Rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số

Điều 28 khoản 2 của Luật Giáo dục nêu rõ: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; b

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình, tận tâm giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Hoàn thành luận văn tại trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia

Hà Nội dưới sự tận tình hướng dẫn khoa học của PGS TSKH Vũ Đình Hòa Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã giúp đỡ , chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi nghiên cứu và hoàn chỉnh luận văn

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo và các em học sinh trường THPT Hồng Quang, THPT Thành Đông – Hải Dương

đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Lời cảm ơn chân thành của tôi cũng xin được dành cho người thân, gia đình và bạn bè, đặc biệt là lớp Cao học Toán K7, K8 trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã động viên tác tôi trong suốt thời gian qua

Xin chân thành cảm ơn!

Hải Dương, ngày 25 tháng 11 năm 2014

Tác giả

Vũ Thị Thùy Hương

MỤC LỤC

Lời cảm ơn…… i

Danh mục chữ viết tắt ii

Mục lục iii

Danh mục bảng vi

Danh mục biểu đồ vii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1 Kĩ năng và kĩ năng giải toán 7

1.1.1 Khái niệm kĩ năng 7

1.1.2 Kĩ năng giải toán 8

1.1.3 Phân loại kĩ năng trong môn Toán 8

1.1.4 Sự hình thành của kĩ năng giải toán 9

1.1.5 Điều kiện để có kĩ năng 10

1.1.6 Các mức độ của kĩ năng giải toán 10

1.1.7 Vai trò của kĩ năng giải toán 11

1.1.8 Mối quan hệ giữa kĩ năng và năng lực 12

1.2 Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 13

1.2.1 Mục tiêu dạy môn Toán 13

1.2.2 Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT 14

1.3 Ý nghĩa, vai trò và chức năng của hệ thống bài tập toán 14

1.3.1 Vị trí và vai trò của bài tập toán 14

1.3.2 Ý nghĩa của bài tập toán 15

1.3.3 Chức năngcủa bài tập toán 15

1.4 Thực tiễn dạy học giải các bài toán phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số 16

1.4.1 Thực trạng việc rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số ở trường THPT Thành Đông và trường THPT Hồng Quang – Thành phố Hải Dương 16 1.4.2 Những khó khăn và sai lầm của học sinh trong giải phương trình và

bất phương trình 17

Chương 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ……… ………… 21

2.1 Nội dung phần giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số ở THPT 21

2.1.1 Mục tiêu và nhiệm vụ của dạy học giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số ở THPT 21

2.1.2 Nội dung học sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình và hệ phương trình ở THPT 22

2.2 Phân tích cơ sở lí thuyết giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số 22

2.2.1 Dấu hiệu của đạo hàm về tính đơn điệu của hàm số 22

2.2.2 Dấu hiệu của đạo hàm về sự tồn tại nghiệm của phương trình 23 2.2.3 Các kết quả giải toán 23

2.3 Hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình sử dụng phương pháp hàm số 24

2.3.1 Hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng giải phương trình đại số và phương trình vô tỉ 24

2.3.2 Hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng giải phương trình lượng giác 38

2.3.3 Hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng giải phương trình mũ và lôgarit 51

2.3.4 Hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng giải bất phương trình 69

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 87

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 87

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 87

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 87

3.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 87

3.3 Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm 88

3.3.1 Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm sư phạm 88

3.3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 89

3.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm 89

3.5 Kết quả thực nghiệm sư phạm 90

3.5.1 Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 90

3.5.2 Kết quả thực nghiệm sư phạm 96

3.6 Tổng kết 106

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 107

1 Kết luận 107

2 Khuyến nghị 107

TÀI LIỆU THAM KHẢO 108

PHỤ LỤC 110

DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1 Thống kê kết quả của bài kiểm tra số1 97

Bảng 3.2 Kết quả xử lý để tính các tham số của bài kiểm tra số 1 97

Bảng 3.3 Các tham số đặc trưng của bài khiểm tra số 1 98

Bảng 3.4 Tần suất và tần suất tích lũy bài của bài kiểm tra số 1 98

Bảng 3.5 Thống kê kết quả bài kiểm tra của bài kiểm tra số 2 101

Bảng 3.6 Kết quả xử lý để tính các tham số của bài kiểm tra số 2 101

Bảng 3.7 Các tham số đặc trưng của bài kiểm tra số 2 101

Bảng 3.8 Tần suất và tần suất tích lũy của bài kiểm tra số 2 102

DANH MỤC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 3.1 Biểu đồ tần suất của bài kiểm tra số 1 99

Biểu đồ 3.2 Biểu đồ tần suất tích lũy của bài kiểm tra số 1 99

Biểu đồ 3.3 Biểu đồ tần suất của bài kiểm tra số 2 103

Biểu đồ 3.4 Biểu đồ tần suất tích lũy của bài kiểm tra số 2 103

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong các môn học ở nhà trường phổ thông, môn Toán có một vị trí rất quan trọng vì Toán học là công cụ ở nhiều môn học khác Môn Toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh óc tư duy trừu tượng, tư duy chính xác, và tư duy lôgic Qua đó có tác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh tính tư duy lôgic Trong những năm gần đây, đổi mới giáo dục là một đề tài được cả xã hội quan tâm và theo dõi sự chuyển biến của nó, Đảng và Nhà nước đã đề ra nhiều chủ trương, chính sách nhằm phát triển giáo dục với mục tiêu là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có tri thức, phẩm chất tốt, có trình độ thẩm mĩ và lòng yêu nghề nghiệp, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc trong thời kì mới

Điều 28 khoản 2 của Luật Giáo dục nêu rõ: "Phương pháp giáo dục phổ

thông phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.”

