Chương I. §7. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Vì thế ta nên tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để phân tích tiếp... Từ đó xuất hi[r]

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 1

Chƣơng I

CÁC PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

1 Phƣơng pháp đặt nhân tử chung

Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 12x y3 6x y2 3x y2 b)5(x3 ) 15 (y  x x3 )y

c)2(x y ) y y x(  ) d)    

5x y x 7 5xy 7x

 Tìm cách giải. Quan sát đề bài, thấy đa thức có nhân tử chung Bước Chọn hệ số ƯCLN hệ số

Bước Phần biến gồm tất biến chung, biến lấy với số mũ nhỏ hạng tử Nếu có hai nhân tử đối nhau, đổi dấu hai nhân tử dấu đứng trước

Lời giải

Ta có:

a) 2 2  

12x y6x y3x y  3x y – 2x y b)5(x3 ) 15 (y  x x3 ) 5(y  x3 )(1 )y  x

c)2(x y ) y y x(  ) 2(x y ) y x y(  ) ( x y)(2y)

d) 5x y x2   7 5xy7x5x y x2   7 5xy x  7 5 xy x 7x1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử

1) 4 a8b12c 2) mx my m  3) ax ay a  

4) 5a10ax15a 2

5) 3a x6a y12a 6) 2axy4a xy2 26a x3

2

7) 5a xy10a x15ay 8) a b2 2ab2ab 9) 5a b2 2ab2ab

2 3 2

10) 3 x y 6x y x y 11) 5x y2 10x y4 25x y2 2 12) 2x y3 44x y4 321y3 2

13) 4x y 8x y 12x 14) 7 x y2 514x y3 21y3 15) 8 x y3 16xy2 24 Bài Phân tích đa thức thành nhân tử

   

1) x y a x y

2) a x y   b x y  3) 2a x y   4 x y 

   

2

4) 5a x y 10a x y

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 2

   

7) mx a b m a b 8) x a b   y b a 

9) a x  1 b 1x

  2 

10) 2a x2 a  x

   

2

11) ab x 5 a 5x 2   

12) 2a x y 4a y x

   

13) 3ab x 4 4a x

   

2

14) 2 a x 1 1a x

   

2 15) a x 3 a 3x

   

16) 2xy a 1 4x y 1a

   

2

17) 5x y x 7 5xy 7x 18) 3ab x y  3a y x  

  2 

19) 3 a x 3 a 3x

   

2

20) 2a b x y 4a b  x y 21) 7a x 2y14a22y x 

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử

1 1) m m

x  x

2) m m

x  x

3) m m

x  x

2

4) xm x 5) xm2 xm1

6) xm xm

2 Phƣơng pháp dùng đẳng thức

Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 100x29y2 b)  2  2

9 a b 4 a2b c)8x327y3 d) 125 75 x9x2 x3.

 Tìm cách giải. Nhận thấy ví dụ đa thức có dạng đẳng thức Do chúng ta vận dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử

Lời giải:

Ta có:

a) 2   

100x 9y  10x3y 10x3y

b) 9a b 24a2b2 3a b  2 a2b 3 a b  2 a2b  a 7b5a b 

c) 3   2

8x 27y  2x3y 4x 6xy9y

d)  3

125 75 x15x x   x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử

1) a24b2 2) a b 2 c2

3)  

2 2

2

a b  b

4)  2

5 16

a b  b 5)  2

49a  2a b 6) a2b 2 3a b 2

7) 2 a b 216a b 2 8) 36x y 225 2 x12

9)    

2

2

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 3

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử

1) 16x28x1 2) 9x424x216 3) 9x4 12x y2 4y2

4) 4x416x y2 316y6 5) 9x412x54x6 6) 9x6 12x7 4x8

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử 1) 8x327y3

2)

1

125

64x  y 3)  

3 125 x2

4) x338

5)

6

x y 6) x12y4

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử

1) x39x227x27 2) m33m2 3m1 3) 64 48 m12m2m3

4) 27a327a29a1 5) 27a354a b2 36ab28b3 6) a b 3c3

3 Phƣơng pháp nhóm hạng tử

Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)x a b    a b b) 3a x2 3a y abx aby2  – . c) ax bx cx  2a2b2 c

 Tìm cách giải. Mỗi đa thức khơng có nhân tử chung, khơng xuất đẳng thức

Quan sát kỹ nhận thấy nhóm hạng thử thích hợp xuất nhân tử chung

Lời giải

a)x a b      a b a b x 1

b) 2 2      

3a x3a y abx aby  3a x y ab x y a x y 3a b c) ax bx cx  2a2b2cx a b c    2 a b c   x2a b c  

Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)a2 –b24a4 ;b b) xy4 2  2x2y2; c)a2 b2 ab2–a b2 2–b c2 2–c a2 2.

 Tìm cách giải. Nhận thấy đa thức ẩn chứa đẳng thức Vậy nhóm nhằm xuất đẳng thức

Lời giải

a) a2–b24a4b a b a b   4 a b   a b a b  4

b) xy4 2 2x2y 2  xy 4 2x2y xy  4 2x2y

 2 2 2  2 2 2  2 2 2 2

x y y x y y y x y x

   

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 4

c) a2  b2 ab2 –a b2 –b c2 –c a2 a2b2ab ab a  2 b2 ab ab  c a2 2b2

a2 b2a b2 c2a2 b2 a2 b2a b2 c2 a2 b2a b c a b c

           

 

   

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử 1) (x x 2) 5.(x2)

2) (x x 3) 14.(3x) 3) (x x y ) 15 (x2 x y )

2

4) 10 (x x y ) 15 (x y x ) 5) (2x x3 ) 15.(3y  y2 )x 6) (3x x2 ) 15 (2y  x2 y3 )x Bài Phân tích đa thức thành nhân tử

1) (a b c ) d b c(  ) e b c(  ) 2) (a b   3) (3 b) b(3b)

2 2 2

3) 15a b x(  y) 20ab x(  y) 25 (ab y x ) 4) (3a6 )b m a( 2 )b n b a(2  )

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử

1) xy1 2 x y 2; 2) a b c   2  a b c24 ;c2 3) a29236a2

Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

1) 3a – 3b + a2 – 2ab + b2; 2) a2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1; 3) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

1) x24xy4y29a2; 2)  2  2

xy a b ab x y ; 3) x a b2   2xy a b   ay2by2; 4) 8xy3x x y  3

Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

1) A x 4x y2 2y22xy 2) B x 6y6;

