Đang tải... (xem toàn văn)
Hoàn toàn tương tự ta có kết luận :Một số có tổng của 4 lần chữ số hàng trăm với hai lần chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị chia hết cho 8 thì chia hết cho 8... THCS QU¶NG S¥N.[r]
(1)THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp Chuyên đề D·y Sè viÕt theo qui luËt - D·y c¸c ph©n sè viÕt theo qui luËt A- Kiến thức cần nắm vững: I Dãy số viết theo qui luật: 1) Dãy cộng 1.1) Xét các dãy số sau: a) Dãy số tự nhiên: 0; 1; 2; 3; 4; (1) b) Dãy số lẻ: 1; 3; 5; 7; (2) c) Dãy các số chẵn: 0; 2; 4; 6; (3) d) Dãy các số tự nhiên lớn chia cho dư 1: 4; 7; 10; 13; (4) Trong dãy số trên, số hạng kể từ số hạng thứ 2, lớn số hạng đứng liền trước nó cùng số đơn vị: +) Số đơn vị là dãy (1) +) Số đơn vị là dãy (1) và (2) +) Số đơn vị là dãy (4) Khi đó ta gọi dãy các trên là "dãy cộng" 1.2) Công thức tính số hạng thứ n dãy cộng (khi biết n và d) - Xét dãy cộng a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , , an đó a2 a1 d Ta có: a3 a1 2d ; a4 a1 3d ; Tổng quát: an a1 (n 1)d (I) Trong đó : n gọi là số số hạng dãy cộng d hiệu hai số hạng liên tiếp Từ (I) ta có: n an a1 1 d (II) Công thức (II) giúp ta tính số số hạng dãy cộng biết : Số hạng đầu a1 , số hạng cuối an và hiệu d hai số hạng liên tiếp 1.3) Để tính tổng S các số hạng dãy cộng: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , , an Ta viết: S a1 a2 an 1 an S an an 1 a2 a1 Nên 2S (a1 an ) (a2 an 1 ) (an 1 a2 ) (an a1 ) (a1 an )n Do đó: S (a1 an ) (III) Chú ý: Trường hợp đặc biệt tổng n số tự nhiên liên tiếp bắt đàu từ là S 1 n n(n 1) B- BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm chữ số thứ 1000 viét liên tiếp liền các số hạng dãy số lẻ 1; 3; 5; 7; Bài 2: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số GV: MAI QuèC PH¦îNG -1Lop7.net (2) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp c) Tính: S 2n với (n N ) d) Tính: S 2n với (n N * ) Bài 3: Có số hạng nào dãy sau tận cùng hay không? 1;1 2;1 3;1 4; Hướng dẫn: Số hạng thứ n dãy bằng: n(n 1) NÕu sè h¹ng thø n cña d·y cã ch÷ sè tËn cïng b»ng th× n(n + 1) tËn cïng b»ng §iÒu nµy v« lÝ v× n(n + 1) chØ tËn cïng b»ng 0, hoÆc 2, hoÆc Bài 4: a) Viết liên tiếp các số hạng dãy số tự nhiên từ đến 100 tạo thành số A Tính tổng các chữ số A b) Cũng hỏi trên viết từ đến 1000000 Hướng dẫn: a) ta bổ sung thêm chữ số vào vị trí đầu tiên dãy số (không làm thay đổi kết quả) Tạm chưa xét số 100 Từ đến 99 có 100 số, ghép thành 50 cặp: và 99; và 98; và 97;… cặp có tổng các chữ số 18 Tổng các chữ số 50 cặp bằng: 18.50 = 900 Thêm số 100 có tổng các chữ số ĐS: 901 b) Tương tự: ĐS: 27000001 S1 2, S 5, Bài 5: Cho S3 9, S 10 11 12 13 14, Tính S100 ? Hướng dẫn: Số số hạng S1, , S99 theo thứ tự 2; 3; 4; 5; …100 ĐS: S100 = 515100 Bài 6: Khi phân tích thừa số nguyên tố, số 100! chứa thừa số nguyên tố với số mũ băng bao nhiêu? Bài 7: Tính số hạng thứ 50 các dãy sau: a) 1.6; 2.7; 3.8; b) 1.4; 4.7; 7.10; Bài 8: Cho A 32 33 320 ; B 321 : Tính B A Bài 9: Tính các tổng sau: a ) A 22 23 22007 b) B 22 23 2n c) C 22 24 22008 d ) D 22 24 22 n e) E 23 25 22007 f ) F 23 25 22 n 1 Bài 10: Tổng quát bài Tính : a) S a a a a n , với ( a 2, n N ) GV: MAI QuèC PH¦îNG -2Lop7.net (3) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp b) S1 a a a a n , với ( a 2, n N ) c) S2 a a a a n 1 , với ( a 2, n N * ) Bìa 11: Cho A 42 43 499 , B 4100 Chứng minh rằng: A B Bài 12: Tính giá trị biểu thức: a ) A 99 999 999 50 ch÷ sè b) B 99 999 999 200 ch÷ sè (NCPTT6T1) SUY NGHĨ TRÊN MỖI BÀI TOÁN Giải hàng trăm bài toán mà cốt tìm đáp số và dừng lại đó thì kiến thức thu lượm chẳng là bao Còn giải ít bài tập mà lại luôn suy nghĩ trên bài đó, tìm thêm cách giải, khai thác thêm ý bài toán, đó là đường tốt để lên học toán Dưới đây là thí dụ Bài toán : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và B = A.3 Tính giá trị B Lời giải : Theo đề bài ta có : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990 Trước hết, ta nghĩ rằng, bài toán yêu cầu tính tổng A, ta có : A = B/3 = 330 Bây giờ, ta tạm thời quên đáp số 990 mà chú ý tới tích cuối cùng 9.10.11, đó 9.10 là số hạng cuối cùng A và 11 là số tự nhiên kề sau 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp Ta dễ dàng nghĩ tới kết sau : Nếu A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + (n - 1).n thì giá trị B = A.3 = (n - 1).n.