ôn thi cao học môn xác suất thống kê

ôn thi cao học môn xác suất thống kê

Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 1 ƠN THI CAO HỌC MƠN TỐN KINH TẾ (GV: Trần Ngọc Hội - 2009) PHẦN II: XÁC SUẤT A- CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN §1. ƠN VỀ TỔ HỢP 1.1. Định nghĩa. Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm khơng có thứ tự gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho. Ví du: Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là: {x,y}; {x,z}; {y,z}. 1.2. Cơng thức tính tổ hợp: Gọi k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có cơng thức: () ! !! = − k n n C knk Ví dụ: 6 20 20! 38760. 6!14! ==C Chú ý: Trên máy tính có phím chức năng nCr, ta tính 6 20 C bằng cách bấm 20 nCr 6 = 1.3. Bài tóan lựa chọn: Một lơ hàng chứa N sản phẩm, trong đó có N A sản phẩm loại A và N − N A sản phẩm lọai B. Chọn ngẫu nhiên ra n sản phẩm (0 < n < N). Với mỗi số ngun k thỏa 0 ≤ k ≤ N A , 0 ≤ n − k ≤ N− N A . Tìm số cách chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩm loại A. Lời giải Để chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩmloại A ta tiến hành 2 bước: Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ N A sản phẩm loại A. Số cách chọn là A k N C . Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 2 Bước 2: Chọn n − k sản phẩm loại B từ N − N A sản phẩm loại B. Số cách chọn là − − A nk NN C . Theo ngun lý nhân ta có số cách ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩm loại A là: . − − A A kn k NN N CC . §2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 2.1. Phép thử và biến cố 1) Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện xác định nào đó. Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quả được gọi là một biến cố. Ví dụ. Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Các biến cố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,… 2) Biến cố tất yếu, kí hiệu Ω (Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm khơng q 6” là biến cố tất yếu. 3) Biến cố bất khả, kí hi ệu Φ, là biến cố khơng bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 6” là biến cố bất khả. 4) Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể khơng xảy ra khi thực hiện phép thử. Ta thường dùng các kí tự A, A 1 , A 2 , B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu nhiên. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một biến cố ngẫu nhiên. Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi A j (j = 1,2,…,6) là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm” . 5) Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B (hay A ∪ B) là biến cố định bởi: A + B xảy ra ⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra. ⇔ Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Minh họa: Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 3 Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n như sau: A 1 + A 2 +…+ A n xảy ra ⇔ Có ít nhất 1 trong n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n xảy ra. Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm khơng q 2” và B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, ta có: A = A 1 + A 2 B = A 2 + A 4 + A 6 6) Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A∩B) là biến cố định bởi: AB xảy ra ⇔ A xảy ra và B xảy ra (trong cùng một phép thử) Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử. Minh họa: Ta có thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n như sau: A 1 A 2 …A n xảy ra ⇔ Tất cả n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n đồng thời xảy ra. Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau: A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn. B : Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 5. C: Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 5. Ta có: AB = A 6 và ABC = Φ. 7) Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố bất khả và khơng thể phân tích dưới dạng tổng của hai biến cố khác. Ta có thể xem các biến cố sơ cấp như là các ngun tử nhỏ nhất khơng thể phân chia đươc nữa. Một biến cố A bất kỳ sẽ là tổng của một số biến cố sơ cấp nào đó, ta gọi nhữ ng biến cố sơ cấp đó thuận lợi cho biến cố A. Như vậy, mọi biến cố sơ cấp đều Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 4 thuận lợi cho biến cố tất yếu, trong khi khơng có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến cố bất khả. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta có tất cả 6 biến cố sơ cấp là A j (j = 1,2,…,6). Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ. Khi đó: A = A 1 + A 3 + A 5 . Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A 1 , A 3 , A 5 . 8) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = Ư, nghĩa là A và B khơng bao giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử. Minh họa: Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố : A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn. B : Xuất hiện mặt 1 chấm. C : Xuất hiện mặt có số khơng q 2. Ta có A và B xung khắc nhưng A và C thì khơng (AC = A 2 ). 9) Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu A , là biến cố định bởi A xảy ra ⇔ A khơng xảy ra Minh họa: Như vậy, A và A xung khắc, hơn nữa A + A = Ω, nghĩa là nhất thiết phải có một và chỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn. B : Xuất hiện mặt có số chấm lẻ. Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 5 Ta thấy ngay B là biến cố đối lập của A. 10) Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có khả năng xảy ra như nhau khi thực hiện phép thử. Ví dụ: Khi tung ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất 6 mặt, các biến cố sơ cấp A j (j = 1, 2,…,6) là đồng khả năng. 2.2. Định nghĩa xác suất. Giả sử khi tiến hành một phép thử , có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó có m A biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. Tỉ số n m A được gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A). Như vậy, S P(A) = ố biến cố sơ cấp thuận lợi cho A Tổng số biến cố sơ cấp co ùthe å xảy ra 2.3. Cơng thức tính xác suất lựa chọn. Xét một lơ hàng chứa N sản phẩm, trong dó có N A sản phẩm loại A, còn lại là loại B. Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra n sản phẩm (0 < n < N). Khi đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ N A thỏa 0 ≤ n − k ≤ N − N A , xác suất để trong n sản phẩm chọn ra có đúng k sản phẩm loại A là AA knk NNN n n N (k) CC p C − − = §3. CƠNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT 3.1. Cơng thức cộng xác suất 1) Cơng thức cộng xác suất thứ nhất. Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có P(A+B) = P(A) + P(B) Mở rộng : Với A 1 , A 2 , …, A n là n biến cố xung khắc từng đơi, ta có: P(A 1 + A 2 + …+ A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +…+ P(A n ) 2) Hệ quả. Với A là một biến cố bất kỳ, ta có P(A) 1 P(A)=− Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 6 3) Cơng thức cộng xác suất thứ hai Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A B) P(A) P(B) P(AB)+= + − Ví dụ 1: Một lơ hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra có: a) Số sản phẩm tốt khơng ít hơn số sản phẩm xấu. b) Ít nhất 1 sản phẩm xấu. Lời giải Gọi A j (j = 0,1,…,4) là biến cố có j sản phẩm tốt và (4 − j) sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm chọn ra. Khi đó A 0 , A 1 ,…,A 4 xung khắc từng đơi và theo Cơng thức tính xác suất lựa chọn với N = 15, N A = 10, n = 4 (ở đây loại A là loại tốt), ta có C CC jj j AP 4 15 4 510 )( − = Từ đó ta tính được: . 