xác suất thống kê toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI KHOA HỆ THỐNG THÔNG TIN KINH TẾ Bài thảo luận Học phần: Nguyên lý xác suất thống kêtoán Nhóm 12 Ngày: 30-10-2013 Giảng viên: Mã lớp học phần: 1363AMAT0111 1 Hà Nội – 2013 MỤC LỤC trang I. PHẦN MỞ ĐẦU……………………………………………………………….3 II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT………………………………………………………….4 1.Khái niệm về kiểm định giả thuyết thống kê………………………………. …4 1.1 Giả thuyết thống kê……………………………………………… …………………… 4 1.2 Phương pháp kiểm định một giả thuyết thống kê……………………………… 4 1.2.1 Tiêu chuẩn kiểm định……………………………………………………………….5 1.2.2 Miền bác bỏ, quy tắc kiểm định…………………………………………………….5 1.2.3 Các loại sai lầm……………………………………………………………………… 6 1.2.4 Thủ tục kiểm định giả thuyết thông kê…………………………………………….6 2. Kiểm định giả thuyết về các tham số của ĐLNN…………………………… 6 2.1. Kiểm định giả thuyết về kì vọng toán của một ĐLNN…………………… 6 2.1.1 ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn với σ 2 đã biết………………… 7 2.1.2 ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn σ 2 chưa biết………………… 8 2.1.3 Chưa biết quy luật phân phối xác suất của X nhưng n > 30…… ……………9 2.2. So sánh kì vọng toán của hai ĐLNN…………………………… …………9 2.3. X 1 , X 2 cũng có phân phối chuẩn với các phương sai 2 1 σ và 2 2 σ chưa biết và không thể cho rằng chúng bằng…………………………………………………9 2 2.4. Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ của đám đông………………………………10 2.5. Kiểm định giả thuyết về phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn………11 III. PHẦN BÀI TẬP………………………………………………… ………12 IV. MỞ RỘNG, LIÊN HỆ THỰC TẾ……………………………………….17 3 I. PHẦN MỞ ĐẦU Kiểm định giả thuyết thống kê là gì? Tại sao chúng ta phải kiểm định. Trong cuộc sống có rất nhiều vấn đề: cần kiểm tra xem điều đó đúng hay sai, nội dung thông tin mà ta nhận được từ các nhà cung cấp có đáng tin cậy hay không? Công việc kiểm tra xem thông tin đưa ra có đáng tin cậy hay không chính là bài toán kiểm định. Trường đại học Thương Mại từ lâu đã nổi tiếng là trường nhiều nữ sinh và cũng là ngôi trường của nhiều hoa hậu, người đẹp của nước ta như Bùi Hà Anh, Nguyễn Thị Loan…. Đó là những nữ sinh với chiều cao lý tưởng. Nhưng trường ta còn có nhiều bạn gái có chiều cao khiêm tốn. Để tìm hiểu chiều cao trung bình của nữ sinh, thì chúng ta sẽ điều tra về chiều cao nữ sinh trường đại học thương mại. Theo báo cáo của viện Khoa học Thể dục thể thao năm 2004 chiều cao trung bình của nữ thanh niên Việt Nam là 153.34cm. Thông tin này có đáng tin cậy không? Để làm rõ thông tin này đúng hay sai thì chúng ta sẽ làm một bài toán kiểm định. 4 II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Khái niệm về kiểm định giả thuyết thông kê 1.1 Giả thuyết thống kê Vì không điều tra cả đám đông nên ta không biết dạng phân phối xác suất của dấu hiệu cần nghiên cứu X trên đám đông hoặc có thể biết dạng phân phối xác suất của X nhưng chưa biết số đặc trưng θ nào đó của nó. Ta có thể đưa ra những nhận xét khác nhau về các yếu tố chưa biết, đó là các giả thuyết thông kê như: - ĐLNN X phân phối theo quy luật chuẩn. - Tham số θ của X bằng θ o Định nghĩa: Giả thuyết về dạng phân phối xác suất của ĐLNN, về các tham số đặc trưng của ĐLNN hoặc về tính độc lập của các ĐLNN gọi là giả thuyết thông kê, ký hiệu là H 0 Giả thuyết H 0 được đưa ra để kiểm định gọi là giả thuyết gốc, giả thuyết trái với giả thuyết gốc gọi là đối thuyết, kí hiệu là H 1 H 0, H 1 lập thành một cặp giả thuyết thống kê và được lựa chọn theo nguyên tắc bác bỏ H 0 thì chấp nhận H 1 hoặc ngược lại bác bỏ H 1 thì chấp nhận H 0 . Giả thuyết gốc H 0 : θ = θ 0 B.toán 1: 0 0 1 1 : : H H θ θ θ θ =   =  B.toán 2: 0 0 1 1 : : H H θ θ θ θ =   >  B.toán 3: 0 0 1 1 : : H H θ θ θ θ =   <  1.2 Phương pháp kiểm định một giả thuyết thống kê. 5 - Nguyên tắc chung của việc kiểm định giả thuyết thống kê là sử dụng nguyên lý xác suất nhỏ: “Nếu một biến cố có xác suất khá bé thì trong thực hành ta có thể coi nó không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử”. 1.2.1 Tiêu chuẩn kiểm định Xét một cặp giả thuyết thống kê H o , H 1 . Từ đám đông chọn ra 1 mẫu kích thước n: W = (X 1 , X 2 X n ). Từ mẫu này ta xây dựng thống kê G = f(X 1 , X 2 X n θ n ) Trong đó θ 0 là tham số liên quan đến H 0 , sao cho nếu H 0 thì quy luật phân phối xác suất của G hoàn toàn xác định. Một thống kê như vậy được gọi là tiêu chuẩn kiểm định (TCKĐ). 1.2.2 Miền bác bỏ, quy tắc kiểm định Quy luật phân phối xác suất của G đã biết, α khá bé ta tìm được miền W α gọi là miền bác bỏ sao cho : P(G ∈ W α / H 0 ) = α Vì α khá bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có biến cố (G ∈ W α / H 0 ) không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử. Do đó nếu từ một mẫu cụ thể w = ( x 1, x 2, …x n ) ta tìm được giá trị thực nghiệm g tn = f( x 1, x 2, …x n ,θ 0 ) mà g tn ∈ W α thì giả thuyết H 0 tỏ ra không đúng, ta có cơ sở bác bỏ H 0 . Kí hiệu α W là miền bù của W α . Vì biến cố (G ∈ W α / H 0 ) và biến cố (G ∈ α W / H 0 ) là hai biến cố đối lập nên P(G ∈ α W / H 0 ) = 1 – α Vì α khá bé nên (1−α) khá gần 1, do đó theo nguyên lý xác suất lớn: “ Nếu một biến cố có xác suất khá gần 1 thì trong thực hành ta có thể coi nó sẽ xảy ra trong 6 một lần thực hiện phép thử ”. Ta có thể coi biến cố (G ∈ α W / H 0 ) sẽ xảy ra trong một lần thực hiện phép thử, nên nếu trong một lần lấy mẫu ta thấy g tn ∈ α W thì giả thuyết H 0 tỏ ra hợp lí, ta chưa có cơ sở bác bỏ H 0 . ⇒ Theo lập luận trên ta đưa ra quy tắc kiểm định: Từ đám đông lấy ra 1 mẫu kích thước n, từ mẫu tính được g tn . + Nếu g tn ∈ W α thì bác bỏ H 0 , chấp nhận H 1 . + Nếu g tn ∉ W α thì chưa có cơ sở bác bỏ H 0 ( trong thực hành vẫn chấp nhận H 0 ). 1.2.3 Các loại sai lầm  Sai lầm loại một là bác bỏ H 0 khi H 0 đúng: P(G ∈ W α / H 0 ) = α  Sai lầm loại hai là chấp nhận H 0 khi H 0 sai: P(G ∉ W α / H 1 ) = β 1.2.4 Thủ tục kiểm định giả thuyết thông kê. Để kiểm định một giả thuyết thống kê H 0 với đối thuyết H 1 ta làm như sau: - Chọn mức ý nghĩa α. - Xây dựng một tiêu chuẩn kiểm định (TCKĐ) G thích hợp. - Tìm miền bác bỏ W α . - Từ đám đông ta lấy ra một mẫu kích thước n, từ mẫu tính được g tn và kết luận theo quy tắc kiểm định. 2.1 Kiểm định giả thuyết về các tham số của ĐLNN 7 Giả sử dấu hiệu X cần nghiên cứu trên đám đông có E(X) = μ, Var(X) = σ 2 , trong đó μ chưa biết. Từ một cơ sở nào đó người ta tìm được μ = μ 0 , nhưng nghi ngờ về điều này. Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần kiểm định giả thuyết H 0 : μ = μ 0 . Để kiểm định giả thuyết nêu trên, từ đám đông lấy ra một mẫu kích thước n: W = (X 1 , X 2 X n ). Từ mẫu này ta tính được X = ∑ = n i Xi n 1 1 , S ’2 = ( ) 2 1 1 1 n i i X X n = − − ∑ . Ta lần lượt xét các trường hợp sau: 2.1.1 ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn với σ 2 đã biết Vì X có phân phối chuẩn nên ta có 2 ~ ,X N n σ µ    ÷   xây dựng tiêu chuẩn kiểm định 0 X U n µ σ − = . Nếu H 0 đúng thì ( ) ~ 0,1U N Bài toán 1: 0 0 1 1 : : H H µ µ µ µ =   ≠  α cho trước, ta tìm được u α/2 sao cho: P( U > u α/2 ) = α 8 Vì α là khá bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ, biến cố ( U > u α/2 ) không xảy ra trong một lần lấy mẫu cụ thể. Vì vậy ta có miền bác bỏ: W α = {u tn : 2/ α uu tn > } * Quy tắc kiểm định: Lấy một mẫu cụ thể w = (x 1 ,x 2 …x n ) từ mẫu này ta tính được u tn + Nếu u tn ∈ W α thì bác bỏ H 0 , chấp nhận H 1 . + Nếu u tn ∉ W α thì chưa có cơ sở bác bỏ H 0 . Bài toán 2:    > = o oo H H µµ µµ : : 1 Α cho trước, ta tìm được u α sao cho: P(U > u α ) = α Ta có miền bác bỏ: W α = {u tn : α uu tn > } * Quy tắc kiểm định: Lấy một mẫu cụ thể w = (x 1 ,x 2 …x n ) từ mẫu này ta tính được u tn + Nếu u tn ∈ W α thì bác bỏ H 0 , chấp nhận H 1 . + Nếu u tn ∉ W α thì chưa có cơ sở bác bỏ H 0 . Bài toán 3:    < = o oo H H µµ µµ : : 1 α cho trước, tìm được u α sao cho: P(U > -u α ) = α Ta có miền bác bỏ: W α = {u tn : α uu tn < } 9 * Quy tắc kiểm định: Lấy một mẫu cụ thể w = (x 1 ,x 2 …x n ) từ mẫu này ta tính được u tn + Nếu u tn ∈ W α thì bác bỏ H o , chấp nhận H 1 . + Nếu u tn ∉ W α thì chưa có cơ sở bác bỏ H o . 2.1.2 ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn σ 2 chưa biết Ta dùng TCKĐ: T = n S X o ' µ − Nếu H 0 đúng thì T~T (n-1) . Ta xét lần lượt các bài toán sau Bài toán 1: 0 0 1 1 : : H H µ µ µ µ =   ≠  Với mức ý nghĩa α cho trước, ta tìm được phân vị ( ) 1 2 n t α − ƒ sao cho: P( 1 2/ − > n tT α ) = α Miền bác bỏ: W α = {t tn : 1 2/ − > n tn tt α } Bài toán 2:    > = o oo H H µµ µµ : : 1 α cho trước, ta tìm được t α sao cho: P(T > 1−n t α ) = α Vì α khá bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ: W α = {t tn : 1− > n tn tt α } Bài toán 3:    < = o oo H H µµ µµ : : 1 10 [...]... trị = (T < - n t tn < −tα −1 n tα −1 )=α } 2.1.3 Chưa biết quy luật phân phối xác suất của X nhưng n > 30 Do n > 30  σ2  X ~ N  µ, ÷ n   → X σ TCKĐ: U = − µo n Nếu giả thuyết H0 đúng thì thống kê U có phân phối xấp xỉ N(0,1) 2.2 So sánh kì vọng toán của hai ĐLNN X1 TCKĐ: U= σ 12 n1 − X2 2 σ2 n2 + 2.3 X1, X2 cũng có phân phối chuẩn với các phương sai σ 12 và σ 22 chưa biết và không thể... miền bác bỏ: Wα = {utn: Miền bác bỏ: Wα = {utn: u tn > uα } u tn < −uα } 2.5 Kiểm định giả thuyết về phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn Bài toán: ĐLNN X ~ N(μ, σ2) với σ chưa biết Từ cơ sở nào đó người ta đặt giả 2 σ 2 = σ0 thuyết H0: bài