(n + 1) Các bạn có thể tự kiểm nghiệm kết này cách giải tương tự trên Bây ta tìm lời giải khác cho bài toán Lời giải : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = (0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = (1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2).3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 Ta chưa biết cách tính tổng bình phương các số lẻ liên tiếp 1, liên hệ với lời giải 1, ta có : (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay (12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6 Hoàn toàn hợp lí ta nghĩ đến bài toán tổng quát : Bài toán : Tính tổng : P = 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n + 1)2 Kết : P = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 Kết này có thể chứng minh theo cách khác, ta xem xét sau Loạt bài toán sau là kết liên quan đến bài toán và bài toán GV: MAI QuèC PH¦îNG -3Lop7.net (4) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp Bài toán : Tính tổng : Q = 112 + 132 + 152 + … + (2n + 1)2 Bài toán : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và C = A + 10.11 Tính giá trị C Theo cách tính A bài toán 1, ta kết là : C = 10.11.12/3 Theo lời giải bài toán 1, ta đến kết : C = 2.(22 + 42 + 62 + 82 + 102) Tình cờ, ta lại có kết bài toán tổng quát : tính tổng bình phương các số tự nhiên chẵn liên tiếp, Bài toán : Chứng minh : 22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6 Từ đây, ta tiếp tục đề xuất và giải các bài toán khác Bài toán : Tính tổng : 202 + 222 + … + 482 + 502 Bài toán : Cho n thuộc N* Tính tổng : n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + … + (n + 100)2 Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ ; áp dụng kết bài toán 2, bài toán và cách giải bài toán Bài toán có kết nhất, không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ n Bài toán : Chứng minh : 12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 Lời giải : Xét trường hợp n chẵn : 12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52 + … + (n – 1)2) + (22 + 42 + 62 + … + n2) = [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6 = n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6 Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có đpcm Lời giải : Ta có : 13 = 13 23 = (1 + 1)3 = 13 + 3.12.1 + 3.1.12 + 13 33 = (2 + )3 = 23 + 3.22.1 + 3.2.12 + 13 ……… (n + 1)3 = n3 + 3.n2.1 + 3.n.12 + 13 Cộng vế các đẳng thức trên : 13 + 23 + 33 + … + n3 + (n + 1)3 = = (13 + 23 + 33 + … + n3) + 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + + + … + n) + (n + 1) => (n + 1)3 = 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + + + … + n) + (n + 1) => 3(12 + 22 + 32 + … + n2) = (n + 1)3 – 3(1 + + + … + n) – (n + 1) = (n + 1)2.(n + 1) – 3.n.(n + 1)/2 – (n + 1) = (n + 1)[2(n + 1)2 – 3n + 2]/2 = (n + 1).n.(2n + 1)/2 => 12 + 22 + 32 + … + n2 = (n + 1).n.(2n + 1)/6 Bài toán : Tính giá trị biểu thức : A = - 12 + 22 – 32 + 42 - … - 192 + 202 Lời giải : Đương nhiên, ta có thể tách A = (22 + 42 + … + 202) – (12 + 32 + …+ 192) ; tính tổng các số ngoặc đơn tìm kết bài toán Song ta còn có cách giải khác sau : A = (22 -12) + (42 – 32) + … + (202 -192) = (2 + 1)(2 – 1) + (4 + 3)(4 – 3) + … + (20 + 19)(20 – 19) = + + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35 + 39 = (3 + 39).10/2 = 210 Trở lại bài toán Phải bài toán cho B = A.3 vì là số tự nhiên liền sau nhóm đầu tiên : 1.2 Nếu đúng thì ta có thể giải bài toán sau : GV: MAI QuèC PH¦îNG -4Lop7.net (5) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp Bài toán 10 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 Lời giải : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4/4 = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)] : = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) : = 8.9.10.11/4 = 1980 Tiếp tục hướng suy nghĩ trên, ta có kết tổng quát bài toán 10 : Bài toán 11 