Chương 2. Đạo hàm riêng

Một cách trực quan, hàm hai biến giống như các mũi tên (Hình 1), trong đó miền D được biểu thị như là một tập con của mặt phẳng xy và miền giá trị là tập các số trên đường th[r]

MỤC LỤC

CHƯƠNG ĐẠO HÀM RIÊNG

2.1 Hàm nhiều biến

2.1.1 Hàm hai biến

2.1.2 Đồ thị

2.1.3 Đường mức

2.1.4 Hàm ba nhiều biến

2.2 Giới hạn liên tục

2.2.1 Giới hạn

2.2.2 Sự liên tục 13

2.2.3 Hàm ba nhiều biến 14

2.3 Đạo hàm riêng 15

2.3.1 Khái niệm đạo hàm riêng 15

2.3.2 Ý nghĩa đạo hàm riêng 17

2.3.3 Hàm nhiều hai biến 18

2.3.4 Đạo hàm cấp cao 19

2.4 Mặt phẳng tiếp diện xấp xỉ tuyến tính 20

2.4.1 Mặt phẳng tiếp diện 20

2.4.2 Xấp xỉ tuyến tính 22

2.4.3 Vi phân 23

2.4.4 Các hàm ba nhiều biến 25

2.5 Quy tắc dây chuyền 25

2.5.1 Đạo hàm hàm ẩn 28

2.6 Đạo hàm theo hướng véc tơ gradient 29

2.6.1 Đạo hàm theo hướng 29

2.6.2 Véc tơ gradient 31

2.6.3 Hàm ba biến 32

2.6.4 Cực đại đạo hàm theo hướng 33

2.6.5 Mặt phẳng tiếp diện mặt mức 34

2.6.6 Tầm quan trọng véc tơ gradient 35

2.7 Các giá trị lớn nhỏ 36

2.7.1 Cực đại địa phương cực tiểu địa phương 36

2.7.2 Cực trị tuyệt đối 41

2.8 Nhân tử Lagrange 42

2.8.1 Phương pháp nhân tử Lagrange 42

Trang

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM RIÊNG

2.1 Hàm nhiều biến

Trong phần xem xét hàm hai nhiều biến theo bốn cách nhìn

 Lời nói (Theo mơ tả lời)

 Số (Theo bảng giá trị)

 Đại số (Theo biểu thức tường minh)

 Trực quan (Theo đồ thị) 2.1.1 Hàm hai biến

Nhiệt độ điểm bề mặt trái đất thời gian phụ thuộc vào kinh độ x vĩ độ y điểm Chúng ta có xem hàm hai biến x y, hàm của cặp (x, y) Chúng ta biểu thị phụ thuộc cách viết T = f(x, y)

Thể tích V hình trụ trịn phụ thuộc vào bán kính r chiều cao h nó, V = pr2h Chúng ta nói V hàm r h, viết V(r, h) = pr2h

Định nghĩa Hàm hai biến quy luật cho tương ứng cặp có thứ tự số thực (x, y) trong tập D với số thực f(x, y) Tập D miền xác định f miền giá trị nó tập tất giá trị f, tức tập { ( , ) | ( , ) ∈ }

Chúng ta thường viết = ( , ) để tường minh giá trị f điểm tổng quát

( , ) Các biến x y biến độc lập z biến phụ thuộc

Hàm hai biến hàm mà miền xác định tập R2 miền giá trị tập R Một cách trực quan, hàm hai biến giống mũi tên (Hình 1), miền D biểu thị tập mặt phẳng xy miền giá trị tập số đường thẳng thực, biểu thị trục z Ví dụ, ( , ) biểu thị nhiệt độ điểm ( , )

trong kim loại phẳng với hình dạng D, xem trục z nhiệt kế hiển thị nhiệt độ đo

Nếu hàm f cho công thức chưa miền xác định miền xác định f hiểu tập tất cặp ( , ) cho biểu thức cho nhận giá trị thực

Ví dụ Với hàm sau đây, đánh giá (3,2) phác thảo miền xác định (a) ( , ) = (b) ( , ) = ( − )

Lời giải (a) (3, 2) =√ =√

Biểu thức f có ý nghĩa mẫu số khác giá trị căn bậc hai khơng âm Vì miền xác định f

= {( , )| + + ≥ 0, ≠ 1}

Trang

Ràng buộc x ¹ nghĩa phải bỏ điểm đường thẳng x = (Xem Hình 2)

(b) (3,2) = ln(2 − 3) = =

Bởi ( − ) xác định − > 0, tức

< , miền xác định f = {( , ) | < } Đây tập điểm thuộc bên trái parabol = (Xem Hình 3.) Khơng phải tất hàm biểu thị cơng thức tường minh Hàm ví dụ sau mơ tả lời ước lượng số theo giá trị

Ví dụ Ở vùng có thời tiết mùa đơng khắc nghiệt, số gió lạnh (wind-chill index) thường sử dụng để mơ tả mức độ nghiêm trọng lạnh Chỉ số W nhiệt độ cảm nhận phụ thuộc vào nhiệt độ thực tế T tốc độ gió v Vì vậy, W hàm T v viết = ( , ) Bảng ghi giá trị W biên soạn Dịch vụ Thời tiết Quốc gia Hoa Kỳ (National Weather Service) Dịch vụ Khí tượng Canada (Meteorological Service)

Ví dụ, bảng cho thấy nhiệt độ -5oC tốc độ gió 50 km/h, cảm thấy lạnh nhiệt độ khoảng -15oC khơng có gió Vì (−5, 50) = −15

Ví dụ Năm 1928, Charles Cobb Paul Douglas công bố nghiên cứu, họ mơ hình hóa phát triển kinh tế Mỹ giai đoạn 1899 -1922 Chúng coi cách nhìn đơn giản hóa kinh tế sản lượng xác định số lượng lao động tham gia số vốn đầu tư Trong có nhiều yếu tố khác ảnh hưởng đến hiệu kinh tế, mô hình họ chứng minh xác Hàm mà họ sử dụng để mơ hình sản xuất có dạng

[1] P(L, K) = bLK1-

Trang

tiền tệ tất máy móc, thiết bị, tịa nhà) Trong phần 2.3 rằng, làm dạng thức phương trình [1] dẫn tới giả định kinh tế định

Cobb Douglas sử dụng liệu kinh tế công bố phủ để có Bảng Họ lấy năm 1899 làm sở P, L K cho năm 1899 gán giá trị 100 Các giá trị nhiều năm khác thể theo tỷ lệ phần trăm số 1899

Cobb Douglas sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu Table để xây dựng hàm

[2] P(L, K) = 1.01L0.75K0.25

Nếu sử dụng mơ hình đưa hàm phương trình [2] để tính tốn sản lượng năm 1910 1920, nhận giá trị

P(147, 208) = 1.01(147)0.75(208)0.25 161.9 P(194, 407) = 1.01(194)0.75(407)0.25 235.8 chúng gần với giá trị thực tế 159 231

Hàm sản lượng [1] sau sử dụng nhiều phạm vi khác nhau, từ công ty tư nhân đến kinh tế toàn cầu Miền xác định {(L, K) | L  0, K  0} L K biểu thị lao động vốn nên khơng âm

Ví dụ Tìm miền xác định miền giá trị g( , ) = − − Lời giải Miền xác định g

= {( , )| − − ≥ 0} = {( , )| + ≤ 9}

đó đĩa trịn tâm (0, 0) bán kính (Xem Hình 4.) Miền giá trị g | = − − , ( , ) ∈

Bởi − − ≤ nên − − ≤ Do miền giá trị g { | ≤ ≤ 3} = [0, 3] 2.1.2 Đồ thị

Một cách khác để hình dung đặc trưng hai biến xem xét đồ thị

Định nghĩa Nếu f hàm hai biến có miền xác định D đồ thị tập tất điểm (x, y, z)  R3 cho z = f(x, y) (x, y)  D

Như vậy, đồ thị hàm biến đường cong với phương trình y = f(x) đồ thị hàm hai biến mặt cong với phương trình z = f(x, y)

Chúng ta hình dung hình chiếu lên mặt phẳng xy đồ thị S hàm f miền D (Hình 5)

Trang Ví dụ Phác họa đồ thị hàm f(x, y) = – 3x – 2y

Lời giải Đồ thị f có phương trình z = – 3x – 2y hay 3x + 2y + z = 6, mặt phẳng Để vẽ mặt phẳng, ta tìm điểm chắn (intercepts) Cho y = z = 0, ta nhận x = 2, x-chắn Tương tự, y-chắn z-chắn Điều giúp phác họa phần đồ thị nằm phần tám khơng gian (first octant) Hình

Hàm Ví dụ trường hợp đặc biệt hàm f(x, y) = ax + by + c,

nó gọi hàm tuyến tính Đồ thị hàm có phương trình z = ax + by + c hay ax + by – z + c =

là mặt phẳng Tương tự hàm tuyến tính biến, hàm tuyến tính hai biến đóng vai trị quan trọng phép tốn vi phân tích phân

Ví dụ Phác họa đồ thị hàm g( , ) = − −

Lời giải Đồ thị có phương trình = − − Bình phương hai vế ta nhận

= − − hay + + = 9, phương trình mặt cầu tâm gốc tọa độ bán kính Nhưng z  nên đồ thị hàm g nửa phía mặt cầu

Chú ý Tồn mặt cầu khơng thể biểu thị hàm hai biến x y Như Ví dụ 6, bán cầu (hemisphere) biểu thị phương trình ( , ) = − − , bán cầu biểu thị phương trình ℎ( , ) = − − −

Ví dụ Sử dụng máy tính để vẽ đồ thị hàm Cobb-Douglas ( , ) = 1.01 Lời giải Hình biểu thị đồ thị P theo giá trị nhân công L vốn K

phạm vi từ đến 300 Máy tính vẽ mặt cong cách vẽ vết dọc Chúng ta thấy giá trị hàm P tăng theo hai tăng L K, dự đoán Trong MATLAB, sử dụng câu lệnh sau:

x = 0:10:300; y = x; [X,Y] = meshgrid(x,y); Z = 1.01.*X.^0.75.*Y.^0.25; surf(X,Y,Z)

Ví dụ Tìm miền xác định, miền giá trị vẽ đồ thị hàm số ℎ( , ) = + Lời giải Miền xác định h toàn mặt phẳng R2 Miền giá trị [0, +) Đồ thị

Trang

y = k vẽ với giá trị cách k phần đồ thị loại bỏ cách sử dụng loại bỏ dịng ẩn

Hình 10 biểu thị đồ thị số hàm vẽ máy tính Chú ý nhận hình ảnh tốt sử dụng việc quay hình chọn điểm quan sát thích hợp

Trong hình (a) (b), đồ thị phẳng bám sát vào mặt phẳng xy, ngoại trừ gần lân cận gốc tọa độ, nhỏ x y đủ lớn

2.1.3 Đường mức

Cho đến có hai phương pháp để hình dung hàm: sơ đồ mũi tên đồ thị Một phương pháp thứ ba, mượn ý tưởng từ người làm đồ, đồ chu tuyến giá trị biểu thị độ cao gán kết với đường mức (level curves) Định nghĩa Đường mức hàm hai biến f đường cong có phương trình f(x, y) = k, k số (thuộc miền giá trị f)

Mỗi đường mức f(x, y) = k tập tất điểm miền xác định f mà f nhận giá trị k Nói khác đi, biểu thị chỗ mà đồ thị f có chiều cao k

Từ Hình 11, thấy mối quan hệ đường mức vết ngang

Trang

Một ví dụ quen thuộc đường mức chúng xuất đồ địa hình khu vực miền núi, đồ Hình 12 Đường mức mức độ cao so với mặt nước biển Nếu bạn dọc theo đường cong, bạn không lên không xuống

Một ví dụ quen thuộc hàm nhiệt độ giới thiệu đoạn mở đầu phần Ở đường cong độ gọi đẳng nhiệt (isothermals) chúng kết nối miền có nhiệt độ Hình 13 cho thấy đồ thời tiết giới cho thấy nhiệt độ trung bình tháng Giêng Các đường đẳng nhiệt đường cong phân cách dải màu

Ví dụ Hình 14 biểu thị đồ đường mức hàm f Sử dụng để ước lượng giá trị f(1, 3) f(4, 5)

Lời giải Điểm (1, 3) thuộc phần hai đường mức với giá trị 70 80, ta ước lượng f(1, 3)  73 Tương tự f(4, 5)  56

Trang

Ví dụ 10 Phác họa đường mức hàm f(x, y) = – 3x – 2y với giá trị k = -6, 0, 6, 12 Lời giải Các đường mức – 3x – 2y = k hay 3x + 2y + (k – 6) =

Đây họ đường thẳng với độ dốc − Bốn đường mức riêng ứng với k = -6, 0, 12 3x + 2y – 12 = 0, 3x + 2y – = 0, 3x + 2y = 3x + 2y + =