3)  2  3 2  2

4

C xy x y  x y x y xy  x y 4) D25x24xy4y2 Bài Phân tích đa thức thành nhân tử:

1) x33x y2 4xy212 ;y3 2) x34y2 2xy x 28 ;y3

3) 2    2 

3x a b c  3xy a b c  108y a b c  ; 4)    

1

a x  x a 

Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

1) x3 1 5x2 5 3x3; 2) a5    a4 a3 a2 a 1;; 3) x33x23x 1 y3; 4) 5x33x y2 45xy227y3;

b c2 b2 c2 a2

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 5

Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

1) x3x2  x 1; 2) x4x22x1; 3) 4a b2 2a2 b2 ;2

4 Phƣơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a)x26x8 b) 2x23x1

 Tìm cách giải: Các đa thức khơng có nhân tử chung, khơng ó dạng đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử khó Vì ta nên tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung để phân tích tiếp

Lời giải

a)x26x8

Cách 1: Tách số hạng thứ hai

2 2

6 8 ( ) ( 8) ( 2) 4( 2) ( 2)( 4)

x  x x  x x  x  x    x x x  x  x x Cách 2: Tách số hạng thứ ba

2 2 2

6 ( 9) ( 3) ( 1)( 1)

x  x x  x   x  x   x   x  x  Cách 3: Tách số hạng thứ ba

2 6 8 4 6 12 ( 4) (6 12) ( 2)( 2) 6( 2) ( 2)( 2 6) ( 2)( 4)

x  x x   x  x   x  x x  x  x x   x x Cách 4: Tách số hạng thứ ba

2 2

6 16 24 ( 16) (6 24) ( 4)( 4) 6( 4) ( 4)( 6)

( 4)( 2)

x x x x x x x x x x x

x x

                  

  

Cách 5: Tách số hạng thứ hai thứ ba

2 6 8 4 4 2 4 ( 4 4) 2( 2) ( 2)2 2( 2) ( 2)( 2 2)

( 2)( 4)

x x x x x x x x x x x x

x x

                   

  

b) 2x2 1.x 

Cách 1: Tách hạng tử thứ hai: 3 x   x  x

Ta có f x   2 x22xx 1 2x x  1 x 1 x1 2 x1 

Cách 2: Tách hạng tử thứ hạng tử thứ hai: 2x2  x2  x2

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 6

 Chú ý 1: Mặc dù có nhiều cách tách thông dụng tách hạng tử bậc

thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung  Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c nhân tử, ta tách hạng tử bx

thành b x b x1  2 cho b b1 2 ac b1b2 b

 Chú ý 2: Ta thực cách làm với đa thức có dạng a x. bxy cy 2 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a)x23xy2y2 b) x22xy3y2

Lời giải

a)x23xy2y2 x2xy2xy2y2 x x y(  ) (y x y ) ( x y x )( 2 )y b) x22xy3y2 x2xy3xy3y2 x x y(  ) (y x y ) ( x y x)( 3 )y Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 x xy2y22y

 Tìm cách giải: Đa thức đa thức bậc hai, có hai biến x y khơng có dạng

2

a x bxy cy ta thấy hệ số x2 số phương nên ta đưa hạng tử chứa x vào bình phương tổng hiệu Từ xuất nhân tử chung đẳng thức

Lời giải

2 2

2 (1 ) 2

x  x xy y  yx x  y y  y

  

2 2

2

2 2

2

2

1

(1 ) (1 ) (1 ) 2

4

1 1 1

2

2 4

1

2 4

1

1

2 2

x x y y y y y

x y y y y y

x y y y

x y y x y x y

        

 

        

 

   

       

   

   

          

   

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1) 3x2 7x6 2) 6x2 13x6 3) 6x2 15x6

4) 6x220x6 5) 8x2 2x3 6) 8x2 10x3

7) 8x223x3 8) 10x211x6 9) 10x27x6

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 7

Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1)x23xy2y2 2)x2xy6y2 3)2x23xy2y2

4)6x2xy y 5)6x22xy4y2 6)2x22xy4y2 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1) x22y23xy x 2y 2) x2 x xy2y22y

3) x24xy x 3y23y 4) x24xy2x3y26y

5) 6x2 xy7x2y27y5 6) 3x2 22xy4x8y7y21 7) 2x25x12y2 12y 3 10xy

8) 2x27xy x 3y23y 9) 6x2xy2y23x2y

10) 4x24xy3y22x3y 11) 2x23xy4x9y2 6y 12) 3x25xy2y24x4y

5 Phƣơng pháp thêm bớt hạng tử

5.1 Thêm, bớt số hạng tử để xuất hiệu hai bình phƣơng:

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 4x4 81 b) x4324.

 Tìm cách giải: Các hạng tử đa thức cho không chứa thừa số chung, khơng có

dạng đẳng thức nào, khơng thể nhóm số hạng Vì ta phải biến đổi đa thức cách thêm bớt hạng tử để vận dụng phương pháp phân tích biết thêm bớt để làm xuất đẳng thức

Lời giải

a) 4x4+81 4 x436x2+81 – 36 2x2 x29 – 62  x  2 x2 9 – 6x2x29 6x b)x4324x436x2324 36 x2 x2188 6x x218 6 x x 218 6 x

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:  

98 96

x  x   x  x   x

Lời giải

Ta có: x8 98x4  1 x82x4+1 96x4 x412+16x x2 4 1 64x416x x2 4 1 32x4

 4 22 2 4 2  4 2 2 2 2 2

1 – 16 – 16 –

x x x x x x x x x

       

 4 2  2 3  2 4 3 2  4 3 2 

8 – 4 –4

x x x x x x x x x x x x

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 8

5.2 Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) a3 b3 c3– 3abc b) x5 –

Lời giải

a) 3

–

a  b  c abc

Ta thêm bớt 2

3a b 3 ab sau nhóm làm xuất nhân tử chung

   

3 3 2 3 2

+

3 – 3

a  b c  a  a b ab b c a b ab  abc

 3 3       2  2

– – –

a b c ab a b c a b c a b a b c c ab

         

    

  2   2 

2 – – – – – –

a b c a ab b ac bc c ab a b c a b c ab ac bc

          

b) x5 –

Ta thêm bớt x sau dùng nhóm làm xuất nhân tử chung:

            

          

5 5 2

2

– – – – – – – – 1

1 – 1 – – 1 1

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

         

         

Ví dụ 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x4x b) x4 x21 c) x4 1996x2 1995x1996 d) x5x41

 Tìm cách giải: Với đa thức có dạng số mũ chia dư 1, chia dư phân tích thành nhân

tử xuất nhân tử x2 x 1.