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1) Đáp số : A = (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 <DD.BàI Các bạn thấy ! Chỉ với bài toán 1, chịu khó tìm tòi, suy nghĩ, ta có thể tìm nhiều cách giải, đề xuất bài toán thú vị, thiết lập mối liên hệ các bài toán Kết tất yếu quá trình tìm tòi suy nghĩ trên bài toán, đó là làm tăng lực giải toán các bạn Chắc chắn còn nhiều điều thú vị xung quanh bài toán Các bạn hãy cùng tiếp tục suy nghĩ nhé II- Dãy các phân số viết theo qui luật: * Các công thức cần nhớ đến giải các bài toán dãy các phân số viết theo qui luật: 1 n(n 1) n n k 1 k 2) n(n 1) n n 1 1 1 3) n( n k ) k n n k k 1 4) n( n k ) n n k 1 1 1 5) 2n(2n 2) 4n(n 1) 2n 2n n n 1 1 6) (2n 1)(2n 3) 2n 2n 1 2 7) n.(n 1) n (n 1).n (Trong đó: n, k N , n ) 1) TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG Chúng ta cùng bài toán tính tổng quen thuộc sau : Bài toán A : Tính tổng : GV: MAI QuèC PH¦îNG -5Lop7.net (6) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp Lời giải : Vì = ; = ; ; 43 44 = 1892 ; 44 45 = 1980 ta có bài toán khó chút xíu Bài : Tính tổng : Và tất nhiên ta nghĩ đến bài toán ngược Bài : Tìm x thuộc N biết : Hơn ta có : ta có bài toán Bài : Chứng minh : Do vậy, cho ta bài toán “tưởng khó” Bài : Chứng tỏ tổng : không phải là số nguyên Chúng ta nhận a1 ; a2 ; ; a44 là các số tự nhiên lớn và khác thì Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau : Bài : Tìm các số tự nhiên khác a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 cho Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán sau : Bài : Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ; a44 thỏa mãn Chứng minh rằng, 44 số này, tồn hai số Bài : Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45 thỏa mãn a1 < a2 a3 < < a44 < a45 và GV: MAI QuèC PH¦îNG -6Lop7.net (7) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp Các bạn còn phát điều gì thú vị ? Bài toán 2: Tính nhanh: 1 1 1 3 3 3 1 1 1 b) B 2007 2008 3 3 3 1 1 1 c) C n 1 n ; n N 3 3 3 a) A Bài toán 3: (Bài toán tổng quát bài toán 2) a Tính nhanh: S 1 1 n 1 n ; ( n N ; a 0) a a a a a Bài toán 3: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên các dãy sau: a) 1 1 ; ; ; ; 1.2 2.3 3.4 4.5 b) ; 1 ; ; , 66 176 336 Hướng dẫn: b) Ta thấy = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,… Do đó số hạng thứ n dãy có dạng (5n – 4)(5n + 1) Bài toán 4: Tính tổng: 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 1 1 b) S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2006.2007.2008 1 1 ; (n N ) c) S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.(n 1).(n 2) a) S Bài toán 5: Tính giá trị biểu thức: 1 1 1 97 99 a) A 1 1 1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 1 1 99 100 b) B 99 98 97 99 Hướng dẫn: a) Biến đổi số bị chia: (1 1 1 1 100 100 100 100 ) ( ) ( ) ( ) 99 97 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51 Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50 GV: MAI QuèC PH¦îNG -7Lop7.net (8) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp 100 100 100 100 99 99 100 100 100 100 99 b) Biến đổi số chia: 99 99 1 1 1 1 100 100 99 100 99 99 100 2 2 Biểu thức này 100 lần số bị chia Vậy B 100 Bài toán 6: Tìm tích 98 số hạng đầu tiên dãy: 1 1 1 ; ; ; ; ; 15 24 35 Hướng dẫn: các số hạng đầu tiên dãy viết dạng: 16 25 36 ; ; ; ; ; 15 24 35 22 32 52 62 ; ; ; ; Hay 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 ; 992 98.100 22 32 42 52 62 992 99 Ta cần tính: A 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50 Do đó số hạng thứ 98 có dạng Chương : HỆ THỐNG GHI SỐ THẬP PHÂN Hệ thống thập phân : n n-1 Số anan-1 a1a0 = an 10 + an-1.10 a1.10 + a0 Ví dụ : Số 99 + = 10n (gồm n số ) Nếu đặt a = 11 ( gồm n số 1) thì 10n = 9a + Ví dụ 1: Tìm số nguyên lớn gấp lần chữ số hàng đơn vị nó GV: MAI QuèC PH¦îNG -8Lop7.net (9) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp - Số cần tìm 7.9 = 63 nên nó là số có hai chữ số - Gọi số cần tìm là ab ta : 10a + b = 7b 10a = 6b a/b = 3/5 Được số cần tìm là 35 Nếu a/b = 2/3 thì số cần tìm là 23; 46; 69 Ví dụ : Tìm giá trị lớn có thể tỷ số