Chương I. §2. Cực trị của hàm số

+ Hàm số f(x) cũng có thể không có cực trị trên một tập hợp số thực cho trước... Không có cực trị.[r]

Ngày soạn : 20/08/2014

§ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I Mục đích yêu cầu

-HS nắm khái niệm cực đại, cực tiểu Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Quy tắc tìm cực trị hàm số ( QT I)

-Khắc sâu quy tắc tìm cực trị hàm số

- Biết thành thạo kĩ tìm cực trị hàm số quy tắc - Biết tìm hướng giải tốn có liên quan đến cực trị II Bài giảng

1 Khái niệm cực trị hàm số.

* Định nghĩa:Cho hàm số y = f(x) liên tục (a; b) (có thể a -; b +) điểm x0  (a; b). o Nếu f(x) < f(x0), ∀ x0  (a; b) {x¿

0¿ ¿ ta nói hàm số f(x) đạt cực đại x0 o Nếu f(x) > f(x0), ∀ x0  (a; b) {x¿

0¿ ¿ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu x0.

- x0 Gọi điểm cực đại, điểm cực tiểu (gọi chung điểm cực trị) hàm số

- f(x0)) Gọi giá trị cực đại, giá trị cực tiểu (gọi chung cực trị) hàm số.

- Nếu x0 điểm cực trị hàm số f(x) điểm (x0; f(x0)) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f(x)  Chú ý:

+ Giá trị cực đại, cực tiểu nói chung khơng phải giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f(x) D Nó giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f(x) khoảng (a ;b) chứa điểm x0

+ Hàm số f(x) đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập hợp D + Hàm số f(x) khơng có cực trị tập hợp số thực cho trước Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm khoảng (a ;b) có cực trị x0 f’(x0) = 0.  Chú ý :

- Điều ngược lại khơng

- Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm VD : y = f(x)=|x|

- Một hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số 0, hàm số khơng có đạo hàm

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Giả sử hàm số f(x) liên tục có đạo hàm khoảng (a ;b) chứa điểm x0

Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 hàm số đạt cực tiểu điểm x0

Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 hàm số đạt cực đại điểm x0

Nếu f'(x) không đổi dấu qua x

0 x0 khơng điểm cực trị Quy tắc I:

+ Tìm tập xác định

+ Tính f'(x) Tìm điểm f'(x) khơng không xác định + Lập bảng biến thiên

+ Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị VD1: Tìm cực trị của hàm số:

3

1

2

3

y x  x  x

Ta có:

2

' 2; '

2 x

y x x y

x  

     



 .

* Bảng biến thiên:

x   –  y’ + – +

y 19

6

−4

Vậy hàm số đạt cực đại x = -1 giá trị cực đại yCĐ=y(−1)=19 hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu yCT=y(2)=

−4 Quy tắc II:

+ Tìm tập xác định

+ Tính f'(x) Giải phương trình f'(x) = Ký hiệu xi (i = 1, 2…) nghiệm (nếu có)

+ Tính f' '(x) f' '(xi)

+ Dựa vào dấu f' '(x) suy tính chất cực trị điểm xi

o Nếu f' '

(xi) < hàm số đạt cực đại điểm xi

o Nếu f' '

(xi) > hàm số đạt cực tiểu điểm xi

VD1’: Tìm cực trị của hàm số:

3

1

2

3

y x  x  x

Giải * Tập xác định: D=R

- Ta có:

2

' 2; '

2 x

y x x y

x  

     



 .

y''=2x−1

 y''(−1)=−3<0 nên hàm số đạt cực đại điểm x = -1 giá trị cực đại yCĐ=y(−1)= 19

6  y''(2)=3>0 nên hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu yCT=y(2)=

−4 VD2:: Tìm cực trị của hàm số: f(x)=|x|(x+2)

Giải: - Tập xác định: D=R

- Ta có : f (x)={

−x(x+2)=−x2−2x v iớ x<0

x(x+2)=x2+2x v iớ x>0

0v iớ x=0

Do : f'(x)={−2x−2v iớ x<0 2x+2v iớ x>0

Tại x=0 , hàm số khơng có đạo hàm

f'(x)=0⇔x=−1

- Bảng biến thiên:

x   – 

f'

f(x)

0

Vậy hàm số đạt cực đại x = -1 giá trị cực đại fCĐ=f(−1)=1 hàm số đạt cực tiểu x = giá trị cực tiểu fCT=f(0)=0 Tìm cực trị hàm số sau:

BT1: a¿f(x)=1 3x

3

+2x2+3x−1b¿f(x)=x+1

xc¿f(x)=|x|−5x+4

d¿y=x√4−x2e¿f(x)=x

2

−3x+3

x−1 f¿f(x)=2 sin2x−3 BT2(BTVN):

a¿f(x)=1

3x

−x2+2x−10b¿f (x)=x 5 −

x3

3+2c¿y=√8−x

2x+2e

d¿y=x−sin¿y=3−2 cosx−cos 2x¿ f¿f(x)=x

2

−2|x|+2 g) y = x2x21  



Dạng 2: Chứng minh hàm số có cực trị B1: Tìm tập xác định D

B2: Tính đạo hàm y’

B3: Chứng minh phương trình y’ = có nghiệm B4: Lập bảng biến thiên kết luận điểm cực trị

VD: Chứng minh với giá trị m, hàm số y=x

2

−m(m+1)x+m3+1

x−m có cực đại

cực tiểu.

Giải - Tập xác định: D=R¿{m¿ ¿

Ta có y '=x

−2mx+m2−1

(x−m)2 ( Điều kiện : x ≠ m (kép)) y'=0⇔x2−2mx+m2−1=0 Khi đó: ∆'=m2−(m2−1)=1>0,∀m∈R

⇒ Phương trình y'=0 ln có nghiệm phân biệt : x1=m−1, x2=m+1(th aỏ x ≠ m) Vậy hàm số ln có cực đại, cực tiểu

BT:

a) Chứng minh với m , hàm số: y=x

+m(m2−1)x−m4+1

x−m ln ln có cực đại, cực tiểu b) Cho hàm số y=mx+√x2−2x+2 , chứng minh hàm số cực đại với m

c) Cho hàm số y=x3+3m x2+3(m2−1)x+m3−3m , chứng minh với m hàm số ln có cực đại cực tiểu

Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để hàm số có cực trị B1: Tìm tập xác định D

B2: Tính đạo hàm y’

- Hướng 1: Nếu xét dấu y’ sử dụng dấu hiệu I với lập luận: “ Hàm số có k cực trị ⇔ Phương trình y '=0 có k nghiệm phân biệt đổi dấu qua nghiệm »

- Hướng : Nếu khơng xét dấu y’ tốn yêu cầu cụ thể cực đại cực tiểu thì sử dụng dấu hiệu II việc tính thêm y’’ Khi đó:

+ Hàm số có cực trị ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D: { y

' =0

y ' ' ≠0

+ Hàm số có cực tiểu ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D: {y

' =0

y''>0

+ Hàm số có cực đại ⇔ hệ sau có nghiệm thuộc D: {y

' =0

y''<0

+ Hàm số đạt cực tiểu x0 điều kiện là: {

x0∈D

x0làđi mể t iớ h nạ

y' ' (x0)>0

+ Hàm số đạt cực đại x0 điều kiện là: {

x0∈D

x0làđi mể t iớ h nạ

y' ' (x0)<0

 Chú ý: Điểm tới hạn điểm mà y’ khơng xác định y’ =  Với y'là hàmđa th cứ thì x0là mể t iớ h nạ ⇔ y'(x0)=0

 Đối với hàm bậc có y”( x0 ) = x0 CĐ VD y = x4

 Với y'=g(x)

h(x) x0là mể t iớ h nạ ⇔[

g(x0)=0

h(x0)=0

BT1: Tìm m để hàm số sau có CĐ CT

a y= -x3+mx2-3x+5 b y=x4 –2(m+1)x2+m3

Lời giải

a y’ =-3x2+2mx-3 TTB2 có  m2

Hàm số sau có CĐ CT y’=0 có nghiệm pb  m2 9>0 

3 m m

 

 b y’= 4x3-4(m+1)x=4x(x2-m-1)

y’=0

2 1

0 x m x

    

Hàm số sau có CĐ CT  y’=0 có nghiệm pb  m+1>0 m>-1

BT2:Tìm m để h/s sau có điểm cực trị , Điểm cực đại hay cực tiểu y= x4- (2m+1)x2 +m-2

Ta có y’= 4x3- 2(2m+1)x =2x(2x2- 2m-1)

2

0

2

' 0 x

m x

y 

  

  



H/s có điểm cực trị  pt y: ' 0 có nghiệm

2 1

0

2

m

m

 

   

TQ : *Hàm số bậc có CĐ,CT pt bậc y’=0 có 2nghiệm pb hay > 0

*H/s tr.ph có cực đại ,cực tiểu pt y’= Bx(x2- A)=0 có 3nghiệm pb hay A> 0

BT3: Tìm hệ số a, b, c, d hàm số: f(x)=a x3

+b x2+cx+d cho hàm số đạt cực tiểu taị điểm x=0 , f(0)=0 đạt cực đại điểm x=1 , f (1)=1 .

