Tóm tắt công thức lý thuyết xác suất và thống kê toán

tóm tắt công thức xác suất và thống kê toán

- 1 - Tóm tắt công thức - 1 - XSTK Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê I. Phần Xác Suất 1. Xác suất cổ điển  Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).  A 1 , A 2 ,…, A n xung khắc từng đôi  P(A 1 +A 2 +…+A n )=P(A 1 )+P(A 2 )+…+P(A n ).  Ta có o A, B xung khắc  P(A+B)=P(A)+P(B). o A, B, C xung khắc từng đôi  P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). o ( ) 1 ( )P A P A  .  Công thức xác suất có điều kiện: ( ) ( / ) ( ) P AB P A B P B  , ( ) ( / ) ( ) P AB P B A P A  .  Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).  A 1 , A 2 ,…, A n độc lập với nhau  P(A 1 .A 2. ….A n )=P(A 1 ).P(A 2 ).….P( A n ).  Ta có o A, B độc lập  P(AB)=P(A).P(B). o A, B, C độc lập với nhau  P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).  Công thức Bernoulli: ( ; ; ) k k n k n B k n p C p q   , với p=P(A): xác suất để biến cố A xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p.  Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes o Hệ biến cố gồm n phần tử A 1 , A 2 ,…, A n được gọi là một phép phân hoạch của  1 2 . ; , 1, . i j n A A i j i j n A A A                 o Công thức xác suất đầy đủ: 1 1 2 2 1 ( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) . ( ). ( / ) n i i n n i P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A        o Công thức Bayes: ( ). ( / ) ( / ) ( ) i i i P A P B A P A B P B  với 1 1 2 2 ( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) . ( ). ( / ) n n P B P A P B A P A P B A P A P B A    2. Biến ngẫu nhiên a. Biến ngẫu nhiên rời rạc  Luật phân phối xác suất với ( ), 1, . i i p P X x i n    Ta có: 1 1 n i i p    và f( {a f(X) b}= i i a x b P p      X x 1 x 2 … x n P p 1 p 2 … p n - 2 - Tóm tắt công thức - 2 - XSTK  Hàm phân phối xác suất ( ) ( ) i X i x x F x P X x p       Mode 0 0 ModX max{ : 1, } i x p p i n     Median 0,5 ( ) 0,5 MedX ( ) 0,5 0,5 i e i e i x x e e e i x x p P X x x P X x p                       Kỳ vọng 1 1 2 2 1 ( . ) . . . . n i i n n i EX x p x p x p x p        1 1 2 2 1 ( ( )) ( ( ). ) ( ). ( ). . ( ). n i i n n i E X x p x p x p x p              Phương sai 2 2 ( ) ( )VarX E X EX  với 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 ( ) ( . ) . . . . n i i n n i E X x p x p x p x p        b. Biến ngẫu nhiên liên tục.  f(x) là hàm mật độ xác suất của X ( ) 1      f x dx , {a X b} ( ). b a P f x dx     Hàm phân phối xác suất ( ) ( ) ( ) x X F x P X x f t dt       Mode 0 ModX x  Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x 0 .  Median 1 1 ( ) ( ) 2 2 e x e X e MedX x F x f x dx        .  Kỳ vọng EX . ( )x f x dx     . ( ( )) ( ). ( )E X x f x dx       - 3 - Tóm tắt công thức - 3 - XSTK  Phương sai 2 2 ( ) ( )VarX E X EX  với 2 2 EX . ( )x f x dx     . c. Tính chất - ( ) , ( ) 0E C C Var C   , C là một hằng số. - 2 ( ) , ( )E kX kEX Var kX k VarX   - ( )E aX bY aEX bEY   - Nếu X, Y độc lập thì 2 2 ( ) . , ( )E XY EX EY Var aX bY a VarX b VarY     - ( )X VarX   : Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX. 3. Luật phân phối xác suất a. Phân phối Chuẩn 2 ( ~ ( ; ))X N    ( )X    , EX=ModX=MedX=  , 2 VarX    Hàm mđxs 2 2 ( ) 2 1 ( , , ) 2 x f x e           Với 0, 1:      2 2 1 ( ) 2 x f x e    (Hàm Gauss)  (a X b) ( ) ( ) b a P           với 2 2 0 1 ( ) 2 t x x e dt      (Hàm Laplace)  Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc Tác vụ Máy CASIO 570MS Máy CASIO 570ES Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var Tính 2 2 0 1 ( ) 2 t x x e dt      2 2 1 ( ) 2      t x F x e dt Shift 3 2 x ) = Shift 3 1 x ) = Shift 1 7 2 x ) = Shift 1 7 1 x ) = Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1 Lưu ý: ( ) 0,5 ( ) F x x b. Phân phối Poisson ( ~ ( ))X P   ( )X    , EX . odX=k -1 kVarX M           (X=k)=e , ! k P k k      - 4 - Tóm tắt công thức - 4 - XSTK c. Phân phối Nhị thức ( ~ ( ; ))X B n p  ( ) {0 n}X   , EX=np, VarX=npq, ModX=k ( 1) 1 ( 1)n p k n p       (X=k)=C . . , q p 0 , k k n k n P p q k n k           Nếu ( 30;0,1 0,9; 5, 5)     n p np nq thì 2 ~ ( ; ) ( ; )  X B n p N với . ,n p npq     1 (X=k) ( ), 0 , k P f k n k            (a X<b) ( ) ( ) b a P           Nếu ( 30, 5)    n p np thì ~ ( ; ) ( ) X B n p P với np   (X=k) e , ! k P k k        Nếu ( 30, 0,9, 5)   n p nq (X=k) e , ( )! n k P k n k         với nq  d. Phân phối Siêu bội ( ~ ( ; ; )) A X H N N n  ( ) {max{0; ( )} min{n;N }} A A X n N N     EX=np, VarX=npq 1 N n N   với A N p N  , q=1-p.  ( 1)( 1) 2 ( 1)( 1) 2 1 2 2 A A N n N n ModX k k N N              .  (X=k)= , ( ) A A k n k N N N n N C C P k X C       Nếu 20 N n  thì ~ ( ; ; ) ( ; ) A X H N N n B n p với A N p N  . (X=k) C . . , ( ), 1 k k n k n P p q k X q p         . - 5 - Tóm tắt công thức - 5 - XSTK X Y     Sơ đồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông dụng: n  30, np<5 p  0,1  =np N>20n p= A N N , q=1-p n  30, np 5 , nq 5 0,1<p<0,9 1 ( ) ( ) k P X k f       ( ) ( ) ( ) b a P a X b             với ,np npq      Siêu bội: X~H(N;N A ;n) . ( ) A A k n k N N N n N C C P X k C     Poisson: X~  ( )P ( ) ! k P X k e k      Nhị thức: X~B(n;p) ( ) . . k k n k n P X k C p q    Chuẩn: X~ 2 ( ; )N   2 2 ( ) 2 1 ( ; ; ) . 2 x f x e          Chuẩn chuẩn tắc: Y~ N(0;1) 2 2 1 ( ) . 2 y f y e    - 6 - Tóm tắt công thức - 6 - XSTK II. Phần Thống Kê. 1. Lý thuyết mẫu. a. Các công thức cơ bản. Các giá trị đặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể Giá trị trung bình 1 . n X X X n    1 . n x x x n    Phương sai không hiệu chỉnh 2 2 2 1 ( ) . ( ) ˆ      n X X X X X S n 2 2 2 1 ( ) . ( ) ˆ      n x x x x x s n Phương sai hiệu chỉnh 2 2 2 1 ( ) . ( ) 1       n X X X X X S n 2 2 2 1 ( ) . ( ) 1       n x x x x x s n b. Để dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau: Khi đó Các giá trị đặc trưng Mẫu cụ thể Giá trị trung bình 1 1 . k k x n x n x n    Phương sai không hiệu chỉnh 2 2 2 1 1 ( ) . ( ) ˆ      k k x x x n x x n s n Phương sai hiệu chỉnh 2 2 2 1 1 ( ) . ( ) 1       k k x x x n x x n s n c. Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu - Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [ ; )a b hay ( ; ]a b thì ta sử dụng giá trị đại diện cho miền đó là 2 a b để tính toán. Tác vụ Dòng CASIO MS Dòng CASIO ES Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode  4 1 Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var Nhập số liệu 1 x Shift , 1 n M+  k x Shift , k n M+ Nếu 1 i n  thì chỉ cần nhấn i x M+ X FREQ 1 x =  k x = 1 n =  k n = i x 1 x 2 x … k x i n 1 n 2 n … k n - 7 - Tóm tắt công thức - 7 - XSTK Xóa màn hình hiển thị AC AC Xác định:  Kích thước mẫu (n)  Giá trị trung bình ( x )  Độ lệch chuẩn không hiệu chỉnh ( ˆ x s )  Độ lệch chuẩn hiệu chỉnh ( x s ) Shift 1 3 = Shift 2 1 = Shift 2 2 = Shift 2 3 = Shift 1 5 1 = Shift 1 5 2 = Shift 1 5 3 = Shift 1 5 4 = Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1 2. Ước lượng khoảng. a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình. Trường hợp 1. ( đã biết)  Ước lượng đối xứng. 2 2 2 1 ( ) . ; ) 2 z z z x x n                     Ước lượng chệch trái. ( ) 0,5 . ; )z z z x n                   Ước lượng chệch phải. ( ) 0,5 . )z z z x n                 Trường hợp 2. ( chưa biết, 30n  )  Ước lượng đối xứng. 2 2 2 1 ( ) . ; ) 2 s z z z x x n                    Ước lượng chệch trái. ( ) 0,5 . ; ) s z z z x n                  Ước lượng chệch phải. ( ) 0,5 . ) s z z z x n                Trường hợp 3. ( chưa biết, n<30)  Ước lượng đối xứng. ( 1; ) ( 1; ) 2 2 1 . ; ) 2 n n s t t x x n                   Ước lượng chệch trái. ( 1; ) ( 1; ) 1 . ; ) n n s t t x n                  - 8 - Tóm tắt công thức - 8 - XSTK  Ước lượng chệch phải. ( 1; ) ( 1; ) 1 . ; ) n n s t t x n                   b) Khoảng tin cậy cho tỉ lệ.  Ước lượng đối xứng. 2 2 2 (1 ) 1 ( ) . ; ) 2 f f z z z f f n                     Ước lượng chệch trái. (1 ) ( ) 0,5 . ; ) f f z z z f n                   Ước lượng chệch phải. (1 ) ( ) 0,5 . ) f f z z z f n                 c) Khoảng tin cậy cho phương sai. Trường hợp 1. ( chưa biết) - Nếu đề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác định s (bằng máy tính).  Ước lượng không chệch. 2 2 ( 1; ) 2 1 2           n , 1 2 ( 1;1 ) 2 1 1 2             n 2 2 2 1 ( 1) ( 1) ( ; )      n s n s  Ước lượng chệch trái. 2 2 1 ( 1;1 ) 1 ( 1) 1 (0; ) n n s             Ước lượng chệch phải. 2 2 2 ( 1; ) 2 ( 1) 1 ( ; ) n n s               Trường hợp 2. ( đã biết) - Tính 2 2 1 ( 1) .( ) k i i i n s n x        Ước lượng không chệch. 2 2 ( ; ) 2 1 2          n , 2 1 ( ;1 ) 2 1 1 2            n 2 2 2 1 ( 1) ( 1) ( ; )      n s n s - 9 - Tóm tắt công thức - 9 - XSTK  Ước lượng chệch trái. 2 2 1 ( ;1 ) 1 ( 1) 1 (0; )           n n s  Ước lượng chệch phải. 2 2 2 ( ; ) 2 ( 1) 1 ( ; )              n n s 3. Kiểm định tham số. a) Kiểm định giá trị trung bình. Trường hợp 1. (  đã biết)  1 : , : o o o H H       2 2 1 ( ) , . 2 o x z z z n            - Nếu 2 z z   : Bác bỏ H o , chấp nhận H 1 . - Nếu 2 z z   : Chấp nhận H o .  1 : , : o o o H H       ( ) 0,5 , . o x z z z n             - Nếu z z    : Bác bỏ H o , chấp nhận H 1 . - Nếu z z    : Chấp nhận H o .  1 : , : o o o H H       ( ) 0,5 , . o x z z z n             - Nếu z z   : Bác bỏ H o , chấp nhận H 1 . - Nếu z z   : Chấp nhận H o . Trường hợp 2. (  chưa biết, 30n  )  1 : , : o o o H H       2 2 1 ( ) , . 2 o x z z z n s           - Nếu 2 z z   : Bác bỏ H o , chấp nhận H 1 . - Nếu 2 z z   : Chấp nhận H o .  1 : , : o o o H H       ( ) 0,5 , . o x z z z n s            - 10 - Tóm tắt công thức - 10 - XSTK - Nếu z z    : Bác bỏ H o , chấp nhận H 1 . - Nếu z z    : Chấp nhận H o .  1 : , : o o o H H       ( ) 0,5 , . o x z z z n s            - Nếu z z   : Bác bỏ H o , chấp nhận H 1 . - Nếu z z   : Chấp nhận H o . Trường hợp 3. (  chưa biết, n<30)  1 : , : o o o H H       ( 1; ) 2 , . 2 o n x t t n s          - Nếu ( 1; ) 2 n t t    : Bác bỏ H o , chấp nhận H 1 . - Nếu ( 1; ) 2 n t t    : Chấp nhận H o .  1 : , : o o o H H       ( 1; ) , . o n x t t n s         - Nếu ( 1; )n t t     : Bác bỏ H o , chấp nhận H 1 . - Nếu ( 1; )n t t     : Chấp nhận H o .  1 : , : o o o H H       ( 1; ) , . o n x t t n s         - Nếu ( 1; )n t t    : Bác bỏ H o , chấp nhận H 1 . - Nếu ( 1; )n t t    : Chấp nhận H o . b) Kiểm định tỉ lệ.  1 : , : o o o H p p H p p   2 2 1 ( ) , , . 2 (1 ) o o o f p k z z f z n n p p              - Nếu 2 z z   : Bác bỏ H o , chấp nhận H 1 . - Nếu 2 z z   : Chấp nhận H o .  1 : , : o o o H p p H p p   ( ) 0,5 , , . (1 ) o o o f p k z z f z n n p p              . - 1 - Tóm tắt công thức - 1 - XSTK Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê I. Phần Xác Suất 1. Xác suất cổ điển  Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).. N(0;1) 2 2 1 ( ) . 2 y f y e    - 6 - Tóm tắt công thức - 6 - XSTK II. Phần Thống Kê. 1. Lý thuyết mẫu. a. Các công thức cơ bản. Các giá trị đặc trưng Mẫu