HUONG DAN ON TAP CHUONG III DAI SO 11 NAM 12 13

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG III ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013) I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Chứng minh rằng: Mệnh đề P(n) với n∈ ¥ * * Bước 1: Kiểm tra mệnh đề P(n) với n = * Bước 2: Giả sử mệnh đề P(n) với n = k ≥ (xem giả thiết để c/m bước 3) * Bước 3: Chứng minh mệnh đề P(n) với n = k + Vậy: P(n) với n∈ ¥ * (đpcm) Phương pháp chứng minh gọi phương pháp quy nạp toán học Bài tập mẫu: Bài 1: Chứng minh với n∈ ¥ * , ta có: + + + … + (2n – 1) = n2 (1) Giải: + B1: Khi n = 1, ta có: VT = 1, VP = 12 = ⇒ VT = VP ⇒ (1) + B2: Giả sử (1) n = k ≥ 1, tức là: Sk = + + + … + (2k – 1) = k2 + B3: Chứng minh (1) n = k + 1, tức là: Sk + = + + + … + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k + 1)2 = k2 + 2k + Thật vậy: Sk + = + + + … + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = Sk + [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + ⇒ (1) n = k + Vậy: (1) với n∈ ¥ * (đpcm) n(3n + 1) Bài 2: Chứng minh với n∈ ¥ * + + + … + (3n – 1) = (1) 1(3.1+ 1) = ⇒ VT = VP ⇒ (1) Giải: + Khi n = 1, ta có: VT = 2, VP = k(3k + 1) + Giả sử (1) n = k ≥ 1, tức là: Sk = + + + … + (3k – 1) = + Chứng minh (1) n = k + 1, tức là: (k + 1)[(3(k + 1) + 1] 3k2 + 7k + = Sk + = + + + … + (3k – 1) + [3(k + 1) – 1)] = 2 Thật vậy: Sk + = + + + … + (3k – 1) + [3(k + 1) – 1)] k(3k + 1) 3k2 + 7k + ⇒ (1) n = k + = Sk + [3(k + 1) – 1)] = + (3 k + 2) = 2 Vậy: (1) với n∈ ¥ * (đpcm) Bài 3: Chứng minh với n∈ ¥ * n3 – n chia hết cho (1) Giải: Gọi An = n3 – n + Khi n = 1: A1 = 13 – = 0M3 ⇒ (1) + Giải sử (1) n = k ≥ 1, tức là: Ak = k3 – kM3 + Chứng minh (1) n = k + 1, tức là: Ak + = (k + 1)3 – (k + 1)M3 Thật vậy: Ak + = (k + 1)3 – (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + – k – = k3 + 3k2 + 2k = (k3 – k) + (3k2 + 3k) = Ak + 3k(k + 1) Mà AkM3 3k(k + 1)M3 nên: Ak + = (k + 1)3 – (k + 1)M3 ⇒ (1) n = k + Vậy: (1) với n∈ ¥ * (đpcm) Bài 4: Chứng minh với n∈ ¥ * 4.6n + 5n – chia hết cho (1) Giải: Gọi An = 4.6n + 5n – + Khi n = 1: A1 = 4.61 + 51 – = 25M5 ⇒ (1) + Giả sử (1) n = k ≥ 1, tức là: Ak = 4.6k + 5k – 4M5 + Chứng minh (1) n = k + 1, tức là: Ak + = 4.6k + + 5k + – 4M5 Thật vậy: Ak + = 4.6k + + 5k + – = 4.6k.6 + 5k.5 – = 24.6k + 5k.5 – = (4.6k + 5k – 4) + (20.6k + 4.5k) = Ak + 5(4.6k + 4.5k – 1) Mà: AkM5 5(4.6k + 4.5k – 1)M5 nên: Ak + = 4.6k + + 5k + – 4M5 ⇒ (1) n = k + Vậy: (1) với n∈ ¥ * (đpcm) Bài 5: Cho tổng Sn = 1 1 + + + + 1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) a) Tính S1, S2, S3, S4 b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn chứng minh phương pháp quy nạp 1 1 = S2 = + = = Giải: a) S1 = 1.3 3 3.5 15 15 3 28 S3 = + = = S4 = + = = 3.7 35 7 7.9 63 1 1 n + + + + b) Dự đoán: Sn = = (1) 1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) 2n + 1 + Khi n = 1: VT = , VP = ⇒ VT = VP ⇒ (1) 3 1 1 k + + + + + Giả sử (1) n = k ≥ 1, tức là: Sk = = 1.3 3.5 5.7 (2k − 1)(2k + 1) 2k + + Chứng minh (1) n = k + 1, tức là: 1 1 k +1 k +1 + + + + + = Sk + = = 1.3 3.5 5.7 (2k − 1)(2k + 1) [2(k + 1) − 1][2(k + 1) + 1] 2(k + 1) + 2k + 1 1 + + + + + Thật vậy: Sk + = 1.3 3.5 5.7 (2k − 1)(2k + 1) [2(k + 1) − 1][2(k + 1) + 1] 1 k = Sk + = + [2(k + 1) − 1][2(k + 1) + 1] 2k + (2k + 1)(2k + 3) 2k2 + 3k + (k + 1)(2k + 1) k +1 ⇒ (1) n = k + = = = (2k + 1)(2k + 3) (2k + 1)(2k + 3) 2k + Vậy: (1) với n∈ ¥ * (đpcm) Bài tập tự luyện n(n + 1) Bài 1: Chứng minh với n∈ ¥ * thì: a) + + + … + n = n n(n + 1)(2n + 1) 1 1 −1 b) + + + + n = n c) 12 + 22 + 32 + + n2 = 2 n+1 n(4n2 − 1) n 2 2 (3 − 3) d) + + 27 + … + = e) + + + … + (2n – 1) = 2 n(n + 1)(n + 2) n (n + 1) f) 13 + 23 + 33 + … + n3 = g) 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = 2 2 n n(n + 1) + + + + = h) 1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) 2(2n + 1) Bài 2: Chứng minh với n∈ ¥ * thì: a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho b) 4n + 15n – chia hết cho c) n + 11n chia hết cho d) 11n + + 122n – chia hết cho 133 e) 2n3 – 3n2 + n chia hết cho n f) 13 – chia hết cho g) 3n + 15n chia hết cho 1 1 n + + + + Bài 3: Cho tổng Sn = ĐS: Sn = 1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1) 4n + a) Tính S1, S2, S3, S4 b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn chứng minh phương pháp quy nạp 1 1 n + + + + Bài 4: Cho tổng Sn = ĐS: Sn = 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n+ a) Tính S1, S2, S3, S4 b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn chứng minh phương pháp quy nạp II DÃY SỐ: Dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số), Ký hiệu: un = u(n) (un) với n∈ ¥ * Viết dạng khai triển: u1, u2, u3, …, un, … Trong u1 số hạng đầu; un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Dãy số hữu hạn: Hàm số u xác định tập M = { 1,2,3,4, ,m} với m∈ ¥ * Viết dạng khai triển: u1, u2, u3, …, um Trong đó: u1 số hạng đầu; um số hạng cuối Cách cho dãy số: a) Cho công thức số hạng tổng quát b) Cho phương pháp mô tả c) Cho phương pháp truy hồi Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn: a) Dãy số (un) gọi dãy số tăng un + > un un + – un > với n∈ ¥ * b) Dãy số (un) gọi dãy số giảm un + < un un + – un < với n∈ ¥ * c) Dãy số (un) gọi bị chặn ∃ số M: un ≤ M, ∀n∈ ¥ * d) Dãy số (un) gọi bị chặn ∃ số m: un ≤ m, ∀n∈ ¥ * e) Dãy số (un) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức là: m ≤ un ≤ M, ∀n∈ ¥ * Bài tập mẫu: Bài 1: Viết số hạng đầu dãy số có số hạng tổng quát un cho công thức: 3n + (−1)n 2n + 3n n u = u = a) n b) n c) un = n 4n + (−1)n+1 n2 2 13 11 Giải: a) số hạng đầu là: ; 1; ; ; b) số hạng đầu là: 3; ; ; ; 13 15 16 25 27 81 243 c) số hạng đầu là: ; ; ; ; 8 32  u1 = Bài 2: Cho dãy số  với n ≥  un+1 = un + 2n + a) Viết số hạng đầu dãy số b) Chứng minh phương pháp quy nạp: u n = n2 (1) Giải: a) số hạng đầu là: 1, 4, 9, 16, 25 b) + Khi n = 1, ta có: u1 = 12 = ⇒ (1) + Giả sử (1) n = k ≥ 1, tức là: uk = k2 + Chứng minh (1) n = k + 1, tức là: uk + = (k + 1)2 Thật vậy: uk + = uk + 2k + = k2 + 2k + = (k + 1)2 ⇒ (1) n = k + Vậy: (1) n∈ ¥ * 2n + Bài 3: Cho dãy số (un) với un = 2n − 31 a) Tìm số hạng đầu dãy số b) Tìm xem số hạng thứ dãy số 29 11 13 Giải: a) số hạng đầu là: 3; ; ; ; ; 11 2n + 31 31 ⇔ 