Lời giải

a)x4 x x x( 3 1) x x( 1)(x2  x 1)

b)            

1 1 1 1

x x   x x  x   x x x x   x x   x x  x x  x

c)    

1996 1995 1996 1996 1996 1996

x  x  x  x x  x  x

 1 1 1996 1  1 1996

x x x x x x x x x x

           

d)  2     

1) 1

1 ( x x x

x  x   x x  x       x x x

Ví dụ 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x7 x2 1

Lời giải

Ta có :        

1 – – 1

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 9

           

       

3 2

2

1 – 1

– 1 –

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

            

           

Ví dụ 6. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

x  x 

Lời giải

Ta có:    2  

1 – –

x  x   x x  x x  x x 

      

        

        

3 3

2 2

2 2

– 1 – 1

1 – – 1

1 – – – 1 – –

x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x  x x x x x x x x x x x x

     

        



 



          

 Nhận xét. Các đa thức có dạng x3 1m  x3 2n  1 như: 7

1; 1; 1;

+ +

x x x x  x x 

5

1; ;

x  x x  x  có nhân tử chung x2 x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) x5 x 1; 2) x8 x 1

3) x11 x 1; 4) x5x41 5) x7x21; 6) x8x7 1

7) x7x51; 8) x10x51 9) x10x81; 10) x11x101 11) x11x4 1; 12) x11x7 1 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

1)x42002x22001x2002 2) x42005x22004x2005

3) x41999x2 1998x1999 4) x41997x21996x1997

5) x41996x21995x1996; 6) x42007x22006x2007

7) x42002x22001x2002; 8) x42005x22004x2005

9) x41999x21998x1999; 10) x41997x21996x1997

11) x41996x21995x1996; 12) x42007x22006x2007

13) x42019x22018x2019; 14) x42020x22019x2020

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 10

P/S: Đây 1/3 file gốc Bạn hứng thú, cảm nhận phù hợp với vào facebok Ip cho

6 Phƣơng pháp hệ số bất định

Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f x   x4 6x3 12x2 14 3.x 

 Tìm cách giải Các số 1; 3 khơng phải nghiệm đa thức f(x) nên f(x) khơng có nghiệm ngun, f(x) khơng có nghiệm hữu tỷ Như f(x) phân tích thành nhân tử phải có dạng : (x2 + ax + b)( x2 + cx + d), với a, b, c, d Z

Khai triển dạng ra, ta đa thức :      

x  a c x  ac b d x   ad bc x bd  Đồng

đa thức với f(x) ta hệ điều kiện:

6 12 14

a c ac b d ad bc bd

        

    

  

Xét bd3, với b d Z b,  ,   { 1; } Với b3 d1 , hệ điều kiện trở thành:

6

8

3 14

3

a c

ac c c

a c ac a

bd

   

        

  

        

 

   

Vậy     

f x  x  x  x  x 

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 11

  6 12 14 3  4 2 2 8 2  3 12 3

f x  x  x  x  x  x  x x  x  x  x  x  x =

        

2 2 2

4 4

x x  x  x x  x  x  x  x  x x  x

Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x4 3x3 7x2 8x 

 Tìm cách giải Đa thức có nghiệm x2 nên có thừa số x2 ta có:

        

4 3

2x 3x 7x 6x 8 x2 2x ax bx c  2x + a4 x  b 2a x  c 2b x2c

 a a b a b c b c c                          

Suy ra:   

2x  3x  7x  x   x 2 x  x  4x

Ta lại có 2x3 x2 4x đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nên có nhân tử x 1 nên 2x3 x2 x  x 2  x2 4x  

Vậy:    

2x  3x  7x  x   x 2 x 2 x  4x 

Lời giải

4 3 2

2x  3x  7x  x   2x  x  4x  5x  4x  10 8x  x 

       

2x x 5x 4x 4x 4x 10x x 2x x 4x 2x x 4x

               

x 2 x3 x2 x  x 2x 2 x2 4x 

         

Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 12x2  12x  y2  12 10y  xy 3

 Tìm cách giải. 12x2  12x  y2 12 10y  xy   a x  by 3 cx  dy 1 

     

2

–

acx c a x bdy d b y bc ad xy

       

Đồng đa thức với f(x) ta hệ điều kiện:

12 10 3 12 12 ac a bc ad c c a b bd d d b                                 2

12x 12x y 12 10y xy 3 1x y x y

          

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 12

2 2

12x  12x  y  12 10y  xy   12x  12x  x  y  6 18y  y  xy 8 xy 3

     

     

  

2

12 18 12 6 3 3

x xy x xy y y x y

x x y y x y x y

x y x y

        

        

    

 Nhận xét: Phương pháp sách viết phổ biến, xong người học thường ngại phải giải hệ điều kiện nhiều phương trình Bạn đọc tham khảo giải pháp thay cho phương pháp chương

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1) x2 x 22x2 ;2 2) x2 x 62x3 ;2

3)    

2

2

20 ;

x  x  x 4) x2 x 202 x4 ;2

5)    

2

2

12 ;

x  x  x 6) x2 x 122 x3 ;2

7) x2 x 302 x6 ;2 8) x2 x 302 x5 ;2

9)    

2

2

42 ;

x  x  x 10) x2 x 422 x6 ;2

11)    

2

2

56 ;

x  x  x 12) x2 x 562 x7 ;2

13) x4x35x3; 14) 3x45x318x23x5; 15) x42x34x22x3; 16) 2x43x3 2x2 3x3; 17) 3x44x36x2 x 2; 18) 2x4x36x22x3; 19) 3x45x3x22; 20) x45x37x2 6 21) 2x43x39x22x12

7 Phƣơng pháp xét giá trị riêng biến

Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2  2  2 

P  x y  z  y z  x  z x  y  Tìm cách giải. Nếu thay x y P  0, nên P chia hết cho x – .y

Hơn thay x y, y z, z x P khơng thay đổi (ta nói đa thức P có dạng hốn vị vịng quanh) Do đó: P chia hết cho x – y P chia hết cho y – , – .z z x

Từ đó: P  a x – y y  z z ; x a số, khơng chứa biến P có bậc đối với tập hợp biến, cịn tích x  y y  z z  x có bậc tập hợp biến Ta có : P  x y2  z  y z2  x  z x2  y  a x  y y  z z  x (*) với

, ,

x y z R nên ta chọn giá trị riêng cho x y z, , để tìm số a xong

Chú ý Các giá trị x y z, , ta chọn tùy ý, cần chúng đơi khác để tránh

0

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 13

Chẳng hạn, chọn x2; y1; z0 thay vào đẳng thức (*),ta tìm a 1

Vậy: 2  2  2         

P  x y z y z x z x y   x y y z z x   x y y z x z  

Lời giải

Nếu thay x y P0, nên P chia hết cho x – .y

Hơn thay x y, y z, z x P khơng thay đổi Do đó: x y– P chia hết cho x y–

thì P chia hết cho y z z x– , –

Từ đó: P  a x y y z z x –     ; a số P có bậc tập hợp biến, cịn tích x y y z z x      có bậc tập hợp biến

Suy 2  2  2     

P  x y z y z x z x y a x y y z z x   (*)đúng với x y z R, ,  Chọn x2; y1; z0 thay vào đẳng thức (*),ta tìm a 1

Vậy: 2  2  2         

P  x y z y z x z x y   x y y z z x   x y y z x z  

Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

 2  2   2   

Q  a b c a  b c a b  c a b c    a b c b c a c a b     Tìm cách giải. Do vai trị bình đẳng a, b, c

Lời giải

Với a0 Q0, a nhân tử Q Do vai trị bình đẳng a, b, c nên b c cũng nhân tử Q, mà Q có bậc tập hợp biến nên Q = k.abc

Chọn a = b = c = k = Vậy Q = 4abc

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) xy x y  yz y z   zx z x  

2) ab a b   bc b c   ca c a  

3) mn m n   np n p  pm p m  

4) a b b c c a       b c c a a b      c a a b b c    

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 14

6) a b b c a c       a b c a c b      b c c a b a    

7) a b b c a c       a b b c a c      a b a c c b    

8) mab n a b    mbc n b c    mca n c a   

9) kxy m x y     kyz m y z    kzx m z x   

10) aut n u t    auv n v u    atv n t v   

11) bc a d b c     ac b d c a     ab c d a b    

12) xy z m y x     yz x m z y    zx y m x z    

13) tu v wt u  uv t wu v  vt u wv t 

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 15

Chƣơng 2:

CÁC DẠNG ĐA THỨC BẬC CAO

CĨ PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

1 Các đa thức có dạng

a x bx c

( )x ( )x

aA b A c

 Phƣơng pháp:

- Với đa thức có dạng a x 4bx2c ta đặt x2 t thay vào biểu thức, đưa phân tích đa thức thành nhân tử dạng

- Với đa thức có dạng aA( )2x b A ( )x cta đặt A( )x t thay vào biểu thức, đưa phân tích đa thức thành nhân tử dạng

Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a)A5x416x23 b) 2

2( ) ( )

B x x  x  x c)Cx26xy9y23x9y2

Lời giải

a) A5x4 16x23

- Đặt x2 t, thay vào biểu thức A ta được:

2

5 16 15 ( 3) ( 3) ( 3)(5 1)

A t  t  t  t t   t t    t t t

- Thay tx2vào biểu thức ta được: A(x23)(5x21)

Vậy A(x2 3)(5x21)

b) B2(x2x)2(x2  x)

- Đặt (x2x)t, thay vào biểu thức B ta được:

2 2

2 2 2( 1) ( 1)

2( 1)( 1) ( 1) ( 1)(2 1) ( 1)(2 3)

B t t t t t t

t t t t t t t

          

           

- Thay t(x2x)vào biểu thức ta được:B(x2  x 1)(2x22x3)

Vậy 2

( 1)(2 3)

B x  x x  x

c)Cx26xy9y23x9y 2 (x26xy9 ) ( 3y2   x 9 ) 2y   2

3 3( )

x y x y

    

- Đặt (x3 )y t, Thay vào biểu thức ta được:

2 3 2 2 2 ( 1) 2( 1) ( 1)( 2)

C t       t t t t t t  t  t t

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 16

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1) 6x411x2 3; 2) x43x24; 3) 3x4 4x2 1; 4) x4 x220; 5) 4x437x29; 6) 4x437x29;

Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) x2x 24 x2x12;

2)    

2

2 2 15;

x x  x x  3) x2x 23 x2x2;

4)  

2

2 9 9 14;

x x  x  x 5) x y 24x4y12; 6) x23x27x221x10;

7) x25x2 10x2 50x24; 8) 5x2 2x22x5x2 6; Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1) x22xy y 22x2y15; 2) x22xy y 2  x y 12;

3) x28xy16y22x8y3; 4) 2  

6 3 4;

x  xy y  x y 

5) x26xy9y23x9y2; 6) x24xy4y22x2y35;

7) x24xy4y27x14y6; 8) 4x24xy y 210x5y6;

Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1)   

1 12;

x  x x  x  2)   

3 4;

x  x x   x

3) 2x2 x 2 x2  x 3 12;

4)   

2

2x  x 2x   x 10 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1) x2123x x  1 2x2; 2) x21 2x x2 1 2x2;

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 17

2 Các đa thức có dạng (x a x b x c x d )(  )(  )(  ) e với a b c d  

 Phƣơng pháp:

Biến đổi 2

(x a x b x c x d )(  )(  )(   ) e [x  (a b x ab x)  ].[  (c d x cd)  ]e sau đặt

[x  (a b x ab)  ]t

( )

x  c d x cd t 

( )

x  c d x t tiếp tục sử dụng phương pháp ban đầu Sau phân tích thành nhân tử đa thức mới, thay trở lại biến cũ để đa thức với biến cũ

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a)(x2)(x3)(x4)(x 5) 24 b)(x2)(x3)(x7)(x 8) 144

Lời giải

a)-Ta có:

(x2)(x3)(x4)(x 5) 24  (x 2)(x   5) (  x 3)(x  4) 24

  

7 10 12 24

x x x x

     

- Đặt x2 7x10t, ta được:

2 2

2

2

2

( 2) 24 24 ( 1) 25 ( 1) ( 5)( 5) ( 4)( 6)

( 10 4)( 10 6)