số có ba chữ số và tổng các chữ số nó HD : Lập tỷ số : (100a + 10b + c)/(a + b + c ) = 100 - (90b + 9c )/(a + b + c ) 100 Dấu “=” xẩy b = c = Luỹ thừa : Một số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, thì luỹ thừa bậc n số ngày có chữ số tận cùng là 0, 1, , 2002 9 Ví dụ : Tìm chữ số tận cùng ; (9 ) 2002 1001 Có : = 16 nên có chữ số tận cùng là 9 81 80 40 (9 ) = = 9 = 81 Do 8140 có tận cùng là nên (99)9 có tận cùng là Ví dụ : Tìm chữ số tận cùng tổng :S = 13 + 23 + + 993 HD: - Tìm chữ số tận cùng 03 + 13 + 23 + + 93 - Các số 03 +13 + 23 + + 93 ; 103 +113 + 123 + + 193; 903 +913 + 923 + + 993 có chữ số tận cùng giống Suy chữ số tận cùng tổng S Tính đóng các tập số : a Tập số N với tính chất đóng các phép tính cộng, nhân b Tập Z với tính chất đóng phép tính cộng , trừ , nhân c Tập Q với các phép tính cộng, trừ, nhân, chia Ví dụ : Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d có giá trị nguyên với giá trị nguyên x Chứng minh 6a ; 2b ; a+b+c ; d là các số nguyên Đề HSG QN-ĐN 93-94 HD : - Có P(0) là số nguyên nên d là số nguyên - Có : P(1) = + a + b + c + d a+b+c = P(1) - d - Do P(1) , d là các số nguyên nên a + b + c nguyên - Có : P(-1) = - a + b - c + d nên P(1) + P(-1) = 2b + 2d + 2b = P(1) + P(-1) - 2d - 2b là số nguyên - Có : P(1) - P(-1) = 2a + 2c là số nguyên P(2) = 16 + 8a + 4b + 2c + d 6a = P(2) - (2a + 2c) - 4b - d - 16 Do (2a + 2c) ; 4b ; d ; 16 là các số nguyên nên 6a là số nguyên Ví dụ : Chương I : PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ GV: MAI QuèC PH¦îNG -9Lop7.net (10) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp I Định nghĩa : II Các phương pháp chứng minh chia hết : Dựa vào định nghĩa A(n) : m A(n) = m.B(n) Từ định nghĩa trên ta có các tính chất : a A(n) : m và B(n) : m A(n) B(n) : m A(n) B(n) : m và B(n) : m thì A(n) : m A(n) : m và B(n) m A(n) B(n): m A(n) : m1 và B(n) : m2 A(n).B(n) : m1.m2 b an - bn : a-b với n ; an + bn : a+b với n lẻ Ví dụ :Chứng minh các tính chất sau : - Tổng, hiệu hai số cùng chẳn cùng lẻ là số chẳn - Tổng , hiệu số chẳn với số lẻ là số lẻ - Tích hai số chẵn là số chẵn ( chia hết cho ) - Tích số chẵn với số lẻ là số lẻ Tích hai số lẻ là số lẻ Việc chứng minh các tính chất trên khá đơn giản nêu phép chứng minh tính chất cuối : a, b là hai số lẻ nên a = 2k +1 ; b = 2m + a.b = (2k+1)(2m+1) = 4km+2k +2m + = 2(2km+k+m) + = 2q + là số lẻ đây ta đã ngầm sử dụng tính đóng phép nhân, cộng để 2km+k+m là số nguyên Ví dụ :Tìm dấu hiệu chia hết cho 4, : a Tìm dấu hiệu chia hết cho : anan-1 a2a1a0 = anan-1 a2.100 + a1a0 Do 100 : nên anan-1 a2.100 :4 Được anan-1 a2a1a0 : a1a0 : Kết luận : Một số có hai chữ số tận cùng tạo thành số có hai chữ số chia hết cho thì chia hết cho Do a1a0 = 10a1 + a0 = 8a1 + 2a1 + a0 nên : a1a0 : 2a1 + a0 : Ta có kết luận gần : Một số có tổng chữ số hàng đơn vị với hai lần chữ số hàng chục chia hết cho thì chia hết cho Hoàn toàn tương tự ta có kết luận :Một số có tổng lần chữ số hàng trăm với hai lần chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị chia hết cho thì chia hết cho Ví dụ : 251 chia hết cho 51 17 17 16 15 Có : - =( ) - = -1 = (8- 1)(8 + + + 1) : Bài tập1 : Chứng minh : 70 70 a + chia hết cho 13 19 17 b 17 + 19 chia hết cho 18 63 c 36 - chia hết cho không chia hết cho 37 HDẫn : 70 70 35 35 35 35 a + = ( ) + (3 ) = + chia hết cho + hay chia hết cho 13 GV: MAI QuèC PH¦îNG - 10 Lop7.net (11) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp b c 1719 + 1917 3663 - chia hết cho 35 nên chia hết cho 3663 - = 3663 + - Do 3663 + chia hết cho 37 nên 3663 - không chia hết cho 37 Bài tập : Tồn hay không đa thức P(x) với hệ số nguyên thoả mãn điều kiện P(1) = 1993 ; P(12) = 1998 Đề HSG QN-ĐN 93-94 HDẫn : Giả sử tồn đa thức P(x) = anxn + an-1x-1 + + a1x + a0 Xét P(12) - P(1) = an ( 12n - 1) + an-1(12 n-1 -1)+ + a1(12-1) Ta thấy vế phải chia hết cho 11 vế trái không chia hết cho 11 nên không tồn đa thức P(x) với hệ số nguyên thoả P(1) = 1993 ; P(12) = 1998 Bài tập : Tìm các chữ sốthích hợp x, y, z để A = x54y199z chia hết cho 330 - Có 330 = 11.10 = 11.2.5 - Lèn lược dùng các dÍu hiệu chia