1365 210 )(; 1365 600 )( 1365 450 )(; 1365 100 )(; 1365 5 )( 43 210 == === APAP APAPAP a) Gọi A là biến cố số sản phẩm tốt khơng ít hơn số sản phẩm xấu. Ta có: A = A 4 + A 3 + A 2 . Từ đây do tính xung khắc từng đơi của A 2 , A 3 , A 4 , cơng thức cộng thứ nhất cho ta: 432 210 600 450 P(A) P(A ) P(A ) P(A ) 0,9231 1365 1365 1365 =++=++= b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 sản phẩm xấu trong 4 sản phẩm chọn ra. Khi đó, biến cố đối lập B là biến cố khơng có sản phẩm xấu nào trong 4 sản phẩm chọn ra nên B = A 4 . Suy ra xác suất của B là 8462,0 1365 210 1)(1)(1)( 4 =−=−=−= APBPBP . Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 7 Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 60 sinh viên giỏi Tốn, 70 sinh viên giỏi Anh văn và 40 sinh viên giỏi cả hai mơn Tốn và Anh văn. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tìm xác suất để chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai mơn Tốn hoặc Anh văn. Lời giải Gọi - A là biến cố sinh viên được chọn giỏi moan Tốn. - B là biến cố sinh viên được chọn giỏi mơn Anh văn. Khi đó - AB là biến cố sinh viên được chọn giỏ i cả hai mơn Tốn và Anh văn. - A + B là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai mơn Tốn hoặc Anh văn. Do đó .9,0 100 40 100 70 100 60 )()()()( =−+=−+=+ ABPBPAPBAP §4. CƠNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT 4.1. Xác suất có điều kiện 1) Định nghĩa. Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xảy ra, kí kiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B đã xảy ra rồi. Ví dụ: Thảy một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Xét các biến cố sau: - A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn. - B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ. - C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 4. - D là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 4. Khi đó - P(A/B) = 0 - P(A/C) = 2/4 = 0,5 - P(A/D) = 2/3 Nhận xét: Trong ví dụ trên ta có xác suất của biế n cố A là P(A) = 3/6 = 0,5. Do đó P(A/B) < P(A); P(A/C) = P(A); P(A/D) > P(A). Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể bằng nhưng cũng có thể lớn hơn xác suất thơng thường P(A). Đặc biệt, ta thấy xác suất để biến cố A xảy ra là 0,5 khơng phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C đã xảy ra. Ta nói biến cố A độc lậ p với biến cố C theo định nghĩa sau: 2) Tính độc lập. Nếu P(A/B) = P(A), nghĩa là sự xuất hiện của biến cố B khơng ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A, thì ta nói A độc lập với B. Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 8 4.2. Cơng thức nhân xác suất thứ nhất Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có P(AB) = P(A) P(B) Mở rộng : Với A 1 , A 2 , …, A n là n biến cố độc lập từng đơi, nghĩa là với mọi 1 ≤ i ≠ j ≤ n , A i và A j độc lập, ta có: P(A 1 A 2 …A n ) = P(A 1 )P(A 2 )… P(A n ). 4.3. Cơng thức nhân xác suất thứ hai Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B) Mở rộng : Với A 1 , A 2 , …, A n là n biến cố bất kỳ, ta có: P(A 1 A 2 …A n ) = P(A 1 )P(A 2 /A 1 )… P(A n /A 1 A 2 …A n−1 ). Chẳng hạn: P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB). Ví dụ: Có hai lơ hàng, mỗi lơ chứa 15 sản phẩm, trong đó lơ I gồm 10 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu; lơ II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi lơ 2 sản phẩm. a) Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. b) Giả sử đã chọn đượ c 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Tính xác suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ I. Lời giải Gọi A i , B i (i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i sản phẩm tốt và (2 − i) sản phẩm xấu có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lơ I, lơ II. Khi đó - A 0 , A 1 , A 2 xung khắc từng đơi và ta có: Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 9 . 105 45 )( ; 105 50 )( ; 105 10 )( 2 15 0 5 2 10 2 2 15 1 5 1 10 1 2 15 2 5 0 10 0 == == == C CC C CC C CC AP AP AP - B 0 , B 1 , B 2 xung khắc từng đơi và ta có: . 