BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ

BÀI TẬP ÔN THI XÁC SUẤT THỐNG KÊ Biên soạn ThS LÊ TRƯỜNG GIANG Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 14, tháng 02, năm 2016 Mục lục Trang Chương Biến cố ngẫu nhiên xác suất 1.1 Bài tập có hướng dẫn 1.2 Bài tập đề nghị 11 Chương Đại lượng ngẫu nhiên 20 2.1 Bài tập có hướng dẫn 20 2.2 Bài tập đề nghị 59 Chương Mẫu ngẫu nhiên toán ước lượng 3.1 Bài tập có hướng dẫn 3.1.1 Mẫu ngẫu nhiên 3.1.2 Ước lượng trung bình tổng thể 3.1.3 Ước lượng tỷ lệ tổng thể 3.1.4 Ước lượng phương sai tổng thể 3.1.5 Bài tập tổng hợp 3.2 Bài tập đề nghị Chương Kiểm định giả thiết thống kê 4.1 Bài tập có hướng dẫn 4.1.1 Kiểm định trung bình tổng thể 4.1.2 Kiểm định tỷ lệ tổng thể 4.1.3 Kiểm định phương sai tổng thể 4.1.4 So sánh hai trung bình với hai mẫu độc lập 4.1.5 So sánh hai tỷ lệ với hai mẫu độc lập 4.1.6 Bài tập tổng hợp 4.2 Bài tập đề nghị 73 73 73 75 76 79 80 83 90 90 90 92 94 95 97 98 110 Phụ lục : Bảng tra thống kê 126 Tài liệu tham khảo 137 i Chương Biến cố ngẫu nhiên xác suất 1.1 Bài tập có hướng dẫn Bài 1.1 Một sinh viên vào thi môn xác suất thống kê thuộc 12 số 20 câu hỏi thi Tính xác suất để sinh viên trả lời câu hỏi phiếu thi mà phải trả lời Giải Gọi A biến cố sinh viên trả lời câu hỏi phiếu thi mà phải trả lời, C4 P (A) = 12 ≈ 0, 102 C20 Bài 1.2 Có 10 khách bước ngẫu nhiên vào cửa hàng có quầy Tìm xác suất để có người đến quầy số Giải Theo giả thiết tốn ta xem việc hành khách đến quầy giai đoạn Khi ta có 10 giai đoạn, giai đoạn có cách Theo quy tắc nhân ta có số trường hợp đồng khả n = 310 Gọi A biến cố có người đến quầy số Khi số trường hợp thuận lợi cho A số cách chọn ngẫu nhiên người từ 10 người để xếp vào quầy số người lại đến ngẫu nhiên vào quầy quầy Tức m = C10 27 Vậy C10 27 P (A) = ≈ 0, 2601 310 Bài 1.3 Tìm xác suất điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp tam giác cạnh a = 2cm Giải Gọi A biến cố điểm M rơi vào hình tròn nội √ tiếp tam giác cạnh a = 2cm Gọi h √ đường cao tam giác đều, h = a = + Ta có diện tích tam giác cho √ mes (Ω) = ah = + Ta có diện tích hình tròn cho π mes (A) = π.R2 = πh2 = Vậy theo công thức xác suất hình học ta có P (A) = mes (A) π/3 = √ ≈ 0, 605 mes (Ω) Bài 1.4 Hai số thực a b chọn ngẫu nhiên cho −2 ≤ b ≤ ≤ a ≤ Tính xác suất để khoảng cách a b lớn Giải Không gian mẫu phép thử: {(a, b) ∈ R2 : −2 ≤ b ≤ ≤ a ≤ 3} biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình chữ nhật (G) có đỉnh đối diện (0,0) (3,-2) (G) có diện tích mes(G) = 2.3 = Biến cố "khoảng cách a b lớn 3" biểu diễn miền tam giác (H) gồm điểm mặt phẳng tọa độ (a,b) cho a − b > Đó điểm thuộc (G) phía đường thẳng x − y − = (H) có diện tích mes(H) = (2.2)/2 Vậy theo cơng thức xác suất hình học ta có p= mes (H) = mes (G) Bài 1.5 Hai người công nhân sản xuất loại sản phẩm Xác suất để người thứ làm phế phẩm 0,02 người thứ hai làm phế phẩm 0,03 Rút sản phẩm từ số sản phẩm hai người Tính xác suất để sản phẩm lấy không phế phẩm Giải Gọi Bi biến cố sản phẩm lấy người công nhân thứ i làm, i = 1, Dễ thấy B1 B2 tạo nhóm đầy đủ biến cố Gọi A biến cố sản phẩm lấy không phế phẩm Khi P (A) = P (B1 ) P (A/B1 ) + P (B2 ) P (A/B2 ) = 0, 975 Bài 1.6 Trong phòng làm việc cơng ty có máy tính hoạt động độc lập Xác suất để khoảng thời gian T máy có cố 0,1; 0,2; 0,15 a Tính xác suất khoảng thời gian T khơng có máy có cố b Tính xác suất khoảng thời gian T có máy khơng có cố Giải Trong khoảng thới gian T, gọi Ai biến cố máy i, i ∈ {1, 2, 3} khơng có cố Các biến cố A1 , A2 , A3 độc lập toàn phần a Xác suất khoảng thời gian T khơng có máy có cố P (A1 A2 A3 ) = P (A1 ).P (A2 ).P (A3 ) = (1 − 0, 1).(1 − 0, 2).