Một vài ứng dụng đạo hàm cấp phân số trong cơ điện tử

Đạo hàm và tích phân cấp phân số có vai trò quan trọng trong việc mô tả tính chất vật lý của các loại vật liệu mới xuất hiện ở cuối thế kỷ XX - đầu thế kỷ XXI. Bài viết giới thiệu một số định nghĩa về đạo hàm cấp phân số và trình bày việc áp dụng của đạo hàm cấp phân số trong mô hình các hệ cơ điện tử.

Kỹ thuật - Công nghệ NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI MỘT VÀI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ TRONG CƠ ĐIỆN TỬ Some applications of fractional-order derivatives in Mechatronics GS TSKH NGND Nguyễn Văn Khang * Tóm tắt: Đạo hàm tích phân cấp phân số có vai trị quan trọng việc mơ tả tính chất vật lý loại vật liệu xuất cuối kỷ XX - đầu kỷ XXI Bài viết giới thiệu số định nghĩa đạo hàm cấp phân số trình bày việc áp dụng đạo hàm cấp phân số mơ hình hệ điện tử Từ khóa: Đạo hàm cấp phân số, điện tử, dao động, mạch điện RLC Abstract: The fractional derivative and the integral play an important role in describing the physical properties of new materials created at the end of the 20th century and at the beginning of the 21st century Some definitions of the broken derivative are presented in this work Subsequently, some applications of fractional derivative are presented in the models of mechatronic systems Keywords: Fractional-order derivative, mechatronics, vibration, RLC circuit Mở đầu r ong thư ngày 30 tháng 09 năm 1695 nhà toán học Đức Leibniz (1646T 1716) gửi nhà toán học Pháp L’Hospital, lần khái niệm đạo hàm cấp không dn nguyên đề cập đến [1] Trả lời câu hỏi L’Hospital: “Biểu thức đạo hàm dx n có ý nghĩa n  ”, Leibni z nói: “Sẽ dẫn đến mâu thuẫn” ơng viết thêm: “Từ mâu thuẫn đến ngày có kết luận hữu ích” Cuối kỷ XIX , lý thuyết đạo hàm tích phân cấp phân số nghiên cứu nhà toán học Liouville, Grünwald, Letnikov, Riemann, v.v… Cơ sở toán học lý thuyết đạo hàm cấp phân số trình bày tài liệu [2], [3], [4] Lúc đầu lý thuyết đạo hàm cấp phân số phát triển chủ yếu lĩnh vực lý thuyết t tốn học hữu ích cho nhà toán học Tuy nhiên, vài chục năm gần đây, nhiều tác giả đạo hàm tích phân cấp khơng ngun phù hợp cho mơ tả tính chất nhiều loại vật liệu mới, chẳng hạn vật liệu polyme Họ mơ hình cấp phân số thích hợp mơ hình cấp ngun sử dụng trước Sự xem xét mặt vật lý cho thấy việc sử dụng mơ hình dựa đạo hàm cấp phân số hợp lý phù hợp [2, 3] Đạo hàm cấp phân số cung cấp công cụ để mô tả nhớ tính chất di truyền vật liệu q trình khác Đây ưu điểm đạo hàm cấp phân số so với mô hình đạo hàm cấp ngun cổ điển, ảnh hưởng thực tế bị bỏ qua * Phó Chủ nhiệm khoa Cơ – Điện tử Trường ĐH KD&CN Hà Nội Tạp chí Kinh doanh Cơng nghệ Số 04/2019 67 NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI Kỹ thuật - Cơng nghệ Việc mơ hình tốn học mơ hệ hệ điện tử dựa mơ tả tính chất chúng thơng qua đạo hàm cấp phân số tất nhiên dẫn tới phương trình vi phân cấp phân số dẫn tới cần thiết phải giải phương trình Trong báo trình bày cách ngắn gọn định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số, sau trình bày vài kết nghiên cứu áp dụng khái niệm đạo hàm cấp phân số vài toán điện tử Định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số 2.1 Định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số theo Riemann-Liouville Cơng thức tích phân Cauchy có dạng: Dan t  n 1 f t    t    f   d , (n  0)    n  a (1) Mở rộng khái niệm tích phân với giá trị không nguyên n, thay số nguyên n số thực p  công thức tích phân Cauchy (1) ta có: R Dtp f  t   t  p 1  t    f   d , ( p  0) (2)    p a (2) Biểu thức (2) định nghĩa tích phân cấp phân số theo Riemann-Liouville [2, 3] Khi p  [2, 3], người ta định nghĩa R dn Dt f  t   (n  p) dt n p  p  0, n  p  n  1 t  t   n  p 1 a f   d (3) (3) đạo hàm cấp phân số theo Riemann-Liouville [2, 3] Các định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số theo Riemann-Liouville có ứng dụng phổ biến lĩnh vực khoa học tự nhiên khoa học kỹ thuật 2.2 Định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số theo Grünwald-Letnikov Dựa công thức viết cho đạo hàm tích phân với n nguyên, GrünwaldLetnikov đưa định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số với p số thực tùy ý [2, 3]:  t  a   p d p f t  G p Dt f  t    lim   p N   N    d  t  a    (4) N 1    j  p   t  a       p    j  1 f  t  j  N   j 0  Đại lượng  j  p  j  p  1   Aj 1   j     j  1    p  (5) gọi hệ số Grünwald Cách định nghĩa theo Grünwald-Letnikov có ưu điểm đạo hàm, tích phân cấp phân số tìm thơng qua giá trị hàm, khơng cần phép tính tích phân đạo hàm Người ta chứng minh hàm    p   p  0 Tạp chí Kinh doanh Công nghệ Số 04/2019 68 NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI Kỹ thuật - Công nghệ không hữu hạn tỉ số   j  p  hữu hạn Sự tương đương định nghĩa đạo  p hàm cấp phân số chứng minh tài liệu [2, 3, 5] 2.3 Định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Caputo Đạo hàm cấp phân số định nghĩa theo Caputo có dạng: C Dtp f  t   dn   n  p  dt n t  t   n  p 1 f   d ,  n  p  n  1 (6) a Giữa đạo hàm cấp phân số theo Riemann-Liouvill theo Caputo người ta tìm quan hệ [5]: n 1 f ( j)  a  j p R p c p (7) Da f  t   Da f  t    t  a  j 0   j  p  1 Nếu f  j   a    j  0, , n  1 hai định nghĩa trùng 2.4 Định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số theo hàm biến phức Cho f  z  hàm đơn trị giải tích miền mở A mặt phẳng phức, A tập điểm A bị chặn đường cong đóng trơn C tích phân Cauchy có dạng [2, 3, 5]: f   f z  d ,  z  A (8)  2 i C   z Từ (8) ta có cơng thức tính đạo hàm cấp nguyên: Dn f  z   f   n! d  2 i C   z n1 (9) Hình Chu tuyến L Khi n số p bất kỳ, ta thay n ! biểu thức (9) hàm ( p  1) Tuy nhiên, p số nguyên điểm z trở thành điểm phân nhánh cực hàm dấu tích phân biểu thức (9) Do đó, đường cong C khơng cịn tuyến phù hợp Để giải vấn đề ta dựng nhát cắt dọc trục thực từ điểm z tới  Trong hình 1, giả sử z số thực dương, ký hiệu x Khi định nghĩa Dap f  z  dạng tích phân đường  x  a  Tạp chí Kinh doanh Cơng nghệ Số 04/2019 69 NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI Dap  f z    p  1 2 i Kỹ thuật - Công nghệ   p  1 2 i    x   x   p 1    x  f  d a  p 1 (10) f  d  L Từ biểu thức (10) người ta biến đổi dẫn đến biểu thức định nghĩa tích phân cấp phân số theo Riemann-Liouville (2) [5] Ứng dụng đạo hàm cấp phân số kỹ thuật điện Như biết [6] dòng điện i(t) chạy qua cuộn dây theo định luật cảm di (t ) biến điện từ, điện áp cuộn dây có dạng: uL  L dt Khi điện áp tụ điện có điện dung C biến thiên dịng điện chuyển dịch qua tụ điện xác định công thức: du (t ) i C C dt Các công thức xác định thực nghiệm Sử dụng khái niệm đạo hàm cấp phân số, công thức có dạng [7, 8]: d  uC (t ) i(t )  C ,  1 dt d  i(t ) u (t )  L ,   1 dt  Thí dụ Để minh họa, ta thiết lập phương trình trạng thái mạch điện RLC nối tiếp sau u uR uL R L i C uC Hình Mạch RLC nối tiếp Dịng điện tính theo điện áp tụ điện: du (t ) i (t )  C C dt Điện áp rơi điện trở điện áp rơi điện cảm du (t ) uR  R i(t )  uR  R i (t )  RC C dt d uC (t ) di(t ) uL (t )  L  LC dt dt Tạp chí Kinh doanh Công nghệ Số 04/2019 70 NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI Kỹ thuật - Công nghệ u (t )  uL (t )  uR (t )  uC (t ) hay: d 2uC (t ) du (t )  LC  RC C  uC (t ) dt dt d 2uC (t ) du (t ) LC  RC C  uC (t )  u (t ) (11) dt dt Nếu sử dụng cơng thức đạo hàm cấp phân số ta có: d  uC (t ) d  uC (t )   uC (t )  u (t ) LC RC (12) dt  dt Trong    1,    Các kết tính tốn theo phương trình (12) gần với kết thực nghiệm kết tính tốn theo phương trình (11) [7, 8] Ứng dụng đạo hàm cấp phân số kỹ thuật dao động Trong năm gần việc áp dụng đạo hàm cấp phân số tính tốn dao động hệ có vật liệu mới, vật liệu thơng minh quan tâm nghiên cứu nhiều [2 -5] Ta nêu vài điểm khác biệt sau Thứ nhất, quy luật cản khơng cị cản bậc cản bậc hai tài liệu cổ điển: FC  b d x (13) FC  a dx dt dt mà cản cấp phân số:  (14) FC  c d x  dt với  số không nguyên số phức Thứ hai, quan hệ ứng suất-biến dạng khơng cịn tn theo định luật Hook cổ điển:  xx  E xx (15) mà có dạng d   xx )  xx  E ( xx  a (16) dt với  số không nguyên số phức Tạp chí Kinh doanh Cơng nghệ Số 04/2019 71 NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI Kỹ thuật - Công nghệ Thí dụ Thiết lập phương trình vi phân dao động giá treo ô tô: Gọi x1, x2 u dịch chuyển vật bánh xe Ta có định luật Newton m1 x1   R1 , (17) m2 x2  R1  R2 , Trong R1 , R2 nội lực sinh bên vật thể đàn nhớt Giá trị lực R2 tổng giá trị lực tác dụng lên giảm chấn c2 lực tác dụng lên lò xo k Trong : hệ R1  c1  x1  x2  , (18) R2  R2  k   R2  c2  , (19) R2  k   k  x2  u  , R2  c2   c2 Dt  x2  u  , (20)  R2  c2 Dt  x2  u   k  x2  u  , (21) Từ phương trình (17), (18) (21) ta có phương trình vi phân chuyển động m1x1  c1  x1  x2  (22) m2 x2  c1  x1  x2   c2 Dt  x2  u   k  x2  u  , (23) Rút x1 từ phương trình (23) m c k x1  x2  x2  Dt x2  x2 c1 c1 c1 c k  Dt u  u, c1 c1 Đạo hàm phương trình (24) ta : (24) Tạp chí Kinh doanh Công nghệ Số 04/2019 72 NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI Kỹ thuật - Công nghệ x1  m2 c k x2  x2  Dt 1 x2  x2 c1 c1 c1 (25) c2  1 k  Dt u  u , c1 c1 Thay phương trình (24) (25) vào (22) ta phương trình vi phân cấp ba sau c c  c k x2     x2  Dt 1 x2  x2 m2 m2  m1 m2   c1c2  kc1 Dt x2  x2 m1m2 m1m2 (26) c2  1 cc kc1 k Dt u  u  Dt u  u m2 m2 m1m2 m1m2 Thí dụ Dao động phi tuyến có thành phần cản cấp phân số [9, 10] Xét dao động hệ Duffing hình  Hình Mơ hình Duffing Phương trình vi phân mơ tả dao động có dạng mx  t   k1 x  t   cx  t   k3 x3  t   c p D p  x  t   E0 cos  t  (27) Trong đó: m : khối lượng hệ ( kg ) ; k1 : hệ số độ cứng tuyến tính ( kg ); s2 kg ); s kg k3 : hệ số độ cứng phi tuyến ( 2 ) ; cm s E0 : biên độ lực cưỡng ( N ) ; rad );  : tần số góc lực cưỡng ( s c : hệ số cản nhớt tuyến tính ( Tạp chí Kinh doanh Công nghệ Số 04/2019 73 NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI Kỹ thuật - Công nghệ kg ); s 2 p c p D p [ x(t )] : thành phần đạo hàm cấp phân số c p  0;  p  c p : hệ số thành phần cấp phân số (  Thực phép đổi biến c k E k c 0  ; 2  ;   ;  p  p ; E  m m m m m Khi phương trình (27) trở thành : x  t   02 x  t   2 x  t    x3  t   p D p  x  t    E cos  t  0  (28) (29) Xét trường hợp tần số ngoại lực cưỡng  tần số dao động riêng có mối quan hệ: 2  32 02   Khi (29) trở thành: x t   (29) 2 x t   32    Ecos  t   2 x  t    x3  t    p D p  x  t   +   x t   (30) Trong [9] áp dụng phương pháp trung bình hóa tìm nghiệm phương trình (30) Một vài kết biểu thị ảnh hưởng của số hạng cấp phân số trình bày hình (6) (7) Hình Ảnh hưởng E0  đến điều kiện tồn cộng hưởng thứ điều hòa cấp 1/3 thay đổi tham số c p Nhận xét: Dựa biểu đồ ta quan sát thay đổi giá trị  theo biên độ lực kích động E0 để thỏa mãn điều kiện tồn nghiệm cộng hưởng thứ điều Tạp chí Kinh doanh Cơng nghệ Số 04/2019 74 NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI Kỹ thuật - Cơng nghệ hịa cấp 1/3 Đồng thời thấy giá trị c p tăng lên đồng nghĩa với việc vùng tồn nghiệm thứ điều hòa cấp 1/3 bị thu hẹp lại Đánh giá điều kiện tồn cộng hưởng thứ điều hòa cấp 1/3 thay đổi giá trị p Hình.7 Ảnh hưởng E0  đến điều kiện tồn cộng hưởng thứ điều hòa cấp 1/3 thay đổi tham số p Nhận xét: Có thể thấy giá trị p tăng lên đồng nghĩa với việc vùng tồn nghiệm thứ điều hòa cấp 1/3 bị thu hẹp lại Kết luận Ngày vật liệu thông minh nghiên cứu đưa vào sử dụng ngành kỹ thuật Sử dụng đạo hàm tích phân cấp phân số để mơ tả xác phương trình đặc tính vật liệu đề tài quan tâm nghiên cứu mơ hình hóa hệ điện tử Trong báo trình bày vài áp dụng đạo hàm tích phân cấp phân số nghiên cứu việc xây dựng phương trình hệ điện Hướng nghiên cứu theo nhiều nhà khoa học [3, 8] hướng nghiên cứu có triển vọng kỷ XXI Tài liệu tham khảo Baleanu, D., et al.(eds) (2012) Fractional Dynamics and Control Springer, New York Boskovic, M C., Sekara, T M., Dakovic, B., Lazarevic, P (2017) Analysis of electrical circuits including fractional order elements IEEE-Proc of 6th Mediterranean Conference on embedded computing, Montenegro Đặng Văn Đào, Lê Văn Doanh (2006) Kỹ thuật điện (in lần thứ 11) NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội T Kaczorek, K Rogowski (2014) Fractional linear systems and electrical circuits Printing House of Bialystok University of Technology, Bialystok Nguyễn Văn Khang (2009) Động lực học hệ có đạo hàm cấp phân số (Bài giảng) Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Nguyen Van Khang, Truong Quoc Chien (2016) Subharmonic resonance of Duffing oscillator with fractional-order derivative ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol 11, pp 051018 Tạp chí Kinh doanh Công nghệ Số 04/2019 75 NGHIÊN CỨU TRAO ĐỔI Kỹ thuật - Công nghệ Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien (2016) Resonance oscillation of third order forced van der Pol system with fractional order derivative ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol.11, Issue 4, pp 0410301-0410305 Leibniz, G.W (1962) Mathematische Schiften Georg OhnsVerlagsbuchhandlung, Hildesheim Miller, K S and Ross, B (1993) An introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations John Wiley & Sons Inc., New York 10 Bùi Thị Thúy (2017) Dao động phi tuyến yếu hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số Luận án Tiến sĩ, Học viện Khoa học Công nghệ, Viện hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Ngày nhận bài: 05/7/2019 Tạp chí Kinh doanh Cơng nghệ Số 04/2019 76 ... nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số, sau trình bày vài kết nghiên cứu áp dụng khái niệm đạo hàm cấp phân số vài toán điện tử Định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số 2.1 Định nghĩa đạo hàm tích phân. .. Định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số theo Grünwald-Letnikov Dựa cơng thức viết cho đạo hàm tích phân với n nguyên, GrünwaldLetnikov đưa định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số với p số thực... nghĩa tích phân cấp phân số theo Riemann-Liouville (2) [5] Ứng dụng đạo hàm cấp phân số kỹ thuật điện Như biết [6] dòng điện i(t) chạy qua cuộn dây theo định luật cảm di (t ) biến điện từ, điện áp