( 6)( 16)

( 1)( 6)( 16)

t t t t t t t t t t t

x x x x

x x x x

x x x x

                   

      

    

    

b) Ta có

(x2)(x3)(x7)(x 8) 144  (x 2)(x   7) (  x 3)(x  8) 144

  

5 14 24 144

x x x x

     

-Đặt

5 14

x  x t, ta được:

2 2

( 10) 144 10 144 ( 10 25) 169 ( 5) 13 ( 18)( 8)

t t   t t  t  t   t   t t

2 2

2

( 14 18)( 14 8) ( 32)( 6)

( 32)(( 1)( 6)

x x x x x x x x

x x x x

           

    

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x211x28)(x27x10) 72

Lời giải

    

2

(x 11x28)(x 7x10) 72  x4 x7 x2 x 5 72  (x 2)(x   7) (  x 4)(x  5) 72

  

9 14 20 72

x x x x

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 18

- Đặt x29x14t , ta được:

2 2

( 6) 72 72 ( 9) 81 ( 3) 81 ( 9)( 9) ( 6)( 12)

t t    t t  t   t  t    t t   t t

     

   

2 2

2

9 14 14 12 9 26

1 26

x x x x x x x x

x x x x

           

    

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x1x1 2 2x 3 18;

Lời giải

Ta có: 2x1x1 2 2x 3 184x28x3x22x 1 18

  

1

4 8 72

4 x x x x 

       

- Đặt  

4x 8x3 tkhi ta

      

1 1

( 1) 72 72 72

4    t t  t  t 4 t   t t  t t (*)

-Thay  

4x 8x3 t vào (*) ta

   2   2  2   2  2 

2x1 x1 2x 3 18 4x 8x 3 4x 8x 3  4x 8x5 4x 8x11

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1) x2x4x6x 8 16; 2) x2x3x4x 5 24; 3) x x 4x6x10128; 4) x1x2x3x424; 5) x x 1x2x 3 1; 6)x1x3x5x 7 20; 7) x1x2x3x 6 28; 8) x x 1x1x 2 3;

9) x2x3x7x 8 144; 10) x7x5x4x 2 72; 11) x1 2 x1 3 x2 6 x 5 4; 12) 2x1x1 4 x3 8 x 6 2;

13) 2x1 4 x1 6 x2 12 x 5 4; 14) 4x1 2 x3 4 x3 8 x 8 130;

15) 4x2 10 x4 5 x7 2 x 1 17;

16) 4x1 12 x1 3 x2x 1 4;

Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1)   

8 12 12 32 16

x  x x  x  ; 2)   

6 8 15 24

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 19

3) x24x3x26x 8 24; 4) x26x5x210x2120;

5)   

2 18 28

x  x x  x  ; 6)   

5 15 56 144

x  x x  x  ;

7) x211x28x27x1072

8)   

2

2x 7x3 2x   x 9; Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1) x3 2 3x8 3 x108; 2) 6x5 2 3x2x 1 35;

3) 12x7 2 3x2 2 x 1 3; 4) 6x7 2 3x4x 1 6;

5) 2x1 2 4x1 4 x 3 18; 6) x2 2 2x5 2 x 3 5;

7) 3x2 2 6x5 6 x 3 5; 8) x2 2 2x5 2 x 3 24;

3 Đa thức có dạng     

1 2 3 4

( )

P x  a x b a x b a x b a x b mx đó

1 4;

a a a a b b b b

Ví dụ. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:     

3 10 24

A x x x x  x

 Tìm cách giải. Nếu khai triển ngoặc tốn trở lên phức tạp dẫn đến sai lầm Quan sát kĩ đề nhận thấy hệ số bốn ngoặc có đặc điểm: 3.3  1.9 và

   

2   5 10, nghĩ đến việc nhóm hai ngoặc lại đặt biến phụ nhằm đưa bài toán đơn giản

Lời giải

Ta có :   

9x 9x 10 9x x 10 24x

     

Đặt y9x29x10 Đa thức có dạng:  

10 24

Ay y x  x

  

2 2

10 24 24

y xy y y xy xy y y x y x

         

Từ suy ra:   

9 10 10

A x  x x  x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Phân tích đa thức sau thành nhân tử

1) x3x5x6x1024x2; 2) x1x2x3x 6 32x2;

3)     

1

x x x x  x ; 4)     

2 72

x x x x  x ;

5)     

3 15 64

x x x x  x ; 6)     

2 10 54

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 20

7) x2x4x6x1236x2; 8) 4x5x6x10x123x2;

9)     

2 12

x x x x  x ; 10)     

18 35 90 67

x x x x  x ;

4 Các đa thức có dạng 2

ax bx cx kbx k a

Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B2x43x39x23x2

 Tìm cách giải. Những tốn có dạng: ax4bx3cx2kbx k a Ta đặt yx2k, biến đổi biểu thức dạng ax2 bxy my 2

Lời giải

Đặt yx2 1 y2 x42x2 1 Biến đổi biểu thức, ta có:

 4 2  3 2  2 2  2  2

2 3 5

B x  x   x  x x  x   x x   x Từ đó, biểu thức có dạng:

  

2 2 2 2

2 2 5 2( 1) ( 1) 5

B y  xy x  y  xy xy x  x   x x   x  y x y x

Từ suy ra:   

1

B x  x x  x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ dạng hồi quy 1) x46x311x26x1 2) x4x34x2 x 1

3) x46x37x26x1 4) x45x312x25x1

5) 6x4 5x338x25x6 6) x410x326x2 10x1

7) x47x314x214x1 8) x410x315x220 4

9) 2x45x327x2 25x50 10) 3x4 6x333x2 24x48

5 Các đa thức có dạng P x   x a  4 x b 4 c

 Cách giải: Đặt biến phụ

2

a b

y x  biến đổi P(x) dạng mx4  nx2 p

Ví dụ Phân tích P x   x– 3 4 x– – 164 thành nhân tử

Lời giải

Đặt y  – 2x lúc P(x) trở thành

    4 4 4 2  2  2 

– 1 – 16 12 – 14 –

Q y  y  y  y  y  y  y    

y y – y

  

Do đó:      

– 11 – –

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 21

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Phân tích đa thức thành nhân tử

1)x2 2 x84272 2)x6 4 x4482 3)x3 4  x54 16 4)3x 4 2x 4 5 2x4 5)x2 6 x4664 6)7x 4 5 x42

