b+m b b+m Khi đó ta có thể viết mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số , số trừ của nhóm tr-ớc bằng số bị trừ của nhóm sau rồi khử liên tiếp.. Kết quả còn lại số bị trừ đầu tiên và số tr
Trang 1Ngày soạn: 15/3/2009
Ngày giảng: 17/3/2009
Chuyên đề: Dãy các phân số viết theo quy luật
I/ Nhận xét mở đầu:
Khi giải các bài toán về phân số, ta thờng gặp các bài toán tính tổng các phân số
mà tử và mẫu của chúng đợc viết theo quy luật VD:
3 + 3 + 3 + + 3
4.7 7.10 10 13 73.76
Dễ nhận thấy các phân số có tử không thay đổi và đúng bằng hiệu hai thừa số ở
d-ới mẫu, thừa số cuối ở mẫu trớc bằng thừa số đầu ở mẫu sau
Phơng pháp chung để giải các bài toán dạng này là dùng công thức:
m = 1 _ 1
b ( b+m) b b+m
Khi đó ta có thể viết mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số , số trừ của nhóm
tr-ớc bằng số bị trừ của nhóm sau rồi khử liên tiếp Kết quả còn lại số bị trừ đầu tiên
và số trừ cuói cùng, khi đó phép tính thực hiện đợc dễ dàng
Nếu mỗi số hạng phức tạp hơn, chẳng hạn:
2m
b ( b+m ).(b+ 2m )
thì ta dùng công thức:
2m = 1 _ 1
b ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m )
Tuy nhiên không phải bài toán nào ta cũng phát hiện đợc ngay quy luật mà phải qua một số phép biến đổi dựa trên tính chất cơ bản của phân số nh nhân cả tử và mẫu với cùng một số để tìm quy luật của mẫu, áp dụng hợp lý tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để biến đổi tử đúng bằng hiệu hai thừa số dới mẫu
II/ Các ví dụ :
VD1: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:
a/ 1/1.2 ; 1/ 2.3 ; 1/ 3.4
b/ 1/6 ; 1/ 66 ; 1/ 176
Gi ả i
Trớc hết ta có nhận xét sau:
Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là:
a/ 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 + + 1/ 100.101
Các phân số trong tổng có tử bằng nhau và đúng bằng hiệu hai thừa số dới mẫu nên ta dùng công thức biến đổi:
m/ b ( b+ m ) = 1/ b - 1/ b+m Vậy 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 + + 1/ 100.101 = 1 – 1/ 101 = 100/ 101
b/ Trớc hết ta viết các mẫu thành tích theo quy luật:
6 = 1.6 ; 66 = 6 11 ; 176 = 11 16
số hạng thứ n của dãy có dạng : ( 5n – 4 ) ( 5n + 1 )
=> số hạng thứ 100 của dãy có dạng : ( 5 100 – 4 ) ( 5 100 + 1 ) = 496 501 lại có 1- 1/6 = 5/ 1.6 ; 1/6 – 1/11 = 5/ 6.11
Từ đó: 1/6 + 1/ 66 + 1/ 176 + + 1/ 496 501
= 1/5 ( 1 – 1/6 + 1/6 - 1/11 + 1/11 - .+ 1/ 496 - 1/ 501 )
= 1/5 ( 1 – 1/500) = 1/5 500/ 501 = 100/ 501
Trang 2VD2: Tính tổng
B= 1/ 1.2.3 + 1/ 2.3 4 + 1/ 3.4.5 + + 1/ 48.49.50
NX: Mỗi số hạng của tổng có dạng
2m = 1 _ 1
b ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m )
Mà ta có : 1/ 1.2 - 1/ 2.3 = 2/ 1.2.3
1/ 2.3 - 1/3.4 = 2/ 2.3.4
Từ đó => B = 1/2 ( 2/ 1.2.3 + 2/ 2,3.4 + + 2/ 48 49 50 )
= 1/2 ( 1/ 1.2 – 1/ 2.3 + 1/ 2.3 - .- 1/ 49.50)
= 1/2 ( 1/ 1.2 – 1/ 49.50 ) = 1/ 2 1224/ 2450 = 306/ 1225
VD3: Tính tổng
C = 1/10 + 1/15 + 1/21 + + 1/ 120
