lý thuyết xác suất và thống kê toán
ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK Trang 1 XC SUT V THNG Kấ (i hc v Cao ủng) Ti liu tham kho: 1. Giỏo trỡnh Xỏc sut Thng kờ v ng dng Nguyn Phỳ Vinh NXB Thng kờ. 2. Ngõn hng cõu hi Xỏc sut Thng kờ v ng dng HCN TP.HCM. 3. Lý thuyt Xỏc sut v Thng kờ inh Vn Gng NXB Giỏo dc. 4. Lý thuyt Xỏc sut v Thng kờ toỏn Nguyn Thanh Sn, Lờ Khỏnh Lun NXBTKờ. 5. Xỏc sut Thng kờ Lý thuyt v cỏc bi tp u Th Cp NXB Giỏo dc. 6. Lý thuyt Xỏc sut v Thng kờ inh Vn Gng NXB Giỏo dc. 7. Xỏc sut Thng kờ v ng dng Lờ S ng NXB Giỏo dc. 8. Xỏc sut v Thng kờ ng Hn NXB Giỏo dc. 9. Giỏo trỡnh Xỏc sut v Thng kờ Phm Xuõn Kiu NXB Giỏo dc. 10. Giỏo trỡnh Lý thuyt Xỏc sut & Thng kờ ToỏnNguyn Cao VnNXB Kt Quc dõn. PHN I. Lí THUYT XC SUT B TC I S T HP 1. Tớnh cht cỏc phộp toỏn , a) Tớnh giao hoỏn: A B B A= , A B B A= . b) Tớnh kt hp: (A B) C A (B C)= , (A B) C A (B C)= . c) Tớnh phõn phi: A (B C) (A B) (A C)= , A (B C) (A B) (A C)= . d) Tớnh ủi ngu (DeMorgan): A B A B= , A B A B= . 2. Quy tc nhõn Gi s mt cụng vic no ủú ủc chia thnh k giai ủon. Cú n 1 cỏch thc hin giai ủon th 1, cú n 2 cỏch thc hin giai ủon th 2, ., cú n k cỏch thc hin giai ủon th k. Khi ủú ta cú n = n 1 .n 2 n k cỏch thc hin ton b cụng vic. 3. Quy tc cng Gi s mt cụng vic cú th thc hin ủc k cỏch (trng hp) loi tr ln nhau: cỏch th nht cho m 1 kt qu, cỏch th hai cho m 2 kt qu, , cỏch th k cho m k kt qu. Khi ủú vic thc hin cụng vic trờn cho m = m 1 + m 2 + + m k kt qu. 4. Mu lp, mu khụng lp Mu khụng lp: cỏc phn t ca mu ch cú mt mt ln (cỏc phn t khỏc nhau tng ủụi mt). Mu cú lp: cỏc phn t ca mu cú th lp li nhiu ln trong mu. Mu khụng th t: khi thay ủi v trớ cỏc phn t khỏc nhau ca mu ta khụng nhn ủc mu mi. Mu cú th t: khi thay ủi v trớ cỏc phn t khỏc nhau ca mu ta nhn ủc mu mi. 5. Cỏc cụng thc thng dựng 5.1. Hoỏn v nh ngha: Hoỏn v ca n phn t l mt nhúm cú th t gm ủ mt n phn t ủó cho. S hoỏn v ca n phn t ủc ký hiu l n P , n P n!= . 5.2. Chnh hp lp (cú th t) nh ngha: Chnh hp lp k ca n phn t (k n) l mt nhúm (b) cú th t gm phn k t khụng nht thit khỏc nhau chn t n phn t ủó cho. S cỏc chnh hp lp k ca n phn t l n k . 5.3. Chnh hp (mu khụng lp, cú th t) nh ngha: Chnh hp chp k ca n phn t (k n) l mt nhúm (b) cú th t gm phn k t khỏc nhau chn t n phn t ủó cho. S chnh hp chp k ca n phn t ký hiu l k n A . k n n! A n(n 1) .(n k 1) (n k)! = + = . 5.4. T hp (mu khụng lp, khụng cú th t) nh ngha: T hp chp k ca n phn t (k n) l mt nhúm (b) khụng phõn bit th t gm k phn t khỏc nhau chn t n phn t ủó cho. S t hp chp k ca n phn t ký hiu l k n C v ( ) k n n! C k! n k ! = . Quy c: 0! = 1. Tớnh cht: k n k n n C C = ; k k 1 k n n 1 n 1 C C C = + . ---------------------------------------------- ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK Trang 2 Chng 1. CC KHI NIM C BN CA XC SUT Đ1. BIN C NGU NHIấN 1.1. Phộp th v bin c Phộp th l vic thc hin 1 thớ nghim hay quan sỏt mt hin tng no ủú ủ xem cú xy ra hay khụng. Hin tng cú xy ra hay khụng trong phộp th ủc gi l bin c ngu nhiờn. Bin c ngu nhiờn thng ủc ký hiu A, B, C VD 1. + Tung ủng tin lờn l mt phộp th, bin c l mt sp xut hin hay mt nga xut hin. + Chn ngu nhiờn mt s sn phm t mt lụ hng ủ kim tra l phộp th, bin c l chn ủc sn phm tt hay chn ủc ph phm. + Gieo mt s ht lỳa l phộp th, bin c l ht lỳa ny mm hay ht lỳa khụng ny mm. 1.2. Cỏc loi bin c a) Khụng gian mu v bin c s cp Trong mt phộp th, tp hp tt c cỏc kt qu cú th xy ra ủc gi l khụng gian mu ký hiu l . Mi phn t khụng th phõn nh thnh hai bin c ủc gi l bin c s cp. VD 2. Xột phộp th gieo 3 ht lỳa. Gi A i l bin c cú i ht ny mm (i = 0, 1, 2, 3). Khi ủú cỏc A i l cỏc bin c s cp v = {A 0 , A 1 , A 2 , A 3 }. Gi B l cú ớt nht 1 ht ny mm thỡ B khụng l bin c s cp. b) Bin c chc chn v bin c khụng th Trong mt phộp th, bin c nht ủnh xy ra l chc chn, ký hiu l . Bin c khụng th l bin c khụng th xy ra khi thc hin phộp th, ký hiu . VD 3. T mt nhúm cú 6 nam v 4 n chn ra 5 ngi. Khi ủú, bin c chn ủc 5 ngi n l khụng th, bin c chn ủc ớt nht 1 nam l chc chn. c) S