Ôn tập Chương III. Dãy số. Cấp số cộng và Cấp số nhân

Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2 thì các số đó tạo thành một cấp số cộng, còn nếu sau đó tăng số cuối thêm 9 thì chúng lại lập thành một cấp s[r]

Chương 3:

DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC – DÃY SỐ A KI N TH C C N NH Ế Ứ Ầ Ớ

1 Phương pháp chứng minh quy nạp

1.1. Khái niệm : Để chứng minh mệnh đề chứa biến A n  mệnh đề với giá trị nguyên dương n , ta thực sau:

 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n1

 Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n k tuỳ ý k1 , chứng minh mệnh đề

đúng với n k 1.

1.2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A n là với với số nguyên dương npthì :

 Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với np

 Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n k p phải chứng minh mệnh

đề với n k 1. 2 Dãy số

2.1. Định nghĩa :Dãy số hàm số với đối số số tự nhiên

: * ( ) u

n u n



 



2.2. Dãy số tăng, dãy số giảm

  un là dãy số tăng  un1un ,  n *

  *

*

0, 1 , 0 ,

n n

n

n n

u u n

u

u n

u 



    

    

 

  un là dãy số giảm un1un ,  n *

  *

*

0, 1 , 0 ,

n n

n

n n

u u n

u

u n

u 



    

    

 

2.3. Dãy số bị chặn

  un dãy số bị chặn

* : n ,

M u M n

      .

  un dãy số bị chặn

* : n ,

m u m n

      .

  un là dãy số bị chặn  m M, : m u n M , n *.

B CÁC D NG TOÁN THẠ ƯỜNG G P : Ặ

1 Chứng minh mệnh đề quy nạp

1.1.Phương pháp :Ta thực theo bước :

 Bước : (bước sở) Chứng minh đẳng thức n1 (hoặc np)

 Bước : (bước quy nạp) Giả sử đẳng thức n k với k1 hay kp,ta phải chứng minh

đẳng thức n k 1.

1.2. Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1. Chứng minh đẳng thức sau với n * : a)

( 1) 1 3

2 n n

n 

   

(1) ; b)

2 2 ( 1)(2 1) 1 2

6

n n n

n  

  

Ví dụ 2. Chứng minh đẳng thức sau với n * : a)

( 1)( 2) 1.2 2.3 ( 1)

3

n n n

n n  

    

(1) ; b)

1 1 1

1.2 2.3 ( 1) 1 n

n n n

   

  (2)

Ví dụ 3.Chứng minh bất đẳng thức sau :

a) 2n33n1 ,  n 8 (1) ; b)

*

1 1

1 2 ,

2 n n n

      

(2) Ví dụ 4.Chứng minh mệnh đề sau :

a)

3 3 5

n

u n  n  n chia hết cho ,   n * b) vn 32n 2n

 

  chia hết cho , *

n

  

2 Tìm số hạng dãy số tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi

2.1 Phương pháp :

 Dựa theo cách cho dãy số để tìm số hạng cần tìm , dãy số cho dạng tổng quát

muốn tìm số hạng thứ k ta việc thay n k vào công thức tổng quát Nếu dãy số cho dạng truy hồi ta phải tính số hạng truy hồi dần lên đến số hạng cần tìm

 Để tìm số hạng tổng quát dãy số cho dạng truy hồi ta có nhiều cách

thơng thường ta nên viết số só hạng đầu , dự đốn công thức chứng minh lại quy nạp

2.2 Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 5.Hãy viết số hạng đầu dãy số  un biết :

a)

1 1

n

n u

n  

 ; b)

 

2

15 , 9 :

n

n n n

u u

u

u  u u 

 

 

 

 . Ví dụ 6.Tìm số hạng tổng qt dãy số  un biết :

a)

 

1 1 :

2 3

n

n n

u u

u  u

  

 

 ; b)

  2

1 3 :

1

n

n n

u u

u  u

   

 



 . 3 Xét tính tăng , giảm tính bị chặn dãy số

3.1 Phương pháp :

 Dựa theo định nghĩa :

o  un là dãy số tăng  un1un ,  n *

  *

*

0, 1 , 0 ,

n n

n

n n

u u n

u

u n

u  

    

    

 

o  un là dãy số giảm  un1un ,  n *

  *

*

0, 1 , 0 ,

n n

n

n n

u u n

u

u n

u 



    

    

 

o  un là dãy số bị chặn  m M, : m u n M , n *.

3.2 Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 7.Xét tính tăng , giảm dãy số  un biết :

a)

2 1 3 2

n

n u

n  

 ; b) 2

n

n u

n  

; c)

( 1) 2

n n

u n

 

Ví dụ 8.Xét tính bị chặn dãy số  un biết :

a)

2

2 1

n

n n

u

n n

 

  ; b) n 2 n u

n n n



  ; c) ( 1) cos2

n n

u

n   

C BÀI T P ÁP D NGẬ Ụ

Bài 1. Chứng minh đẳng thức sau   n * : a) 1.4 2.7   n n(3 1)n n( 1)2;

b)

 1  2 ( 1)

1 10

2 6

n n n

n n  

    

;

c)  

2

2 2 (4 1)

1 3 5 2 1

3 n n

n 

    

;

d)  

   

2

2 2 2 1 2 1

2 4 6 2

3

n n n

n  

   

;

e)    

 

   

3

1 1 1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 . 1 2 4 1 2 n n

n n n n n



    

   



;

f)

1 1 1 1

1 1 1

4 9 2

n

n n



     

   

     

     ;

g)

 1 sin .sin

2 2

sin sin 2 sin

sin 2

n x nx

x x nx

x 

  

;

h)  

1

2 2 2 2 2cos

2n n

 

   

          

dấu

Bài 2. Chứng minh bất đẳng thức sau :

a) 2n2 2n5 ,  n * ; b) 2

1 1 1

1 2 , 2

2 n n n

     

; c)

1 5 2 1 1

2 6 2 3 1

n

n n



    

 

,   n *; d)

1 1 1 13

1 2 2 24

n n  n , n 2 ; e)  

1

3n ,

n n n



   

f)

1 1 1 1

1

1 2 3 3 1

n n n  n  ,   n *. Bài 3. Chứng minh mệnh đề sau   n *:

a) n32n chia hết cho ; b) 7.22n232n1 chia hết cho ; c) n311n chia hết cho ; d) 13n 1 chia hết cho ;

e) 11n1122n1 chia hết cho 133 ; f) 5 2 3n233n1chia hết cho 19 Bài 4. a) Cho số thực a 1 Chứng minh : 1  1 ,

n

a na n

    

b) Chứng minh a0 ,b0 ,n * ta có : 2 2

n

n n

a b a b 

 

 

c) Cho n số thực x x x1, 2, , ,3  xn0 ;1 Chứng minh :

Bài 5. (*) Tìm số hạng tổng quát dãy số  un biết :

a)

 

1 1 : 2 1 n n n u u

u  u

  

 

 ; b)

  1 5 4 : 1 2 n n n u u u u            ; c)

 

1 1 : 5 n n n u u

u  u

  

 

 ; d)   1 1 : 1 n n n n u u u u u          ;

e)  

2 2 2 2

n

n

u    

          

daáu caên ; f)  

1 1 : 5 n n n u u

u  u

  





Bài 6. Xét tính tăng , giảm dãy số  un biết :

a) 2 1 1 n n n u n   

 ; b)

4 1 4 5

n

n n

u  

 ;

c) un  n 3 n ; d)

11 n n u n   ; e)   1 3 : 2 3 n n n n u u u u u        

 ; f)

 

1 6 : 6 n n n u u

u  u

       

Bài 7. Xét tính bị chặn dãy số  un biết :

a) 1 ( 1) n u n n 

 ; b) un n24 ;

c) 1 1 cos n u n n  

; d)

2 3 2 1

2 n n n u n     Bài 8. Xét tính bị chặn dãy số  un biết :

a)    

1 1 1

1 3 5 2 1 2 1

n u n n          ;

b) 2

1 1 1

1 2

n

u

n n n n

   

  



Bài 9. (*) Xét tính tăng , giảm bị chặn dãy số sau : a)

 

1 2 : 2 n n n u u

u  u

   

 



 ; b)

1 1 1

1 2 2

n

u

n n n

   

   .

