Rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình vô tỷ cho học sinh khá giỏi trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC --- *** *** --- ĐINH CÔNG HUẤN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC - *** *** -

ĐINH CÔNG HUẤN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI TRUNG HỌC PHỔ

THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐINH CÔNG HUẤN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI-2013

LỜI CẢM ƠN

Luận văn trình bày đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình và bất phương trình vô tỷ cho học sinh khá giỏi trung học phổ thông”, được thực hiện tại trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội, với sự chỉ bảo tận tình và trực tiếp hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS.Nguyễn Minh Tuấn Kết quả của luận văn đã gắn liền với những giúp đỡ hiệu quả và sự nhiệt tình giảng dạy của các thầy giáo, cô giáo trong thời gian học tập Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo và các em học sinh trường THPT Xuân Trường A – Nam Định, trường THPT Xuân Trường B – Nam Định đã tạo điều kiện thuận lợi, tiếp thêm động lực để tác giả hoàn thành luận văn Luận văn cũng được

sự quan tâm giúp đỡ của bạn bè, đồng nghiệp, của lớp Cao học Toán K7 Trường Đại học Giáo Dục – Đại học Quốc Gia Hà Nội Đặc biệt, gia đình là nguồn động viên cổ vũ to lớn đã tiếp thêm sức mạnh cho tác giả trong suốt những năm tháng học tập và thực hiện đề tài

Tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về tất cả những giúp

đỡ quý báu đó

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn chắc không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Tác giả mong được tiếp thu những ý kiến đóng góp quý báu của thầy giáo, cô giáo, các bạn đồng nghiệp và tất cả đọc giả quan tâm đến đề tài

Trân trọng!

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Nhà xuất bản Sách giáo khoa Trung học phổ thông Thực nghiệm

Vế phải

Vế trái

Xã hội chủ nghĩa

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn……… i

Danh mục viết tắt……… ii

Mục lục……… iii

Danh mục các bảng……… vi

Danh mục sơ đồ……… vii

MỞ ĐẦU……… 1

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN………

1.1 Kĩ năng và kĩ năng giải toán………

1.1.1 Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán………

1.1.2 Sự hình thành kĩ năng………

1.1.3 Điều kiện để có kĩ năng………

1.1.4 Các mức độ của kĩ năng giải toán………

1.2 Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh………

1.2.1 Mục tiêu dạy môn toán………

1.2.2.Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trung học phổ thông………

1.3 Vai trò của bài tập toán học………

1.4 Những phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ… 1.5 Giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh………

1.5.1 Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực,

độc lập của học sinh trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luện kĩ

4

4

4

4

6

6

7

7

7

8

8

9

1.5.2 Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho học sinh……

1.5.3 Quy trình hình thành kĩ năng giải phương trình và bất phương trình vô tỉ cho học sinh………

Kết luận chương 1………

Chương 2: RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CHO HỌC SINH………

2.1 Rèn luyện kĩ năng giải phương trình vô tỉ………

2.1.1 Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương………

2.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ………

2.1.3 Phương pháp lượng giác………

2.1.4 Một số phương pháp khác………

2.2 Rèn luyện kĩ năng giải bất phương trình vô tỉ ………

2.2.1 Phương pháp biến đổi tương đương………

2.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ………

2.2.3 Một số phương pháp khác………

2.3 Cấu trúc nội dung phần phương trình, bất phương trình vô tỉ……

2.3.1 Mục tiêu chung ………

2.3.2 Cấu trúc nội dung………

2.4 Một số giáo án minh họa………

2.4.1 Bài giảng số 1: Sử dụng phương pháp tương đương dạy học phần nội dung phương trình vô tỉ………

2.4.2 Bài giảng số 2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ dạy học nội dung bất phương trình vô tỉ………

9

10

11

12

13

13

13

21

41

46

58

58

63

67

70

70

71

72

72

PHỤ LỤC 102

Kết luận chương 2………

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM………

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm………

3.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm………

3.3 Nội dung thực nghiệm sư phạm………

3.4 Phương pháp thực nghiệm sư phạm………

3.4.1 Kế hoạch………

3.4.2 Tiến hành thực nghiệm sư phạm………

3.5 Kết quả thực nghiệm sư phạm………

3.5.1 Kết quả thực nghiệm sư phạm………

3.5.2 Xử lí kết quả thực nghiệm sư phạm………

3.5.3 Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm

Kết luận chương 3………

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

80 88 89 89 89 89 90 90 90 91 91 92 1 Kết luận 100

2 Khuyến nghị 100

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 101

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang Bảng 3.1 Kết quả hai bài kiểm tra………