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 22

Chƣơng 3:

HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CASIO–FX 570VN PLUS TRONG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A ĐA THỨC BẬC CAO MỘT BIẾN

1 Tìm nhân tử đa thức bậc cao có nghiệm hữu tỷ

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 6x4 13x315x29x2

THỨ TỰ

THAO TÁC TRÊN MÁY TÍNH

CASIO

KẾT QUẢ HIỂN THỊ

Ý NGHĨA

1.1 6 6

1.2 ALPHA

X

Viết ẩn X CaSiO

1.3 )

1.4 x

4 6X

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 23

1.6 (REPLAY) 

4 6X 

Nhập đa thức máy tính CaSiO

Lưu đa thức

1.7 -

1.8 1

4

6X 13X

1.9 3

1.10 ALPHA

1.11 )

1.12 x

1.13 3

1.14 (REPLAY) 

3

4

6X 13X 15X

1.15 +

1.16 1

1.17 5

1.18 ALPHA

1.19 )

1.20 x2

1.21 9

3

4

6X 13X 15X 9X

1.22 ALPHA

1.23 )

1.24 +

3

4

6X 13X 15X 9X2

1.25 2

1.26 =

6X 13X 15X 9X2

1.27 SHIFT

6 13 15

0.6666666667

X X X

R

  

   X

0

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 24

1.28 CALC nghiệm

của đa thức

cho

2

x

1.29 1

1.30 =

Bình luận.Từ việc biết trước nghiệm đa thức cho

x ,điều chứng tỏ đa thức có nhân tử 3x2.Thực pháp chia đa thức ta phân tích đa thức cho thành nhân tử:

  

4 3

15

6x 13x  x 9x  3x2 2x 3x 3x1

Chú ý: +) Khi làm em phải trình bày chi tiết sau:

Ta có:    

6x 13x 15x 9x2 6x 9x 9x 3x  4x 6x 6x2

      

3x 2x 3x 3x 2x 3x 3x 3x 2x 3x 3x

            

+) Đến em cần kiểm tra xem ngoặc  

2x 3x 3x1 có phân tích tiếp khơng Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x3 - x2 -

Phân tích. Dùng máy tính ta tìm x = nghiệm đa thức f(x), phân tích thành nhân tử, f(x) chứa nhân tử x -

Lời giải

Ta có : f(x) = x3 - x2 - = (x3 - 2x2) + (x2 - 2x) + (2x - 4)

= x2(x - 2) + x (x - 2) + (x - 2)

= (x - 2)(x2 + x + 2)

2 Tìm nhân tử đa thức bậc cao có nghiệm vơ tỷ

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 16x4112x3284x2212x39

Bƣớc 1: Nhập đa thức vào máy tính

THỨ TỰ NỘI DUNG

THAO TÁC TRÊN MÁY TÍNH

CASIO

KẾT QUẢ HIỂN THỊ

Ý NGHĨ

A

1

Viết đa thức

4 112 28

16

212 39

x

x x

x

 

 

Tương tự bước từ: 1.1 đến 1.14

4

112 28

16

212 39

x

x x

x

 

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 25

trên máy tính CaSiO

Bƣớc 2: Tìm nghiệm đa thức gán vào ổ A,B,C,D

THỨ

TỰ NỘI DUNG

THAO TÁC TRÊN MÁY TÍNH

CASIO

KẾT QUẢ

HIỂN THỊ Ý NGHĨA

2

Tìm nghiệm thứ đa thức

SHIFT CALC Máy

Solve for X : …

Bạn bấm: = Đợi chút máy hiển thị cột kết

4

112 284

16

212 39

X X X X      X = 0.1513878189

R  

Nghiệm đa thức cho

0.1513878189

Gán nghiệm thứ đa thức cho biến A

3 Gán biến X cho biến A

SHIFT

RCL

(–) XA

0.1513878189

Tìm nghiệm khác phương trình gán biến X cho biến B

4

Quay lại đa thức

4

112 28 16 212 39 x x x x    

trên máy tính CaSiO

 (REPLAY)

4

112 28

1

2 39

4 X X X X    

Tìm nghiệm thứ hai đa thức

SHIFT CALC

Máy

Solve for X: …

4

112 284

16

212 39

X X X X      X = –1.651387819

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 26

Bạn bấm: -9 = Đợi chút máy hiển thị cột kết

R

  –1.651387819

5 Gán biến X cho biến B

SHIFT

RCL

, , , 

XB

–1.651387819

Nhận thấy biến A biến B có giá trị khác Ta tiếp tục thực nhƣ sau:

6 Tìm tổng: A+B

ALPHA

(–) A

+

ALPHA , , ,

 A+B

=

A+B 

7 Tìm tích: A.B

ALPHA

(–)

X

ALPHA , , ,

 AxB

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 27

1 

Kết quả:

Nhân tử đa thức cho là:  

x  A B x A B  , tức là:

2

2

x x





 

 

 

Do đa thức có nhân tử là: 4x2 6x1

Đề xuất: Phương pháp giải

toán

Kết phân tích thành nhân tử là:

   

4 2

112 284 212

16x  x  x  x 9 4x 6x1 4x 22x39

 Chú ý : Trong trường hợp A B A B khơng hữu tỷ, ta tiếp tục tìm nghiệm gán cho biến

C sau thử với A C B C để tìm xem tổng có kết hữu tỷ

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 28

BÀI TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ QUA CÁC KỲ THI HSG CẤP HUYỆN, CẤP TỈNH

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: a34a2 29a24

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử:

6 11

x  x  x

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 2x2 1

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x37x217x5

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x35x2 8x3

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x314x2 4x3

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: x35x28x4

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 x32x2 x

Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

( 2)( 2)

x x x  x 

Bài 10 Phân tích đa thức thành nhân tử:

6 11

x  x  x

Bài 11 Phân tích đa thức thành nhân tử: a, a32a2 13a10

b,    

2

2 4 5 16 1

a  b   ab

Bài 12 Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a47a337a2 8a12

Bài 13 Phân tích đa thức thành nhân tử: x46x313x2 12x4

Bài 14 Phân tích đa thức thành nhân tử:   

2 2

x x x  x 

Bài 15 Phân tích đa thức thành nhân tử: x22x x 22x 1

Bài 16 Phân tích đa thức x35x2 8x4thành nhân tử

Bài 17 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a, a3 a2 4a4 b, 2a37a b2 7ab22b3