Chúng phác họa Hình 15 Các đường mức song song cách đồ thị f mặt phẳng

Ví dụ 11 Phác thảo đường mức hàm

( , ) = − − với k = 0, 1, 2,

Lời giải Đường mức − − = hay + = − Đây họ đường

tròn đồng tâm với tâm (0, 0) bán kính √9 −

Các trường hợp k = 0, 1, 2, biểu thị Hình 16 Hãy thử hình dung đường cong nâng lên tạo thành mặt cong so sánh với đồ thị bán cầu Hình

Ví dụ 12 Phác thảo đường mức hàm ( , ) = + +

Lời giải Đường mức + + = hay

( )+ =

ở với k > 1, biểu thị họ ellipse với bán trục (semiaxes) √ − √ − Hình 17(a) cho thấy đồ đồng mức h vẽ máy tính Hình 17(b) cho thấy đường mức nâng tới đồ thị h (một paraboloid elliptic), chúng trở thành vết ngang

Ví dụ 13 Vẽ đường mức hàm Cobb-Douglas Ví dụ

Trang

Các đường mức gán nhãn theo giá trị sản phẩm P Ví dụ, đường mức có nhãn 140 biểu thị tất giá trị nhân cơng L đầu tư K để có sản phẩm P = 140 Chúng ta thấy rằng, giá trị cố định P, L tăng K giảm, ngược lại

Tùy theo mục đích, đồ đồng mức hữu ích đồ thị Đó chắn Ví dụ 13 (So sánh Hình 18 với Hình 8.) Nó việc ước tính giá trị hàm, Ví dụ

Hình 19 cho thấy số đường mức máy tính tạo với đồ thị tương ứng Chú ý đường mức phần (c) tụ lại với gần nguồn gốc tọa độ Tương ứng với thực tế đồ thị phần (d) dốc gần gốc tọa độ

2.1.4 Hàm ba nhiều biến

Một hàm ba biến, f, quy luật gán ba có thứ tự (x, y, z) miền D  R3 với giá trị thực ( , , ) Ví dụ, nhiệt độ T điểm bề mặt Trái đất phụ thuộc vào kinh độ x, vĩ độ y thời điểm t, viết = ( , , )

Ví dụ 14 Tìm miền xác định ( , , ) = ln( − ) +

Lời giải Biểu thức f(x, y, z) xác định z – y > 0, miền xác định f

= {( , , ) ∈ | > }

Trang

Ví dụ 15 Tìm mặt mức hàm f(x, y, z) = x2 + y2 + z2

Lời giải Các mặt mức x2 + y2 + z2 = k, với k  Đó họ mặt cầu đồng tâm với bán kính √ (Xem Hình 20) Vì vậy, (x, y, z) thay đổi mặt cầu tâm O, giá trị f(x, y, z) không đổi

Hàm n biến quy luật gán n-số thực (x1, x2, , xn) với số thực z = f(x1, x2, , xn)

Ta ký hiệu Rn tập tất n-số thực Ví dụ, cơng ty sử dụng n loại nguyên liệu để làm sản phẩm, ci giá nguyên liệu thứ i, xi số đơn vị nguyên liệu thứ i, giá thành C sản phầm hàm n biến x1, x2, , xn

[3] C = f(x1, x2, , xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Hàm f có giá trị thực với miền xác định tập R3 Đôi ta sử dụng ký hiệu véc tơ để biểu thị hàm dạng gọn hơn:

Nếu = 〈 , , … , 〉, ta viết ( ) thay cho ( , , … , ) Với ký hiệu vậy, định nghĩa hàm phương trình [3] sau: ( ) =

ở = 〈 , , … , 〉 c.x ký hiệu tích vơ hướng véc tơ c x Vn Xem tương ứng – điểm ( , , … , ) R3 với véc tơ vị trí

〈 , , … , 〉 Vn, có ba cách quan niệm hàm f xác định tập Rn:

1 Như hàm n biến , , … ,

2 Như hàm biến điểm ( , , … , )

3 Như hàm biến véc tơ = 〈 , , … , 〉

2.2 Giới hạn liên tục 2.2.1 Giới hạn

Chúng ta xem xét hai hàm

( , ) = ( , ) =

khi x y đồng thời dần 0, tức điểm (x, y) dần gốc tọa độ

Trang 10

Nó biểu thị rằng, (x, y) dần đến (0, 0) giá trị f(x, y) dần đến 1, giá trị g(x, y) khơng dần tới giá trị Nó rằng, chứng số xác ta viết

lim

( , )→( , ) = ( , )→( , )lim không tồn

Tổng quát, ký hiệu

lim

( , )→( , ) ( , ) =

để biểu thị giá trị f(x, y) dần đến L điểm (x, y) dần tới điểm (a, b) dọc theo đường nằm trọn miền xác định f Nói khác đi, làm cho giá trị f(x, y) gần với L cách chọn điểm (x, y) đủ gần điểm (a, b) Định nghĩa xác phát biểu sau:

[1] Định nghĩa Giả sử f hàm hai biến với miền xác định D chứa điểm (a, b) Chúng ta nói "giới hạn f(x, y) L (x, y) dần tới (a, b)" ta viết lim

( , )→( , ) ( , ) = ,

nếu với e > bất kỳ, tìm số  > cho (x, y)  D ( − ) + ( − ) <

thì | ( , ) − | <

Ngồi ra, người ta cịn dùng ký hiệu lim→

→

( , ) = ( , ) → ( , ) → ( , ) Chú ý |f(x, y) – L| khoảng cách số f(x, y) L, ( − ) + ( − )

là khoảng cách điểm (x, y) điểm (a, b) Vì Định nghĩa nói khoảng cách số f(x, y) L nhỏ tùy ý cách cho khoảng cách điểm (x, y) điểm (a, b) đủ nhỏ (nhưng khác 0) Hình minh họa Định nghĩa theo nghĩa biểu đồ mũi tên Với khoảng nhỏ (L - e, L + e) chứa L, tìm miền hình trịn D [có thể trừ điểm (a, b)] với tâm (a, b) bán kính  > cho f ánh xạ tất điểm D [có thể trừ điểm (a, b)] vào khoảng (L - e, L + e)

Một minh họa khác Định nghĩa cho Hình 2, mặt cong S đồ thị f Với e > cho trước, ta tìm  > cho (x, y) thuộc miền D (x, y)

¹ (a, b) phần tương ứng S nằm mặt phẳng z = L – e L + e

Với hàm biến, x dần đến a theo hai phía từ bên trái bên phải Nhớ lại lim

Trang 11

Với hàm hai biến việc khơng đơn giản cho (x, y) dần đến (a, b) từ mn vàn hướng khác (Hình 3), miễn (x, y) vãn thuộc miền xác định f

Định nghĩa đề cập tới khoảng cách (x, y) (a, b) mà không quan tâm đến hướng dần đến Do đó, giới hạn tồn f(x, y) phải dần tới giới hạn, không phụ thuộc (x, y) dần tới (a, b) Vì tìm thấy hai đường dần đến (a, b) (x, y) có hai giới hạn khác lim

( , )→( , ) ( , ) không tồn

Nếu f(x, y)  L1 (x, y)  (a, b) dọc theo C1 f(x, y)  L2 (x, y)  (a, b) dọc theo C2 mà L1¹ L2 lim

( , )→( , ) ( , ) khơng tồn

Ví dụ Chứng tỏ lim

( , )→( , ) không tồn

Lời giải Giả sử ( , ) = ( − )/( + ) Trước hết ta xét dần đến (0, 0) dọc theo trục x Sau cho y = ta f(x, 0) = x2/x2 = với x ¹ 0, f(x, y)  (x, y)  (0, 0) dọc theo trục x

Giờ dẫn dến dọc theo trục y cách đặt x = Vì f(0, y) = -y2/y2 = -1 với y ¹ nên f(x, y)  -1 (x, y)  (0, 0) dọc theo trục y (Hình 4) Bởi f có hai giới hạn khác dọc theo hai đường khác nên giới hạn khơng tồn

Ví dụ Nếu f(x, y) = xy/(x2 + y2), tồn hay không giới hạn lim

( , )→( , ) ( , )?

Lời giải Nếu y = f(x, 0) = 0/x2 = 0, f(x, y)  (x, y)  (0, 0) dọc theo trục x Nếu x = f(0, y) = 0/y2 = 0, f(x, y)  (x, y)  (0, 0) dọc theo trục y Mặc dù nhận giới hạn, điều khơng chứng tỏ giới hạn cho Giờ xét dần đến (0, 0) dọc theo đường y = x

Với x ¹ ( , ) = = ,

vì ( , ) → (x, y)  (0, 0) dọc theo y = x (Hình 5) Vì giới hạn cho khơng tồn

Hình làm rõ cho Ví dụ Sườn cong xuất đường y = x tương ứng với thực tế f(x, y) = 1/2 điểm (x, y) đường đó, ngoại trừ gốc tọa độ

Ví dụ Cho ( , ) = , có hay khơng giới hạn lim

Trang 12

Lời giải Nhớ lại lời giải Ví dụ 2, tiết kiệm thời gian cách cho (x, y) dần tới (0, 0) dọc theo đường nghiêng qua gốc tọa độ y = mx, m độ dốc:

( , ) = ( , ) = (( )) = = 

khi (x, y)  (0, 0) dọc theo y = mx Vì f có giới hạn dọc theo đường nghiêng qua gốc tọa độ Nhưng điều khơng chứng tỏ giới hạn cho Giờ cho (x, y) dần tới (0, 0) dọc theo parabola x = y2, ta có

( , ) = ( , ) =

( ) = =

vậy ( , ) → (x, y) (0, 0) dọc theo x = y2 Vậy giới hạn cho khơng tồn

Hình đồ thị hàm Ví dụ Chú ý sườn dốc nằm parabola x = y2 Bây xem xét giới hạn mà tồn Cũng hàm biến, việc tìm giới hạn cho hàm hai biến đơn giản hóa cách sử dụng tính chất giới hạn Các quy tắc tìm giới hạn hàm biến mở rộng đến hàm hai biến: Giới hạn tổng tổng giới hạn, giới hạn tích tích giới hạn Đặc biệt, công thức sau (x, y) → (a, b):

[2] lim = lim = lim =

Định lý Squeeze

Nếu ( , ) ≤ ( , ) ≤ ℎ( , )

và lim ( , ) = lim ℎ( , ) =

thì lim ( , ) =

Ví dụ Tìm lim

( , )→( , ) tồn

Lời giải Như Ví dụ 3, giới hạn dọc theo đường thẳng qua gốc tọa độ Điều khơng chứng minh giới hạn cho 0, giới hạn dọc theo parabola y = x2 x = y2 0, bắt đầu nghi ngờ giới hạn tồn

Cho e > Chúng ta cần tìm  > cho < + < − < , tức là, < + < | |<

Mặc dù ≤ + ≥ 0, nên /( + ) ≤ 1, [3] | |≤ 3| | = ≤ +

Vì ta chọn  = e/3 giả sử < + <

− ≤ + < = =

Từ theo Định nghĩa 1, lim

( , )→( , ) =

Trang 13

Thật vậy, từ [3], ý đến [2], ta có điều cần chứng minh 2.2.2 Sự liên tục

Sự liên tục hàm hai biến định nghĩa tương tự hàm biến [4] Định nghĩa Hàm hai biến f gọi liên tục (a, b) lim

( , )→( , ) ( , ) = ( , )

Chúng ta nói f liên tục D liên tục điểm (a, b) thuộc D

Ý nghĩa trực quan liên tục điểm (x, y) thay đổi lượng nhỏ giá trị f(x, y) thay đổi số lượng nhỏ Điều có nghĩa mặt cong đồ thị hàm liên tục khơng có lỗ bị rách

Sử dụng thuộc tính giới hạn, bạn thấy tổng, hiệu, tích thương hàm liên tục liên tục miền xác định chúng Hãy sử dụng tính chất để đưa số ví dụ hàm liên tục

Hàm đa thức (polynomial) hai biến tổng hạng thức dạng cxmyn, c số, m n số nguyên Hàm phân thức (rational) tỷ số đa thức Ví dụ, f(x, y) = x4 + 5x3y2 + 6xy4 – 7y + hàm đa thức, ( , ) = hàm phân thức

Các giới hạn [2] chứng tỏ hàm f(x, y) = x, g(x, y) = y h(x, y) = c hàm liên tục Bởi đa thức xây dựng từ hàm đơn giản f, g h phép nhân cộng, nên hàm đa thức hai biến liên tục R2 Tương tự, hàm phân thức liên tục miền xác định bới thương hai hàm liên tục

Ví dụ Đánh giá lim

( , )→( , )( − + + )

Lời giải Bởi hàm ( , ) = − + + đa thức nên t khắp nơi, ta tìm giới hạn cách thay trực tiếp:

lim

( , )→( , )( − + + ) = − + 3.1 + 2.2 = 11

Ví dụ Hàm ( , ) = liên tục đâu?