Bài 10. Cho dãy số :   1 1 : 2 1 n n n u u u u        

 Chứng minh  un dãy số khơng đổi (dãy số có tất số

hạng nhau)

Bài 11. (*) Cho dãy số  un biết

2 2 1 3 n b n u n   

 b  Hãy xác định b để a)  un dãy số giảm ;

Bài 12. Cho dãy số  un biết un sin 4 n 1 6



 

Tính tổng 15 số hạng dãy số : 15 15

S u u u .

§2 CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

A KI N TH C C N NH Ế Ứ Ầ Ớ

1 Cấp số cộng

1.1. Định nghĩa :Dãy số  un là cấp số cộng  un1und ,  n *

d số không đổi , gọi công sai cấp số cộng

1.2. Số hạng tổng quát :  

* ( 1) , 2 ,

n

u  u n d  n n 

1.3. Tính chất :  

* 1 , 2 ,

2

k k

k

u u

u      k k 

.

1.4. Tổng n số hạng :

 

1

2 ( 1)

( )

2 2

n

n n

n u n d

n u u

S u u  u     

2 Cấp số nhân

2.1. Định nghĩa :Dãy số  un là cấp số nhân  

*

1 ,

n n

u  u q n

     

q số không đổi , gọi công bội cấp số nhân

2.2. Số hạng tổng quát :  

1 *

1. , 2 ,

n n

u u q  n n

    

2.3. Tính chất :  

2 *

1. , 2 ,

k k k

u u  u   k k  .

2.4. Tổng n số hạng :

1

1

khi 1

(1 )

1

1

n n

n

n n

S u u u nu q

u q

S u u u q

q

     

 



      

 



khi

.

B CÁC D NG TOÁN THẠ ƯỜNG G P : Ặ

1 Chứng minh dãy số cấp số

1.1. Phương pháp :Dựa theo định nghĩa cấp số cộng cấp số nhân để chứng minh

  

*

1 ,

n n n n n

u  u  u d  u   u d  n

 

, (d: không đổi)



*

1 ,

n

n n

n

u

u u q q n

u  

       

  

, (q: không đổi)

1.2 Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1. Trong dãy số sau , dãy cấp số cộng , phải tìm cơng sai cấp số cộng :

a) n 2 1

n

u  

; b)

7 3 2

n

n

u  

;

c)  1 2

n n

u    n

; d)  

1

1 3

1 , 1

n n

u

u  u n

   

  

 

Ví dụ 2. Trong dãy số sau , dãy cấp số nhân , phải tìm cơng bội cấp số nhân : a)

5 2

n n

u 

; b)

3 ( 1) 3n n n

u 

  ; c) un  n 3 ; d)

 

1

1 1

2

, 1 5

n n n

u

u  u u n

   

  

 

2 Tìm u ; d ; q ; S1 n cấp số

2.1.1. Nếu  un là cấp số cộng :



* ( 1) , 2 ,

n

u u  n d  n n 



 

1

2 ( 1)

( )

2 2

n

n n

n u n d

n u u

S u u  u     

2.1.2. Nếu  un là cấp số nhân :



1 *

1. , 2 ,

n n

u u q  n n

     .



1

1

khi 1

(1 )

1

1

n n

n

n n

S u u u nu q

u q

S u u u q

q

     

 



      

 



khi

2.2 Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 3.Tìm u1 , d u, 15 ,S20 cấp số cộng sau :

a)  un : 2,5,8,11, ; b)  un biết

9

13 5

2 5

u u

u u

  

 



Ví dụ 4.Tìm u1 , d cấp số cộng biết :

a)

1

1

10 7

u u u

u u

  

 

 

 ; b)

7

2 8 . 75

u u

u u

 

 



 ;

c)

3

12

14 129

u u

S

 

 



 ; d)

16

21 10 152 2

3 3 S

S S

   

 

 .