Bài 18 Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: x42x y y2  29

Bài 19 Phân tích thành nhân tử: x4 6x27x6

Bài 20 Phân tích đa thức x35x2 8x4

thành nhân tử

Bài 21 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 8x23x5 27 x23x 5 15

Bài 22 Phân tích đa thức thành nhân tử: x41997x21996x1997

Bài 23 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2008x2 2007x2008

Bài 24 Phân tích đa thức thành nhân tử:A x 42010x22009x2010

Bài 25 Phân tích đa thức thành nhân tử: x42011x22010x2011

Bài 26 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x42013x22012x2013

Bài 27 Phân tích đa thức thành nhân tử:x42010x22009x2010

Bài 28 Phân tích thành nhân tử: x42015x22014x2015

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 29

Bài 30 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x42019x22018x2019

Bài 31 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x42020x22019x2020

Bài 32 Phân tích đa thức thành nhân tử:

2001.2002

x  x

Bài 33 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a,    

1

a x  x a  b, 6x313x24x3 c, x2x 22 x2x15

Bài 34 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

8 14 15

a  a  a  a

Bài 35 Phân tích đa thức thành nhân tử: x3x214x24

Bài 36 Phân tích đa thức thành nhân tử:   

2

x  x x  x 

Bài 37 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a, 12x316x25x3 b, x2 x 125x x 2  x 1 4x2

Bài 38 Phân tích đa thức thành nhân tử

a, a a 2b3b2a b 3 b, x2x3x4x 5

Bài 39 Phân tích đa thức x35x2 8x4thành nhân tử

Bài 40 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A (x 1)(x2)(x3)(x 4) 144

Bài 41 Phân tích đa thức thành nhân tử: x1x3x5x 7 15

Bài 42 Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 4x6x10128

Bài 43 Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 x 1x2 x 212

Bài 44 Phân tích đa thức thành nhân tử:   

4 10 72

x  x  

Bài 45 Phân tích đa thức thành nhân tử: x46x37x26x1

Bài 46 Phân tích đa thức thành nhân tử: x46x311x2 6x1

Bài 47 Phân tích đa thức thành nhân tử: a1a2a3a 4

Bài 48 Phân tích đa thức thành nhân tử: x2x3x4x 5 24

Bài 49 Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x1 12 x1 3 x2x 1

Bài 50 Phân tích đa thức thành nhân tử:     

4 x5 x6 x10 x12 3x

Bài 51 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A a 1a3a5a 7 15

Bài 52 Phân tích đa thức thành nhân tử: x23x1x23x 3

Bài 53 Phân tích đa thức thành nhân tử:x4x5x6x 7 1680

Bài 54 Phân tích đa thức thành nhân tử: x24x823x314x224x

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 30

Bài 56 Phân tích đa thức thành nhân tử:x22x7  x22x4x22x3

Bài 57 Phân tích đa thức thành nhân tử:x410x326x210x1

Bài 58 Phân tích đa thức thành nhân tử:x4x34x2 x 1

Bài 59 Phân tích đa thức thành nhân tử:x47x314x27x1

Bài 60 Phân tích đa thức thành nhân tử: a, 4x4 81 b, 4

64x y

Bài 61 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a, 4x4 y4 b, 4x81 c, x y4 44

Bài 62 Phân tích đa thức thành nhân tử: a, x8x41 b, x7 x51

Bài 63 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a, x7 x2 1 b, x5 x 1 c,x8 x 1

Bài 64 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a, 64x4y4 b, 4x4 y4 c, x4324

Bài 65 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a,x4 64 b, 81x44y4 c, x44y4

Bài 66 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a, x y4 44 b, 4x y4 1 c, 4x481

Bài 67 Phân tích đa thức thành nhân tử: a, a4 64 b, a44b2

Bài 68 Phân tích đa thức thành nhân tử: a, x44 b, 4x81

Bài 69 Phân tích đa thức thành nhân tử:

a, x64x321 b, a10 a5 d, x5x41

Bài 70 Phân tích đa thức thành nhân tử: x x2 1x221

Bài 71 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3.x272 36x

Bài 72 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x11x7 1

Bài 73 Phân tích đa thức thành nhân tử: x7x5x4x3x21

Bài 74 Phân tích đa thức thành nhân tử: x11x10x9  x2 x

Bài 75 Phân tích đa thức thành nhân tử: x6x4 9x39x2

Bài 76 Phân tích đa thức thành nhân tử: x814x4 1

Bài 77 Phân tích đa thức thành nhân tử: x898x41

Bài 78 Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x53x46x38x23

Bài 79 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x20 x

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 31

Bài 81 Phân tích đa thức thành nhân tử: x2y2z22xz2y1

Bài 82 Phân tích đa thức thành nhân tử: x62x4x y3 32xy3

Bài 83 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A x 3y3z33xyz

Bài 84 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x y z  3x3y3z3

Bài 85 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P2a37a b2 7ab22b3

Bài 86 Phân tích đa thức thành nhân tử:   2 2

4

a b c    a b c  b

Bài 87 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ab a b   bc b c   ca c a   2abc

Bài 88 Phân tích đa thức thành nhân tử:  2  2  2

a b c b c a c a b

Bài 89 Phân tích đa thức 2  2  2 

a b c b c a c a b thành nhân tử

Bài 90 Phân tích đa thức thành nhân tử: xy x y  yz y z   zx x z   3xyz

Bài 91 Phân tích đa thức thành nhân tử: xy x y  yz y z   zx z x  

Bài 92 Phân tích đa thức thành nhân tử: x y z4   y z x4   z x y4  

Bài 93 Phân tích đa thức thành nhân tử: a b c ab bc ca     abc

Bài 94 Phân tích đa thức thành nhân tử: a b c   3  a b c 3  b c a 3  c a b3

Bài 95 Phân tích đa thức thành nhân tử: 2  2  2 

a b c b c a c a b

Bài 96 Phân tích đa thức thành nhân tử:  3  3  3

x y z y z x z x y

Bài 97 Phân tích đa thức thành nhân tử: x2y2z2x y z   2 xy yz zx  2

Bài 98 Phân tích đa thức thành nhân tử:

 4 4 4  2 2 2 2 2 2 2  2 4

2 x y z  x y z 2 x y z x y z   x y z 

Bài 99 Phân tích đa thức thành nhân tử: 2  2  2 

c a b b a c a b c

     

