tứ giác nội tiếp và cách chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn

Trong trường hợp bốn đỉnh của một tứ giác thuộc cùng một đường tròn, tứ giác đó được gọi là tứ giác nội tiếp.. Đối với một tứ giác nội tiếp, ta có thể vận dụng được nhiều tính chất của

TU GIAC NOI TIEP VA VIEC CHUNG MINH NHIEU DIEM THUOC CUNG MOT DUONG TRON

Ta đã biết qua ba đỉnh của một tam giác, bao giờ cũng vẽ được một đường tròn Nhưng không phải bao giờ cũng vẽ được một đường tròn đi qua bốn đỉnh của một tứ giác Trong trường hợp bốn đỉnh của một tứ giác thuộc cùng một đường tròn, tứ giác đó được gọi là tứ giác nội tiếp Đối với một tứ giác nội tiếp, ta có thể

vận dụng được nhiều tính chất của đường tròn, nhất là các tính chất về góc Vì thế, việc phát hiện được những tứ giác nội tiếp trong bài toán (nếu có) có ý nghĩa rất

quan trọng

*) Trong các bài trước, ta đã biết hai cách để chứng minh một tứ giác nội tiếp :

— Chứng minh tồn tại một điểm cách đều bốn đỉnh của tứ giác

~ Chứng minh tứ giác đó có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh

còn lại dưới hai góc bằng nhau

Trong bài Tứ giác nội tiếp, có thêm cách nhận biết sau : Nếu một tứ giác có hai góc đối bù nhau thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn Do đó, nếu một tứ

giác có một góc bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện thì tứ giác đó nội tiếp được một

-_ đường tròn

Ví dụ 4.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), AB < AC Tia phân giác của góc A cắt BC ở D, cắt đường tròn ở E Trên tia AC lấy điểm K sao cho

AK = AB Chứng minh rằng :

a) AABD = AAKD ; b) DKCE là tứ giác nội tiếp

A—Sỏ

(}

Giải (h 3.21) a) Xét AABD và AAKD ta có

Do đó AABD = AAKD (c.g.c)

b) AEC = ABC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) > DEC = ABD (1)

Tir (1) va (2) suy ra DEC = Ki

Tứ giác DKCE có góc DEC bằng góc ngoài K, nên là tứ giác nội tiếp

Cũng có thể chứng minh tứ giác DKCE nội tiếp bằng cách chứng

minh Ea = Cy, hai góc này cùng bằng El

*) Ta da biét : Nếu hai cát tuyến AB và CD của một đường tròn cắt nhau tại M

thì MA.MB = MC.MD (hình 3.22, 3.23)

Đảo lại, ta cũng chứng minh được : Nếu hai đường thẳng AB, CD cắt nhau

tạ M và MA MB = MC MD thì bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường

tròn Nhận xét này rất có ích để chứng minh một tứ giác nội tiếp

Ví dụ 4.2 Cho hình thang ABCD có A = D = 909 Gọi E là trung điểm của

AD Kẻ AH vuông góc với BE, DI vuông góc với CE Chứng minh rằng BHIC là

tứ giác nội tiếp

Giải (h 3.24)

Tam giác AEB vuông tại A, đường cao AH nên EH EB = EA? (1)

Tam giác DEC vuông tại D, đường cao DI nén EI EC = ED” (2)

Ta lai c6 EA = ED nén tir (1) va (2) suy ra EH EB = EI EC

Từ hệ thức này, ta chứng minh được BHIC là tứ giác nội tiếp như sau :

Do đó A EHI œ A ECB (c.g.c), suy ra H; = Cụ «

Tứ giác BHIC có C bằng góc ngoài H, nén 1a /™~\

*) Trong một số bài toán, ta cần chứng minh nhiều điểm, chẳng hạn năm

điểm, thuộc cùng một đường tròn Thường có hai cách sau :