trng hp ủng kh nng Hai hay nhiu bin c trong mt phộp th cú kh nng xy ra nh nhau ủc gi l ủng kh nng. Trong mt phộp th m mi bin c s cp ủu ủng kh nng thỡ s phn t ca khụng gian mu ủc gi l s trng hp ủng kh nng ca phộp th. VD 4. Gi ngu nhiờn mt hc sinh trong lp ủ kim tra thỡ mi hc sinh trong lp ủu cú kh nng b gi nh nhau. d) Cỏc phộp toỏn Tng ca A v B l C, ký hiu C A B= hay C = A + B, xy ra khi ớt nht 1 trong hai bin c A, B xy ra. VD 5. Bn hai viờn ủn vo 1 tm bia. Gi A 1 : viờn th nht trỳng bia, A 2 : viờn th hai trỳng bia v C: bia b trỳng ủn thỡ 1 2 C A A = . Tớch ca A v B l C, ký hiu C AB A B = = , xy ra khi v ch khi c A v B cựng xy ra. VD 6. Mt ngi chn mua ỏo. Gi A: chn ủc ỏo mu xanh, B: chn ủc ỏo smi v C: chn ủc ỏo smi mu xanh thỡ C = AB. VD 7. Chn ngu nhiờn 10 linh kin trong 1 lụ ra kim tra. Gi A i : chn ủc linh kin th i tt v C: chn ủc 10 linh kin tt thỡ 10 1 2 10 i i 1 C A A . A A = = = . Phn bự ca A, ký hiu: { } A \ A A = = . VD 8. Bn ln lt 2 viờn ủn vo 1 tm bia. Gi A i : cú i viờn ủn trỳng bia (i = 0, 1, 2), B: cú khụng quỏ 1 viờn ủn trỳng bia. Khi ủú 2 B A= , 0 2 A A v 1 2 A A . 1.3. Quan h gia cỏc bin c a) Bin c xung khc Hai bin c v B ủc gi l xung khc nu chỳng khụng ủng thi xy ra trong mt phộp th. H cỏc bin c A 1 , A 2 ,, A n ủc gi l xung khc (hay ủụi mt xung khc) khi mt bin c bt k trong h xy ra thỡ cỏc bin c cũn li khụng xy ra. Ngha l i j A A , i j= . VD 9. Mt hp cú 3 viờn phn mu ủ, xanh v trng. Chn ngu nhiờn 1 viờn. Gi A: chn ủc viờn mu ủ, B: chn ủc viờn mu trng v C: chn ủc viờn mu xanh thỡ A, B, C l xung khc. b) Bin c ủi lp Hai bin c A v B ủc gi l ủi lp nhau nu chỳng tha món 2 ủiu sau: 1) A v B xung khc vi nhau. 2) Phi cú ớt nht mt trong 2 bin c xy ra. VD 10. Trng 1 cõy bch ủn. Gi A: cõy bch ủn sng, B: cõy bch ủn cht thỡ A v B l ủi lp. H cỏc bin c {A i } (i = 1,, n) ủc gi l h ủy ủ cỏc bin c nu tha món 2 ủiu sau: 1) H xung khc, ngha l i j A A , i j= . 2) Phi cú ớt nht 1 bin c trong h xy ra, ngha l 1 2 n A A . A = . VD 11. H {A, B, C} trong VD 9 l ủy ủ. Chỳ ý. H { } A, A l ủy ủ vi bin c A tựy ý. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK Trang 3 §2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.1. ðịnh nghĩa xác suất dạng cổ điển • Trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng, trong đó có m khả năng thuận lợi cho biến cố A xuất hiện thì xác suất của A là: m P(A) n = = Số biến cố thuận lợi cho A Số tất cả các biến cố có thể . VD 1. Một hộp chứa 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm. Tính xác suất: a) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp được phế phẩm. b) Chọn ngẫu nhiên 1 lần từ hộp ra 2 sản phẩm được 2 phế phẩm. VD 2. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 3 sản phẩm (lấy 1 lần), tính xác suất để: a) Cả 3 sản phẩm đều tốt; b) Có đúng 2 phế phẩm. VD 3. Một lớp có 60 học sinh trong đó có 28 em giỏi tốn, 30 em giỏi lý, 32 em giỏi ngoại ngữ, 15 em vừa giỏi tốn vừa giỏi lý, 10 em vừa giỏi lý vừa giỏi ngoại ngữ, 12 em vừa giỏi tốn vừa giỏi ngoại ngữ, 2 em giỏi cả 3 mơn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp. Tính xác suất: a) Chọn được em giỏi ít nhất 1 mơn. b) Chọn được em chỉ giỏi tốn. c) Chọn được em giỏi đúng 2 mơn. Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa dạng cổ điển • Ưu điểm: Tính được chính xác giá trị của xác suất mà khơng cần thực hiện phép thử. • Hạn chế: Trong thực tế có nhiều phép thử vơ hạn các biến cố và biến cố khơng đồng khả năng. 2.3. ðịnh nghĩa theo hình học Cho miền Ω . Gọi độ đo của Ω là độ dài, diện tích, thể tích (ứng với Ω là đường cong, miền phẳng, khối). Gọi A là biến cố điểm M S∈ ⊂ Ω . Ta có P(A) = Ω độ đo S độ đo . VD 6. Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp tam giác đều cạnh 2 cm. VD 7. Hai người bạn hẹn gặp nhau tại 1 địa điểm theo quy ước như sau: – Mỗi người độc lập đi đến điểm hẹn trong khoảng từ 7 đến 8 giờ. – Mỗi người đến điểm hẹn nếu khơng gặp người kia thì đợi 30 phút hoặc đến 8 giờ thì khơng đợi nữa. Tìm xác suất để hai người gặp nhau. 2.4. Tính chất của xác suất 1) 0 P(A) 1≤ ≤ , với mọi biến cố A; 2) P( ) 0∅ = ; 3) P( ) 1Ω = . 