Chương V. §1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

[r]

BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA

4 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm tính liên tục của hàm số

* Định lí 1

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại !"

thì liên tục tại điểm

* Chú ý

+ Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại !"

thì khơng có đạo hàm tại điểm Nếu hàm số liên

tục tại một điểm

thì có đạo hàm tại điểm khơng?

+ Nếu hàm số liên tục tại điểm có thể khơng có đạo hàm tại điểm đó.

+ Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại !"

Ví dụ 1:

Cho hàm số:

! " = $−"& 'ế) " ≥ + " 'ế) " < +

* Tính liên tục:

!"#

$→&' ( $ = !"#$→&' −$

+ = &

!"#

$→&, ( $ = !"#$→&, $ = &

⇒ !"#

$→&' ( $ = !"#$→&, ( $ = &

!"#

$→& ( $ = & = ((&)

* Tính đạo hàm

Nhắc lại:

!" #$ = &'(

#→#$

! # − !(#$)

# − #$ (-)

Nếu giới hạn viết ở VP (1) không tồn tại hoặc bằng vơ cực f(x) khơng có

đạo hàm tại điểm #$

&'(

#→$

! # − !($)

# − $ = &'(#→$

−#/

# = &'(#→$.(−#) = $

&'(

#→$0

! # − !($)

# − $ = &'(#→$0

#

# = &'(#→$0 =

-Vậy không tồn tại &'(

#→$

! # 1!($) #1$

f(x)=-x^2 f(x)=x f(x)=0

x(t)=0, y(t)=t

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 10

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

x y

y = -x2

y = x

y x O M T (C) x X0 f(x0)

f(x)

M0

5 Ý nghĩa hình học của

đạo hàm

a) Tiếp tuyến của đường cong phẳng

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)

!" #"; %(#") ∈ ())

! #; %(#) là điểm di chuyển (C); khác !"

Đường thẳng !"! *à cát tuyến của (C) Khi x → #" thì điểm

M di chuyển (C) tới điểm !"

Giả sử cát tuyến !"! có vị trí giới hạn là !", thì !", được gọi tiếp tuyến của (C) tại !".

a) Vẽ đồ thị của hàm số f(x) = !" "

b) Tính

f’(1)=?

c) Tìm đường thẳng đi qua

điểm M (1 ; # " ) và có hệ số góc

Giả sử ∆" số gia đối số "# =

Ta có:

∆' = ( "# + ∆" − ( "# = + ∆" +

2 −

= + 2∆" + ∆" + −

= 2∆" + ∆" +

2 =

∆" + ∆"

⇒ Δ' Δ" =

∆" + ∆"

∆"

= ∆" + ∆"

2∆" =

2 + ∆" lim

∆2→#

Δ'

Δ" = lim∆2→#

2 + ∆"

2 =

Đường thẳng d có dạng y = ax + b

Vì hệ số góc bằng f’(1) = nên a = 1

=> d: y = x + b

M( ; !

" ) ∈ $ nên !

" = + b => b =

%! "

Vậy đường thẳng cần tìm y = x - !

f(x)=x^2/2 f(x)=x-1/2

-5 -4 -3 -2 -1

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5

x y

y = x - !"

f(x) = #"

b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm * Định lí 2:

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm

!" là hệ số góc của tiếp tuyến #"T của (C) tại điểm #"(!" ; f(!" ))

Ví dụ 2:

Cho hàm số y = f(x) = – !" + 3x – Tính hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ !# = 1.

Theo định lí 2, tính hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ

!# = 1; tức tính ? Giải:

Giả sử ∆! là số gia đối số !# = Ta có:

∆% = f(1 + ∆!) – f(1)

= −(( + ∆!)" + 3(1 + ∆!) − 2 – 0 = −( + 2∆! + ∆!") + + 3∆! − "

= −∆!" + ∆! = − ∆! (∆! − 1)

∆%

∆! = − (∆! − 1)

+,-∆!→# ∆%

∆! = ∆!→#+,- [− (∆! − 1)] = 1

=> f’(1) = 1

c) Phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) điểm

!"(#"; $(#")) là:

% - %" = $&(#")( x − #"),

trong %" = $(#") Muốn viết phương trình

tiếp tuyến ta cần biết

yếu tố ? Phương trình đường thẳng qua

Mo(xo ; yo) và có hệ số góc k

y – yo = k.(x – xo)

Theo định lý k = f’(xo)

Ví dụ 3:

Cho parabol y = f(x) = – !" + 3x – 2.