Bài 100 Phân tích đa thức thành nhân tử:      

x y z  y z x  z x y

Bài 101 Phân tích đa thức thành nhân tử: ab a b   bc b c   ac c a  

Bài 102 Phân tích đa thức thành nhân tử:   3  3 

1

x y x y y x

Bài 103 Phân tích đa thức thành nhân tử: 4a b2 22a b  b c c b2 2   4c a2 22a c 

Bài 104 Phân tích đa thức thành nhân tử: 3  3  3 

x y z y z x z x y

Bài 105 Phân tích đa thức thành nhân tử: bc a d b c     ac b d a c     ab c d a b    

Bài 106 Phân tích đa thức thành nhân tử:      

a x y  a y x  x y a

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 32

Bài 108 Phân tích đa thức thành nhân tử: 81x z4 2y2z2y2

Bài 109 Phân tích đa thức thành nhân tử: x6x4x y2 2y4y6

Bài 110 Cho biểu thức Ab2 c2 a224b c2

a, Phân tích biểu thức A thành nhân tử

b, Chứng minh rằng: Nếu , ,a b c độ dài cạnh tam giác A0

Bài 111 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:    

1

a x  x a 

Bài 112 Phân tích đa thức thành nhân tử: x46x312x214x3

Bài 113 Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x4 3x37x26x8

Bài 114 Phân tích đa thức thành nhân tử: 12x25x12y212y10xy3

Bài 115 Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x4 4x35x22x1

Bài 116 Phân tích đa thức thành nhân tử: x48x63

Bài 117 Phân tích đa thức thành nhân tử: x14x2 x 12

Bài 118 Phân tích đa thức thành nhân tử:  5 5

x y x y

Bài 119 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P a 8a b4 4b8

Bài 120 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x20 x 1

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 33

HƯỚNG DẪN GIẢI

BÀI TỐN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ QUA CÁC KỲ THI HSG CẤP HUYỆN, CẤP TỈNH

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: a34a2 29a24

Lời giải:

Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm a1,a3,a 8, nên có chứa nhân tử

a1 , a3 , a8, ta có:

           

3 2

4 29 24 5 24 24 24

a  a  a  a a  a  a   a a a  a a  a

      

1 24

a a a a a a

       

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: x36x211x6

Lời giải:

Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên x 1,x 2,x 3, nên ta phân tích được:

   

3

6 11

x  x  x  x x x

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 2x2 1

Lời giải:

Nhận thấy đa thức đẳng thức nên ta có: x42x2 1 x212

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x37x217x5

Lời giải:

Bấm máy tính cho ta có nghiệm

3

x , nên có nhân tử 3x1, nên ta có:

        

3 2 2

3x 7x 17x 5 3x  x 6x 2x15x 5 x 3x 1 3x x 1 3x 1 3x1 x 2x5

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x35x2 8x3

Lời giải:

Bấm máy tính cho ta có nghiệm

2

x , nên có nhân tử 2x1, nên ta có:

        

3 2 2

2x 5x 8x 3 2x x 4x 2x6x 3 x 2x 1 2x x 1 2x 1 2x1 x 2x3

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x314x2 4x3

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 34

Bấm máy tính cho ta nghiệm

3

x nên có nhân tử 3x1, nên ta có :

     

  

3 2

2

2

3 14 3 15

3 3

3

x x x x x x x x

x x x x x

x x x

        

     

   

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: x35x28x4

Lời giải:

Bấm máy tính cho ta nghiệm : x 1,x 2, nên ta có:

  2

5

x  x  x  x x

Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 x32x2 x

Lời giải:

4 2 2 2

(x x x ) ( x   x 1) x x(   x 1) (x   x 1) (x  x 1)(x 1)

Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x( 2)(x22x 2) 1

Lời giải:

Ta có:   

( 2)( 2) 2

x x x  x   x  x x  x 

 2  2 2   2 2  4

2 2 1

x x x x x x x

         

Bài 10 Phân tích đa thức thành nhân tử: x36x211x6

Lời giải:

Ta có: x36x211x 6 x3x2 5x25x6x6

            

2

1 1

x x x x x x x x x x x

             

Bài 11 Phân tích đa thức thành nhân tử: a, a32a2 13a10

b,    

2

2 4 5 16 1

a  b   ab

Lời giải:

a, Ta nhận thấy a1,a2là nghiệm đa thức nên:

   

3

2 13 10

a  a  a  a a a

b, Ta có: a24b25216ab12 a24b2 5 4ab4a24b2 5 4ab4

 2  2     

2 2 3

a b a b a b a b a b a b

   

               

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 35

Bài 115 Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x4 4x35x22x1

Lời giải:

Ta có:   

4x 4x 5x 2x 1 ax bx1 cx dx1

Đồng hệ số ta được: 4x4 4x35x22x 1 2x2 x 12

Bài 116 Phân tích đa thức thành nhân tử: x48x63

Lời giải:

Ta có: x48x63x2ax b x  2cx d 

Đồng hệ số ta có: x48x63  

4

x  x x  x

Bài 117 Phân tích đa thức thành nhân tử:  4  2

1

x  x  x

Lời giải:

Ta có: x14x2  x 12 x14 x x  1 12

 

=  4 2 2  

1 1

x x x  x x  = x1 2 x12x22x22x1 = 2x22x1x121= x22x2 2 x22x1

Bài 118 Phân tích đa thức thành nhân tử:  5 5

x y x y

Lời giải:

Ta có: x y 5x5y5 x55x y4 10x y3 210x y2 35xy4y5x5 y5

 2 3

5xy x 2x y 2xy y

    = 5xy x y x   2xy y 22xy x y  

=   2 

5xy x y x y xy

Bài 119 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P a 8a b4 4b8

Lời giải:

Ta có: P a a b4 4b8  a4 22a b4 4 b4 2a b4 a4 b4  2 a b2 2

 4 2 4 2

a b a b a b a b

    

Nguyễn Văn Công – 0967.316.984 Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 36

Vậy Pa4b4a b2 2a2b2ab a 2b2abP = (a4 + b4 – a2b2)(a2 + b2 – ab)(a2 + b2 + ab)

Bài 120 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x20 x 1

Lời giải:

Ta có: x20  x 1 x20x2x2  x 1 x x2 18 1 x2  x 1

  

     

      

     

2 9

2

2

2

1 1

1 1

1 1

1 1 1

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x

     

       

         

 