Đang tải... (xem toàn văn)
Kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại I, đường thẳng này cắt đường tròn (O; R) tại M và N. Gọi S là giao điểm BM và AN. Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng này cắt các đ[r]
(1)~ GỠ PASSWORD VÀ CHUYỂN FONT TIMES NEW ROMAN
CHUYÊN ĐỀ: TỨ GIÁC NỘI TIẾP I) Các kiến thức cần nhớ
1) Khái niệm:
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (Gọi tắt tứ giác nột tiếp)
2) Định lí
- Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800
-Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường tròn
3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng số hai góc đối diện 1800
- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện
- Tứ giác có bón đỉnh cách điểm(mà ta xác định được) Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc
II) Bài tập
Bài tập
Cho ABC vuông A Trên AC lấy diểm M vẽ đường trịn đường kính MC Kẻ BM cắt đường tròn D Đường thẳng DA cắt Đường tròn S Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp b) A BD· = A CD·
c) CA phân giác SCB·
Bài tập
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường trịn đường kính AD Hai đường chéo AC BD cắt E Vẽ EF vng góc với AD Chứng minh:
a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp b) CA phân giác BCF
c) Gọi M trung điểm DE Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp
Bài tập
O A
B
C
(2)~
Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AD Hai đường chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đường thẳng CF cắt đường tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh :
a) CEFD tứ giác nội tiếp
b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD
Bài tập
Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD , AE cắt đường tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD
b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đường tròn c) AC song song với FG
d) Các đường thẳng AC , DE BF đồng quy
Bài tập
Cho tam giác vuông ABC ( 90
A
; AB > AC) điểm M nằm đoạn AC (M không trùng với A C) Gọi N D giao điểm thứ hai BC MB với đương trịn đường kính MC; gọi S giao điểm thứ hai AD với đường trịn đường kính MC; T giao điểm MN AB Chứng minh:
a Bốn điểm A, M, N B thuộc đường tròn b CM phân giác góc BCS
c TA TC TD TB
Bài tập
Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn Qua A dựng hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (M, N tiếp điểm) cát tuyến cắt đường trịn P, Q Gọi L trung điểm PQ
a/ Chứng minh điểm: O; L; M; A; N thuộc đường tròn b/ Chứng minh LA phân giác MLN·
c/ Gọi I giao điểm MN LA Chứng minh MA2 = AI.AL
d/ Gọi K giao điểm ML với (O) Chứng minh KN // AQ e/ Chứng minh KLN cân
Bài tập
Cho đường trũn (O; R) tiếp xỳc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A AH <R Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng cắt đường trũn hai điểm E B ( E nằm B H)
1 Chứng minh gúc ABE gúc EAH tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH Lấy điểm C d cho H trung điểm đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh AHEK tứ giỏc nội tiếp
3 Xác định vị trí điểm H để AB= R
(3)~
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H cắt đường tròn (O) M,N,P
Chứng minh rằng:
1 Các tứ giác AEHF, BFHD nội tiếp
2 Bốn điểm B, C, E, F nằm đường tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
4 H M đối xứng qua BC
5 Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài tập
Cho ABC không cân, đường cao AH, nội tiếp đường trịn tâm O Gọi E, F thứ tự hình chiếu B, C lên đường kính AD đường tròn (O) M, N thứ tự trung điểm BC, AB Chứng minh:
a) Bốn điểm A,B, H, E nằm đường tròn tâm N HE// CD b) M tâm đường tròn ngoại tiếp HEF
Bài tập 10
Cho đường trịn tâm O điểm A bên ngồi đường tròn Vẽ ccs tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE với đường tròn ( B C tiếp điểm) Gọi Hlà trung điểm DE
a) CMR: A,B, H, O, C thuộc đường tròn Xác định tâm đường tròn b) Chứng minh: HA tia phân giác BHC
c) Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh: AB2 = AI.AH d) BH cắt (O) K Chứng minh: AE // CK
Bài tập 11
Từ điểm S ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB cát tuyến SCD đường trịn
a) Gọi E trung điểm dây CD Chứng minh điểm S, A, E, O, B thuộc đường tròn b) Nếu SA = AO SAOB hình gì? sao?
