vng góc với BE

2 LÊy mét ®iĨm O bÊt kú n»m tam gi¸c ABC C¸c tia AO,BO,CO cắt cạnh BC,CA,AB theo thứ tự điểm D,E,F chøng minh:

a) ODAD OEBE OFCF =1

b) 1 64   

 

    

 

    

 



OF CF OE

BE OD

AD

Bài 4(0.75đ)

xét đa thức P(x)= x3+ ax2 +bx +c

Q(x)=x2 +x + 2005

Biết phơng trình P(x)=0 có nghiệm phân biệt, pt P(Q(x)) =0 vô nghiệm

Có hay khơng 2005 điểm phân biệt mặt phẳng mà ba điểm chúng tạo thành tam giác có góc tù

§Ị thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Hải Dơng (2004-2005)

thời gian :150

Bài 1: (3đ)

Trong h trục toạ độ Oxy, cho hàm số y= (m+2)x2 (*)

1/ tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm: a) A(-1;3), b) B( 2; -1), c) C(1/2; 5)

2/ thay m=0 Tìm toạ độ giao điểm đồ thị (*) với đồ th hm s y= x+1

Bài 2: (3đ)

Cho hệ phơng trình:

(m-1)x + y = m x + (m-1)y =2

gọi nghiệm hệ phơng trình (x;y)

1/ Tìm đẳng thức liên hệ x y khơng phụ thuộc vào m 2/ Tìm giá trị m thoả mãn 2x2 -7y =1

3/ Tìm giá trị m để biểu thức 2xx 3yy nhận giỏ tr nguyờn

Bài (3đ)

Cho tam giác ABC (A 900) Từ B dựng đoạn thẳng BD phía

ngoài tam giác ABC cho BC=BD vµ ABˆC CBˆD ; gäi I lµ trung

1.CAI DBI

2 ABE tam giác cân AB.CD = BC.AE

Bài 4: (1đ)

tính giá trị biểu thức A= 4 3 23 119

5

 

  

x x

x x x

víi 41

1

2 

 x x

x

*Trờng Chu Văn An HN AMSTERDAM(2005 2006) (dành cho chuyên Toán chuyên Tin; thời gian :150) Bài 1: (2đ)

Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) abc với a,b,c số nguyên Chøng minh nÕu a +b +c chia hÕt cho P chia hết cho

Bài 2(2đ)

Cho hệ phơng trình:

(x+y)4 +13 = 6x2y2 + m

xy(x2+y2)=m

1 Gi hƯ víi m= -10

2 Chứng minh khơng tồn giá trị tham số m để hệ cú nghim nht./

Bài (2đ):

Ba số dơng x, y,z thoả mÃn hệ thức 123

z y

x , xÐt biÓu thøc P =

x + y2+ z3

1 Chøng minh P x+2y+3z-3

2.Tìm giá trị nhỏ P Bài (3đ):

1 chng minh tứ giác ABPC nội tiếp tam giác DEF, PCB đồng dạng

2 gäi S vµ S’ lần lợt diện tích hai tam giác ABC & DEF, chøng minh: ' 2 2

  

  

AD EF s

s

Bài 5(1đ)

Cho hỡnh vuụng ABCD v 2005 đờng thẳng thoả mãn đồng thời hai điều kiện:

 Mỗi đờng thẳng cắt hai cạnh đối hình vng

 Mỗi đờng thẳng chia hình vng thành hai phần có tỷ số diện tích 0.5

Chứng minh 2005 đờng thẳng có 502 đờng thẳng đồng quy

§Ị thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005) (toán bảng B thời gian: 150)

Bài 1

a) Rót gän biĨu thøc:

P= 

  

  

 

 

y y x

x y

x y x xy

y

x2 2 2

) (

b)Giải phơng trình: (5 6x  (52 6x 10 Bµi 2

a) Số đo hai cạnh góc vng tam giác vng nghiệm phơng trình bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0 Hãy xác định

b) T×m Max & Min cđa biĨu thøc y=42 13

 

x x

Bµi 3

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, có góc C=450.

