d) Viết phương trình đường trung tuyến CM của tam giác ABC. e) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC của tam giác ABC. g) Viết phương trình đường thẳng đi qua C và song song với AB.[r]
(1)PHẦN 1: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy Dạng 1: Tọa độ điểm véctơ mặt phẳng Oxy A Lí thuyết:
Cho ba điểm: A(xA; yA);B(xB; yB);C(xC; yC) Ta có: Tọa độ véctơ ⃗AB=(xB− xA; yB− yA)
Tọa độ trung điểm I AB là: I(xA+xB
2 ;
yA+yB ) Tọa độ trọng tâm G ΔABC là: G(xA+xB+xC
3 ;
yA+yB+yC ) Cho hai véctơ: ⃗a=(a1;a2);b⃗=(b1;b2) Ta có:
⃗a+ ⃗b=(a1+b1;a2+b2)
⃗a −b⃗=(a1− b1;a2− b2)
⃗a.⃗b=a1.b1+a2.b2
k.⃗a=(k.a1;k.a2)
|a⃗|=√a12+a22 cos(⃗a;⃗b)= ⃗a
⃗
b
|⃗a|.|⃗b|
⃗a.⃗b<0⇔(⃗a ;⃗b)>900 ⃗a.⃗b=0⇔(a ;⃗ b⃗)=900 ⃗a.⃗b>0⇔(⃗a ;⃗b)<900
⃗a⊥⃗b⇔a⃗.⃗b=0 ⃗a//b⃗⇔a1
b1
=a2
b2 B Bài tập điển hình :
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ΔABC có A(2;3); B(-2;2); C(1;-1) a) Chứng minh ΔABC cân A
b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ⃗BC⊥⃗MA c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành d) Gọi G trọng tâm ΔABC Chứng minh MG=1
2GA e) Tìm điểm N thuộc trục Ox để tam giác ABN vuông A
C Bài tập vận dụng:
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ΔABC có A(1;5); B(-3;2); C(4;1) a) Chứng minh ΔABC cân A
b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ⃗BC⊥⃗MA c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành d) Gọi G trọng tâm ΔABC Chứng minh MG=1
2GA e) Tìm điểm N thuộc trục Ox để tam giác ABN vng B
(2)A Lí thuyết:
1 Nhắc lại kiến thức đường thẳng.
Đường thẳng d có dạng: y = k.x + b, k gọi hệ số góc đường thẳng Hệ số góc k = tan α = a2
a1 (
α góc hợp d với trục Ox, ⃗a=(a1; a2)
VTCP d)
Cho hai đường thẳng d1 d2 có hsg k1 k2 Ta có:
Nếu d1⊥d2 : k1.k2 = -1
Nếu d1 // d2 : k1 = k2
2 Véctơ phương véctơ pháp tuyến đường thẳng:
Véctơ phương đường thẳng véctơ có phương trùng song song với đường thẳng Thường kí hiệu : ⃗a
Véctơ pháp tuyến đường thẳng véctơ có phương vng góc với đường thẳng Thường kí hiệu : ⃗n
Cách suy từ ⃗a sang ⃗n ⃗n sang ⃗a :
Giả sử : ⃗a =( a1;a2 )là VTCP d
⇒ ⃗n=(− a2; a1) ⃗n=(a2;− a1) véctơ pháp tuyến d
Giả sử : ⃗n=(A ; B) VTPT d
⇒a⃗=(− B ; A) ⃗a=(B ;− A) véctơ phương d (Đảo vị trí đổi dấu hai tọa độ)
3 Phương trình đường thẳng :
Cho ⃗a=(a1; a2) VTCP d
⃗n=(A ; B) VTPT d Điểm M( x0; y0¿ thuộc d
Ta có :
PT tham số d: x = x0+a1t
y=y0+a2t
PT tắc d: x − xa
=y − y0 a2
PT tổng quát d: A(x − x0)+B(y+y0)=0 hoặc: Ax+By+C=0
Đặc biệt: Đường thẳng d cắt Ox A(a;0) cắt Oy B(o;b) ptđt d viết theo đoạn chắn là:
xa+y b=1
4 Góc khoảng cách:
Góc hai đường thẳng:
Cos(d1;d2)=|cos(⃗n1;⃗n2)|= |n⃗.⃗n2|
|⃗n1|.|n⃗2|=|cos(⃗a1;⃗a2)|=
|⃗a1.⃗a2| |⃗a1|.|⃗a2|
(3) d(M;d) = |Ax0+By0+C|
√A2
+B2
5 PT hai đường phân giác góc tạo :
d1=A1x+B1y+C1=0 ; d2=A2x+B2y+C2=0
A1x+B1y+C1
√A12+B12
=± A2x+B2y+C2
√A22+B22
Lưu ý: Dấu ± tương ứng với đường phân giác góc nhọn đường phân giác góc tù Để phân biệt dấu đường phân giác góc nhọn dấu nào đường phân giác góc tù cần nhớ quy tắc sau:
Đường phân giác góc nhọn ln nghịch dấu với tích hai pháp véctơ, đường phân giác góc tù mang dấu cịn lại.
