bài tập và bài giải xác xuất thống kê

bài tập và bài giải xác xuất thống kê

Câu Lần I rút 52 để bàn Lần II rút thêm để bàn Sau khoanh NN X số có khoanh sau a/ Tìm phân phối XS X b/ Tính XS có Giải Thực chất rút lần (2 lá, lá) tương đương với rút lần Gọi Aj biến cố có j Aj = 0,1,2,3,4 j=0,1,2,3,4, hệ Aj hệ đầy đủ ngồi.Tính P(Aj) P( A0 ) = C13C39 82251 6327 = = , C52 270725 20825 P( A1 ) = C13C39 118807 9139 = = , C52 270725 20825 P( A2 ) = 2 C13C39 57798 4446 = = , C52 270725 20825 P( A3 ) = C13C39 11154 858 = = , C52 270725 20825 P( A4 ) = C13C39 715 55 = = , P( A0 ) + P( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) + P( A4 ) =1 C52 270725 20825 a/ Tìm phân phối XS X= 0, 1, Bây có bàn, rút Với X= k= 0, P( X = ) = P( A0 ) P  X =  + P( A1 ) P  X =  + P( A2 ) P  X =  + P( A3 ) P  X =  + A0  A1  A2  A3              P( A4 ) P  X =  A4     C1 C2 P  X =  = 42 = , P  X =  = = = , A0  C A1  C       4 C2 P  X =  = 22 = , P  X =  = , P  X =  = A2  C A3  A4           P(X = 0) = 0.3038 + 0.2194 + 0.0356 + = 0.5588 Với X = k tổng quát, Do ta xét rút lần II có k C k C 2− k P  X = k  = i 44−i Ai (4 lá) = (4- i, i )  Ai    C Suy P(X=1) = + 0.2194 + 0.1423 + 0.0206 + = 0.3824 P(X=2) = + 0.0356 + 0.0206 + 0.0206 + 0.0026 = 0.0588 P(X=3) = + + + + + 0= 0.0 P(X=4) = + + +0 + + 0= 0.0 Nhận xét: P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4) = 0.5588 + 0.3824 + 0.0588 + + 0= b/ Tính XS có = P(X=1) = 0.3824 BÀI Gọi Ai biến cố lần I có i cơ, i = 0, ,2 C13 C 39 741 P(A0)= = 1326 C 52 1 C13C 39 507 P(A1)= = 1326 C 52 C13 C 39 78 P(A2)= = 1326 C 52 Gọi B biến cố lần II rút lần I rút A C11 11 P( )= = A2 C 50 50 Gọi A biến cố rút A P(A) = P( A2 )P( A ) = 78 11 11 • = 850 1326 50 b/ B biến cố rút lần II có với khơng gian đầy đủ Ai,i=0,1,2 B B B P(B) = P( A0 )P( A ) + P( A1 )P( A ) + P( A2 )P( A ) B C13 13 Trong P( )= = A0 C 50 50 B C12 12 P( A ) = = C 50 50 B C11 11 P( ) = = A2 50 C 50 P(B)= 507 12 741 13 78 11 × × × + + = = 0.25 1326 50 1326 50 1326 50 c/ Ta tính XS đầy đủ A P( B )= P( A0 ) P( B 741 13 ) × A0 = 1326 50 = 0.581 P( B) 507 0.25 78 11 × A2 1326 50 = 0.052 P( ) = B 0.25 12 A × P ( ) = 1326 50 = 0.367 B 0.25 Kì vọng Mx = (−1) ×0.581 + × 0.367 + ×0.052 = 0.413 Vậy trị chơi tơi có lợi Bài 4: Một hộp đựng chai thuốc có chai giả người ta kiểm tra chai phát chai thuốc giả thơi( giả thiết chai phải qua kiểm tra xác định thuốc giả hay thật) Lập luật phân phối xác suất số chai kiểm tra Bài giải: X PX P[X=1] = 0.2 0.16 0.128 = 0,2 P[X=2] = P[ A1 A2 ] = 0,8.0,2 = 0,16 P[X=3] = P[ A1 A2 A3 ] =0,8.0,8.0,2 = 0,128 P[X=4] = P[ A1 A2 A3 A4 ] = 0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,1024 0.1024 0.4096 P[X=5] = P[ A1 A2 A3 A4 A5 ] =0,8.0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,4096 Câu 5: Ba người làm thi Xác suất làm sinh viên A 0,8; sinh viên B 0,7; sinh viên C 0,6 Xác suất để có sinh viên làm Bài làm: Gọi A, B, C xác suất làm sinh viên A, B, C D xác suất có sinh viên làm A=0,8; B=0,7; C=0,6 Ta có: D = (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C ) P =P +P +P (D) (A∩B∩C) (A∩ B∩C) (A∩B∩ C ) Vì A, B, C độc lập nên: P = P P P + P P P + P P P (D) (A) (B) (C) (A) (B) (C) (A) (B) (C ) = 0,2.0,7.0,6 + 0,8.0,3.0,6 + 0,8.0,7.0,4 = 0,451 Vậy xác suất để có sinh viên làm : 0,451 Câu Chia ngẫu nhiên hộp sữa (trong có hộp phẩm chất) thành phần Xác suất để phần có hộp sữa chất lượng Bài Giải Gọi Ai hộp thứ i có sản phẩm xấu: C = A1∩A2∩A3 (với i = 3) Vậy xác suất để phần có sản phẩm chất lượng là: P(C) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1∩A2) = 1 C6 C3 C42C2 15.3.6.2 = = C9 C6 84.20 28 Bài 7: Một trị chơi có xác suất thắng ván 1/50 Nếu mộtngười chơi 50 ván xác suất để người tháng ván Bài giải Xác suất thắng ván: p = 150 = 0.02 Ta có xác suất để người chơi 50 ván mà không thắng ván nào: Goi X số lần thành công dãy phép thử Becnuli: X ~ B(50,0.02) ⇒ P ( X = 0) = C 50 0.02 0.98 50 = 0.364 ⇒ Xác suất để người chơi 50 ván thắng ván là: P = – 0.364 = 0.6358 Câu Một phân xưởng có 40 nữ công nhân 20 nam công nhân Tỷ lệ tốt nghiệp phổ thông nữ 15%, với nam 20% Chọn ngẫu nhiên công nhân phân xưởng Xác suất để chọn công nhân tốt nghiệo phổ thông trung học Giải: Số công nhân phân xưởng tốt nghiệp trung học phổ thông là: Đối với nữ: 40x15% = người Đối với nam: 20x20% = người Tổng số công nhân tốt nghiệp phổ thông trung học phân xưởng là: + = 10 người Xác suất để chọn công nhân tốt nghiệp trung học phổ thông là: C10 10 = = C 60 60 Bài Trong hộp I có bi trắng bi đen ,hộp II có bi trắng bi đen Các bi có kích cỡ chuyển bi từ hộp II sang hộp I ,sau lấy ngẫu nhiên bi từ hộp I Xác suất để lấy bi trắng Giải Gọi A1: bi trắng lấy từ hộp II sang hộp I A2 : bi đen lấy từ hộp II sang hộp I C : lấy viên bi cuối bi xanh Áp dụng cong thức xác suất đầy đủ P(C)= P(A1).P( C/A1)+P(A2).P(C/A2) P(A1)= P(A2) = P(C/A1)= P(C/A2)=  P(C)= + = = 7 14  BÀI 10 Gọi Ai la phần i có bi đỏ A bc phần có bi đỏ 3 A3 A2 CC CC A=A1A2A3==> P(A1A2A3) = P(A1)P( )P( )= • • =0.2857 A1 A1 A2 C12 C8 Bài 11: Một lô hàng nhà máy I, II, III sản xuất tỷ lệ sản phẩm nhà máy sản xuất 30%, 20%, 50% tỉ lệ phế phẩm tương ứng 1%, 2%, 3% chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng Xác suất để sản phẩm phế phẩm? Bài giải: Gọi: A biến cố sản phẩm chọn phế phẩm Bi sản phẩm chọn nhà máy thứ i sản xuất ( i = 1, 2, 3) Vì lấy ngẫu nhiên sản phẩm nên có { B1, B2, B3} hệ đầy đủ Theo gải thiết ta có: P(B1) = P(B2) = 10 P(B3) = 10 10 