hết : - A chia hết nên z = { 0, 5} - A chia hết cho nên z = - A chia hết cho 11 nên + + y + = + + + x Đồng dư thức và áp dụng đồng dư thức chứng minh chia hết : Định nghĩa : hai sốa,b có cùng sốdư chia cho m ta nời a đong dư với b theo môđun m và viết a b (mod m) Ví dụ : chia dư 12 chia dư Ta nói đồng dư 12 theo môđun và viết 712 (mod 5) Ta có mit sốtính chÍt sau: ab (mod m) a - b chia hết cho m ab (mod m) thì a = b + mt aa (mod m) ; ab (mod m) và bc (mod m) thì ac (mod m) ab (mod m) và cd (mod m) thì : a + c b + d (mod m) Suy : a + e b + e (mod m) a.k b.k ( mod m) ab (mod m) và cd (mod m) thì : a b c d (mod m) an bn (mod m) Bài tập áp dụng đong dư thức : Ví dụ : Tìm sốdư chia : a 32000 cho b 9294 cho 15 H.D : a Có 32 ( mod 7) suy 36 (mod 7) GV: MAI QuèC PH¦îNG - 11 Lop7.net (12) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp (36 )666 (mod 7) 32 (mod 7) nên 32000 (mod 7) hay 32000 chia dư b Có 92 ( mod 15) 24 ( mod 15) nên 924 (mod 15) 9292 (mod 15) Bài : Chứng minh : a 19911997 - 19971996 chia hết cho 10 b 29 + 299 chia hết cho 100 c 2 + chia hết cho 11 với mụi n d nn-1 + nn-2 + + n2 + chia hết cho n - HD: a 1991 (mod 10) nên 19911997 (mod 10 1997 - ( mod 10) 19972 - ( mod 10) 19971996 (mod 10) Suy đpcm b - Dễ dàng cm tông trên chia hết cho Xét 2(29 + 299) đong dư thức mod 25 c Xét 24n + trước Xét điong dư thức với môđun 24n + chia dư A(n) = 25q + xét đong dư thức với môđun 11 d Có n ( mod n -1) Tổng trên có n - sốhạng Suy đpcm Phương pháp xét số dư Tính chất : Khi chia số nguyên a cho số nguyên m > thì số dư là m số từ đến m -1 Số nguyên a chia cho m dư m -1 thì có thể xem là a chia m dư -1 Vì để chứng minh A(n) : m có thể xét các trường hợp số dư là 0; 1; m /2 Trong trường hợp trên A(n) : m thì a(n) : m với n Ví dụ : Chứng minh : A(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4) : với n n = 5k ( n chia hết cho ) : A(n) : A(n) chưa thừa số (n) : n = 5k : Có n2 + = 25k2 10 k + = 5( 5k2 2k +1) : nên A(n) : n = 5k : Có n2 + = 25k2 10 k + = 5( 5k2 2k +1) : nên A(n) : Trong trường số dư chia n cho , A(n) chia hết cho nên A(n) : với n Ví dụ : Chứng minh tích n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho n A(n) = a(a+1)(a+2) .(a+ n-1) : n Xét các trường hợp số dư chia a cho n : a = nk A(n) : n a= nk + : Có a + n-1 = nk + + n-1 = n(k+1) : n nên A(n) : n a = nk + q (0 q n-1) có a + n -q =nk + q + n - q = n(k+1) : n Vậy A(n) chia hết cho n Thông thường để chứng minh A(n) : p ta thường xét số dư chia n cho n 1 GV: MAI QuèC PH¦îNG - 12 Lop7.net (13) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp p Tuy nhiên với số bài toán với số p lớn không thiết phải xét số dư chia n cho p vì lúc này phải xét khá nhiều trường hợp , lúc này ta có thể chọn số nhỏ để xét Ví dụ 3: Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho A(n) = n(n+1)(n+2)(n+3) Xét số dư chia n cho : - Với n = 2k có A(n) = 2k(2k+1)(2k+2)(2k+3) = 4k(k+1)(2k+1)(2k+3) Do k(k+1) : nên A(n) : - Với n = 2k+1 có A(n) = (2k+1)(2k+2)(2k+3)(2k+4) = 4(k+1)(k+2)(2k+1)(2k+3) Do (k+1)(k+2) : nên A(n):8 Vậy A(n) chia hết cho với n Bài tập 1: Chứng minh ab(a2-b2) chia hết cho với số nguyên a,b HD: Xét các trường hợp a,b chia cho : - Có ít số chia hết cho : Lúc đó tích a.b : nên ab(a2-b2) chia hết cho - Không có số nào chia hết cho : Đặt a = 3k ; b = 3q Lúc đó : a2 - b2 = 9k2 6k + -(9q2 6q + 1) = 3(3k2 - 3q2 2k 2q) : Vậy ab(a2-b2) chia hết cho với số nguyên a,b Bài tập : Chứng minh : a a2 + b2 chia hết cho thì số a, b chia hết cho b a2 + b2 chia hết cho thì số a, b chia hết cho c a2 - b2 chia hết cho thì số a, b chia hết cho hai số không chia hết cho d a4 + b4 chia hết cho thì số a, b chia hết cho HDẫn : a Xét số dư số a2 chia cho : a = 3k a2 = 9k2 a = 3k a2 = 9k2 6k + Suy a2 chia cho có số dư là Tương tự b2 chia cho có số dư là a2 + b2 chia hết cho tổng số dư hai số chia hết cho Điều này xảy a2 chia dư và b2 chia dư Tức a chia hết cho và b chia hết cho b Xét số dư số a2 chia cho : a = 7k a2 = 49k2 a = 7k a2 = 49k2 14k + a = 7k a2 = 49k2 28k + a = 7k a2 = 49k2 42k + Số dư chia a2 cho là 0, 1, 4, GV: MAI QuèC PH¦îNG - 13 Lop7.net (14) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp Tương tự b2 chia cho là 0, 1, 4, a2 + b2 chia hết cho tổng số dư hai số chia hết cho Điều này xảy a2 chia dư và b2 chia dư Tức a chia hết cho và chia hết cho c d Bài tập 4: Tìm điều kiện x,y để có ít hai số x2 - 2xy + 2y2 , x2 + 2xy + 2y2 chia hết cho HD: Do là số nguyên tố nên việc có ít hai số x2 - 2xy + 2y2 , x2 + 2xy + 2y2 chia hết cho tích chúng chia hết cho (x2 - 2xy + 2y2 )( x2 + 2xy + 2y2 ) = x4 + 4y4 + 4x2y2 - 4x2y2 = x4 + 4y4 = x4 - y4 + 5y4 Tích trên chia hết cho x4 - y4 chia hết cho Xét số dư chia a4 cho : a = 5k a2 = 25 k2 a = 5k a2 = 25 k2 10 k + a = 5k a2 = 25 k2 20 k + = 25 k2 20 k + - a2 chia có số dư là 0, 1, -1 nên a4 chia có số dư là 0, áp dụng định lý Fermat (Phecma) Với p là số nguyên tố thì np - n chia hết cho p với n Phát biểu dạng đồng dư thức : ap = a ( mod p) với a là số nguyên dương bÍt kỳ và p là số nguyên tố Mit dạng phát biểu khác hay sử dụng : ap-1 = ( mod p) Tức : ap-1 - chia hết cho p với a không chia hết cho p Ví dụ Có : Chứng minh A(n) = n7 - n : 42 với n A(n) = n7 - n = n(n6 - 1) = n(n3-1)(n3 + 1) = n(n-1)(n2+n+1)(n+1)(n2 -n+1) : vì chứa tích (n-1)n(n+1) Mặt khác n7 - n : ( theo fermat) nên n7 - n : 42 Bài tập áp dụng : Bài : Chứng minh a là số nguyên không chia hết cho và không chia hết cho thì A(n) = (a4 - 1)( a4 + 15a2 + 1) chia hết cho 35 H.D : - Do a không chia hết cho nên a4 - chia hết cho - A(n) = (a2 - 1)(a2 + 1)( a4 + 15a2 + 1) = (a2 + 1)( a6 - + 14a2(a2 - 1)) - A(n) chia hết cho và chia hết cho nên A(n) chia hết cho 35 GV: MAI QuèC PH¦îNG - 14 Lop7.net (15) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp bài 2: Cho A(n) = n3 + 3n2 + 2n a Chứng minh A(n) chia hết cho với mụi n nguyên dương b Tìm n nguyên dương bé 10 để A(n) chia hết cho 15 H.D : a áp dụng phecma cho n3 - n b A(n) = n(n+1)(n+2) Để tích trên chia hết cho thì phải có mit sốchia hết cho @ Tích a1a2 an chia hết cho sốnguyên tốp thì có ít nhÍt mit sốai chia hết cho p ngược lại tích a1a2 an không chia hết cho p thì không có sốnào chia hết cho p áp dụng tính chất : - Nếu A(n) chia hết cho a và b ; a và b nguyên tố cùng thì A(n) chia hết cho a.b - Nếu A(n).B(n) chia hết cho m , B(n) và m nguyên tố cùng thì A(n) : m Ví dụ :Chứng minh tích ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho A(n) = n(n+1)(n+2) : Có n(n+1) : nó tích hai số tự nhiên liên tiếp n(n+1)(n+2) : nó là tích ba số tự nhiên liên tiếp Và ƯCLN(2,3) = nên A(n) : Ví dụ :Cho a1 , a2 an là n số nguyên thoả : a1 + a2 + +an = p 5 a1 + a2 + +an = q Chứng minh p chia hết cho 30 thì q chia hết cho 30 và ngược lại Xét hiệu q - p = (a15 - a1) + (a25-a2) + +(an5-an ) Có : (a15 - a1) = a1(a14 - 1) = a1(a1-1)(a1+1)(a12 + 1) (a15 - a1) chia hết cho a1(a1-1)(a1+1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp (a15 a1) chia hết cho theo Fermat Do ƯCLN(5,6) = nên (a1 - a1) chia hết cho 30.Do đó q - p : 30 Do q - p : 30 nên p chia hết cho 30 thì q chia hết cho 30 và ngược lại Bài tập :Chứng minh A(n) = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n : 24 với n HD : Phân tích A(n) thừa số A(n) = n(n+1)(n+2)(n+3) Chứng tỏ A(n) : - Bằng cách xét số dư chia n cho chứng minh A(n) : Do ƯCLN(3,8) = nên A(n) : 24 Bài tập :Chứng minh a5b - ab5 : 30 với số nguyên a,b Có a5b - ab5 = a5b - ab + ab - ab5 = b(a5 - a) - a(b5 - b ) Chứng minh a5 - a : 30 và b5 - b :30 để suy điều phải chứng minh GV: MAI QuèC PH¦îNG - 15 Lop7.net (16) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp Bài 1: Chứng minh a n3 - n + không chia hết cho b n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 c n2 + 3n + không chia hết cho 121 HD : a n3 - n chia hết cho 6, không chia hết cho nên n3 - n + không chia hết cho b n2 + 11n + 39 = ( n+2)(n+9) + 21 Nếu n + chia hết cho thì n + = n + + chia hết cho nên ( n+2)(n+9) chia hết cho 49 Do 21 không chia hết cho 49 nên ( n+2)(n+9) + 21 không chia hết cho 49 Nếu n + chia hết cho thì n + = n + + chia hết cho Lúc đờ ( n+2)(n+9) không chia hết cho nên ( n+2)(n+9) + 21 không chia hết cho suy không chia hết cho 49 @ Nếu a1, a2 an không chia hết cho