Bảng 3.2 Bảng phân phối tần suất và tần suất tích lũy điểm kiểm tra

trường THPT Xuân Trường A………

Bảng 3.3 Bảng phân phối tần suất và tần suất tích lũy điểm kiểm tra

trường THPT Xuân Trường B………

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Trang

Đồ thị 1 Đồ thị phân phối tần suất trường THPT Xuân Trường A………

Đồ thị 2 Đồ thị phân phối tần suất tích lũy trường THPT Xuân

Trường A

Đồ thị 3 Đồ thị phân phối tần suất trường THPT Xuân Trường B…… …

Đồ thị 4 Đồ thị phân phối tần suất tích lũy trường THPT Xuân

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Theo điều 23 luật giáo dục Việt Nam quy định: Mục tiêu giáo dục phổ

thông của chúng ta là.“ Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ,

thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nghiệm cộng đồng, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ tổ quốc” Để thực hiện mục tiêu này Điều 24,

luật giáo dục quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính

tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh,…, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ răng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Trong các môn học ở bậc trung học phổ thông, môn toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển trí tuệ cho học sinh, cung cấp cho các em kiến thức

cơ bản, cần thiết để học tập các môn học khác và giải quyết một số bài toán thực tiễn

Theo nhà giáo nhân dân, GS Nguyễn Cảnh Toàn: “Dạy toán là dạy kiến

thức, kĩ năng, tư duy và tính cách” Trong đó kĩ năng có một vị trí đặc biệt

quan trọng, bởi vì không có kĩ năng thì không thể phát triển được tư duy và lối thoát cho bài toán Giải phương trình và bất phương trình vô tỉ là một nội dung quan trọng của môn toán ở bậc trung học phổ thông Nội dung về phương trình và bất phương trình vô tỉ cũng hay gặp trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi Trong trường trung học phổ thông thời gian để dạy phần này là rất ít, các bài tập trong sách giáo khoa chỉ dừng lại những bài tập rất cơ bản Để giải được phương trình và bất phương vô tỉ không mẫu mực cần phải sử dụng nhiều kĩ năng Cho nên việc giải phương trình và bất phương vô tỉ trong các kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi là một khó khăn lớn đối với học sinh trung học phổ thông

Vì những lí do trên Nên tôi đã lựa chọn đề tài “ Rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình vô tỉ cho học sinh khá giỏi trung học phổ thông”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

-Mục đích nghiên cứu: Đề xuất giải pháp rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình vô tỉ

-Nhiệm vụ nghiên cứu:

+) Nghiên cứu lí luận về kĩ năng giải toán, giải bài tập toán

+) Nghiên cứu các kĩ năng chủ yếu khi giải phương trình và bất phương trình vô tỉ

+) Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài

3 Phạm vi nghiên cứu

- Quá trình dạy học phần phương trình và bất phương trình vô tỉ

- Học sinh khối 10 Trường THPT Xuân Trường A và THPT Xuân

Trường B - Xuân Trường - Nam Định

4 Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Là quá trình dạy học giải phương trình và bất phương trình vô tỉ ở trường trung học phổ thông

- Khách thể nghiên cứu: Chương trình nghiên cứu sách giáo khoa cơ bản

và nâng cao lớp 10 ở trường trung học phổ thông

5 Mẫu khảo sát

Học sinh lớp 10 năm học 2013-2014 trường THPT Xuân Trường A và THPT Xuân Trường B - Xuân Trường - Nam Định

6 Vấn đề nghiên cứu

+) Các kĩ năng giải phương trình và bất phương trình vô tỉ

+) Giải pháp để rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình

vô tỉ

7 Giả thuyết nghiên cứu

Nếu hệ thống được các kĩ năng giải phương trình và bất phương trình vô

tỉ, nhận dạng được một số loại phương trình và bất phương trình vô tỉ, lựa chọn được các ví dụ, các bài tập và có biện pháp rèn luyện kĩ năng thì sẽ giúp các em học sinh học tốt nội dung phương trình, bất phương trình vô tỉ và tạo được hứng thú để học môn toán

8 Phương pháp nghiên cứu

+) Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận về rèn luyện kĩ năng giải toán,

về dạy học giải bài tập toán

+) Điều tra, quan sát: Sử dụng phiếu điều tra về tình hình dạy và học phương trình và bất phương trình vô tỉ

+) Thực nghiệm sư phạm: Soạn và dạy thực nghiệm một số giáo án về giải phương trình và bất phương trình vô tỉ để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục, nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình vô

tỉ cho học sinh

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Kĩ năng và kĩ năng giải toán

1.1.1 Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán

Khái niệm “kĩ năng” được sử dụng nhiều trong môn toán cũng như trong đời sống Vậy kĩ năng là gì?

