Toán cao cấp- Lý thuyết hàm 1 biến

A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN I. Cơ sở lý thuyết 1. Một số kết quả trong toán cao cấp a.Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số y = f(x), xác định trên (a,b) Đạo hàm của f tại xo là: b.Đạo hàm và độ dốc của đường cong:

Mục lục Mục lục HÀM MỘT BIẾN 1.1 Hàm số 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Các hàm số sơ cấp Giới hạn liên tục 1.2.1 Giới hạn 1.2.2 Liên tục 1.2.3 Vô bé Đạo hàm vi phân 1.3.1 Đạo hàm 1.3.2 Vi phân 1.3.3 Đạo hàm vi phân cấp cao Ứng dụng đạo hàm 1.4.1 Ứng dụng hình học 1.4.2 Công thức Taylor 1.4.3 Qui tắc L’Hospitale 10 1.4.4 Đơn điệu cực trị 10 1.4.5 Tiệm cận 10 Bài tập chương 11 Đáp số tập chương 13 1.2 1.3 1.4 HÀM HAI BIẾN 15 2.1 Hàm hai biến 15 2.2 Đạo hàm vi phân 15 2.3 Cực trị hàm hai biến 16 2.3.1 Cực trị không điều kiện 16 2.3.2 Cực trị có điều kiện 16 2.3.3 Giá trị lớn nhỏ hàm miền đóng 16 Bài tập chương 17 MỤC LỤC Đáp số tập chương TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3.1 17 19 Tích phân bất định 19 3.1.1 Định nghĩa cách tính 19 3.1.2 Tích phân hàm hữu tỉ 20 3.1.3 Tích phân hàm vơ tỉ 20 3.1.4 Tích phân hàm lượng giác 21 3.2 Tích phân xác định 21 3.3 Tích phân suy rộng 22 3.3.1 Tích phân suy rộng loại 22 3.3.2 Tích phân suy rộng loại hai 22 Ứng dụng tích phân 23 3.4.1 Diện tích hình phẳng 23 3.4.2 Thể tích vật thể trịn xoay 23 Bài tập chương 23 Đáp số tập chương 25 3.4 Chương HÀM MỘT BIẾN 1.1 1.1.1 Hàm số Các định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho X ⊂ R Một quan hệ f từ X vào R cho ứng với x ∈ X có y ∈ R gọi hàm số Ta kí hiệu: f : X → R x → y Tập X gọi miền xác định (MXĐ) hàm số Thông thường, ta cho hàm f dạng biểu thức y = f (x) Khi MXĐ hiểu tập giá trị x biểu thức f (x) có nghĩa Định nghĩa 1.2 Hàm f (x) đơn điệu tăng (giảm) tập A ⊂ X ∀x1 , x2 ∈ A, x1 x2 ⇒ f (x1 ) f (x2 ) (f (x1 ) f (x2 )) Định nghĩa 1.3 Hàm f (x) gọi hàm chẵn (lẻ) ∀x ∈ X, f (−x) = f (x) (f (−x) = −f (x)) Định nghĩa 1.4 Hàm f (x) gọi hàm tuần hoàn ∃τ > 0, ∀x ∈ X, f (x + τ ) = f (x) Giá trị T > nhỏ tất giá trị τ gọi chu kỳ hàm số Định nghĩa 1.5 Cho hai hàm f (x) g(x) Hàm f (g(x)) g(f (x)) gọi hàm hợp hai hàm f g Nói chung f (g(x)) = g(f (x)) Định nghĩa 1.6 Hàm g(x) hàm ngược hàm f (x) miền X f (g(x)) = g(f (x)) = x 1.1.2 Các hàm số sơ cấp Hàm hằng: y = C = const Hàm luỹ thừa: y = xα , α ∈ R Hàm mũ: y = ax , (a > 0, a = 1) Hàm logarithm: y = loga x, (a > 0, a = 1) 6 1.2 Giới hạn liên tục Hàm lượng giác: y = cos x, y = sin x, y = tan x, y = cot x Hàm lượng giác ngược: y = arccos x, y = arcsin x, y = arctan x Hàm sơ cấp hàm thu từ hàm sơ cấp phép toán cộng, trừ, nhân, chia hàm hợp Trong hàm sơ cấp, ta thường dùng hàm hyperbolic xác định sau: Hàm sin hyperbolic: y = sinh x = ex − e−x 2 Hàm cos hyperbolic: y = cosh x = ex + e−x Hàm tan hyperbolic: y = x = sinh x ex − e−x = x cosh x e + e−x Một số tính chất hàm hyperbolic: • cosh2 x − sinh2 x = • sinh 2x = sinh x cosh x • cosh 2x = cosh2 x − sinh2 x = cosh2 x − = + sinh2 x Ngoài ta cịn có hàm đặc biệt hàm trị tuyệt đối: y = |x| = 1.2 x, x −x, x < Giới hạn liên tục 1.2.1 Giới hạn Định nghĩa 1.7 Cho hàm f (x) xác định lân cận điểm a (có thể khơng xác định a) Ta nói hàm f (x) có giới hạn A x tiến a viết lim f (x) = A ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x, |x − a| < x→a δ ⇒ |f (x) − A| < Mệnh đề 1.1 Nếu lim f (x) = A lim g(x) = B lim [f (x)± g(x)] = A± B, lim [f (x)g(x)] = AB x→a x→a x→a x→a f (x) A lim = Đối với phép chia, phải thêm điều kiện g(x) = lận cận a B = x→a g(x) B Mệnh đề 1.2 Nếu lim f (x) = A lim g(x) = B lim g(f (x)) = B x→a x→A Mệnh đề 1.3 Nếu lân cận a, ta có f (x) x→a h(x) lim f (x) = lim h(x) = A, g(x) x→a ta có lim g(x) = A x→a x→a Mệnh đề 1.4 Nếu f (x) hàm sơ cấp a thuộc MXĐ f lim f (x) = f (a) x→a Do đó, ta thường tìm giới hạn dạng vô định sau: giới hạn bản: sin x = 1, x→0 x lim tan x = 1, x→0 x lim arcsin x = 1, x→0 x lim ∞ , , ∞ − ∞, 1∞ , · ∞, Sau ∞ arctan x = x→0 x lim 1.3 Đạo hàm vi phân lim x→+∞ x 1+ x = e, lim (1 + x)1/x = e x→0 Định nghĩa 1.8 Ta nói hàm f (x) có giới hạn trái (phải) a kí hiệu lim f (x) = A x→a− lim f (x) = A , hàm có giới hạn A x tiến a x nhỏ (lớn) a x→a+ Mệnh đề 1.5 lim f (x) = A lim f (x) = lim f (x) = A x→a 1.2.2 x→a+ x→a− Liên tục Định nghĩa 1.9 Hàm f (x) liên tục x = a f (x) xác định a lim f (x) = f (a) Ngược x→a lại, hàm gọi gián đoạn a Mệnh đề 1.6 Hàm sơ cấp liên tục miền xác định 1.2.3 Vô bé Định nghĩa 1.10 Đại lượng α(x) gọi vơ bé (VCB) q trình x → a lim α(x) = x→a Định nghĩa 1.11 Hai VCB α(x) β(x) tương đương với trình x → a α(x) lim = Khi ta viết α(x) ∼ β(x) x→a β(x) Sau số VCB tương đương thơng dụng q trình x → 0: sin x ∼ x − x3 , ex −1 ∼ x + − cos x ∼ x2 x3 + , (1 + x)α − ∼ αx + arcsin x ∼ x, x2 , tan x ∼ x + ln(1 + x) ∼ x − x3 x2 √ α(α − 1) x x2 x Cụ thể + x − ∼ − 2 arctan x ∼ x Mệnh đề 1.7 Giả sử f (x) ∼ α(x) g(x) ∼ β(x) VCB tương đương trình x → a f (x) α(x) Nếu tồn lim = A tồn lim = A x→a β(x) x→a g(x) 1.3 1.3.1 Đạo hàm vi phân Đạo hàm f (x + ∆x) − f (x) Tương ∆x→0 ∆x Định nghĩa 1.12 Đạo hàm hàm f (x) điểm x = a f (a) = lim tự ta có khái niệm đạo hàm trái đạo hàm phải f− (a) = lim ∆x→0− f (x + ∆x) − f (x) , ∆x f+ (a) = lim ∆x→0+ f (x + ∆x) − f (x) ∆x 1.3 Đạo hàm vi phân Các qui tắc tính đạo hàm: (u ± v) = u ± v (uv) = u v + uv u v = u v − uv v2 Giả sử f (x) có đạo hàm a g(y) có đạo hàm A = f (a) Khi z(x) = g(f (x)) có đạo hàm a z (a) = g (A)f (a) Giả sử y = y(x) có hàm ngược x = x(y) lân cận a hàm y(x), x(y) có đạo hàm Khi ta có cơng thức x (y) = y (x) Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp bản: (xα ) = αxα−1 (ax ) = ax ln a, (loga x) = (a > 0, a = 1); , x ln a (sin x) = cos x; (ex ) = ex (a > 0, a = 1); (cos x) = − sin x; (ln x) = x (tan x) = cos2 x (arcsin x) = −(arccos x) = √ − x2 (arctan x) = + x2 (sinh x) = cosh x, (cosh x) = sinh x Nếu đường cong cho dạng tham số: x = x(t), y = y(t), α y hàm: yx = t xt 1.3.2 t β ta có cơng thức tính đạo Vi phân Định nghĩa 1.13 Hàm f (x) khả vi a ∆f (a) = f (a + ∆x) − f (a) = A∆x + o(∆x) Đại