c) Chứmg minh rằng:
AB CD AC BD BC DA
Bài tập 12
Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E, F (F B E)
1 Chứng minh AC AE không đổi Chứng minh ABD = DFB
3 Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp
Bài tập 13
Trên đường thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By vng góc với dt Trên tia Ax lấy I Tia vng góc với CI C cắt By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P
1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh AI.BK = AC.CB
3) Giả sử A, B, I cố định xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn
Bài tập 14
Cho ABC vuông A Kẻ đường cao AH, vẽ đường trịn đường kính AH, đường trịn cắt AB E, cắt AC F
(4)~ c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF
d) Gọi M là giao điểm CE BF Hãy so sánh diện tích tứ giác AEMF diện tích tam giác BMC
Bài tập 15
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE
1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp
2 Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn Chứng minh ED =
2
BC
4 Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = cm, AH = cm
Bài tập 16
Từ điểm M đường trũn (O) vẽ tiếp tuyến MA MB Trờn cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD AB; CE MA; CF MB Gọi I giao điểm AC DE; K giao điểm BC DF Chứng minh rằng:
a) Tứ giỏc AECD; BFCD nội tiếp b) CD2 = CE.CF
c) IK CD
Bài tập 17
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm di động cung nhỏ BC Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D cho MD = MC
a) Chứng minh DMC b) Chứng minh MB + MC = MA
c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp
d) Khi M Di động cung nhỏ BC D di động đường cố định ?
Bài tập 18
Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB
1 Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
2 Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2
4 Chứng minh OAHB hình thoi
5 Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
6 Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d
Bài tập 19
Cho điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đường tròn (O) qua B C (BC khơng đường kính (O)) Kẻ từ tiếp tuyến AE AF đến (O) (E; F tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC; K trung điểm EF, giao điểm FI với (O) D Chứng minh:
1 AE2 = AB.AC
2 Tứ giác AEOF nội tiếp
3 Năm điểm A; E; O; I; F nằm đường tròn ED song song với Ac
5 Khi (O) thay đổi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK thuộc đường thẳng cố định
(5)~
Cho ABC có góc nhọn Aµ= 450 Vẽ đường cao BD CE ABC Gọi H gia điểm
của BD CE
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp b) Tính tỉ số DE
B C
c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh OA DE
Bài tập 21
Cho tam giác nhọn PBC Gọi A chân đường cao kẻ từ P xuống cạnh BC Đường trịn đường kính BC cắt PB, PC M N Nối N với A cắt đường trịn đường kính BC điểm thứ hai E
a/ Chứng minh rằng: điểm A, B, N, P nằm đường trịn Hãy xác định tâm bán kính đường trịn
b/ Chứng minh: EM vng góc với BC
c/ Gọi F điểm đối xứng N qua BC Chứng minh AM.AF = AN.AE
Bài tập 22
Cho tam giác vuông ABC ( 90
A
); đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với điểm A C) Đường trịn đường kính DC cắt BC điểm thứ hai E; đường thẳng BD cắt đường trịn đường kính DC điểm F (F khơng trùng với D) Chứng minh:
a Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC b Tứ giác ABCF nội tiếp đường tròn
c AC tia phân giác góc EAF
Bài tập 23
Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến với đường tròn (O) A D cắt E Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD
a/ Chứng minh: Tứ giác AEDI nội tiếp b/ Chứng minh AB//EI
c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bên AD BC hình thang tương ứng R S Chứng minh: * I trung điểm RS
*
RS CD AB
2 1
Bài tập 24
Cho đường trịn (O; R) có hai đường kính AOB COD vng góc với Lấy điểm E OA, nối CE cắt đường trịn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng tròn, qua E dựng Ey vng góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey
a/ Chứng minh I; E; O; F nằm đường tròn b/ Tứ giác CEIO hình gì? sao?
c/ Khi E chuyển động AB I chuyển động đường nào?
Bài tập 25
Cho nửa đường trịn đường kính BC bán kính R điểm A nửa đường tròn (A khác B C) Từ A hạ AH vng góc với BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F
a Tứ giác AFHE hình gì? Tại sao? b Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp
c Hãy xác định vị trí điểm A cho tứ giác AFHE có diện tích lớn Tính diện tích lớn theo R
Bài tập 26
(6)~
a) Chứng minh: PT2 = PM.PN Từ suy (O) thay đổi qua M, N T, T’ thuộc đường trịn cố định
b) Gọi giao điểm TT’ với PO, PM I J K trung điểm MN Chứng minh: Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp
c) Chứng minh rằng: Khi đường tròn (O) thay đổi qua M, N TT’ ln qua điểm cố định
d) Cho MN = NP = a Tìm vị trí tâm O để góc TPT’ = 600
Bài tập 27
Cho ABC vuông A Trên AC lấy điểm M (M≠A C) Vẽ đường trịn đường kính MC Gọi T giao điểm thứ hai cạnh BC với đường tròn Nối BM kéo dài cắt đường tròn điểm thứ hai D Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai S Chứng minh:
a) Tứ giác ABTM nội tiếp
b) Khi M chuyển động AC A DM· có số đo khơng đổi c) AB//ST
Bài tập 28
Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A, B Đường vng góc với AB kẻ qua B cắt (O) (O') điểm C, D Lấy M cung nhỏ BC đường tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng MB với đường tròn (O') N giao điểm hai đường thẳng CM, DN P
a Tam giác AMN tam giác gì, sao?
b Chứng minh ACPD nội tiếp đường tròn
c Gọi giao điểm thứ hai AP với đường tròn (O') Q, chứng minh BQ // CP
Bài tập 29
Cho ABC vuông A (AB < AC) H nằm A C Đường trũn (O) đường kính HC cắt BC I BH cắt (O) D
a) Chứng minh tứ giỏc ABCD nội tiếp
b) AB cắt CD M Chứng minh điểm H; I; M thẳng hàng c) AD cắt (O) K Chứng minh CA tia phõn giỏc KCB
Bài tập 30
Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vng góc với AB I, gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối Ac cắt MN E
1 Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp
2 Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Chứng minh AM2 = AE.AC
4 Chứng minh AE AC – AI.IB = AI2
5 Hãy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bài tập 31
Cho nửa đường trũn (O;R) đường kính AB, dây AC Gọi E điểm cung AC bán kính OE cắt AC H, vẽ CK song song với BE cắt AE K
a) Chứng minh tứ giỏc CHEK nội tiếp b) Chứng minh KHAB
c) Cho BC = R Tớnh PK
Bài tập 32
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK
(7)~ Chứng minh AC tiếp tuyến đường trịn (O)
3 Tính bán kính đường trịn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm
Bài tập 33
Cho điểm A bên ngồi đường trịn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H trung điểm DE
a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đường tròn b) Chứng minh HA tia phân giác BHC
c) DE cắt BC I Chứng minh :
AB AI.AH d) Cho AB=R OH=R
2 Tính HI theo R
Bài tập 34
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kể tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường trịn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K
a) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB
c) Chứng minh BAF tam giác cân
d) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi
e) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn
Bài tập 35
Cho hai đường trũn (O1), (O2) cú bỏn kớnh cắt A B Vẽ cỏt tuyến qua B khụng
vuụng gúc với AB, nú cắt hai đường trũn E F (E (O1); F (O2)) Chứng minh AE = AF
2 Vẽ cỏt tuyến CBD vuụng gúc với AB ( C (O1); D (O2)) Gọi P giao điểm CE
DF Chứng minh rằng:
a Cỏc tứ giỏc AEPF ACPD nội tiếp đường trũn
b Gọi I trung điểm EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng Khi EF quay quanh B thỡ I P di chuyển trờn đường nào?
Bài tập 36
Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC, CD lấy điểm E, F cho 45
EAF Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự G, H Chứng minh:
a) ADFG, GHFE tứ giác nội tiếp
b) CGH tứ giác GHFE có diện tích
Bài tập 37
Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đường tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA; tia đói tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M; MD cắt AB K; MB cắt AC H
a Chứng minh: BMD = BAC, từ suy tứ giác AMHK nội tiếp b Chứng minh: HK // CD
c Chứng minh: OK.OS = R2
Bài tập 38
Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI =
3 AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN, cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E
a Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn b Chứng minh AME đồng dạng với ACM AM2
(8)~ c Chứng minh AE.AC AI.IB = AI2
d Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bài tập 39
Cho ba điểm A, B, C đường thẳng theo thứ tự đường thẳng d vuông góc với AC A Vẽ đường trịn đường kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đường thẳng d D; Tia AM cắt đường tròn điểm thứ hai N; Tia DB cắt đường tròn điểm thứ hai P
a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp
b) Chứng minh: Tích CM CD khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M c) Tứ giác APND hình gì? Tại sao?