- Chứng minh tồn tại một điểm cách đều năm điểm nói trên

— Chứng minh bốn điểm thuộc cùng một đường tròn, rồi chứng minh điểm thứ

năm cũng thuộc đường tròn đi qua ba trong bốn điểm đó

Ví dụ 4.3 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD Gọi M là điểm đối xứng

với D qua AB, gọi N là điểm đối xứng với D qua AC Gọi F, E theo thứ tự là giao

điểm của MN với AB, AC Chứng minh rằng :

a) Năm điểm A, F, D, C, N thuộc cùng một đường tròn

b) Các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy

Giải (h 3.25)

a) Vì D đối xứng với N qua AC nên

ADC = ANC Ta lại có ADC = 90° nên

ANC =90° Tứ giác ADCN có ADC + ANC M

= 907 + 907 = 180” nên nó là tứ giác nội tiếp

D đối xứng với M qua ABnenD, = M,

Cũng do tính đối xứng nên AM = AD, AN = AD, suy ra AM = AN, do đó

M¿¡ ZN¡ Suy ra Dị = Nị Tứ giác AFDN có Dị =N¡ nên nó là tứ giác nội tiếp

b) Xét đường tròn đi qua năm điểm A, F, D, CN ta có AFC = ADC (hai

góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Do ADC = 90° nén AFC = 90°

Nhu vay CF L AB Tương tự BE L AC

Ta có AD, BE, CF là các đường cao của A ABC nên chúng đồng quy

LUU Ý

Nhờ chứng minh bốn điểm A, F, D, C thuộc cùng một đường

tròn, ta chứng mình được CF | AB, BE L AC Tứ giác nội tiếp

đã giúp ta tìm ra các đường thẳng vuông góc Ta sẽ khai thác

thêm ví dụ 4.2 trong ví dụ dưới đây

Ví dụ 4.4 Cho hình thang ABCD có A = D = 90° Gọi E là trung điểm của

AD Kẻ AH vuông góc với BE, DI vuông góc với CE Gọi K là giao điểm của AH

và DI Chứng minh rằng EK vuông góc với BC

Gidi (h 3.26) A B

- Gọi F là giao điểm của EK và BC, ta sẽ

Ở ví dụ 4.2, ta đã chứng minh BHIC là tứ E

giác nội tiếp và EHI = BCI (1)

Ta lại có EHKI là tứ giác nội tiếp (vì H+I D Cc

= 90° + 90° = 180°), nén EHI = EKI (2) Hinh 3.26

_ Từ (1) và (2) suy ra BCI = EK] Tứ giác CIKF có góc C bằng góc ngoài EKI nên là tứ giác nội tIẾP, suy ra CIK + CFK = 180° Ta đã có CIK = : 907 nên

CFK = 90° Vay EK 1 BC

Vi du 4.5 Tứ giác ABCD có B= 707, D= 1109 Goi H, I, K theo thứ tự là

chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng AB, AC, BC Chứng minh

rằng ba điểm H, I, K thẳng hàng

Giải (h 3.27)

Ta sẽ chứng minh DIH + DIK = 180°

Tứ giác AHDI có AHD + AID = 90° + 90° =

180° nên là tứ giác nội tiếp, suy ra DIH = DAH

(hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Tứ giác DIKC có DIC = DKC = 90° nên là

tứ giác nội tiếp, suy ra DIK = 180°—DCK

Hình 3.27

Suy ra DIH + DIK = DAH +180°-DCK (1)

Tứ giác ABCD có B+ D = 70° + 110° = 180° nên là tứ giác nội tiếp, suy ra

Từ (1) và (2) suy ra DIH + DIK = 180°, do đó ba điểm H, l, K thẳng hàng

LƯU Ý

Tổng quát, ta chứng minh được : Chân các đường vuông góc kẻ

từ một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác đến ba cạnh của tam giác ấy nằm trên một đường thẳng Đường thẳng

này gọi là đường thắng Xim-xơn của tam giác (Robert Simson,

1687 - 1768, nhà toán học Xcốt-len).