lượng df (a) = A∆x gọi vi phân hàm f a Mệnh đề 1.8 Hàm f (x) khả vi a có đạo hàm a df (a) = f (a)∆x Với kí hiệu dx = ∆x ta thường viết biểu thức vi phân dạng df (a) = f (a)dx f (a) Từ qui tắc tính đạo hàm, ta có qui tắc tính vi phân sau: d(u ± v) = du ± dv d(uv) = udv + vdu d vdu − udv u = v v2 df (a) = dx 1.4 Ứng dụng đạo hàm 1.3.3 Đạo hàm vi phân cấp cao Định nghĩa 1.14 Ta định nghĩa [f (x)](n) = ([f (x)](n−1) ) dn f (x) = f (n) (x)dxn Ta kí hiệu: đạo hàm cấp f (x), đạo hàm cấp hai f (x), đạo hàm cấp ba f (x), đạo hàm cấp bốn f (4) (x), v.v Bảng đạo hàm cấp n số hàm bản: (ex )(n) = ex π π = cos x + n 2 (sin x)(n) = sin x + n (cos x)(n) [(1 + x)α ](n) = α(α − 1) (α − n + 1)(1 + x)α−n 1.4 1.4.1 Ứng dụng đạo hàm Ứng dụng hình học Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = f (x) điểm M0 (x0 , y0 ) có dạng: y − y0 = f (x0 )(x − x0 ) Phương trình pháp tuyến với đường cong y = f (x) điểm M0 (x0 , y0 ) có dạng: y − y0 = 1.4.2 −1 (x − x0 ) f (x0 ) Công thức Taylor Giả sử hàm f (x) có đạo hàm đến cấp n lân cận điểm a Khi ta có: f (x) = f (a) + f (a) f (n) (a) f (a) (x − a) + (x − a)2 + · · · + (x − a)n + o((x − a)n ) 1! 2! n! Trường hợp a = ta có khai triển MacLaurin: f (x) = f (0) + f (0) f (n) (0) n f (0) x+ x + ··· + x + o(xn ) 1! 2! n! Sau khai triển MacLaurin số hàm thường dùng: ex = + x + sin x = x − x2 xn + ··· + + o(xn ) 2! n! x3 (−1)k x2k+1 + ··· + + o(x2k+1 ) 3! (2k + 1)! 10 1.4 Ứng dụng đạo hàm cos x = − (−1)k x2k x2 + ··· + + o(x2k ) 2! (2k)! (1 + x)α = + α α(α − 1) α(α − 1) (α − n + 1) n x+ x + ··· + x + o(xn ) 1! 2! n! ln (1 + x) = x − 1.4.3 (−1)n−1 xn x2 + ··· + + o(xn ) n Qui tắc L’Hospitale Giả sử lân cận điểm x = a hàm f (x) g(x) có đạo hàm, đồng thời chúng f (x) , tồn giới hạn tỉ tiến tiến ∞ x → a Nếu tồn giới hạn lim x→a g (x) số hai hàm f (x) f (x) = lim lim x→a g (x) x→a g(x) 1.4.4 Đơn điệu cực trị Mệnh đề 1.9 Nếu hàm f (x) khả vi (a, b) f (x) > (f (x) < 0) với x ∈ (a, b) hàm f (x) đơn điệu tăng (giảm) (a, b) Định nghĩa 1.15 Nếu tồn lân cận điểm a cho với x = a lân cận ta có f (x) < f (a) (f (x) > f (a)) điểm a gọi điểm cực đại (cực tiểu) hàm f Các điểm cực đại hay cực tiểu hàm số gọi điểm cực trị Mệnh đề 1.10 Nếu hàm f (x) đạt cực trị x = a f (a) = f (a) không tồn Những điểm gọi điểm dừng hàm số Mệnh đề 1.11 Nếu hàm f (x) khả vi lân cận (a − δ, a + δ) điểm a khoảng (a − δ, a) (a, a + δ) đạo hàm đổi dấu, a điểm cực trị Nếu f (x) > (a − δ, a) f (x) < (a, a + δ), hàm đạt cực đại a Nếu f (x) < (a − δ, a) f (x) > (a, a + δ), hàm đạt cực tiểu a Mệnh đề 1.12 Giả sử hàm f (x) có đạo hàm đến cấp hai lân cận điểm dừng x = a Nếu f (a) < a điểm cực đại Nếu f (a) > a điểm cực tiểu 1.4.5 Tiệm cận • Nếu x → a mà f (x) → ∞ đường thẳng x = a tiệm cận đứng • Nếu x → ∞ mà f (x) → b đường thẳng y = b tiệm cận ngang f (x) = a, lim [f (x) − ax] = b đường x→∞ x x→∞ • Nếu x → ∞ mà f (x) → ∞ tồn giới hạn lim thẳng y = ax + b tiệm cận xiên Bài tập chương 11 Bài tập Tìm hàm f (x) (a) f (x + 1) = x2 − 3x + 2, (c) f x =x+ √ (b) f + x2 , (x > 0), x+ x (d) f Tìm f (f (x)) f (f (f (x))) , (b) f (x) = x2 − x, (a) f (x) = 1−x ex +1 , ex −1 , x2 x x+1 = x2 (c) f (x) = √ Khảo sát tính chẵn, lẻ hàm sau: (a) f (x) = x4 + 5x2 , (b) f (x) = x2 + x, (d) f (x) = = x2 + (e) f (x) = sin x − cos x, x , + x2 x , −1 1+x (f) f (x) = ln 1−x (c) f (x) = 2x Khảo sát tính tuần hồn hàm sau tìm chu kì có: (a) f (x) = cos 7x, (b) f (x) = x sin x, (c) f (x) = cos2 3x, x x (d) f (x) = tan + tan , (e) f (x) = sin x2 , (f) f (x) = sin4 x + cos4 x Tìm hàm ngược hàm sau tập cho: (a) f (x) = 2x + (−∞, +∞), (b) f (x) = x2 (−∞, 0] [0, +∞), 1−x (c) f (x) = , x = −1, √+ x (d) f (x) = − x2 [−1, 0] [0, 1], (e) f (x) = sinh x (−∞, +∞)   ∞  a a0 + · · · + an , a0 = 0, b0 = Chứng minh lim R(x) = Cho R(x) = m + ··· + b x→∞  b0 b0 x m  xn Tính giới hạn sau: (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − x2 − 5x + (a) lim (b) lim x→0 x→3 x − 8x + 15 x x + x2 + · · · + xn − n xm − (1 + mx)n − (1 + nx)m (d) lim (e) lim n (c) lim x→1 x→1 x − x→0 x2 x−1 √ √ √ √ √ x+ x+ x x+ 3x+ 4x + 2x − √ √ (f) lim (g) lim (h) lim √ x→+∞ x→4 x+1 2x + √x→+∞ √ √ x − 2√ n + αx − 1 − 2x − x2 − (1 + x) 1+x− 1−x √ (i) lim (j) lim (k) lim √ x→0 x→0 x→0 x x + x −√3 − x √ √ √ √ n n m + αx − m + βx + αx m + βx − x−1 (m) lim (n) lim √ (l) lim n x→0 x→1 x→0 x x x−1 √ √ √ − √ (o) lim (p) lim ( x + x + x − x) x→+∞ x→1 − x 1− x sin mx tan x − sin x cos x − cos 3x (q) lim (r) lim (s) lim x→π sin nx x→0 x→0 x3 x2 n>m n=m n1 (b) f (x) = (d) f (x) = 10 Tính đạo hàm hàm số sau: (a) y = (d) y = sin x A   Ax + x=0 x=0  sin x + B x x> π π √ 2+ x cos x √ + + 9) (b) y = (c) y = 2− x + sin x √ √ x(x − 1) x+ x (e) y = (f) y = x e−x x−2 (x2 11 Cho f (x) = + 1)(x2 4)(x2 x2 + x x Tìm hệ số a b cho hàm f (x) liên tục khả vi ax + b x > điểm 12 Tìm đạo hàm bậc hai hàm sau: √ (a) y = cos2 x (b) y = arctan x (c) y = − x2 arcsin x (e) y = √ (d) y = e−x (f) y = x cosh2 x − x2 13 Viết phương trình tiếp tuyến pháp tuyến với đường cong y = f (x) điểm x = a: √ (a) y = x2 − 5x + 4, a = −1 (b) y = x, a = (c) y = tan 2x, a = 14 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong x = t cos t, y = t sin t gốc toạ độ điểm t = 15 Dùng qui tắc L’Hospitale, tình giới hạn sau: ln sin ax e2x −1 ex − e−x −2x x m − am (a) lim n (b) lim (c) lim (d) lim x→a x − an x→0 ln sin bx x→0 arcsin 3x x→0 x − sin x x − sin x e3x −3x − π − arctan x (g) lim (f) lim (e) lim x→+∞ x→0 x − tan x x→0 e3/x −1 sin2 5x 16 Tìm khoảng tăng, giảm cực trị hàm sau: √ 2x2 − x (a) y = x − x2 (b) y = (c) y = x ln x (d) y = x − ln x 17 Xác định giá trị nhỏ lớn hàm sau đoạn ra: √ x−1 (c) y = , [0, 4] (a) y = −3x4 + 6x2 , [−2, 2] (b) y = x + x, [0, 4] x+1 √ √ − x + x2 (d) y = , [0, 1] (e) y = x + − x − 1, [0, 1] 1+x−x π Đáp số tập chương 13 18 Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: √ |x2 − 3| x (b) y = x3 − x2 (a) y = (c) y = x−2 x sin x (f) y = x ln e + (d) y = 3x + arctan 5x (e) y = x x Đáp số tập chương 1 (a) f (x) = x2 − 5x + 6, (b)f (x) = x2 − 2, (c)f (x) = 1+ √ + x2 (d)f (x) = x x 1−x 2 (a)f (f (x)) = − , f (f (f (x))) = x (b)f (f (x)) = x4 − 2x3 + x, f (f (f (x))) = x8 − 4x7 + 4x6 + x x x 2x5 − 5x4 + 2x3 + x2 − x (c) f (f (x)) = √ , f (f (f (x))) = √ + 2x + 3x2 (a) Hàm chẵn (b) Hàm không chẵn, không lẻ (c) Hàm không chẵn, không lẻ (d) Hàm lẻ (e) Hàm không chẵn, không lẻ (f) Hàm lẻ (a) T = 2π/7; (b) Không tuần hoàn; (c) T = π/3; (d) T = 6π; (e) Khơng tuần hồn; (f) T = π/2 y−3 1−y √ √ (−∞ < y < ∞) (b) − y (−∞ < y 0) y (0 x < ∞) (c) (y = −1) 1+y (d) − − y (−1 y 0) − y (0 y 1) (e) ln (y + + y ) (−∞ < y < ∞) (a) Chia tử mẫu cho xk với k = (m, n) n(n + 1) m α (c) nm(n − m) (d) (e) (f) (g) √ (h) (i) 2 n n m α β α β n 1 (l) − (m) + (n) (o) (p) (q) (−1)m−n (r) (j) −2 (k) n m n m m 2 n 25 10 (v) e−1/2 (w) e (x) (s) (t) (u) e 16 √ 3 1 (c) (d) (e) − (f) (a) (b) 12 (a) (b) − (a) Liên tục x = A = (b) Gián đoạn x = (c) Liên tục x = A = (d) Liên tục x = π/2 πA = 2B √ 10 (a) 2x[(x2 + 4)(x2 + 9) + (x2 + 1)(x2 + 9) + (x2 + 1)(x2 + 4)] (b) √ x(2 − x)2 √ x+1 x + (x − 1)(x − 2) x(x − 1) − 4x2 −x2 −1 √ (d) √ (f) e (c) √ (e) + sin x 2x(x − 1)(x − 2) x−2 x x x+ x 11 a = 3, b = −1 + x2 −2 −2x (c) (d) (4x2 − 2) e−x )2 (1 + x 3(1 − x2 )2/3 − x2 3x + x2 arcsin x (f) sinh 2x + 4x cosh 2x (e) + (1 − x2 )2 (1 − x2 )7/2 12 (a) −2 cos 2x (b) Đáp số tập chương 14 13 (a) y + 7x − = 0, x − 7y + 71 = (b) x − 4y + = 0, 4x + y − 18 = (c) y − 2x = 0, x + 2y = √ 14 y = (π + 4)x + (π − 4)y − π 2/4 = 2 m m−n a (b) (c) (d) (e) (f) (g) − n 3 50 √ √ √ √ 16 (a) Trên (−1, −1/ 2) (1/√ 2, 1) hàm giảm; (−1/ 2, 1/ 2) hàm tăng; ymin = √ y(−1/ 2) = −1/2, ymax = y(1/ 2) = 1/2 (b) Hàm tăng (−∞, −1) (0, 1); hàm giảm (−1, 0) (1, ∞); ymax = y(±1) = (c) Trên (0, 1) (1, e) hàm giảm; (e, ∞) hàm tăng; ymin = y(e) = e (d) Trên (0, 2) hàm giảm; (2, ∞) hàm tăng; ymin = y(2) = 2(1 − ln 2) 15 (a) 17 (a) M = 3, m = −24 (b) M = 8, m = (c) M = 3/5, m = −1 (d) M = 1, m = 3/5 √ (e) M = 2, m = 18 (a) x = 2, y = (b) y = x − 1/3 (c) x = 0, y = 1, y = −1 (d) y = 3x + π/2, y = 3x − π/2 (e) y = (f) x = −1/e, y = x + 1/e Chương HÀM HAI BIẾN 2.1 Hàm hai biến Định nghĩa 2.1 Hàm hai biến thường kí hiệu z = f (x, y) Miền xác định tập điểm M (x, y) mặt phẳng xOy cho biểu thức f (x, y) có nghĩa Đồ thị hàm hai biến mặt cong khơng gian Oxyz Ví dụ, miền xác định hàm z = trịn tâm O bán kính R R2 − x2 − y tập hợp điểm nằm đường Định nghĩa 2.2 Số A giới hạn hàm f (x, y) (x, y) tiến (x0 , y0 ) viết lim f (x, y) = A với > tồn số δ > cho từ điều kiện < (x,y)→(x0 ,y0 ) (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ ta suy |f (x, y) − A| < Định nghĩa 2.3 Hàm f (x, y) gọi liên tục điểm (x0 , y0 ) 2.2 lim (x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y) = f (x0 , y0 ) Đạo hàm vi phân Định nghĩa 2.4 Cho hàm hai biến z = f (x, y) Đạo hàm riêng cấp f theo biến x đạo ∂f ∂f hàm f theo x y số kí hiệu = fx Tương tự ta có = fy đạo hàm ∂x ∂y ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f riêng cấp hai = fxy = fyx = fxx , = fyy , 2 ∂x ∂y ∂x∂y ∂y∂x Thơng thường ta có ∂2f ∂2f = ∂x∂y ∂y∂x Định nghĩa 2.5 Vi phân cấp cấp hai hàm