câu hỏi lý thuyết xác xuất thống kê
Phần : LÍ THUYẾT Lí thuyết xác suất Câu 1: Phân biệt khái niệm: Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp (lặp không lặp) tập từ tập n phần tử Nêu công thức xác định số hốn vị, tổ hợp, chỉnh hợp Thí dụ minh họa Nội dung Khái niệm Cơng thức Hốn vị Hốn vị n phần tử nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n phần tử cho Tổ hợp chập k n phần tử ( k ≤ n ) nhóm khơng phân biệt thứ tự, gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Số hoán vị n Số tổ hợp chập k n phần tử ký phần tử ký hiệu C k n hiệu Pn n! Pn = n ! Thí dụ Chỉnh hợp Tổ hợp Một bàn có học sinh Mỗi cách xếp chỗ học sinh vào bàn hốn vị phần tử Do số cách xếp P4 = 4! = 24 k Cn = k !(n − k )! Không lặp Chỉnh hợp (không lặp) chập k n phần tử ( k ≤ n ) nhóm (bộ) có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Số chỉnh hợp chập k k n phần tử ký hiệu An n! A = (n − k )! n = Cn −k Chọn ngẫu nhiên sách từ giá sách có sách Mỗi cách chọn tổ hợp chập phần tử Do có C32 = cách chọn k n Cho chữ số 1,2,3 Mỗi số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số chỉnh hợp không lặp chập phần tử Do lập Lặp Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử cho, phần tử có mặt 1,2,…,k lần nhóm Số chỉnh hợp lặp chập k n k phần tử ký hiệu Bn k Bn = nk Cho bi vào hộp Mỗi cách xếp bi vào hộp chỉnh hợp lặp chập 5 Do có B3 = = 243 cách xếp A3 = 3.2 = số Câu : Thế phép thử ? Một biến cố (sự kiện) ? - Quan hệ biến cố phép tính biến cố - Biến cố chắn; không thể; xung khắc; đối lập biểu diễn qua sơ đồ Ven – Euler ? Trả lời: - Phép thử: thể nhóm điều kiện xác định (G) có tính lặp lại Kí hiệu: T Sự kiện (biến cố) : kết phép thử Kí hiệu: E, A, B, C, … Có loại kiện là: + Sự kiện ngẫu nhiên (Random Effect) : xuất không xuất thực phép thử, không phụ thuộc vào chủ quan Sự kiện ngẫu nhiên đối tượng nghiên cứu khoa học ngẫu nhiên + Sự kiện tất định (Definity Events) : xuất (Ω Ʊ) không xuất thực phép thử (Ø) * Quan hệ (relation) biến cố: + Quan hệ bao hàm: A ⊂ B + quan hệ tương đương: A ≡ B * Phép tính (Calculus): + Hợp (tổng): A ∪ B = C + Giao (tích): A ∩ B = D + Trừ (hiệu): A \ B = E + Hiệu đối xứng: F = A ∆ B = (A\B) ∪ (B\A) + Đối lập (bù): A đối lập với A ( có ko có kia) + Xung khắc: A ∩ B = ∅ (không xảy ra) A1 ∪ A2 ∪ ∪ An = Ω + Nhóm đầy đủ: Ai ∩ Aj = ∅ * Biểu diễn qua sơ đồ Ven – Euler biến cố: Biến cố chắn xảy ra: Biến cố xảy ra: (là tập rỗng) Biến cố xung khắc: Biến cố bù (đối lập): Câu : A, B,C biến cố gắn với phép thử G Biểu diễn qua A, B, C biến cố sau : - Chỉ có A xảy : A∩B∩C ( tương tự cho B, C) - Ít biến cố xảy ra: A∪B∪C - Nhiều biến cố xảy ra: (A ∩B ∩C) ∪ (A ∩B ∩C) ∪ (A ∩ B ∩C) ∪ (A ∩B ∩ C ) - Khơng có biến cố xảy ra: A∩B∩C Câu : Các định nghĩa xác suất biến cố Ý nghĩa xác suất gì? - Gọi P(A) tần suất xuất biến cố A định nghĩa xác suất theo tần suất Có thể viết sau lim không? P( A) = n→∞ P( A) - Hai biến cố có xác suất có tương đương hay khơng? - Một biến cố có xác suất 0, xảy hay khơng? Trả lời : • Định nghĩa xác suất biến cố: -Giả sử phép thử có n biến cố đồng khả xảy ra, có m biến cố đồng khả thuận lợi cho biến cố A (A tổng khả m biến cố sơ cấp này) Khi xác suất biến cố A, ký hiệu P(A) định nghĩa công thức sau: P( A) = - m , m số trường hợp thuận lợi cho A, n số trường hợp đồng khả n % m m lim ⇒ P( A) = lim Có thể viết P( A) = n→∞ P( A) ta có P( A) = n →∞ n n Khi cho số phép thử tăng lên vô hạn tần suất xuât biến cố A dần số xác định gọi xác suất biến cố A A ⊂ B •Hai biến cố có xác suất khơng tương đương biến cố A B tương đương ⇔ B ⊂ A • Có thể xảy biến cố có xác suất khơng Đó trường hợp khơng xuất khả thuận lợi cho A Câu : • Hai biến cố A B độc lập P(A ∩ B) = P(A).P(B) đó, A ∩ B giao A B, nghĩa là, biến cố hai biến cố A B xảy Tổng quát hơn, tập hợp biến cố (có thể gồm nhiều hai biến cố) độc lập lẫn với tập hữu hạn A1, , An tập hợp trên, ta có • Mối quan hệ khái niệm độc lập xung khắc Công thức nhân xác suất: P(A∩B) = P(A) P(B) ( Với A, B độc lập ) P(A∩B) = P(B/A) P(A) = P( A/B) P(B) P(A∩B∩C) = P(A) P(B) P(C) ( Với A,B,C độc lập) = P(A) P(B/A) P(C/AB) P( A∪B) = P(A) + P(B) ( Với A∩ B = ∅) P( A∪B) = P( A) + P(B) - P(A∩B) ( Với A, B bất kì) P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC) • Chứng minh A, B độc lập , B , độc lập Hai biến cố độc lập hai biến cố xảy khơng liên quan đến biến cố đối A tức B độc lập với tức xảy không liên quan đến Tương tự độc lập với • Chứng minh P(A/B)= P(A/) A B độc lập ta có P(A/B)= P(A/) nghĩa xác suất biến cố A điều kiện B xảy giống xác suất biến cố A điều kiện B không xảy ra=> hai biến cố AB việc xảy hay khơng xảy biến cố khơng ảnh hưởng đến việc xảy biến cố tức hai biến cố A, B độc lập Câu 6: Tại lại gọi hệ đầy đủ biến cố? Ý nghĩa công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes Trả lời: -Gọi hệ đầy đủ biến cố ta thực phép thử ngẫu nhiên có nhiều khả xảy ra, đối lập, xung khắc đơi….Trong khả xảy lại xảy nhiều giai đoạn khác nữa, hoạt động phụ thuộc vào hoạt động xảy trước =>Cần phải tính xác suất để thức cơng việc qua nhiều giai đoạn tổng chúng biến cố chắn =>Hệ đầy đủ biến cố -Ý nghĩa công thức Bayes: Công thức Bayes cịn gọi cơng thức xác suất hậu nghiệm kiện xảy ra, tìm nguyên nhân gây kiện với xác suất lớn công thức Bayes ứng dụng Khoa học - Kĩ thuật, đặc biệt khoa học lắp ráp Câu 7: - Biến ngẫu nhiên biến số nhận giá trị tùy thuộc kiện ngẫu nhiên - Có loại biến ngẫu nhiên: + Biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete): Tập giá trị nhận hữu hạn đếm + Biến ngẫu nhiên liên tục (continious): Tập giá trị nhận lấp đầy khoảng hữu hạn hoặn vô hạn.) - Hàm phân phối biến ngẫu nhiên X xác định sau: F (x) = P {X < x} ¡ Trong x biến hàm F, x ∈ R Ký hiệu X=F(x) nghĩa biến X có hàm phân phối F(x) - Tính chất hàm phân phối: + Hàm phân phối xác định với x € (-∞ , +∞) + Hàm phân phối hàm không giảm: x1 < x2 F(x1) ≤ F(x2) F(-∞) = 0, F(+∞) = 1, 0≤F(x)≤1 với x € (-∞ , +∞) P {a≤x C kiện xác suất C (p < p=0) => C = A0 P(C) = - P( C ) = - k Cn − m k Cn hoặc: p p Cm Cnk−− m P(C) = ∑ Cnk p =1 k d) Gọi D kiện có nhiều phế phẩm => p ≤ => Có trường hợp có phế phẩm khơng có phế phẩm Gọi D’ D’’ kiện có phế phẩm khơng có phế phẩm mD’ = k Cm C−n− mD’’ = Cnk− m m mD = mD’ + mD’’ = P(D) = 1 Cm Ckn−− m+ Cnk− m 1 Cm Ckn−− m+ Ckn Cnk −m 2/ Mơ hình tàu Bài toán: nữ sinh L, H, C tàu hỏa với 10 toa tàu Tính xác suất trường hợp sau đây: a) Mỗi toa tàu không chứa nữ sinh b) nữ sinh ngồi toa khác c) nữ sinh ngồi toa liền kề d) nữ sinh ngồi toa e) L ngồi toa đầu f) H, C ngồi toa đầu cuối g) Toa khơng có ngồi Giải: Số trường hợp đồng khả năng: n = 10.10.10 = 1000 103 a) Gọi A kiện cần tính xác suất mA = 10.9.8 = 720 cách chọn chỉnh hợp chập 10 nên số cách chọn mA = A10 = 8.9.10 Xác suất để toa tàu không chứa nữ sinh là: P(A) = mA = 1% n b) Gọi B kiện nữ sinh ngồi toa khác => B ≡ A c) Gọi B kiện nữ sinh ngồi toa liền kề đổi chỗ cho => có 3! = cách xếp Có vị trí mà cố ngồi liền kề 48 mC = 3! = 48 => P(C) = 1000 = 4,8% d) Gọi D kiện nữ sinh ngồi toa 10 mD = 10 ; P(D) = = 1% 1000 e) Gọi E kiện L ngồi toa đầu 100 mE = 1.10.10 = 100 P(E) = = 10% 1000 f) Gọi F kiện H, C ngồi toa đầu cuối => mF = 2.10 = 20 20 P(F) = = 2% 1000 g) Gọi G kiện toa khơng có ngồi 729 mG = 9.9.9 = 729 P(G) = = 72,9% 1000 3/ Mơ hình xếp chỗ ngồi Bài tốn 1: người L, H, C ngồi băng ghế trống 10 chỗ Tìm xác suất: a) nữ sinh ngồi vị trí liền kề b) L ln ngồi vị trí đầu c) H, C ln ngồi vị trí đầu cuối Giải: Số trường hợp đồng khả : n = 10.9.8 = 720 a) Gọi A kiện nữ sinh ngồi vị trí liền kề Có ! = cách xếp chỗ cho người Có chỗ mà người ngồi liền kề 48 ≈ 6,6% mA = 6.8 = 48 P(A) = 720 b) Gọi B kiện L ln ngồi vị trí đầu 72 mB = 1.9.8 = 72 P(B) = = 10% 720 c) Gọi C kiện C, H ngồi vị trí đầu cuối 16 ≈ 2,2% mC = 2.8 = 16 P(C) = 720 Bài toán : Một tổ gồm 10 người tổ chức liên hoan ngồi quanh bàn tròn Mọi người ngồi vào chỗ cách ngẫu nhiên Tìm khả A B ngồi cạnh Giải : Số trường hợp đồng khả : n = 10! A ngồi 10 chỗ, B ngồi chỗ bên cạnh A => m = 10.2.8! 