Lời giải Hàm f không liên tục (0, 0) khơng xác định Do f hàm phân thức nên miền liên tục tập D = {(x, y) | (x, y) ¹ (0, 0)}

Ví dụ Giả sử

( , ) = −

+ ( , ) ≠ (0,0) ( , ) = (0,0)

Ở g xác định (0, 0) g khơng liên tục lim

( , )→( , ) ( , ) khơng

tồn (xem Ví dụ 1) Ví dụ Giả sử

( , ) =

Trang 14

Chúng ta biết f liên tục với (x, y) ¹ (0, 0) hàm phân thức Từ Ví dụ ta có

lim

( , )→( , ) ( , ) =( , )→( , )lim

3

+ = = (0,0)

Vì f liên tục (0, 0), liên tục toàn R2

Giống hàm biến, phép lấy hàm hợp hai hàm cách để nhận hàm thứ ba Thực tế, f hàm hai biến liên tục g hàm biến liên tục xác định miền giá trị f, hàm hợp (composite) h = gof xác định

ℎ( , ) = ( ( , )) hàm liên tục

Ví dụ Tìm miền liên tục hàm h(x, y) = arctan(y/x)

Lời giải Hàm f(x, y) = y/x hàm phân thức nên liên tục ngoại trừ đường thẳng x = Hàm ( ) = arctan liên tục khắp nơi Vì hàm hợp g(f(x, y)) = arctan(y/x) = h(x, y) liên tục ngoại trừ đường thẳng x = Hình đứt gãy đồ thị hàm h trục y

2.2.3 Hàm ba nhiều biến

Mọi kết biết mở rộng cho hàm ba nhiều biến Ký hiệu lim

( , , )→( , , ) ( , , ) = nghĩa giá trị f(x, y, z) dần tới số L điểm

(x, y, z) dần tới điểm (a, b, c) dọc theo đường miền xác định f Vì khoảng cách hai điểm (x, y, z) (a, b, c) R3

( − ) + ( − ) + ( − ) , nên ta định nghĩa xác sau:

Với số e > 0, tồn số  > cho, (x, y, z) thuộc miền xác định f

0 < ( − ) + ( − ) + ( − ) < | ( , , ) − | <e

Hàm f liên tục (a, b, c) lim

( , , )→( , , ) ( , , ) = ( , , ),

Ví dụ, hàm

( , , ) =

+ + −

là hàm phân thức ba biến liên tục điểm R3, ngoại trừ x2 + y2 + z2 = Nói khác đi, khơng liên tục mặt cầu tâm gốc tọa độ, bán kính

Trang 15

[5] Định nghĩa Nếu f xác định miền D ℝn lim

→ ( ) = có nghĩa là, với

e > 0, tồn số  > cho, x D < |x – a| <  |f(x) – L| < e

Chú ý n = x = x a = a, Định nghĩa định nghĩa giới hạn đối với hàm biến Trong trường hợp n = 2, ta có

x = x, y, a = a, b, | − | = ( − ) + ( − ) ,

Định nghĩa trở thành Định nghĩa Nếu n = x = x, y, z, a = a, b, c, Định nghĩa trở thành định nghĩa giới hạn hàm ba biến

Trong trường hợp ta viết lim

→ ( ) = ( )

2.3 Đạo hàm riêng

2.3.1 Khái niệm đạo hàm riêng

Vào ngày nóng, độ ẩm cao làm cho nghĩ nhiệt độ cao nhiệt độ thực nó, trong khơng khí khơ, cảm nhận nhiệt độ thấp thị nhiệt kế Dịch vụ Thời tiết Quốc gia (National Weather Service) đưa số nhiệt (còn gọi số nhiệt độ-độ ẩm, số độ ẩm số nước) để mô tả tác động kết hợp nhiệt độ độ ẩm Chỉ số nhiệt I nhiệt độ khơng khí cảm nhận nhiệt độ thực tế T độ ẩm tương đối H Vì vậy, I hàm T H, viết I = f(T, H) Bảng giá trị I trích từ bảng biên soạn Dịch vụ Thời tiết Quốc gia

Nếu tập trung vào cột đánh dấu bảng, tương ứng với độ ẩm tương đối H = 70%, coi số nhiệt hàm biến T giá trị cố định H Ta viết g(T) = f (T, 70) Sau g (T) mơ tả cách thức số nhiệt I tăng lên nhiệt độ thực tế T tăng, tương ứng với độ ẩm 70% Đạo hàm g T = 96oF tốc độ thay đổi I T T = 96oF:

(96) = lim

→

( ) ( )

= lim

→

( , ) ( , )

Chúng ta xấp xỉ g'(96) cách sử dụng giá trị Bảng với h = -2

Trang 16

Lấy trung bình cộng hai giá trị này, ta nói đạo hàm g'(96) xấp xỉ 3.75 Nghĩa là, nhiệt độ thực tế 96oF độ ẩm tương đối 70%, nhiệt độ biểu kiến tăng khoảng 3.75oF so với độ tăng nhiệt độ thực tế

Giờ xem xét dòng đánh dấu Bảng 1, tương ứng với nhiệt độ cố định T = 96oF Các số dòng giá trị hàm G(H) = f(96, H), chúng mô tả cách thức số nhiệt tăng lên mà độ ẩm tương đối tăng, nhiệt độ thực tế T = 96oF Đạo hàm hàm H = 70% tốc độ biến thiên I H H = 70%:

′(70) = lim

→ ( ) ( ) = lim → ( , ) ( , ) Chúng ta xấp xỉ G'(70) cách đặt h = -5:

(70) ≈ ( ) ( )= ( , ) ( , )= = (70) ≈ ( ) ( )= ( , ) ( , )= = 0.8

Lấy giá trị trung bình, ta có ước lượng G'(70)  0.9 Điều nói lên rằng, nhiệt độ 96oF độ ẩm tương đối 70%, số nhiệt tăng khoảng 0.9oF phần trăm tăng nhiệt độ tương đối

Tổng quát, f hàm hai biến x y, giả sử cố định y = b - const cho x biến đổi Khi ta có hàm biến g(x) = f(x, b) Nếu g có đạo hàm a ta gọi đạo hàm riêng f theo biến x (a, b) ký hiệu fx(a, b) Vì

[1] fx(a, b) = g'(a) với g(x) = f(x, b)

Theo định nghĩa đạo hàm riêng ta có ( ) = lim

→

( ) ( )

, [1] trở thành [2] ( , ) = lim

→

( , ) ( , )

Tương tự, đạo hàm riêng f theo y (a, b), ký hiệu fy(a, b), nhận cách cố định x = a tính đạo hàm b hàm biến G(y) = f(a, y):

[3] ( , ) = lim

→

( , ) ( , )

Với ký hiệu đạo hàm riêng, ta viết tốc độ thay đổi số nhiệt I theo nhiệt độ thực tế T độ ẩm tương đối H T = 96oF H = 70% sau:

fT(96, 70)  3.75 fH(96, 70)  0.9

Giờ coi điểm (a, b) thay đổi, fx fy trở thành hàm hai biến

[4] Nếu f hàm hai biến, đạo hàm riêng fx fy xác định sau:

( , ) = lim

→

( , ) ( , )

( , ) = lim

→

( , ) ( , )

Có nhiều ký hiệu đạo hàm riêng, ví dụ, z = f(x, y)

( , ) = = = ( , ) = = = = Quy tắc tính đạo hàm riêng:

Trang 17 Ví dụ Cho f(x, y) = x3 + x2y3 – 2y2, tìm f

x(2, 1) fy(2, 1)

Lời giải Giữ y cố định đạo hàm theo x, ta nhận fx(x, y) = 3x2 + 2xy3, fx(2, 1) = 3.22 + 2.2.13 = 16

Giữ x cố định đạo hàm theo y, ta nhận fy(x, y) = 3x2y2 - 4y, fy(2, 1) = 3.22.12 – 4.1 =

2.3.2 Ý nghĩa đạo hàm riêng

Để đưa ý nghĩa đạo hàm riêng, nhớ lại phương trình z = f(x, y) mơ tả mặt cong S Nếu f(a, b) = c điểm P(a, b, c) thuộc S Cố định y = b, hạn chế ý ta đường cong C1 giao mặt phẳng y = b với S Nói khác đi, C1 giao tuyến S mặt phẳng y = b Tương tự thế, mặt phẳng x = a giao với S theo đường cong C2 Cả hai đường cong C1 C2 qua điểm P (xem Hình 1)

Chú ý đường cong C1 đồ thị hàm g(x) = f(x, b), độ dốc tiếp tuyến T1 P g'(a) = fx(a, b) Đường cong C2 đồ thị hàm G(y) = f(a, y), độ dốc tiếp tuyến T2 P G'(b) = fy(a, b)

Vì đạo hàm riêng fx(a, b) fy(a, b) hiểu độ dốc đường tiếp tuyến P(a, b, c) giao tuyến C1 C2 S với mặt phẳng y = b x = a

Ví dụ Cho f(x, y) = – x2 – 2y2, tìm f

x(1, 1) fy(1, 1) giải thích ý nghĩa Lời giải Vì fx(x, y) = -2x nên fx(1, 1) = -2, fy(x, y) = -4y nên fy(1, 1) = -4

Đồ thị f paraboloid z = – x2 – 2y2 giao mặt phẳng y = với parabola z = – x2, y = (Đường cong C

1 Hình 2) Độ dốc tiếp tuyến parabola điểm (1, 1, 1) fx(1, 1) = -2 Tương tự, đường cong C2 giao paraboloid với mặt phẳng x = 1, parabola z = – 2y2, x = Độ dốc tiếp tuyến (1, 1, 1) f

y(1, 1) = -4 (Hình 3) Hình mơ tả máy tính vẽ tương ứng với Hình Phần (a) biểu thị mặt phẳng y = giao với mặt cong theo giao tuyến phần (b) mô tả C1 T1 Chúng ta sử dụng phương trình véc tơ r(t) = t, 1, – t2 cho C

Trang 18 Ví dụ Cho f(x, y) = sin , tính

Lời giải Sử dụng quy tắc Chain hàm biến, ta có

= cos = cos = cos = −cos

( )

Ví dụ Tìm z/x z/y z xác định ẩn hàm x, y theo phương trình x3 + y3 + z3 + 6xyz =

Lời giải Để tìm z/x, đạo hàm hàm ẩn theo x, coi y số:

3 + + + =

Giải ta = − Tương tự, = −

2.3.3 Hàm nhiều hai biến

Các đạo hàm riêng định nghĩa cho hàm nhiều hai biến Ví dụ, f hàm ba biến x, y z đạo hàm riêng theo x định nghĩa

( , , ) = lim

→

( , , ) ( , , )

Trang 19

Tổng quát, u hàm n biến, u = f(x1, x2, , xn) đạo hàm riêng theo biến thứ i

= lim

→

( , , … , , + ℎ, , … , ) − ( , , … , , , , … , ) ℎ

và viết = = = =

Ví dụ Tìm fx, fy fz f(x, y, z) = exylnz

Lời giải Giữ y z không đổi đạo hàm theo x ta fx = yexylnz Tương tự, fy = xexylnz fz = exy/z

2.3.4 Đạo hàm cấp cao

Nếu f hàm hai biến đạo hàm riêng fx fy hàm hai biến, lấy đạo hàm riêng chúng gọi đạo hàm riêng cấp hai f

Nếu z = f(x, y), sử dụng ý hiệu sau:

( ) = = = = =

( ) = = = = =

= = = = =

= = = = =

Vì ký hiệu fxy (hay 2f/yx) có nghĩa lấy đạo hàm theo x, sau lấy đạo hàm theo y, fyx đảo lại thứ tự

Ví dụ Tính đạo hàm riêng cấp hai f(x, y) = x3 + x2y3 – 2y2

Lời giải Trong Ví dụ tìm fx(x, y) = 3x2 + 2xy3, fy(x, y) = 3x2y2 – 4y

Vì = (3 + ) = + = (3 + ) =

= (3 − ) = = (3 − ) = −

Trang 20

Chú ý Ví dụ 6, fxy = fyx Đây khơng phải trùng hợp Nó đạo hàm riêng hỗn hợp fxy fyx hầu hết hàm gặp thực hành Định lý sau đây, phát nhà toán học người Pháp Alexis Clairaut (1713-1765), cho điều kiện khẳng định fxy = fyx

Định lý Clairaut Giả sử f xác định miền D chứa điểm (a, b) Nếu đạo hàm riêng cấp hai fxy fyx tồn liên tục D fxy(a, b) = fyx(a, b)

Các đạo hàm riêng cấp cao xác định Ví dụ

= = =

và sử dụng định lý Clairaut chứng minh fxyy = fyxy = fyyx hàm tồn liên tục

Ví dụ Tính fxxyz f(x, y, z) = sin(3x + yz)

Lời giải fx = 3cos(3x + z) fxx = -9sin(3x + yz)

fxxy = -9zcos(3x + yz) fxxyz = -9cos(3x + yz) + 9yzsin(3x + yz) 2.4 Mặt phẳng tiếp diện xấp xỉ tuyến tính

Một ý tưởng quan trọng phép tính giải tích hàm biến phóng to điểm đồ thị hàm khả vi, đồ thị trở nên phân biệt so với đường tiếp tuyến xấp xỉ hàm hàm tuyến tính Ở phát triển ý tưởng tương tự ba chiều Khi phóng to điểm mặt cong đồ thị hàm hai biến khả vi, mặt cong trông giống mặt phẳng (mặt phẳng tiếp tuyến nó) hàm hàm tuyến tính hai biến Chúng ta mở rộng ý tưởng hàm nhiều biến

2.4.1 Mặt phẳng tiếp diện

Giả sử mặt S có phương trình z = f(x, y), f có đạo hàm riêng cấp liên tục, giả sử P(x0, y0, z0) điểm S Như phần trước, giả sử C1 C2 giao tuyến mặt phẳng y = y0 x = x0 với mặt S, hi điểm P nằm C1 C2

Giả sử T1 T2 đường tiếp tuyến C1 C2 P, mặt phẳng tiếp diện (tangent plane) S P mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến T1 T2 (Xem Hình 1)

Trang 21

P chứa tất tiếp tuyến P đường cong nằm S qua P Chúng ta biết phương trình mặt phẳng qua P(x0, y0, z0) có dạng A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =

Chia hai vế cho C đặt a = -A/C, b = -B/C, ta viết lại dạng [1] z – z0 = a(x – x0) + b(y – y0)

Nếu phương trình [1] mơ tả tiếp diện P giao với mặt phẳng y = y0 đường tiếp tuyến T1 Đặt y = y0 vào phương trình [1] ta nhận

z – z0 = a(x – x0) y = y0

và biết phương trình đường thẳng với độ dốc a Nhưng mục 2.3 ta biết độ dốc tiếp tuyến T1 fx(x0, y0), a = fx(x0, y0)

Tương tự, đặt x = x0 vào phương trình [1], ta nhận z – z0 = b(y – y0), tiếp tuyến T2, b = fy(x0, y0)

Định nghĩa Giả sử f có đạo hàm riêng liên tục Phương trình tiếp diện mặt cong z = f(x, y) điểm P(x0, y0, z0) z – z0 = fx(x0, y0)(x – x0) + fy(x0, y0) (y – y0)

Ví dụ Tìm mặt phẳng tiếp diện paraboloid elliptic z = 2x2 + y2 điểm (1, 1, 3) Lời giải Giả sử f(x, y) = 2x2 + y2 Khi

fx(x, y) = 4x  fx(1, 1) = fy(x, y) = 2y  fy(1, 1) = Theo Định nghĩa 2, phương trình mặt phẳng tiếp diện (1, 1, 3)

z – = 4(x – 1) + 2(y – 1) hay 4x + 2y – z – =

Hình 2(a) mơ tả paraboloid elliptic mặt phẳng tiếp diện P(1, 1, 3) nói đến Ví dụ Các hình (b) (c) phóng to điểm (1, 1, 3) Chú ý phóng to đồ thị phẳng giống với mặt phẳng tiếp diện

Trang 22 2.4.2 Xấp xỉ tuyến tính

Trong Ví dụ 1, thấy phương trình tiếp diện đồ thị hàm f(x, y) = 2x2 + y2 điểm (1, 1, 3) z = 4x + 2y – Vì vậy, chứng Hình Hình cho thấy, hàm tuyến tính hai biến L(x, y) = 4x + 2y – xấp xỉ tốt f(x, y) (x, y) gần (1, 1) Hàm L gọi tuyến tính hóa f (1, 1) xấp xỉ f(x, y) 4x + 2y – gọi xấp xỉ tuyến tính xấp xỉ tiếp diện f (1, 1)

Ví dụ, điểm (1.1, 0.95) xấp xỉ tuyến tính cho f(1.1, 0.95)  4(1.1) + 2(0.95) – = 3.3

khá gần với giá trị thực f(1.1, 0.95) = 2(1.1)2 + (0.95)2 = 3.3225 Nhưng ta lấy điểm xa điểm (1, 1) hơn, ví dụ điểm (2, 3), khơng cịn nhận xấp xỉ tốt Thật vậy, ta có L(2, 3) = 11, f(2, 3) = 17

Tổng quát, phương trình tiếp diện đồ thị hàm f hai biến điểm (a, b, f(a, b))

z = f(a, b) + fx(a, b)(x – a) + fy(a, b)(y – b) Hàm tuyến tính có đồ thị tiếp diện hàm

[3] L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x – a) + fy(a, b)(y – b) gọi tuyến tính hóa f (a, b), xấp xỉ

[4] f(x, y)  f(a, b) + fx(a, b)(x – a) + fy(a, b)(y – b) gọi xấp xỉ tuyến tính xấp xỉ tiếp diện f (a, b) Chúng ta xác định tiếp diện mặt cong z = f(x, y) nơi mà f có đạo hàm riêng cấp liên tục Điều xảy fx fy khơng liên tục? Hình đồ thị hàm vậy, có phương trình

( , ) = ( , ) ≠ (0,0) ( , ) = (0,0)

Có thể kiểm tra (0, 0), đạo hàm riêng tồn tại, fx(0, 0) = fy(0, 0) không liên tục Xấp xỉ tuyến tính f(x, y) = 0, thực tế f(x, y) = tất điểm đường thẳng y = x Vì xảy tình trạng xấu đạo hàm riêng hàm hai biến tồn Để khắc phục, ta đưa khái niệm khả vi hàm hai biến

Nhớ lại rằng, với hàm biến y = f(x), x thay đổi từ a tới a + x, số gia y y = f(x + ) – f(x)

Nếu f khả vi a

[5] y = f '(a)x + ex với e x 

Bây ta xét hàm hai biến z = f(x, y), giả sử x thay đổi từ a tới a + x, y thay đổi từ b đến b + y Khi số gia tương ứng z

[6] z = f(a + x, b + y) – f(a, b)

Như số gia z biểu thị thay đổi giá trị f (x, y) thay đổi từ (a, b) tới (a + x, b + y) Tương tự [5], ta định nghĩa tính khả vi hàm hai biến sau

Trang 23

z = fx(a, b)x + fy(a, b)y + e1x + e2y e1 e2 dần (x, y) dần (0, 0)

Định nghĩa nói lên rằng, hàm khả vi có xấp xỉ tốt (x, y) gần (a, b) Nói khác đi, mặt phẳng tiếp diện xấp xỉ tốt với đồ thị tiếp điểm

[8] Định lý Nếu đạo hàm riêng fx fy tồn lân cận (a, b) liên tục (a, b) khả vi (a, b)

Ví dụ Chứng tỏ f(x, y) = xexy khả vi (1, 0) tìm tuyến tính hóa Sau sử dụng để tìm xấp xỉ f(1.1, -0.1)

Lời giải Các đạo hàm riêng fx(x, y) = exy(1 + xy)  fx(1, 0) = fy(x, y) = x2exy  fy(1, 0) =

Cả fx fy hàm liên tục, f khả vi theo Định lý Tuyến tính hóa

L(x, y) = f(1, 0) + fx(1, 0)(x – 1) + fy(1, 0)(y – 0) = x + y Xấp xỉ xexy x + y, f(1.1, -0.1)  1.1 – 0.1 = So sánh với giá trị thực, f(1.1, -0.1) = 1.1e-0.11 0.98542 Hình thể đồ thị f tuyến tính hóa L Ví dụ

Ví dụ Ở đầu phần 2.3 nói đến số nhiệt I hàm nhiệt độ thực tế độ ẩm tương đối H, đưa bảng giá trị từ Dịch vụ Thời tiết Quốc gia

Tìm xấp xỉ tuyến tính số nhiệt I = f(T, H) T gần 96oF H gần 70% Sử dụng để ước lượng số nhiệt nhiệt độ 97oF độ ẩm tương đối 72%

Lời giải Từ bảng ta có f(96, 70) = 125 Trong phần 2.3 ta có ước lượng fT(96, 70)  3.75 fH(96, 70)  0.9 Vì xấp xỉ tuyến tính

f(T, H)  f(96, 70) + fT(96, 70)(T – 96) + fH(96, 70)(H – 70)

 125 + 3.75(T – 96) + 0.9(H – 70)

Đặc biệt, f(97, 72)  125 + 3.75(1) + 0.9(2) = 130.55 Vì vậy, T = 97oF H = 72% số nhiệt I  131oF 2.4.3 Vi phân

Với hàm khả vi biến y = f(x), xem vi phân dx biến độc lập, tức dx nhận giá trị thực Vi phân y định nghĩa

Trang 24

Hình mơ tả mối quan hệ số gia y vi phân dy: y biểu thị thay đổi theo chiều cao đường cong y = f(x), dy biểu thị thay đổi theo chiều cao đường tiếp tuyến x thay đổi lượng dx = x

Đối với hàm khả vi hai biến z = f(x, y), xem vi phân dx dy biến độc lập Khi vi phân dz gọi vi phân toàn phần (total differential), xác định:

[10] = ( , ) + ( , ) = +

Đôi sử dụng df thay cho dz Nếu đặt

dx = x = x – a dy = y = y – b phương trình 10, vi phân z dz = fx(a, b)(x – a) + fy(a, b)(y – b)

Vì vậy, theo ký hiệu vi phân, xấp xỉ tuyến tính [4] có thê viết sau

f(x, y)  f(a, b) + dz

Hình tương ứng với Hình khơng gian ba chiều, mơ tả ý nghĩa hình học vi phân dz số gia z: dz biểu thị thay đổi theo chiều cao mặt phẳng tiếp diện, z biể thị thay đổi theo chiều cao mặt cong z = f(z, y) (x, y) thay đổi từ (a, b) đến (a + x, b + y)

Ví dụ

(a) Cho z = f(x, y) = x2 + 3xy – y2, tìm vi phân dz

(b) Cho x thay đổi từ tới 2.05 y thay đổi từ tới 2.96, so sánh giá trị z dz Lời giải

(a) Từ Định nghĩa 10 ta có

= + = (2 + ) + (3 − )

(b) Đặt x = 2, dx = x = 0.05, y = 3, dy = y = -0.04, ta có

dz = [2(2)+ 3(3)]0.05 + [3(2) – 2(3)](-0.04) = 0.65 Số gia z

z = f(2.05,2.96) – f(2, 3) = [(2.05)2 + 3(2.05)(2.96) – (2.96)2] – [22 + 3(2)(3) – 32] = 0.6449 Chú ý z  dz dễ tính

Ví dụ Bán kính sở chiều cao hình nón trịn xác định tương ứng 10cm 25cm, với sai số 0.1cm giá trị đo Sử dụng vi phân để ước lượng sai số lớn tính tốn thể tích hình nón

Trang 25

= + ℎ = + ℎ

Bởi sai số 0.1cm, ta có |r|  0.1, |hr|  0.1 với r = 10, h = 25 Do

=500p

3 (0.1) + 100p

3 (0.1) = 20p

Vì lỗi lớn tính thể tích hình nón 20pcm3 63 cm3 2.4.4 Các hàm ba nhiều biến

Các khái niệm xấp xỉ tuyến tính, tính khả vi vi phân mở rộng cho hàm nhiều hai biến Sự khả vi mở rộng từ Định nghĩa Xấp xỉ tuyến tính

f(x, y, z)  f(a, b, c) + fx(a, b, c)(x – a) + fy(a, b, c)(y – b) + fz(a, b, c)(z – c) tuyến tính hóa L(x, y, z) vế phải biểu thức

Nếu w = f(x, y, z) số gia w w = f(x + x, y + y, z + z) – f(x, y, z)

Vi phân dw xác định theo công thức = + +

Ví dụ Kích thước khối hộp chữ nhật có số đo 75cm, 60cm 40cm sai số 0.2cm Sử dụng vi phân để ước lượng sai số lớn thể tích hộp đo với độ đo

Lời giải Nếu kích thước hộp x, y z thể tích V = xyz,

= + + = + +

Ta cho |x|  0.2, |y|  0.2, |z|  0.2 Để ước lượng sai số lớn nhất, sử dụng dx = dy = dz = 0.2 x = 75, y = 60 z = 40:

V  dV = (60)(40)(0.2) + (75)(40)(0.2) + (75)(60)(0.2) = 1980

Như vậy, với sai số 0.2cm số đo dẫn đến sai số xấp xỉ 1980cm3 tính thể tích Điều xem sai số lớn, chiếm 1% số đo thể tích hộp 2.5 Quy tắc dây chuyền

Nhớ lại quy tắc dây chuyền hàm biến hàm hợp: Nếu y = f(x) x = g(t) hàm khả vi y hàm khả vi gián t,