Theo [12]“kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay các

khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định”

Theo [13]“kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực

tiễn” Trong đó khả năng được hiểu là sức đã có về mặt nào đó để có thể làm

tốt việc gì

Theo [5]“kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu

biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kĩ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định, kĩ năng là khả năng làm việc có phương pháp”

Theo [4]“Trong toán học kĩ năng là khả năng giải bài toán, thực hiện

các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”

Từ những quan niệm trên về kĩ năng tôi cho rằng: Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng những kiến thức trong nội dung môn toán bao gồm: Định nghĩa, khái niệm, định lý, thuật giải, phương pháp…và kiến thức một số môn học khác cũng như kiến thức thực tế để giải quyết những bài toán

1.1.2 Sự hình thành kĩ năng

Theo từ điển giáo dục học, để hình thành được kĩ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu…Do kiến

thức là cơ sở của kĩ năng cho nên tùy theo kiến thức học sinh cần nắm được

mà có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng

Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra các khía cạnh và những thuộc tính mới Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp trừu tượng hóa và khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt nào đó của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho

Con đường hình thành kĩ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào các tham số như: Kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rèn luyện kĩ năng, mức độ tích cực, chủ động của học sinh…Có hai con đường để hình thành kĩ năng cho học sinh dó là:

-Truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán vận dụng những tri thức đó Từ đó học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải, bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm (Thử các phương pháp rồi tìm ra phương pháp tối ưu), qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động

-Dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xác định được đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối giải đó vào bài toán cụ thể

Thực chất của sự hình thành kĩ năng là tạo dựng cho học sinh khả năng nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong bài toán

Khi hình thành kĩ năng cho học sinh cần tiến hành:

-Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

-Giúp cho học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải các bài toán cùng loại

-Xác lập được mối liên quan giữa bài toán mô hình khái quát và kiến thức tương ứng

Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng: Sự dễ dàng hay khó khăn trong sự vận dụng kiến thức phụ thuộc ở khả năng nhận dạng kiểu nhiệm vụ, dạng bài tập tức là tìm kiếm phát hiện những thuộc tính và quan hệ vốn có trong nhiệm vụ hay bài tập để thực hiện một mục đích nhất định

Sự hình thành kĩ năng bị ảnh hưởng bởi các yếu tố sau đây:

-Nội dung của bài tập, nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm chênh lệch hướng tư duy có ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng

-Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng Vì thế tạo tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp học sinh trong việc hình thành kĩ năng

-Có khả năng khái quát hóa đối tượng một cách toàn thể

1.1.3.Điều kiện để có kĩ năng

Muốn có kĩ năng về hành động nào đó chủ thể cần phải:

- Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đến kết quả, để thực hiện hành động

- Tiến hành hành động đối với yêu cầu đã đề ra

- Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra

- Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau

- Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ năng nhưng phải trải qua thời gian đủ dài

1.1.4 Các mức độ của kĩ năng giải toán

Kĩ năng giải bài tập toán có thể chia thành ba mức độ:

- Biết làm: Vận dụng được lý thuyết để giải những bài tập cơ bản, hình thành các thao tác cơ bản như: Viết các đại lượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức, kí hiệu,…giải được những bài tập tương tự như bài

- Thành thạo: Học sinh có thể giải nhanh, ngắn gọn, chính xác các bài toán theo cách giải đã biết

- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Tìm ra được những cách giải ngắn gọn, chuyển hóa vấn đề khéo léo, cách giải quyết vấn đề độc đáo

1.2 Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

1.2.1 Mục tiêu dạy môn toán

Mục tiêu dạy môn học toán nằm trong mục tiêu giáo dục nói chung:

“ Mục tiêu giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực

cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người việt nam XHCN, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân Chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng bảo

vệ tổ quốc” (Theo luật giáo dục Việt Nam (chỉnh sửa và bổ xung năm 2005))

Cụ thể hóa mục tiêu này ta có mục tiêu dạy học môn toán là:

- Trang bị cho học sinh những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực

- Phát triển trí tuệ cho học sinh

- Rèn luyện kĩ năng ứng dụng toán học trong nghiên cứu khoa học và thực tiễn cho học sinh

