Đang tải... (xem toàn văn)
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (ĐIỂM & VECTƠ)A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ:.[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (ĐIỂM & VECTƠ)
A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho ⃗u=(u1;u2),⃗v=(v1;v2) Ta có: ⃗u=(u1;u2)⇔u⃗=u1.i⃗+u2.⃗j
2 ⃗u=⃗v⇔{u1=v1
u2=v2
3 ⃗u+ ⃗v=(u1+v1;u2+v2) k⃗u=(k u1; k u2),∀k∈R
5 ⃗u ⃗v=u1 v1+u2 v2 |u⃗|=√u12+u22
7 cos(⃗u ,⃗v)= u ⃗ ⃗v
|u⃗||⃗v|=
u1 v1+u2 v2
√u1
2
+u22√v12+v22
8 ⃗u⊥⃗v⇔⃗u ⃗v=0⇔u1 v1+u2 v2=0 9.⃗u phư ơng⃗v⇔∃k∈R:u⃗=k⃗v⇔u1
v1 =u2
v2(
v1, v2≠0)
II Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho A(xA; yA), B(xB; yB),C(xC; yC). Ta có: ⃗AB=(xB−xA; yB−yA)
2 AB=√(xB−xA)2+(yB−yA)2
3.M làtrung mể đo nạ AB⇔M(xA+xB
2 ;
yA+yB
2 ) 4.Glà tr ngọ tâm ∆ ABC⇔G(xA+xB+xC
3 ;
yA+yB+yC
(2)B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
(Nếu khơng thích ta hiểu tập cho mặt phẳng toạ độ Oxy )
Dạng 1: Tọa độ điểm, vectơ
Phương pháp: Tìm tọa độ vectơ ⃗u=(x ; y) hay điểm M(x ; y)
* Tìm hệ thức vectơ có chứa ⃗u hay M
* Lập hệ phương trình để tìm x , y dùng định nghĩa để suy x , y
Bài tập:
Bài 1.1: Viết tọa độ vectơ sau: ⃗a=2i⃗+3⃗j
2 ⃗b=3i⃗
3 ⃗c=−2⃗j
4 ⃗d=0,2i⃗+√3⃗j
⌊ĐS:a⃗=(2;3),b⃗=(3;0),⃗c=(0;−2),d⃗=(0,2;√3)⌋ Bài 1.2: Viết vectơ ⃗u=x⃗i+y⃗j biết tọa độ ⃗u là:
1 (2;−3)
2 (2;0)
3 (0;−1)
4 (0;0)
ĐS: ⃗u=2i⃗−3⃗j,u⃗=2i ,⃗ u⃗=−⃗j,u⃗=⃗0
Bài 1.3: Cho ⃗a=(2;−1),⃗b=(3;0),c⃗=(−1;2) Tìm tọa độ vectơ:
1 ⃗x=2⃗a−3⃗b+⃗c
2 ⃗y=−⃗a+2⃗b−3c⃗
3 ⃗u cho 3⃗a−⃗u=−2b⃗+4c⃗
4 ⃗v cho 2⃗v+⃗a=3⃗b−5⃗c
⌊ĐS:⃗x=(−6;0),⃗y=(11;−7),u⃗=(16;−11),⃗v=(6;−9
2)⌋ Bài 1.4: Cho ⃗a=(2;−2),⃗b=(1;4),⃗c=(5;0),⃗d=(−3;−1)
1 Tìm số h k cho
⃗
c=ha⃗+k⃗b
2 Hãy phân tích vectơ ⃗a theo hai vectơ
⃗
b ,⃗d
⌊ĐS:c⃗=2a⃗+ ⃗b ,⃗a=−8
11 ⃗b− 10 11⃗d⌋
Bài 1.5: Cho A(1;−2), B(0;4),C(3;2)
1 Tìm điểm D để ⃗CD=2⃗AB−3⃗AC 2 Tìm điểm E đối xứng với A qua B
⌈HD:2.B trung mể đo nạ AE⌉ ⌊ĐS:D(−5;2), E(−2;−4)⌋
Dạng 2: Vectơ phương – Ba điểm thẳng hàng – Hai đường thẳng song song Phương pháp: Dùng mệnh đề
¿⃗u=(u1; u2)cùng phư ơng⃗v=(v1; v2)⇔∃k∈R:⃗u=k⃗v⇔
u1 v1
=u2 v2
(v1, v2≠0)
* A , B , C thẳng hàng ⇔⃗AB phương ⃗AC
* AB∥BC⇔{A , B , C không th ng⃗AB phư ẳơng⃗BChàng⇔{⃗⃗AB phư ơng⃗BC
(3)* ABCD hình bình hành ⇔⃗AB=⃗DC Bài tập:
Bài 2.1: Tìm x để cặp vectơ sau phương ⃗a=(2;3),b⃗=(4; x)
2 ⃗u=(0;5),⃗v=(x ;7)
3 ⃗m=(x ;−3),n⃗=(−2;2x)
⌊ĐS:1.x=6, 2.x=0, 3.x=±√3⌋
Bài 2.2: Xét xem cặp vectơ sau có phương khơng? Nếu có xét xem chúng hướng hay ngược hướng?
1 ⃗a=(2;3),b⃗=(−10;−15)
2 ⃗u=(0;7),⃗v=(0;8)
3 ⃗m=(3;4),⃗n=(6;9)
4 ⃗p=(0;5),⃗q=(3;0)
⌊ĐS:a ,⃗ b ng⃗ ư ợchư ớng;u ,⃗ ⃗v hư ớng;⃗m,⃗n không phư ơng;⃗p ,⃗q không phư ơng⌋
Bài 2.3: Cho A(−1;1), B(1;3),C(−2;0) Chứng minh A , B , C thẳng hàng ⌈HD:Ch ngứ minh⃗AB ,⃗AC không phư ơng⌉
Bài 2.4: Tìm m để K(2;−1), L(4;5).
1 K , L , M(m−1;m+2) thẳng hàng C(−7;m) thuộc đường thẳng KL
⌈HD:1.⃗KL ,⃗KM phư ơng,2.⃗KL,⃗KC phư ơng⌉ ⌊ĐS:1.m=4, 2.m=−28⌋ Bài 2.5: Cho A(−1;3), B(2;4), C(0;1)
1 Chứng minh A , B , C khơng thẳng hàng
2 Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Tìm tọa độ điểm E thuộc Ox để A , B , E thẳng hàng Tìm tọa độ điểm F thuộc Oy để ⃗AF ,⃗BC phương Cho H(1;4) Chứng minh AC∥BH
⌈
HD:1.⃗AB ,⃗AC không phư ơng
2.⃗AB=⃗DC ,3.E(xE;0),4.F(0; yF)
5.{ ⃗AC phư ơng⃗BH
⃗AC không phư ơng⃗AB
⌉ ⌊
ĐS:2.D(1;6)
3.E(−10;0)
4.F(0;9
2) ⌋
Dạng 3: Tích vơ hướng , góc hai vectơ - Hai đường thẳng vng góc Xác định dạng tam giác – Chu vi – Diện tích
Phương pháp: Sử dụng cơng thức với ⃗u=(u1;u2),⃗v=(v1;v2)
* ⃗u ⃗v=u1 v1+u2 v2
¿cos( ⃗u ,⃗v)= ⃗u ⃗v
|u⃗||⃗v|=
u1 v1+u2 v2
√u12+u22√v12+v22
* ⃗u⊥⃗v⇔⃗u ⃗v=0⇔u1 v1+u2 v2=0
với A(xA; yA), B(xB; yB) * ⃗AB=(x
B−xA; yB−yA) * AB=√(xB−xA)2+(yB−yA)2
* ∆ ABC vuông cân A⇔{ABAB⊥AC
=AC ⇔{
⃗AB.⃗AC=0
(4)* ABCD hình vng ⇔{
⃗AB=⃗CD
AB⊥CB AB=AD
⇔{
⃗AB=⃗CD ⃗AB.⃗CB=0
AB=AD
Bài tập:
Bài 3.1: Cho a⃗=(5;2),b⃗=(7;−3)
1 Tìm ⃗x thoả ⃗a ⃗x=38
⃗
b ⃗x=30
2 Tính (a ,⃗ b⃗)
⌊ĐS:⃗x=(6;4);(a ,⃗ b⃗)=45°⌋
Bài 3.2: Cho ∆ ABC có A(1;−1), B(5;1),C(3;3)
1 Tính cos(⃗BC ,⃗BA) góc A Tính chu vi ∆ ABC
⌈ HD:1.^A=(⃗AB ,⃗AC) 2.P∆ ABC=AB+AC+BC
⌉ ⌊ĐS:1 cos(⃗BC ,⃗BA)=√1010,^A ≈36°52° 2.P∆ ABC=4√5+2√2
⌋ Bài 3.3: Cho A(7;−3), B(8;4), C(1;5), D(0;−2)
1 Chứng minh AB⊥CB
2 Chứng minh tứ giác ABCD hình vng
3 Tính chu vi hình vng ABCD
4 Tính diện tích hình vng ABCD
⌈ HD:1.⃗AB.⃗CB=0,2.{
⃗AB=⃗CD ⃗AB ⃗CB=0
AB=AD
3.PABCD=4.AB ,4.SABCD=AB AC