Nghị quyết Hội nghị lần thứ tư Ban chấp hành trung ương Đảng cộng sản Việt Nam khóa VII đã chỉ rõ nhiệm vụ quan trọng của ngành Giáo dục và Đào tạo

là “Phải khuyến khích học sinh tự học, phải áp dụng những phương pháp dạy học

hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh những năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề.”

Với mục tiêu đó thì đổi mới phương pháp dạy và học giáo dục diễn ra sâu rộng ở tất cả các bậc học và cấp học Từ đó đặt ra nhiệm vụ cho người giáo viên là phải rèn kĩ năng giải toán cho học sinh Nếu học sinh không có kĩ năng giải toán thì bản thân họ sẽ không có năng lực thực hành Trong dạy học ở trường THPT, môn Toán được coi là một trong những môn học giúp phát triển trí tuệ và tư duy lôgic cho học sinh Hoạt động giải toán là cơ hội tốt để học sinh được bộc lộ và phát triển khả năng sáng tạo qua quá trình đem những tri thức Toán học đã được trang bị vào giải các bài toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn liên quan tới Toán học

Việc học tập môn Toán được diễn ra trong nhà trường phổ thông chủ yếu là hoạt động giải toán Trong quá trình đi tìm tòi lời giải cho bài toán và trình bày lời giải đó, học sinh thường mắc một số sai lầm và lúng túng không biết sai lầm từ đâu khi giáo viên chưa nhấn mạnh đến việc khắc phục sai lầm và rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh Trên thực tế số lượng các bài tập của từng chương, từng chuyên

đề cũng rất nhiều Trong quá trình học tập học sinh không thể giải từng bài một mà phải học các dạng bài tập lớn, mỗi dạng bài tập lớn đó đều có phương pháp và kĩ năng giải khác nhau, đặc biệt là các dạng bài toán về phương trình và bất phương trình Qua thực tế dạy học ở THPT tôi nhận thấy học sinh thường mắc một số sai lầm trong lập luận trình bày và đa số các em học sinh đều chưa có kĩ năng thành thạo để giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số Hơn nữa trong những năm gần đây các đề thi Cao đẳng, Đại học, thi học sinh giỏi các cấp luôn luôn có dạng bài tập về phương trình và bất phương trình, trong đó có rất nhiều bài tập được giải bằng phương pháp hàm số Từ những kinh nghiệm qua giảng dạy nghiên cứu các mảng chuyên đề toán học của THPT, tôi đã đề xuất phương pháp rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số

Chính vì những lí do trên nên chúng tôi chọn tên đề tài là: “Rèn luyện kĩ năng

giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số”

+ Tạp chí toán học tuổi trẻ có các bài viết của tác giả Lê Hồ Quý [23]

+ Tài liệu tự chọn môn Toán lớp 12 THPT (Tài liệu thí điểm) của nhóm tác giả Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Duy Điển, Nguyễn Doãn Tuấn, Phan Thị Luyến [6] + Phương pháp khảo sát hàm số của nhóm tác giả Nguyễn Đức Đồng, Lê Hoàn Hóa, Võ Khắc Thường, Lê Quang Tuấn và Nguyễn Văn Vĩnh [9]

+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề giải tích lớp 12 của nhóm tác giả Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng và Đoàn Quỳnh [8]

+ Bài giảng luyện thi môn Toán tập 2 của nhóm tác giả Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam và Lê Thống Nhất [4]

+ Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán tập 1, tập 2 của tác giả Trần Phương [20, 21]

Ngoài ra, theo các tác giả Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Bá Kim, Bùi Văn Nghị [15, 16, 17, 18, 24], … cũng đã nhiều lần nói về việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong dạy học môn Toán Tuy những nghiên cứu đó về vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh mới chỉ là lí luận nhưng đã có những gợi mở quan trọng cho tôi trong quá trình thực hiện đề tài

Bên cạnh đó cũng có một số Luận văn, Khóa luận nghiên cứu về vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh nhưng chủ yếu là thông qua các nội dung Toán học như đạo hàm, tích phân, phép biến hình, phương pháp vectơ, … Và cũng có một số Luận văn nghiên cứu về việc rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua nội dung phương trình và bất phương trình, nhưng chưa có luận văn nào nghiên cứu về việc rèn luyện kĩ năng sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình và bất phương trình

Trên cơ sở lí thuyết mà các nhà toán học đã đưa ra, căn cứ vào thực trạng

dạy học “Phương trình và bất phương trình” ở một số trường trung học phổ thông

trong giai đoạn hiện nay thì với Luận văn này, xin được trình bày một vấn đề rất hẹp và cụ thể là: vận dụng lí luận về phương pháp giảng dạy vào rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm kiếm biện pháp rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình

- Rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động trí tuệ và tính sáng tạo của người lao động nhằm phát triển toàn diện trong tương lai

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống đầy đủ và phân loại các dạng bài tập hay gặp trong các đề thi ĐH, HSG liên quan đến chủ đề phương trình và bất phương trình khó phù hợp với từng trình

độ phát triển tư duy của học sinh

- Thông qua các bài tập cụ thể chỉ ra cách thức tổng quát để áp dụng cho các bài toán tương tự

- Qua việc phân lớp các dạng bài tập có đưa ra hệ thống các bài tập tự luyện và mở rộng chúng để học sinh rèn luyện kĩ năng giải

4 Phạm vi nghiên cứu

- Phạm vi về thời gian: Trong khoảng thời gian từ tháng 8/2014 đến nay,

cùng với 12 năm kinh nghiệm giảng dạy tại trường THPT Thành Đông và trường THPT Hồng Quang – Thành phố Hải Dương – Tỉnh Hải Dương

- Phạm vi về nội dung: Nghiên cứu những kĩ năng giải các bài tập về phương

trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số cho học sinh THPT

5 Mẫu khảo sát

Giáo viên tổ Toán, các em học sinh lớp 12A, 12B trường THPT Thành Đông

và 12B, 12C trường THPT Hồng Quang, tỉnh Hải Dương năm học năm học

2014-2015

6 Vấn đề nghiên cứu

Rèn luyện kĩ năng, nâng cao tư duy giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số

7 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sơ lí luận của phương pháp dạy học môn Toán và thực tiễn dạy học

về phương trình, bất phương trình, nếu khai thác và vận dụng thành thạo phương pháp hàm số để giải phương trình và bất phương trình thì sẽ phát huy được khả năng phát hiện tìm lời giải, phân tích bài tập, hệ thống dạng toán, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc học tập

8 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu và phân tích các tài liệu về

lí luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo liên quan đến môn học

- Phương pháp điều tra: Điều tra khả năng rèn luyện các kĩ năng giải toán

cho học sinh khi dạy học về phương trình, bất phương trình và ứng dụng của hàm số

ở trung học phổ thông ; chất lượng của học sinh trước và sau thực nghiệm

- Phương pháp quan sát: Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ chuyên

môn, học hỏi kinh nghiệm của lớp thầy cô đi trước về phương pháp dạy học môn học; phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu thực trạng về rèn luyện

kĩ năng giải toán cho học sinh trong quá trình giảng dạy của các giáo viên Ngoài ra còn trao đổi trực tiếp với học sinh để nắm được trình độ khả năng tiếp thu và khả năng vận dụng các phương pháp mới

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm tại

trường THPT Thành Đông và trường THPT Hồng Quang tỉnh Hải Dương; cung cấp bài tập và kiểm tra kết quả sau thực nghiệm

- Phương pháp thống kê toán học: Xử lí các số liệu thu được sau khi điều

tra

9 Những đóng góp của Luận văn

- Hệ thống và phân loại các dạng phương trình và bất phương trình thường gặp ở THPT

- Cung cấp cho học sinh cơ sở lí thuyết về hàm số, nghiệm của phương trình, nghiệm của bất phương trình và các kĩ thuật trình bày lời giải của phương trình và bất phương trình được giải theo phương pháp hàm số

- Minh họa được nhiều loại bài tập có trong các đề thi ĐH – CĐ và thi HSG những năm gần đây

- Giúp cho các em học sinh rèn kĩ năng giải toán và giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm trong dạy học

- Nâng cao khả năng giải toán cho học sinh thông qua các phương pháp mới,

có chú trọng đến việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi

10 Cấu trúc Luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, phụ lục, nội dung chính của luận văn gồm có ba chương

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài toán rèn luyện kĩ năng giải phương trình

và bất phương trình bằng phương pháp hàm số

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Kĩ năng và kĩ năng giải toán

1.1.1 Khái niệm kĩ năng

Từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến

thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [26, tr 426]

Theo giáo trình Tâm lí học đại cương thì: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các

dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ

lí luận hay thực hành xác định” [2, tr 149]

Theo giáo trình Tâm lí học lứa tuổi và Tâm lí học Sư phạm thì: “Kĩ năng là

khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [11, tr 131]

Theo nghĩa từ điển [22]:“Kĩ năng là năng lực thực hiện có hiệu quả một

hành động hay một hoạt động nào đó, bằng cách lựa chọn, vận dụng những tri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với những điều kiện thực tiễn cho phép”

Theo [25]: “ Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay các

khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định”

Kĩ năng là mặt kĩ thuật của hành động Con người nắm được cách thức hành động - Tức là kĩ thuật hành động là có kĩ năng”.

Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng đều nói rằng

kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới

Nói đến kĩ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt tới mục đích đã định Cơ sở của kĩ năng là kiến thức Người

có kĩ năng thực hiện một hành động nào đó phải biết vận dụng những khái niệm và những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể; phải biết tri thức một cách đúng đắn và hợp lí, phù hợp với mục tiêu của hành động

1.1.2 Kĩ năng giải toán

Kĩ năng giải toán là một cách sử dụng các kiến thức cơ bản chuyển bài toán cần giải về dạng tương đương đơn giản

Trong các môn học ở trường phổ thông, môn Toán là môn học giữ một vai trò và vị trí quan trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách cho học sinh Khi học môn Toán, kĩ năng giữ một vai trò quan trọng và đặc biệt cần thiết, bởi vì nếu không có kĩ năng học sinh sẽ không phát huy được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề

Có hai phương pháp cơ bản để cung cấp cho học sinh kĩ năng giải toán:

 Phương pháp gián tiếp: Cung cấp cho học sinh một số các bài toán có

cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh tự rút ra những quy tắc cho riêng mình Đây là phương pháp có hiệu quả nhất nhưng mất nhiều thời gian, khó đánh giá và không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của học sinh

 Phương pháp trực tiếp: Giáo viên soạn thành những bài giảng về

những kĩ năng một cách hệ thống và đầy đủ Phương pháp này hiệu quả hơn và dễ nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết

Như vậy: Kĩ năng giải toán là khả năng sử dụng và vận dụng linh hoạt các tri thức về toán học, kết hợp với các kiến thức khoa học khác và những kiến thức thực

tế để giải quyết những bài toán

1.1.3 Phân loại kĩ năng trong môn Toán

1.1.3.1 Kĩ năng nhận thức

Kĩ năng nhận thức trong môn Toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: khả năng nắm một khái niệm, định lí, kĩ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc trong đó yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc

1.1.3.2 Kĩ năng thực hành

Kĩ năng thực hành trong môn Toán bao gồm kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán, kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn (trong Toán học hoặc trong đời sống), kĩ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tiễn

1.1.3.3 Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức

Để có kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi người học phải có kế hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực của bản thân nhằm phấn đấu đạt được mục đích

1.1.3.4 Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá

Ở trường phổ thông chúng ta thường mới quan tâm tới kết quả kiểm tra từ phía giáo viên đối với học sinh, từ đó giáo viên có thể điều chỉnh cách dạy mà chưa quan tâm đến việc học sinh tự kiểm tra đánh giá bản thân

Các tác giả Nguyễn Bá Kim [15, 16], Vũ Dương Thụy [16], … đã xét kĩ năng tự kiểm tra đánh giá trên các phương diện: kĩ năng vận dụng tri thức trong nội

bộ môn Toán, kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kĩ năng

vận dụng toán học vào đời sống

1.1.4 Sự hình thành kĩ năng

Theo từ điển Giáo dục học: Để hình thành kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu Do kiến thức là cơ sở của kĩ năng cho nên tùy theo kiến thức mà học sinh cần nắm được mà có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng

Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy giải quyết các nhiệm

vụ đặt ra Con đường hình thành kĩ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào các yếu

tố như: Kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rèn kĩ năng, mức độ chủ động tích cực của học sinh, Có hai con đường hình thành kĩ năng cho học sinh đó là:

- Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán vận dụng tri thức đó Từ đó, học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải, bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những thủ thuật biến đổi

- Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xác định được đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối sáng tạo đó vào từng bài toán cụ thể

Thực chất sự hình thành kĩ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong bài toán

Khi giúp học sinh hình thành kĩ năng cần tiến hành:

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải những bài toán cùng dạng

- Xác lập được mối liên hệ giữa các bài toán tồng quát và kiến thức tương ứng

- Nội dung bài tập, yêu cầu và nhiệm vụ đặt ra thường được trừu tượng hóa hay bị che giấu bởi những yếu tố làm chệch hướng tư duy và ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng

- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng, vì vậy nên tạo tâm thế thuận lợi trong học tập cho học sinh trong hình thành kĩ năng

1.1.5 Điều kiện để có kĩ năng

Muốn có kĩ năng về hành động nào đó chủ thể cần:

- Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đạt được kết quả

- Tiến hành hành động đối với yêu cầu của nó

- Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra

- Có thể hành động một cách hiệu quả trong những điều kiện khác nhau

- Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ năng nhưng phải cần thời gian đủ dài

1.1.6 Các mức độ của kĩ năng giải toán

Kĩ năng giải toán có thể chia thành ba mức độ:

- Biết làm: Vận dụng được lí thuyết để giải những bài toán cơ bản hình thành các thao tác cơ bản như: Viết các đại lượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức, kí hiệu, giải được các bài tập dạng mẫu

- Thành thạo: Học sinh có thể giải nhanh, ngắn gọn, chính xác bài toán theo cách giải đã biết và một số bài tập tổng hợp

- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Tìm ra những cách giải ngắn gọn, chuyển hóa vấn đề khéo léo và cách giải quyết vấn đề độc đáo

1.1.7 Vai trò của kĩ năng giải toán

Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc truyền thụ kiến thức, rèn luyện kĩ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực hiện được phải dựa trên mục đích này Việc rèn luyện kĩ năng hoạt động nói chung,

kĩ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành

Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái niệm, định nghĩa, định lí mà học sinh không thực sự nắm được bản chất của các phát biểu

đó nên không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập

Có thể nói, bài tập toán chính là “chìa khóa” để rèn luyện kĩ năng giải toán Do đó,

để rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán) Cụ thể hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh cần quan tâm chú trọng những vấn đề sau:

- Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán

- Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại

- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng

Ngoài ra, một yêu cầu hết sức quan trọng là phải kích thích hứng thú cho học sinh, khắc phục những ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lí bằng cách rèn luyện các mặt sau:

- Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó so sánh các cách giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lí kiến thức

- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán

- Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán

Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn luyện kĩ năng đóng một vai trò quan trọng góp phần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh

1.1.8 Mối quan hệ giữa kĩ năng và năng lực

Khái niệm năng lực được sử dụng nhiều trong đời sống nói chung và trong môn toán nói riêng Vậy năng lực là gì?