BAI TAP LUYEN THEM -

4.1 Cho hai đường tròn (I), (K) tiếp xúc ngoài với nhau Các đường tròn này tiếp

xúc trong đường tròn (O) theo thứ tự tại E và F Dây BC của đường tròn (O)

tiếp xúc với các đường tròn (J), (K) theo thứ tự tại N, M Gọi D là điểm chính

giữa của cung BC (D khác phía với E, F đối với BC) Chứng minh rằng :

a) D, N, E thang hang ; D, M, F thang hang ;

b) EEMN là tứ giác nội tiếp

4.2 Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Chứng

minh rằng :

a) BDHF, CDHE, BCEF là các tứ giác nội tiếp ;

b) DH là tia phân giác của góc EDF

4.3, Cho nửa đường tròn đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By cùng phía

với nửa đường tròn đối với AB Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn, C là

một điểm thuộc AB Đường vuông góc với CM tại M cắt Ax, By theo thứ tự tại

E, F Chứng minh rằng :

a) MDAC, MEBC là các tứ giác nội tiếp ;

b) DCE = 90°

4.4 Cho tam giác ABC (AB < AC) Gọi I 14 giao điểm các đường phân giác của

tam giác Gọi D, E, F theo thứ tự là tâm các đường tròn bàng tiếp trong các

góc A, B, C của tam giác ABC

a) Chứng minh rằng BICD là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rằng BCEF là tứ giác nội tiếp

c) Gọi M là trung điểm của EF Chứng minh rằng điểm M nằm trên đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC

4.5 Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC

với đường tròn Gọi I là giao điểm của OA và BC Kẻ dây DE của đường tròn

(O) đi qua điểm I Chứng minh rằng :

a) ADOE là tứ giác nội tiếp ;

b) BAD = CAE

4.6.Cho dudng tron (O), đường kính AB vuông góc với dây CD tại H Gọi I là

điểm đối xứng với H qua D Gọi K là trung điểm của HD Vẽ dây EF đi qua

K Chứng minh rằng bốn điểm E, H, F, I thuộc cùng một đường tròn.

4.7.Cho tam giaéc ABC can tại A Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB tại B và

tiếp xúc với AC tại C Gọi I là một điểm thuộc cạnh BC (IB > IC) Đường vuông góc với OI tại I cắt AB, AC theo thứ tự tại D, E Chứng minh rằng :

a) OD = OE;

b) BD = CE

4.8 Cho tam giác đều ABC, điểm M thuộc miền trong góc A va nằm ngoài tam

giác ABC

a) Vẽ tam giác đều BMD (C và D nằm cùng phía đối với BM) Chứng minh

rằng MC = DA

b) Chứng minh MB + MC > MA

c) Chứng minh MB + MC = MA khi và chỉ khi ABMC là tứ giác nội tiếp

4.9.Cho tứ giác ABCD Các đường thắng AB và CD cắt nhau ở M, các đường

thẳng AD và BC cất nhau ở N Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp

bốn tam giác MBC, MAD, NAB, NCD cùng đi qua một điểm

4.10 Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF Kẻ DG vuông góc với

AB, DH vuông góc với AC Kẻ EM vuông góc với AB, EK vuông góc với BC

Kẻ FN vuông góc với AC, FI vuông góc với BC Chứng minh rằng :

a) MN // BC, GI // AC, HK // AB;

b) BGHC là tứ giác nội tiếp ; c) GMNH là tứ giác nội tIếp ;

d) GIKH là tứ giác nội tiếp ;

e) Sáu điểm G, M, N, H, K, I thuộc cùng một đường tròn.

IV TỨ GIÁC NỘI TIẾP

4.1 (h 5.111) a) Cac tam giác cân EIN và EOD

có góc ở đỉnh bằng nhau EIN = EOD nên các góc ở đáy bằng nhau IEN = OED, do

đó E, N, D thẳng hàng Tương tự F, M, D thẳng hàng

sđCD + sdBE

b) DNM = 2

DEE = sdBD : sdBE

Ta lại có CD = BD nén DNM = DFE Do đó EEMN là tứ giác nội tiếp.