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hồnh độ !# = 1?

Giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến f’(1)= (Ví dụ 2) Vậy phương trình tiếp tuyến của

parabol tại điểm có hoành độ !# = là: $ − # = ' ! − '

6 Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

!(#$) = '((#$) ) #$ = *((#$)

Vận tốc tức thời:

Cường độ tức thời:

Ví dụ :

Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) = +, , ( t được tính giây, s tính mét ) Vận tốc chất điểm thời điểm +-= ( giây) ?

A) m/s B) m/s

C) m/s D) m/s

A) m/s (+-) = .′(0)

II Đạo hàm một khoảng

Bằng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số: ! " = "$ tại điểm "% bất kì.

Giải:

Giả sử ∆' số gia đối số '( bất kỳ, ta có: ∆) = * '( + ∆' − * '(

= '( + ∆' - − '(

-= '(- + 2'(∆' + ∆' - − '( -= 2'(∆' + ∆'

-⟹ ∆)

∆' =

2'(∆' + ∆'

-∆' =

∆' 2'( + ∆'

∆' = 2'( + ∆'

lim

∆3→(

∆)

∆' = lim∆3→( 2'( + ∆' = 2'( ⟹ )5 '( = 2'( * Định nghĩa:

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a ; b) nếu nó có đạo

hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Ví dụ 5:

Bài tập 2: Tính ∆" #$

#% hàm số sau theo & 'à ∆&:

a) y = 2& − c) y = 2&/

Giải Ta có:

∆" = & + ∆& − &

= & + ∆& − − 2& − = 2& + 2∆& − − 2& +

= 2∆& ⇒ Δ"

Δ& =

2∆&

∆& =

Giải

Ta có:

∆" = & + ∆& − & = & + ∆& / − 2&/

= &/ + 3&5∆& + 3& ∆& + ∆& / − 2&/ = 2&/ + 6&5∆& + 6& ∆& + ∆& / −2&/

= 6&5∆& + 6& ∆& + ∆& / = ∆& 6&5 + 6&∆& + ∆&

⇒ Δ" Δ& =

∆& 6&5 + 6&∆& + ∆& ∆&

Bài tập 3: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm hàm số

tại điểm ra: a) y = #$ + x #* =

Giải

⟹ lim

/→1

2 # − # −

0 ( ) ( ) lim o x x

f x f x

x x

®

-2 # = #$ + x = 1$ + = = lim

/→1

#$ + x − # − = lim

/→1

# − # + # −

= lim

/→1 # + = + =

Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) tại điểm !"(#"; $(#")) là:

% - %" = $&(#")( x − #") => % = $&(#")( x − #")+ %"

trong %" = $(#")

%" =? #"=? $&(#")=? Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến đường hypebol + = -,

a) Tại điểm ,.; ;

b) Tại điểm có hoành độ -1;

c) Biết hệ số góc tiếp tuyến ,1

Xét giới hạn:

0 ( ) ( ) lim o x x

f x f x x x ®

-Vậy phương trình tiếp tuyến hypebol điểm ,

.;

+ = −4 −

Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến đường hypebol ! = #$ a) Tại điểm #%; ;

b) Tại điểm có hồnh độ -1;

c) Biết hệ số góc tiếp tuyến #(

Ta có:

!* −1 = −1, ! −1 = −1

Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến đường hypebol ! = #$ a) Tại điểm #%; ;

b) Tại điểm có hồnh độ -1;

c) Biết hệ số góc tiếp tuyến #( Gọi *+ hoành độ tiếp điểm Ta có:

Với *+ = ta có ! = #%, phương trình tiếp tuyến là: ! = −

4 * − +

2 = −

4 * + Với *+ = −2 ta có ! −2 = − #

%, phương trình tiếp tuyến là:

! = −

4 * − −

2 = −

Củng cố

2) Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị: ! = #′(&')

3) Phương trình tiếp tuyến tại một

điểm của đồ thị hàm số:

( - (' = #)(&')( x − &')

1) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại &'