Một số bài toán biên liên kết đối với phương trình điều hòa và song điều hòa

Mục đích của công trình này là xét một số bài toán biên liên kết đối với phương trình điều hòa và song điều hòa trong miền hình dải bằng phương pháp sử dụng biến đổi tích phân Fourier.. [r]

(1)

1 Mở đầu

Bài toán biên liên kết (coupling, transmission, interface problems) phương trình đạo hàm riêng hình thành nghiên cứu vấn đề mơ tả phương trình đạo hàm riêng miền riêng biệt, tiếp giáp Đại lượng cần tìm miền có ảnh hưởng đến đại lượng cần tìm khác miền khác ngược lại thơng qua mặt phân cách miền ([1]-[4], [6] ,[7], v.v )

So với toán biên thơng thường phương trình vật lý tốn, tốn biên liên kết nghiên cứu Tuy nhiên, vài thập niên gần toán liên kết quan tâm nhiều hơn, chủ yếu toán liên quan đến âm học, học tĩnh điện Một số vấn đề thuiicj lĩnh vực thường mơ tả phương trình đạo hàm riêng cấp hai ([1], [2], v.v ) Một số vấn đề nước ngầm đưa đến tốn biên liên kết phương trình điều hịa (mơ tả nước ngầm) phương trình song điều hịa (mơ tả móng) ([3, [4], [6], [7], v.v )

Bài toán liên kết phương trình đạo hàm riêng nhiều người quan tâm có nhiều ứng dụng kỹ thuât Tuy nhiện, theo chúng tơi biết, toán phần nhiều xét miền giới nội

Ở đây, xét toán biên liên kết kiểu Dirichlet kiểu Neumann phương trình điều hịa song điều hịa miền hình dải phương pháp biến đổi tích phân Fourier Các tốn hồn tồn cách đặt vấn đề phương pháp giải Đã chứng minh định lý tồn nghiệm tính trơn nghiệm khơng gian Sobolev thích hợp

2 Bài tốn biên kiểu Dirichlet 2.1 Phát biểu toán

Chúng ta xét phương trình điều hịa:

∆Φ1(x, y) = 0, |x|<∞, −h < y <0, (2.1) Nguyễn Văn Ngọc, Tạ Quang Đông

Tóm tắt:

Mục đích cơng trình xét số toán biên liên kết phương trình điều hịa song điều hịa miền hình dải phương pháp sử dụng biến đổi tích phân Fourier Đã thiết lập định lý tồn nghiệm, tính trơn nghiệm tốn khơng gian Sobolev thích hợp

Từ khóa: Phương trình điều hồ, phương trình song điều hịa, tốn biên liên kết, biến đổi tích phân Fourier

MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN LIÊN KẾT ĐỐI VỚI PHƯƠNG

TRÌNH ĐIỀU HỊA VÀ SONG ĐIỀU HỊA

(2)

với điều kiện biên:

Φ1(x,−h) =u(x), x∈R, (2.3)

Φ2(x, h) =r1(x), |x|<∞, (2.4)

∂Φ2(x, h)

∂y =r2(x), |x|<∞, (2.5)

và điều kiện liên kết đường thẳngy= :

Φ1(x,0) = Φ2(x,0), |x|<∞, (2.6)

∂Φ1(x,0)

∂y =

∂Φ2(x,0)

∂y , |x|<∞, (2.7)

∂2Φ 1(x,0)

∂y2 =

∂2Φ 2(x,0)

∂y2 , |x|<∞ (2.8)

Ở đây,Φ1(x, y),Φ2(x, y)là hàm cần tìm, cịn u(x), r1(x), r2(x) hàm cho 2.2 Lời giải hình thức tốn

Chúng ta tìm cơng thức nghiệm tốn phương pháp biến đổi Fourier quy hệ phương trình cặp liên quan đến phép biến đổi Fourier ngược Nó biết đến hàm hình thức f(x), x∈R (ví dụ, f(x) ∈L1(R)), phép biến đổi Fourier phép biến đổi Fourier ngược xác định công thức sau:

ˆ

f(ξ) =F[f](ξ) = Z ∞

−∞

f(x)eixξdx, (2.9)