[1] =

Đối với hàm nhiều biến, quy tắc dây chuyền có số dạng, dạng đưa quy tắc để tính vi phân hàm hợp Dạng thứ (Định lý 2) đề cập tới trường hợp z = f(x, y) biến x y hàm theo t Điều có nghĩa z phụ thuộc gián tiếp vào t, z = f(g(t), h(t)), quy tắc dây chuyền cho dạng vi phân z hàm t Chúng ta giả thiết f khả vi (Định nghĩa 2.4.7) Nhớ lại trường hợp fx fy liên tục (Định lý 2.4.8) [2] Quy tắc dây chuyền thứ Giả sử z = f(x, y) hàm khả vi theo biến x y, x = g(t) y = h(t) hai hàm khả vi theo t Khi z hàm khả vi theo t

= +

Trang 26

∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆

trong e1 e2 dần (x, y)  (0, 0) [Nếu hàm e1 e2 không xác định tai (0, 0), cần định nghĩa chúng đó.] Chia hai vế cho t ta

∆ ∆ = ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆

Nếu cho t  x = g(t + t) – g(t)  g hàm khả vi nên liên tục Tương tự, y  Điều có nghĩa e1 e2 0,

= lim

∆ → = ∆ →lim ∆

∆ + ∆ →lim ∆

∆ + lim∆ → ∆ →lim ∆

∆ + lim∆ → ∆ →lim ∆ ∆

= + + + = +

Bởi thường viết thay viết lại quy tắc dây chuyền dạng sau:

= +

Ví dụ Cho z = x2y + 3xy4 với x = sin2t y = cost Tìm dz/dt t = Lời giải Ta có z/x = 2xy + 3y4, z/y = z2 + 12xy3,

dx/dt = 2cos2t, dy/dt = -sint

Theo quy tắc dây chuyền, dz/dt = (2xy + 3y4)(2cos2t) + (z2 + 12xy3)(-sint)

Tức không cần thiết thay x y biểu thức theo t Dễ thấy t = ta có x = y = Vì t = dz/dt = (0 + 3)(2cos0) + (0 + 0)(-sin0) =

Các đạo hàm Ví dụ hiểu tốc độ thay đổi z theo t điểm (x, y) di chuyển dọc theo đường cong C với phương trình tham số x = sin2t, y = cost (Xem Hình 1.) Đặc biệt t = 0, điểm (x, y) (0, 1) dz/dt = tốc độ tăng di chuyển dọc theo đường cong C qua điểm (0, 1) Cụ thể, z = T(x, y) = x2y + 3xy4 biểu thị nhiệt độ điểm (x, y) hàm hợp z = T(sin2t, cost) biểu thị nhiệt độ điểm C đạo hàm dz/dt biểu thị thay đổi nhiệt độ dọc theo C

Ví dụ Áp lực (pressure) P(kilopascals, 9.8692326*10-3 atmosphere), thể tích V(liters) nhiệt độ T(kelvins, Kelvin = –273.15 Celsius) phân tử gam (mol) khí lý tưởng liên quan với theo cơng thức PV = 8.31T Tìm tốc độ mà áp lực thay đổi nhiệt độ 300K tăng với tốc độ 0.1K/s, thể tích V 100L tăng với tốc độ 0.2L/s

Lời giải Nếu t biểu thị khoảng thời gian theo giây thời điểm tức thời ta có T = 300, dT/dt = 0.1, V = 100, dV/dt = 0.2 Bởi P = 8.31T/V nên

= + = −

= (0.1) − ( )(0.2) = −0.04155

Áp lực giảm khoảng 0.042 kPa/s

Trang 27 x = g(s, t), y = h(s, t)

Do z gián tiếp hàm s t nên tìm z/s z/t Nhớ lại Nhớ lại tính z/t ta giữ s cố định Áp dụng Định lý ta nhận

= +

Tương tự, ta tìm z/s Vì ta có dạng thứ hai quy tắc dây chuyền

[3] Quy tắc dây chuyền thứ hai: Giả sử z = f(x, y) hàm khả vi theo hai biến x y, x = g(s, t) y = h(s, t) hàm khả vi liên tục theo s t Khi

= + = +

Ví dụ Cho z = exsiny, với x = st2 y = s2t Tìm z/s z/t Lời giải Áp dụng quy tắc dây chuyền thứ 2, ta nhận

= ( )( ) + ( )(2 ) = sin( ) + cos ( ) = ( )(2 ) + ( )( ) = sin( ) + cos ( )

Dạng quy tắc dây chuyền chứa ba dạng biến: s t biến độc lập, x y gọi biến trung gian, z biến phụ thuộc

Một cách hiệu để nhớ quy tắc dây chuyền vẽ sơ đồ (tree diagram) Hình Chúng ta vẽ nhánh biến đọc lập z tới biến trung gian x y để biểu thị z hàm x y Sau vẽ nhánh từ x y tới biến độc lập s t Trên nhánh viết đạo hàm riêng tương ứng Để tìm z/s, chúng la lấy tích đạo hàm riêng dọc theo đường từ z tới s

Bây ta xét trường hợp tổng quát, biến phụ thuộc u hàm n biến trung gian x1, x2, ., xn, biến trung gian lại hàm m biến độc t1, t2, , tm Việc chứng minh tương tự trường hợp

[4] Quy tắc dây chuyền tổng quát Giả sử u hàm khả vi n biến x1, x2, , xn xj hàm khả vi m biến t1, t2, , tm Khi u hàm t1, t2, , tm

` = + + ⋯ + với i = 1, 2, , m Ví dụ Viết quy tắc dây chuyền cho trường hợp w = f(x, y, z, t)

và x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) t = t(u, v)

Lời giải Chúng ta áp dụng Định lý với n = m = Hình biểu thị sơ đồ Mặc dù chưa viết đạo hàm riêng nhánh, hiểu là,

nhánh dẫn từ y tới u đạo hàm riêng nhánh

y/u Với trợ giúp sơ đồ cây, viết biểu thức cần thiết:

= + + +

Trang 28

Ví dụ Cho u = x4y + y2z3, với x = rset, y = rs2e-t, z = r2ssint Tìm giá trị u/s r = 2, s = 1, t =

Lời giải Với trợ giúp sơ đồ Hình 4, ta có

= + + =

= (4x3y)(ret) + (x4 + 2yz3)(2rse-t) + (3y2z2)(r2sint) Khi r = 2, s = t = ta có x = 2, y = z = Vì u/s = (64)(2) + (16)(4) + (0)(0) = 192

2.5.1 Đạo hàm hàm ẩn

Giả sử từ phương trình dạng F(x, y) = xác định y hàm x, tức y = f(x) với F(x, f(x)) = với x miền xác định f Nếu F khả vi, ta áp dụng dạng thứ quy tắc dây chuyền, đạo hàm hai vế phương trình F(x, y) = theo biến x Vì x y hàm x, ta nhận

+ =

Nhưng dx/dx = 1, F/y ¹ ta giải

[6] = − = −

Để nhận phương trình giả thiết F(x, y) = xác định hàm ẩn y theo x Định lý hàm ẩn cho ta điều kiện mà qua giả thiết hợp lệ: Nếu f xác định lân cận (a, b), F(a, b) = 0, Fy(a, b) ¹ 0, Fx Fy hàm liên tục lân cận đó, phương trình F(x, y) = xác định hàm ẩn y theo x lân cận (a, b) đạo hàm hàm cho phương trình

Ví dụ Tìm y' x3 + y3 = 6xy

Lời giải Phương trình cho viết F(x, y) = x3 + y3 – 6xy = 0, phương

trình cho = − = − = −

Giả sử z = f(x, y) hàm ẩn cho dạng F(x, y, z) = 0, tức F(x, y, f(x, y)) = với (x, y) thuộc miền xác định f Nếu F f khả vi, ta sẻ dụng quy tắc dây chuyền với phương trình

+ + =

Nhưng = ( ) = = ( ) = nên + =

Nếu F/z ¹ 0, ta nhận z/x công thức Tương tự, ta xây dựng cơng thức tính z/y

[7] = − = − = − = −

Trang 29

và đạo hàm riêng Fx, Fy, Fz liên tục mặt cầu, phương trình F(x, y, z) = xác định z hàm x y lân cận (a, b, c) hàm khả vi, với đạo hàm riêng tính theo cơng thức

Ví dụ Tìm z/x z/y x3 + y3 + z3 + 6xyz =

Lời giải Giả sử F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 + 6xyz – = Từ phương trình ta có

= − = −

2.6 Đạo hàm theo hướng véc tơ gradient

Bản đồ thời tiết Hình biểu thị đồ đồng mức hàm nhiệt độ T(x, y) bang California Nevada 3:00pm ngày tháng Mười Các đường mức, hay đẳng nhiệt (isothermals), kết nối vùng có nhiệt độ Đạo hàm riêng Tx địa phương Reno tốc độ thay đổi nhiệt độ khoảng cách di chuyển xuống phía đơng từ Reno, Ty tốc độ thay đổi nhiệt độ di chuyển xuống phía bắc Nhưng muốn biết tốc độ thay đổi nhiệt độ di chuyển phía Đơng Nam (đến Las Vegas), số hướng khác? Trong phần giới thiệu dạng đạo hàm, gọi đạo hàm theo hướng, cho phép tìm tốc độ thay đổi hàm hai hay nhiều biến theo hướng

2.6.1 Đạo hàm theo hướng

Nhớ lại đạo hàm riêng fx fy định nghĩa sau

Trang 30

Giả sử ta muốn tìm tốc độ thay đổi z (x0, y0) theo hướng véc tơ đơn vị bất kỳ u = a, b (Xem Hình 2.) Để làm điều xét mặt S với phương trình z = f(x, y) giả sử z0 = f(x0, y0), điểm P(x0, y0, z0) thuộc mặt S Mặt phẳng qua P song song với u giao với S theo đường cong C (Xem Hình 3.) Độ dốc đường tiếp tuyến C điểm P chính tốc độ thay đổi z theo hướng u

Nếu Q(x, y, z) điểm khác nằm C, P' Q' hình chiếu P Q lên mặt phẳng xy véc tơ ′ ′⃗ song song với u ′ ′⃗ = ℎ = 〈ℎ , ℎ 〉 với số h Bởi x – x0 = ha, y – y0 = hb nên x = x0 + ha, y = y0 + hb

= = ( , ) ( , )

Chuyển qua giới hạn h  0, ta nhận tốc độ thay đổi z (theo khoảng cách) theo hướng u, gọi đạo hàm theo hướng f theo hướng u

[2] Định nghĩa Đạo hàm theo hướng f (x0, y0) theo hướng véc tơ đơn vị u = a, b (nếu giới hạn tồn tại)

( , ) = lim

→

( + ℎ , + ℎ ) − ( , ) ℎ

Bằng cách so sánh Định nghĩa với phương trình [1], ta thấy u = i = 1, 0 Dif = fx u = j = 0, 1 Djf = fy Nói khác đi, đạo hàm riêng f theo x y trường hợp đặc biệt đạo hàm theo hướng

Ví dụ Sử dụng đồ thời tiết Hình để ước lượng giá trị đạo hàm theo hướng hàm nhiệt độ Reno theo hướng Đông Nam

Lời giải Véc tơ đơn vị định hướng Đông Nam = ( − )/√2 , không muốn dùng biểu thức Ta bắt đầu vẽ đường thẳng qua Reno hướng Đông Nam (Xem Hình 4) Chúng ta xấp xỉ đạo hàm theo hướng DuT giá trị trung bình tốc độ thay đổi nhiệt độ điểm mà đường thẳng cắt đường đồng mức T = 50 T = 60 Nhiệt độ điểm Đông Nam Reno T = 60oF nhiệt độ điểm Tây Bắc Reno T = 50oF Khoảng cách điểm xem khoảng 75 dặm Vì tốc độ thay đổi nhiệt độ theo hướng Đông Nam

≈ ≈ 0.13 /

Khi tính đạo hàm theo hướng hàm xác định công thức, hay dùng định lý sau

Trang 31

Chứng minh Nếu định nghĩa hàm g biến h, g(h) = f(x0 + ha, y0 + hb), theo định nghĩa đạo hàm ta có

[4] (0) = lim

→

( ) ( )

= lim

→

( , ) ( , )

= ( , )

Mặt khác, ta viết g(h) = f(x, y), x = x0 + ah, y = y0 + bh, nên theo quy tắc dây chuyền

(ℎ) = + = fx(x, y)a + fy(x, y)b Đặt h = x = x0 y = y0,

[5] g'(0) = fx(x0, y0)a + fy(x0, y0)b

So sánh phương trình phương trình ta thấy Duf(x0, y0) = fx(x0, y0)a + fy(x0, y0)b

Ví dụ Tìm đạo hàm theo hướng Duf(x, y) f(x, y) = x3 – 3xy + 4y2 u véc tơ đơn vị cho góc  = p/6 Hỏi Duf(1, 2) gì?

Lời giải Cơng thức cho Duf(x, y) = fx(x, y)cosp/6 + fy(x, y)sinp/6 = (3 − )√ + (−3 + ) = 3√3 − + − 3√3

Do

(1,2) = 3√3(1) − 3(1) + − 3√3 (2) = √

Đạo hàm theo hướng Duf(1, 2) biểu thị tốc độ thay đổi z theo hướng u Đó độ dốc tiếp tuyến đường cong giao mặt cong z = x3 – 3xy + 4y2 với mặt phẳng nằm ngang qua điểm (1, 2, 0) theo hướng u (Xem Hình 5)

2.6.2 Véc tơ gradient

Theo Định lý 3, đạo hàm theo hướng hàm khả vi viết dạng tích vơ hướng hai véc tơ:

[7] Duf(x, y) = fx(x, y)a + fy(x, y)b = fx(x, y), fy(x, y)a, b = fx(x, y), fy(x, y)u

Véc tơ tích vơ hướng khơng xuất việc tính đạo hàm theo hướng mà cịn số ngữ cảnh khác Vì ta đặt cho tên đặc biệt (gradient của f) ký hiệu đặc biệt ( grad f, f, đọc "del f")

[8] Định nghĩa Nếu f hàm hai biến x y gradient f véc tơ f xác định

∇ ( , ) = 〈 ( , ), ( , )〉 = +

Ví dụ Nếu f(x, y) – sinx + exy

∇ ( , ) = 〈 , 〉 = 〈 , 〉 ∇ (1,2) = 〈2,0〉

Trang 32 [9] Duf(x, y) = f(x, y)u

Điều thể đạo hàm theo hướng véc tơ đơn vị u chiếu vô hướng véc tơ gradient lên u

Ví dụ Tìm đạo hàm theo hướng hàm f(x, y) = x2y3 – 4y điểm (2, -10 theo hướng của véc tơ v = 2i + 5j

Lời giải Trước hết ta tính véc tơ gradient (2, -1):

f(x, y) = 2xy3i + (3x2y2 – 4)j f(2, -1) = -4i + 8j

Chú ý v véc tơ đơn vị, |v| = √29 nên véc tơ đơn vị theo hướng v

=

| |=√ +√

Vì theo phương trình ta có

(2, −1) = ∇ (2, −1) ∙ = (−4 + ) ∙

√ +√

= ( )( ) ( )( )

√ =√

Véc tơ gradient f(2,-1) Ví dụ minh họa Hình Cả véc tơ v hướng đạo hàm theo hướng Cả hai véc tơ xếp chồng lên đồng mức đồ thị f

2.6.3 Hàm ba biến

Chúng ta định nghĩa đạo hàm theo hướng hàm ba biến cách tương tự Một lần nữa, Duf(x, y, z) hiểu tốc độ thay đổi hàm theo hướng véc tơ đơn vị u [10] Định nghĩa Đạo hàm theo hướng f (x0, y0, z0) theo hướng véc tơ đơn vị u = a, b, c (nếu giới hạn tồn tại):

( , , ) = lim

→

( , , ) ( , , )

Nếu sử dụng ký hiệu véc tơ viết hai định nghĩa (2 10) đạo hàm theo hướng dạng chung

[11] ( ) = lim

→

( ) ( )

trong x0 = x0, y0 n = x0 = x0, y0, z0 n = Điều hợp lý phương trình véc tơ đường thẳng qua x0 theo hướng véc tơ u x = x0 + tu f(x0 + tu) thể giá trị f điểm đường

Nếu f(x, y, z) khả vi u = a, b, c với phương pháp sử dụng để chứng minh Định lý 3, ta sử dụng để chứng tỏ

[12] Duf(x, y, z) = fx(x, y, z)a + fy(x, y, z)b + fz(x, y, z)c

Với hàm ba biến f, véc tơ gradient f(x, y, z) = fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z) dạng ngắn gọn

[13] ∇ = 〈 , , 〉 = + +

Trang 33

Ví dụ Cho f(x, y, z) = xsinyz (a) tìm gradient f (b) tìm đạo hàm theo hướng f (1, 3, 0) theo hướng v = i + 2j – k

Lời giải (a) Gradient f

∇ ( , , ) = 〈 ( , , ), ( , , ), ( , , )〉 = 〈 , , 〉 (b) Tại (1, 3, 0) ta có f(1, 3, 0) = 0, 0, 3 Véc tơ đơn vị theo hướng v

=

√ +√ −√

Do phương trình 14 cho Duf(1, 3, 0) = f(1, 3, 0)u = 3 ∙

√ +√ −√ =− √

2.6.4 Cực đại đạo hàm theo hướng

Giả sử ta có hàm hai ba biến ta xét khả đạo hàm theo hướng f điểm cho Chúng đưa tốc độ thay đổi f theo hướng Ta đặt câu hỏi: Hướng f thay đổi nhanh tốc độ thay đổi đạt giá trị lớn nhất? Câu trả lời định lý sau

[15] Định lý Giả sử f hàm khả vi hai ba biến Giá trị lớn đạo hàm theo hướng Duf(x) |f(x)| xảy u có hướng với véc tơ gradient f(x)

Chứng minh Từ phương trình 14 ta có Duf = f  u = |f(x)||u|cos = |f|cos

trong  góc f u Giá trị lớn cos xảy  = Do giá trị lớn Duf |f| xảy  = 0, tức u hướng với f

Ví dụ

(a) Cho f(x, y) = xey, tìm tốc độ thay đổi f điểm P(2, 0) theo hướng từ P tới Q(1/2,2) (b) Theo hướng f đạt tốc độ thay đổi lớn nhất? Giá trị lớn gì?

Lời giải

(a) Truocs hết ta tính gradient f

f(x, y) = fx, fy = ey, xy f(2, 0) = 1, 2

Véc tơ đơn vị theo hướng ⃗ = 〈−1.5, 2〉 = 〈− , 〉, tốc độ thay đổi f theo hướng từ P tới Q

(2,0) = ∇ (2,0) ∙ = 〈1,2〉 ∙ 〈− , 〉 =

Trang 34

Tại (2, 0) hàm Ví dụ tăng nhanh theo hướng véc tơ gradient ∇ (2,0) = 〈1,2〉 Hình nói lên véc tơ dường vng góc với đường mức qua (2, 0)

Hình mô tả đồ thị f véc tơ gradient

Ví dụ Giả sử nhiệt độ điểm (x, y, z) không gian cho T(x, y, z) = 80/(1 + x2 + 2y2 + 3z2), T thang đo oC thứ nguyên x, y, z mét Theo hướng nhiệt độ điểm (1, 1, -2) tăng nhanh nhất? Giá trị lớn bao nhiêu? Lời giải Véc tơ gradient T

∇ = + + = − − −

= (−x − − )

Tại điểm (1, 1, -2) véc tơ gradient

∇ (1,1, −2) = ( ) ( )

Theo định lý 15, nhiệt độ tăng nhanh theo hướng véc tơ gradient, tương đương, theo hướng véc tơ − − + , véc tơ đơn vị (− − + )/√41

Tốc độ nhanh tăng độ lớn véc tơ gradient:

|∇ (1,1, −2)| = |− − + | = √41 ≈ ( / )

2.6.5 Mặt phẳng tiếp diện mặt mức

Giả sử S mặt cong với phương trình F(z, y, z) = k, tức mặt mức hàm ba biến F Giả sử P(x0, y0, z0) điểm thuộc S C đường cong thuộc S qua P Nhớ lại từ mục 1.1, đường cong C mô tả hàm véc tơ liên tục r(t) = x(t), y(t), z(t) Giả sử t0 giá trị tham số ứng với điểm P, tức r(t0) = x0, y0, z0 Boeir C thuộc S nên điểm (x(t), y(t), z(t)) phải thỏa mãn phương trình S, tức

[16] F(x(t), y(t), z(t)) = k

Nếu x, y z accs hàm khả vi theo t F khả vi chunga ta sử dụng quy tắc dây chuyền để lấy đạo hàm hai vế phương trình 16:

[17] + + =

Nhưng F = Fx, Fy, Fz r'(t) = x'(t), y'(t), z'(t), phương trình 17 viết dạng tích vơ hướng sau F  r'(t) =

Trường hợp riêng, t = t0 ta có r(t0) = x0, y0, z0, [18] F(x0, y0, z0)  r'(t0) =

Trang 35

[19] Fx(x0, y0, z0)(x – x0) + Fy(x0, y0, z0)(y – y0) + Fz(x0, y0, z0)(z – z0) =

Đường pháp tuyến S P đường qua P vng góc với mặt phẳng tiếp diện Hướng pháp tuyến xác định véc tơ gradient F(x0, y0, z0), phương trình đối xứng (symmetric)

[20]

( , , )= ( , , )= ( , , )

Trong trường hợp riêng, phương trình mặt cong S có dạng z = f(x, y) (tức S đồ thị hàm hai biến), viết lại dạng F(x, y, z) = f(x, y) – z = 0, S mặt mức (với k = 0) F Vì

Fx(x0, y0, z0) = fx(x0, y0) Fy(x0, y0, z0) = fx(x0, y0) Fz(x0, y0, z0) = -1 phương trình 19 trở thành fx(x0, y0)(x – x0) + fy(x0, y0)(y – y0) – (z – z0) =

nó tương đương với phương trình 2.4.2 Do đó, định nghĩa tổng quát mặt phẳng tiếp diện phù hợp với định nghĩa có trường hợp đặc biệt phần 2.4

Ví dụ Tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện véc tơ pháp tuyến điểm (-2, 1, -3) ellipsoid

+ + =

Lời giải Ellipsoid mặt mức (với k = 3) hàm F(x, y, z) = + + Do ta có

( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = (−2,1, −3) = −1 (−2,1, −3) = (−2,1, −3) = −

Từ phương trình 19 suy phương trình tiếp diện (−2,1, −3) -1(x + 2) + 2(y – 1) – (x + 3) = 0, hay 3x – 6y + 2z + 18 = Theo phương trình 20, phương trình đối xứng pháp tuyến

= −

Hình 10 biểu thị ellipsoid, mặt phẳng tiếp diện pháp tuyến Ví dụ 2.6.6 Tầm quan trọng véc tơ gradient

Chúng ta tóm tắt số vai trị quan trọng véc tơ gradient Trước hết xem xét hàm hai biến f điểm P(x0, y0, z0) thuộc miền xác định Một mặt, từ Định lý 15 ta biết véc tơ gradient F(x0, y0, z0) đưa hướng mà f tăng nhanh Mặt khác, ta biết f(x0, y0, z0) trực giao với mặt mức S f P (Tham khảo Hình 9.) Theo trực giác, hai tính chất tương đối phù hợp ta di chuyển rời xa P mặt mức, giá trị f không thay đổi Vì vậy, hợp lý di chuyển theo hướng vng góc, nhận tăng tối đa

Trang 36

Nếu xem xét đồ địa hình đồi giả sử f (x, y) thể cho chiều cao mực nước biển điểm có tọa độ (x, y), đường cong dốc vẽ Hình 12 cách làm cho vng góc với tất đường đồng mức

Hệ thống máy tính đại số có lệnh vẽ mấu véc tơ gradient Mỗi véc tơ gradient

f(a, b) vẽ bắt đầu điểm (a, b) Hình 13 biểu thị trường véc tơ gradient hàm f(x, y) = x2 – y2 chồng lên đồ đồng mức f Theo dự kiến, véc tơ gradient điểm "lên dốc" vng góc với đường mức

2.7 Các giá trị lớn nhỏ

2.7.1 Cực đại địa phương cực tiểu địa phương

Như biết hàm biến, ứng dụng đạo hàm tìm giá trị cực đại cực tiểu, gọi chung cực trị (extreme values) Trong phần xem xét sử dụng đạo hàm riêng để xác định giá trị cực trị hàm hai biến Đặc biệt, Ví dụ định thấy cách để cực đại hóa thể tích khối hộp khơng

có nắp với diện tích bìa tơng

Hãy xem đỉnh lồi (hill) lõm (valley) đồ thị f Hình Có hai điểm (a, b) mà f có cực đại địa phương, tức f(a, b) lớn giá trị f(x, y) gần Giá trị lớn hai giá trị cực đại tuyệt đối Tương tự, f có hai cực tiểu địa phương, wor f(a, b) nhỏ giá trị gần nó, Giá trị nhỏ hai giá trị cực tiểu tuyệt đối

[1] Định nghĩa Hàm hai biến có cực đại địa phương (a, b) f(x, y)  f(a, b) (x, y) gần (a, b) [Nghĩa f(x, y)  f(a, b) với (x, y) hình trịn tâm (a, b).] Số f(a, b) gọi giá trị cực đại địa phương Nếu f(x, y)  f(a, b) (x, y) gần (a, b) f có cực tiểu địa phương (a, b) f(a, b) giá trị cựa tiểu địa phương

Nếu bất đẳng thức Định nghĩa cho điểm (x, y) miền xác định f f có cực đại tuyệt đối (hoặc cực tiểu tuyệt đối) (a, b)

[2] Định lý Nếu f có cực đại cực tiểu địa phương (a, b) đạo hàm riêng cấp tồn fx(a, b) = fy(a, b) =