(1 − 0, 15) = 0, 612 b Xác suất khoảng thời gian T có máy khơng có cố − P (A1 A2 A3 ) = − 0, 612 = 0, 398 Bài 1.7 Xác suất để thu tín hiệu thơng tin 0,6 a Có người nói rằng: "Như phát tín hiệu 10 lần chắn có tới lần thu tín hiệu đó" Nói hay sai? giải thích? b Tìm xác suất thu tín hiệu thơng tin tín hiệu phát lần c Nếu muốn thu tín hiệu thơng tin với xác suất khơng 0,95 cần phải phát tín hiệu tối thiểu lần? Giải Phát tin hiệu lần quan tâm đến việc có bắt tín hiệu khơng xem thực phép thử Bernoulli a Việc phát 10 lần tín hiệu xác suất thu tín hiệu lần cho công thức Bernoulli P10 (6; 0, 6) = C10 0, 66 0, 44 ≈ 0, 2508 Như phát biểu chưa phù hợp b Xác suất thu tín hiệu thơng tin tín hiệu phát lần P3 (k; 0, 6) = − P3 (0; 0, 6) = − 0, 43 = 0, 936 k=1 c Gọi số lần phát tín hiệu cần thiết n, xác suất thu tín hiệu cho n Pn (k; 0, 6) = − Pn (0; 0, 6) = − 0, 4n k=1 Theo giả thiết ta cần giải bất phương trình sau − 0, 4n ≥ 0, 95 Tương đương với n ≥ 3, 2694 Như cần phát tín hiệu tối thiểu lần Bài 1.8 Một sở sản xuất có phân xưởng sản xuất loại sản phẩm A, với sản lượng tương ứng theo tỉ lệ 3:5:4 tỉ lệ sản phẩm loại phân xưởng tương ứng 60%, 65%, 75% a Hãy cho biết tỉ lệ sản phẩm loại sản phẩm A sở b Kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm A sở nhận sản phẩm không đạt loại Khi sản phẩm có nhiều khả phân xưởng nào? Giải Lấy ngẫu nhiên sản phẩm A sở sản xuất Gọi Ai biến cố lấy sản phẩm phân xưởng i, i ∈ {1, 2, 3} sản xuất Hệ {A1 , A2 , A3 } đầy đủ P (A1 ) = 12 P (A2 ) = 12 P (A3 ) = 12 a Gọi B biến cố sản phẩm lấy sản phẩm loại P (B) = P (A1 ).P (B|A1 ) + P (A2 ).P (B|A2 ) + P (A3 ).P (B|A3 ) = 0, + 0, 65 + 0, 75 ≈ 0, 6708 12 12 12 Như vậy, tỉ lệ sản phẩm loại sở xấp xỉ 67, 08% b Xác suất để sản phẩm lấy ngẫu nhiên sản phẩm loại P (B) = − P (B) = 0, 3292 Xác suất sản phẩm phân xưởng sản xuất P (A1 |B) = P (A1 )P (B|A1 ) = P (B) (1 12 − 0, 6) ≈ 0, 3038 0, 3292 Tương tự xác suất sản phẩm phân xương 2, phân xưởng sản xuất tính sau (1 − 0, 65) P (A2 )P (B|A2 ) P (A2 |B) = = 12 ≈ 0, 4430 0, 3292 P (B) P (A3 )P (B|A3 ) P (A3 |B) = = P (B) (1 12 − 0, 75) ≈ 0, 2531 0, 3292 Như nhiều khả sản phẩm loại lấy phân xưởng sản xuất Bài 1.9 Địa phương A gồm khu vực dân cư, có dân số tương ứng theo tỉ lệ 3:5:4 Biết tỉ lệ hộ nghèo khu vực I 10%, khu vực II %, khu vực III 7% Hãy tính tỉ lệ hộ nghèo địa phương A Giải Gặp ngẫu nhiên hộ dân địa phương A, gọi Ai biến cố hộ dân thuộc khu vực i, i ∈ {I, II, III} Theo giả thiết ta có P (AI ) = 12 P (AII ) = 12 P (AIII ) = 12 Gọi B biến cố hộ dân nghèo Hệ biến cố {AI , AII, AIII } đầy đủ P (B) = P (AI ).P (B|AI ) + P (AII ).P (B|AII ) + P (AIII ).P (B|AIII ) 0, + 0, 08 + 0, 07 ≈ 0, 0817 = 12 12 12 Như vậy, tỉ lệ hộ nghèo địa phương A xấp xỉ 8, 17% Bài 1.10 Một hệ thống dịch vụ có mức phí dịch vụ Mỗi khách hàng vào chọn ba mức phí Biết tỉ lệ khách hàng chọn mức phí là: 3:4:3 a Tìm xác suất để khách hàng vào hệ dịch vụ này, số khách chọn mức phí II gấp đơi số khách chọn hai mức phí lại b Tìm xác suất để có khách hàng chọn mức phí II khách hàng vào hệ Giải Gọi A2 biến cố " khách hàng vào hệ thống chọn mức phí II" Ta có xác suất P (A2 ) = = 0, 10 a Theo yêu cầu toán khách hàng vào hệ thống có khách hàng chọn mức phí II khách hàng chọn hai mức phí lại Áp dụng cơng thức Bernoulli ta có xác suất tương ứng P4 (6, 0, 4) = C64 (0, 4)4 (0, 6)2 = 0, 13824 b Xác suất có khách hàng chọn mức phí II khách hàng vào hệ thống P6 (k; 0, 4) = − P6 (0; 0, 4) − P6 (1; 0, 4) = − 0, 66 − C61 0, 4.0, 65 = 0, 76672 k=2 Bài 1.11 Điều tra giới tính sinh viên trường học, người ta thấy có 65% nam 35% nữ Trong đó, tỷ lệ học sinh nữ nam thích chơi game tương ứng 20% 25% Chọn ngẫu nhiên sinh viên trường này, tính xác suất: a) Sinh viên chọn thích chơi game b) Sinh viên chọn nam, biết sinh viên thích chơi game Giải a) Gọi A biến cố chọn sinh viên thích chơi game; A1 biến cố chọn sinh viên nữ; A2 biến cố chọn sinh viên nam Ta có P (A1 ) = 35%; P (A2 ) = 65% {A1 , A2 } hệ đầy đủ áp dụng CTXSTP: P (A) = P (A1 ) P (A/A1 ) + P (A2 ) P (A/A2 ) = 35%.20% + 65%.25% = 0.2325 b) Ta cần tính: P (A2 /A) = P (A2 A) P (A2 ) P (A/A2 ) = = 0, 6989 P (A) P (A) Bài 1.12 Một nhà máy có hai phân xưởng Sản lượng phân xưởng I gấp lần sản lượng phân xưởng II Tỷ lệ phế phẩm phân xưởng I II 3% 5% Chọn ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy, tính xác suất: a) Chọn sản phẩm tốt phân xưởng I sản xuất b) Chọn phế phẩm c) Giả sử chọn sản phẩm tốt, tính xác suất để sản phẩm phân xưởng I sản xuất Giải Gọi A biến cố chọn sản phẩm tốt; Ai biến cố chọn sản phẩm phân xưởng thứ i sản xuất, i = 1, ⇒ P (A1 ) = ; P (A2 ) = 4 a) Ta cần tính: P (A.A1 ) = P (A1 ) P (A/A1 ) = (1 − 3%) = 0, 7275 b) Ta cần tính: P (A) Ta có: {A1 , A2 } hệ đầy đủ áp dụng CTXSTP: P A = P (A1 ) P A/A1 + P (A2 ) P A/A2 = 3% + 5% = 0.035 4 c) Ta cần tính: P (A1 /A) = P (A1 ) P (A/A1 ) P (A1 A) = P (A) P (A) áp dụng CTXSTP ta có: P (A) = P (A1 ) P (A/A1 ) + P (A2 ) P (A/A2 ) = 97% + 95% = 0, 965 4 97% Khi đó, P (A1 /A) = ≈ 0, 7539 0, 965 Bài 1.13 Xác suất tiêu thụ điện ngày không vượt mức quy định nhà máy p = 0, 75 Tính xác suất ngày liên tiếp có ngày lượng điện không vượt mức quy định Giải Từ toán ta nhận n = 6, k = 4, p = 0, 75, q = 0, 25 Khi đó, P6 (4) = C64 (0, 75)4 (0, 25)2 = 0, Bài 1.14 Ngân hàng đề thi môn Xác Suất Thống Kê có 500 câu hỏi Thầy Hùng chọn ngẫu nhiên 20 câu hỏi để làm đề thi cuối kỳ Mỗi câu hỏi có phương án trả lời có phương án Mỗi câu trả lời đạt 0,5 điểm Bạn Hậu làm thi cách chọn hú họa phương án cho câu hỏi Tính xác suất để bạn Hậu đạt điểm Giải Gọi A biến cố bạn Hậu đạt điểm Theo đề ta có lược đồ Bernoulli với: + Số phép thử : n = 20 + Xác suất để bạn Hậu trả lời câu hỏi: p = 0, 25 Ta có 16 P (A) = P20 (16) = C20 (0, 25)16 (0, 75)4 = 0, 357.10−6 Bài 1.15 Tỉ lệ sản xuất phế phẩm máy 8% Xem lơ hàng gồm 75 sản phẩm máy sản xuất a) Tính xác suất để lơ hàng có 10 phế phẩm b) Tính xác suất để có phế phẩm? Giải Nếu xem việc máy sản xuất sản phẩm phép thử Bernoulli, với xác suất cho "thành công" p = 0, 08, máy sản xuất 75 sản phẩm, thực q trình B(75; 0, 08) a) Xác suất phải tính: 10 P75 (10) = C75 (0, 08)10 (0, 92)65 ≈ 0, 03941 b) Gọi B biến cố có phế phẩm P (B) = − (1 − p)n = − (1 − 0, 08)75 ≈ 0, 998 Bài 1.16 Cho hộp linh kiện máy tính mà khả lựa chọn hộp Hộp thứ có 30 linh kiện, có 20 linh kiện tốt 10 linh kiện xấu Hộp thứ hai có 30 linh kiện tốt Hộp thứ ba có 30 linh kiện, có 15 linh kiện tốt 15 linh kiện xấu Chọn ngẫu nhiên hộp từ lấy ngẫu nhiên linh kiện a) Tính xác suất linh kiện lấy linh kiện tốt b) Giả sử linh kiện lấy tốt Tìm xác suất để linh kiện hộp thứ Giải a) Gọi A biến cố lấy tốt Bi biến cố linh kiện lấy từ hộp thứ i; i = 1, 2, Dễ thấy B1 , B2 , B3 lập thành hệ đầy đủ biến cố Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có: P (A) = P (B1 ) P (A/B1 ) + P (B2 ) P (A/B2 ) + P (B3 ) P (A/B3 ) = 20 30 15 + + 30 30 30 = 13 18 b) Xác suất để linh kiện tốt lấy hộp thứ 3: P (B3 /A) = P (B3 ) P (A/B3 ) = 0, 23 P (A) Bài 1.17 Nhân viên công ty A nhận kiện hàng để bán cửa hàng trưng bày sản phẩm Mỗi kiện hàng gồm 10 sản phẩm, gồm có sản phẩm loại I sản phẩm loại II Kiện hàng thứ có sản phẩm loại I, kiện hàng thứ hai có sản phẩm loại I kiện hàng thứ ba có sản phẩm loại I Nhân viên bán hàng chọn ngẫu nhiên kiện từ kiện chọn ngẫu nhiên sản phẩm để trưng bày a Tính xác suất để sản phẩm trưng bày sản phẩm loại I b Giả sử chọn sản phẩm để trưng bày sản phẩm loại I Tính xác suất để sản phẩm loại I thuộc kiện hàng thứ ba Giải a) + Gọi A biến cố sản phẩm trưng bày sản phẩm loại I Ai biến cố sản phẩm thuộc kiện hàng thứ i, i ∈ {1, 2, 3} Ta có hệ {A1 , A2 , A3 } hệ đầy đủ biến cố + Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ ta có P (A) = P (Ai ) P (A/Ai ) i=1 = P (A1 ) P (A/A1 ) + P (A2 ) P (A/A2 ) + P (A3 ) P (A/A3 ) = C62 C2 C2 79 + 28 + 29 = C10 C10 C10 135 a) Hãy ước lượng khoảng thu nhập bình quân hộ tháng với độ tin cậy 95%? b) Theo phận tiếp thị siêu thị hoạt động hiệu khu vực thu nhập bình quân hàng tháng hộ tối thiểu triệu đồng/người Vậy qua kết điều tra , công ty có nên định mở siêu thị khu dân cư không (với mức ý nghĩa 5%)? Đáp số: x = 5.375; s = 1.9389 a) (4.995; 5.755) triệu đồng/người/tháng b) Công ty nên định mở siêu thị khu dân cư Bài 4.81 Từ lô hàng gồm 5000 sản phẩm, người ta chọn ngẫu nhiên 500 sản phẩm để kiểm tra thấy có 450 sản phẩm loại A a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A có lơ hàng với độ tin cậy 95%? b) Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A lơ hàng đạt độ xác câu a) độ tin cậy 99% cần kiểm tra thêm sản phẩm nữa? c) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại A lơ hàng đạt độ xác ε = 2, 5% độ tin cậy %? Đáp số a) (4369; 4632) sản phẩm b) Cần phải điều tra 364 sản phẩm c) Độ tin cậy 93.72% Bài 4.82 Điều tra doanh số bán (triệu đồng /ngày) siêu thị 100 ngày, ta có bảng số liệu sau (giả sử doanh số bán siêu thị đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn): Doanh số (triệu đồng/ngày) 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 Số ngày 15 20 25 13 15 a) Những ngày có doanh số bán 90 triệu đồng ngày bán đắt hàng Hãy ước lượng tỷ lệ ngày bán đắt hàng siêu thị với độ tin cậy 96%? b) Hãy ước lượng doanh số bán trung bình ngày bán đắt hàng siêu thị với độ tin cậy 95%? c) Nếu siêu thị báo cáo tỷ lệ ngày bán đắt hàng siêu thị 50% có chấp nhận hay khơng (với mức ý nghĩa α = 5%)? 123 Đáp số a) (25.2%; 44.8%) b) (100.811; 105.7604) triệu đồng c) Báo cáo siêu thị không chấp nhận Bài 4.83 Khảo sát thời gian tự học tuần số sinh viên trường đại học thời gian gần đây, người ta thu bảng số liệu sau: Thời gian tự học (giờ/tuần) Số sinh viên 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 18 25 30 22 15 12 a) Ước lượng tự học trung bình sinh viên trường với độ tin cậy 95% b) Trước tự học sinh viên trường 10 giờ/tuần Hãy cho nhận xét tình hình tự học sinh viên trường thời gian gần với mức ý nghĩa 5%? c) Những sinh viên có tự học từ 10 giờ/tuần trở lên sinh viên chăm học Hãy ước lượng số sinh viên chăm học trường với độ tin cậy 98% (biết trường có 10000 sinh viên)? Đáp số: x = 7.8462; s = 3.3491 a) (7.3; 8.4) giờ/ tuần b) Giờ tự học trung bình tuần sinh viên trường thời gian gần giảm sút c) (1787; 3597) sinh viên Bài 4.84 Nếu máy đóng bao hoạt động bình thường trọng lượng loại sản phẩm đại lượng ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình 80gr Kiểm tra trọng lượng số sản phẩm máy sản xuất, ta kết (đơn vị: gram) Trọng lượng 75 78 80 82 85 Số sản phẩm a) Máy đóng bao xem hoạt động bình thường sản xuất sản phẩm có trọng lượng quy định (80 gr) Với mức ý nghĩa 5% cho biết máy đóng bao hoạt động có bình thường hay khơng? b) Ước lượng trọng lượng trung bình loại sản phẩm với độ tin cậy 98% Đáp số: x = 80.12; s = 2.6508 124 a) (7.3; 8.4) giờ/ tuần b) Máy đóng bao hoạt động bình thường c) (78.8; 81.4) sản phẩm Bài 4.85 Khảo sát trọng lượng loại trái cây, ta thu bảng số liệu sau: Trọng lượng (gr) 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 Số trái 40 130 110 80 30 10 a) Những trái có trọng lượng 500 gr trái loại I Hãy ước lượng trọng lượng trung bình trái loại I với độ tin cậy 95%? b) Nếu cho tỷ lệ trái loại I 40% có chấp nhận không (với mức ý nghĩa 5%)? c) Nếu cho trọng lượng trung bình trái 500 gr có chấp nhận khơng (với mức ý nghĩa 2%)? Đáp số: x = 440; s = 120.1503 a) (580.2; 603.2) gr b) Tỷ lệ trái loại I 40% khơng chấp nhận c) Trọng lượng trung bình trái 500 gr khơng chấp nhận 125 PHỤ LỤC : BẢNG TRA THỐNG KÊ Bảng 1: Bảng giá trị hàm Gauss (hàm mật độ Gauss) x2 f (x) = √ e− 2π x 