d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAB chạy đường tròn cố định
Bài tập 40
Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Các tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn B C Gọi M điểm tuỳ ý đường tròn (M khác B C) Gọi H; K; I chân đường vng góc kẻ từ M xuống BC; CA; AB
a/ Chứng minh: Tứ giác MHBI, MHCK nội tiếp b/ Chứng minh:MHI· = MKH·
c/ Chứng minh: MH2 = MI.MK
Bài tập 41
Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) A M Q hai điểm (d) cho M≠A, M≠Q, Q≠A Các đường thẳng BM BQ cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N P Chứng minh:
1 Tích BN.BM khơng đổi Tứ giác MNPQ nội tiếp
3 Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R
Bài tập 42
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O P trung điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I, dây BC PD kéo dài cắt K Chứng minh rằng:
a Góc CID góc CKD
b Tứ giác CDFE nội tiếp dường tròn c IK // AB
Bài tập 43
Trên đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B) AM cắt BE C; AE cắt BM D
a Chứng minh MCED tứ giác nội tiếp CD vuông góc với AB b Gọi H giao điểm CD AB Chứng minh BE.BC = BH.BA
c Chứng minh tiếp tuyến M E đường tròn (O) cắt điểm nằm đường thẳng CD
d Cho biết 45
BAM
30
BAE
Tính diện tích tam giác ABC theo R
Bài tập 44
Cho đường tròn (O) đường kính AB Một cát tuyến MN quay xung quanh trung điểm H OB Giọi I trung điểm MN Từ A kẻ Ax vng góc với MN K Gọi C giao điểm Ax với tia BI
a/ Chứng minh rằng: BN// MC
b/ Chứng minh rằng: Tứ giác OIKC hình chữ nhật
(9)~
Bài tập 45
Cho ABC cân (AB = AC) góc A nhỏ 600; tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC
a) Tam giác BCD tam giác gì? sao?
b) Kéo dài đường cao CH ABC cắt BD E Vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với CD F Qua C vẽ tiếp tuyến CG đường tròn Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc đường tròn
c) Các đường thẳng AB CG cắt M, tứ giác AFGM hình gì? Tại sao? d) Chứng minh: MBG cân
Bài tập 46
Cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d khơng qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Từ điểm C d (C nằm ngồi đường trịn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đường thẳng OH cắt tia CN K
a Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đường tròn b Chứng minh KN.KC = KH.KO
c Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) I, chứng minh I cách CM, CN MN
d Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN E F Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ
Bài tập 47
Cho BC dây cung cố định đường tròn (O; R) (0 < BC < 2R) A điểm di động cung lớn BC cho ABC nhọn Các đường cao AD; BE; CF cắt H (DBC; ECA; FAB)
4 Chứng minh: Tứ giác BCEF nội tiếp Từ suy AE.AC = AF.AB Gọi A' trung điểm BC Chứng minh rằng: AH = 2OA'
6 Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường trịn (O) A Đặt S diện tích ABC, 2p chu vi DEF Chứng minh:
a d // EF b S = p.R
Bài tập 48
Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD đáy nhỏ BC nội tiếp đường tròn tâm O; AB CD kéo dài cắt I Các tiếp tuyến đường tròn tâm O B D cắt điểm K
a Chứng minh tứ giác OBID OBKD tứ giác nội tiếp b Chứng minh IK song song với BC
c Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện để tứ giác AIKD hình bình hành
Bài tập 49
Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm đường tròn Một góc xAy = 900 quay quanh A ln
thoả mãn Ax, Ay cắt đường tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai Ax, Ay với (O) tương ứng B, C Đường trịn đường kính AO cắt AB, AC điểm thứ hai tương ứng M, N Tia OM cắt đường tròn P Gọi H trực tâm tam giác AOP Chứng minh
a) AMON hình chữ nhật b) MN//BC
c) Tứ giác PHOB nội tiếp
d) Xác định vị trí góc xAy cho tam giác AMN có diện tích lớn
Bài tập 50
Cho đường trịn (O) đường kính AB điểm I nằm A O (I khác A O) Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N khác B) Nối AC cắt MN E Chứng minh:
(10)~ 10 b) AM2 = AE.AC
c) AE.AC – AI.IB = AI2
Bài tập 51
Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn cho cung AC nhỏ 900 góc COD = 900 Gọi M điểm nửa đường tròn cho C điểm cung
AM Các dây AM, BM cắt OC, OD E, F a) Tứ giác OEMF hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh: D điểm cung MB
c) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đườngtròn M cắt tia OC, OD I, K Chứng minh tứ giác OBKM OAIM nội tiếp
d) Giả sử tia AM cắt tia BD S Hãy xác định vị trí C D cho điểm M, O, B, K, S thuộc đường tròn
Bài tập 52
Cho đường tròn (O) hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) cho đường thẳng AB không qua tâm O Trên tia đối tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đường tròn (O) (E, F tiếp điểm) Gọi H trung điểm dây cung AB Các điểm K I theo thứ tự giao điểm đường thẳng EF với đường thẳng OM OH
a) Chứng minh điểm M, O, H, E, F nằm đường tròn b) Chứng minh: OH.OI = OK OM
c) Chứng minh: IA, IB tiếp tuyến đường tròn (O)
Bài tập 53
Cho đường trịn (O) đường kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB CD cắt đường trịn đường kính BC I
1 Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp Chứng minh tứ giác ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD
4 Chứng minh I, B, E thẳng hàng
5 Chứng minh MI tiếp tuyến đường trịn đường kính BC
Bài tập 54
Cho đường tròn (0) điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với đường tròn (B, C, M, N thuộc đường tròn AM < AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đường thẳng CE với đường tròn
a) Chứng minh: Bốn điểm A, 0, E, C thuộc đường tròn b) Chứng minh: góc AOC góc BIC
c) Chứng minh: BI // MN
d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn
Bài tập 55
Cho đường trịn (O) có tâm O, đường kính AB Trên tiếp tuyến đường trịn O A lấy điểm M (M khơng trùng với A) Từ M kẻ cát tuyến MCD (Cnằm M D; tia MC nằm tia MA tia MO) tiếp tuyến thứ hai MI (I tiếp điểm) với đường tròn (O) Đường thẳng BC BD cắt đường thẳng OM tai E F Chứng minh:
a Bốn điểm A, M, I O nằm đường tròn b IAB AMO
c O trung điểm FE
(11)~ 11
Cho nửa đường trịn (0) đường kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vng góc với AB Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax, By P Q AM cắt CP E, BM cắt CQ F
a/ Chứng minh : Tứ giác APMC, EMFC nội tiếp b/ Chứng minh : EF//AB
c/ Tìm vị trí điểm C để tứ giác AEFC hình bình hành
Bài tập 57
Cho đường tròn (O) đường thẳng xy ngồi đường trịn Đường thẳng qua O vng góc với xy H cắt đường tròn (O) A B M điểm (O), đường thẳng AM cắt xy E, đường thẳng BM cắt xy F, tiếp tuyến M cắt xy I, đường thẳng AF cắt (O) K Nối E với K
a) Chứng minh: IM = IF
b) Chứng minh: điểm E, M, K, F thuộc đường tròn c) Chứng minh: IK tiếp tuyến (O)
d) Tìm tập hợp tâm đường trịn ngoại tiếp AMH M di động (O)
Bài tập 58
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB; điểm I nằm hai điểm A O Kẻ đường thẳng vng góc với AB I, đường thẳng cắt đường tròn (O; R) M N Gọi S giao điểm BM AN Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng cắt đường thẳng AB AM K H Hãy chứng minh:
1) Tứ giác SKAM tứ giác nội tiếp HS.HK=HA.HM 2) KM tiếp tuyến đường tròn (O; R)
3) Ba điểm H; N; B thẳng hàng
Bài tập 59
Cho đường trịn (0; R), dây CD có trung điểm M Trên tia đối tia DC lấy điểm S, qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với đường tròn Đường thẳng AB cắt đường thẳng SO ; OM P Q
a) Chứng minh tứ giác SPMQ, tứ giác ABOM nội tiếp b) Chứng minh SA2 = SD SC
c) Chứng minh OM OQ khơng phụ thuộc vào vị trí điểm S d) Khi BC // SA Chứng minh tam giác ABC cân A
e) Xác định vị điểm S tia đối tia DC để C, O, B thẳng hàng BC // SA
Bài tập 60
Cho nửa đường trịn (0) đường kính AB, M điểm cung AB K thuộc cung BM ( K khác M B ) AK cắt MO I
a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp đường tròn
b) Gọi H hình chiếu M lên AK Chứng minh : Tứ giác AMHO nội tiếp c) Tam giác HMK tam giác ?