10.2.8! Xác suất cần tìm : P = = 10! 4/ Mơ hình bắn súng: Bài tốn : xạ thủ bắn vào bia cách độc lập Xác suất trúng tương ứng 0,7 0,8 Tìm xác suất: a) Có xạ thủ trúng đích b) Có xạ thủ trúng đích Giải: a) P(A)=0,7 => P(Ā)= - 0,7 = 0,3 P(B)=0,8 => P( B )= - 0,8 = 0,2 Gọi A1 biến cố có xạ thủ trúng đích Xạ thủ A trúng xạ thủ B trượt ngược lại A1 = A.B đối lập ∪ Ā.B ( A , B ) (Ā, B) kiện đôi xung khắc => P(A1)=P(A).P( B ) + P(Ā).P(B) = 0,7 0,2 + 0,3 0,8 = 0,38 b) Có xạ thủ trúng đích => P( A∪ B) = P( A) P+ B) ( P( A− B) ∩ = 0,7 + 0,8 - 0,56 = 0,94 Lý thuyết thống kê toán Câu 1: Đối tượng nội dung nghiên cứu Thống kê toán gì? Thống kê tốn học ngành khoa học nghiên cứu việc thu thập thông tin qua liệu đối tượng cần nghiên cứu để từ rút kết luận số chất đối tượng tùy theo yêu cầu nghiên cứu Đối tượng nghiến cứu thống kê tốn: thơng tin qua liệu Nội dung nghiên cứu thống kê tốn: từ thơng tin qua liệu rút kết luận số chất đối tượng Câu 2: Các khái niệm sở thống kê toán Khái niệm Trong vấn đề thực tế, ta thường phải nghiên cứu hay nhiều dấu hiệu định tính định lượng phần tử thuộc tập hợp đó, chẳng hạn như: chiều cao niên Việt Nam, tình hình thu nhập chi tiêu hệ gia đình… Để nghiên cứu tập hợp phần tử theo dấu hiệu nghiên cứu, ta sử dụng phương pháp nghiên cứu toàn bộ, nghĩa khảo sát dấu hiệu nghiên cứu phần tử tập hợp Nhưng phương pháp gặp nhiều khó khăn Vì vậy, thực tế, người ta thường áp dụng phương pháp nghiên cứu chọn mẫu Nội dung phương pháp từ tập hợp nghiên cứu, gọi tổng thể, chọn số phần tử, gọi mẫu, khảo sát dấu hiệu nghiên cứu mẫu, dựa vào mà phân tích, rút kết luận cho tổng thể Cơ sở khoa học phương pháp lí thuyết xác suất thống kê toán Một số phương pháp chọn mẫu chủ yếu: a) Chọn mẫu ngẫu nhiên, đơn giản: loại mẫu chọn trực tiếp từ danh sách đánh số tổng thể Các phần tử mẫu chọn từ tổng thể cách rút thăm theo bảng số ngẫu nhiên Phương pháp có ưu điểm cho phép thu mẫu có tính đại diện cao phần tử tổng thể khơng có khác biệt nhiều Nếu kết cấu tổng thể phức tạp chọn theo phương pháp khó đảm bảo tính đại diện Một nhược điểm trường hợp quy mô tổng thể lớn việc đánh số tất phần tử khó khăn b) Mẫu hệ thống: loại mẫu mà có phần tử chọn ngẫu nhiên, sau dựa quy tắc hay thủ tục đề chọn phần tử Chẳng hạn, danh sách gồm N sinh viên, cần chọn mẫu kích thước n, ta chia danh sách thành n phần nhau, phần T1 gồm “N/n” phần tử, chọn ngẫu nhiên phần tử, sau cách “N/n” phần tử cho vào mẫu đủ n phần tử Nhược điểm phương pháp dễ mắc sai số hệ thống phần tử tổng thể không xếp cách ngẫu nhiên mà theo trật tự chủ quan Tuy vậy, tính đơn giản, mẫu hệ thống thường dùng cấp chọn mẫu cuối