B:Bài tập điển hình:
1 Trong mp 0xy cho A(2;4); B(6;2); C(4;-2)
a) Chứng minh tam giác ABC vng cân B Tính diện tích tam giác ABC b) Viết phương trình tham số đt AB; tắc đt AC; tổng quát BC c) Viết phương trình đường cao BH tam giác ABC
d) Viết phương trình đường trung tuyến CM tam giác ABC e) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC tam giác ABC g) Viết phương trình đường thẳng qua C song song với AB h) Viết phương trình đường thẳng (h) qua A vng góc AC
k) Gọi K giao điểm (h) trung trực cạnh BC Tìm tọa độ điểm K Chứng minh ABHK hbh
l) Tìm tọa độ điểm D thuộc Oy cho tam giác ACD vuông C
m) Viết phương trình đường thẳng DC Tìm tọa độ giao điểm DC trục hoành 2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3; 5) hai đường thẳng: d1: x – 2y + =
d2: x −21=y−+35
a) Viết phương trình đường thẳng Δ1 qua M song song d1. b) Viết phương trình đường thẳng Δ2 qua M song song d2. c) Viết phương trình đường thẳng Δ3 qua M vng góc d1. d) Viết phương trình đường thẳng Δ4 qua M vng góc d2.
3 Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết trung điểm cạnh là:
M(2;1); N(5;3); P(3;4)
4 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x – 2y + = qua điểm A(4;1) a) Viết phương trình đường thẳng Δ qua A vng góc d.
(4)5 Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng Δ1 : x + 2y – = Δ2 : x – 3y +
=
a) Tính góc tạo Δ1 Δ2 .
b) Tính khoảng cách từ M(5;3) đến Δ1 Δ2 .
c) Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo Δ1 Δ2 .
6 Trong mặt phẳng Oxy cho Δ ABC có cạnh AB: 5x – 3y + = hai đường cao có phương trình:
AH: 4x – 3y + = 0; BI: 7x + 2y – 22 = Lập phương trình hai cạnh cịn lại đường cao thứ ba Δ ABC Lập ptđt d qua M(2;5) đồng thời cách hai điểm P(6;2) Q(5;4) Lập ptđt Δ qua A(2;1) tạo với đt d: 2x + 3y + = góc 450.
9 Lập pt đường thẳng d qua A(3 ;1) cách điểm B(1 ;3) khoảng 2√2 10 Lập pt cạnh Δ ABC biết B(-4 ;-5) hai đường cao có pt : 5x + 3y – = 3x + 8y + 13 = 11 Hai cạnh hbh có pt : x - 3y = 2x+5y+6=0 Một đỉnh hbh C(4 ;-1)Viết pt hai cạnh lại đường chéo AC
12 Lập pt cạnh Δ ABC ,biết A(1 ;3) hai đường trung tuyến có pt : x - 2y + = ;y – =
13 Cho đt Δ : x = + 2t y = + t
Tìm M nằm Δ cách điểm A(0 ;1) khỏang
C:Bài tập vận dụng :
1 Cho Δ ABC, M(-1 ;1) trung điểm cạnh cịn hai cạnh có pt: x+2y-2=0 2x+6y+3=0
Xác định tọa độ đỉnh tam giác
2 Cho hình vng đỉnh A(-4 ;5)và đường chéo đặt đt :7x-y+8=0 Lập pt cạnh đường chéo thứ hình vng
3 Một hình bình hành có cạnh nằm đt : x + 3y – = ; 2x - 5y – = Tâm I(3 ;5)
Viết pt hai cạnh cịn lại hình bình hành
4 Trong mp 0xy cho đt: d1: 3x + 4y – = ; d2: 4x + 3y – = ; d3: y =
a Xác định tọa độ đỉnh A,B,C biết: A= d1 d2 ; B= d2 d3 ;C= d1 d3
b Viết pt đường phân giác góc A,B
(5)5 Tìm quỹ tích điểm cách đt Δ : 2x - 5y + = troảng Tìm quỹ tích điểm cách hai đt d1: 4x - 3y + =
d2: y – =