d) Chứng minh : OH phân giác góc MOK
e) Xác định vị trí điểm K để chu vi tam giác OPK lớn (P hình chiếu K lên AB)
Bài tập 61
Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (0) Tia phân giác góc B, góc C cắt đường trịn thứ tự D E, hai tia phân giác cắt F Gọi I, K theo thứ tự giao điểm dây DE với cạnh AB, AC
a) Chứng minh: tam giác EBF, DAF cân b) Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp FK // AB c) Tứ giác AIFK hình ? Tại ?
d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEFD hình thoi đồng thời có diện tích gấp lần diện tích tứ giác AIFK
(12)~ 12 Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, đoạn OA lấy điểm I cho
AI = OA
Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C không trùng với M, N, B) Nối AC cắt MN E
a) Chứng minh : Tứ giác IECB nội tiếp
b) Chứng minh : Các tam giác AME, ACM đồng dạng AM2 = AE AC c) Chứng minh : AE AC – AI IB = AI2
d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ
Bài tập 63
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R)(AB < CD) Gọi P điểm cung nhỏ AB ; DP cắt AB E cắt CB K ; CP cắt AB F cắt DA I
a) Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp b) Chứng minh: IK // AB
c) Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp d) Chứng minh: AP2 = PE PD = PF PC
e) Chứng minh : AP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AED
f) Gọi R1 , R2 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AED BED.Chứng minh: R1 + R2 = 2 2
PA
4R
Bài tập 54
Cho hình vng ABCD cố định , có độ dài cạnh a E điểm chuyển đoạn CD (E khác D), đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K
1) Chứng minh ABF = ADK từ suy AFK vng cân
2) Gọi I trung điểm FK, Chứng minh I tâm đường tròn qua A , C, F , K 3) Tính số đo góc AIF, suy điểm A, B, F, I nằm đường tròn
Bài tập 65
Cho góc vng xOy , Ox, Oy lấy hai điểm A B cho OA = OB M điểm AB Dựng đường tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với Ox A, đường tròn tâm O2 qua M
và tiếp xúc với Oy B , (O1) cắt (O2) điểm thứ hai N
1) Chứng minh tứ giác OANB tứ giác nội tiếp ON phân giác góc ANB 2) Chứng minh M nằm cung tròn cố định M thay đổi
3) Xác định vị trí M để khoảng cách O1O2 ngắn
Bài tập 66
Cho điểm A bờn đường trũn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cỏt tuyến ADE đến đường trũn (O) Gọi H trung điểm DE
a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C cựng nằm trờn đường trũn b) Chứng minh HA tia phõn giỏc BHC
c) DE cắt BC I Chứng minh :
AB AI.AH
Bài tập 67
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đường phân giác góc A , B cắt đường tròn tâm O D E , gọi giao điểm hai đường phân giác I , đường thẳng DE cắt CA, CB M , N
1) Chứng minh tam giác AIE tam giác BID tam giác cân 2) Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC 3) Tứ giác CMIN hình ?