tổng thể tương đối c) Mẫu phân tổ Để chọn mẫu phân tổ, trước hết người ta phân chia tổng thể thành tổ có độ cao để chọn phần tử đại diện cho tổ Việc phân tổ có hiệu tổng thể nghiên cứu không theo dấu hiệu nghiên cứu Sau phân tổ kích thước mẫu phân bổ cho tổ theo quy tắc đó, chẳng hạn tỉ lệ thuận với kích thước tổ Ý nghĩa mẫu Trong ngành chọn mẫu, khảo sát không nhiều đơn vị nghiên cứu nên thường tiến hành thời gian ngắn Dữ liệu xử lí, phân tích nhanh chóng nên thơng tin thu từ điều tra chọn mẫu có tính thời sự, cập nhật Chi phí cho cơng tác tổ chức nghiên cứu giảm Do đó, nghiên cứu chọn mẫu tiết kiệm nhân lực, vật lực, tài Có thể mở rộng nội dung nghiên cứu sâu tìm hiểu mặt đối tượng Có thể tuyển chọn điều tra viên tốt: Có trình độ, có kinh nghiệm, có điều kiện tập huấn thơng tin thu có tính xác cao Các đặc trưng mẫu Giả sử (X1, X2, …,Xn) mẫu ngẫu nhiên sinh từ X có EX=µ, DX = a Thống kê Hàm T = T(X1, X2,…,Xn) gọi thống kê Ví dụ : T = T(X1, X2,…,Xn) = max {X1, X2,…,Xn} thống kê b Trung bình mẫu (kì vọng mẫu) Thống kê trung bình mẫu, kí hiệu : X, xác định : Trên mẫu cụ thể (x1,x2,…,xn), thống kê X nhận giá trị : Nếu mẫu xếp theo bảng phân phối tần số : Kì vọng mẫu số biến ngẫu nhiên có đặc trưng : c Phương sai mẫu Phương sai mẫu, kí hiệu MS xác định : Với mẫu thực nghiệm xếp theo tần số, phương sai mẫu nhận giá trị tính theo cơng thức : Dùng phép biến đổi, ta được: Thống kê : Gọi phương sai mẫu điều chỉnh d Độ lệch tiêu chuẩn mẫu - thống kê gọi độ lệch tiêu chuẩn mẫu - thống kê S = gọi độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh e Phân bố X S2 * Nếu (X1, X2,…, Xn) mẫu ngẫu nhiên rút từ biến ngẫu nhiên chuẩn N(µ, ) thì: n.X có phân phối chuẩn có phân phối X có phân phối chuẩn X S2 độc lập với ngược lại có phân phối student với n-1 bậc tự * Nếu (X1, X2,…, Xn) mẫu từ biến ngẫu nhiên chuẩn N(µ1, 2) , cịn (Y1, Y2,…, Yn) mẫu từ biến ngẫu nhiên chuẩn N(µ2, 2) độc lập với mẫu Khi đó: Có phân phối student với n + m - bậc tự do, Sx2, Sy2 phương sai mẫu tương ứng với mẫu X mẫu Y Phân phối thực nghiệm hàm phân phối thực nghiệm Giả sử mẫu thực nghiệm (x1, x2, …, xn) sinh từ X Ta xây dựng hàm: Được gọi hàm phân phối thực nghiệm Định lí Glivenco Giả sử F(x) hàm phân phối biến ngẫu nhiên X mà ta cần tìm Fn(x) hàm phân phối thực nghiệm nhận từ mẫu ngẫu nhiên cỡ n sinh từ X Khi đó: Như vậy, hàm phân phối thực nghiệm xấp xỉ hàm phân phối lí thuyết Với n cố định, hàm phân phối thực nghiệm cho ta hình ảnh hình học phân phối lí thuyết cần tìm Định lí Glivenco cách tìm dạng hàm phân phối thực nghiệm 10 Câu 3: Các loại ước lượng tham số (đặc trưng) Các phương pháp ước lượng Nêu công thức Trả