- Trau dồi những phẩm chất, tình cảm, đạo đức tốt đẹp cho học sinh

- Bảo đảm tính phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng các học sinh

có năng khiếu toán học

Các mục tiêu thể hiện sự toàn diện, thống nhất và có quan hệ mật thiết,

hỗ trợ, bổ sung cho nhau Trong các mục tiêu trên, mục tiêu phát triển trí tuệ cho học sinh được đặt lên hàng đầu

1.2.2.Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trung học phổ thông

Việc rèn luyện kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết sau:

- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản trong chương trình

- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ Cụ thể là phát triển:

+ Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác

+ Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng trong không gian

+ Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa…

+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo

1.3 Vai trò của bài tập toán học

Theo Nguyễn Bá Kim (2006), Phương pháp dạy học môn toán, bài tập

có vai trò quan trọng trong bộ môn toán Thông qua việc giải bài tập học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí… những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Những bài tập cũng thể hiện những khả năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán: Hình thành củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn, phát triển năng lực trí tuệ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng… Thông qua bài tập, giáo viên có thể hoàn chỉnh hay bổ sung những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết Điều quan trọng hơn cả là thông qua bài tập giáo viên sẽ rèn luyện kĩ năng giải toán cho hoc sinh

Giáo viên cần đặt cho học sinh những câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh nhận biết sử dụng những câu hỏi này như công cụ kích thích sự tìm tòi, phát hiện để thực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán

1.4 Những phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ

Để giải phương trình và bất phương trình vô tỉ ta có các phương pháp sau:

- Phương pháp biến đổi tương đương

- Phương pháp đặt ẩn phụ

- Phương pháp lượng giác

- Phương pháp đánh giá

1.5 Giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

Để rèn luyện được kĩ năng giải toán cho học sinh cần có một giải pháp đồng bộ bao gồm các hoạt động sau:

1.5.1 Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập của học sinh trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luện kĩ năng

Tổ chức các hoạt động nhằm mục đích giúp học sinh nắm một cách vững chắc và có hệ thống các kiến thức qui định trong chương trình Căn cứ vào chương trình, sách giáo viên mà mỗi thầy cô giáo cần phải xác định và chọn lọc các kiến thức và kĩ năng để trang bị cho học sinh

Để tổ chức được các hoạt động học tập mà ở đó học sinh chủ động, tích cực thì giáo viên cần:

- Tạo những tình huống gợi ra những hoạt động tương thích với nội dung

và mục tiêu dạy học

- Có sự giao lưu giữa học sinh với học sinh, giữa giáo viên với học sinh

- Điều chỉnh hoạt động học tập: Giúp đỡ học sinh vượt qua khó khăn bằng cách phân tách một hoạt động thành những phần đơn giản hơn, đặt một

số câu hỏi có tính chất gợi ý, cung cấp cho học sinh một số tri thức phương pháp và nói chung là điều chỉnh mức độ khó khăn của nhiệm vụ

- Giúp học sinh xác nhận những tri thức đã đạt được trong quá trình hoạt động, đưa ra những nhận xét cần thiết để học sinh hiểu tri thức đó một cách sâu sắc và đầy đủ hơn

Ngoài ra để rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh thì giáo viên cần:

- Hướng dẫn học sinh tìm lời giải ở bài tập mẫu, cho các em làm bài tập tương tự nhằm giúp các em rèn luyện kĩ năng

- Xác định hệ thống bài tập toán học chủ yếu để học sinh rèn luyện kĩ năng giải các bài tập cơ bản, bài tập nâng cao

- Xây dựng sơ đồ định hướng khái quát, các thuật toán giải mỗi dạng bài tập

- Sử dụng hệ thống bài tập sau mỗi bài, mỗi chương để giúp học sinh luyện tập theo mẫu, không theo mẫu, tìm nhiều lời giải cho một bài tập

1.5.2 Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho học sinh

Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh giải toán theo qui trình bốn bước của polya rồi từ đó hình thành kĩ năng giải toán theo quy trình này

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

- Phát biểu đề bài dưới dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, cái chứng minh

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài Bước 2: Tìm cách giải

- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tiên đoán Biến đổi cái đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho, cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán tương tự, một trường hợp riêng, một trường hợp tổng quát,…

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem kĩ lại từng bước thực hiện

- Tìm những cách giải khác, so sánh chúng để tìm được cách hợp lí nhất Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