2.5. Ý nghĩa của xác suất • Xác suất là số đo mức độ tin chắc, thường xun xảy ra của 1 biến cố trong phép thử. Chú ý. Xác suất phụ thuộc vào điều kiện của phép thử. §3. CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1. Cơng thức cộng xác suất a) Biến cố xung khắc • A và B xung khắc thì: P(A B) P(A) P(B)= +∪ . • Họ {A i } (i = 1, 2,…, n) thì: ( ) 1 2 n 1 2 n P A A . A =P(A )+P(A )+ .+P(A )∪ ∪ ∪ . b) Biến cố tùy ý • A và B là hai biến cố tùy ý thì: P(A B) P(A) P(B) P(AB)= + −∪ . • Họ {A i } (i = 1, 2,…, n) các biến cố tùy ý thì: n n i i i j i 1 i 1 i j n 1 i j k 1 2 n i j k P A P(A ) P(A A ) P(A A A )+ .+( 1) P(A A .A ) = = < − < < = − + − ∑ ∑ ∑ ∪ . c) Biến cố đối lập ( ) P A 1 P(A)= − . VD 1. Một hộp phấn có 10 viên trong đó có 3 viên màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên phấn. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 viên phấn màu đỏ. VD 2. Có 33 học sinh tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi gồm 2 vòng thi. Biết rằng có 17 học sinh thi đỗ vòng 1; 14 học sinh thi đỗ vòng 2 và 11 học sinh trượt cả hai vòng thi. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong danh sách dự thi. Tìm xác suất để học sinh đó chỉ thi đỗ duy nhất 1 trong 2 vòng thi. 3.2. Cơng thức nhân xác suất a) Xác suất có điều kiện • Trong một phép thử, xét 2 biến cố bất kỳ A, B với P(B) 0> . Xác suất có điều kiện của A với điều kiện B đã xảy ra được ký hiệu và định nghĩa: ( ) P(AB) P A B P(B) = . • Xác suất có điều kiện cho phép chúng ta sử dụng thơng tin về sự xảy ra của 1 biến cố để dự báo xác suất xảy ra biến cố khác. • Tính chất: 1) ( ) 0 P A B 1≤ ≤ ; 2) ( ) P B B 1= ; 3) ( ) ( ) P A B 1 P A B= − ; 4) nếu A 1 và A 2 xung khắc thì: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 P A A B P A B P A B= +∪ . VD 3. Một hộp có 10 vé, trong đó có 3 vé trúng thưởng. Người thứ nhất đã bốc 1 vé khơng trúng thưởng. Tính xác suất để người thứ 2 bốc được vé trúng thưởng (mỗi người chỉ bốc 1 vé). b) Cơng thức nhân • A và B là 2 biến cố độc lập nếu B có xảy ra hay khơng cũng khơng ảnh hưởng đến khả năng xảy ra A và ngược lại, nghĩa là ( ) P A B P(A)= và ( ) P B A P(B)= . Khi đó ta có P(AB) P(A).P(B)= . • Với A, B khơng độc lập (phụ thuộc) thì: ( ) ( ) P(AB) P(B)P A B P(A)P B A= = . ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK Trang 4 VD 4. Mt lụ hng cú 100 sn phm trong ủú cú 10 ph phm. Kim tra liờn tip khụng hon li 5 sn phm, nu cú ớt nht 1 ph phm thỡ khụng nhn lụ hng ủú. Tớnh xỏc sut ủ nhn lụ hng. VD 5. Mt lụ hng gm 12 sn phm trong ủú cú 8 sn phm tt v 4 ph phm. Rỳt ngu nhiờn 1 sn phm t lụ hng v khụng ủ ý ti sn phm ủú, sau ủú rỳt tip sn phm th 2. Tớnh xỏc sut ủ sn phm th hai l tt. VD 6. Mt cu th búng r cú 4 qu búng ủang nộm tng qu vo r. Nu búng vo r hoc ht búng thỡ cu th ngng nộm. Bit xỏc sut vo r ca qu búng th 1, 2, 3 v 4 ln lt l 90%, 80%, 85% v 70%. Tớnh xỏc sut cu th nộm ủc búng vo r. 3.3. Cụng thc xỏc sut ủy ủ v Bayes. a) Cụng thc xỏc sut ủy ủ Cho h cỏc bin c {A i } (i = 1, 2,, n) ủy ủ v B l bin c bt k trong phộp th, ta cú: ( ) ( ) ( ) n i i i 1 1 1 n n P(B) P(A ) B A P(A )P B A . P(A )P B A = = = + + . VD 7. Mt ủỏm ủụng cú s ủn ụng bng na s ủn b. Xỏc sut ủ ủn ụng b bnh tim l 0,06 v ủn b l 0,0036. Chn ngu nhiờn 1 ngi t ủỏm ủụng, tớnh xỏc sut ủ ngi ny b bnh tim. b) Cụng thc Bayes Cho h cỏc bin c {A k } (k = 1, 2,, n) ủy ủ v B l bin c bt k trong phộp th. Xỏc sut ủ xut hin A k sau khi ủó xut hin B l: ( ) ( ) ( ) k k k n i i i 1 P(A )P B A P A B P(A )P B A = = . VD 8. T s ụtụ ti v ụtụ con ủi qua ủng cú trm bm du l 5/2. Xỏc sut ủ 1 ụtụ ti ủi qua ủng ny vo bm du l 10%; ụtụ con l 20%. Cú 1 ụtụ qua ủng ủ bm du, tớnh xỏc sut ủ ủú l ụtụ ti. VD 9. Cú 3 bao lỳa cựng loi. Bao 1 nng 20kg cha 1% ht lộp, bao 2 nng 30kg cha 1,2% ht lộp v bao 3 nng 50kg cha 1,5% ht lộp. Trn c 3 bao li ri bc ngu nhiờn 1 ht thỡ ủc ht lộp. Tớnh xỏc sut ủ ht lộp ny l ca bao th ba. VD 