Đuờng trịn đờng kính AB cắt cạnh AC & BC lần lợt M& N a> chứng minh MN vng góc với OC

b> chøng minh 2.MN = AB Bµi 4:

Cho hình thoi ABCD có góc B= 600 Một đờng thẳng qua D

khơng cắt hình thoi, nhng cắt đờng thẳng AB,BC lần lợt E&F Gọi M giao AF & CE Chứng minh đờng thẳng AD tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDF

*Trờng Chu Văn An & HN – AMSTERDAM ( 2005-2006) (dành cho đối tợng , thời gian: 150’)

Bài 1(2đ): Cho biểu thức P=

x x x x

x x x x

x

x 1 1

 

 

 

1.Rót gän P

2 T×m x biết P= 9/2

Bài 2(2đ): Cho bất phơng trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m là tham số)

1 Gi¶i bpt víi m= 1- 2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d):2x – y –a2 = 0

vµ parabol (P):y= ax2 (a tham số dơng).

1 Tỡm a để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A&B Chứng minh A&B nằm bên phải trục tung

2 Gọi xA&xB hoành độ A&B, tìm giá trị Min biểu

thøc T=

B A B

A x x x

x

Bài 4(3đ):

Đờng trịn tâm O có dây cung AB cố định I điểm cung lớn AB Lấy điểm M cung lớn AB, dựng tia Ax vng góc với đờng thẳng MI H cắt tia BM C

1 Chøng minh tam giác AIB & AMC tam gíac cân

2 Khi điểm M di động, chứng minh điểm C di chuyển cung tròn cố định

3 Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giỏc AMC t Max

Bài 5(1đ):

Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC vµ trung tuyÕn AM, gãc ACB = ,gãc AMB =  Chøng minh r»ng: (sin +cos )2= 1+ sin



Thi häc sinh giái TP H¶i Phòng (2004-2005) (Toán bảng A- thời gian:150)

Bµi 1:

a Rót gän biĨu thøc: P =      

  

 

 

y y x

x y

x y x xy

y

x2 2 2

b Giải phơng trình:

2

2

2

  

   



x x x

x

a ( đề nh bảng B)

b Vẽ đờng thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 hệ trục toạ độ Chứng minh hình chữ nhật giới hạn bơỉ đờng thẳng khơng có điểm ngun thuộc đờng thẳng 3x + 5y =

Bµi 3:

Cho tứ giác ABCD có cạnh đối diện AD cắt BC E & AB cắt CD F, Chứng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn là: EA.ED + FA.FB = EF2.

Bµi 4:

Cho tam giác ABC cân A, AB =(2/3).BC, đờng cao AE Đờng tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC F

a chứng minh BF tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giỏc ECF

b Gọi M giao điểm BF với (O) Chứng minh: BMOC tứ giác néi tiÕp

Thi häc sinh giái tØnh HaØ D¬ng (2004-2005) ( lớp 9, thời gian: 150) Bài 1(3,5đ):

1 Gọi x1, x2 la nghiệm phơng trình x2 + 2004x + = vµ

x3, x4 nghiệm phơng trình x2 + 2005 x +1 =0 Tính giá trị

của biểu thức: ( x1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2-x4)

2 Cho a,b,c số thực a2 + b2 < Chứng minh:phơng

trình (a2+b2-1)x2 -2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 lu«n cã nghiƯm.