Ví dụ 5.a) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 25 tổng bình phương chúng 165 ;

b) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 10 tổng bình phương chúng 70

Ví dụ 6.Tìm u1 , q u, 15 , S20 cấp số nhân sau :

a)

3

2 90

240

u u

u u

 

 

 

 ; b)

1

1

65 325

u u u

u u

  

 

 



Ví dụ 7.Tìm u1 , q biết u10của cấp số nhân biết :

a)

2 . 25

31 u u

u u u

  

  

 ; b)

1

1 14 . 64

u u u

u u u

  

 



 .

Ví dụ 8.a) Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 14 tổng bình phương chúng 84

b) Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 15 tổng bình phương chúng 85

3 Các tốn ứng dụng tính chất cấp số

3.1 Phương pháp : Dựa vào cơng thức tính chất số hạng cấp số cộng cấp số nhân :

 Nếu  un cấp số cộng :  

* 1 , 2 ,

2

k k

k

u u

u      k k 

 Nếu  un cấp số nhân :  

2 *

1. , 2 ,

k k k

u u  u   k k 

.

3.3 Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 9.Cho ba số a b c, , lập thành cấp số cộng Chứng minh hệ thức sau: a) a22bc c 22ab ; b)  

2 8 2

a  bc b c

Ví dụ 10. Cho ba số a b c2, 2, 2lập thành cấp số cộng có cơng sai d 0 Chứng minh ba số

1 1 1

, ,

b c c a a b   cũng lập thành cấp số cộng.

Ví dụ 11. Cho ba số a b c, , lập thành cấp số nhân Chứng minh hệ thức sau:

a) (a2b2).(b2c2) ( ab bc )2 ; b) a24c2 4ab8bc(a 2b 2 )c Ví dụ 12. Chứng minh số

2 1 2 , ,

y x y y z  lập thành cấp số cộng số x y z, , lập thành cấp số nhân

Ví dụ 13. Tìm số dương a b cho 2a1 , 2a b , 2b1 lập thành cấp số cộng b3 ,2 ab4 ,a12

lập thành cấp số nhân

4 Tính tổng hữu hạn

4.1 Phương pháp: Để tính tổng có hữu hạn phần tử ta làm sau:

 Xét xem số hạng có lập thành cấp số cộng cấp số nhân hay không , chưa

biến đổi số hạng tách thành tổng khác mà số hạng chúng tạo thành cấp số

 Dựa công thức số hạng tổng quát cấp số để tìm xem tổng cần tính có số hạng  Tính tổng dựa vào cơng thức tính tổng n số hạng cấp số , suy kết

4.2. Chú ý :

  un lập thành cấp số cộng :

 

1

2 ( 1)

( )

2 2

n

n n

n u n d

n u u

S u u  u     

  un lập thành cấp số nhân :

1

1

khi 1

(1 )

1

1

n n

n

n n

S u u u nu q

u q

S u u u q

q

     

 



      

 



khi

4.3 Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 14. Tính tổng sau :

a) A15 20 25  7515; b) B10002 99929982 99722212. Ví dụ 15. Tính tổng sau :

a) A27 81 243  531441 ; b) B 9 99 999 99 9nsố9 Ví dụ 16. Tính tổng sau :

a) A 1 2.2 3.2 2 100.2 99 ; b)

2 2

2

1 1 1

3 3 3

3 3 3

n n

B         

      

C BÀI T P ÁP D NGẬ Ụ

Bài 1. Trong dãy số  un dưới đây, dãy số cấp số cộng, cho biết số hạng đầu cơng sai nó:

a) un 5n 3 ; b)

2 1 3

n

n

u  

; c) un n3 ;

d) 4 1

n n

u   ; e)

4 3 5

n

n

u  

; f)

 

1 2 :

3

n

n n

u u

u  u

  

 



a)

1

2 10 7

u u u

u u

  

 

 

 ; b)

2

4 10

26

u u u

u u

  

 

 

 ; c)

2 2

5 25

u u

u u

 

 

 



Bài 3. a) Giữa số 35 đặt thêm số để cấp số cộng b) Giữa số 67 đặt thêm 20 số để cấp số cộng