105 28 )( ; 105 56 )( ; 105 21 )( 2 15 0 7 2 8 2 2 15 1 7 1 8 1 2 15 2 7 0 8 0 == == == C CC C CC C CC BP BP BP - A i và B j độc lập. a) Gọi A là biến cố chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phảm xấu. Ta có: A = A 0 B 2 + A 1 B 1 + A 2 B 0 . Do tính xung khắc từng đơi, cơng thức cộng xác suất cho ta: P(A) = P(A 0 B 2 ) + P(A 1 B 1 ) + P(A 2 B 0 ). Từ đây, do tính độc lập, cơng thức nhân xác suất thứ nhất cho ta: 02 11 20 P(A) P(A )P(B ) P(A )P(B ) P(A )P(B ) 10 28 50 56 45 21 0,3651. 105 105 105 105 105 105 =++ =++= b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Khi đó biến cố A đã xảy ra. Do đó xác suất để chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ I trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A 1 /A). Theo Cơng thức nhân xác suất thứ hai, ta có /A)P(A)P(A A)P(A 11 = . Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 10 Suy ra P(A) A)P(A /A)P(A 1 1 = . Mặt khác A 1 A = A 1 B 1 Vì hai biến cố A 1 và B 1 độc lập nên theo Cơng thức nhân thứ nhất ta có: .2540,0 105 56 . 105 50 )()()()( 11111 ==== BPAPBAPAAP Do đó xác suất cần tìm là: 0,6957. 0,3651 0,2540 P(A) A)P(A /A)P(A 1 1 === §5. CƠNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CƠNG THỨC BAYES 5.1. Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi Các biến cố A 1 , A 2 ,…, A n được gọi là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi nếu hai tính chất sau được thỏa: - A 1 + A 2 +… + A n = Ω; - ∀ 1 ≤ i ≠ j ≤ n, A i A j = Φ, nghĩa là các biến cố A 1 , A 2 ,…, A n xung khắc từng đơi và nhất thiết phải có một và chỉ một biến cố A j nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ. Nhận xét. Với A 1 , A 2 ,…, A n là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đơi ta có P(A 1 ) + P(A 2 ) + … + P(A n ) = 1. Ví dụ. Có hai hộp, mỗi hộp chứa 10 viên bi, trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng; hộp II gồm 8 đỏ, 2 trắng.Từ mỗi hộp, chọn ra 2 bi. Xét các biến cố sau: - A i (i = 0, 1,2 ) là biến cố có i bi đỏ và 2 − i bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp I. - B j (j = 0, 1,2 ) là biến cố có j bi đỏ và 2 − j bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp II. Khi đó ta có các hệ sau là các hệ đầy đủ, xung khắc từng đơi: - A 0 , A 1 , A 2 . - B 0 , B 1 , B 2 . - A 0 B 0 , A 0 B 1 , A 0 B 2 , A 1 B 0 , A 1 B 1 , A 1 B 2 , A 2 B 0 , A 2 B 1 , A 2 B 2 . - A 0 B 0 , A 0 B 1 + A 1 B 0 , A 0 B 2 + A 1 B 1 + A 2 B 0 , A 1 B 2 + A 2 B 1 , A 2 B 2 . 5.2. Cơng thức xác suất đầy đủ Cho A 1 , A 2 ,…, A n là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi. Khi đó, với A là một biến cố bất kỳ, ta có: n jj j1 P(A) P(A )P(A/A ) = = ∑ Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 11 5.3. Cơng thức Bayes Với các giả thiết như trong 5.2, ta có với mỗi 1 ≤ k ≤ n: kk kk k n jj j1 P(A )P(A/A ) P(A )P(A/A ) P(A /A) P(A) P(A )P(A/A ) = == ∑ Ví dụ. Có hai lơ hàng, mỗi lơ chứa 15 sản phẩm, trong đó lơ I gồm 10 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu; lơ II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lơ I 2 sản phẩm bỏ sang lơ II, sau đó từ lơ II lấy ra 2 sản phẩm. a) Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra từ lơ II có 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu. b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ II. Tính xác suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ I. Lời giải Gọi - A là biến cố chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ II. - A j (j = 0, 1, 2) là biến cố có j sản phẩm tốt và (2 − j) sản phẩmxấu có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lơ I. Khi đó A 0 , A 1 , A 2 là hệ đầy đủ, xung khắc từng đơi và ta có: . 105 45 )( ; 105 50 )( ; 105 10 )( 2 15 0 5 2 10 2 2 15 1 5 1 10 1 2 15 2 5 0 10 0 == == == C CC C CC C CC AP AP AP a) u cầu của bài tốn là tính xác suất P(A). Theo Cơng thức xác suất đầy đủ ta có: P(A) = P(A 0 ) P(A/A 0 ) + P(A 1 ) P(A/A 1 ) + P(A 2 ) P(A/A 2 ). Ta có: 136 72 )/( 2 17 1 9 1 8 0 == C CC AAP Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 12 136 70 )/( 136 72 )/( 2 17 1 7 1 10 2 2 17 1 8 1 9 1 == == C CC C CC AAP AAP Suy ra xác suất của biến cố A là 5231,0 . 