10. Ba kin hng ủu cú 20 sn phm vi s sn phm tt tng ng l 12, 15, 18. Ly ngu nhiờn 1 kin hng (gi s 3 kin hng cú cựng kh nng) ri t kin ủú ly tựy ý ra 1 sn phm. a) Tớnh xỏc sut ủ sn phm chn ra l tt. b) Gi s sn phm chn ra l tt, tớnh xỏc sut ủ sn phm ủú thuc kin hng th hai. Chng II. BIN (I LNG) NGU NHIấN Đ1. BIN NGU NHIấN V LUT PHN PHI XC SUT 1.1. Khỏi nim v phõn loi bin ngu nhiờn a) Khỏi nim Mt bin s ủc gi l ngu nhiờn nu trong kt qu ca phộp th nú s nhn mt v ch mt trong cỏc giỏ tr cú th cú ca nú tựy thuc vo s tỏc ủng ca cỏc nhõn t ngu nhiờn. Cỏc bin ngu nhiờn ủc ký hiu: X, Y, Z, cũn cỏc giỏ tr ca chỳng l x, y, z, VD 1. Khi tin hnh gieo n ht ủu ta cha th bit cú bao nhiờu ht s ny mm, s ht ny mm cú th l 0, 1, , n. Kt thỳc phộp th gieo ht thỡ ta bit chc chn cú bao nhiờu ht ny mm. Gi X l s ht ny mm thỡ l X bin ngu nhiờn v X = {0, 1, 2, , n}. b) Phõn loi bin ngu nhiờn Bin ngu nhiờn (bnn) ủc gi l ri rc nu cỏc giỏ tr cú th cú ca nú lp nờn 1 tp hp hu hn hoc ủm ủc. Bin ngu nhiờn ủc gi l liờn tc nu cỏc giỏ tr cú th cú ca nú lp ủy 1 khong trờn trc s. VD 2. + Bin X trong VD 1 l bnn ri rc (tp hu hn). + Gi Y l s ngi ủi qua 1 ngó t trờn ủng ph thỡ Y l bnn ri rc (tp ủm ủc). VD 3. + Bn 1 viờn ủn vo bia, gi X l khong cỏch t ủim chm ca viờn ủn ủn tõm ca bia thỡ X l bin ngu nhiờn liờn tc. + Gi Y l sai s khi ủo 1 ủi lng vt lý thỡ Y l bin ngu nhiờn liờn tc. 1.2. Lut phõn phi xỏc sut ca bin ngu nhiờn Lut phõn phi xỏc sut ca bin ngu nhiờn l mt cỏch biu din quan h gia cỏc giỏ tr ca bin ngu nhiờn vi cỏc xỏc sut tng ng m nú nhn cỏc giỏ tr ủú. 1.2.1. Phõn phi xỏc sut ca bin ngu nhiờn a) Trng hp ri rc Cho bin ngu nhiờn ri rc X cú 1 2 n X {x , x , ., x }= vi xỏc sut tng ng l i i p P(X x )= = . Ta cú phõn phi xỏc sut (dng bng) X x 1 x 2 x n P p 1 p 2 p n Trong ủú: i p 0 ; n i i 1 p 1 = = ; i i 1 p 1 = = (vụ hn); i i a x b P(a X b) p < < < < = . VD 4. Mt lụ hng cú 12 sn phm tt v 8 ph phm. Ly ngu nhiờn t lụ hng ra 8 sn phm. Gi X l s ph phm trong 8 sn phm ly ra. Tỡm phõn phi xỏc sut ca X v chng minh: 0 8 1 7 7 1 8 0 8 8 12 8 12 8 12 8 12 20 C C C C . C C C C C+ + + + = . ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK Trang 5 VD 5. Xỏc sut ủ 1 ngi thi ủt mi khi thi ly bng lỏi xe l 0,3. Ngi ủú thi cho ủn khi ủt mi thụi. Gi X l s ln ngi ủú d thi. Tỡm phõn phi xỏc sut ca X v tớnh xỏc sut ủ ngi ủú phi thi khụng ớt hn 2 ln. b) Trng hp liờn tc Cho bin ngu nhiờn liờn tc X. Hm f(x), x ủc gi l hm mt ủ xỏc sut ca X nu tha: 1) f(x) 0, x ; 2) f(x)dx 1 + = ; 3) b a P(a X b) f(x)dx< < = (a < b). Chỳ ý 1) Nhiu khi ngi ta dựng ký hiu f X (x) ủ ch hm mt ủ xỏc sut ca X. 2) Do a a P(X a) f(x)dx 0= = = nờn ta khụng quan tõm ủn xỏc sut ủ X nhn giỏ tr c th. Suy ra b a P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b) f(x)dx < = < = = < < = . 3) V mt hỡnh hc, xỏc sut bin ngu nhiờn (bnn) X nhn giỏ tr trong (a; b) bng din tớch hỡnh thang cong gii hn bi x = a, x = b, y = f(x) v trc Ox. 4) Nu f(x) tha f(x) 0, x v f(x)dx 1 + = thỡ f(x) l hm mt ủ xỏc sut ca 1 bnn no ủú. VD 6. Chng t 3 4x , x (0; 1) f(x) 0, x (0; 1) = l hm mt ủ xỏc sut ca bin ngu nhiờn X. VD 7. Cho bnn X cú hm mt ủ xỏc sut: 2 0, x 1 f(x) k , x 1 x < = . Tỡm k v tớnh P( 1 X 2) < . 1.2.2. Hm phõn phi xỏc sut Hm phõn phi xỏc sut ca bin ngu nhiờn X, ký hiu F(x) hoc F X (x), l xỏc sut ủ X nhn giỏ tr nh hn x (vi x l s thc bt k). F(x) = P(X < x), x . Hm phõn phi xỏc sut cho bit t l phn trm giỏ tr ca X nm bờn trỏi ca s x. Vi bin ngu nhiờn ri rc X = {x 1 , x 2 , , x n }: i i i i x x x x F(x) P(X x ) p < < = = = . Vi bin ngu nhiờn liờn tc X: x F(x) f(t)dt = . Gi s 1 2 n x x . x< < < , ta cú hm phõn phi xỏc sut ca X: 1 1 1 2 1 2 2 3 1 2 n 1 n 1 0 x x p x x x p p x x x F(x) . p p . p x x x < + < = + + + < neỏu neỏu neỏu neỏu n n 1 x x > neỏu Tớnh cht: 1) 0 F(x) 1, x ; 2) F(x) khụng gim. 3) F( ) 0; F( ) 1 = + = ; 4) P(a X b) F(b) F(a) < = . Liờn h vi phõn phi xỏc sut 1) X ri rc: p i = F(x i+1 ) F(x i ); 2) X liờn tc: F(x) liờn tc ti x v F (x) f(x) = . VD 8. Mt phõn xng cú 2 mỏy hot ủng ủc