˘

f(ξ) =F−1[f](ξ) = 2π

Z ∞

−∞

f(x)e−ixξdx (2.10)

Phép biến đổi Fourier hàm suy rộng cho, ví dụ [5,??] Thực biến đổi Fourier tương ứng với biếnxcho phương trình (2.1), (2.2) với điều kiện (2.4)-(2.8) có điều kiện sau:

∂2Φ1(ˆ ξ, y)

∂y2 −ξ 2Φˆ

1(ξ, y) = 0, (2.11)

∂4Φ2(ˆ ξ, y)

∂y4 −2ξ

2∂2Φ1(ˆ ξ, y)

∂y2 +ξ

4Φ2(ˆ ξ, y) = 0, (2.12)

ˆ

Φ2(ξ, h) = ˆr1(ξ), ∂Φ2(ˆ ξ, h)

∂y = ˆr2(ξ), (2.13)

ˆ

Φ1(ξ,0) = ˆΦ2(ξ,0),

∂Φ1(ξ,0)

∂y =

∂Φ2(ξ,0)

dy ,

∂2Φ1(ξ,0)

∂y2 =

∂2Φ2(ξ,0)

∂y2 (2.14)

Công thức nghiệm tổng quát phương trình vi phân (2.1) (2.2) cho dạng: ˆ

(3)

ˆ

Φ2(ξ, y) =A2(ξ) cosh(|ξ|y) +B2(ξ)ycosh(|ξ|y) +C2(ξ) sinh(|ξ|y)

+D2(ξ)ysinh(|ξ|y), (2.16) đóA1, B1, A2, B2, C2, D2 hàm số tùy ý biếnξ ∈R.Từ (2.15) (2.16), cách sử dụng phép biến đổi ngược F−1 , có:

Φ1(x, y) =F−1[ ˆΦ1(ξ, y)](x), (2.17) Φ2(x, y) =F−1[ ˆΦ2(ξ, y)](x) (2.18) Rõ ràng là: hàmΦ1(x, y),Φ2(x, y)xác định công thức (2.17) (2.18) thỏa mãn

các phương trình (2.1), (2.2) điều kiện biên hỗn hợp với hệ sốA1(ξ), B1(ξ), A2(ξ), B2(ξ), C2(ξ), D2(ξ) Để thuận tiện, đặt:

u(x) := Φ1(x,−h), 0< x < l Khi ta có:

b

u(ξ) =Φ1(b ξ,−h) (2.19)

A1(ξ) =ub(ξ)

sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h)− |ξ|h

sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)

+br1(ξ) |ξ|hsinh

2(|ξ|h)

+br2(ξ)

sinh2(|ξ|h)− |ξ|hsinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h)

|ξ|

sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h), (2.20)

B1(ξ) =−ub(ξ)

sinh2(|ξ|h)

+rb1(ξ) |ξ|hcosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)

+rb2(ξ)

sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h)− |ξ|hcosh2(|ξ|h)

|ξ|

B2(ξ) =bu(ξ)

|ξ|

[sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)]

+br1(ξ)

−|ξ|cosh(2|ξ|h)

+br2(ξ) sinh(2|ξ|h)

C2(ξ) =bu(ξ)

−cosh2(|ξ|h)

+br1(ξ)

cosh(2|ξ|h) +|ξ|hcosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)

−br2(ξ) sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) +|ξ|hcosh 2(|ξ|h)

(4)

A2(ξ) =A1(ξ), D2(ξ) = (2.24) Thế hệ sốA1(ξ), B1(ξ), A2(ξ), B2(ξ), C2(ξ), D2(ξ)vào biểu thức củaΦˆ1(ξ, y),Φˆ2(ξ, y)ta có:

b

Φ1(ξ, y) =ub(ξ)

sinh(|ξ|h) cosh|ξ|(h−y)− |ξ|hcosh(|ξ|y) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)

+rb1(ξ)

|ξ|hsinh(|ξ|h) sinh|ξ|(h+y) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)

+rb2(ξ)

[sinh(|ξ|h)− |ξ|h) cosh(|ξ|h)] sinh|ξ|(h+y)

|ξ|

b

Φ2(ξ, y) =bu(ξ)

sinh|ξ|(h−y) cosh(|ξ|h)− |ξ|(h−y) cosh(|ξ|y) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)

