ôn tập xác xuất thống kê
BÀI TOÁN SUY DIỄN THỐNG KÊ Suy diễn TK về TB mẫu: X∼N(μ,σ 2 ), ()pa X b ? < <= Cách 1: Theo bài ra: X∼N(μ,σ 2 ) Với mẫu có n quan sát, ta có 2 2 (, ) X XN n σ μσ =∼ 00 () XX ba pa X b μ μ φφ σσ ⎛⎞⎛ −− <<= − ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ Hoặc tìm () 0 2 X pX ε με φ σ ⎛⎞ −< = ⎜⎟ ⎝⎠ Cách 2: Theo bài ra: X∼N(μ,σ 2 ), với mẫu có n quan sát, ta có 2 2 () (, ) (0,1) () X X XX XN GU N nSeX σμ μσ σ −− =⇒== =∼∼ μ [] μμ p=(a<X<b)=p U < σσ XX ab pU ⎡⎤ −− < =<< ⎢⎥ ⎣⎦ Cách 3: Tổng quát: 12 12 1( ) 1puX u nn αα σσ μ μαα ⎛⎞ −<<+ =−+=− ⎜⎟ ⎝⎠ α Khoảng đối xứng hay tìm chênh lệch: /2 /2 1puX u nn αα σσ μ μα ⎛⎞ −<<+ = ⎜⎟ ⎝⎠ − hoặc /2 1pX u n α σ μ α ⎛⎞ − <= ⎜⎟ ⎝⎠ − Khoảng giá trị tối đa: 1pX u n α σ μ α ⎛⎞ ≤ += ⎜⎟ ⎝⎠ − Khoảng giá trị tối thiểu: 1pX u n α σ μ α ⎛⎞ ≥− =− ⎜⎟ ⎝⎠ Suy diễn TK về phương sai mẫu • Khoảng gt 2 phía 22 222 1 α/2 α/2 σσ χ (1) χ (1)1α 11 pnS n nn − ⎡⎤ − << −=− ⎢⎥ −− ⎣⎦ • GT tối thiểu α 1 =α, α 2 =0 2 22 1 α σ χ (1)1α 1 pS n n − ⎡⎤ ≥−= ⎢⎥ − ⎣⎦ − • GT tối đa α 1 =0, α 2 = α 2 22 α σ χ (1)1α 1 pS n n ⎡⎤ ≤ −=− ⎢⎥ − ⎣⎦ Suy diễn TK về tần suất mẫu 1 0,3 1 pp n pp − −< − Đk: n >5 và hoặc n ≥100. Khi đó f pp chuẩn Cách 1: Giống suy diễn trung bình mẫu Cách 2: Giống suy diễn trung bình mẫu Cách 3: ● Khoảng GT đối xứng αα 22 p(1-p) p(1-p) p - u <f < p+ u 1 α nn P ⎛⎞ = − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ hoặc α 2 p(1-p) u1α n Pf p ⎛⎞ − ≤= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ − ● Khoảng GT tối thiểu α p(1-p) 1α n Pf p u ⎛⎞ ≥− =− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ● Khoảng GT tối đa α p(1-p) 1α n Pf p u ⎛⎞ ≤ += ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ − Suy diễn TK về hiệu hai trung bình mẫu (tự đọc) Suy diễn TK về hiệu hai tần suất mẫu (tự đọc) Suy diễn TK về tỷ số hai phương sai (tự đọc) Ước lượng μ của X ∼N(μ,σ 2 ) σ 2 đã biết σ 2 chưa biết /2 /2 1PX u X u nn αα σσ μ α ⎛⎞ −<<+ = ⎜⎟ ⎝⎠ − 1PXu n α σ μ α ⎛⎞ ≤+ =− ⎜⎟ ⎝⎠ 1PXu n α σ μ α ⎛⎞ ≥− =− ⎜⎟ ⎝⎠ (1) (1) /2 /2 1 nn SS PX t X t nn αα μ α −− ⎛⎞ − << + =− ⎜⎟ ⎝⎠ (1) 1 n S PXt n α μ α − ⎛⎞ ≤ += ⎜⎟ ⎝⎠ − (1) 1 n S PXt n α μ α − ⎛⎞ ≥− =− ⎜⎟ ⎝⎠ Kích thước mẫu n để I≤I 0 hay ε≤ε 0 : 2 2 2 2 0 4 nu I α σ ≥ hoặc 2 2 2 2 0 nu α σ ε ≥ Kích thước mẫu n để I≤I 0 hay ε≤ε 0 : - Trước hết điều tra một mẫu kích thước m≥2 - Kích thước mẫu n cần điều tra được tính ( 2 2 (1) 2 2 0 4 m S nt I α − ≥ ) hay () 2 2 (1) 2 2 0 m S nt α ε − ≥ ⇒ Điều tra thêm (n-m) quan sát Ước lượng p của X ∼A(p) n≥100 N<100 /2 /2 (1 ) (1 ) 1 ff ff Pf u X u nn αα μ α ⎛⎞ −− −<<+ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ − ( ) 12 1Pp p < μ α <=− Trong đó: (1 ) 1 ff Pp f u n α α ⎛⎞ − ≤+ =− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ (1 ) 1 ff Pp f u n α α ⎛⎞ − ≥− =− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 22 α/2 α/2 α/2 12 2 α/2 24(1 , 2( ) nf u u nf f u pp nu +± −+ = + ) Kích thước mẫu n để I≤I 0 hay ε≤ε 0 : 2 2 2 0 4(1 )ff nu I α − ≥ hoặc 2 2 2 0 (1 )ff nu α ε − ≥ Ước lượng σ 2 của X ∼N(μ,σ 2 ) μ đã biết μ chưa biết *2 *2 2 2( ) 2( ) α 21α 2 n.S n.S σ 1 α χχ nn p − ⎛⎞ << =− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ *2 2 2( ) 1 α n.S σ 1 α χ n p − ⎛⎞ ≤= ⎜⎟ ⎝⎠ − *2 2 2( ) α n.S σ 1 α χ n p ⎛⎞ ≥= ⎜⎟ ⎝⎠ − 22 2 2( 1) 2( 1) α 21α 2 (n-1).S (n-1).S σ 1 α χχ nn p −− − ⎛⎞ < <= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ − 2 2 2( 1) 1 α (n-1).S σ 1 α χ n p − − ⎛⎞ ≤ =− ⎜⎟ ⎝⎠ 2 2 2( 1) α (n-1).S σ 1 α χ n p − ⎛⎞ ≥= ⎜⎟ ⎝⎠ − Kiểm định giả thuyết về μ của X ∼N(μ,σ 2 ) MBB đối với H 0 khi σ 2 đã biết MBB đối với H 0 khi σ 2 chưa biết 00 10 : : H H μ μ μ μ = ⎧ ⎨ ≠ ⎩ ( ) 0 αα/2 μ ;| | σ Xn WU Uu ⎧⎫ − ⎪⎪ == > ⎨⎬ ⎪⎪ ⎩⎭ (1) 0 αα/2 ( μ ) ;| | n Xn WT Tt S − ⎧ ⎫ − ⎪ ⎪ == > ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩⎭ 00 10 : : H H μ μ μ μ ≥ ⎧ ⎨ < ⎩ ( ) 0 αα μ ; σ Xn WU Uu ⎧⎫ − ⎪⎪ == <− ⎨⎬ ⎪⎪ ⎩⎭ (1) 0 αα ( μ ) ; n Xn WT Tt S − ⎧ ⎫ − ⎪ ⎪ == <− ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩⎭ 00 10 : : H H μ μ μ μ ≤ ⎧ ⎨ > ⎩ ( ) 0 αα μ ; σ Xn WU Uu ⎧⎫ − ⎪⎪ == > ⎨⎬ ⎪⎪ ⎩⎭ (1) 0 αα ( μ ) ; n Xn WT Tt S − ⎧ ⎫ − ⎪ ⎪ == > ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩⎭ Kiểm định so sánh hai tham số μ 1 , μ 2 của X 1 ∼N(μ 1 ,σ 1 2 ), X 2 ∼N(μ 2 ,σ 2 2 ) MBB đối với H 0 khi σ 2 đã biết MBB đối với H 0 khi σ 2 chưa biết n 1 , n 2 đủ lớn 01 2 11 2 : : H H μ μ μ μ = ⎧ ⎨ ≠ ⎩ 12 αα/2 22 12 12 () ;| | σσ XX WU Uu nn ⎧⎫ ⎪⎪ − ⎪⎪ == > ⎨⎬ ⎪⎪ + ⎪⎪ ⎩⎭ 12 αα/2 22 12 12 ;| | XX WU Uu SS nn ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ == > ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ + ⎪ ⎪ ⎩⎭ 01 2 11 2 : : H H μ μ μ μ ≥ ⎧ ⎨ < ⎩ 12 αα 22 12 12 () ; σσ XX WU Uu nn ⎧⎫ ⎪⎪ − ⎪⎪ == <− ⎨⎬ ⎪⎪ + ⎪⎪ ⎩⎭ 12 αα 22 12 12 ; XX WU Uu SS nn ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ == <− ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ + ⎪ ⎪ ⎩⎭ 01 2 11 2 : : H H μ μ μ μ ≤ ⎧ ⎨ > ⎩ 12 αα 22 12 12 () ; σσ XX WU Uu nn ⎧⎫ ⎪⎪ − ⎪⎪ == > ⎨⎬ ⎪⎪ + ⎪⎪ ⎩⎭ 12 αα 22 12 12 ; XX WU Uu SS nn ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ == > ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ + ⎪ ⎪ ⎩⎭ Kiểm định GT về σ 2 và so sánh hai tham số σ 1 2 , σ 2 2 MBB đối với H 0 khi μ chưa biết MBB đối với H 0 khi μ 1 , μ 2 chưa biết 22 00 22 10 : : H H σ σ σ σ ⎧ = ⎪ ⎨ ≠ ⎪ ⎩ 22(1) 2 1 α/2 2 α 2 22(1) 0 α/2 χχ (1) χ ; σ χχ n n nS W − − − ⎧⎫ < ⎡ − ⎪⎪ == ⎨⎬ ⎢ > ⎪⎪ ⎣ ⎩⎭ 22 01 2 22 11 2 : : H H σ σ σ σ ⎧ = ⎪ ⎨ ≠ ⎪ ⎩ 2 1 α/2 1 2 1 α 2 α/2 1 2 2 (1, 1) ; (1, 1) FF n n S WF FFn n S − <−− ⎧ ⎫ ⎡ == ⎨ ⎬ ⎢ >−− ⎣ ⎩⎭ 22 00 22 10 : : H H σ σ σ σ ⎧ ≥ ⎪ ⎨ < ⎪ ⎩ 2 22 α 1 α 2 0 (1) χ ; χχ σ n nS W − − ⎧⎫ − == < ⎨⎬ ⎩⎭ 2(1) 22 01 2 22 11 2 : : H H σ σ σ σ ⎧ ≥ ⎪ ⎨ < ⎪ ⎩ 2 1 α 1 α 12 2 2 ;(1, S WF FFnn S − 1) ⎧ ⎫ == < − − ⎨ ⎬ ⎩⎭ 22 00 22 10 : : H H σ σ σ σ ⎧ ≤ ⎪ ⎨ > ⎪ ⎩ 2 22 αα 2 0 (1) χ ; χχ σ n nS W − ⎧⎫ − == > ⎨⎬ ⎩⎭ 2(1) 22 01 2 22 11 2 : : H H σ σ σ σ ⎧ ≤ ⎪ ⎨ > ⎪ ⎩ 2 1 αα12 2 2 ;(1, S WF FFnn S 1) ⎧ ⎫ == > − − ⎨ ⎬ ⎩⎭ Kiểm định GT về P và so sánh hai tham số P 1 , P 2 MBB đối với H 0 MBB đối với H 0 00 10 : : HPP HP P = ⎧ ⎨ ≠ ⎩ 0 αα/2 00 () ; (1 ) fpn WU Uu pp ⎧⎫ − ⎪⎪ == > ⎨⎬ − ⎪⎪ ⎩⎭ 0 12 11 2 : : H PP HP P = ⎧ ⎫ ⎧ ⎨ ≠ ⎩ 12 αα/2 12 ; 11 (1 ) ff WU Uu ff nn ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ == > ⎨⎬ ⎛⎞ ⎪ ⎪ −+ ⎜⎟ ⎪ ⎪ ⎝⎠ ⎩⎭ 00 10 : : HPP HPP ≥ ⎧ ⎨ < ⎩ 0 αα 00 () ; (1 ) fpn WU Uu pp ⎧⎫ − ⎪⎪ == <− ⎨⎬ − ⎪⎪ ⎩⎭ 0 12 11 2 : : H PP HP P ≥ ⎧ ⎨ < ⎩ 12 αα 12 ; 11 (1 ) ff WU Uu ff nn ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ == <− ⎨ ⎬ ⎛⎞ ⎪ ⎪ −+ ⎜⎟ ⎪ ⎪ ⎝⎠ ⎩⎭ 00 10 : : HPP HPP ≤ ⎧ ⎨ > ⎩ 0 αα 00 () ; (1 ) fpn WU Uu pp ⎧⎫ − ⎪⎪ == > ⎨⎬ − ⎪⎪ ⎩⎭ 0 12 11 2 : : H PP HP P ≤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎨ > ⎩ 12 αα 12 ; 11 (1 ) ff WU Uu ff nn ⎪ ⎪ − ⎪ ⎪ == > ⎨ ⎬ ⎛⎞ ⎪ ⎪ −+ ⎜⎟ ⎪ ⎪ ⎝⎠ ⎩⎭ Bài tập 1) Điều tra ngẫu nhiên 200 sinh viên của một trường đại học thấy có 110 sinh viên nữ và 90 nam. Trong số sinh viên nữ, có 20 người đi làm thêm ngoài giờ học, trong số sinh viên nam có 19 người đi làm thêm ngoài giờ học. Với mức ý nghĩa 5% hãy cho kết luận về điều nghi ngờ sau: a) Tỷ lệ giới trong sinh viên của trường đại học này là như nhau. b) Tỷ lệ sinh viên nam đi làm ngoài giờ lớn hơn tỷ lệ nữ đi làm ngoài giờ. 2) Trường đào tạo lái xe ô tô TX đã đào tạo được 5000 lái xe cho tỉnh A. Kiểm tra ngẫu nhiên 1500 người ở tỉnh A thấy có 200 người có bằng lái xe ô tô, trong đó có 150 người có bằng lái xe do trường TX cấp. a) Ước lượng số người đã có bằng lái xe ô tô của tỉnh A tối đa với độ tin cậy 95%. b) Có thể cho rằng 15% số người của tỉnh A đã có bằng lái xe ô tô không? α=5%. 