Ta nhận xét thấy mẫu của các số hạng trong tổng khi phân tích thành tích thì không có quy luật nào cả nên không áp dụng đợc công thức Tuy nhiên nếu nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổng với 2 ( Không làm thay đổi giá trị của phân số) thì sẽ dễ dàng viết đợc các mẫu theo quy luật
Nhân cả tử và mẫu của C với 2, khi đó
C = 2/ 20 + 2/ 30 + 2/ 42 + + 2/ 240
= 2/ 4.5 + 2/ 5.6 + 2/ 6.7 + + 2/ 15.16
= 2 ( 1/ 4.5 + 1/ 5.6 + 1/ 6.7 + + 1/ 15.16)
= 2 ( 1/4- 1/5 + 1/5 - – 1/ 16)
= 2 ( 1/4 - 1/16) = 2 3/16 = 3/ 8
VD4 Tính giá trị của biểu thức
a/ P = 1+ 1/3 + 1/5 + + 1/97 + 1/99
1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 97.3 + 1/ 99.1
NX: Trớc hết ta ghép các phân số ở số bị chia thành từng cặp để làm xuất hiện mẫu chung giống với mẫu của các phân số tơng ứng ở số chia nh sau:
P = ( 1 + 1/99) + ( 1/3 + 1/97) + + ( 1/ 49 + 1/ 50)
1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 97.3 + 1/ 99.1
= 100/ 1.99 + 100/ 3.97 + 100/ 5 95 + + 100/ 49.51
1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 97.3 + 1/ 99.1
= 100 ( 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 49 51 )
2 ( 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 49 51 )
= 100/ 2 = 50
Vậy giá trị của biểu thức P = 50
b/ Q = 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/ 100
99/1 + 98/2 + 97/3 + + 1/99
NX: Trong VD này chúng ta lại phải biến đổi số chia để làm xuát hiện các biểu thức có thể rút gọn đợc với các biểu thức trên tử Ta có:
Q = 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/ 100
100-1 + 100-2 + 100- 3 + + 100- 99
1 2 3 99
= 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/ 100
(100/1 + 100/ 2 + 100/3 + + 100/ 99) – ( 1/1 + 2/2 + 3/3 + + 99/99) = 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/ 100
100 + 100 ( 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/99) – 99
= 1/ 100
Vậy giá trị của biểu thức Q = 1/ 100
Trang 3VD 5: T×m tÝch cña 98 sè ®Çu tiªn cña d·y
3
1
1 ; 1
8
1 ; 1 15
1 ; 1 24
1 ; 1
35
1
NX: Ta viÕt l¹i c¸c sã h¹ng cña d·y :
3
4
; 89; 1516;
24
25
; 3536
<=>
3 1
22 ;
4 2
32 ;
5 3
42 ;
6 4
52 ;
7 5
62
Sè thø 98 cã d¹ng :
100 98
992 Gäi tÝch cña 98 sè trong d·y lµ A, ta cã :
A=
100 98
99
7 5
6 6 4
5 5 3
4 4 2
3 3
1
22 2 2 2 2 2 =((12.2.3.3.4.4.5 9899).().(32.4.3.5.4.6.5 10099))
TS thø nhÊt cña A TS thø 2 cña A
1
99
=5099
III/ ¸p dông:
Bµi 1: TÝnh tæng:
a, A=
18
.
15
6
+
21 18
6 +
24 21
6 + +
90 87 6
b, B=
11
.
8
32 +
14 11
32 +
17 14
32 + +
200 197
32
c, C= 251.27 + 271.29 + 291.31 + +731.75
d, D=
94
.
90
15
+
98 94
15 +
102 98
15 + +
150 146 15
*/Gi¶i
a, A=
18
.
15
6
+
21 18
6 +
24 21
6 + +
90 87 6
90 87
3
24 21
3 21 18
3 18
15
3
90
1 87
1
21
1 18
1 18
1 15
1
90
1 15
1
90
5
=91
b, B=
11
.
8
32 +
14 11
32 +
17 14
32 + +
200 197
32
200 197
3
17 14
3 14 11
3 11
.
8
3
200
1 197
1
14
1 11
1 11
1 8
1
−
200
1 8
1
=259
c, C=
27
.
25
1
+
29 27
1 +
31 29
1 + +
75 73 1
75 73
2
31 29
2 29 27
2 27
25
2
.
2
1
75
1 73
1
31
1 _ 29
1 29
1 27
1 27
1 25
1
.
2
1
75
1 25
1
.
2
1
= 75 1
d, D= 9015.94 + 9415.98 + 9815.102 + + 14615.150
Trang 4=
150 146
4
102 98
4 98 94
4 94 90
4
4
15
150
1 146
1
102
1 98
1 98
1 94
1 94
1 90
1
.