+br1(ξ)

n |ξ|hsinh|ξ|(h+y) sinh(|ξ|h) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)

− cosh(2|ξ|h)[|ξ|ycosh(|ξ|y)−sinh(|ξ|y)

sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h) o

+br2(ξ)

nsinh|ξ|(h−y) sinh(|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h) sinh|ξ|(h+y)

|ξ|

+ |ξ|ysinh(2|ξ|h) cosh(|ξ|y)

|ξ|

(2.26)

Nghiệm tốn bên miền cho cơng thức Φj(x, y) =F−1[bΦj(ξ, y)](x), (x, y)∈Πj,(j= 1,2)

3 Tính giải tính trơn nghiệm tốn biên kiểu

Dirichlet

3.1 Tính giải toán

Định lý Giả sử u(x)∈ H1/2(R), r1(x)∈ H3/2(R) r2(x)∈ H1/2(R) Khi đó, lớp hàm tăng chậm, tồn nghiệm {Φ1,Φ2} toán (2.1)-(2.8) Nghiệm toán cho cơng thức (2.17), (2.18), cácΦ1(b ξ, y) Φ2(b ξ, y) tương ứng cho công thức (2.25) (2.26)

Chứng minh Đặt:

Π1 :={(x, y) :−∞< x <∞, −h < y <0},

(5)

Vì Φb1(ξ, y) Φb2(ξ, y) tương ứng nghiệm phương trình vi phân (2.11) (2.12), theo biến ξ hàm giảm theo quy luật hàm mũ khi−h < y < h,nên ta có:

∆Φ1(x, y) =F−1

h∂2Φ1(b ξ, y)

∂y2 −ξ

2 b Φ1(ξ, y)

i

= Π1,

∆2Φ(x, y) =F−1h∂

4 b Φ(ξ, y)

∂y4 −2ξ

2∂2Φ(b ξ, y)

∂y2 +ξ

b

Φ(ξ, y)i(x) = Π2

Như vậy, phương trình đạo hàm riêng (2.1) (2.2) thỏa mãn Bằng cách chuyển qua giới hạn dễ dàng được kiểm tra Như tồn tạo nghiệm tốn chứng minh

Tính nghiệm toán lớp hàm tăng chậm (các không gian Sobolev) suy từ tính biến đổi Fourier lớp hàm tăng chậm

3.2 Tính trơn nghiệm tốn

Xét khơng gian SobolevH1(Πj), Hm(Πj,ε),(∀m≥2,∀ε >0, j= 1,2),trong đó:

Π1,ε :={(x, y) :−∞< x <∞, −h+ε < y <0},

Π2,ε :={(x, y) :−∞< x <∞, 0< y < h−ε}

Định lý Giả sử điều kiện Định lý thỏa mãn Khi ta cóΦj(x, y)∈H1(Πj), Φj(x, y)∈

Hm(Πj, ε), j = 1,2.m≥2

4 Bài toán biên kiểu Neumann

4.1 Phát biểu toán

Trong toán này, điều kiện Dirichlet (2.3) thay điều kiện Neumann sau

∂Φ1(x,−h)

∂y =v(x), x∈R (4.1)

4.2 Lời giải hình thức tốn

Chúng ta tìm cơng thức nghiệm toán phương pháp biến đổi Fourier Thực biến đổi Fourier tương ứng với biếnxcho phương trình (2.1), (2.2) với điều kiện (2.4)-(2.8), ta công thức (2.11)-(2.16)

Tác động biến đổi Fourier lên điều kiện (4.1), ta có b

v(ξ) =−iξΦb1(ξ,−h)

Suy

b

v(ξ) =−iξ(A1cosh|ξ|h−B1sinh|ξ|h) =−iξ.ub(ξ),

trong bu(ξ) = F[u(x)](ξ) =F[Φ(x,−h)](ξ) biết đến mục trước Vì vậy: ub= ξibv

Thay biểu thức vào công thức Aj(ξ), Bj(ξ), Cj(ξ), Dj(ξ),(j = 1,2) toán

(6)

A1(ξ) =bv(ξ)

i ξ

sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h)− |ξ|h

+br1(ξ)

|ξ|hsinh2(|ξ|h)

+br2(ξ)

sinh2(|ξ|h)− |ξ|hsinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h)

|ξ|

B1(ξ) =−bv(ξ).i ξ

sinh2(|ξ|h)

+rb1(ξ)

|ξ|hcosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)

+rb2(ξ)

sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h)− |ξ|hcosh2(|ξ|h)

|ξ|

B2(ξ) =vb(ξ)

i ξ

|ξ|

+br1(ξ)

−|ξ|cosh(2|ξ|h)

+br2(ξ)

sinh(2|ξ|h)

C2(ξ) =bv(ξ)

i ξ

−cosh2(|ξ|h)

+br1(ξ)

cosh(2|ξ|h) +|ξ|hcosh(|ξ|h) sinh(|ξ|h) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)

−br2(ξ)

sinh(|ξ|h) cosh(|ξ|h) +|ξ|hcosh2(|ξ|h)

|ξ|[sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)], (4.5)

A2(ξ) =A1(ξ), D2(ξ) = (4.6)

Thế hệ sốA1(ξ), B1(ξ), A2(ξ), B2(ξ), C2(ξ), D2(ξ)vào biểu thức củaΦ1(ˆ ξ, y),Φ2(ˆ ξ, y)ta có:

b

Φ1(ξ, y) =bv(ξ)

i ξ

sinh(|ξ|h) cosh|ξ|(h−y)− |ξ|hcosh(|ξ|y) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)

+rb1(ξ) |ξ|hsinh(|ξ|h) sinh|ξ|(h+y) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)

+rb2(ξ)

[sinh(|ξ|h)− |ξ|h) cosh(|ξ|h)] sinh|ξ|(h+y)

|ξ|

(7)

b

Φ2(ξ, y) =bv(ξ)

i ξ

sinh|ξ|(h−y) cosh(|ξ|h)− |ξ|(h−y) cosh(|ξ|y) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)

+br1(ξ)

|ξ|hsinh|ξ|(h+y) sinh(|ξ|h) sinh(|ξ|h) cosh(2|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h)

− cosh(2|ξ|h)[|ξ|ycosh(|ξ|y)−sinh(|ξ|y)]

+br2(ξ)

nsinh|ξ|(h−y) sinh(|ξ|h)− |ξ|hcosh(|ξ|h) sinh|ξ|(h+y)

|ξ|

+ |ξ|ysinh(2|ξ|h) cosh(|ξ|y)

|ξ|

(4.8)

Nghiệm toán bên miền cho công thức Φj(x, y) =F[bΦj(ξ, y)](x), (x, y)∈Πj,(j= 1,2)

5 Tính giải tính trơn nghiệm tốn biên kiểu Neu-mann.

Có kết sau

Định lý Giả sử v(x) ∈ H−1/2(R), r1(x) ∈ H3/2(R) r2(x) ∈ H1/2(R) Khi đó, lớp hàm tăng chậm, tồn nghiệm {Φ1,Φ2} tốn (2.1)-(2.8)(trong điều kiện (2.3)được thay điều kiện (4.1)) Nghiệm toán cho cơng thức (2.17),(2.18), Φb1(ξ, y) Φb2(ξ, y) tương ứng cho công thức (4.7)và (4.8)

Định lý Giả sử điều kiện Định lý thỏa mãn Khi ta cóΦj(x, y)∈H1(Πj), Φj(x, y)∈

Hm(Πj, ε), j = 1,2.m≥2

Các định lý chứng minh hoàn toàn tương tự định lý Tài liệu

[1] A.S.Bonnet-Ben Dhia, J.F.Mercier, F.Millot, S.Perner and E.Peynaud,Time-Harmonic Acous-tic Scattering in a complex Flow: A full coupling between AcousAcous-tics and Hydrodynamics Com-mun.comput.Phys Vol11, No 2, 555-572, 2012

[2] I.L Chem and Y.C Shu, A coupling interface method for elliptic interface problems, Journal ò Computational Physics,225 (2), 2138-2174, 2007

[3] Igor Mozolevski, Endrei Suli , Discontinuous Galerkin Method for Interface problems of cou-pling different elliptic equations, 5th European Finite Element Fair Methods, Marseille, 17-19 May 2007

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	513,7 KB