⌉ ⌊ĐS:3.PABCD=5√2 4.P∆ ABC=50√2
⌋
Bài 3.4: Cho A(−3;2), B(4;3)
1 Tìm điểm M trục Ox cho ∆ MAB vuông M
2 Tìm B cho ∆ OAB vng cân A
3 Tính chu vi diện tích ∆ OAB ∆ MAB
⌈ HD:1
⃗MA ⃗MB=0, 2.{⃗AO ⃗AB=0
AO=AB
3.S∆ MAB=1
2MA MB ,4.S∆ OAB=
20A.0B ⌉ ⌊
ĐS:1.M(−2;0),2.B(−2;−5)
3.P∆ MAB=4√5+5√2, S∆ MAB=5
2
P∆ OAB=2√13+5√2, S∆ OAB=13
2 ⌋
Bài 3.5: Nhận dạng ∆ ABC , biết: A(−2;2), B(6;6),C(2;−2)
2 A(−2;8), B(−6;1),C(0;4)
3 A(−4;2), B(0;−1), C(3;3)
(5)Dạng 4: Tọa độ trung điểm đoạn thẳng – Chân đường cao tam giác Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Phương pháp: Cho ∆ ABC với A(xA; yA), B(xB; yB),C(xC; yC).
¿M làtrung mể đo nạ AB⇔M(xA+xB
2 ;
yA+yB
2 )
¿Glà tr ngọ tâm ∆ ABCG(xA+xB+xC
3 ;
yA+yB+yC
3 )
* K chân đường cao vẽ từ A ⇔{ AK⊥BC
K , B , C th ngẳ hàng⇔{
⃗AK ⃗BC=0 ⃗BK phư ơng⃗BC
* H trực tâm ∆ ABC⇔{BHAH⊥⊥BCAC⇔{⃗AH ⃗BC=0
⃗BH ⃗AC=0
* I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC⇔IA=IB=IC⇔{IA2=IB2
IA2=IC2
(hay
v iớ M trung mể AB, N trung mể AC thì I làtâm đư ờngtrịn ngo iạ ti pế ∆ ABC⇔{MI⊥AB
¿⊥AC ⇔{
⃗MI ⃗AB=0 ⃗
¿.⃗AC=0 )
Bài tập:
Bài 4.1: Cho ∆ ABC có A(−1;2), B(5;2), C(3;0) Tìm tọa độ của: Trọng tâm G ∆ ABC
2 Tâm đường tròn ngoại tiếp I ∆ ABC
3 Chân đường cao A ' vẽ từ A Trực tâm H ∆ ABC
⌊ĐS:1.G(7
3;
3);2.I(2;3);3.A '
(2;−1);4.H(3;−2)⌋
Bài 4.2: Cho A(−2;1), B(2;0), C(3;4)
1 Tìm trọng tâm G , trực tâm H , tâm I đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC Chứng minh điểm G , H , I thẳng hàng
⌊ĐS:1.G(7
3; 3);I(
1 2;
5
2); H(2;0)⌋
Bài 4.3: Cho ∆ ABC với M(−1;−1), N(1;9), P(9;1) trung điểm cạnh BC , AC , AB Tìm toạ độ A , B , C
⌊ĐS:A(11;11); I(7;−9); H(−9;7)⌋
Bài 4.4: Cho ∆ ABC với A(1;−1), B(3;−3),C∈Oy Xác định toạ độ điểm C , biết
∆ ABC có trọng tâm thuộc trục Ox
⌊ĐS:C(−4;0)⌋
Bài 4.5: Cho ∆ ABC có đỉnh A(−1;0), B(4;0),C(0; m) với m≠0 Tìm toạ độ trọng tâm G ∆ ABC theo m Xác định m để ∆ GAB vuông G
⌊ĐS:G(1;m
(6)