p thì tích a1.a2 an không chia hết cho p c n2 + 3n + = ( n + 7)(n - 4) + 33 Chứng minh tương tự câu b ( xét tính chia hết chia cho 11 ) @ Kinh nghiệm : Với loại bài tập chứng minh A(n) = n2 + qn + p không chia hết cho k2 ta thực : - Phân tích đưa dạng : A(n)=(n + a)(n + b) + BSk (Trong đờ a + b = k hoUc a - b = k, BS k không chia hết cho k2) - Khi n + a chia hết cho k thì (n + a)(n + b) chia hết cho k2 A(n) không chia hết cho k2 vì BS k không chia hết cho k2 - Khi (n + a) không chia hết cho k suy (n + b) không chia hết cho k suy (n+a)(n+b) không chia hết cho k suy A(n) không chia hết cho k nên không chia hết cho k2 a b q - Để tìm a, b ta giải hệ : a b k Bài tập tương tự : Chứng minh : a n2 + n + không chia hết cho b n2 + 5n + 16 không chia hết cho 169 c 16n3 -24 n2 + 12n + 13 không chia hết cho 125 d 9n3 + 9n + 3n -16 không chia hết cho 343 HD : a A(n) = (n+2)(n-1) + b A(n) = (n+9)(n-4) + 52 c Xét A(n) = (4n-3)3 + 60 d Xét A(n) = (3n+1)3 - 49 Chương II: SỐ NGUYÊN TỐ HỢP SỐ I Định nghĩa: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn và có hai ước là và GV: MAI QuèC PH¦îNG - 16 Lop7.net (17) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp chính nó Từ định nghĩa này ta có : - Số nguyên tố P có thể phân tích dạng : 1.P Nói cách khác số nguyên tố có dạng 2n thì nó là số Số nguyên tố có dạng 3n thì nó là số - Số nguyên tố lớn có thể có dạng 3k Tương tự ta có các suy luận cho các số khác II Các dạng bài tập thường gặp : Tìm các số nguyên tố p thoả điều kiện : Kiến thức áp dụng : Số nguyên tố n = pk (với p nguyên tố ) thì n = p Tích các số nguyên tố = pk (với p nguyên tố ) thì tích đó có chứa số nguyên tố p Ví dụ : Tìm số nguyên tố p cho p + 10 và p + 14 là số nguyên tố Xét p = 3k+1 có p + 14 = 3k+15 = 3(k+5) là hợp số p = 3k - có p+10 = 3k + = 3(k+3) là hợp sô Vậy p phải có dạng 3k hay p = lúc đó p + 10 = 13 và p+14 = 17 là các số nguyên tố Ví dụ : Tìm ba số nguyên tố mà tích chúng ba lần tổng chúng Gọi ba số nguyên tố cần tìm là a,b,c : abc =3(a + b + c).Do a ,b, c là các số nguyên tố nên phải có số Không tính tổng quát gọi a = bc = b + c + (b 1)(c 1) = Do b-1; c-1 là các số dương nên ta có các hệ : b -1 =1 b-1 = b-1 = c-1 = c-1 = c-1 = Giải ba hệ trên ta ba số nguyên tố cần tìm là , , Bài : Tìm số nguyên tố p để : a p +2 , p+6 và p + là các số nguyên tố b p+6, p+8, p + 12 và p + 14 là các số nguyên tố c 2p2 + là số nguyên tố 2 d 4p + , 6p + là các số nguyên tố Bài : Tìm ba số nguyên tố cho chúng là ba số lẻ liên tiếp Bài : Tìm ba số nguyên tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Tìm tất các số n để biểu thức là số nguyên tố : Kiến thức áp dụng : Để A(n) = B(n).C(n) nguyên tố thì : B(n) = C(n) = Ví dụ 1: Tìm n để A(n) = n + là số nguyên tố : 2 Có n + = (n + 2) - 4n2 = (n2 + -2n)(n2 + 2+2n) Để A(n) nguyên tố thì : n2 + -2n = n = Lúc đó A(n) = n2 + 2+2n = n =-1 Lúc đó A(n) = Ví dụ :Tìm số nguyên n để A(n) = 8n2 + 10n + là số nguyên tố A(n) = (2n+1)(4n + 3) GV: MAI QuèC PH¦îNG - 17 Lop7.net (18) THCS QU¶NG S¥N Để A(n) nguyên tố thì Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp 2n+1 = n= A(n)=3 2n+1 = -1 n= -1 A(n)=1 ( Loại) 4n+3 = n= -1/2 ( Loại ) 4n+3 = -1 n= -1 A(n) =1 ( Loại ) Bµi 2: Tìm sỉ n nguyên dương để 2 và 2 đơng thới là các sỉ nguyªn tỉ HD: XÐt ba sỉ tù nhiªn liªn tiÕp : 2 1, 2 , 2 cê 2 kh«ng chia hÕt cho nªn mĩt hai sỉ chia hÕt cho Mĩt hai sỉ b»ng Khi 2 = suy n = Lúc đờ ba sỉ là 3, 2 = suy n = lúc đờ ba sỉ là 1, ( Loại) n n n n n n n n Chøng minh Cho p, q lµ c¸c sỉ nguyªn tỉ lín h¬n a Chøng minh p2 - chia hÕt cho 24 b p2 - q2 chia hÕt cho 24 HD : - p là sỉ nguyên tỉ lớn nên nờ là sỉ lẻ p2 là sỉ chính phương lẻ nªn chia d 1 p2 - chia hÕt cho - p lµ sỉ nguyªn tỉ lín h¬n nªn p kh«ng chia hÕt cho p = 3k p2 - chia hÕt cho - Do (8,3) = nªn p2 - chia hÕt cho 24 - p2 - q2 = p2 - - (q2 - 1) áp dụng câu a để cờ điều cèn chứng minh Chương III : SỐ CHÍNH PHƯƠNG I Định nghĩa : II Các tính chất : Số tự nhiên a là số chính phương thì bậc hai a là số nguyên Ngược lại a không chính phương thì bậc hai a là số vô tỷ Giữa hai số n2 và (n+1)2 không có số chính phương nào Một