136 70 . 105 45 136 72 . 105 50 136 72 . 105 10 )/()()/()()/()()( 221100 = ++= + + = AAPAPAAPAPAAPAPAP b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ II. Khi đó biến cố A đã xảy ra. Do đó xác suất cần tìm chính là xác suất có điều kiện P(A 1 /A). Ap dụng Cơng thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu a) ta có 0,4819. 0,5231 136 72 . 105 50 P(A) ))P(A/AP(A /A)P(A 11 1 === §6. CƠNG THỨC BERNOULLI 6.1. Cơng thức Bernoulli Tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau. Giả sử ở mỗi phép thử, biến cố A hoặc xảy ra với xác suất pkhơng đổi, hoặc khơng xảy ra với xác suất q = 1 – p. Khi đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta có Cơng thức Bernoulli tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là: k knk n n P(k) pq C − = 6.2. Hệ quả. Với các giả thiết như trên ta có: 1) Xác suất để trong n phép thử biến cố A khơng xảy ra lần nào là q n . 2) Xác suất để trong n phép thử biến cố A ln ln xảy ra là p n . Ví dụ. Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60%. Cho máy sản xuất 5 sản phẩm. Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có: a) 3 sản phẩm tốt. b) Ít nhất 3 sản phẩm tốt. Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 13 Lời giải Gọi A k (k = 0,1,…,5) là biến cố có k sản phẩm tốt và (5 − k) sản phẩm xấu có trong 5 sản phẩm thu được. Ap dụng Cơng thức Bernoulli với n = 5, p = 0,6, q = 0,4 ta có kk k knk k n k CC qpAP −− == 5 5 )4,0()6,0()( . a) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt là: .3456,0)4,0()6,0()( 23 3 5 3 == C AP b) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có ít nhất 3 sản phẩm tốt chính là P(A 3 + A 4 + A 5 ). Ta có: .68256,0 )6.0()4,0()6,0(3456,0 )()()()( 54 4 5 543543 = ++= ++=++ C A P A P A P A A A P Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 14 B - ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN §1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực tùy theo kết quả của phép thử. Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên. Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên. 1.2. Phân loại a) Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặ c vơ hạn đếm được các giá trị. Ví dụ: Tiến hành n thí nghiệm. Gọi X là số thí nghiệm thành cơng. Khi đó X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n+1 giá trị 0; 1; ; n. b) Loại liên tục. Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vơ hạn khơng đếm được các giá trị mà thơng thường các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó trong tập các số thực. Ví dụ. Gọi T là nhiệt độ đo được t ại một địa phương. Ta có T là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục. 1.3. Luật phân phối a) Trường hợp rời rạc Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị tăng dần : x 0 , x 1 ,…,x n ta lập bảng: X x 1 X 2 ……………………… x n P p 1 p 2 …………………………. p n trong đó - p k = P(X = x k ) ≥ 0 với k = 1, 2, …, n. - n k k1 p1 = = ∑ , nghĩa là p 1 + p 2 +…+ p n = 1 . Ví dụ. Một lơ hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản phẩm chọn ra. Tìm luật phân phối của X. Lời giải Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2. Ap dụng Cơng thức tính xác suất lựa chọn ta được: Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 15 . 3 1 )2( ; 15 8 )1( ; 15 2 )0( 2 10 0 4 2 6 2 2 10 1 4 1 6 1 2 10 2 4 0 6 0 ==== ==== ==== C CC C CC C CC XPp XPp XPp Vậy luật phân phối của X là X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 b) Trường hợp liên tục Trường hợp X liên tục, thay cho việc liệt kê các giá trị của X ở dòng trên, ta chỉ ra đoạn [a;b] mà X nhận giá trị ở đoạn đó (a, b có thể hữu hạn hoặc vơ hạn). Còn thay cho xác suất p 0 , p 1 ,…, p n ta đưa ra hàm mật độ f(x) thoả các tính chất sau: - f(x) ≥ 0 với mọi x ∈[a;b]. - ∫ = b a dxxf .1)( - ∫ =≤≤ β α βα .)