Trang 37

Nếu đặt fx(a, b) = fy(a, b) = vào phương trình mặt phẳng tiếp diện (Phương trình 2.4.2), ta nhận z = z0 Vì ý nghĩa hình học Định lý đồ thị f có mặt phẳng tiếp diện điểm cực trị mặt phẳng tiếp diện nằm ngang

Điểm (a, b) gọi điểm tới hạn (critical) hay điểm dừng (stationary) f fx(a, b) = fy(a, b) = 0, hai đạo hàm riêng khơng tồn Định lý nói lên rằng, f có cực trị địa phương (a, b) (a, b) điểm tới hạn f Tuy nhiên, với hàm biến, tất điểm tới hạn điểm cực trị Tại điểm tới hạn, hàm có cực tiểu địa phương cực đại địa phương khơng

Ví dụ Giả sử f(x, y) = x2 + y2 – 2x – 6y + 14 Khi f

x(x, y) = 2x – 2, fy(x, y) = 2y – Các đạo hàm riêng x = y = 3, có điểm tới hạn (1, 3) Đưa dạng bình phương, ta có f(x, y) = + (x – 1)2 + (y – 3)2 Bởi (x – 1)2 (y – 3)2 0, ta có f(x, y)  với giá trị x y Vì f(1, 3) = cực tiểu địa phương thực tế cực tiểu tuyệt đối f Điều khẳng định hình học từ đồ thị f, paraboloid elliptic với đỉnh (1, 3, 4) Hình

Ví dụ Tìm giá trị cực trị f(x, y) = y2 – x2

Lời giải Từ fx = -2x fy = 2y, điểm tới hạn (0, 0) Chú ý điểm trục x ta có y = 0, nên f(x, y) = -x2 < (nếu x ¹ 0) Tuy nhiên, với điểm trục y ta có x = nên f(x, y) = y2 > (nếu y ¹ 0) Vì hình tròn tâm (0, 0) chứa điểm làm cho f dương chữa điểm làm cho f âm Vì f(0, 0) = khơng thể cực trị f, f khơng có cực trị

Ví dụ minh họa cho kiện hàm khơng đạt cực trị điểm tới hạn Hình mơ tả Đồ thị f paraboloid hyperbolic z = y2 – x2, có mặt phẳng tiếp diện nằm ngang (z = 0) gốc tọa độ Ta thấy f(0, 0) = cực đại theo hướng trục x cực tiểu theo hướng trục y Gần gốc tọa độ đồ thị có hình dạng yên ngựa (saddle), (0, 0) gọi điểm yên ngựa

Trang 38

ngựa điểm thấp tuyến đường họ, người du lịch theo hướng khác điểm yên ngựa điểm cao

Chúng ta cần xác định hàm có giá trị cực trị điểm tới hạn Định lý sau đây, chứng minh cuối phần này, tương tự hàm biến

[3] Định lý Giả sử đạo hàm riêng cấp hai f liên tục hình trịn tâm (a, b), giả sử fx(a, b) = fy(a, b) = 0, tức là, (a, b) điểm tới hạn f Giả sử

D = D(a, b) = fxx(a, b) fyy(a, b) – [fxy(a, b)]2

(a) Nếu D > fxx(a, b) > f(a, b) cực tiểu địa phương (b) Nếu D > fxx(a, b) < f(a, b) cực đại địa phương (c) Nếu D < f(a, b) khơng cực trị địa phương

Chú ý Trong trường hợp (c) điểm (a, b) gọi điểm dừng f đồ thị f bắt chéo qua với mặt phẳng tiếp diện (a, b)

Chú ý Nếu D = 0, khơng khẳng định gì, f có không cực trị địa phương, (a, b) điểm dừng f

Chú ý Để dễ nhớ cơng thức D, ta viết dạng định thức

= = −

Ví dụ Tìm giá trị cực đại địa phương cực tiểu địa phương điểm yên ngựa f(x, y) = x4 + y4 – 4xy +

Lời giải Trước hết xác định điểm tới hạn: fx = 4x3 – 4y fy = 4y3 – 4x Đặt đạo hàm riêng ta nhận phương trình

x3 – y = y3 – x =

Để giải hệ ta thay y = x3 từ phương trình vào phương trình thứ hai Ta có

0 = x9 – x = x(x8 – 1) = x(x4 – 1)(x4 + 1) = x(x2 – 1)(x2 + 1)(x4 + 1) nghiệm thực x = 0, x = 1, x = -1 Ba điểm tới hạn (0, 0), (1, 1) (-1, -1)

Tiếp theo tính đạo hàm riêng cấp hai D(x, y):

fxx = 12x2 fxy = -4 fyy = 12y2 D(x, y) = 144x2y2 – 16

Bởi D(0, 0) = -16 < 0, dẫn tới trường hợp (c) Định lý nên gốc tọa độ điểm yên ngựa, tức f khơng có cực trị địa phương (0, 0)

Bởi D(1, 1) = 128 > fxx(1, 1) = 12 > 0, từ trường hợp (a) Định lý suy f(1, 1) = -1 cực tiểu địa phương

Trang 39

Một đồ đồng mức hàm f Ví dụ thể Hình Các đường mức gần (1, 1) (-1, -1) hình bầu dục di chuyển khỏi (1, 1) (-1, -1) theo hướng giá trị f tăng lên Mặt khác, đường mức gần (0, 0), giống hyperbola Chúng nói lên di chuyển khỏi gốc tọa độ (ở giá trị f 1), giá trị f giảm theo số hướng tăng theo hướng khác Do đó, đồ đồng mức cho thấy diện cực tiểu điểm yên ngựa mà tìm thấy Ví dụ

Ví dụ Tìm phân loại điểm tới hạn hàm f(x, y) = 10x2y – 5x2 – 4y2 – x4 – 2y4 Từ tìm điểm cao đồ thị f

Lời giải Các đạo hàm riêng cấp fx = 20xy – 10x – 4x3 fy = 10x2 – 8y – 8y3 Vì thế, để tìm điểm tới hạn ta cần giải phương trình

[4] 2x(10y – – 2x2) = [5] 5x2 – 4y – 4y3 =

Từ phương trình ta thấy x = 10y – – 2x2 = Trong trường hợp thứ (x = 0), phương trình trở thành

– 4y(1 + y2) = 0, y = ta có điểm tới hạn (0, 0) Trong trường hợp thứ (10y – – 2x2 = 0) ta có

[6] x2 = 5y – 2.5

và vào phương trình ta có 25y – 2.5 – 4y – 4y3 = Ta phải giải phương trình bậc ba [7] 4y3 – 21y + 12.5 =

Sử dụng máy tính để vẽ đồ thị hàm g(y) = 4y3 – 21y + 12.5 Hình 6, ta thấy phương trình có ba nghiệm thực: y  -2.5452 y  0.6468 y  1.8984

(Chúng ta sử dụng phương pháp Newton để tìm nghiệm xấp xỉ này) Từ phương trình giá trị x tương ứng cho công thức = ± − 2.5 Nếu y  -2.5452 x khơng có nghiệm thực Nếu y  0.6468 x 0.8567 Nếu y 

Trang 40

Hình Hình hai góc nhìn đồ thị f ta thấy mặt cong mở dần xuống phía [Điều nhận thấy từ biểu thức f(x, y): Hạng thức chiếm ưu – x4 – 2y2 |x| |y| lớn] So sánh giá trị f điểm cực đại địa phương, ta thấy giá trị cực đại tuyệt đối f f(2.64)  8.50 Nói khác đi, điểm cao đồ thị f (2.64, 1.90, 8.50)

Hình đồ đồng mức hàm f Ví dụ Năm điểm tới hạn thể chấm trịn

Ví dụ Tìm khoảng cách từ điểm (1, 0, -2) tới mặt phẳng x + 2y + z = Lời giải Khoảng cách từ điểm (x, y, z) tới điểm (1, 0, -2)

= ( − 1) + + ( + 2)

nhưng (x, y, z) thuộc mặt phẳng x + 2y + z = z = – x – 2y ta có

= ( − 1) + + (6 – – )

Chúng ta cực tiểu d theo biểu thức đơn giản

= ( , ) = ( − 1) + + (6 – – )

Bằng cách giải phương trình

fx = 2(x – 1) – 2(6 – x – 2y) = 4x + 4y – 14 = fy = 2y – 4(6 – x – 2y) = 4x + 10y – 24 =

chúng ta tìm đường cong điểm tới hạn , Bởi fxx = 4, fyy = fxy = 10, có D(x, y0 = fxxfyy – (fxy)2 = 24 > fxx > 0, nên theo Định lý f có cực tiểu địa phương , Bằng trực giác thấy cực tiểu địa phương thực tế

cực tiểu tuyệt đối phải có điểm mặt phẳng cho gần điểm (1, 0, -2)

Nếu = = = + + = √6

Ví dụ Một khối hộp chữ nhật khơng nắp tạo nên từ 12m2 bìa tơng Tìm thể tích cực đại

Lời giải Giả sử độ dài, độ rộng chiều cao hộp (theo m) x, y z, Hình 10 Khi thể tích hộp V = xyz

Chúng ta xem V hàm hai biến x y cách sử dụng kiện diện tích bốn mặt bên đáy hộp 2xz + 2yz + xy = 12

Từ giải z ta = (12 − )/[2( + )], biểu thức V =

Trang 41 Chúng ta tính đạo hàm riêng

=

( ) = ( )

Nếu V đạt cực đại V/x = V/y = 0, x = y = cho V = 0, nên cần giải phương trình 12 – 2xy – x2 = 12 – 2xy – y2 =

Điều bao hàm x2 = y2 x = y (Chú ý x y cần phải dương.) Nếu chúng ta đặt x = y vào hai phương trình ta nhận 12 – 3x2 = 0, giả x = 2, dẫn đến y = z = [12 – (2)(2)]/[2(2 + 2)] =

Chúng ta cần sử dụng Định lý để chứng tỏ điều dẫn đến giá trị cực đại V, lập luận đơn giản từ lý tính tốn giá trị cực đại tuyệt đối thể tích x = 2, y = z = Vậy V = 4, tức thể tích cực đại hộp 4m3 2.7.2 Cực trị tuyệt đối

Với hàm biến, định lý giá trị cực trị nói f liên tục miền đóng [a, b], f có giá trị cực tiểu tuyệt đối giá trị cực đại tuyệt đối Các giá trị giá trị tới hạn giá trị mút a b

Hàm hai biến có tình trạng tương tự Cũng đoạn đóng chứa điểm mút, tập đóng R2 tập chứa tất điểm biên [Điểm biên D điểm (a, b) cho hình trịn tâm (a, b) chứa điểm thuộc D không thuộc D.]

Ví dụ hình trịn D = {(x, y) | x2 + y2 1} bao gồm tất điểm đường tròn x2 + y2 = 1, tập đóng chứa tất điểm biên (là điểm đường tròn x2 + y2 = 1) Nhưng điểm biên bị bỏ tập khơng cịn đóng (Xem Hình 11.) [8] Định lý cực trị hàm hai biến Nếu f liên tục miền đóng giới nội D R2 f đạt giá trị cực đại tuyệt đối f(x1, y1) giá trị cực tiểu tuyệt đối f(x2, y2) điểm (x1, y1) (x2, y2) D

Để tìm giá trị cực trị theo Định lý 8, ý rằng, từ Định lý 2, f có cực trị (x1, y1) (x1, x2) điểm tới hạn điểm biên D Vì có quy tắc sau

[9] Để tìm cực trị tuyệt đối hàm liên tục f miền đóng giới nội D: Tìm giá trị f điểm tới hạn miền D

2 Tìm giá trị cực trị f biên D

3 Giá trị lớn giá trị giá trị cực đại tuyệt đối, giá trị nhỏ giá trị giá trị cực tiểu tuyệt đối

Ví dụ Tìm cực trị tuyệt đối hàm

f(x, y) = x2 – 2xy + 2y miền chữ nhật D = {(x, y) |  x  3,  y  }

Trang 42

khi fx = 2x – 2y = fy = -2x + = 0, có điểm tới hạn (1, 1), giá trị f(1, 1) =

Tại bước thứ 2, xem xét giá trị f biên D, gồm bốn đoạn thẳng L1, L2, L3 L4 Hình 12 Trên L1 ta có y = f(x, 0) = x2 ,  x  Đây hàm tăng theo x, nên giá trị cực tiểu f(0, 0) = giá trị cực đại f(3, 0) = Trên L2 ta có x = f(3, y) = – 4y,  y  Đây hàm giảm theo y, nên giá trị cực tiểu f(3, 2) = giá trị cực đại f(3, 0) = Trên L3 ta có y = f(x, 2) = x2 – 4x + 4,  x 

Dễ thấy f(x, 2) = (x – 2)2 nên giá trị cực tiểu f(2, 2) = giá trị cực đại f(0, 2) =

Cuối cùng, L4 ta có x = f(0, y) = 2y,  y  Dễ thấy giá trị cực tiểu f(0, 0) = giá trị cực đại f(0, 2) = Vì biên, hàm có giá trị cực tiểu giá trị cực đại