Bài (1,5đ):

Cho hai số tự nhiên m n thoả mÃn mn1nm1là số nguyên chứng

minh r»ng: íc chung lín nhÊt cđa m vµ n không lớn m n Bài (3đ):

Cho hai đờng tròn (O1), (O2) cắt A & B Tiếp tuyến

chung gần B hai đờng tròn lần lợt tiếp xúc với (O1), (O2) C &

& N Các đờng thẳng BC,BD lần lợt cắt đờng thẳng MN P & Q; đòng thẳng CM, DN cắt E Chứng minh:

a Đờng thẳng AE vng góc với đờng thẳng CD b Tam giác EPQ l tam giỏc cõn

Bài (2đ):

Giải hệ phơng trình: x+y =

x5 + y5 =11

§Ị thi häc sinh giỏi lớp (năm học 2003-2004) Tỉnh Vĩnh Phúc (150phút)

Câu 1: (3đ) Cho hệ pt với tham sè a: x4y x

y  x a 1 a gi¶i hƯ pt a=-2

b tìm giá trị tham số a để hệ pt có hai nghiệm Câu 2(2đ):

a cho x,y,z số thực không âm thoả mÃn x=y=z = Tìm giá trị max biểu thức: A= -z2+z(y+1) +xy

b.Cho tứ giác ABCD (cạnh AB,CD có độ dài) nội tiếp đờng trịn bán kính Chứng minh: tứ giác ABCD ngoại tiếp đờng trịn bán kính r r

2

Câu 3(2đ):

Tim tất số nguyên dơng n cho phơng trình: 499(1997n +1) = x2 +x có nghiệm nguyên.

Câu (3®):

Cho tam giác ABC vng C đờng trịn (O) đờng kính CD cắt AC & BC E & F( D hình chiếu vng góc C lên AB) Gọi M giao điểm thứ hai đờng thẳng BE với (O), hai đờng thẳng AC, MF cắt tạiK, giao điểm đờng thẳng EF BK P

a chứng minh bốn điểm B,M,F,P thuộc đờng trịn

b gi¶ sư ba điểm D,M,P thẳng hàng tính số đo góc tam gi¸c ABC

c giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng, gọi O trung điểm đoạn CD Chứng minh CM vng góc với đờng thẳng nối tâm đơng tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MFP

TØnh HaØ D ơng (150 phút) Bài 1(2.5đ):

Giải pt: xy x ya  x2y2x2yxy2xy 4b 0

víi a=  573 6 386 57 6 386

b= 1712  3 2  32

Bµi 2(2.5đ)

Hai phơng trình: x2+ (a-1)x +1 =0; x2 + x + c =0 cã nghiÖm

chung, đồng thời hai pt: x2 + x +a -1= 0; x2 +cx +b +1 =0 có

nghiƯm chung

Tính giá trị biểu thức (2004a)/ (b +c) Bài 3(3đ):

Cho hai đờng tròn tâm O1, O2 cắt A,B Đờng thẳng O1A

cắt (O2) D, đờng thẳng O2A cắt (O1) C

Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD căt (O1) M (O2) N

Chøng minh r»ng:

2 BC+BD = MN Bài 4(2đ)

Tìm số thực x, y thoả mÃn x2 +y2 = x+y số nguyên.

Tỉnh Bình Thuận (150 phút) Bài 1(6đ):

1 Chứng minh r»ng: A =

2

48 13

  

 lµ số nguyên.

2 Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho:

cba =(n-2)2 abc = n2 –

Baì 2(6đ)

1 Giải pt: x3 + 2x2 + 2 2x +2 2 =0

2 Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 đờng thẳng (d): y= (1/2)x +2.

a) Vẽ (P), (d) hệ trục toạ độ Oxy

b) Gọi A,B giao điểm (P),(d) Tìm điểm M cung AB (P) cho diƯn tÝch tam gi¸c MAB max

1 Cho đờng tròn tâm O dây cung BC không qua O Một điểm A chuyển động đờng tròn (A#B,C) gọi M trung điểm đoạn AC, H chân đờng vng góc hạ từ M xuống đờng thẳng AB Chứng tỏ H nằm đờng tròn cố định2 Cho đờng tròn (O,R) (O’,R’) (R>R’), cắt A,B Tia OA căt (O) D; tia BD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD E So sánh độ dài đoạn BC & BE

§Ị sè 2: Bài

Giải hệ phơng trình

   

  

  

  

0 3

0 3 2

0 2

z x xz

y z yz

y x xy

Bµi

Tìm tất số nguyên dơng a,b cho ab = 3(b-a)

Bµi Cho x2 +y2 =1 Tìm giá trị lớn giá trÞ nhá nhÊt

cđa biĨu thøc : S = (2-x)(2-y) Bài 4.

Cho tam giác cân ABC( AC =AB) víi gãc ACB = 800 Trong tam

giác ABC có điểm M cho góc MAB = 100 vµ gãc MBA = 300.

TÝnh gãc BMC Bµi

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) AC cắt BD I (O1),

(O2) theo thứ tự đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABI,

CDI Một đờng thẳng qua I cắt (O) X Y cắt(O1

Đề số 3:

Bài Cho số chÝnh ph¬ng A, B, C.

Chøng tá r»ng ( A- B)(B-C)(C-A) chia hÕt cho 12 Bµi Chøng minh r»ng :

3 3 3 9 1

2   

Bµi Cho a b,a c,b c Chøng minh r»ng:

b a b a a c a c c b c b b c a c b a a b c b a c c a b a c b                     ) )( ( ) )( ( ) )( ( 2 2 2

Bài Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, a+b+c = 9; x,y,z lần lợt độ dài phân giác góc A,B,C Chứng minh rằng:

z y x 1   >1

Bµi Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng:

   CB CA HB HA BA BC HA HC AC AB HC HB

§Ị sè 4:

Bµi 1.

BiÕt r»ng 654 999 997 1965

9 100         sè ch A

Chøng minh r»ng A chia hÕt cho Bµi 2

Bµi

Tồn hay không số nguyên a,b,c thoả mÃn: a(b-c)(b+c-a)2+c(a-b)(a+b-c)2=1

Bài 4.

Giải phơng trình x4+16x+8=0

Bài

Mt ng thẳng d chia tam giác ABC cho trớc thành hai phần có diện tích chu vi Chứng minh tâm đờng tròn nội tiếp tam giácABC nằm đờng thẳng d

§Ị sè 5 Bài 1

Phân tích tuỳ ý số 2005 thành tổng hai số tự nhiên lớn xét tích hai số Trong cách phân tích nói trên, hÃy cách mà tích số có giá trị nhỏ

Bài 2.

Cho số không âm a,b,x,y thoả mÃn điều kiện

1 ;

1 2005 2005 2005

2005 b  x y  a

Chứng minh rằng:a1975.x30 b1975.y30 1 Bài

Giải phơng trình

5 ) ( 2005 60

40 24

10    x   

Bµi

Víi sè nguyên dơng n, kí hiệu

!

)

(

n n n

a n

n

  

2005

1 a a

a    Trong n! kí hiệu tích n số ngun dơng

liªn tiÕp Đề số 6:

Bài 1:

Chøng minh r»ng sè 20052 +22005 nguyªn tè cïng víi sè

2005 Bµi 2:

Cho ba sè d¬ng a,b,c chøng minh r»ng:

3 3

cb c ba b ac a a c c b b a

 

 

Bài 3:

giải phơng trình: x4 + x3+ x2+x +

2

=0 Bµi 4:

Giả sử O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC AD,BE,CF đờng cao tam giác Đờng thẳng EF cắt (O) P,Q Gọi M trung điểm BC Chứng minh AP2 = AQ2=

2AD.OM Bµi 5:

Xác định M nằm tam giác ABC cho tích khoảng cách từ M tới cạnh tam giác đạt giá trị lớn nht

Đề số 7:

Bài 1: Giải phơng tr×nh: x3 - x - = x3 + x + 1

Bài 2:

tìm Max biĨu thøc x x3  xx3 víi x 1 Bài 3:

Giải hệ phơng trình:

( )

2

2 xy y x y

x2004+y2004 = 22005

Bµi 4:

cho tam giác ABC có đờng cao kẻ từ đỉnh A, đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh B đờng phân giác kẻ từ đỉnh C đồng quy Gọi a,b,c lần lợt độ dài ba cạnh BC,CA,AB Chứng minh: (a+b) (a2+b2- c2)= 2a2b

Bµi 5:

Cho tam giác ABC Điểm O nằm tam giác BO cắt AC taị M, CO cắt AB N Dựng hình bình hành OMEN OBFC Chứng minh: A,E,F thẳng hµng vµ

OC OB

ON OM AC

AB AN AM AE

AE

Đề số 8 Bài 1:

Cho số 155*701*4*16 có 12 chữ số Chứng minh thay đổi dấu (*) chữ số khác ba chữ số 1,2,3 cách tuỳ ý số ln chia hết cho 396

Bài 2:

Giải hệ phơng tr×nh:

x2 –xy +y2 =3

z2 +yz +1 =0

Bµi 3:

T×m Max cđa biĨu thøc: A=

4

8003

2

6006 2004

2

2

 

     

x x

x x x x

x

Bµi 4:

Cho a,b,c cạnh tam giác, chứng minh:

3 3

3

3 ab c bc a ca b a b c Bµi 5:

đơng thẳng OM Chúng minh M chuyển động BC Q ln thuộc đơng thẳng cố định

Bµi 5:

Cho lục giác nội tiếp đờng trịn ABCDEF có AB = AF; DC= DE Chứng minh: AD> (1/2)(BC+EF)

Đề số 12: Bài 1: Cho Sn=

1

3

 

 

n n

S S

với n số tự nhiên không nhỏ BiÕt S1 =

1, tÝnh S = S1 + S2 + S3 +… + S2004 + S2005

Bµi 2:

Giải hệ phơng trình: xy x y y x

 

x2008 + y2008 =8(xy)

2 2005

Bµi 3:

Tổng số bi đỏ số bi xanh bốn hộp: A,B,C,D 48 Biết rằng: số bi đỏ số bi xanh hộp A nhau; số bi đỏ hộp B gấp hai lần số bi xanh hộp B; số bi đỏ hộp C gấp ba lần số bi xanh hộp C; số bi đỏ hộp D gấp sáu lần số bi xanh hộp D; bốn hộp có hộp chứa bi xanh, hộp chứa bi xanh,một hộp chứa bi xanh, hộp chứa hịn bi xanh Tìm số bi đỏ số bi xanh hộp

Bµi 4:

Chứng minh bất đẳng thức: a + b + c

2 ) (

) (

)

(b c a2003 c a b2003 ab c2003

 

 

 víi a,b,c số dơng

Cho 2005 số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 đặt trớc số dấu “trừ” dấu “cộng” thực phép tính đợc tổng A tìm giá trị khơng âm nhỏ mà A nhận đợc

Bµi 2:

Cho f(x) = ax2 + bx + c tho¶ m·n: f(-3) <-10; f(-1) > 0; f(1) < -1.

hãy xác định dấu hệ số a Bài 3:

Gi¶i pt: (x – 2005)6 + (x- 2006)8 = 1

Bµi 4:

Cho a1=1/2; an+1= 

  

 

 

2

1

n n

an víi n = 1,2,3,… ,2004 Chøng minh

r»ng: a1 + a2 + a3 +…+ a2005 <

Bµi 5:

Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M thuộc BC đờng trịn đờng kính AM BC cắt N ( N # B), gọi L giao điểm BN & CD Chứng minh: ML vng góc với AC

§Ị sè 14: Bµi 1:

Chøng minh r»ng pt x2 – 2y = 2005 nghiệm nguyên.