()( dxxfXP §2. CÁC ĐẶC SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN. 2.1. Mode. Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trị x 0 của X được xác định như sau: - Nếu X rời rạc thì x 0 là giá trị mà xác suất P(X = x 0 ) lớn nhất trong số các xác suất P(X = x). - Nếu X liên tục thì x 0 là giá trị mà hàm mật độ f(x) đạt giá trị lớn nhất. Như vậy, Mod(X) là giá trị tin chắc nhất của X, tức là giá trị mà X thường lấy nhất. Chú ý rằng Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau. Ví dụ: Xét lại ví dụ trên, ta có X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 Do đó Mod(X) = 1. 2.2. Kỳ vọng (hay Giá trị trung bình) 1) Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X), là số thực được xác định như sau: - Nếu X rời rạc có luật phân phối Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 16 X x 1 x 2 ……………………… x n P p 1 p 2 …………………………. p n thì n kk k1 M(X) x p = = ∑ nghĩa là M(X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 +…+ x n p n . - Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác định [a;b] thì b a M(X) xf(x)dx.= ∫ Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau: X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 Do đó kỳ vọng của X là M(X) = 0.2/15 + 1.8/15 + 2.1/3 = 1,2. 2) Tính chất: Kỳ vọng có các tính chất sau: Tính chất 1: Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên hằng bằng chính hằng số đó, nghĩa là: M(C) = C (C: Const). Tính chất 2: Với k là hằng số ta có M(kX) = kM(X). Tính chất 3: M(X + Y) = M(X) + M(Y). Tính chất 4: Với hai lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y ta có M(XY) = M(X)M(Y). 2.3. Phương sai và độ lệch chuẩn. 1) Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X), là số thực khơng âm định bởi: 2 D(X) M[(X ) ]=−μ trong đó μ = M(X) là kỳ vọng của X. Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu )( X σ . Vậy Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 17 (X) D(X)σ= . 2) Cơng thức tính phương sai: Từ định nghĩa của phương sai ta có cơng thức khác để tính phương sai như sau: D(X) = M(X 2 ) – [M(X)] 2 trong đó M(X 2 ), M(X) lần lượt là kỳ vọng của X 2 và X. Như vậy, - Nếu X rời rạc có luật phân phối X x 1 X 2 ……………………… x n P p 1 p 2 …………………………. p n thì cơng thức trên trở thành nn 2 2 kkk k k1 k1 D(X) p ( x p ) x == =− ∑∑ - Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác định [a;b] thì bb 22 aa D(X) x f(x)dx ( xf(x)dx)=− ∫∫ Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau: X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 và kỳ vọng của X là M(X) = 1,2 . Suy ra phương sai của X là: D(X) = M(X 2 ) – [M(X)] 2 = 0 2 .2/15 + 1 2 .8/15 + 2 2 .1/3 − (1,2) 2 = 32/75 ≈ 0,4267. Độ lệch chuẩn của X là: .6532,04267,0)()( ≈== XDX σ 3) Tính chất: Phương sai có các tính chất sau: Tính chất 1: Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên hằng C bằng 0, nghĩa là: D(C) = 0. Tính chất 2: Với k là hằng số ta có D(kX) = k 2 (D(X). Tính chất 3: Với X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập ta có: D(X + Y) = D(X) + D(Y). Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 18 2.4 Sử dụng máy tính để tính các đặc số. Ta có thể sử dụng phần mềm thống kê trong các máy tính bỏ túi CASIO 500MS, 570MS, 500ES, 570ES, ) để tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc. Ví dụ. Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối như sau: X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 a) Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570MS 1) Vào MODE SD: Bấm MODE (vài lần ) và bấm số ứng với SD, trên màn hình sẽ hiện lên chữ SD. 2) Xóa bộ nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1 (màn hình hiện lên Stat clear) AC = . Kiểm tra lại: Bấm nút tròn ∇ hoặc Δ thấy n = và ở góc số 0 là đã xóa. 3) Nhập số liệu: Nhập (khi bấm SHIFT , trên màn hình hiện lên dấu ;) b/c + b/c + b/c + 0 SHIFT , 2 a 1 5 M 1 SHIFT , 8 a 1 5 M 2 SHIFT , 1 a 3 M 4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn ∇ để kiểm tra việc nhập số liệu. Thấy số liệu nào sai thì để màn hình ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm = thì số liệu mới sẽ thay cho số liệu cũ. Ví dụ. Nhập sai b/c + 0 SHIFT , 2 a 2 5 M . Khi kiểm tra ta thấy trên màn hình hiện ra: - x 1 = 0 (đúng). - Freq1 = 2/25 (sai) Sửa như sau: Để màn hình ở Freq1 = 2/25, bấm b/c 2 a 1 5 = thì nhận được số liệu đúng Freq1 = 2/15. Số liệu nào bị nhập dư thì để màn hình ở số liệu đó và bấm + SHIFT M thì tòan bộ số liệu đó (gồm giá trị của X và xác suất tương ứng) sẽ bị xóa. Chẳng hạn, nhập dư b/c + 3 SHIFT , 3 a 4 M . Khi kiểm tra ta thấy x 4 = 3 (dư). Ta để màn hình ở số liệu đó và bấm + SHIFT M thì tòan bộ số liệu dư (gồm giá trị của X = 3 và xác suất tương ứng 3/4) sẽ bị xóa. Chú ý. Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm A C để xóa màn hình và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa. Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 19 5) Đọc kết quả: Đại lượng cần tìm Thao tác Kết quả Ghi chú Kỳ vọng M(X) SHIFT 2 1 = X1.2= M(X) X = Độ lệch chuẩn (X)σ SHIFT 2 2 = n x 0, 6532.σ= n (X) x σ =σ • Phương sai D(X) = [σ(X)] 2 = (0,6532) 2 = 0,4267 b) Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570ES 1) Khai báo cột tần số: Bấm SHIFT SETUP 4 1∇ (Bấm ∇ bằng cách bấm nút tròn xuống) 2) Vào Mode Thống kê: Bấm MODE 3 1 (hoặc MODE 2 1 ) (Trên màn hình sẽ hiện lên chữ STAT) 3) Nhập số liệu: Như trong bảng sau: 4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn để kiểm tra việc nhập số liệu. Thấy số liệu nào sai thì để con trỏ ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm = thì số liệu mới sẽ thay cho số liệu cũ. Số liệu nào bị nhập dư thì để con trỏ ở số liệu đó và bấm DEL thì tòan bộ số liệu đó (gồm giá trị của X và xác suất tương ứng) sẽ bị xóa. Chú ý. Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm A C để xóa màn hình và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa. Trong q trình xủ lý số liệu, muốn xem lại bảng số liệu thì bấm SHIFT 1 2 5) Đọc kết quả: Đại lượng cần tìm Thao tác Kết quả Ghi chú Kỳ vọng M(X) SHIFT 1 5 2 = X1.2= M(X) X = Độ lệch chuẩn (X)σ SHIFT 1 5 3 = n x 0, 6532σ= n (X) x σ =σ • Phương sai D(X) = [σ(X)] 2 = (0,6532) 2 = 0,4267 Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội 20 §3. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI 3.1. Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối siêu bội, kí hiệu X ∼ H(N, N A , n), trong đó N, N A , n là các số ngun dương , 0 < n, N A < N, nếu X rời rạc nhận các giá trị k ngun từ max{0; n + N A − N} đến min{n; N A } theo Cơng thức tính xác suất lựa chọn: AA knk NNN n N P(X k) CC C − − == 3.2. Các đặc số của phân phối siêu bội Giả sử X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, N A , n). Khi đó X có các đặc số như sau: a) Kỳ vọng: M(X) np v== A N ới p N b) Phương sai. Nn D(X) npq v q 1 p N1 − ==− − ới Ví dụ. Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi. Gọi X là số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra. Hãy tìm luật phân phối của X và xác định kỳ vọng, phương sai của X. Lời giải Ta thấy X có phân phối siêu bội X ∼ H(N, N A , n) với N = 12; N A = 8, n = 4. Do đó X nhận các giá trị k ngun từ max {0; 4 + 8 − 12} = 0 đến min{4; 8} = 4 với các xác suất định bởi: C CC kk kXP 4 12 4 48 )( − == Từ đây ta tính được P(X = 0) = 1/495; P(X = 1) = 32/495; P(X = 2) = 168/495; P(X = 3) = 224/495; P(X = 4) = 70/495. Vậy luật phân phối của X là: X 0 1 2 3 4 P 1/495 32/495 168/495 224/495 70/495 Kỳ vọng của X là M(X) np 4. 2,667.== = 8 12 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com [...]