lp. Xỏc sut trong 1 ngy lm vic cỏc mỏy ủú hng tng ng l 0,1 v 0,2. Gi X l s mỏy hng trong 1 ngy lm vic. Lp hm phõn phi xỏc sut ca X v v ủ th ca F(x). VD 9. Tui th X(gi) ca 1 thit b cú hm mt ủ xỏc sut 2 0, x 100 f(x) 100 , x 100 x < = . a) Tỡm hm phõn phi xỏc sut ca X. b) Thit b ủc gi l loi A nu tui th ca nú kộo di ớt nht l 400 gi. Tớnh t l (xỏc sut) loi A. VD 10. Bin ngu nhiờn X cú hm mt ủ xỏc sut: a cos x, x ; 2 2 f(x) 0, x ; 2 2 = . Tỡm a v hm phõn phi xỏc sut F(x). VD 11. Thi gian ch phc v ca khỏch hng l bnn X(phỳt) liờn tc cú hm ppxs 4 0, x 0 F(x) ax , x (0; 3] 1, x 3 = > . a) Tỡm a v hm mt ủ xỏc sut f(x) ca X. b) Tớnh ( ) P 2 Y 5< vi 2 Y X 1= + . c) V ủ th ca F(x). ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK Trang 6 1.3. Phõn phi xỏc sut ca hm ca bin ngu nhiờn Trong thc t, ủụi khi ta xột bnn ph thuc vo 1 hay nhiu bnn khỏc ủó bit lut phõn phi. Bi toỏn. Cho hm (x) v bnn ri rc X cú phõn phi xỏc sut cho trc. Tỡm phõn phi xỏc sut ca (x) . a) Trng hp 1 bin VD 12. Lp bng phõn phi xỏc sut ca 2 Y (X) X 2= = + , bit: X 1 0 1 2 P 0,1 0,3 0,4 0,2 b) Trng hp nhiu bin VD 13. Cho bng: Y X 1 0 1 1 0,1 0,15 0,05 2 0,3 0,2 0,2 Lp bng phõn phi xỏc sut ca: a) 2 Y 2X X 1= + . b) Z (X, Y) 2X Y 5= = + . c) 2 2 Z (X, Y) X Y= = . 1.4. Phõn phi xỏc sut ca bnn 2 chiu (X, Y) ri rc a) nh ngha Cp 2 ủi lng ngu nhiờn ri rc ủc xột ủng thi (X, Y) ủc gi l 1 vector ngu nhiờn ri rc. Ký hiu bin c (X < x).(Y < y) = (X < x; Y < y). Hm phõn phi xỏc sut ủng thi ca X v Y l: F(x, y) P(X x; Y y), x, y= < < . X v Y ủc gi l ủc lp nu: X Y F(x, y) F (x).F (y), x, y= . Chỳ ý 1) Nu X, Y ủc lp thỡ hm phõn phi ủng thi ca X, Y ủc xỏc ủnh qua cỏc hm phõn phi ca X, ca Y. 2) Chng trỡnh ch xột hm phõn phi biờn ca X, Y. b) Bng phõn phi xỏc sut ủng thi ca (X, Y) Y X y 1 y 2 y j y n P X x 1 x 2 . x i . x m p 11 p 12 p 1j p 1n p 21 p 22 p 2j p 2n p i1 p i2 p ij p in p m1 p m2 p mj p mn p 1 p 2 . p i p m P Y q 1 q 2 q j q n 1 P ij = P(X = x i , Y = y j ) (i = 1,,m; j = 1,,n) l xỏc sut ủ X = x i , Y = y j v m n ij i 1 j 1 p 1 = = = . c) Phõn phi xỏc sut biờn (l) T bng phõn phi xỏc sut ủng thi ca X, Y ta cú: Phõn phi xỏc sut biờn ca X X x 1 x 2 x i x m P X p 1 p 2 p i p m n n ij i j i i j 1 j 1 p p(X x , Y y ) p(X x ) p = = = = = = = = . Phõn phi xỏc sut biờn ca Y Y y 1 y 2 y i y n P Y q 1 q 2 q i q n m m ij i j j j i 1 i 1 p p(X x , Y y ) p(Y y ) q = = = = = = = = . Tớnh cht. X v Y ủc lp ij i j p p .q , i, j = . VD 14. Cho bng phõn phi xỏc sut ủng thi ca X v Y: Y X 10 20 30 40 10 0,2 0,04 0,01 0 20 0,1 0,36 0,09 0 30 0 0,05 0,1 0 40 0 0 0 0,05 a) Tỡm phõn phi biờn ca X, ca Y. b) Xột xem X v Y cú ủc lp khụng ? c) Tỡm phõn phi xỏc sut ca Z = X + Y. Đ2. CC C TRNG S (THAM S C TRNG) CA BIN NGU NHIấN Nhng thụng tin cụ ủng phn ỏnh tng phn v bin ngu nhiờn giỳp ta so sỏnh gia cỏc ủi lng vi nhau ủc gi l cỏc ủc trng s. Cú ba loi ủc trng s: Cỏc ủc trng s cho xu hng trung tõm ca bnn: K vng toỏn, Trung v, Mod, Cỏc ủc trng s cho ủ phõn tỏn ca bnn: Phng sai, lch chun, H s bin thiờn, Cỏc ủc trng s cho dng phõn phi xỏc sut. 2.1. K vng toỏn 2.1.1. nh ngha a) Bin ngu nhiờn ri rc Cho X = {x 1 , x 2 ,, x n } vi xỏc sut tng ng l p 1 , p 2 ,, p n thỡ k vng toỏn (gi tt l k vng) ca X, ký hiu EX hay M(X), l: n 1 1 2 2 n n i i i 1 EX x p x p . x p x p = = + + + = . VD 1. Mt lụ hng gm 10 sn phm tt v 2 ph phm. Ly ngu nhiờn 2 sn phm t lụ hng ủú, gi X l s ph phm trong 2 sn phm ly ra. Lp bng phõn phi xỏc sut v tớnh k vng ca X. ThS. Đoàn Vương Nguyên Slide bài giảng XSTK Trang 7 b) Biến ngẫu nhiên liên tục • Bnn X có hàm mật độ là f(x) thì: EX x.f(x)dx +∞ −∞ = ∫ . VD 2. Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất 2 3 (x 2x), x (0; 1) f(x) 4 0, x (0; 1) + ∈ = ∉ . Chú ý 1) Nếu X {x A}= ∈ , X liên tục thì EX A∈ . 2) Nếu X = {x 1 ,…, x n } thì: 1 n 1 n EX [min{x , ., x }; max{x , .,x }]∈ . VD 3. Thời gian chờ mua hàng của khách là biến ngẫu nhiên liên tục T (đơn vị: phút) có hàm mật độ xác suất 3 4 t , t (0; 3) f(t) 81 0, t (0; 3) ∈ = ∉ . Tính thời gian trung bình chờ mua hàng của 1 khách hàng. VD 4. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất 2 ax bx , x (0; 1) f(x) 0, x (0; 1) + ∈ = ∉ . Cho biết EX = 0,6 hãy tính 1 P X 2 < . 2.1.2. Ý nghĩa của EX • Kỳ vọng là giá trị trung bình (theo xác suất) của biến ngẫu nhiên X, nó phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của X. • Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh nếu cần chọn phương án cho năng suất (hay lợi nhuận) cao, người ta chọn phương án sao cho năng suất kỳ vọng (hay lợi nhuận kỳ vọng) cao. VD 5. Theo thống kê, một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống thêm trên 1 năm có xác suất là 0,992 và người đó chết trong vòng 1 năm tới là 0,008. Một chương trình bảo hiểm đề nghị người đó bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với số tiền chi trả là 10000 USD, phí bảo hiểm là 100 USD. Hỏi cơng ty đó có lãi khơng? VD 6. Một dự án xây dựng được viện C thiết kế cho cả 2 bên A và B xét duyệt một cách độc lập. Xác suất (khả năng) để A và B chấp nhận dự án này khi xét duyệt thiết kế là 70% và 80%. Nếu chấp nhận dự án thì bên A phải trả cho C là 400 triệu đồng, còn ngược lại thì phải trả 100 triệu đồng. Nếu chấp nhận dự án thì bên B phải trả cho C là 1 tỉ đồng, còn ngược lại thì phải trả 300 triệu đồng. Biết chi phí cho thiết kế của C là 1 tỉ đồng và 10% thuế doanh thu. Hỏi viện C có nên nhận thiết kế hay khơng? 2.1.3. Tính chất của EX 1) E(C) = C với C là hằng số. 2) E(CX) = C.EX. 3) E(X ± Y) = EX ± EY, với X và Y là hai biến ngẫu nhiên. 4) E(XY) = EX.EY nếu X và Y là hai bnn độc lập. 5) Nếu Y (X) = ϕ thì: i i i (x )p , EY (x)f(x)dx, +∞ −∞ ϕ = ϕ ∑ ∫ nếu X rời rạc nếu X liên tục . VD 7. Tính EY với 2 Y (X) X 3= ϕ = − , biết X có bảng phân phối xác suất: X –1 0 1 2 P 0,1 0,3 0,35 0,25 VD 8. Cho bnn X có hàm mật độ xác suất: 2 2 , x [1; 2] f(x) x 0, x [1; 2] ∈ = ∉ . a) Tính EX. b) Tính kỳ vọng của 5 2 Y X X = − . 2.2. Phương sai 2.2.1. ðịnh nghĩa • Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu VarX hay VX hay D(X), được xác định: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 i i i i i i 2 2 VarX E X EX E(X ) EX x .p x .p , x .f(x)dx x.f(x)dx , +∞ +∞ −∞ −∞ = − = − − = − ∑ ∑ ∫ ∫ nếu X rời rạc nếu X liên tục VD 9. Tính phương sai của biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất: X 1 2 3 P 0,2 0,7 0,1 VD 10. Tính phương sai của biến ngẫu nhiên X trong VD 2. VD 11. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: 2 3 (1 x ), x 1 f(x) 4 0, x 1 − ≤ = > . Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên Y = 2X 2 . ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Trang 8 2.2.2. Ý nghĩa của VarX • Do X – EX là ñộ lệch giữa giá trị của X so với trung bình của nó nên phương sai là trung bình của bình phương ñộ lệch ñó. Phương sai dùng ñể ño mức ñộ phân tán của X quanh kỳ vọng. Nghĩa là: phương sai nhỏ thì ñộ phân tán nhỏ nên ñộ tập trung lớn và ngược lại. • Trong kỹ thuật, phương sai ñặc trưng cho ñộ sai số của thiết bị. Trong kinh doanh, phương sai ñặc trưng cho ñộ rủi ro ñầu tư. • Do ñơn vị ño của VarX bằng bình phương ñơn vị ño của X nên ñể so sánh ñược với các ñặc trưng khác người ta ñưa vào khái niệm ñộ lệch tiêu chuẩn (X) VarXσ = . VD 12. Năng suất của hai máy tương ứng là các bnn X, Y (ñơn vị: sản phẩm/phút) có bảng phân phối xác suất: X 1 2 3 4 P 0,3 0,1 0,5 0,1 và Y 2 3 4 5 P 0,1 0,4 0,4 0,1 Nếu phải chọn mua 1 trong 2 loại máy này thì ta nên chọn máy nào? 2.2.3. Tính chất của VarX 1) VarX 0≥ ; VarC = 0, với C là hằng số. 2) Var(CX) = C 2 .VarX; (CX) C . Xσ = σ . 3) Nếu a và b là hằng số thì Var(aX + b) = a 2 .VarX. 4) Nếu X và Y ñộc lập thì: Var(X Y) VarX VarY± = + ; 2 2 (X Y) (X) (Y)σ ± = σ + σ . 