0,0 0,3989 3989 3989 3986 3986 3984 3982 3980 3977 3973 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697 0,4 3683 3668 9653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538 0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144 0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920 0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685 0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444 1,0 2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804 1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551 2,0 0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449 126 Bảng 1: Bảng giá trị hàm Gauss (tiếp theo) x2 f (x) = √ e− 2π x 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0044 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0043 0031 0023 0017 0012 0008 0006 0004 0003 0002 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0040 0030 0022 0016 0011 0008 0006 0004 0003 0002 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0006 0004 0003 0002 127 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 0388 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 Bảng 2: Bảng giá trị tích phân Laplace (hàm phân phối xác suất Gauss) x Φ0 (x) = √ 2π exp − t2 dt X ,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09 0,000 0,004 0,008 0,012 0,016 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0389 0438 0478 0517 0557 0396 0636 0675 0714 0753 0,2 0793 0832 0871 0910 0948 0987 1026 1064 1103 1141 0,3 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 0,4 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 0,5 1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224 0,6 2257 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2517 2549 0,7 2580 2611 2642 2673 2703 2734 2764 2794 2823 2852 0,8 2881 2910 2939 2967 2995 3023 3051 3078 3106 3133 0,9 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389 3413 3438 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 3621 1,1 3643 3665 3686 3708 3729 3749 3770 3790 3810 3830 1,2 3849 3869 3888 3907 3925 3944 3962 3980 3997 4015 1,3 4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 4177 1,4 4192 4207 4222 4236 4251 4265 4279 4292 4306 4319 1,5 4332 4345 4357 4370 4382 4394 4406 4418 4429 4441 1,6 4452 4463 4474 4484 4495 4505 4515 4525 4535 4545 1,7 4554 4564 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 4633 1,8 4641 4649 4656 4664 4671 4678 4686 4693 4699 4706 1,9 4713 4719 4726 4732 4738 4744 4750 4756 4761 4767 4772 4778 4783 4788 4793 4793 4803 4808 4812 4817 2,1 4821 4826 4830 4834 4838 4838 4846 4850 4854 4857 2,2 4861 4864 4868 4871 4875 4875 4881 4884 4887 4890 128 Bảng 2: Bảng giá trị tích phân Laplace (tiếp theo) X 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 ,00 4893 4918 4938 4953 4962 4974 4981 49865 49903 49931 49952 49966 49977 49984 49989 49993 49995 ,01 4896 4920 4940 4955 4966 4975 4982 49869 49906 49934 49953 49967 49978 49985 49990 49993 49995 ,02 4898 4922 4941 4956 4967 4976 4982 49874 49909 49936 49955 49969 49978 49985 49990 49993 49996 ,03 4901 4925 4943 4957 4968 4977 4983 49878 49912 49938 49957 49970 49979 49986 49990 49994 49996 ,04 4904 4927 4945 4959 4969 4977 4984 49882 49915 49940 49958 49971 49980 49986 49991 49994 49996 129 ,05 4904 4927 4945 4959 4969 4977 4984 49882 49915 49940 49958 49971 49980 49986 49991 49994 49996 ,06 4909 4931 4948 4961 4971 4979 4985 49889 49921 49924 49961 49973 49982 49987 49992 49994 49996 ,07 4911 4932 4949 4962 4972 4979 4985 49893 49924 49946 49962 49974 49982 49988 49992 49995 49996 ,08 4913 4934 4951 4963 4973 4980 4986 49897 49926 49948 49964 49975 49983 49988 49992 49995 49997 ,09 4916 4936 4952 4964 4974 4981 4986 49900 49929 49950 49965 49976 49984 49989 49993 49995 49997 Bảng 3: Bảng phân vị chuẩn tắc Uα