3) Điêu tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm của một lô hàng thì thấy có 90 chính phẩm. Một lô hàng đủ điều kiện xuất khẩu nếu có tỷ lệ chính phẩm đạt từ 95% trở lên. a) Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết lô hàng có xuất khẩu được không? b) Nếu khẳng định tỷ lệ chính phẩm của lô hàng là 95%, với xác suất 0,9 cho biết khi kiểm tra một mẫu 169 sản phẩm thì có ít nhất bao nhiêu phế phẩm. 4) Chiều cao thanh niên vùng M là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với µ=165 cm, σ 2 =10 2 cm 2 . Người ta đo ngẫu nhiên chiều cao của 100 thanh niên vùng đó. a) Xác suất để chiều cao trung bình của 100 thanh niên đó sẽ sai lệch so với chiều cao trung bình của thanh niên vùng M không vượt quá 2 cm là bao nhiêu? b) Khả năng chiều cao trung bình của số thanh niên trên vượt quá 168 cm là bao nhiêu? c) Nếu muốn chiều cao trung bình đo được sai lệch so với chiều cao trung bình của tổng thể (của tất cả các thanh niên vùng M) không vượt quá 1 cm với xác suất 0,99 thì phải tiến hành đo chiều cao của bao nhiêu thanh niên. d) với kích thước mẫu là 100 thì độ lệch tiêu chuẩn mẫu sẽ lớn hơn giá trị thật của nó ít nhất bao nhiêu lần với xác suất 0,05. 5) Một lô hàng đủ điều kiện xuất khẩu nếu tỷ lệ phế phẩm không vượt quá 5%. Vậy nếu kiểm tra 100 sản phẩm thì với tỷ lệ phế phẩm thực tế kiểm tra tối đa là bao nhiêu thì có thể cho phép xuất khẩu lô hàng mà khả năng không mắc sai lầm là 95%. 6): Mức tiêu hao xăng/100 km của xe A (X A ) thuộc Công ty 3A là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Điều tra ngẫu nhiên mức tiêu hao xăng/100 km của 100 xe loại trên, người ta thu được bảng số liệu sau: X A (lít) 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 Số xe 5 10 15 20 29 10 6 5 a) Với xác suất 95%, mức tiêu hao xăng tối thiểu cho 100 km là bao nhiêu? b) Trước đây tỷ lệ xe A tiêu hao xăng ít nhất 8 lít/100 km là 0,45. Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết tỷ lệ này có lớn hơn trước đây không? 7): Doanh thu (X- triệu đồng) của các cửa hàng bán đồ điện trong một tháng trong một tháng là bnn pp chuẩn. Điều tra ngẫu nhiên 144 cửa hàng kinh doanh mặt hàng trên ở địa phương A trong tháng 2, người ta thu được các số liệu sau đây: 144 144 2 11 2376; ( ) 3575 ii ii xxx == =−= ∑∑ . a) Tỷ lệ các cửa hàng cùng loại trong toàn quốc có doanh thu từ 20 triệu đồng/tháng trở lên bằng 42%. Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết sự khác biệt về tỷ lệ này của địa phương A trong tháng 2 so với toàn quốc hay không? Biết rằng trong mẫu 144 cửa hàng nói trên có 58 cửa hàng có doanh thu ít nhất 20 triệu/tháng. b) Hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng cho mức doanh thu trung bình với hệ số tin cậy 95%. c) Theo thống kê, trước đây độ phân tán (σ) của doanh thu/tháng của các cửa hàng trên bằng 5,2 triệu. Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết độ phân tán trong tháng 2 có nhỏ hơn so với trước đây không? d) Từ mẫu ngẫu nhiên gồm 169 cửa hàng kinh doanh mặt hàng tương tự ở địa phương B, người ta thu được sai số tiêu chuẩn mẫu bằng 5,5. Với mức ý nghĩa 5% hãy cho biết độ phân tán của doanh thu ở A có nhỏ hơn ở B hay không? Doanh thu các cửa hàng vùng B cũng là biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn. 8) Năng suất một giống lúa tại vùng A là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Người ta đã thu hoạch ngẫu nhiên 100 khu ruộng, được số liệu sau: Năng suất (tấn/ha) 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 Số điểm thu hoạch 8 13 22 24 15 10 8 a) Trước đây năng suất trung bình của giống lúa trên bằng 3,8 tấn/ha, với mức ý nghĩa 5% hãy cho biết năng suất có tăng lên hay không? b) Với hệ số tin cậy 95%, tìm khoảng tin cậy cho phương sai của năng suất. c) Thu hoạch ngẫu nhiên 100 điểm ở vùng B người ta tính được năng suất trung bình là 3,7 tấn và độ lệch tiêu chuẩn là 0,9 tấn. Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng năng suất giống lúa ở vùng A lớn hơn năng suất vùng B hay không? Năng suất vùng B cũng là bnn pp chuẩn. 9) Tỷ lệ phế phẩm của một sản phẩm được sản xuất trên dây chuyền A là 10%. a) Với xác suất 0,95 hãy cho biết nếu kiểm tra 200 sản phẩm của dây chuyền A thì sẽ có tối đa bao nhiêu phế phẩm. b) Kiểm tra 100 sản phẩm được sản xuất trên dây chuyền B thấy có 12 phế phẩm, với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng tỷ lệ phế phẩm của 2 dây chuyền là như nhau. 10) Để tìm hiểu tính hình tiêu thụ sản phẩm trong một tuần tại các đại lý sau một đợt quảng cáo, công ty Y thu thập ngẫu nhiên doanh thu bán hàng ở 101 đại lý và có kết quả: Doanh thu (triệu đồng)252627282930 Số đại lý 10 18 30 22 15 6 Giả sử doanh số bán của đại lý là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. a) Biết rằng doanh thu bán hàng trung bình của đại lý trước khi có đợt quảng cáo là 25,5 triệu đồng. Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết về hiệu quả của đợt quảng cáo. b) Thống kê doanh thu trước quảng cáo của 101 đại lý được chọn ngẫu nhiên, người ta thu được S 2 =3. Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng doanh thu của đại lý sau đợt quảng cáo đã ổn định hơn chưa? 11) Để ước lượng số tờ bạc giả của một loại giấy bạc, người ta đánh dấu 200 tờ bạc giả loại này rồi tung vào lưu thông. Sau một thời gian ngắn kiểm tra 600 tờ bạc giả loại này có 15 tờ được đánh dấu. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng số tờ bạc giả loại này. (ĐS: (5134; 15799)