10 Bài Toán bồi dưỡng học sinh giỏi 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Đại số)

Tìm dạng gọn nhất của x... Lê Bá Khánh Trình, TS.[r]

Câu 1: Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận

2

x  nghiệm Câu 2: Cho 2a 3 b5 Chứng minh 2 30

3a b

 

Câu 3: Cho hệ phương trình: x2 y xy2 m x y xy m

   

 

 

 với m tham số

a) Giải hệ với m 2

b) Tìm tất giá trị m để hệ có nghiệm ( , )x y với x y âm

Câu 4: Cho a, b, c 1 thỏa mãn a b c  4 Chứng minh rằng: abc64(a1)(b1)(c1) Câu 5: (Khối PT chuyên ĐHSPHN)Giải phương trình:

3

3

3

3x

2

( 1)

x x

x x

   

 

Câu 6: Chứng minh rằng: 3

9

x    nghiệm phương trình:

3

3x 18

x    Tìm dạng gọn x

Câu 7: Giải hệ phương trình:

2

3

4

4

6

2x

1 4z

1 y x

y

z

y y

x

z z z



    



  

 

 

  



Câu 8: Cho a3b7 Chứng minh 2 21

3a

4 b

 

Câu 9: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y z Chứng minh rằng:

2

2x

1

xy z y

xy

  





Câu 10: Cho 2

(a1)  (b 2) 5 Chứng minh a2b10

10 Bài Toán bồi dưỡng HSG Luyện thi lên lớp 10 Chuyên

Câu 1:Ta có:

3

3

2 2 ( 2)

x   x   x 

3

3 6x 2 6x 2(3x 2)

x x x

         

Bình phương hai vế trên, ta được:

3 2

(x 6x 2) 2(3x 2) x 4x 6x 12x 24x 4 0 nên x nghiệm đa thức với hệ số nguyên sau:

6

( ) 6x 12x 24x

P x x   x    

Câu 2:

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky:

2

2 2

25 (2a ) (3a )

3

3

b  a b   b

        

 

 

2 30

3a

7 b

  

Dấu “=” xảy

2a

4

; 3a

7

2 b

a b

b

 



   

 



Câu 3:

Vì phương trình hệ cho đối xứng với hai ẩn x y, nên ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ:

S x y P xy

  

 

 ta có hệ thức sau:

S P m

SP m    

 



Áp dụng định lý Vi ét đảo, ta suy S, P hai nghiệm phương trình:

2

( 1)

X  m X  m Từ ta có: ; 1(1)

1; (2)

S m P

S P m

 



  



a) Với m 2 x, y nghiệm phương trình sau:

x  y 

Do đó, trường hợp (2) khơng thỏa mãn Trường hợp (1) cho ta thỏa mãn đề khi:

2

0

0

0

4

S

m

P m

m

S P

 

 

     

  



 



Câu 4:

Theo điều kiện ta viết lại sau:

(a     1) (b 1) (c 1) Đặt a 1 x b;  1 y c;  1 z x y z( , , 0)

Bài toán trở thành cho x y z, , 0 thỏa x  y z 1, chứng minh (x1)(y1)(z 1) 64xyz

1

x    x x y z, mà

2

2 ; z 2( z) 2.2 z

x y xy x z x     x x y z xy x  xy x  x yz tương tự y 1 44 xy z z2 ,  1 44 xyz2

4 4

(x 1)(y 1)(z 1) 4.4.4 x y z 64xyz dpcm

      

Câu 5:

Điều kiện: x1 Với điều kiện trên, ta có:

3

3

3

3x

2

( 1)

x x

x x

   

 

3 3 2

( 1) 3x ( 1) 2( 1)

x x x x x

       

2 2 3

(x x) 3(x x) x (x 1) (x 1)

        

2 2

(x x) 3(x x) 3(x x) (x 1)

        

2 3

(x x 1) (x 1)

    

2

1

x x x

    

2

2x

x     ptvn (vì 0) Câu 6:

Đặt 3

9 ,

a  b  , ta có: ab

x a b     



Do đó:

3 3

( ) 3a ( ) 5x

x  a b a  b b a b   hay

3x 18 x   

Mặc khác,

3x 18 ( 3)( 3x 6)

x    x x   

3x 0( 0)

Câu 7: Hệ phương trình cho:

2

3

4

4

6

2x

(1)

(2) 4z

(3) y x

y

z

y y

x

z z z



   

 

  

 

 

  



Từ hệ phương trình trên, ta suy x y z, , 0

- Nếu ba số x, y, z hai số cịn lại 0, x  y z nghiệm hệ phương trình

- Nếu xyz   0 x 0,y0,z0 Theo bất đẳng thức Cauchy:

1 2x x   Từ (1) suy yz

Tương tự, từ (2) (3) ta chứng minh được:

;

z y x        z x y z z x y z

Thử lại ta thấy hệ có nghiệm x  y z x  y z Câu 8:

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky:

2

2 2 2 21

49 ( ) ( 3) (3a ) 3a

3

a b  a b    b b

            

 

 

Dấu “=” xảy

3

1

;

4

3a

a b

a b

b

 

 

   

 

 



Câu 9: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

2

2

2x

1 2x

1

xy z y

xy z y xy

xy

  

      



Mà 2

2(x y ) x y nên 2

2x

xy z  y  xy  z x y Ta phải chứng minh:

1

xy    z x y xy

1

xy z z xy

     

xy z xy z

Câu 10:

Theo giả thiết: 2 2

(a1)  (b 2)  5 a b 2a 4 b

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky: 2 2 2 2

(a b ) (2a ) b 20(a b) 0 a  b 20

Vì 2

2a4ba b   0 a 2b10

Dấu “=” xảy

2

2a

2 4

2 10

a b b

a a b

b

a b

   

  

  

  

 

 

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường đạt điểm tốt

ở kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia