Điều khiển trượt dừng nhanh với đạo hàm cấp phân số của tay máy đôi

Dựa trên mô hình động lực tay máy đôi tổng quát cho hệ 2n bậc tự do kể đến đàn nhớt phi tuyến ở các khớp, chúng tôi đề xuất một phiên bản nâng cao của điều khiển trượt sử dụng đạo hàm cấp phân số và ổn định dừng Lyapunov. Chất lượng và tính bền vững của bộ điều khiển được kiểm chứng bằng lý thuyết ổn định Mittag-Leffler và mô phỏng số.

CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2019 ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT DỪNG NHANH VỚI ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ CỦA TAY MÁY ĐÔI FRACTIONAL-ORDER TERMINAL SLIDING MODE CONTROL OF DUAL ARM MANIPULATORS LÊ ANH TUẤN Viện Cơ khí, Trường Đại học Hàng hải Việt Nam Email liên hệ: tuanla.ck@vimaru.edu.vn Tóm tắt Dựa mơ hình động lực tay máy đơi tổng quát cho hệ 2n bậc tự kể đến đàn nhớt phi tuyến khớp, đề xuất phiên nâng cao điều khiển trượt sử dụng đạo hàm cấp phân số ổn định dừng Lyapunov Chất lượng tính bền vững điều khiển kiểm chứng lý thuyết ổn định Mittag-Leffler mơ số Từ khóa: Điều khiển trượt dừng nhanh, rô bốt tay đôi, ổn định Mittag-Leffler Abstract On the basis of dynamic model of 2n DOFs dual arm robots considering nonlinear viscoelasticity at joints, we propose an advanced version of sliding mode control for dual arm robots using fractional derivative and terminal Lyapunov stability The effectiveness and robustness of controller are investigated by utilizing Mittag-Leffler theory and numerical simulation Keywords: Fast terminal sliding mode control, dual-arm robots, Mittag-Leffler stability Mở đầu Tay máy đôi ứng dụng rộng rãi công nghiệp chế tạo lắp ráp, dây chuyền sản xuất tự động Nó làm việc môi trường độc hại nhà máy điện hạt nhân, phòng thí nghiệm độc học để thay vai trò người Là rơ bốt phục vụ (servire robots), ứng xử giống người, phục vụ người đời sống thường nhật (daily anthropomorphic life) Đặc biệt, sử dụng phẫu thuật y học, vi phẫu, chăm sóc sức khỏe Có nhiều cơng trình cơng bố điều khiển tay máy đôi sử dụng kỹ thuật khác nhau: từ hồi tiếp tuyến tính hóa [1], tựa thụ động [2], điều khiển trượt [3 & 4], kỹ thuật đại logic mờ [4], mạng nơ ron [5] Cơng trình phát triển phiên khác điều khiển trượt Chúng tơi kết hợp điều khiển trượt với giải tích phân số Ở đó, cấu trúc điều khiển chứa đạo hàm cấp phân số mặt trượt tín hiệu phản hồi Thuật toán điều khiển thiết kế dựa mơ hình tốn tay máy đơi có kể đến đàn nhớt phi tuyến khớp đặc trưng số mũ cấp phân số đạo hàm cấp phân số chuyển vị quay Khác với kỹ thuật trượt truyền thống, sử dụng phiên nâng cao cho phép đáp ứng hội tụ tiệm cận với thời gian hội tụ hữu hạn Các kết giải tích phân số sử dụng để phân tích ổn định hệ thống điều khiển lý thuyết Mittag-Leffler, ổn định Lyapunov dừng Bài báo cấu trúc thành năm mục Mục mô tả mơ hình tốn tay máy đơi dạng tổng qt 2n bậc tự có kể đến đàn nhớt phi tuyến khớp Mục xây dựng luật điều khiển để dẫn động ổn định chuyển động tay máy dựa tảng trượt đạo hàm cấp phân số Phân tích chứng minh ổn định thuật tốn điều khiển trình bày mục Để kiểm chứng chất lượng hệ thống điều khiển, Mục mô số đáp ứng, áp dụng cho tay máy đôi bậc tự do, lập trình chạy mơi trường MATLAB/Simulink Phân tích chất lượng tín hiệu thảo luận mục Cuối cùng, kết luận kiến nghị trình bày Mục Mơ hình tốn Sơ đồ tính tay máy đơi cho Hình 1, tay có n bậc tự Mỗi tay gồm r khâu n khớp cầu Mỗi khâu đặc trưng khối lượng mi, mơ men qn tính Ii, chiều dài li, ki khoảng cách từ trọng tâm khâu đến khớp xoay tương ứng Rô bốt mang vật khối lượng m di chuyển đến đích theo quỹ đạo yêu cầu Như vậy, 2r khâu có 2n bậc tự tương ứng với 2n tọa độ suy rộng q   qi   T 2n Để quay khớp, 2n động servo trang bị ứng với tín hiệu vào mô men T 2n quay khớp T = Ti   Phương trình vi phân mô tả chuyển động rô bốt viết dạng ma trận sau: M  q  q + C  q,q  q + B  μ,Dt q  Dt q + G  q  = JT  q  F  q,q,q  + T + D , Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 58 - 04/2019 (1) 49 CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2019 với mãn M q  n2 n ma trận khối lượng, qT M  q  q  q  véc tơ trọng trường 2n J q    n2 n  μ   i   T 2n n2 n ma trận Coriolis hướng kính ma trận Jacobi 2n n2 n nhiễu B μ,Dt q  phân số, cụ thể: C  q,q   T vật thể hai tay gắp  M  q   MT  q  ma trận xác định dương thỏa F  q,q,q   2n G q  2n là véc tơ lực tương tác véc tơ mô men điều khiển khớp D 2n véc tơ ma trận cản đàn nhớt chứa số mũ cấp phân số đạo hàm cấp ,  i  cấp số mũ,    cấp đạo hàm, i   2n di qi Mỗi thành phần cản có dạng Bi  bi Dt qi Dt qi với Dt qi  đạo hàm cấp phân số  i d t i  q i theo thời gian Thành phần C  q,q   B  μ, Dt q  ma trận phản đối xứng thỏa mãn i  i i i  qT M  q   C  q,q   B  μ,Dt q  q  q  2n Hình Sơ đồ tính tay máy đơi 2n bậc tự Thuật toán điều khiển Dựa tốn động học ngược, ta xác định góc quay yêu cầu q d  t  khớp từ quỹ đạo chuyển động tải m Mục đề xuất thuật toán điều khiển trượt dùng nhanh với đạo hàm cấp phân số (fractional-order fast terminal sliding mode control) để dẫn góc quay khâu tới góc quay mong muốn q  t  q d  t  Tín hiệu q  t  ổn định theo hai pha: Đầu tiên, hội tụ nhanh đến mặt trượt với thời gian hữu hạn kỹ thuật trượt hội tụ nhanh (fast terminal SMC) [6] Sau đó, tín hiệu bị đẩy đến vị trí yêu cầu mặt trượt theo nghĩa ổn định Mittag-Leffler [7] Luật điều khiển phát biểu thông qua định lý sau: Định lý 1: Cấu trúc điều khiển FO-FT-SMC:   T  M  q  q d  Dt1   q  q d   s  s q / p  K sgn  s    JT  q  F  q,q,q   D  C  q,q  q  B  μ,Dt q  Dt q  G  q  (2) ổn định tiệm cận tín hiệu mơ hình động lực tay máy đơi (1) với thời gian hội tụ hữu hạn với ma trận hệ số điều khiển xác định dương K  diag  K1 , ,  n  , λ  diag  1 , , 2 n  , , K n  đồng thời q p số lẽ dương thỏa mãn q  p Mặt trượt chứa đạo hàm cấp phân số, xác định bởi: 50   diag  1 , s  Dt  q  q d     q  q d  , Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải (3) Số 58 - 04/2019 CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2019 với s  s t   2n , Dt đạo hàm cấp phân số    0,1 theo thời gian Chứng minh: Ta chứng minh hệ mạch kín tạo mơ hình rơ bốt (1) dẫn động luật điều khiển (2) ổn định tiệm cận dừng theo nghĩa Mittag-Leffler Chúng sử dụng bổ đề hệ giải tích phân số ổn định Lyapunov nâng cao để chứng minh định lý trên: Bổ đề [8]: Nếu tồn hàm liên tục, khả vi, xác định dương tơ trạng thái cho: V  x  với x  x  t   R n véc V  x    V  x    V   x  t  to với    ,   0, (4)   , V  x  hội tụ tiệm cận với thời gian hội tụ hữu hạn: V ts  ln  1    1  x t    o (5)  Ở đây, to thời điểm đầu Bổ đề [9]: Gọi x t   n véc tơ hàm thực, liên tục, khả vi Với t  to , bất đẳng thức sau: 1  Dt  xT  t  x  t    xT  t  Dt x  t  2  thỏa mãn với cấp phân số    0,1 (6) Áp dụng bổ đề cho hệ vi phân cấp phân số có dạng: Dt x  t   f  x  t   (7) V  x t   (8) với hàm Lyapunov: T x t  x t  , ta hệ sau: Hệ [10]: Xét hệ vi phân phân số (7) với Nếu điều kiện sau thỏa mãn:    0,1 x t   n véc tơ trạng thái xT  t  f  x  t    (9) gốc x  hệ (7) ổn định Và nếu: xT  t  f  x  t    (10) hệ (7) ổn định tiệm cận quanh điểm cân x  Bây giờ, ta phân tích ổn định mặt trượt (3) khảo sát hàm Lyapunov: V T 2n s s   si2 2 i 1 (11) có đạo hàm: 2n V  sT s   si si (12) i 1 Sử dụng tính chất sau đạo hàm cấp phân số [11]:  dq  t   Dt  q  t    Dt   ,  dt  (13) ta đạo hàm mặt trượt (3) theo thời gian: s  Dt 1  q  q d     q  q d  (14) Thay (14) vào (12) với lưu ý (1), ta được: Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 58 - 04/2019 51 CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2019      JT  q  F  q,q,q  + T + D     1    V  s  Dt M  q    q   q  q  d d       C  q,q  q  B  μ,Dt q  Dt q  G  q         T (15) Thay luật điều khiển (2) vào đạo hàm Lyapunov (15) dẫn tới: V  sT  s  sT s q / p  sT K sgn  s  (16) suy ra: 2n 2n 2n V    i si2   i si q / p 1   K i si i 1 i 1 i 1 2n 2n i 1 i 1     si2  min  si q / p  1 i 1  2  minV  x   2minV  x   2  minV  x   2minV  x  với    1 , , 2 n  2n   K i si  q / p  1 (17) 2n   K i si i 1  q / p  1    ,   2min , Áp dụng Bổ đề cho 2   q / p   , ta kết luận mặt trượt ổn định tiệm cận tới không với thời gian hội tụ nhanh, hữu hạn: 2 minV ln  1  q / p  ts  p q 2p  x  t    2 o (18) 2min Khi mặt trượt (3) hội tụ số mũ dừng (terminal exponential stability), tín hiệu hội tụ tiệm cận Thật vậy, phương trình (3) mặt trượt ổn định tiệm cận dẫn đến: Hay: Áp dụng Hệ cho Dt  q  q d     q  q d   (19) Dt e  t   f  e  t    e  t  (20) x  t   e  t  nhận thấy rằng: e  t  f  e  t    e  t  e  t   T với e  t   q  t   qd  t    T 2n , ma trận xác định dương (21) β  diag  i   n2 n ,  i  Hệ sai số e  t  ổn định theo nghĩa Mittag-Leffler có dạng hội tụ: e  t   e  0 E  βt   , Ở đây, (22) E  z  hàm Mittag-Leffler định nghĩa bởi:  zk k    k  1 E  z    (23)  hàm gamma Ổn định Mittag-Leffler đồng nghĩa với ổn định tiệm cận Vậy, q  t  tiệm cận đến q d  t  t tiến đến vô với    , z  ,  Mô kết Để kiểm chứng chất lượng điều khiển đề xuất, mô hệ động lực (1) cho trường hợp bậc tự [4] dẫn động luật điều khiển (2) Chi tiết mơ hình động lực rút gọn cho hệ bậc tự do, tham số hệ thống, điều kiện đầu, độc giả xem thêm tài liệu [4] Các 52 Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 58 - 04/2019 CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2019 thông số cản đàn nhớt phi tuyến khớp gồm bi  110; i  0, 4; i  0,65 ( i   ) Các tham số điều khiển gồm: 1  5; 2  4; 3  4; 3  3; 1  2  3  4  0,05; K1  1; K2  K3  K4  3; p  2; q  4;   0,05 Hình Quỹ đạo yêu cầu tay gắp Hình Quỹ đạo thực tay gắp Chúng mô cho bốn trường hợp thay đổi cấp đạo hàm gồm   1; 0, 6; 0, 75; 0,9; Ngồi ra, tính bền vững hệ thống kiểm chứng xét đến tính bất ổn tham số (parametric uncertainties) b  b  bi  b j  T gồm  i   4, j   3 m  m m   0,5 1,5 với  với b  10 25 15 Kết mô phòng thể T hình 2-7 Quỹ đạo yêu cầu cho Hình 2, hai tay gắp mang vật từ vị trí ban đầu  0, 76;0,   0, 76;0,  đến đích  0,525;1,  tròn tâm  0;1,  bán kính 0,4 m  0, 275;1,  theo quỹ đạo nửa vòng Quỹ đạo thực hai tay gắp Hình 3, nhìn chung bám quỹ đạo yêu cầu tiến đến đích xác Chuyển động quay khâu thể hình từ đến cho thấy bám góc quay yêu cầu đảm bảo tính bền vững mặc cho có yếu tố bất ổn tham số hệ động lực Hình Góc quay khâu Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Hình Góc quay khâu Số 58 - 04/2019 53 CHÀO MỪNG NGÀY THÀNH LẬP TRƯỜNG 01/04/2019 Hình Góc quay khâu Hình Góc quay khâu Kết luận Cơng trình thiết kế thành cơng điều khiển bền vững áp dụng cho rô bốt tay đôi dạng tổng quát 2n bậc tự Bộ điều khiển dựa tảng kỹ thuật trượt SMC kết hợp với ổn định dừng Lyapupnov, ổn định Mittag-Leffler, đạo hàm cấp phân số Bộ điều khiển kiểm chứng thông qua mô với tay máy đôi bậc tự Kết cho thấy điều khiển làm việc tốt, ổn định tiệm cận tất đáp ứng, bền vững với biến đổi rộng tham số hệ động lực Ghi nhận tài trợ: Công trình sản phẩm đề tài nghiên cứu khoa học cấp Trường hỗ trợ Trường Đại học Hàng hải Việt Nam, năm học 2018-2019 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] X Yun, V Kumar, An approach to simultaneous control of trajectory and interaction forces in dual-arm configurations, IEEE Transactions on Robotics and Automation (5), pp 618-625, 1991 [2] J G Lau, M Arteaga, L Munoz, V Parra-Vega, On the control of cooperative robots without velocity measurements, IEEE Transactions on Control Systems Technology 12 (4), pp 600608, 2004 [3] N Yagiz, Y Hacioglu, Y Z Arslan, Load transportation by dual arm robot using sliding mode control, Journal of Mechanical Science and Technology 24 (5), pp 1177-1184, 2010 [4] Y Hacioglu, Y Z Arslan, N Yagiz, MIMO fuzzy sliding mode controlled dual arm robot in load transportation, Journal of the Franklin Institute 348 (8), pp 1886-1902, 2011 [5] W Gueaieb, F Karray, S Al-Sharhan, A robust hybrid intelligent position/force control scheme for cooperative manipulators, IEEE/ASME Transactions on Mechatronics 12 (2), pp 109-125, 2007 [6] X Yu, Z Man, Fast terminal sliding mode control design for nonlinear dynamical systems, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications 49 (2), pp.261-264, 2002 [7] Y Li, Y Q Chen, I Podlubny, Mittag-Leffler stability of fractional order nonlinear dynamic systems, Automatica 45 (8), pp 1965-1969, 2009 [8] S Yu, X Yu, B Shirinzadeh, Z Man, Continuous finite time control for robotic manipulators with terminal sliding mode, Automatica 41 (11), pp 1957-1964, 2005 [9] Y Hong, Y Xu, J Huang, Finite-time control for robot manipulators, Systems & Control Letters 46 (4), pp 243-253, 2002 [10] N A.-Camacho, M A D.-Mermoud, J A Gallegos, Lyapunov functions for fractional order systems, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 19 (9), pp 29512957, 2014 [11] M Chen, S Shao,P Shi, Robust adaptive control for fractional-order systems with disturbance and saturation, ASME Press and John Wiley & Sons, 2017 Ngày nhận bài: 23/03/2019 Ngày nhận sửa: 02/04/2019 Ngày duyệt đăng: 03/04/2019 54 Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 58 - 04/2019 ... đàn nhớt chứa số mũ cấp phân số đạo hàm cấp ,  i  cấp số mũ,    cấp đạo hàm, i   2n di qi Mỗi thành phần cản có dạng Bi  bi Dt qi Dt qi với Dt qi  đạo hàm cấp phân số  i d t i ... công điều khiển bền vững áp dụng cho rô bốt tay đôi dạng tổng quát 2n bậc tự Bộ điều khiển dựa tảng kỹ thuật trượt SMC kết hợp với ổn định dừng Lyapupnov, ổn định Mittag-Leffler, đạo hàm cấp phân. .. hàm cấp phân số Bộ điều khiển kiểm chứng thông qua mô với tay máy đôi bậc tự Kết cho thấy điều khiển làm việc tốt, ổn định tiệm cận tất đáp ứng, bền vững với biến đổi rộng tham số hệ động lực