4
15
150
1 90
1
.
4
15
= 60 1
Bài 2: CMR: Với mọi n ∈ N thì ta luôn có:
) 6 5 )(
1 5 (
1
176
1 66
1 6
1
+ +
+ + + +
n
n = 5n n++16
*/Giải
Biến đổi VT ta có:
) 6 5 )(
1 5 (
1
176
1
66
1
6
1
+ +
+ +
+
+
n
n = + + + +( 5 + 1 )( 5 + 6 )
5
16 11
5 11 6
5 6 1
5 5
1
n n
+ +
+ + +
+
−
6 5
1 -1 5
1
16
1 -11
1 11
1 -6
1
6
1
1
.
5
1
n n
+
−
6 5
1
1
.
5
1
+
+
6 5
) 1 ( 5 5
1
n
n
=
6 5
1
+
+
n
n
=VP => đpcm
Bài 3: Tìm x ∈N biết:
17 15
20 15
13
20 13
.
11
20
−
−
−
11 3
36
1 28
1
21
1
+ + + +
+
x
9 2
*/Giải:
17 15
20 15
13
20 13
.
11
20
−
−
−
11 3
<=> x =
55 53
20
17 15
20 15 13
20 13 11
20 11
+
55 53
2
17 15
2 15 13
2 13 11
2 10 11
3
+
55
1 53
1
13
1 13
1 11
1 10 11
3
+
55
1 11
1 10 11
3
=
11
8 11
3
36
1 28
1
21
1
+ + + +
+
x
x = 92
<=> ( 2 1) 92
72
2 56
2
42
+ + + + +
x x
9
1 8
1 8
1 7
1 7
1
6
1
=
+
− + +
− +
− +
−
x x
<=> 2 16 11=92
+
−
x
<=> 11=61 −91=181
+
x <=> x+1 = 18
<=> x = 17
Bài 4: CMR:
5 4 3
1 4 3 2
1 3
.
2
.
1
1
+ + +
4 1
Trang 5b, B= 25.3627.29
9 7 5
36 7 5 3
36 5
.
3
.
1
*/Gi¶i:
5 4 3
1 4 3 2
1 3
.
2
.
1
4
1
Ta cã:
20 19 18
2
5 4 3
2 4 3 2
2 3
.
2
.
1
2
.
2
1
20 19
1 19 18
1
4 3
1 3 2
1 3 2
1 2
.
1
1
.
2
1
2
1 20 19
1 2
.
1
1
.
2
1
=
Mµ 189760 <189756 =41 => A <
4 1
b, B=
29 27 25
36
9 7 5
36 7 5 3
36 5
.
3
.
1
36
+ + +
Ta cã:
29 27 25
4
9 7 5
4 7 5 3
4 5
.
3
.
1
4
29 27
1 27 25
1
9 7
1 7 5
1 7 5
1 5 3
1 5 3
1 3
.
1
1
= 9 9 783260 26087
783
1
3
1
=
=
−
87
261
87
260 < = =>B < 3
Bµi 5: CMR:
4
1 3
1 2
1
2 2
2
2 + + + + <
n (n∈N; n≥2)
) 2 (
1
8
1 6
1
4
1
2 2
2
n (n∈N; n≥2)
!
! 2
! 5
! 2
!
4
!
2
!
3
!
2
<
+ + + +
*/Gi¶i:
4
1 3
1 2
1
2 2
2
2 + + + + <
n ¸p dông ph¬ng ph¸p lµm tréi
4 4
1 3 3
1 2 2
1
+ + +
4 3
1 3 2
1 2 1
1
− + + + +
<=> M <
n n
n
1 1
1 1
1
4
1 3
1 3
1 2
1 2
1
− + +
− +
− +
−
Mµ 1 −1< 1
n
=>M <1
) 2 (
1
8
1 6
1
4
1
2 2
2
n
2 2
2 2 2
1
4
1 3
1 2
1 2
1
n
Mµ 2 2 2 12
4
1 3
1 2
1
n
+ + +
=> N < 2
2
1
.1=
4 1
Trang 6c, P = 1
!
! 2
! 5
! 2
!
4
!
2
!
3
!
2 + + + + <
n
!
1
! 5
1
! 4
1
! 3
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3 2 1
1
−
− + + +
+
=> P < 2. + + + +(n− 1 ).n
1
5 4
1 4 3
1 3 2 1
<=> P < 2 1 1 2 1
2
1
<
−
=
−
n n
_