2.3. Trung vị và Mod 2.3.1. Trung vị • Trung vị của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu medX, là số m thỏa 1 P(X m) 2 < ≤ và 1 P(X m) 2 > ≤ . – Nếu X rời rạc thì medX = x i với i i 1 1 F(x ) F(x ) 2 + ≤ ≤ . – Nếu X liên tục thì medX = m với m F(m) f(x)dx 0, 5 −∞ = = ∫ . VD 13. Cho bnn X có bảng phân phối xác suất: X 1 2 3 4 5 P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,45 Khi ñó ta có medX = 4. VD 14. Tìm med của bnn X có bảng phân phối xác suất: X –1 0 1 2 P 0,25 0,15 0,30 0,30 VD 15. Cho hàm 5 4 , x 1 f(x) x 0, x 1 ≥ = < . a) Chứng tỏ f(x) là hàm mật ñộ xác suất của biến ngẫu nhiên X. b) Tìm medX. 2.3.2. Mod • ModX là giá trị x 0 mà tại ñó X nhận xác suất lớn nhất (nếu X rời rạc) hay hàm mật ñộ ñạt cực ñại (nếu X liên tục). ModX còn ñược gọi là số có khả năng nhất. VD 16. Cho bnn X có bảng phân phối xác suất: X 0 1 2 4 5 8 P 0,1 0,2 0,3 0,05 0,25 0,1 Khi ñó ta có modX = 2. VD 17. Tìm medX và modX với biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất: X 20 21 22 23 24 P 0,30 0,25 0,18 0,14 0,13 VD 18. Cho bnn X có hàm mật ñộ xác suất: 2 x 2 1 f(x) .e , x 2 − = ∈ π ℝ . Tìm modX. §3. MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG 3.1. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc 3.1.1. Phân phối siêu bội • Xét tập có N phần tử, trong ñó có N A phần tử có tính chất A. Từ tập ñó lấy ra n phần tử. Gọi X là số phần tử có tính chất A thì X có phân phối siêu bội. Ký hiệu: A X H(N, N , n)∈ hay A X H(N, N ,n) ∼ . a) ðịnh nghĩa • Phân phối siêu bội là phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc X = {0; 1; 2; …; n} với xác suất tương ứng là: A A k n k N N N k n N C C p P(X k) C − − = = = . VD 1. Trong 1 cửa hàng bán 100 bóng ñèn có 5 bóng hỏng. Một người chọn mua ngẫu nhiên 3 bóng từ cửa hàng này. Gọi X là số bóng hỏng người ñó mua phải. Lập bảng phân phối xác suất của X. b) Các số ñặc trưng N n EX np; VarX npq N 1 − = = − , với A N p , q 1 p N = = − . VD 2. Một rổ mận có 20 trái trong ñó có 6 trái bị hư. Chọn ngẫu nhiên từ rổ ñó ra 4 trái. Gọi X là số trái mận hư chọn phải. Lập bảng phân phối xác suất của X và tính EX, VarX bằng hai cách. ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK Trang 9 3.1.2. Phõn phi nh thc a) Cụng thc Bernoulli Dóy phộp th Bernoulli l dóy n phộp th tha 3 ủiu kin: 1) Cỏc phộp th ca dóy ủc lp vi nhau. 2) Trong mi phộp th ta ch quan tõm ủn 1 bin c A, ngha l ch cú A v A xut hin. 3) Xỏc sut xut hin A trong mi phộp th ca dóy luụn l hng s: ( ) P(A) p, P A 1 p q, (0 p 1)= = = < < . Cho dóy n phộp th Bernoulli, xỏc sut xut hin k ln bin c A l: k k n k k n p C p q , p P(A) = = . VD 3. Mt b m sinh 2 con (mi ln sinh 1 con) vi xỏc sut sinh con trai l 0,51. Gi X l s con trai trong 2 ln sinh. Lp bng phõn phi xỏc sut ca X. VD 4. Mt mỏy sn xut ln lt tng sn phm vi xỏc sut 1 ph phm l 1%. a) Cho mỏy sn xut ra 10 sn phm, tớnh xỏc sut cú 2 ph phm. b) Mỏy cn sn xut ớt nht bao nhiờu sn phm ủ xỏc sut cú ớt nht 1 ph phm nh hn 3%. VD 5. Cho X cú hm mt ủ 3 4x , x (0; 1) f(x) 0, x (0; 1) = . Tớnh xỏc sut ủ trong 3 phộp th ủc lp cú 2 ln X nhn giỏ tr trong khong (0, 25; 0,5) . b) nh ngha Phõn phi nh thc l phõn phi ca bin ngu nhiờn ri rc X = {0; 1; 2; ; n} vi xỏc sut tng ng l: k k n k k n p P(X k) C p q = = = . Ký hiu: X B(n, p) hay X ~ B(n, p). Chỳ ý Khi n = 1 thỡ X B(1, p) B(p), khi ủú X cũn ủc gi l cú phõn phi khụng mt hay Bernoulli. c) Cỏc s ủc trng 0 0 EX np; VarX npq; ModX x , np q x np p = = = + . VD 6. Mt nh vn trng trng 5 cõy lan quý, vi xỏc sut n hoa ca mi cõy trong 1 nm l 0,8. a) Lp bng phõn phi xỏc sut ca s cõy lan trờn n hoa trong 1 nm. b) Giỏ 1 cõy lan n hoa l 1,2 triu ủng. Gi s nh vn bỏn ht nhng cõy lan n hoa thỡ mi nm nh vn thu ủc chc chn nht l bao nhiờu tin? c) Nu mun trung bỡnh mi nm cú 10 cõy lan n hoa thỡ nh vn phi trng my cõy lan? VD 7. Mt lụ hng cha 20 sn phm trong ủú cú 4 ph phm. Chn liờn tip 3 ln (cú hon li) t lụ hng, mi ln chn ra 4 sn phm. Tớnh xỏc sut ủ trong 3 ln cú ủỳng 1 ln chn cú nhiu nht 3 ph phm. 3.1.3. Phõn phi Poisson a) Bi toỏn dn ủn phõn phi Poisson Gi X l s ln xut hin bin c A ti nhng thi ủim ngu nhiờn trong khong thi gian (t 1 ; t 2 ) tha món hai ủiu kin: 1) S ln xut hin bin c A trong khong (t 1 ; t 2 ) khụng nh hng ủn xỏc sut xut hin A trong khong thi gian k tip. 2) S ln xut hin