Uα Φ (x) = √ 2π g 0.50 0.51 0,52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70 g Ug 0.000 0.025 0.030 0.075 0.100 0.126 0.151 0.176 0.202 0.228 0.253 0.279 0.305 0.332 0.358 0.385 0.412 0.440 0.468 0.496 0.524 Ug g 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91 g t2 exp(− )dt = g −∞ Ug 0.553 0.583 0.613 0.643 0.674 0.706 0.739 0.772 0.806 0.842 0.878 0.915 0.954 0.994 1.036 1.080 1.126 1.175 1.227 1.282 1.341 Ug g 0.92 0.93 0.94 0.95 0.955 0.960 0.965 0.966 0.967 0.968 0.969 0.970 0.971 0.972 0.973 0.974 0.975 0.976 0.977 0.978 0.979 g 130 Ug 1.405 1.476 1.555 1.645 1.695 1.751 1.812 1.825 1.837 1.852 1.866 1.881 1.896 1.911 1.927 1.943 1.960 1.977 1.995 2.014 2.034 Ug g 0.980 0.981 0.982 0.983 0.984 0.985 0.986 0.987 0.988 0.989 0.990 0.991 0.992 0.993 0.994 0.995 0.996 0.997 0.998 0.999 Ug 2.054 2.075 2.097 2.120 2.144 2.170 2.197 2.226 2.257 2.290 2.326 2.366 2.409 2.457 2.512 2.576 2.652 2.748 2.878 2.090 g Ug Bảng 4: Bảng phân vị Student tα (n) bậc tự n − 1, mức xác suất α P (T > tα (n − 1)) = α với T ∼ St(n) n − 1; α 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 +∞ 0.10 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310 1.303 1.296 1.289 1.282 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 6.314 12.706 31.821 63.675 66.619 2.920 4.303 6.965 9.925 22.326 2.353 3.182 4.541 5.841 10.213 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 2.015 2.571 3.365 4.032 5.893 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025 1.782 2.179 2.861 3.055 3.930 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733 1.746 2.120 2.583 2.921 3.686 1.740 2.110 2.567 2.898 3.646 1.734 2.101 2.552 2.878 3.610 1.719 2.093 2.539 2.861 3.579 1.725 2.086 2.528 2.845 3.552 1.721 2.080 2.518 2.831 3.527 1.717 2.074 2.508 2.819 3.505 1.714 2.069 2.500 2.807 3.485 1.711 2.064 2.492 2.797 3.467 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408 1.699 2.045 2.462 2.756 3.396 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385 1.684 2.021 2.423 2.704 3.307 1.671 2.000 2.390 2.660 3.232 1.658 1.980 2.358 2.617 3.160 1.645 1.960 2.326 2.576 3.090 131 Bảng 4: Bảng phân vị Khi bình phương bậc tự n mức xác suất α n; α 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 100 0,995 0,000 0,010 0,072 0,207 0,412 0,676 0,989 1,314 1,735 2,156 2,603 3,074 3,565 4,075 4,601 5,142 5,697 6,265 6,844 7,343 8,034 8,543 9,260 9,886 10,520 11,160 11,808 12,461 13,121 13,787 20,707 27,991 67,328 0,99 0,000 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 12,198 12,879 13,565 14,256 14,930 22,164 29,707 70,065 0,975 0,001 0,0151 0,216 0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 5,009 5,629 5,262 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 10,283 10,982 11,689 12,401 13,120 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791 24,433 32,307 74,222 0,95 0,004 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,322 3,940 4,575 5,226 5,982 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 11,591 12,388 13,091 13,848 14,611 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 26,509 24,754 77,929 132 0,05 3,841 5,911 7,815 9,488 10,070 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 32,671 33,924 35,172 36,415 37,652 38,885 40,113 41,337 42,557 43,773 55,578 67,505 124,34 0,025 5,024 7,378 9,348 11,143 12,832 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 21,920 23,337 24,736 26,119 27,488 28,845 30,191 31,526 32,852 34,170 35,479 36,781 38,076 39,364 40,646 41,923 43,194 44,461 45,722 46,979 5,342 71,420 129,56 0,01 6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 24,725 26,217 27,688 29,141 30,758 32,000 33,409 34,805 36,191 37,566 38,932 40,289 41,638 42,980 44,314 45,642 46,963 48,278 49,588 50,892 63,691 76,154 135,80 0,005 7,879 