Áp dụng cơng thức xác suất tồn phần ta được: P(A) = ∑ P( B ).P( A / B ) i =1 i i = 0,01 + 0,02 + 0,03 = 0,022 10 10 10 Câu 12: Có hộp thuốc, hộp I có ống tốt ống xấu, hộp II có ống tốt ống xấu, hộp III có ống tốt ống xấu Lấy ngẫu nhiên hộp từ rút ống thuốc ống tốt Xác suất để ống thuôc hộp II Bài làm: Gọi Ai biến cố chọn hộp thứ i (i = 1,3) B biến cố chọn ống tốt Vậy xác suất để B thuộc hộp II là: P (A ∩B) PA = ( B) P (B) Trong đó: = 15   + Ta có: A1, A2, A3 độc l p ậ P =P P + (A ∩B) (A2 ) ( B A2 ) = A1 ∩ A2 ∩ A3 = Ω , { A1 , A , A } hệ đầy đủ Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ ta có: P (B) =P P +P P +P P (A1) ( B A ) (A ) ( B A ) (A3 ) ( B A ) 1 3 74 =  + + = 37 5 105 P (A ∩B) 14 15 PA = ⋅ = 74 = ( B) P 37 (B) 105 Vậy xác suất để ống thuốc lấy thuộc hộp II là: 14 ⋅ 37 Câu 13 Trong lơ hàng có 800 sản phẩm loại 200 sản phẩm loại Lấy ngẫu nhiên sản phẩm có hồn lại Gọi X số sản phẩm loại lấy a) X tuân theo quy luật nào? Viết biểu thức xác suất tổng quát quy luật b) Tính kỳ vọng phương sai cua X c) Tìm số sản phẩm trung bình lấy tính khả để xảy điều Bài Giải a) X tuân theo luật phân phối nhị thức Biểu thức tổng quát X gọi có phân phối nhị thức ký hiệu X : β( n,p) Có hàm xác suất: k P ( X = k ) = Cn p k q n − k Với ( q = 1− p ) k = { 0,1, 2, , n} , p ∈ (0;1) b) Kỳ vọng phương sai X Kỳ vọng: X 0,0508 0,2050 0,4106 PX 0,0062 0,32686 E(X)= 1.0,00627+2.0,05088+3.0,20506+4.0,41063+5.0,32686 =4,00003 Phương sai: X2 16 25 0,0062 0,0508 0,2050 0,4106 PX 0,32686 E(X )= 1.0,00627+4.0,05088+9.0,20506+16.0,41063+25.0,32686 =16,79691 D( X ) = E ( X ) − ( E ( X )) = 16, 79691 − (4, 00003) = 0, 79667 Bài 14: Ba công nhân làm loại sản phẩm, xác suất đề người thứ 1, 2, làm phẩm tưng ứng 0.9, 0.9, 0.8 Có người làm sản phẩm thấy có phế phẩm Tìm XS để sản phẩm người làm có phẩm Bài giải Gọi Ai sản phẩm công nhân thứ i sản xuất, i = 1, 2,       P(A)= P(A1)P  A A  + P(A2)P  A A  + P(A3)P  A A   =      1 C8 (0.9) (0.1) + C86 (0.9) (0.1) + C86 (0.8) (0.2) = 0.2 3 (*) Sau A xảy ra, xác suất nhóm đầy đủ phân bố lại sau, biểu thức (*) cho     ta P  A A  = 0.248 ≈ 0.25, tương tự P  A A  = 0.248 ≈ 0.25,       tương tự P  A A  = 0.501 ≈ 0.5   Gọi B biến cố sản phẩm cơng nhân sản xuất có phế phẩm  P(B) = P  A  B A  B    P P A  P  B P P A1   AA1  +  A2   AA2  +  A3   AA3             6 = 0.25 × C86 ( 0.9) ( 0.1) + 0.25 × C86 ( 0.9) ( 0.1) + 0.25 × C86 ( 0.8) ( 0.2) = 0.23 Câu 15: Luật phân phối biến (X, Y) cho bảng: 20 40 60 X 10 λ λ 20 2λ λ λ 30 3λ λ λ Y Xác định λ phân phối X, Y? Giải: Các phân phối X, Y: X PX Y PY 10 2λ 20 6λ 20 4λ 40 3λ λ Xác định λ: 11 λ = ⇒ λ = 1/11 Câu 16 (X,Y) cặp BNN có hàm mật độ đồng thời: 6 − x − y ,0 < x < 2,2 < y <  f ( x, y )  0  Tính P(1