Theo Từ điển tiếng Việt [22]: “Năng lực như khả năng, điều kiện chủ quan

hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó hay là phẩm chất tâm sinh

lí và trình độ chuyên môn tạo cho con người khả năng hình thành một hoạt động nào đó với chất lượng cao”

Khi phân tích xu hướng toàn cầu hóa của đánh giá năng lực trong giáo dục, Kouvenhowen (2010) và Yu (2010) đã phân biệt năm cách định nghĩa năng lực

khác nhau [12]: “Năng lực là khả năng thực hiện các nhiệm vụ học tập đạt tới một

chuẩn được yêu cầu nào đó” – cách định nghĩa này gắn với sản phầm đầu ra, năng

lực đồng nghĩa với khả năng thực hiện và không nêu rõ thành phần năng lực nên không rõ ràng

Năng lực là khả năng sử dụng và lựa chọn kiến thức, kĩ năng, thái độ, v.v trong việc thực hiện một nhiệm vụ học tập chính yếu tới một chuẩn được yêu cầu nào đó – cách định nghĩa này liên quan tới năng lực cụ thể, nhưng cũng là cách định nghĩa thông dụng nhất

Năng lực là sở hữu một hệ thống kiến thức, kĩ năng, thái độ, v.v nào đó – cách định nghĩa này gắn với yếu tố đầu vào, không nhấn mạnh sự vận dụng các thành phần năng lực

Năng lực là một danh sách những gì học sinh có thể thực hiện – cách định nghĩa này cũng gắn với sản phẩm đầu ra nhưng theo hướng hành vi và cụ thể hóa

Điểm thống nhất trong các quan niệm ở trên là: Năng lực bao gồm cả kiến thức, kĩ năng, thái độ và một số yếu tố cá nhân khác

Khái niệm năng lực theo nghĩa hẹp này có thể được phân biệt với việc thực hiện một nhiệm vụ học tập, theo đó nó được thể hiện và đánh giá qua những thực hành có thể nhìn thấy được Năng lực còn có thể được định nghĩa rộng hơn: Năng lực chung là khả năng vận dụng, chuyển biến các thành phần kiến thức, kĩ năng,

thái độ, và các yếu tố cá nhân khác theo một cơ chế nào đó để thực hiện đạt chuẩn những nhiệm vụ học tập thiết yếu của một môn học

Năng lực được phân làm ba nhóm:

1.2 Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

1.2.1 Mục tiêu dạy môn Toán

Theo [19]: “Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn

diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam XHCN, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”

Từ mục tiêu giáo dục nói chung ta xây dựng mục tiêu dạy học môn toán:

- Trang bị cho học sinh những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực

- Phát triển trí tuệ cho học sinh

- Rèn luyện kĩ năng ứng dụng toán học trong nghiên cứu khoa học và thực tiễn cho học sinh

- Trau dồi những phẩm chất, tình cảm, đạo đức tốt đẹp cho học sinh

- Bảo đảm tính phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng các học sinh có năng khiếu toán học

1.2.2 Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh THPT

Rèn kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau:

- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản trong chương trình

- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là phát triển:

+ Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác

+ Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng, trí tưởng tượng trong không gian + Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,

+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo 1.3 Ý nghĩa, vai trò và chức năng của hệ thống bài tập toán

G.Polya cho rằng: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn

rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến mức độ nào đó nắm vững môn học Vậy thế nào là nắm vững môn toán? Đó là biết giải toán!” [19, tr 82] Trên cơ sở đó ta có

thể thấy rõ hơn vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường THPT

1.3.1 Vị trí và vai trò của bài tập toán

Trong dạy học toán ở trường THPT, bài tập toán có vai trò vô cùng quan

trọng, theo Nguyễn Bá Kim: “Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán

học Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động học toán Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững những tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán” [15, tr 201]

Cũng theo Nguyễn Bá Kim: “Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn

toán Điều căn bản là bài tập có vai trò mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, đinh lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động

toán học học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ” [15, tr 388]

Như vậy bài tập toán ở trường phổ thông có vị trí, vai trò quan trọng trong hoạt động dạy, học toán ở trường THPT Vì thế, cần lựa chọn các bài tập sao cho phù hợp với đối tượng và năng lực của học sinh, như thế mới phát huy được năng lực giải toán của học sinh

1.3.2 Ý nghĩa của bài tập toán

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Việc giải toán

có nhiều ý nghĩa:

Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kĩ năng Trong nhiều trường hợp, giải toán là một hình thức tốt để dẫn dắt học sinh tự mình tìm kiến thức mới

Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tiễn, vào vấn đề mới

Đó là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học

Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập của học sinh, phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện người học sinh về nhiều mặt

Việc giải bài toán cụ thể không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào mà thường bao hàm những ý nghĩa đã nêu