toán sau: Bài toán 1: Nghi ngờ giả thuyết này với mức ý nghĩa α ta đi kiểm định 3 2 H0 :σ 2 = σ 0  2 2  H1 : σ ≠ σ 0 Miền bác bỏ:... Đề tài: Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng chiều cao trung bình của nữ sv trường ĐHTM Theo báo cáo thống kê năm 2010 chiều cao trung bình của nữ thanh niên Việt Nam là 155,4cm Hãy kiểm định giả thuyết cho rằng chiều cao trung bình của nữ sv trường ĐHTM là cao hơn mức trên Từ số liệu ta có bảng thống kê: Chiều cao (cm) 140 149 150 151 152 Số Người(f) 1 1 9 3 6 14 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162... phần tử mang dấu hiệu A là p, trong đó p chưa biết Từ một cơ sở nào đó người ta đặt ra giả thuyết H0: p = p0 Nghi ngờ giả thuyết này với mức ý nghĩa α ta đi kiểm định 3 bài toán sau: Chọn mẫu kích thước n khá lớn Vì n khá lớn f = Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định U = Bài toán 1:  H 0 : p = p0   H1 : p ≠ p0 f − p0 p0q0 n  pq  N  p, ÷ n   nếu H0 đúng thì... tin cậy 95%,chiều cao trung bình của nữ sinh viên trường ĐHTM nằm trong khoảng (157,17 ; 158,43) 2 Kiểm định giả thiết chiều cao trung bình của các sinh viên trường Đại học Thương Mại cao hơn mức thống kê là 155,4cm Gọi X là chiều cao của 1 nữ sinh viên trường ĐHTM X là chiều cao trung bình của 1 nữ sinh viên trường ĐHTM trên mẫu 19 µ là chiều cao trung bình của 1 nữ sinh viên trường ĐHTM trên đám đông... 7,4867 (2) > uα nên ta chấp nhận H1, bác bỏ H0 Kết luận : Với độ tin cậy 95% hay mức ý nghĩa α =5%; ta có thể cho rằng mức chiều cao trung bình của các sinh viên trường Đại học Thương Mại cao hơn mức thống kê là 155,4cm IV MỞ RỘNG, LIÊN HỆ THỰC TẾ 1 Liên hệ thực tế Điều tra chiều cao của nữ công nhân công ty vinakorea ta được số liệu như sau: Chiều cao Số công nhân 141cm- 145cm 7 146cm- 150cm 21 151cm- 155cm... các nữ công nhân công ty vinakorea là cao hơn 153,34cm 2 Mở rộng So sánh với các nước trong khu vực và trên thế giới Thông tin của Ủy ban Dân số- Gia đình và trẻ em năm 2010 3 Kết luận Qua những thống kê thực tế cho ta thấy chiều cao của nữ thanh niên có xu hướng tăng Năm 2004 chiều cao trung bình của nữ thanh niên Việt Nam là 153,34cm thì năm 2010 theo điều tra là 156,533cn Dó cũng là kết quả lấy ra... Trong thực tế người ta sử dụng việc kiểm định giả thuyết để kiểm tra sự đúng sai và so sánh với một chỉ tiêu nhất định Với kích thước mẫu lớn ta có thể dễ dàng kiểm tra Việc kiểm định giả thuyết thống kê về chiều cao giúp ta so sánh được chiều cao trung bình của người Việt Nam với quốc tế Từ đó đưa ra các phương pháp hợp lí giúp cải thiện chiều cao 23 . TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI KHOA HỆ THỐNG THÔNG TIN KINH TẾ Bài thảo luận Học phần: Nguyên lý xác suất thống k toán Nhóm 12 Ngày: 30-10-2013 Giảng viên: Mã lớp. số liên quan đến H 0 , sao cho nếu H 0 thì quy luật phân phối xác suất của G hoàn toàn xác định. Một thống kê như vậy được gọi là tiêu chuẩn kiểm định (TCKĐ). 1.2.2 Miền. giả thuyết thống kê. 5 - Nguyên tắc chung của việc kiểm định giả thuyết thống kê là sử dụng nguyên lý xác suất nhỏ: “Nếu một biến cố có xác suất khá bé thì trong thực hành ta có thể