số chính phương có thể có số tận cùng là 0, 1, 4, 9, 6, (Hay số chính phương không có số tận cùng là các số 2, 3, 7, ) Một số chính phương n2 chia hết cho số nguyên tố p thi nó chia hết cho p2 Tổng quát n2 chia hết cho p2n-1 thì nó chia hết cho p2n Khi xét số dư chia số chính phương cho số nào đó ta lại có số tính chất đặc biệt khác : Ví dụ : Xét số dư chia số chính phương (n ) cho : Xét n = 3k n2 = 9k2 : 2 - Xét n = 3k n = 9k 6k + Ta có kết luận số chia cho dư không phải là số chính phương Tương tự xét số dư chia số chính phương cho ta GV: MAI QuèC PH¦îNG - 18 Lop7.net (19) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp kết luận : Số dư phép chia này có thể là 0, 1, Hay số chia cho có số dư là thì không phải là số chính phương Ví dụ : Xét phép chia số chính phương cho ta có : - Nếu n2 chia hết cho n chia hết cho n2 chia hết cho - Nếu n2 không chia hết cho n không chia hết cho Đặt n= 2k +1ta : 2 n = (2k +1) = 4k(k+1) + = 8q + Ta có thể kết luận : Một số chính phương chẵn thì chia hết cho Một số chính phương lẻ thì chia dư Các loại bài tập thường gặp : Chứng minh số là số chính phương , biểu thức các số chính phương : Kiến thức áp dụng: - Định nghĩa số chính phương ( là bình phương đúng số nguyên ) n - Đặt a= 111 1(n số ) được: 9a+1 = 999 + = 100 0= 10 Ví dụ : Chứng minh số A = 999 9800 01(có n số và n số 0) là số chính phương n+2 n+1 A = 999 9.10 + 8.10 + n Đặt a= 111 ( n số ) :9a+1 = 999 + = 100 = 10 A = 9a.100(9a+1) + 80(9a+1) + = 8100a + 900a + 720a + 81 = (90a + ) Vậy A là bình phương sô 90a+9 = 999 .9 ( gồm n+1 số ) Ví dụ :Chứng minh số lẻ viết dạng hiệu hai số chính phương : 2 2 Có : 2k + = k + 2k + - k = (k+1) - k Bài tập 1:Chứng minh các số sau là số chính phương : a 11 122 25 ( gồm n số , n + số ) b 11 - 22 ( gồm 2n số , n số ) c 11 + 44 + ( gồm 2n số 1, n số ) d 11 155 56 ( gồm n số 1, n-1 số ) HD : Đặt a= 111 ( n số ) biến đổi : a (30a + 5)2 b (3a) c (3a+1)2 d (3a + 1) Bài tập :Số x và y là tổng hai số chính phương Chứng minh tích x.y là tổng hai số chính phương : 2 2 2 2 2 2 HD : Đặt x = a + b ; y = c + d Có : x.y = a d + c d + a c + b d = (ac + bd )2 + (ad - bc)2 là tổng hai số chính phương Chứng minh số không phải là số chính phương : GV: MAI QuèC PH¦îNG - 19 Lop7.net (20) THCS QU¶NG S¥N Chuyên đề Đại Số bồi dưỡng HSG Lớp Kiến thức áp dụng : - Số dư chia hai vế đẳng thức cho cùng số phải - Số dư chia số chính phương cho ; 4; ; Ví dụ 1: Cho A = P1P2 .Pn + đó P1P2 .Pn là tích n số nguyên tố đầu tiên Chứng tỏ A không phải là số chính phương Giả sử A chính phương ta có: P1P2 .Pn + 1= k2 P1P2 .Pn = k2 - Nếu k chẵn thì k2 chẵn nên k2 -1 lẻ Trong đó P1P2 .Pn = 2.P2 .Pn là số chẵn Nêu k lẻ thì k2-1= (k-1)(k+1) chia hết cho Lúc đó P1P2 .Pn chia hết cho hay P2 .Pn chia hết cho (điều này vô lý vì các số nguyên tố lớn là số chẵn ) Vậy A không thể là số chính phương Ví dụ :Chứng minh A(n) = n3 - n + không phải là số chính phương với n (áp dụng tính chất ): A(n) = n3 - n + = n(n2 - 1) + = n(n-1)(n+1) + A(n) chia có số dư là nên A(n) không chính phương Bài tập 1: Cho A = P1P2 .Pn - đó P1P2 .Pn là tích n số nguyên tố đầu tiên Chứng tỏ A không phải là số chính phương HD : Giả sử A chính phương ,đặt A= P1P2 .Pn - 1= k2 P1P2 .Pn =k2 + - Nếu k chẵn thì k2 + lẻ ( Vô lý tích P1P2 .Pn là số chẵn ) - Nếu k lẻ đặt k = 2q+1 có P1P2 .Pn = k2 + 1= 4q2 + 4q + = 2(2q2 + 2q + ) P2 .Pn =2q2 + 2q + Xét phép chia 2q + 2q + = 2q(q+1) + cho 3: q=3m q = 3m -1 thì 2q2 + 2q + chia dư q= 3m+1 thì 2q2 + 2q + 1= 18m2+12m+2+6m+2+1 chia dư Vậy 2q2 + 2q + không chia hết cho Vô lý ( P2 .Pn chia hết cho ) Bài tập : Chứng minh A(n) = n5 - n + không phải là số chính phương với n HD : Có A(n) = n - n + = n(n-1)(n+1)(n + 1) + Xét số dư A(n) cho : Với n = 5k, n= 5k 1 ,n= 5k 2 thì n(n-1)(n+1)(n + 1) : nên A(n) chia dư Hay A(n) có tận cùng là nên A(n) không là số chính phương Bài tâp 3: Chứng minh tổng hai số chính phương lẻ không phải là số chính phương Xét phép chia số chính phương n cho : - Nếu n2 chẵn n chẵn n2 chia hết cho - Nếu n2 lẻ n lẻ n2 chia dư Tổng hai số chính phương lẻ chia GV: MAI QuèC PH¦îNG - 20 Lop7.net (21)