7 Lập ptđt qua P(2 ;-1) cho đt với đt d1: 2x - 4y + = ; d2: 3x + 6y –
= tạo Δ cân có đỉnh giao điểm d1 d2
8 Cho Δ ABC cân A biết AB : x + y + = BC : 2x - 3y – = Lập pt cạnh AC biết qua M(1 ;1)
9 Cho Δ ABC cân A(3 ;0) tìm tọa độ B C biết B,C nằm đt d :3x + 4y + = SABC = 18
10 Cho Δ ABC có B(2 ;-1) Đường cao qua A có pt : 3x - 4y + 27 = 0, đường phân giác gód C : x + 2y – = Hãy tìm tọa độ đỉnh Δ ABC
11 Viết pt cạnh Δ ABC biết tọa độ chân ba đường cao kẻ từ đỉnh A,B,C M(-1 ;-2), N(2 ;2), K(-1 ;2)
-
-Bài 3: Phương trình đường trịn mặt phẳng Oxy A Lí thuyết :
1 Phương trình đường trịn :
Đường trịn tâm I(a ; b), bán kính R có phương trình : Dạng : (x − a)2+(y − b)2=R2
Dạng : x2+y2−2 ax−2 by+c=0
Trong : R=√a2+b2− c , điều kiện : a2+b2− c>0 Vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (C):
d(I ; d)>R⇔d ∩(C)=φ d khơng có điểm chung với (C) d(I ; d)=R⇔d ∩(C)={A} d tiếp xúc với (C)
d(I ; d)<R⇔d ∩(C)={A ; B} d cắt (C) hai điểm phân biệt Phương trình trục đẳng phương hai đường trịn khơng đồng tâm có dạng : x2
+y2−2a1x −2b1y+c1=x2+y2−2a2x −2b2 y+c2
4 Phương trình tiếp tuyến đường trịn M(x0 ;y0) có dạng :
x0x+y0y − a(x0+x)−b(y0+y)=0
B Bài tập điển hình : (Giáo viên trực tiếp giải)
1.Tìm tâm bán kính đường trịn có phương trình sau :
a) (x −2)2+(y+1)2=4
b) (x+3)2+(y −1)2=3
c) x2
+y2−4x −6y −3=0 d) x2
+y2+4x −6y+2=0 e) 2x2
(6)g) x2+y2−2x −1=0 h) x2+y2=1
2 Viết phương trình đường trịn (C) trường hợp sau : a) (C) có tâm I(1 ;-3) bán kính R=7
b) (C) có tâm I(1;3) qua điểm A(3;1) c) (C) có đường kính AB với A(1;1) , B(7;5)
d) (C) có tâm I(-2;0) tiếp xúc với d: 2x + y – = e) (C) qua điểm M(1;-2), N(1 ;2), P(5 ;2)
f) (C) có tâm giao điểm đường thẳng d1 : x – 3y +1 = với đường thẳng d2 : x =
-4 đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d3 : x + y -1 =
3 Cho đường tròn (T) : x2 + y2 – 4x + 8y – = 0.
a) Viết phương trình tiếp tuyến (T) A(-1 ;0)
b) Viết phương trình tiếp tuyến (T), biết tiếp tuyến // d : 2x – y =
c) Viết phương trình tiếp tuyến (T), biết tiếp tuyến vng góc với d’ : 4x – 3y + =
d) Viết phương trình tiếp tuyến (T), biết tiếp tuyến qua B(3 ;-11)
e) Tìm m để đường thẳng d : x + (m – 1)y + m = tiếp xúc với đường tròn (T)
4 Xét vị trí tương đối đường thẳng sau với đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x - 2y -
2 =
a) d1 : x + y =
b) d2 : y + = c) d3 : 3x + 4y +5 =
5 Tìm trục đẳng phương hai đường trịn : (C1) : x2 + y2 – 2x + y – =
(C2) : x2 + y2 + 3x - 4y – =
6 Cho hai đường trịn có phương trình : (Tm) : x2 + y2 – 2mx +2(m+1)y – =
(Cm) : x2 + y2 – x + (m – 1)y + =
a) Tìm trục đẳng phương hai đường tròn theo tham số m
b) Chứng tỏ m thay đổi, trục đẳng phương qua điểm cố định Lập phương trình đường trịn qua A(1 ;-2) giao điểm đường thẳng d: x – 7y + 10 = với đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0.