Tại bước thứ 3, so sánh giá trị với giá trị điểm tới hạn f(1, 1) = 1, suy giá trị cực tiểu tuyệt đối f(0, 0) = f(2, 2) = giá trị cực đại tuyệt đối f(3, 0) = Hình 13 mơ tả đồ thị f

Chúng ta kết thúc phần chứng minh phần Định lý Phần (b) chứng minh tương tự

Chứng minh Định lý 3, phần (a) Chúng ta tính đạo hàm riêng cấp cấp f theo hướng u = h, k Theo Định lý 2.6.3, Duf = fxh + fyk Áp dụng định lý lần hai ta có

[10] = ( ) = ( )ℎ + ( ) = ℎ + ℎ + ℎ +

= ℎ + ℎ + = ℎ + + −

Chúng ta có fxx(a, b) > D(a, b) > Nhưng fxx D = − hàm liên tục, tồn hình trịn B tâm (a, b) bán kính  > cho fxx(x, y) > D(x, y) > với (x, y) thuộc B Do từ phương trình 10 ta suy ( , ) > với (x, y) thuộc B Điều có nghĩa đường cong C giao đồ thị f với mặt phẳng nằm ngang qua P(a, b, f(a, b)) theo hướng u C lõm lên khoảng có độ dài 2 Điều với mọi hướng u, hạn chế B, đồ thị f nằm phía mặt phẳng ngang P Vì f(x, y)  f(a, b) với (x, y) thuộc B, nghĩa f(a, b) cực tiểu địa phương

2.8 Nhân tử Lagrange

2.8.1 Phương pháp nhân tử Lagrange

Trang 43

phần trình bày phương pháp Lagrange để cực đại cực tiểu hàm tổng quát f(x, y, z) chịu ràng buộc dạng g(x, y, z) = k

Rất dễ giải thích sở hình học phương pháp Lagrange hàm hai biến Vì bắt đầu tìm giá trị cự trị f(x, y) chịu ràng buộc dạng g(x, y) = k Nói khác đi, tìm giá trị cực trị f(x, y) điểm (x, y) bị hạn chế đường mức g(x, y) = k Hình mơ tả đường cong với vài đường mức f, chúng có phương trình f(x, y) = c, c = 7, 8, 9, 10 11 Việc cực đại f(x, y) chịu ràng buộc g(x, y) = k tìm giá trị lớn c cho đường mức f(x, y) = c tiếp xúc với g(x, y) = k Điều minh họa Hình 1, điều xảy đường cong có tiếp tuyến chung Điều có nghĩa đường pháp tuyến điểm (x0, y0), nơi chúng chạm nhau, Vì véc tơ gradient song song, tức f(x0, y0) = lg(x0, y0) với số l

Cách lập luận áp dụng cho tốn tìm cực trị f(x, y, z) chịu ràng buộc g(x, y, z) = k Vì điểm (x, y, z) bị hạn chế mặt mức S với phương trình g(x, y, z) = k Thay cho đường mức Hình 1, xem xét mặt mức f(x, y, z) = c lập luận cực trị f f(x0, y0, z0) = c mặt mức f(x, y, z) = c tiếp diện mặt mức g(x, y, z) = k, véc tơ gradient tương ứng song song với

Lập luận trực quan phát biểu xác sau Giả sử hàm f có cực trị điểm P(x0, y0, z0) mặt cong S giả sử C đường cong với phương trình véc tơ r(t) = x(t), y(t), z(t) nằm S qua P Nếu t0 giá trị tham số tương ứng với điểm P r(t0) = x0, y0, z0 Hàm hợp h(t) = f(x(t), y(t), z(t)) biểu thị giá trị mà f đường cong C Vì f có cực trị (x0, y0, z0), dẫn đến h có cực trị t0, nên h'(t0) = Nhưng f khả vi, sử dụng quy tắc dây chuyền để viết

0 = h'(t0) = fz(x0, y0, z0)x'(t0) + fy(x0, y0, z0)y'(t0) + fz(x0, y0, z0)z'(t0) = f(x0, y0, z0)  r'(t0) Điều chứng tỏ véc tơ gradient f(x0, y0, z0) trực giao với véc tơ tiếp tuyến r'(t0) với đường cong C Như biết phần 2.6, véc tơ gradient g, f(x0, y0, z0), trực giao vớ r'(t0) đường cong (Xem phương trình 2.6.18.) Điều có nghĩa véc tơ gradient f(x0, y0, z0) g(x0, y0, z0) song song với Vì g(x0, y0, z0) ¹ 0, tồn số l cho

[1] f(x0, y0, z0) = lg(x0, y0, z0)

Số l phương trình đường cong gọi nhân tử Lagrang (Lagrange multiplier) Thủ tục dựa phương trình sau

Phương pháp nhân tử Lagrange Để tìm cực trị f(x, y, z) chịu ràng buộc g(x, y, z) = k [giả sử cực trị tồn g ¹ mặt cong g(x, y, z) = k]:

Trang 44

(b) Đánh giá f tất điểm (x, y, z) nhận từ bước (a) Giá trị lớn chúng giá trị lớn f, giá trị nhỏ chúng giá trị nhỏ f

Nếu viết phương trình véc tơ f = lg dạng thành phần, phương trình bước (a) trở thành

fx = lgx fy = lgy fz = lgz g(x, y, z) = k

Đây hệ bốn phương trình với bốn ẩn số x, y, z l, khơng thiết tìm cụ thể giá trị l

Đối với hàm hai biến, phương pháp nhân tử Lagrange tương tự phương pháp trình bày Để tìm cực trị f(x, y) chịu ràng buộc g(x, y) = k, ta tìm giá trị x, y l

sao cho f(x, y) = lg(x, y) g(x, y) = k

Điều tương đương với giải hệ ba phương trình ba ẩn fx = lgx fy = lgy g(x, y) = k

Minh họa phương pháp Lagrange xem xét lại vấn đề đưa Ví dụ mục 2.7

Ví dụ Một khối hộp chữ nhật khơng nắp làm từ 12m2 bìa tơng Tìm thể tích

lớn hộp

Lời giải Như Ví dụ phận 2.7, giả sử x, y z tương ứng số đo độ dài, độ rộng chiều cao hộp (cm) Sau muốn làm cực đại V = xyz chịu ràng buộc g(x, y, z) = 2xz + 2yz + xy = 12 Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, ta tìm giá trị x, y, z l cho V = lg g(x, y, z) = 12 Điều cho phương trình

Vx = lgx Vy = lgy Vz = lgz 2xz + 2yz + xy = 12 hay

[2] yz = l(2z + y) [3] xz = l(2z + x) [4] xy = l(2x + 2y) [5] 2xz + 2yz + xy = 12

Không có quy tắc tổng qt để giải hệ phương trình này, nên cần đến sựu khéo léo Trong ví dụ nhân [2] với x, [3] với y [4] với z, dẫn đến vế trái phương trình Làm ta có

[6] xyz = l(2xz + xy) [7] xyz = l(2yz + xy) [8] xyz = l(2xz + 2yz)

Trang 45

Lời giải Chúng ta hỏi cực trị f chịu ràng buộc g(x, y) = x2 + y2 = Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, giải phương trình f = lg g(x, y) = viết lại sau:

fx = lgx fy = lgy g(x, y) = cụ thể

[9] 2x = 2xl

[10] 4y = 2yl

[11] x2 + y2 =

Từ [9] ta có x = l = Nếu x = từ [11] suy y = 1 Nếu l = từ [10] suy y = 0, từ [11] cho x = 1 Do f có cực trị điểm (0, 1), (0, -1), (1, 0) (-1, 0) Lượng giá f bốn điểm ta tìm

f(0, 1) = f(0, -1) = f(1, 0) = f(-1, 0) = Do giá trị lớn f đường tròn x2 + y2 = f(0, 1) = giá trị nhỏ f(1, 0) = Kiểm tra Hình 2, thấy giá trị phù hợp

Hình mơ tả phương diện hình học Ví dụ Các cực trị f (x, y) = x2 + 2y2 tương ứng với đường mức mà tiếp xúc với đường trịn

Ví dụ Tìm giá trị cực trị f(x, y) = x2 + 2y2 hình trịn x2 + y2

Lời giải Theo thủ tục 2.7.9, so sánh giá trị f điểm tới hạn với giá trị biên Bởi fx = 2x fy = 4y nên điểm tới hạn (0, 0) Chúng ta so sánh giá trị f điểm với cực trị biên từ Ví dụ 2:

f(0, 0) = f(1, 0) = f(0, 1) =

Do đó, miền hình trịn x2 + y2 1, giá trị lớn f f(0, 1) = giá trị nhỏ f(0, 0) =

Ví dụ Tìm điểm mặt cầu x2 + y2 + z2 = mà khoảng cách từ tới điểm (3, 1, -1) gần xa

Lời giải Khoảng cách từ điểm (x, y, z) tới điểm (3, 1, -1)

= ( − 3) + ( − 1) + ( + 1)

nhưng để đơn giản, ta tìm giá trị lớn giá trị nhỏ bình phương khoảng cách: = ( − 3) + ( − 1) + ( + 1)

Theo phương pháp nhân tử Lagrange, ta giải f = lg, g = Dẫn đến

[12] 2(x – 3) = 2xl

[13] 2(y – 1) = 2yl

[14] 2(z + 1) = 2zl

Trang 46

Cách đơn giản để giải phương trình giải x, y z theo l từ [12], [13] [14], sau thay giá trị vào [15] Từ [12] ta có

x – = xl hay x(1 - l) = hay =

l

Chú ý - l¹ từ [12] khơng thể l = Tương tự, từ [13] [14] ta có

=

l = l

Do từ [15] ta có

( l) +( l) + ( )

( l) = 4(1 −l) =  = ±

√

Các giá trị l cho giá trị x, y z tương ứng:

√ ,√ ,√ √ ,√ ,√

Dễ thấy f có giá trị nhỏ điểm thứ nhất, điểm gần

√ ,√ ,√

điểm xa

√ ,√ ,√

Hình mơ tả mặt cầu điểm P gần Ví dụ Ta xác định điểm P mà khơng cần tính tốn Thật vậy, mặt cầu có tâm gốc tọa độ nên đường nối gốc tọa độ với điểm (3, 1, -1) vng góc với mặt phẳng tiếp diện mặt cầu điểm P Nói khác đi, véc tơ pháp tuyến song song với véc tơ 3, 1, -1

Đặt F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 – = véc tơ pháp tuyến điểm P(x, y, z) lấy Fx, Fy, Fz = 2x, 2y, 2z Do

= = hay = = , hay y = x/3 z = -x/3

Vì P thuộc mặt cầu nên x2 + y2 + z2 = Thay y z vào ta

+ + − = 4, hay 11x2 = 36, suy = ±

√

Tương ứng, = ±

√ = ∓√

Dễ kiểm tra điểm gần xa có kết 2.8.2 Hai ràng buộc

Giả sử muốn tìm cực trị hàm f(x, y, z) chịu hai ràng buộc dạng g(x, y, z) = k h(x, y, z) = c Về mặt hình học, điều nghĩa tìm cực trị f (x, y, z) bị hạn chế đường cong giao mặt mức g(x, y, z) = k h(x, y, z) = c (Xem Hình 5.) Giả sử h có cực trị P(x0, y0, z0)

Chúng ta biết f trực giao với C P Nhưng biết g trực giao với g(x, y, z) = k h trực giao với h(x, y, z) = c, g h trực giao với C Điều có nghĩa véc tơ gradient f(x0, y0, z0) thuộc mặt phẳng xác định g(x0, y0, z0) h(x0, y0, z0) (Chúng ta giả thiết véc tơ khác khơng song song.) Vì tồn số l  (được gọi nhân tử Lagrange) cho

Trang 47

Trong trường hợp này, phương pháp Lagrange tìm cực trị cách giải phương trình với ẩn x, y, z, l  Các phương trình nhận cách viết phương trình 16 theo biểu thức thành phần sử dụng phương trình ràng buộc:

fx = lgx + hx fy = lgy + hy fz = lgz + hz g(x, y, z) = k h(x, y, z) = c

Ví dụ Tìm giá trị lớn hàm f(x, y, z) = x + 2y + 3z đường cong giao mặt phẳng x – y + z = với hình trụ x2 + y2 =

Lời giải Chúng ta cực đại hóa hàm f(x, y, z) = x + 2y + 3z chịu ràng buộc g(x, y, z) = x – y + z = h(x, y, z) = x2 + y2 = Điều kiện Lagrange f = lg + h, chúng ta giải phương trình:

[17] = l + 2x

[18] = -l + 2y

[19] = l

[20] x – y + z = [21] x2 + y2 =1

Thay l = vào phương trình [17] [18] ta x = -1/ y = 5/(2) Thay x, y vào [21] ta nhận

+ = = ±√29/2

Do = ∓2/√29 = ±5/√29, từ [20], = ± 7/√29 Giá trị tương ứng f

±

√ + ±√ + ±√ = ± √29