Bài 4. a) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 27 tổng bình phương chúng 293

b) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 28 tổng bình phương chúng 1176

Bài 5. a) Số đo góc đa giác lồi có cạnh lập thành cấp số cộng có cơng sai d 30 Tìm số đo góc

b) Số đo góc tứ giác lồi lập thành cấp số cộng góc lớn gấp lần góc nhỏ Tìm số đo góc

Bài 6. Chứng minh số a b c, , lập thành cấp số cộng :

 2 2  2  2

3 a b c  a b  a b c 

Bài 7. Chứng minh số a b c, , lập thành cấp số cộng số x y z, , lập thành cấp số cộng , biết :

a) x b 2bc c 2; y c 2ca a 2; z a 2ab b b) x a 2 bc ; y b 2 ca z c;  2 ab.

Bài 8. Tìm x để số a b c, , lập thành cấp số cộng , với:

a) a10 ; x b2x23 ;c 7 x b) a x 1 ;b3x 2 ;c x 21

Bài 9. Tìm nghiệm số phương trình: 4x3  6 6x214x 6 0, biết nghiệm số phân biệt tạo thành cấp số cộng

Bài 10.Tìm giá trị mđể phương trình :  

4 2 2 2 3 0

x  m x  m 

có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

Bài 11. Cho dãy số

   

 

1

1 , :

3 2 , 1

n

n n

u a a

u

u  u n

 

  

  

 



Tìm giá trị a để dãy số  un cấp số cộng

Bài 12.Cho cấp số cộng un

a) Chứng minh :  

*

, , ,

2

k m k m

k

u u

u    m k m k

   

b) Tính tổng 2k 1 số hạng  un , biết uk m uk m a

Bài 13. Cho dãy số  un , biết tổng n số hạng :

1 2  2

n

n n

S  

a) Hãy xác định số hạng tổng quát  un

b) Chứng minh  un cấp số cộng , tìm cơng sai

Bài 14.Cho cấp số cộng un Chứng minh :

a) 2 1

1 1 1 1

. . n n n.

n

u u u u u u u u



  

b)

 

1 2 1

1 1 1 1

, n 0

n n n

n

u

u u u u u  u u u



    

    

Bài 15. Cho dãy số  

 

1

1 2 :

3 2 , 1

n

n n

u u

u  u n n

   

    

 

a) Chứng minh dãy số  vn cấp số cộng , tìm số hạng đầu cơng sai nó.

b) Tìm số hạng tổng quát dãy số  un

Bài 16. Trong dãy số sau dãy cấp số nhân , phải tìm cơng bội

a)

1 3.

2

n n

u    

  ; b) un  n 3 ;

c)

2

2

n n

u

u  u

  



 ; d)

1

1 1

2 5

n n n

u

u  u u

   

 





Bài 17.Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân, biết:

a)

1 2

10 50

u u

u u

 

  

 



 ; b)

 

1

1 21

, 0

1 1 1 7

12

u u u

q

u u u

  

 

 

  



 ; c)

1 2 2

30 340

u u u u

u u u u

   

  

   



 ;

d)

1

1 . 64

14 u u u

u u u

 



  



Bài 18.a) Giữa số 160 chèn vào số để tạo thành cấp số nhân b) Giữa số 243 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân

Bài 19.Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 19 tích 216

Bài 20.a) Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết công bội 3, tổng số số hạng 728 số hạng cuối 486

b) Tìm cơng bội cấp số nhân có số hạng đầu 7, số hạng cuối 448 tổng số số hạng 889

Bài 21.Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số nhân, số hạng thứ hai nhỏ số hạng thứ 35, số hạng thứ ba lớn số hạng thứ tư 560

Bài 22.Số số hạng cấp số nhân số chẵn Tổng tất số hạng lớn gấp lần tổng số hạng có số lẻ Xác định cơng bội cấp số nhân

Bài 23.Bốn số a b c d, , , lập thành cấp số nhân Chứng minh :

a)        

2 2

b c  c a  d b  a d ;

b)      

2 2 2 2 2 2 2 ab bc cd   a b c b c d

Bài 24. Chứng minh :

a) Nếu a b c, , lập thành cấp số nhân ab b, 2, cbcũng lập thành cấp số nhân

b) Nếu bốn số dương a b c d, , , lập thành cấp số nhân ba số : ab bc, , cd lập thành cấp số nhân

Bài 25.Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tổng số hạng đầu 148

9 , đồng thời, theo thứ tự, chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng

Bài 26.Cho dãy số  un , biết tổng n số hạng :

5 3 5

n

n n

S  

a) Hãy xác định số hạng tổng quát  un

b) Chứng minh  un cấp số nhân , tìm cơng bội

Bài 27.Cho cấp số nhân  un có q0 , u1 0

a) Chứng minh :  

*

, , ,

k k m k m

u  u  u  m k m k

b) Chứng minh : uk um qk m

  

Bài 28. Cho dãy số  

 

1

1

1 , 2 :

3 2 , 2

n

n n n

u u

u

u  u u  n

 

  

   





Xét dãy số  vn biết : vn un1 un ,  n 1

a) Chứng minh dãy số  vn cấp số nhân.

b) Tìm số hạng tổng quát dãy số  un

Bài 29.Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tăng số thứ hai thêm số tạo thành cấp số cộng, cịn sau tăng số cuối thêm chúng lại lập thành cấp số nhân

Bài 30.Tìm số ba số đầu ba số hạng cấp số nhân, ba số sau ba số hạng cấp số cộng; tổng hai số đầu cuối 32, tổng hai số 24

Bài 31.Tìm số x y, cho x3 , 5y x 2 ,y x3y lập thành cấp số cộng x1 ,2 xy 3 ,y22

lập thành cấp số nhân

Bài 32.Chứng minh dãy  un sau vừa cấp số cộng vừa cấp số nhân

a)  

 

1

2

: 4

, 1

4

n n

n

u

u u

u  n

  

 

  



 ; b)

 

 

1

1 4 :

12 , 1

n

n n

u u

u u n

   

   



 .

Bài 33.Tính tổng sau :

a)  7

7 77 777 777 7

n

A       

soá

;

b)  5

15 155 1555 1555 5

n

B       

soá

;

c)  

2 2

2 2010

2 2010

1 1 1

, 0

C x x x x

x x x

     

          

       ;

d) D 1 2.3 3.3 22010.32009 ;

e)  

2

1 4.3 7.3 3n

E    n

;

f)

1 3 5 2 1

2 2 2 2n

n

F     

g)        

2 2 2

2 2 1 2 2 2 3 2 1

G  n  n  n  n  

Đề 3:

1) Chứng minh

 

sin 3 1

lim 0

2 1

n n

 



2) Tính giới hạn sau : a) lim 0,23 

n

b)

3 1 lim

2 n n



 c)

2

2

5 3 1

lim

2 5

n n

n n

 

 

d)  

2

lim n  n 3 n

e) lim 5 7 

n n



f)

2

2011 5 1 lim

2010 2

n n

n

 



3) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 10 , tổng số hạng cấp số nhân 155

16 Tìm

1,

u q cấp số nhân un

4) Cho

 

2

sin 3 1 2011 5

3

n

n n

u

n n

 

 

 Tìm limun

Đề 4:

1) Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi A A' a A B, ' 'b A C, ' 'c      

                                                                              a) Hãy biểu thị véc tơ BC B C' , '

                           

qua véc tơ a b c, ,   

b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Hãy biểu thị véc tơ A G'



qua véc tơ a b c, ,   

2) Cho tứ diện ABCD có cạnh a

a) Tính AB DC.  

b) Gọi M N, trung điểm AD BC,

+ Chứng minh  

1 2

MN  AB DC

  

+ Tính độ dài véc tơ MN



3) Cho tứ diện ABCD Gọi I J, trung điểm cạnh DC AB, Biết

D 2 , 3

A BC a IJ a Tìm góc AD BC.

4) Cho hình chóp S ABCD. có đáy hình thoi , SDAD SD, AB a) Tính góc hai đường thẳng SC AB,