lời: +) định nghĩa: sử dụng thống kê để đánh giá đối tượng +) loại ước lượng tham số( đặc trưng) là: ước lượng không chệch, ước lượng hiệu quả, ước lượng vững, ước lượng tỉ lệ đám đơng, ước lượng trung bình đám đơng, ước lượng phương sai đám đông +) Các phương pháp ước lượng là: -ước lượng điểm cho kì vọng, phương sai xác suất -ước lượng khoảng cho kì vọng xác suất +) cơng thức: Tính trung bình mẫu: = Tính phương sai đám đơng: DX=VarX= Tính phương sai mẫu: = ; Cơng thức T tính khoảng tin cậy số trung bình μ phân phối chuẩn chưa biết phương sai: t (n − 1)(α / 2) * Sx t (n − 1)(α / 2) * Sx n n − F(x) = x2 => f(x) = 2x Với x > => F(x) = => f(x)=0 Tại x = có F’(0-) = = F’ (0+) = = = =0 = =0 => f(0) = F’ (0) = 12 )n-1 Tại x =1 có F (1-) = = F (1+) = = = = =0 Vậy: f(x) = Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị khoảng P =F –F = là: = λ k e − λ Câu 5: P { ξ = K } = , λ = M ξ K! +∞ λ K e−λ Dξ = M ξ − ( M ξ ) = ∑ K ⋅ − λ2 K! K =0 Suy Vậy Dξ = λ +∞ λ K −1e− λ λ K e−λ − λ = λ ∑ ( K + 1) ⋅ − λ2 ( K − 1)! K! K =1 K =0 = λ ( λ + 1) − λ = λ +∞ = λ∑ K ⋅ Một số tập thống kê dạng toán (dạng tổng hợp) Câu 1: a) Ta có: n = 111 γ = 1- α = 0,95 => α = 0,05 2,5 * + 3,25 * + 3,75 * + 4,25 * 30 + 4,75 * 24 + 5,25 *16 + 5,75 *10 + 6,5 * + * Tính: = = 4,7 111 Phương sai mẫu: = ( - )= * ( 238,375 - 22,09 ) = 1,96 => S = = 1,402 110 Tìm t: α = 0.05 => t110 ( 0,05/2 ) = 1,98 t (n − 1)(α / 2) * Sx t (n − 1)(α / 2) * Sx Vậy khoảng tin cậy là: ( − ; + ) = (1,92 ; 7,48 ) n n Ý nghĩa: ước lượng thu nhập trung bình hộ thành phố nằm khoảng từ 1,92 đến 7,48 có khả 95%, sai 5% b) Hộ có thu nhập 500 ngàn đồng/người/tháng trở lên=> mức thu nhập/người/năm họ từ triệu đồng trở lên gọi hộ có thu nhập cao=> tỉ lệ hộ thu nhập cao = = 0,09 = = 0,027 ( khoảng tin cậy là: p ( f - ) = 0,005 γ = 0,05 = - α => α = 0,95 13 Câu 2: Số liệu doanh số siêu thị ngày Doanh số ( triệu đồng / ngày ) 24 30 36 42 18 54 60 65 70 Số ngày 12 25 35 24 15 12 10 a Ước lượng doanh số bán trung bình ngày siêu thị với độ tin cậy 95% b Những ngày có doanh số 60 triệu ngày đắt hàng Ước lượng tỉ lệ ngày bán đắt hàng với độ tin cậy 90% c Ước lượng doanh số bán trung bình ngày bán đắt hàng với độ tin cậy 95%( giả thiết doanh số bán đắt hàng đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn) d Trước doanh số bán trung bình siêu thị 35 triệu/ngày số liệu bảng thu có phương pháp bán hàng Hãy nhận xét phương pháp bán hàng với mức ý nghĩa 5% Giải: a, Kích thước mẫu : n=144 >30 Doanh số trung bình x͞͞͞͞͞͞͞͞͞ ̄ = 40.8 (triệu đồng/ngày) Theo giả thiết ta có: γ=95% => Uα/2 =1.96 tính S=15.4 ̂ ε=Uα/2.(Ŝ /căn n)=(1.96).(15.4/12)=2.5 =>P {40.8-2.5