... bất kỳ, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) • Cơng thức Nhân xác suất: 26 Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội - Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đơi, ta có: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An) - Với A1, A2, …, An là n biến cố bất kỳ, ta có: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/A1)… P(An/ A1A2 …An-1) Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất A Khi đó: M ( X ) = np với - Kỳ vọng:... phế phẩm đó của xí nghiệp I 30 Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Bài 10 Có 10 sinh viên đi thi, trong đó có 3 thuộc lọai giỏi, 4 khá và 3 trung bình Trong số 20 câu hỏi thi qui định thì sinh viên lọai giỏi trả lời được tất cả, sinh viên khá trả lời được 16 câu còn sinh viên trung bình được 10 câu Gọi ngẫu nhiên một sinh viên và phát một phiếu thi gồm 4 câu hỏi thì anh ta trả... định trên R định bởi: Lời giải X ∼ P(a) Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất D(X) = σ2 Lời giải 6.3 Hàm Gauss Hàm Gauss f(x) là hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn chính tắc X ∼ N(0,1): f (x) = 1 2π e − 2 x 2 23 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Gọi X là trọng lượng của loại sản phẩm đã cho Từ giả thi t ta suy ra X có phân phối chuẩn X.. .Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Phương sai của X là N−n 8 8 12 − 4 D(X) = npq = 4 (1 − ) = 0, 6465 N −1 12 12 12 − 1 §4 PHÂN PHỐI NHỊ THỨC 4.1 Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X... X có phân phối chuẩn X ∼ N(μ, σ2) với μ = 50, σ2 = 100 (σ = 10) Vì một sản phẩm được xếp vào loại A khi có trọng lượng từ 45kg đến 55kg nên tỉ lệ sản phẩm loại A chính là xác suất P(45 ≤ X ≤ 55) 24 Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Ap dụng cơng thức trên ta có 55 − 50 45 − 50 ) − ϕ( ) = ϕ (0, 5) − ϕ (−0, 5) 10 10 = 2ϕ (0, 5) = 2.0,1915 = 0, 383 (Tra bang giá trị hàm Laplace... 0,724325 (Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được ϕ (2,99) = 0,498625; ϕ(0,6) = 0,2257) (k = 0,1,2,…) trong đó f(x) là hàm Gauss; ϕ(x) là hàm Laplace với Trần Ngọc Hội P (X = 93) = P(45 ≤ X ≤ 55) = ϕ ( a) Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất 140.2 / 3.1 / 3 = 5,5777 25 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com k Pn (k ) = C n p k q n−k Điều kiện áp dụng: Có n phép thử độc... được gọi là có phân phối nhị thức, kí hiệu X∼ B(n,p), trong đó n số ngun dương , 0 < p < 1, nếu X rời rạc nhận n + 1 giá trị ngun 0,1,…, n với các xác suất được tính theo theo Cơng thức Bernoulli: Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất ⇔ 2,6 ≤ k ≤ 3,6 ⇔ k = 3 Vậy giá trị tin chắc nhất của X là k = 3 4.3 Định lý Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n) Giả sử rằng... (thơng thường p < 0,1) Khi đó có xem X có phân phối Poisson: X ∼ P(a) với a = np, nghĩa là: e−a a k P (X = k) ≈ k! (k = 0, 1, …) (Thay vì tính theo cơng thức Bernoulli P (X = k) = 28 Cpq k n k n−k ) Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội b) Trường hợp 2: p khơng q gần 0 cũng như gần 1 (thơng thường 0,1 ≤ p ≤ 0,9) Khi đó có xem X có phân phối chuẩn: X ∼ N(μ, σ2) với μ = np, σ (q =... thứ 4 c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4 Tính xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu 29 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội Bài 4 Một hộp bi gồm 5 bi đỏ, 4 bi trắng và 3 bi xanh có cùng cỡ Từ hộp ta rút ngẫu nhiên khơng hòan lại từng bi một cho đến khi được bi đỏ thì... phân phối Poisson X1 + X2 ∼ P(a1 + a2) 5.4 Định lý Poisson Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) Giả sử rằng n khá lớn và p khá bé (thơng thường p < 0,1) Khi đó có thể 22 Ôn thi Cao học – Toán kinh tế – Phần Xác suất Trần Ngọc Hội xấp xỉ X bằng đại lượng ngẫu nhiên Y có phân phối Poisson: X ≈ Y, trong đó Y ∼ P(a) với a = np, nghĩa là: P (X = k) ≈ e− a a k k! (k = 0, 1, …)