1.5.3 Quy trình hình thành kĩ năng giải phương trình và bất phương trình

vô tỉ cho học sinh

Theo tôi quy trình hình thành kĩ năng giải phương trình và bất phương trình vô tỉ cho học sinh gồm ba bước sau:

Bước 1: Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán mẫu ở trên lớp, có phân tích phương pháp suy nghĩ, tìm lời giải, lưu ý cho học sinh những điểm cần thiết

Bước 2: Học sinh tự rèn luyện kĩ năng giải toán theo hệ thống bài toán

có chủ định của giáo viên, giáo viên phân tích, khắc phục những khó khăn, thiếu sót cho học sinh

Bước 3: Rèn luyện kĩ năng giải toán ở mức độ cao hơn, tổng hợp hơn

Kết luận chương 1

Trong chương này trình bày một số vấn đề thuộc về lí luận liên quan đến

kĩ năng giải toán đó là: Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán, sự hình thành kĩ năng, điều kiện để có kĩ năng, các mức độ của kĩ năng giải toán và nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

Ngoài ra còn trình bày về vai trò của bài tập toán học Định hướng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh Nội dung phương trình và bất phương trình vô tỉ là một trong những nội dung tương đối khó với học sinh mà thời gian để giảng dạy phần này cũng không nhiều Do đó giải pháp rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình vô tỉ cần được quan tâm nhiều

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CHO HỌC SINH 2.1 Rèn luyện kĩ năng giải phương trình vô tỉ

2.1.1 Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

2

x x

x x

Đối chiếu với điều kiện ta có x 0 thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là x 0

x x

x x

Vậy nghiệm của phương trình là x 1

Nhận xét: Do ta chưa xác định được hai vế của phương trình  1 không

âm nên khi bình phương hai vế của phương trình  1 ta chỉ thu được phương trình hệ quả

Khi giải phương trình: f x( )  g x( )  h x( )  k x( )

Nếu f x( ) h x( ) g x( ) k x( ). hoặc f x h x( ) ( ) g x k x( ) ( ) Thì phương trình

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x  g x  h x  k x  f x  h x  k x  g x Rồi bình phương hai vế đưa về phương trình hệ quả

2 0

x x

x x

3 17 4

5 13 4

3 17 4

5 13

4

x x x x x x

x x x

7 7

Nhận xét: Giải phương trình: f x g x( ) ( )  f x h x( ) ( )  f x k x( ) ( )  *

Nếu f x ( ) 0 thì  *  g x( )  h x( )  k x( ) Sau đó bình phương hai vế

Nếu f x ( ) 0 thì  *  g x( )  h x( )  k x( ) Sau đó bình phương hai vế

Bài tập Giải các phương trình sau:

Vậy nghiệm của phương trình là x 5

Bài tập Giải các phương trình sau:

Lời Giải Phương trình đã cho tương đương với

Bài tập Giải các phương trình sau:

Ta nhận thấy: x 2 là nghiệm của phương trình, như vậy phương trình có thể phân tích về dạng (x 2) ( ) 0.A x 

nên phương trình  * có nghiệm x 2

Vậy nghiệm của phương trình là x 2

Bài tập Giải các phương trình sau:

Dạng 1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình đại số không

còn chứa căn với ẩn mới là ẩn phụ

Điều kiện của t tùy thuộc vào điều kiện của biểu thức f x 

Các bài toán không thuộc các dạng cơ bản như trên thì tùy thuộc vào đầu bài ta lựa chọn cách đặt ẩn phụ khác nhau

Ví dụ 1 Giải phương trình

Lời giải Điều kiện: 2

5 17 2

5 17

2

Ví dụ 3 Giải phương trình sau

Vậy nghiệm của phương trình là x 1

Bài tập Giải các phương trình sau:

x x

t t t

Bài tập Giải các phương trình sau:

7 2 x  2  5 x  1.

 2 3

8 2x  5x  1 7 x  1.

Dạng 2 Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một phương

trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x

0 0

5 3

x

x x

Lời giải Điều kiện: x2   1 0,  x .

 Ta thực hiện qua các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong phương trình có nghĩa

Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng f x ;  x  0

Bước 3: Đặt y  x , ta biến đổi phương trình thành hệ

Để sử dụng được phương pháp gải trên ta phải biến đổi phương trình ban đầu

về dạng thỏa mãn điều kiện (*) Nếu việc biến đổi đó gặp khó khăn ta có thể đặt dy e  ax b , cố tình đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng ta tìm được d e,

2 2

5 29 2

5 29

2

12 2 7