(13)~ 13
Cho tam giaực ABC coự ba goực nhoùn (AB < AC) ẹửụứng troứn ủửụứng kớnh BC caột AB, AC theo thửự tửù taùi E vaứ F Bieỏt BF caột CE taùi H vaứ AH caột BC taùi D
a) Chửựng minh tửự giaực BEFC noọi tieỏp vaứ AH vuoõng goực vụựi BC b) Chửựng minh AE.AB = AF.AC
c) Gói O laứ tãm ủửụứng troứn ngóai tieỏp tam giaực ABC vaứ K laứ trung ủieồm cuỷa BC Tớnh tổ soỏ
OK
BC tửự giaực BHOC noọi tieỏp
d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm vaứ HC > HE Tinh HC
Bài tập 69
Cho (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MM
a) CMR: BCHK tứ giác nội tiếp b) Tính AH.AK theo R
Xác định vị trí điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn
Bài tập 70
Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B Một đường thẳng qua A cắt đường tròn
(O1) , (O2) C,D , gọi I , J trung điểm AC AD 1) Chứng minh tứ giác O1IJO2 hình thang vng
2) Gọi M giao diểm CO1 DO2 Chứng minh O1 , O2 , M , B nằm đường tròn
3) E trung điểm IJ , đường thẳng CD quay quanh A Tìm tập hợp điểm E 4) Xác định vị trí dây CD để dây CD có độ dài lớn
Bài tập 71
Cho tam giác ABC , góc B góc C nhọn Các đường trịn đường kính AB , AC cắt D Một đường thẳng qua A cắt đường trịn đường kính AB , AC E F
1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng
2) Chứng minh B, C , E , F nằm đường trịn
3) Xác định vị trí đường thẳng qua A để EF có độ dài lớn
Bài tập 72
Cho đường tròn tâm O cát tuyến CAB ( C ngồi đường trịn ) Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB I , CM cắt đường tròn E , EN cắt đường thẳng AB F
1) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh góc CAE góc MEB
3) Chứng minh : CE CM = CF CI = CA CB
Bài tập 73
Cho ABC có góc nhọn AC > BC nội tiếp (O) Vẽ tiếp tuyến với (O) A B, tiếp tuyến cắt M Gọi H hình chiếu vng góc O MC CMR
a/ MAOH tứ giác nội tiếp
b/ Tia HM phân giác góc AHB
c/ Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt MA, MB E, F Nối EH cắt AC P, HF cắt BC Q Chứng minh QP // EF
Bài tập 74
Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD , AE cắt đường tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD
b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đường tròn c) AC song song với FG
(14)~ 14
Bài tập 75
Cho đường tròn tâm O Từ điểm P ngồi đường trịn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C tiếp điểm) với đường tròn (O)
a Chứng minh PAOC tứ giác nội tiếp đường tròn
b Tia AO cắt đường tròn (O) B; đường thẳng qua P song song với AB cắt BC D Tứ giác AODP hình gì?
c Gọi I giao điểm OC PD; J giao điểm PC DO; K trung điểm AD Chứng tỏ điểm I, J, K thẳng hàng
Bài tập 76
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O M điểm cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vng góc với BC
1) Chứng minh tứ giác MHKC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh AMBHMK
3) Chứng minh AMB đồng dạng với HMK
Bài tập 77
Cho nửa đường trũn đường kớnh AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường trũn Gọi C điểm trờn nửa đường trũn cho cung AC cung CB Trờn cung CB lấy điểm D khỏc C B Cỏc tia AC, AD cắt Bx E F
a, Chứng minh ABE vuụng cõn b, Chứng minh ABF BDF c, Chứng minh tứ giỏc CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF
Bài tập 78
Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B C nửa đường trịn đường kính AD, tâm O Hai đường chéo AC BD cắt E Gọi H hình chiếu vng góc E xuống AD I trung điểm DE Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp được; b) E tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm đường tròn
Bài tập 79
Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AD Hai đường chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đường thẳng CF cắt đường tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh :
a) CEFD tứ giác nội tiếp
b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD
Bài tập 80
Cho tam giác cân ABC (AB = AC; 45
B
), đường tròn (O) tiếp xúc với AB AC B C Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M không trùng với B C) hạ đường vng góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, CA, AB
a Chỉ cách dựng đường tròn (O) b Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp
c Gọi P giao điểm MB IK; Q giao điểm MC IH Chứng minh PQMI
(15)~ 15
Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Hạ đường cao AD, BE tam giác Các tia AD, BE cắt (O) điểm thứ hai M, N Chứng minh rằng:
1 Bốn điểm A,E,D,B nằm đường trịn Tìm tâm I đường trịn MN// DE
3 Cho (O) dây AB cố định, điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp CDE khơng đổi
Bài tập 82
Cho điểm A ngồi đường trịn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn (B , C tiếp điểm ) M điểm cung nhỏ BC ( M B ; M C ) Gọi D , E , F tương ứng hình chiếu vng góc M đường thẳng AB , AC , BC ; H giao điểm MB DF ; K giao điểm MC EF
1) Chứng minh :
a) MECF tứ giác nội tiếp b) MF vuông góc với HK
2) Tìm vị trí M cung nhỏ BC để tích MD ME lớn
Bài tập 83
Cho ABC vuụng cõn A AD trung tuyến thuộc cạnh BC Lấy M bất kỡ thuộc đoạn AD (M khụng trựng A, D) Gọi I, K hỡnh chiếu vuụng gúc M trờn AB, AC H hỡnh chiếu vuụng gúc I trờn đoạn DK
a/Tứ giỏc AIMK hỡnh gỡ?