Bài 2:

Gi¶i pt: 48x(x +1)(x3 -4) = (x4 + 8x +12)2

Bài 3:

Giải hệ pt: 3x y -5z -2yz = x- 5y –z – 2z2 =0

Cho tam gi¸c ABC cân A ^A= 360 Chứng minh: BA/BC số

vô tỉ Bài 5:

Cho ng trũn tâm O, đờng kính AB Trên nửa đờng trịn đờng kính AB lấy điểm C,D cho cung AC < cung AD (D#B) E điểm nửa đờng trịn (O) nhng khơng chứa C,D ( E#A,B) I,K lần lợt giao điểm CE & AD, IO & BE Chứng minh: ^ CDK = 900.

Đề số 15: Bài 1:

Biết x, y số tự nhiên có 2005 chữ số.Số x viết chữ số số y viết chữ số HÃy so sánh tổng chữ tích xy tổng chữ số x2.

Bài 2:

Hóy xỏc định a để hệ pt sau có nghiệm nhất: 4xy – 2x + 2y + 4z29x+y) =4a + 3

x2 + y2 + z2 +x –y = a

Bµi 3:

Cho x x21y y211 tÝnh M = x y21y x2 1

Bµi 4:

Cho tam giác ABC, AB < AC Các điểm M,N lần lợt thuộc cạnh AB, AC cho BM = CN Gọi giao điểm BN CM O Đờng thẳng qua O, song song vơí phân giác ^BAC cắt đờng thẳng AB, AC theo thứ tự X, Y

Chøng minh: BX = CA; CY = BA Đề số 16:

Bài 1:

Tìm tất số nguyen dơng n cho 2n + 153 bình

ph-ơng số nguyên Bài 2:

Cho a,b,c số thực dơng thoả mÃn abc =1 HÃy tính Min cđa biĨu thøc: P =

b b a c a

a c b c

c b

a2 2 2 2 2

Bµi 3:

Chøng minh r»ng số hai số sau: p -1; p +1 số phơng với p tích 2005 số nguyên tố

Bài 4:

Cho AB & CD hai đờng kính vng góc với đờng trịn (O,R).M điểm (O) Tìm Max P = MA.MB.MC.MD

Bµi 5:

Trong mặt phẳng cho (O) hai điểm A,B cố định nằm đ-ờng trịn Tìm vị trí điểm m cho đđ-ờng thẳng AM cắt (O) C AM = AC + CB (C#A)

Đề số 17: Bài 1:

Chứng minh số d phÐp chia mét sè nguyªn tè cho 30 số nguyên tố

Bài 2:

Tìm tất số thực dơng x,y,z thoả mÃn hệ phơng trình: x+ y + z =6

1x1y1z 2 xyz4 Bµi 3:

Cho f(x) = x3 - 3x2 + 3x +3 Chøng minh : f (

2005 2006

) < f(20042005) Bài 4:

Cho tam giác ABC, điểm O nằm tam giác BO,CO theo thứ tự cắt AC,AB M,N Dựng hình bình hành OMEN,OBFC Chứng minh A,E,F thẳng hàng AFAE AMAB..ACAN OMOB.OC.ON

Bài 5:

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB =c =2R Tìm nửa đờng trịn (khơng kể hai đầu mút A,B) tất ba điểm C1,

C2, C3 cho BC1 + AC2 = BC2 + AC3 = BC3 + AC1 = d, ú

Đề số 18; Bài 1:

Cho số nguyên n > 2005 số thực x tho¶ m·n 2006n + 2005n

=xn Hái x số nguyên không?

Bài 2:

Biết rằng: x2 + y2 = x =y Tìm giá trÞ Max & Min cđa F = x –y

Bµi 3:

Giả sử hai tam giác ABC,DEF có ^C =^F, AB = DE cạnh cịn lại thoả mãn điều kiện: BC + FD = EF + CA Chứng minh: hai tam giác

Bµi 4:

T n