10,597 12,838 14,860 16,750 18,548 20,278 21,995 23,589 25,188 26,757 28,300 29,819 31,319 32,801 34,267 35,718 37,156 38,582 39,997 41,401 42,796 44,181 45,558 46,928 48,290 49,645 50,993 52,336 63,672 66,766 79,490 140,16 Bảng 5: Bảng phân phối Fisher với α = 0.01 Df mẫu (n) 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞ 4052 98,50 34,12 21,20 16,26 13,75 12,25 11,26 10,56 10,04 9,65 9,33 9,07 8,86 8,68 8,53 8,40 8,29 8,18 8,10 8,02 7,95 7,88 7,82 7,77 7,72 7,68 7,64 7,60 7,56 7,31 7,08 6,85 6,63 4999 99,00 30,82 18,00 13,27 10,92 9,55 8,65 8,02 7,56 7,21 6,93 6,70 6,51 6,36 6,23 6,11 6,01 5,93 5,85 5,78 5,72 5,66 5,61 5,57 5,53 5,49 5,45 5,42 5,39 5,18 4,98 4,79 4,61 Bậc 5404 99,16 29,46 16,69 12,06 9,78 8,45 7,59 6,99 6,55 6,22 5,95 5,74 5,56 5,42 5,29 5,19 5,09 5,01 4,94 4,87 4,82 4,76 4,72 4,68 4,64 4,60 4,57 4,54 4,51 4,31 4,13 3,95 3,78 tự 5624 99,25 28,71 15,98 11,39 9,15 7,85 7,01 6,42 5,99 5,67 5,41 5,21 5,04 4,89 4,77 4,67 4,58 4,50 4,43 4,37 4,31 4,26 4,22 4,18 4,14 4,11 4,07 4,04 4,02 3,83 3,65 3,48 3,32 (df) 5764 5859 99,30 99,33 28,24 27,91 15,52 15,21 10,97 10,67 8,75 8,47 7,46 7,19 6,63 6,37 6,06 5,80 5,64 5,39 5,32 5,07 5,06 4,82 4,86 4,62 4,69 4,46 4,56 4,32 4,44 4,20 4,34 4,10 4,25 4,01 4,17 3,94 4,10 3,87 4,04 3,81 3,99 3,76 3,94 3,71 3,90 3,67 3,85 3,63 3,82 3,59 3,78 3,56 3,75 3,53 3,73 3,50 3,70 3,47 3,51 3,29 3,34 3,12 3,17 2,96 3,02 2,80 133 tử 5928 99,36 27,67 14,98 10,46 8,26 6,99 6,18 5,61 5,20 4,89 4,64 4,44 4,28 4,14 4,03 3,93 3,84 3,77 3,70 3,64 3,59 3,54 3,50 3,46 3,42 3,39 3,36 3,33 3,30 3,12 2,95 2,79 2,64 số (m) 5981 99,38 27,49 14,80 10,29 8,10 6,84 6,03 5,47 5,06 4,74 4,50 4,30 4,14 4,00 3,89 3,79 3,71 3,63 3,56 3,51 3,45 3,41 3,36 3,32 3,29 3,26 3,23 3,20 3,17 2,99 2,82 2,66 2,51 6022 99,39 27,34 14,66 10,16 7,98 6,72 5,91 5,35 4,94 4,63 4,39 4,19 4,03 3,89 3,78 3,68 3,60 3,52 3,46 3,40 3,35 3,30 3,26 3,22 3,18 3,15 3,12 3,09 3,07 2,89 2,72 2,56 2,41 10 6056 99,40 27,23 14,55 10,05 7,87 6,62 5,81 5,26 4,85 4,54 4,30 4,10 3,94 3,80 3,69 3,59 3,51 3,43 3,37 3,31 3,26 3,21 3,17 3,13 3,09 3,06 3,03 3,00 2,98 2,80 2,63 2,47 2,32 Bảng (tt): Bảng phân phối Fisher với α = 0.01 Df mẫu (n) 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞ Bậc tự (df) tử 11 12 15 20 24 30 6083 6107 6157 6209 6234 6260 99,41 99,42 99,43 99,45 99,46 99,47 27,13 27,05 26,87 26,69 26,60 26,50 14,45 14,37 14,20 14,02 13,93 13,84 9,96 9,89 9,72 9,55 9,47 9,38 7,79 7,72 7,56 7,40 7,31 7,23 6,54 6,47 6,31 6,16 6,07 5,99 5,73 5,67 5,52 5,36 5,28 5,20 5,18 5,11 4,96 4,81 4,73 4,65 4,77 4,71 4,56 4,41 4,33 4,25 4,46 4,40 4,25 4,10 4,02 3,94 4,22 4,16 4,01 3,86 3,78 3,70 4,02 3,96 3,82 3,66 3,59 3,51 3,86 3,80 3,66 3,51 3,43 3,35 3,73 3,67 3,52 3,37 3,29 3,21 3,62 3,55 3,41 3,26 3,18 3,10 3,52 3,46 3,31 3,16 3,08 3,00 3,43 3,37 3,23 3,08 3,00 2,92 3,36 3,30 3,15 3,00 2,92 2,84 3,29 3,23 3,09 2,94 2,86 2,78 3,24 3,17 3,03 2,88 2,80 2,72 3,18 3,12 2,98 2,83 2,75 2,67 3,14 3,07 2,93 2,78 2,70 2,62 3,09 3,03 2,89 2,74 2,66 2,58 3,06 2,99 2,85 2,70 2,62 2,54 3,02 2,96 2,81 2,66 2,58 2,50 2,99 2,93 2,78 2,63 2,55 2,47 2,96 2,90 2,75 2,60 2,52 2,44 2,93 2,87 2,73 2,57 2,49 2,41 2,91 2,84 2,70 2,55 2,47 2,39 2,73 2,66 2,52 2,37 2,29 2,20 2,56 2,50 2,35 2,20 2,12 2,03 2,40 2,34 2,19 2,03 1,95 1,86 2,25 2,18 2,04 1,88 1,79 1,70 134 số (m) 40 60 120 6286 6313 6340 99,48 99,48 99,49 26,41 26,32 26,22 13,75 13,65 13,56 9,29 9,20 9,11 7,14 7,06 6,97 5,91 5,82 5,74 5,12 5,03 4,95 4,57 4,48 4,40 4,17 4,08 4,00 3,86 3,78 3,69 3,62 3,54 3,45 3,43 3,34 3,25 3,27 3,18 3,09 3,13 3,05 2,96 3,02 2,93 2,84 2,92 2,83 2,75 2,84 2,75 2,66 2,76 2,67 2,58 2,69 2,61 2,52 2,64 2,55 2,46 2,58 2,50 2,40 2,54 2,45 2,35 2,49 2,40 2,31 2,45 2,36 2,27 2,42 2,33 2,23 2,38 2,29 2,20 2,35 2,26 2,17 2,33 2,23 2,14 2,30 2,21 2,11 2,11 2,02 1,92 1,94 1,84 1,73 1,76 1,66 1,53 1,59 1,47 1,32 Bảng (tt): Bảng phân phối Fisher với α = 0.05 Df mẫu (n) 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞ Bậc tự (df) tử số 161,5 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 236,8 18,51 19,49 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 4,45 3,69 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 135 (m) 10 238,9 240,5 241,9 19,37 19,38 19,40 8,85 8,81 8,79 6,04 6,00 5,96 4,82 4,77 4,74 4,15 4,10 4,06 3,73 3,68 3,64 3,44 3,39 3,35 3,23 3,18 3,14 3,07 3,02 2,98 2,95 2,90 2,85 2,85 2,80 2,75 2,77 2,71 2,67 2,70 2,65 2,60 2,64 2,59 2,54 2,59 2,54 2,49 2,55 2,49 2,45 2,51 2,46 2,41 2,48 2,42 2,38 2,45 2,39 2,35 2,42 2,37 2,32 2,40 2,34 2,30 2,37 2,32 2,27 2,36 2,30 2,25 2,34 2,28 2,24 2,32 2,27 2,22 2,31 2,25 2,20 2,29 2,24 2,19 2,28 2,22 2,18 2,27 2,21 2,16 2,18 2,12 2,08 2,10 2,04 1,99 2,02 1,96 1,91 1,94 1,88 1,83 Bảng (tt): Bảng phân phối Fisher với α = 0.05 Df mẫu (n) 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞ 11 243 19,4 8,76 5,94 4,70 4,03 3,60 3,31 3,10 2,94 2,82 2,72 2,63 2,57 2,51 2,46 2,41 2,37 2,34 2,31 2,28 2,26 2,24 2,22 2,20 2,18 2,17 2,15 2,14 2,13 2,04 1,95 1,87 1,79 Bậc tự 12 15 244 246 19,4 19,4 8,74 8,70 5,91 5,86 4,68 4,62 4,00 3,94 3,57 3,51 3,28 3,22 3,07 3,01 2,91 2,85 2,79 2,72 2,69 2,62 2,60 2,53 2,53 2,46 2,48 2,40 2,42 2,35 2,38 2,31 2,34 2,27 2,31 2,23 2,28 2,20 2,25 2,18 2,23 2,15 2,20 2,13 2,18 2,11 2,16 2,09 2,15 2,07 2,13 2,06 2,12 2,04 2,10 2,03 2,09 2,01 2,00 1,92 1,92 1,84 1,83 1,75 1,75 1,67 20 248 19,5 8,66 5,80 4,56 3,87 3,44 3,15 2,94 2,77 2,65 2,54 2,46 2,39 2,33 2,28 2,23 2,19 2,16 2,12 2,10 2,07 2,05 2,03 2,01 1,99 1,97 1,96 1,94 1,93 1,84 1,75 1,66 1,57 136 (df) 24 249 19,5 8,64 5,77 4,53 3,84 3,41 3,12 2,90 2,74 2,61 2,51 2,42 2,35 2,29 2,24 2,19 2,15 2,11 2,08 2,05 2,03 2,01 1,98 1,96 1,95 1,93 1,91 1,90 1,89 1,79 1,70 1,61 1,52 30 250 19,5 8,62 5,75 4,50 3,81 3,38 3,08 2,86 2,70 2,57 2,47 2,38 2,31 2,25 2,19 2,15 2,11 2,07 2,04 2,01 1,98 1,96 1,94 1,92 1,90 1,88 1,87 1,85 1,84 1,74 1,65 1,55 1,46 tử số (m) 40 60 251 252 19,5 19,5 8,59 8,57 5,72 5,69 4,46 4,43 3,77 3,74 3,34 3,30 3,04 3,01 2,83 2,79 2,66 2,62 2,53 2,49 2,43 2,38 2,34 2,30 2,27 2,22 2,20 2,16 2,15 2,11 2,10 2,06 2,06 2,02 2,03 1,98 1,99 1,95 1,96 1,92 1,94 1,89 1,91 1,86 1,89 1,84 1,87 1,82 1,85 1,80 1,84 1,79 1,82 1,77 1,81 1,75 1,79 1,74 1,69 1,64 1,59 1,53 1,50 1,43 1,39 1,32 120 253 19,5 8,55 5,66 4,40 3,70 3,27 2,97 2,75 2,58 2,45 2,34 2,25 2,18 2,11 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 1,87 1,84 1,81 1,79 1,77 1,75 1,73 1,71 1,70 1,68 1,58 1,47 1,35 1,22 Tài liệu tham khảo [1] Lê Sĩ Đồng (2013), Giáo trình xác suất - Thống kê, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [2] Trần Lộc Hùng (2005), Giáo trình xác suất thống kê, Nhà xuất Giáo dục [3] Trần Lộc Hùng (2005), Hướng dẫn giải tập xác suất thống kê, Nhà xuất Giáo dục [4] Nguyễn Văn Hữu, Đào Hữu Hồ, Hoàng Hữu Như (2004), Thống kê toán học, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [5] Lê Khánh Luận, Nguyễn Thanh Sơn (2011), Lý thuyết xác suất thống kê, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh [6] Lê Khánh Luận, Nguyễn Thanh Sơn (2013), Bài tập xác suất thống kê, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh [7] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [8] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2006), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục [9] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Ngơ Văn Thứ (2012), Giáo trình Lý thuyết xác suất Thống kê toán, Nhà xuất Đại học Kinh tế Quốc dân [10] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Nguyễn Thế Hệ (2013), Bài tập Xác suất Thống kê toán, Nhà xuất Đại học Kinh tế Quốc dân 137