1.3.3 Chức năngcủa bài tập toán

Chức năng dạy học: Giúp học sinh củng cố những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở

những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề lí thuyết Thu gọn, mở rộng bổ sung cho lí thuyết trên cơ sở thường xuyên hệ thống hóa kiến thức mà nhấn mạnh phần trọng tâm của lí thuyết Đặc biệt hệ thống bài tập còn mang tác dụng giáo dục kĩ thuật tổng hợp thể hiện qua việc giúp học sinh: Thói quen đặt vấn đề một cách hợp lí, ngắn gọn, tiết kiệm thời gian và phương pháp tư duy; Rèn luyện kĩ năng tính toán, sử dụng đồ thị, bảng biến thiên và cuối cùng là rèn luyện kĩ năng thực hành toán học

Chức năng giáo dục: Giúp học sinh hình thành thế giới quan duy vật biện

chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới, rèn luyện cho học sinh đức tính kiên nhẫn, chính xác, chu đáo trong học tập, từng bước nâng cao hứng thú học tập môn toán, phát triển trí thông minh sáng tạo

Chức năng phát triển: Giúp học sinh ngày càng nâng cao khả năng độc lập

suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, suy diễn, quy nạp, tương tự Thông thạo một số phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giải quyết vấn đề một cách thông minh sáng tạo

Chức năng kiểm tra: Thông qua hệ thống bài tập, giáo viên có thể kiểm tra,

đánh giá kết quả học tập của học sinh trong quá trình dạy học Kiểm tra, đánh giá nhằm cung cấp cho giáo viên và học sinh những thông tin về kết quả dạy và học: Về kiến thức, kĩ năng, năng lực giải toán và hiệu quả dạy học của giáo viên

1.4 Thực tiễn dạy học giải các bài toán phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số

1.4.1 Thực trạng việc rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số ở trường THPT Thành Đông và trường THPT Hồng Quang – Thành phố Hải Dương

Đối với giáo viên

 Giáo viên dạy chủ yếu thông qua hình thức dạy học chuyên đề và ôn luyện đan xen vào các tiết tự chọn trên lớp

 Nội dung của đề tài chưa có một phần cụ thể nào trong sách giáo khoa THPT

 Giáo viên mất nhiều thời gian để tìm tòi cơ sở lí thuyết và xây dựng

 Thời gian để giáo viên hướng dẫn và chữa bài tập cho học sinh không nhiều

 Đối với giáo viên không chủ chốt trong tổ chuyên môn ít có cơ hội dạy đội tuyển và dạy luyện thi Đại học thì việc phân loại bài tập, trình bày lời giải còn hạn chế và đôi lúc còn mắc sai lầm

Đối với học sinh

 Học sinh thường có hứng thú với những vấn đề giáo viên đặt ra lúc bắt đầu giờ học Tuy nhiên, khi học đến các định nghĩa và xây dựng các định lí, hệ quả thì học sinh lại thấy trừu tượng, khó hiểu và mơ hồ khi vận dụng làm bài tập Những học sinh trung bình thì chưa thể hiểu kĩ về lí thuyết và vận dụng ngay vào bài tập

 Nhiều học sinh hiểu chưa kĩ các khái niệm, định nghĩa và các ví dụ mẫu dẫn đến trình bày lời giải bài toán chưa khoa học và còn mắc nhiều sai lầm

 Khả năng tìm tòi tự học của đa số học sinh còn hạn chế và khi học chưa có khả năng rút kinh nghiệm, hệ thống dạng bài tập

 Nhiều học sinh chưa biết nhiều về các phương pháp giải toán, các kĩ năng, kĩ xảo để xử lí những dạng bài tập phức tạp

1.4.2 Những khó khăn và sai lầm của học sinh trong giải phương trình và bất phương trình

Sau khi học xong chuyên đề ứng dụng phương pháp hàm số để giải toán lúc vận dụng học sinh còn mắc nhiều sai lầm về lí thuyết, chẳng hạn ta xem xét các bài toán sau

Bài toán 1 Giải phương trình cosx= - x+1

Phân tích Có một số học sinh đã thực hiện lời giải bài toán này như sau:

Phương trình đã cho tương đương với x+ cosx- 1= 0 (*) Xét hàm số f x( )= x+ cosx- 1, x Î ¡

Ta có f x'( )= -1 sinx³ 0, suy ra hàm số f x đồng biến trên ¡ , mà ta lại có ( )(0) 0

f = Từ đó phương trình (*) là ở dạng f x( )= f(0)Û x= 0 là nghiệm của phương trình đã cho Nguyên nhân sai lầm ở đây là học sinh chưa nắm kĩ khái niệm tính đơn điệu của hàm số, đó là ngoài f x ³'( ) 0 phải chú ý rằng còn phải xét '( ) 0

f x = tại một số điểm hữu hạn thì hàm số mới đồng biến, rõ ràng lời giải này ta

thấy f x ='( ) 0 cho ta 2 , ( )

2

x= p + k p kÎ ¢ là vô số điểm nên chưa thể khẳng định chắc chắn hàm số đang xét đồng biến trên ¡ được