bin c A trong 1 khong thi gian bt k t l vi ủ di ca khong ủú. Khi ủú X cú phõn phi Poisson, ký hiu X P( ) vi 2 1 c(t t ) 0 = > , c: cng ủ xut hin A. Chng hn, s xe qua 1 trm hoc s cuc ủin thoi ti 1 trm cụng cng cú phõn phi Poisson. b) nh ngha Bin ngu nhiờn X cú phõn phi Poisson vi tham s 0 > (trung bỡnh s ln xut hin A) nu X nhn cỏc giỏ tr 0, 1, 2,, n, vi xỏc sut tng ng l: k k e . p P(X k) k! = = = . c) Cỏc s ủc trng 0 0 EX VarX ; ModX x , 1 x= = = . VD 8. Trung bỡnh c 3 phỳt cú 1 khỏch ủn quy mua hng. Tớnh xỏc sut ủ trong 30 giõy cú 2 khỏch ủn quy mua hng. VD 9. Mt trm ủin thoi trung bỡnh nhn ủc 300 cuc gi trong 1 gi. a) Tớnh xỏc sut ủ trm nhn ủc ủỳng 2 cuc gi trong 1 phỳt. b) Tớnh xỏc sut ủ trm nhn ủc ủỳng 5 cuc gi trong 3 phỳt. c) Tớnh xỏc sut ủ 2 trong 3 phỳt liờn tip, mi phỳt trm nhn ủc nhiu nht 1 cuc gi. VD 10. Trung bỡnh 1 ngy (24 gi) cú 10 chuyn tu vo cng Cam Ranh. Chn ngu nhiờn liờn tip 3 gi trong 1 ngy. Tớnh xỏc sut ủ 2 trong 3 gi y cú ủỳng 1 tu vo cng. 3.2. Phõn phi xỏc sut ca bin ngu nhiờn liờn tc 3.2.1. Phõn phi chun a) nh ngha Bnn X ủc gi l cú phõn phi chun vi tham s à v 2 ( 0) > , ký hiu ( ) 2 X N , à , nu hm mt ủ phõn phi xỏc sut ca X cú dng: 2 2 (x ) 2 1 f(x) e , x 2 à = . Cỏc s ủc trng 2 ModX MedX EX ; VarX= = = à = . ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK Trang 10 b) Phõn phi chun ủn gin Cho ( ) 2 X N , à , ủt X T à = thỡ T cú phõn phi chun ủn gin ( ) T N 0, 1 . Hm mt ủ phõn phi xỏc sut ca T: 2 t 2 1 f(t) e 2 = (giỏ tr ủc cho trong bng A). Cụng thc xỏc sut: 2 b t 2 a 1 P(a T b) e dt 2 < < = . Hm 2 x t 2 0 1 (x) e dt 2 = ( x 0 ) ủc gi l hm Laplace (giỏ tr ủc cho trong bng B). Tớnh cht ca hm Laplace (dựng ủ tra bng) 1) ( x) (x) = (hm l); 2) vi x > 5 thỡ (x) 0, 5 ; 3) P(T x) 0, 5 (x)< = + . Phõn v mc Ta gi t l phõn v mc ca T nu: ( ) P T t > = . c) Phng phỏp tớnh xỏc sut phõn phi chun tng quỏt Cho ( ) 2 X N , à , ủ tớnh P(a X b)< < ta ủt a à = , b à = P(a X b) ( ) ( ) < < = , tra bng B ta ủc kt qu. VD 11. Thi gian X (phỳt) ca 1 khỏch ch ủc phc v ti 1 ca hng l bnn vi ( ) X N 4, 5; 1,21 . a) Tớnh xỏc sut khỏch phi ch ủ ủc phc v t 3,5 phỳt ủn 5 phỳt; khụng quỏ 6 phỳt. b) Tớnh thi gian ti thiu t nu xỏc sut khỏch phi ch vt quỏ t l khụng quỏ 5%. VD 12. Thng kờ ủim thi X (ủim) trong mt k tuyn sinh i hc mụn toỏn ca hc sinh c nc cho thy X l bin ngu nhiờn vi X N(4; 2, 25) . Tớnh t l ủim thi X 5,5. VD 13. Tui th ca 1 loi búng ủốn l X (nm) vi X N(4, 2; 6,25) . Khi bỏn 1 búng ủốn thỡ lói ủc 100 ngn ủng nhng nu búng ủốn phi bo hnh thỡ l 300 ngn ủng. Vy ủ cú tin lói trung bỡnh khi bỏn mi búng ủốn loi ny l 30 ngn ủng thỡ cn phi quy ủnh thi gian bo hnh l bao nhiờu? VD 14. Cho X cú phõn phi chun vi EX = 10 v ( ) P 10 X 20 0, 3< < = . Tớnh ( ) P 0 X 15< . VD 15. Mt cụng ty cn mua 1 loi thit b cú ủ dy t 0,118cm ủn 0,122cm. Cú 2 ca hng cựng bỏn loi thit b ny vi ủ dy l cỏc bin ngu nhiờn cú phõn phi chun N(à, 2 ). Giỏ bỏn ca ca hng X l 3 USD/hp/1000 cỏi v ca hng Y l 2,6 USD/hp/1000 cỏi. Ch s ủ dy trung bỡnh à (cm) v ủ lch chun (cm) ủc cho trong bng: Ca hng à (cm) (cm) I 0,12 0,001 II 0,12 0,0015 Hi cụng ty nờn mua loi thit b ny ca hng no? Chỳ ý. Nu ( ) 2 X N , à thỡ: ( ) 2 aX b N a b, a+ à + . 3.2.3. Phõn phi 2 (n) (xem giỏo trỡnh) 3.2.4. Phõn phi Student T(n) (vi n bc t do) Cho T N(0, 1) v 2 Y (n) thỡ T X T(n) Y n = cú hm mt ủ xỏc sut: n 1 2 2 n 1 2 x f(x) 1 n n n . 2 + + = + . Giỏ tr ủc ca t(n) ủc cho trong bng C. Chng III. NH Lí GII HN TRONG XC SUT Đ1. MT S LOI HI T TRONG XC SUT V CC NH Lí (H ủi hc) 1.1. Hi t theo xỏc sut Lut s ln a) nh ngha Dóy bin ngu nhiờn {X i } (i = 1, 2,, n) ủc gi l hi t theo xỏc sut ủn bin ngu nhiờn X nu: ( ) n n , 0 : lim P X ( ) X( ) 0 > = . Ký hiu: P n X X (n ) . H bin ngu nhiờn {X i } (i = 1, 2,, n) ủc gi l tuõn theo lut s ln (dng Tchộbyshev) nu: n n i i n i 1 i 1 1 1 0 : lim P X EX 1 n n = = > < = ( ) n P i i i 1 1 X EX 0 n = . b) Bt ủng thc Tchộbyshev Nu bin ngu nhiờn X cú EX v VarX hu hn thỡ: ( ) 2 VarX 0 : P X EX > hay ( ) 2 VarX P X EX 1 < .