b/ A, I, M, H, K thuộc đường trũn Tỡm tõm đường trũn đú c/ B, M, H thẳng hàng
Bài tập 84
Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) Hai đường cao AD BF gặp H
a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
b/ Gọi CK đường cao lại tam giác ABC; KD cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác DHCF E Chứng minh gócEFH = góc KBH
c/ Giả sử CH = AB Tính số đo góc ACB
Bài tập 85
Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến A tiếp tuyến D đường tròn (O) cắt E Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh:
a
CAB AOD
b Tứ giác AEDO nội tiếp c EI // AB
Bài tập 86
Cho đường trũn tõm O đường kớnh AC Trờn AC lấy điểm B , vẽ đường trũn tõm O’ đường kớnh BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ đường thẳng vuụng gúc với AB cắt đường trũn tõm O D E Nối DC cắt đường trũn tõm O’ I Chứng minh:
a/ AD // BI
b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng c/ MD = MI
d/ DM2 = AM.MC e/ Tứ giỏc DMBI nội tiếp
Bài tập 87
(16)~ 16 a Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đường tròn
b Chứng minh AD.CD = ED.BD
c Từ D kẻ DK vng góc với BC Chứng minh AB, DK, EC đồng quy điểm
DKE ABE
Bài tập 88
Từ điểm A ngồi đường trịn(O), ta kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC, M B M; C Từ M hạ đường vng góc MI, MH, MK tương ứng xuống BC, AC, AB Gọi P giao MB IK; Q giao MC IH
a Chứng minh tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đường tròn b Chứng minh tia đối tia MI phân giác góc KMH c Chứng minh PQ // BC
Bài tập 89
Cho đường tròn tâm O, bán kính R hai đường kính vng góc AB CD Trên AO lấy điểm E mà OE =
3AO, CE cắt (O) M a Tính CE theo R
b Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đựơc Xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác
c Chứng minh hai tam giác CEO CDM đồng dạng Tính độ dài đường cao MH tam giác CDM
Bài tập 90
Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung với hai đường trịn (O1) (O2)
về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự E F Qua A kẻ cát tuyến song
song với EF cắt đường tròn (O1), (O2) thứ tự C, D Đường thẳng CE đường thẳng DF cắt
I
a Chứng minh IA vng góc với CD
b Chúng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp
c Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm EF
Bài tập 91
Cho đường tròn tâm O cỏt tuyến CAB (C đường tròn) Từ điểm chớnh cung lớn AB kẻ đường kớnh MN cắt AB I, CM cắt đường trũn E, EN cắt đường thẳng AB F
1) Chứng minh tứ giỏc MEFI tứ giỏc nội tiếp 2) Chứng minh gúc CAE gúc MEB
3) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB
Bài tập 92
Cho tam giác ABC vng A có AB > AC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, vẽ nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F
a Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật b Chứng minh AE.AB = AF.AC
c Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp
Bài tập 93
Cho đường tròn (O) đường kính BC Điểm A thuộc đoạn OB (A khơng trùng với O B), vẽ đường trịn (O') đường kính AC Đường tròn qua trung điểm M đoạn thẳng AB vng góc với AB cắt đường trịn (O) D E Gọi F giao điểm thứ hai CD với đường tròn (O'), K giao điểm thứ hai CE với đường tròn (O') Chứng minh:
a Tứ giác ADBE hình thoi b AF // BD
c Ba điểm E, A, F thẳng hàng
(17)~ 17 e Ba đường thẳng CM, DK, EF đồng quy
Bài tập 94
Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Đường tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) điểm M; đường tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') N Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài P
a Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành
b Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' nằm đường tròn c Chứng minh rằng: BP = BA
Bài tập 95
Từ điểm P nằm ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM PN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Đường thẳng qua điểm P cắt đường tròn (O) hai điểm E F Đường thẳng qua O song song với PM cắt PN Q Gọi H trung điểm đoạn EF Chứng minh rằng:
a Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn
b Các điểm P, N, O, H nằm đường tròn c Tam giác PQO cân
R.