Bài toán 2 Giải phương trình 2+ x- 3- x+ x2+ 5x- 15= 0

Phân tích Sai lầm học sinh khi thực hiện lời giải bài tập này là ở chỗ tập xác định

của phương trình là D= -[ 2;3] nên khi tính đạo hàm của hàm số

Phân tích Với một số học sinh có biết chút ít về phương pháp hàm số sẽ nhận thấy

bất phương trình (1) có thể xét được hàm số đặc trưng và lập luận cho kết quả là

(0; )

x Î + ¥ thì f x( )> f x( 2) không thể cho ta kết quả x> x2 Û 0< x<1

Bài toán 4 Giải phương trình 18 3x x= - 27.3x+ 2x+ 5

Phân tích Bài tập này tác giả đã ra cho học sinh về nhà học theo Đã có một số học

sinh đưa ra lời giải, có một số học sinh đã không làm được và đã hỏi giáo viên dạy trên lớp và tác giả thấy rằng những lời giải đều không chính xác Hầu hết các em đều cho kết quả nghiệm là x = - 1, các em đều quên rằng khi biến đổi phương trình

điệu trên từng khoảng ; 3

ç- + ¥ ÷

çè ø khi đó đồ thị hàm số ( )f x có hai nhánh nên số nghiệm của phương trình có thể là hai và kết quả bài này ngoài

nghiệm x = - 1 còn có nghiệm nữa là x = - 3

Bài toán 5 Giải bất phương trình 2 3 x x> 3x+ 2x+ 1

Phân tích Bài tập này tác giả đã ra cho học sinh về nhà học theo Đã có một số học

sinh đưa ra lời giải, có một số học sinh đã không làm được và đã hỏi giáo viên dạy

trên lớp và tác giả thấy rằng những lời giải đều không chính xác Hầu hết các em

đều cho kết quả nghiệm là x > , các em đều quên rằng khi biến đổi bất phương 1

ç + ¥ ÷

çè ø khi đó đồ thị hàm số ( )f x có hai nhánh nên nghiệm của bất

phương trình ngoài nghiệm x > còn có nghiệm nữa là 1 1

ïîVậy phương trình có nghiệm là x = 0.

Phân tích Ta thấy lời giải 2 cho kết quả chính xác, nguyên nhân lời giải 1 sai lầm

là:

Việc xét hàm số f t( )= t2- t, với 1

2

t ³ trong lời giải 1 là chưa chuẩn xác, bởi vì

biến t lại là một hàm số của biến x Cụ thể là t= 2x+ , nên khi 1 1

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN RÈN LUYỆN KĨ NĂNG

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 2.1 Nội dung phần giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số ở THPT

2.1.1 Mục tiêu và nhiệm vụ của dạy học giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số ở THPT

Giúp học sinh

- Về kiến thức

 Nắm vững được các công thức tính đạo hàm, xét dấu một biểu thức

 Nắm vững được khái niệm về tính đồng biến và nghịch biến của hàm

 Tính và nhẩm được nghiệm của phương trình và bất phương trình

 Viết chính xác điều kiện của phương trình và bất phương trình

 Tính thành thạo đạo hàm của hàm số và xét được dấu của biểu thức

 Phát triển cho học sinh tư duy logic, trực quan, khái quát hóa, đặc biệt

hóa, tư duy phân tích và tổng hợp dạng bài tập

- Thái độ

 Thái độ học tập nghiêm túc cẩn thận khi làm việc và hướng đến sự

phát triển toàn diện

ở lớp 11, có kiến thức về tính liên tục của hàm số, kiến thức về sự tồn tại nghiệm của phương trình, có kiến thức về đạo hàm ở lớp 11 và lớp 12, có kiến thức về khảo sát hàm số ở đầu lớp 12 và kiến thức về phương trình mũ và lôgarit Vì vậy ta có thể tiến hành dạy học sinh vào tuần thứ 11 của năm học tức là khoảng thời gian từ giữa tháng 11 trở đi, tất nhiên với những học sinh khá giỏi ta có thể dạy trước để chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh

2.2 Phân tích cơ sở lí thuyết giải phương trình và bất phương trình bằng phương pháp hàm số

2.2.1 Dấu hiệu của đạo hàm về tính đơn điệu của hàm số

Định lí

Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K (Kí hiệu K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

a) Nếu f x >'( ) 0 với mọi x thuộc K thì ( ) f x đồng biến trên K

b) Nếu f x <'( ) 0 với mọi x thuộc K thì ( ) f x nghịch biến trên K

(Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K )

Chú ý Ta có định lí mở rộng sau đây

Giả sử hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K và f x ='( ) 0 tại một số hữu hạn điểm trên K

a) Nếu f x ³'( ) 0 với mọi x thuộc K thì ( ) f x đồng biến trên K

b) Nếu f x £'( ) 0 với mọi x thuộc K thì ( ) f x nghịch biến trên K

2.2.2 Dấu hiệu của đạo hàm về sự tồn tại nghiệm của phương trình

Định lí

Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [a b và nếu ; ] f a f b <( ) ( ) 0 thì phương trình ( ) f x = 0 có nghiệm trên khoảng ( a b ; )

2.2.3 Các kết quả giải toán

Kết quả 1 Xét với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

Hàm số y= f x( ) liên tục và đơn điệu trên khoảng K thì phương trình f x( )= k,

( k là hằng số) có nhiều nhất một nghiệm trên K (có thể phương trình không có nghiệm trên K )

Kết quả 2 Xét với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

Hàm số y= f x( ) liên tục và đơn điệu trên K

Kết quả 4 Xét với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

Nếu hàm số ( )f x liên tục và đồng biến (nghịch biến) trên K , hàm số ( ) g x liên tục

và nghịch biến (đồng biến) trên K thì phương trình ( ) f x = g x( )nếu có nghiệm trên

K thì có nghiệm duy nhất

Kết quả 5

+ Nếu hàm số ( )f x liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( ; ) a b Phương trình ( ) f x =0

có n nghiệm trên khoảng ( ; ) a b thì phương trình f x ='( ) 0 có n - 1 nghiệm trên khoảng ( ; ).a b

+ Cho hàm số f x có đạo hàm đến cấp k liên tục trên khoảng ( ; )( ) a b Nếu phương

trình f( )k ( )x có đúng n nghiệm thì phương trình f(k-1)( )x có nhiều nhất n + 1nghiệm

Kết quả 6 Nếu hàm số f x đồng biến trên khoảng K và ( ) x y, Î K thì

y= f x đơn điệu trên K

Phương pháp giải bài tập

- Viết điều kiện K của phương trình

- Nhẩm nghiệm a Î K của phương trình (có thể dùng máy tính bỏ túi giải trước)

- Xét hàm số ( )f x trên K và tính đạo hàm của ( ) f x

- Nếu hàm số f x đơn điệu trên K thì viết ( ) k= f a( ) và khi đó phương trình ( )

f x = k có dạng ( )f x = f( )a Û x= a là nghiệm của phương trình ( hoặc có thể lập luận phương trình ( )f x = k có nghiệm duy nhất trên K đó là a )

Thông thường thì dạng phương trình này chỉ có một nghiệm duy nhất và trong các bài tập dưới đây các hàm số ta xét đều luôn liên tục và có đạo hàm trên tập đã cho

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

5) x2+15+ 2= x2+ 8+ 3x;

6) 3- x+ x2- 2+ x- x2 = ;1

7) x+ 2- x- 1 2+ x + x- 2 = 4

fæ öçç ÷çè ø÷÷= nên phương trình trên có dạng

Ví dụ trên có dạng tổng quát f x( )+ g x( )= h x( ) tuy nhiên nếu bình phương

2 vế sẽ thu được một phương trình rất phức tạp, trong trường hợp này với kĩ năng

giải phương trình dùng hàm số sẽ đơn giản hơn nhiều

5) x2+15+ 2= x2+ 8+ 3x

Khi đó (1) Û 5- t- t = 1 (2) ĐK: 0£ t£ 5.

 Thấy rằng t = 0, t = 5 không là nghiệm của phương trình (2)

-và f(t) liên tục trên đoạn [0;5] nên f(t) đồng biến trên đoạn (0; 5)

mà f(1) = 1 nên t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2)

Khi đó ta có 2+ x- x2= , giải phương trình ta được nghiệm của (1) là 1

Trong một số trường hợp, với kĩ năng đổi biến rồi mới xét hàm số theo biến mới sẽ

giảm thiểu độ phức tạp và “cồng kềnh” trong lời giải

f x > Suy ra hàm số f x đồng biến trên khoảng (1;( ) + ¥ ) và do f(2)= 4nên phương trình trên có dạng

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2

Bài luyện tập Giải các phương trình sau:

7) x- 1+ x+ 6= x+ 79;

28) ( x+ 5- x- 3)(1+ x + 2x- 15)= 8

2.3.1.2 Dạng phương trình ( ) f x = k , trong đó k là hằng số và hàm số y= f x( )

đơn điệu trên từng khoảng hoặc phương trình f x ='( ) 0 có nghiệm

Phương pháp giải bài tập

- Viết điều kiện K của phương trình

- Nhẩm các nghiệm thuộc K của phương trình (có thể dùng máy tính bỏ túi giải

trước)

- Xét hàm số ( )f x trên K và tính đạo hàm của ( ) f x

- Xét tính đơn điệu của hàm số ( )f x trên các khoảng của K hoặc có thể lập bảng

biến thiên của hàm số

- Trên mỗi khoảng đơn điệu của hàm số ( )f x thì phương trình ( ) f x có nhiều nhất

một nghiệm hoặc dựa vào bảng biến thiên của f x để suy ra số nghiệm của ( )phương trình đã cho

- Kết hợp với quá trình nhẩm nghiệm của bước trên cho ta tập nghiệm

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau:

1) 7- x+ 1+ x = +1 7;

22) x- 2+ 7- x= x - 9x+ 21;

23) x+ 7- 2x- x + 5- x+ 3+ x = 7;

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f x = +( ) 1 7 có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy x= 0, x= 6 là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x = 6

22) x- 2+ 7- x= x - 9x+ 21

x

2 9

2 7 '( )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x= 3,x= 6

- Bài toán này có thể giải bằng cách sử dụng biểu thức liên hợp, tuy nhiên việc xác định được biểu thức liên hợp đối với học sinh là tương đối khó khăn

23) x+ 7- 2x- x + 5- x+ 3+ x = 7