4.2 (h 5.112) a) Bạn đọc tự giải A

ôi = Bide -G,

Bi = Cidé suy ra

4.3 (h 5.113) a) Ban doc tu giai Hinh 5.112

b) Hay chimg minh MDC = MAC, *

MDC + MEC = 90°

4.4, (h 5.114) a) Tứ giác BICD có IBD = M y

tròn đường kính ID

b) Tứ giác BCEF có FBE = 90%, A ở B

FCE = 90” nên nội tiếp đường tròn Hình 5.113 đường kính EF

c) Ta sẽ chứng minh

Ta có ABC = 2BI, mà Bị = F

(do BCEF là tứ giác nội tiếp) nên

Tam giác FCE vuông có CM là

đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AMCF cân tại M, suy ra

AMC = 180° — 2F; (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABC + AMC =

180” Do đó M thuộc đường tròn

ngoại tiếp AABC

4.5 (h 5.115) a) Tam giác ABC cân tại A,

AO là tia phân giác của góc A nên

AO 1 BC và IB =]C

Hình 5.115

Tam giác ABO vuông tại B, BI là đường cao nên

Theo hệ thức giữa các đoạn cát tuyến trong đường tròn (O) :

Từ (1) và (2) suy ra IA.IO = ID.IE

Từ hệ thức trên, dễ dàng chứng minh được ADOE là tứ giác nội tiếp

b) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác A

= OAD = OAE

Ta lại có

OAB = OAC nén BAD = CAE C D I

4.6 (h 5.116) Dat HK = KD =a thi KI = 3a, 2a

KC = 3a Ta c6 KH.KI = a.3a = 3a’ (1)

KE.KF = KC.KD = 3a.a = 3a (2) BF

Hinh 5.116

Tw (1) va (2) suy ra KH.KI = KE.KF A

Từ đó chứng minh được EHFI là tứ giác

nỘI tiếp

4.7 (đh 5.117) a) OIDB là tứ giác nội tiếp

nên Dị = Bi

OICE 1a tit gidc noi tiép nen E; = Cy

Tam giác OBC cân tại O nên Bị =Ci

Suy ra Dị = Êi, do dé OD = OF

b) AOBD = AOCE (cạnh huyền — cạnh

góc vuông) => BD = CE

4.8 (h 5.118) a) ACBM = AABD (c.g.c)

b) MB + MC = MD + DA > MA

c) MB + MC = MA

© MD+DA=MA

<> ADB + BDM = 180°

<> ABMC là tứ giác nội tiếp Hình 5.118

4.9 (h 5.119) Gọi E là giao điểm khác B của

các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC

NAB Ta sẽ chứng minh các đường tròn

ngoại tiếp tam giác MAD, NCD cũng đi

qua E

Ta có AEM + D = AEB + BEM + =

ANB +BCD+D = 180° (tổng các góc

của ANCD)

Suy ra MEAD là tứ giác nội tiếp, tức là đường tròn ngoại tiếp AMAD đi qua E

Tương tự, đường tròn ngoại tiếp ANCD

đi qua E

4.10 (h 5.120) a) Ñị = MFE (MNEE là tứ giác nội tiếp) A

ACB = MFE (FECB là tứ giác nội tiếp)

Suy ra Ñ¡ = ACB, do đó MN // BC

Tương tự, GI // AC, HK // AB

b) Gi = Di(AGDH là tứ giác nội tiếp)

Cc = Dị (cùng phụ với CAD) Suy ra

G¡ = €, do đó BGHC là tứ giác nội tiếp

~

c) MN // BC (cau a) > Ñị =C Hinh 5.120

Ma Gi = C (câu b) nên Ñ¡ = Ổi Do đó GMNH là tứ giác nội tiếp

d) HK // AB (cau a) => Hị = BAC

BGHC là tứ giác nội tiếp (câu b) => Hạ = ABC

Suy ra GHK = 180°~ (ñ + Hạ) = 180°— (BAC + ABC) = ACB (1)

Ta lại có GI// AC (câu a) > Ïị = ACB (2)

Từ (1) và (2) suy ra GHK = I , do dé GIKH là tứ giác nội tiếp

e) Ở câu c, ta có GMNH là tứ giác nội tiếp (3)

Tương tự ta có NHKI là tứ giác nội tiếp (4)

Ở câu d, ta có GIKH là tứ giác nội tiếp (5)

Từ (4) và (5), N và G thuộc đường tron di qua H, I, K, tic 14 nam diém N, G,

H, I, K thuộc cùng một đường tròn

Do (1) nên M nằm trên đường tròn đi qua N, G, H Vậy sáu điểm M, N, G, H,

L, K thuộc cùng một đường tròn.