Giải - Tập xác định: D=R

Ta có: f'(x)=3ax2

+2bx+c f' '(x)=6ax+2b

Để hàm số đạt cực tiểu taị điểm x=0 , f(0)=0 đạt cực đại điểm x=1 , f(1)=1 :

{f0'(0)=0∈D

f' '(0)>0

f(0)=0

1∈D f'(1)=0

f' '(1)<0

f(1)=1

⇔{

c=0

2b>0

d=0

3a+2b+c=0 6a+2b<0

a+b+c+d=1

⇔{

c=0

d=0

b>0 3a+b<0 3a+2b=0

a+b=1

⇔{

a=−2

b=3

c=0

d=0

Vậy hệ số cần tìm là: a=−2,b=3,c=0,d=0 Khi ta được: f(x)=−2x3+3x2

BT4: Tìm m để h/s y=x3-(m+1)x2-(m2+5)x-1 đạt cực đại x=-1

BL: TXĐ D=R

y’=3x2-2(m+1)x-(m2+5)

y’’=6x-m2-5

Để h/s nhận x=-1 điểm cực đại y’(-1)=0 2m-m2=0

2 m m

 

 * Với m=2 y’’(-1)=-15<0  x=-1 điểm CĐ

* Với m=0thì y’’(-1)=-11<0  x=-1 điểm CĐ KL; Vậy gí trị cần tìm m=0 ; m=2

BT5 ( B1.12-SBT) Cho h/s y= x3- mx2

+(m-2

3)x + 5.Tìm m để hs có cực trị x = Khi hs đạt CĐ hay CT

*y’= 3x2- 2mx + m -

2

+Để x= diểm cực trị h/s x=1 nghiệm pt y’=0 Hay

3-2m+m-2

3 =0  m= +Với m=

7

3 ta có y’’=6x-14

3 ; y’’(1)=

4

0

3   x điểm cực tiểu (TMYCBT)

Vậy m=

3 giá trị cần tìm

Chú ý :Tìm m để h/s y=f(x) nhận điểm x=x0 cực trị

Để h/s y=f(x) nhận điểm x=x0 cực trị x0 nghiệm pt y’=0 Từ tìm m Sau kiểm tra lại dấu

y’’(x0) để xem điểm CĐ hay CT có thỏa mãn khơng Từ KL

BT6 (B4 sgk):Cho hs y = x3- mx2 -2x + 1

a.CMR hs ln có CĐ CT với m

b Tìm m dể h/s có điểm cực trị x1 ;x2 thỏa mãn

2 2

BG : a y’ =3x2 - 2mx - có ’= m2 +6 0 m

Do đo pt bậc : y’ = có nghiệm pb m Vậy h/s ln có điểm CĐ CT m b.H/s có điểm CĐ CT m.

Giảsử điểm cực trị x1 ;x2 nghiệm pt : 3x2 - 2mx - =0 theo định lý viet

1 2 3 m x x x x      

 mà 12 22

13 x x 

2

1 2

13

( )

9

x x x x

    1

4 m m     Vậy m= 

thỏa mãn ycbt BT7: Cho h/s y = x3 + mx2 – x - m

CMR h/s ln có hai điểm cực đại cực tiểu x1 , x Tìm m để 3x

2 1 +3x

2 2 = 2

Bài làm :

a Ta có y’ = 3x2 + 2mx– có ’=m2+3 > m  pt : y’=0 ln có nghiệm pb m

 H/s ln có hai điểm cực đại cực tiểu x1 , x 2

b Theo ĐL vi et ta có x1 +x =

2

m 

; x1.x =

1 

3x12 +3x

2 = 

2 2

1 2

3(x x ) 2 3(x x )  6x x  2 m0 Vậy m=0 thỏa mãn

BT8: Cho h/s y = x3-mx2+(m+36)x Tìm m để h/s có điểm cực trị x

1; x2 thỏa mãn x1 x2 4

Bài làm

Ta có y’ = 3x2- 2mx+m+36 có ' m2 3m108

H/s có điểm cực trị x1; x2  pt bậc :y’=0 có nghiệm 

2

' m 3m 108

     12 m m     (*)

Khi x1; x2 nghiệm pt y’=0 hay x1 +x2 =

2

m x1 x2 =

36 m

1

x  x   (x2x2)2 4x x1 2 32

2 15

12

3 180 0 m

m

m m 





     

TQ :Hàm số bậc có CĐ,CT pt bậc 2:y’=0 có 2nghiệm pb hay > Nếu điểm CĐ ,CT thỏa mãn biểu thức ta triển khai theo ứng dụng định lý viet

Khi x=0 điểm cực tiểu BTVN:

a) Định m để hàm sơ y=(m+2)x3+3x2+mx−5 có cực đại, cực tiểu

b) Tìm m để hs có cực trị y=x3-3mx2+(m+4)x+23 ( ĐK y’=0 có nghiệm pb hay m<-1 m>

4 ) c) Định m để hàm số y=−m x4+2(m−2)x2+m−5 có cực đại x=12

d) Định a để hàm số y=x

2−2ax+2

x−a đạt cực tiểu x=2

A. B. C. D. Câu 2: Điểm cực tiểu hàm số: yx33x4 x =

A -1 B.1 C - D Câu 3: Điểm cực đại hàm số:

4

1

2

2

y x  x 

là x = A B  2 C. 2 D 2

Câu 4: Đồ thi hàm số y x 3 3x1 có điểm cực tiểu là: A (-1; -1) B (-1; 3) C (-1; 1) D (1; 3)

Câu Khẳng định sau hàm sốy x 44x22: A Đạt cực tiểu x = B Có cực đại cực tiểu C Có cực đại khơng có cực tiểu D Khơng có cực trị Câu 6: Cho hàm số

4

1

2

4

y x  x 

.Hàm số có

A Một cực đại hai cực tiểu B Một cực tiểu hai cực đại C Một cực đại khơng có cực tiểu D Một cực tiểu cực đại Câu 7:Trong khẳng định sau hàm số

2

1

x y

x 

 , tìm khẳng định đúng? A Hàm số có điểm cực trị

B Hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu C Hàm số đồng biến khoảng xác định D Hàm số nghịch biến khoảng xác định Câu 8: Trong khẳng định sau hàm số

4

1

3

4

y x  x 

, khẳng định đúng? A.Hàm số có điểm cực tiểu x = B Hàm số có hai điểm cực đại x = 1

C.Cả A B đúng; D Chỉ có A Câu 9: Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai: A Hàm số y = –x3 + 3x2 – có cực đại cực tiểu

B.Hàm số y = x3 + 3x + có cực trị

C Hàm số

1

2

y x

x   

 khơng có cực trị

D Hàm số

1

1

y x x   

 có hai cực trị

Câu 10:Tìm kết giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số

2

2

y x

x   

A yCĐ = yCT = 9; B yCĐ = yCT = –9; C yCĐ = –1 yCT = 9; D yCĐ = yCT = 1.

Câu 11 Tìm tất giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số  

3

1

1

3

y x x  m x

có hai điểm cực trị nằm bên trái trục tung

A 1m2 B m1 C m2 D m1

Câu 12 Tìm giá trị thực tham số m để hàm số  

3

2

x

y mx m x

3

    

đạt cực đại x 1 .

A. m 1 B. m 0 C. m2 D. m 2

Câu 13 Giả sử đồ thị hàm số y x 3 3mx23(m6)x1có hai cực trị Khi đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình là:

A y=2x+m2+6m+1 B.

y=2(−m2+m+6)x+m2+6m+1

C y=−2x+m2+6m+1 D Tất sai

Câu 14 Tìm tất giá trị nguyên tham số thực m để hàm số

3

1

y x mx

3

 

có điểm cực đại

1

x , điểm cực tiểu x2  2 x1 1;1 x 2 2.

A. m 0 B. m 0 C. m 0 D. không tồn m Câu 15 Cho hàm số y x 3 3mx1 (1) Cho A(2;3), tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị B C cho tam giác ABC cân A

A m=

1

2 B m=

3

2 C m=−

3

2 D m=−

1

Câu 16 Với giá trị m hàm số y x 3 2mx2m x2  đạt cực tiểu x1

A m=−1 B m=2 C m=1 D m=−2

Câu 17 Tìm m để hàm số  

3

3

y x m  x đạt cực tiểu x0

A m=1 B m=2 C m=−2 D m=−1

Câu 18 Cho hàm số  

3 3 3 1

yx  mx  m  x m m

Tìm m để hàm số cho có hai điểm cực trị Gọi x x1, hai điểm cực trị Tìm m để

2

1 2

x x  x x  A m=±

1

2 B m=±

9

Câu 19 Cho hàm số yx33mx2 3m1 Với giá trị m đồ thị hàm số cho có cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d x: 8y 74 0

A m=−1 B m=2 C m=1 D m=−2

Câu 20 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số ymx4(m21)x2m 1 có ba cực trị

A.

1 m m    

 

 B.

1 m m    

 

 C.

m m

 

  

 D.

0 m m

 

   

Câu 21:Cho hàm số  

3

1

2 1

3

y x m x  m x

Mệnh đề sau sai?

A. m1 hàm số có cực đại cực tiểu

B. m1 hàm số có hai điểm cực trị

C. m1 hàm số có cực trị