8 Viết phương trình đường trịn có tâm giao điểm hai đường thẳng d1 : x – 3y +
=
d2 : x + = đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d : x + y – =
(7)11 Cho (Cm) : x2 + y2 – 2mx – 4(m – 2)y – m + =
a) Tìm m để (Cm) đường trịn
b) Tìm quỹ tích tâm I đường trịn
12 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn: (T1) : x2 + y2 – =
(T2) : (x −4)2+(y −3)2=16
13 Viết phương trình đường trịn (T), biết (T) qua hai điểm A(-1 ;2) ; B(-2 ;3) có tâm đường thẳng d : 3x – y + 10 =
14 Cho điểm M(2 ;4) đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x - 6y + = 0.
a) Tìm tâm bán kính đường trịn (C)
b) Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt đường tròn hai điểm A, B cho M trung điểm AB
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với d 15 Cho đường trịn (C) : (x −1)2+(y+3)2=25
a) Tìm giao điểm A, B đường tròn với trục ox
b) Gọi B điểm có hồnh độ dương, viết phương trình tiếp tuyến (C) B c) Viết phương trình đường thẳng d qua O cắt (C) tạo thành dây cung có độ dài AB
16 Cho điểm A(8 ;-1) đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x - 4y + = 0.
a) Tìm tâm bán kính (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A
c) Gọi M, N tiếp điểm, tìm độ dài đoạn MN 17 Cho hai đường trịn :
(C1) : x2 + y2 – 2x + 4y - =
(C2) : x2 + y2 + 4x - 4y - 56 =
a) Tìm tâm bán kính (C1) (C2)
b) Chứng minh (C1) (C2) tiếp xúc
c) Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1) (C2)
18 Trong mp Oxy cho điểm A(-1 ;1) đường thẳng d : x – y + - √2 = Viết phương trình đường trịn qua A, qua gốc O tiếp xúc với d
C:Bài tập vận dụng :
1 Viết phương trình đường trịn (C) trường hợp sau: a) (C) có tâm I(2;1) bán kính R = √7
b) (C) có tâm I(0;2) qua điểm A(3; 1) c) (C) có đường kính AB với A(1; 3) B(5; 1)
(8)e) (C) ngoại tiếp tam giác ABC với A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3)
f) (C) có tâm giao điểm đường thẳng d: x – 2y – = với trục Ox đồng thời tiếp xúc với đường thẳngd/: 2x + 3y + = 0.
2 Xét vị trí tương đối đường thẳng sau với đường tròn (C): (x – 3)2 + (y – 2)2 =
4
a) Δ1:x −1=0 b) Δ2:x −2=0 c) Δ3:2x+y −1=0
3 Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (T): x2 +y2 = trường hợp
sau:
a) Biết tiếp điểm A(0; 2)
b) Biết tt song song Δ:3x − y+17=0
c) Biết tt vng góc Δ❑:x −2y
+2=0 d) Biết tt qua M(2; 2)
e) Biết tt tạo với trục Ox góc 450
f) Tìm m để đường thẳng d : x +my – = Tiếp xúc đường tròn (T)
4 Cho đường tròn (T) : x2 + y2 – 4x + 8y – = Viết pttt (T) biết tiếp tuyến :
a) Tiếp xúc với đương trịn A(-1 ; 0) b) Vng góc với đường thẳng d: x + 2y = c) Song song với đường thẳng d/: 3x - 4y – = 0.
d) Đi qua B(3; -11)
e) Tìm m để đường thẳng Δ:x+(m−1)y+m=0 có điểm chung với (T) - -
ĐỀ THI CĨ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy 1 ĐH KA 2004 :
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0 ; 2), B( −√3;−1¿ Tìm tọa độ trực tâm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB
2 ĐH KB 2004:
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – = cho khoảng cách từ C đến AB
3 ĐH KD 2004:
Trong mặt phẳng Oxy cho ΔABC có đỉnh A(-1; 0), B(4; 0), C(0; m) với
m≠0 Tìm tọa độ trọng tâm G ΔABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G
4 ĐH KA 2005:Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1: x – y = , d2: 2x + y –
1 = Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết A∈d1;C∈d2 B, D thuộc
(9)5 ĐH KB 2005:
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2; 0), B(6; 4) Viết phương trình đường trịm (C) tiếp xúc với trục hoành A khoảng cách từ tâm I (C) đến điểm B
6 ĐH KD 2005:
Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): x2 4+
y2
1 =1 điểm C(2; 0) Tìm tọa độ điểm A, B thuộc (E), biết hai điểm A, B đối xứng qua trục hoành tam giác ABC tam giác
7 ĐH KA 2006:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng: d1: x + y + = 0, d2: x – y – = 0, d3: x
– 2y = Tìm tọa độ điểm M nằm đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến
đường thẳng d1 hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 8 ĐH KB 2006:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x - 6y + = điểm M(-3; 1).
Gọi T1, T2 tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình T1T2 9 ĐH KD 2006 :
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x - 2y + = đường thẳng
d : x – y + 3=0
Tìm tọa độ điểm M nằm d cho đường trịn tâm M ó bán kính gấp đơi bán kính đường trịn (C), tiếp xúc ngời với (C)
10 ĐH KA 2007 :