f (x, y) tính sau: df = ∂f ∂f ∂2f ∂2f ∂2f dx + dy d2 f = dxdy + dy dx + ∂x ∂y ∂x2 ∂x∂y ∂y 16 2.3 Cực trị hàm hai biến 2.3 Cực trị hàm hai biến 2.3.1 Cực trị không điều kiện Định nghĩa 2.6 Hàm f (x, y) có cực đại (cực tiểu) điểm M0 (x0 , y0 ) tồn lân cận M0 cho với điểm M (x, y) = M0 ta có f (x, y) < f (x0 , y0 )(f (x, y) > f (x0 , y0 )) Cực đại hay cực tiểu hàm số gọi cực trị hàm ∂f Mệnh đề 2.1 (Điều kiện cần) Nếu hàm f (x, y) khả vi đạt cực trị M0 (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = ∂x ∂f (x0 , y0 ) = ∂y Những điểm thỏa điều kiện gọi điểm dừng hàm số Mệnh đề 2.2 (Điều kiện đủ) Giả sử M0 (x0 , y0 ) điểm dừng hàm f (x, y) Hàm f có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục M0 Đặt A= ∂2f (x0 , y0 ), ∂x2 B= ∂2f (x0 , y0 ), ∂x∂y C= ∂2f (x0 , y0 ) ∂y Lập biệt thức: ∆ = AC − B Khi đó: Nếu ∆ > hàm f (x, y) đạt cực trị M0 Cụ thể: (a) Hàm đạt cực đại A < (b) Hàm đạt cực tiểu A > Nếu ∆ < hàm f (x, y) khơng có cực trị M0 Nếu ∆ = chưa kết luận Cần khảo sát thêm 2.3.2 Cực trị có điều kiện Xét hàm z = f (x, y) với hai biến x, y thỏa điều kiện ϕ(x, y) = Ta lập hàm Lagrange: L(x, y, λ) = ∂L ∂L f (x, y) − λϕ(x, y) Tọa độ điểm dừng thỏa mãn hệ ba phương trình: = 0, = 0, ϕ(x, y) = ∂x ∂y Giả sử M0 (x0 , y0 ) điểm dừng tương ứng với λ0 Lập định thức: ϕx (M0 ) ϕy (M0 ) ∆ = − ϕx (M0 ) Lxx (M0 , λ0 ) Lxy (M0 , λ0 ) ϕy (M0 ) Lxy (M0 , λ0 ) Lyy (M0 , λ0 ) Khi đó, ∆ < hàm đạt cực đại ∆ > hàm đạt cực tiểu 2.3.3 Giá trị lớn nhỏ hàm miền đóng Hàm khả vi đạt GTLN GTNN điểm dừng bên miền biên Do tốn dừng lại bước tìm điểm dừng, sau tính giá trị hàm điểm này, so sánh để tìm GTLN GTNN (Chú ý đến điểm đặc biệt biên điểm gãy, ) Bài tập chương 17 Bài tập Tìm đạo hàm riêng cấp cấp hai hàm sau đây: x xy (a) z = x4 + y − 4x2 y ; (b) z = xy + ; (c) z = ; y x2 + y x+y y (g) z = arctan (e) z = ln(x2 + y); (f) z = arctan ; x − xy (d) z = x sin (x + y); Tìm vi phân cấp cấp hai hàm sau: x y (c) z = x3 − y + xy điểm (1, 2); (a) z = x3 + 3x2 y − y ; (b) z = + ; y x (d) z = x arctan (x + y) điểm (0, 1) (e) z = 6x2 + y điểm (2, 1) Tìm cực trị hàm hai biến sau: (a) z = x2 + xy + y − 3x − 6y + 5; (c) z = x2 + y − ln x − 18 ln y; (e) z = 2x3 − xy + 5x2 + y ; (g) z = x2 + y + xy − ln x − 10 ln y; 50 20 + ; x y (d) z = x3 + 3xy − 15x − 12y; 2 (f) z = (2x2 + y ) e−(x +y ) (h) z = xy ln (x2 + y ); (b) z = xy + Tìm cực trị có điều kiện hàm hai biến sau: (a) z = x2 + y − xy + x + y − với điều kiện x + y + = 0; 1 (b) z = + với điều kiện x + y = 2; x y x−y−4 √ với điều kiện x2 + y = 1; (c) z = Tìm GTLN GTNN hàm hai biến sau miền cho: (a) z = x − 2y − x 1, y 1, x + y (b) z = x2 − xy + y |x| + |y| (c) z = x2 + y − 12x + 16y x2 + y 25 Đáp số tập chương (a) zx = 4x3 − 8xy , zy = 4y − 8x2 y; zxx = 12x2 − 8y , zxy = −16xy, zyy = 12y − 8x2 x 2x (b) zx = y + , zy = x − ; zxx = 0, zxy = − , zyy = y y y y y3 x3 −3xy 3x2 y (c) zx = , zy = ; zxx = , zxy = , (x + y )3/2 (x + y )3/2 (x + y )5/2 (x + y )5/2 −3x3 y zyy = (x + y )5/2 (d) zx = sin (x + y) + x cos (x + y), zy = x cos (x + y); zxx = cos (x + y) − x sin (x + y), zxy = cos (x + y) − x sin (x + y), zyy = −x sin (x + y) 2x y − x2 −2x −1 (e) zx = , zy = ; zxx = 2 , zxy = , zyy = 2 x +y x +y (x + y) (x + y) (x + y)2 − x2 x 2xy y −2xy −y , zy = ; zxx = , zxy = , zyy = (f) zx = 2 2 )2 )2 x +y x +y (x + y (x + y (x + y )2 −2x −2y , z = ; z = , z = 0, zyy = (g) zx = + x2 y + y xx (1 + x2 )2 xy (1 + x2 )2 Đáp số tập chương 18 (a) dz = 3(x2 + 2xy)dx + 3(x2 − y )dy; d2 z = 6(x + y)dx2 + 12xdxdy − 6ydy 1 y x 2y 2x (b) dz = − dx + − dy; d2 z = dx2 − + dxdy + dy 2 y x x y x x y y (c) dz = 5dx − 3dy; d2 z = 6dx2 + 2dxdy − 2dy π (d) dz = dx; d2 z = dx2 + dxdy 12 24 24 (e) dz = dx + dy; d2 z = dx2 + dxdy + dy 5 125 125 125 (a) zmin = −4 với x = 0, y = (b) zmin = 30 với x = 5, y = (c) zmin = 10 − 18 ln với x = 1, y = (d) zmin = −28 với x = 2, y = 1, zmax = 28 với x = −2, y = −1, điểm dừng (1, 2), (−1, −2) hàm khơng có cực trị (e) zmin = với x = 0, y = 0, điểm dừng (−5/3, 0), (1, 4), (1, −4) hàm khơng có cực trị (f) zmin = với x = 0, y = 0, zmax = 2e−1 với x = ±1, y = 0, điểm dừng (0, ±1) hàm khơng có cực trị (g) zmin = − 10 ln với √ √ x = 1, y = (h) zmin = −1/2e với x = y = ±1/ 2e, zmax = 1/2e với x = −y = ±1/ 2e, điểm dừng (0, ±1), (±1, 0) hàm cực trị √ = = (a) zmin √ −19/4 với x = y = −3/2 (b) zmin = √ với x = y √ (c) zmin = −1 − 2 với √ √ x = −1/ 2, y = 1/ 2, zmax = − 2 với x = 1/ 2, y = −1/ (a) GTLN=-2, GTNN=-5 (b) GTLN=1, GTNN=0 (c) GTLN=125, GTNN=-75 Chương TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3.1 3.1.1 Tích phân bất định Định nghĩa cách tính Định nghĩa 3.1 Nếu hàm f (x) xác định liên tục khoảng (a, b) tồn hàm F (x) cho F (x) = f (x) với x ∈ (a, b) hàm F (x) gọi ngun hàm hàm f (x) Khi tích phân bất định hàm f (x) f (x)dx = F (x) + C, với C số tùy ý Sau bảng tích phân bất định bản: xn dx = xn+1 + C, (n = −1); n+1 ax dx = ax + C; ln a cos xdx = sin x + C; cosh xdx = sinh x + C; dx = tan x + C; cos2 x a2 dx = ln |x| + C x ex dx = ex +C sin xdx = − cos x + C sinh xdx = cosh x + C dx = − cot x + C sin2 x dx x = arctan + C, +x a a (a = 0) a2 a+x dx + C, ln = −x 2a a−x a2 x dx = ± ln a2 ± x2 + C ±x √ dx x = arcsin + C, a −x a2 (a = 0) (a > 0) a 0) x2 ± a2 + C, (a > 0) Hai phương pháp để tính tích phân: Phương pháp đổi biến: Nếu x = α(t) hàm khả vi, đơn điệu ta có công thức: f (x)dx = f (α(t))α (t)dt Phương pháp tích phân phần: Nếu u(x) v(x) hai hàm hàm khả vi ta có cơng thức: u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − 3.1.2 u (x)v(x)dx Tích phân hàm hữu tỉ Pn (x) Nếu n < m f (x) gọi hàm hữu tỉ thực Nếu n m Qm (x) phép chia đa thức ta đưa tích phân dạng hàm hữu tỉ thực Vì đa thức phân tích thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai có biệt thức âm, nên sử dụng phương pháp hệ số bất định, ta khai triển hàm hữu tỉ thực thành tổng hàm hữu tỉ đơn giản Từ đó, tích phân hàm hữu tỉ đưa bốn dạng sau đây: Hàm hữu tỉ có dạng f (x) = dx , ax + b dx , (ax + b)k Ax + B dx, ax2 + bx + c Ax + B dx + bx + c)k (ax2 Trong hai dạng cuối biệt thức ∆ = b2 − 4ac < 3.1.3 Tích phân hàm vơ tỉ Nguyên tắc chung thực phép đổi biến thích hợp để đưa tích phân hàm hữu tỉ Sau số dạng thường gặp: † R (xr1 , xr2 , ) với r1 , r2 , số hữu tỉ Khi sử dụng phép đổi biến x = tN với N bội số chung nhỏ mẫu số r1 , r2 , ax + b ax + b Để hữu tỉ hố tích phân ta thực phép đổi biến t = † R x, cx + d cx + d Trong trường hợp trên, R( ) hàm hữu tỉ theo biến † Phép đổi biến Euler: √ √ ax2 + bx + c = ± ax + t a > √ √ ax2 + bx + c = ± ax + z a > a(x − x1 )(x − x2 ) = t(x − x1 ) 21 3.2 Tích phân xác định 3.1.4 Tích phân hàm lượng giác Nguyên tắc chung hữu tỉ hóa tích phân cho Ở phép đổi biến tổng quát là: 2dt − t2 2t x , cos x = , sin x = t = tan , dx = 2 1+t 1+t + t2 Tuy nhiên số trường hợp, ta sử dụng phép đổi biến: t = cos x, t = sin x hay t = tan x, công thức lượng giác tích thành tổng, v.v 3.2 Tích phân xác định Định nghĩa 3.2 Nếu hàm f (x) xác định liên tục [a, b] F (x) nguyên hàm f (x) tích phân xác định hàm f (x) đoạn [a, b] định nghĩa sau: b a f (x)dx = F (b) − F (a) = F (x)|b a Trong f (x) hàm dấu tích phân, a cận b cận tích phân, x biến lấy tích phân Tính chất tích phân xác định: b a b a b [f (x) ± g(x)]dx = a f (x)dx = − c b g(x)dx; b λf (x)dx = λ a a f (x)dx a a f (x)dx; f (x)dx = a b b f (x)dx + a a b f (x)dx ± b f (x)dx = f (x)dx c a a Nếu f (x) hàm lẻ f (x)dx = Nếu f (x) hàm chẵn −a Nếu ∀x ∈ [a, b], f (x) a −a g(x) b a f (x)dx = f (x)dx b f (x)dx g(x)dx a a Ta có hai phương pháp để tính tích phân xác định: Phương pháp đổi biến: Giả sử hàm f (x) liên tục [a, b],hàm ϕ(t) với đạo hàm liên tục [α, β] với a = ϕ(α), b = ϕ(β) hàm hợp f (ϕ(t)) xác định liên tục [α, β] Khi ta có: β b f (ϕ(t))ϕ (t)dt f (x)dx = a α Phương pháp tích phân phần: Nếu hàm u(x) v(x) với đạo hàm chúng liên tục [a, b] ta có b b u(x)v (x)dx = a u(x)v(x)|b a − u (x)v(x)dx a 22 3.3 Tích phân suy rộng 3.3 Tích phân suy rộng 3.3.1 Tích phân suy rộng loại Nếu hàm f (x) khả tích đoạn [a, b] với b > a theo định nghĩa: b +∞ (3.1) f (x)dx f (x)dx = lim b→+∞ a a Nếu giới hạn (3.1) tồn ta nói tích phân suy rộng hội tụ Ngược lại ta nói chúng phân kỳ Tích phân suy rộng bản: +∞ dx xα hội tụ phân kỳ α>1 α 1 Tương tự ta có tích phân suy rộng loại sau: f (x)dx f (x)dx = lim a→−∞ f (x)dx = lim a −∞ Tiêu chuẩn so sánh 1: Giả sử với x > a, < f (x) kỳ +∞ f (x)dx lim a→−∞ b→+∞ a −∞ b +∞ b b g(x)dx phân kỳ tích phân a +∞ g(x) Khi đó, tích phân g(x)dx hội tụ +∞ a +∞ f (x)dx phân a f (x)dx hội tụ a f (x) = k, (0 < k < +∞) x→+∞ g(x) Tiêu chuẩn so sánh 2: Nếu với x > a, f (x) > 0, g(x) > 0, ∃ lim hai tích phân +∞ f (x)dx a 3.3.2 +∞ g(x)dx có tính chất hội tụ a Tích phân suy rộng loại hai Nếu hàm f (x) không bị chặn lân cận điểm b với [a, b − ] theo định nghĩa: > hàm khả tích đoạn b− b →0 a (3.2) f (x)dx f (x)dx = lim a Nếu giới hạn (3.2) tồn ta nói tích phân suy rộng hội tụ Ngược lại ta nói chúng phân kỳ Tương tự ta có tích phân suy rộng loại hai: f (x)dx = lim →0 a+ a b−δ b b b f (x)dx f (x)dx = lim lim a →0 δ→0 a+ Ta có tích phân suy rộng loại hai b a dx (b − x)α hội tụ phân kỳ α