58n + 29 = 62n – 31 ⇔ 4n = 60 ⇔ n = 15 Vậy: = b) Ta có: số hạng thứ 15 2n − 29 29  u1 =  với n ≥ Bài 4: Cho dãy số (un) xác định sau:  u = − n +  un  a) Viết số hạng đầu dãy số b) Chứng minh phương pháp quy nạp u n = c) Tìm số hạng thứ 101 dãy số n+ (1) n Giải: a) số hạng đầu dãy số là: 2; b) + Khi n = 1: u1 = ; ; ; ; 1+ = ⇒ (1) + Giả sử (1) n = k ≥ 1, tức là: uk = k +1 k + Chứng minh (1) n = k + 1, tức là: uk + = (k + 1) + k + = k +1 k +1 k k+ ⇒ (1) n = k + Vậy: (1) n∈ ¥ * =2– = uk k +1 k +1 101+ 102 = c) Số hạng thứ 101 là: u101 = 101 101 * Phương pháp xét tính tăng, giảm dãy số (un) 1) Cách 1: + Lập hiệu H = un + – un xét dấu biểu thức + Nếu H > 0, ∀n∈ ¥ * dãy số (un) tăng + Nếu H < 0, ∀n∈ ¥ * dãy số (un) giảm un+1 2) Cách 2: + Lập tỷ số T = (với ĐK un > 0, ∀n∈ ¥ * ) un + Nếu T > 1, ∀n∈ ¥ * dãy số (un) tăng + Nếu T < 1, ∀n∈ ¥ * dãy số (un) giảm Bài 5: Xét tính tăng, giảm dãy số (un) sau: n n+ n 2n − a) un = 2n – b) un = n c) un = n d) un = e) un = (−1)n n+ n+ +1 Giải: a) Cách 1: Xét hiệu H = un + – un = 2(n + 1) – – (2n – 1) = 2n + – – 2n + = > Suy ra: H > ⇔ un + > un Vậy: Dãy số (un) dãy số tăng un+1 2(n + 1) − 2n + = = Cách 2: Vì un > 0, ∀n∈ ¥ * : Xét tỷ số: T = un 2n − 2n − 2n + Do > 1, ∀n∈ ¥ * ⇒ T > ⇔ un + > un Vậy: Dãy số (un) dãy số tăng 2n − n + n n + 1− 3n −2n + = 2n+1 b) Cách 1: Xét hiệu H = un + – un = n+1 − n = 3 32n+1 −2n + Do – 2n + < 32n + > 0, ∀n∈ ¥ * ⇒ 2n+1 < , ∀n∈ ¥ * ⇒ H < ⇔ un + < un Vậy: Dãy số (un) dãy số giảm un+1 n + 3n n + * = n+1 = Cách 2: Vì un > 0, ∀n∈ ¥ : Xét tỷ số: T = un n 3n n+ Do < 1, ∀n∈ ¥ * ⇒ T < ⇔ un + < un Vậy: Dãy số (un) dãy số giảm 3n 2n+1 − 2n − (2n+1 − 1)(2n + 1) − (2n+1 + 1)(2n − 1) − = c) Cách 1: Xét hiệu H = un + – un = n+1 + 2n + (2n+1 + 1)(2n + 1) 22n+1 + 2n+1 − 2n − 1− 22n+1 + 2n+1 − 2n + 2.2n+1 − 2.2n 4.2n − 2.2n 2n+1 = = = = (2n+1 + 1)(2n + 1) (2n+1 + 1)(2n + 1) (2n+1 + 1)(2n + 1) (2n+1 + 1)(2n + 1) 2n+2 − 2n+1 n+1 n+1 n * ⇒ Do > (2 + 1)(2 + 1) > 0, ∀n∈ ¥ > , ∀n∈ ¥ * n+1 n (2 + 1)(2 + 1) ⇒ H > ⇔ un + > un Vậy: Dãy số (un) dãy số tăng un+1 2n+1 − 2n + 22n+1 + 2n+1 − 2n − * = = Cách 2: Vì un > 0, ∀n∈ ¥ : Xét tỷ số: T = un 2n+1 + 2n − 22n+1 − 2n+1 + 2n − Thật vậy: uk + = – 22n+1 + 2n+1 − 2n − > 1, ∀n∈ ¥ * ⇒ T > ⇔ un + > un Vậy: Dãy số (un) dãy số tăng 2n+1 n+1 n − + −1 n + 1+ n + = d) Cách 1: Xét hiệu H = un + – un = n + 1+ n + Do n + > n + > 0, ∀n∈ ¥ * ⇒ H > ⇔ un + > un Vậy: Dãy số (un) dãy số tăng un+1 n + 1+ n + (n + 2)(n + 2) n2 + 4n + * = = = Cách 2: Vì un > 0, ∀n∈ ¥ : Xét tỷ số: T = un n + 1+ n + (n + 3)(n + 1) n2 + 4n + Do n2 + 4n + > 1, ∀n∈ ¥ * ⇒ T > ⇔ un + > un Vậy: Dãy số (un) dãy số tăng n + 4n + n e) un = (−1)n , ta có: u1 = − ; u2 = ; u3 = − ; u4 = n+ Nhận thấy: u1 < u2; u2 > u3; u3 < u4 Vậy: Dãy số (un) không tăng không giảm * Phương pháp xét tính bị chặn dãy số (un) + Nếu CM được: un ≤ M, ∀n∈ ¥ * (1) un ≥ m, ∀n∈ ¥ * (2) m ≤ un ≤ M, ∀n∈ ¥ * (3) + Nếu (1) xảy dãy số (un) bị chặn M + Nếu (2) xảy dãy số (un) bị chặn n + Nếu (3) xảy dãy số (un) bị chặn Bài tập mẫu Bài 1: Xét tính bị chặn dãy số (un), biết: 2n − 2n2 + n + 2n3 − n + (−1)n u = a) un = b) n c) un = d) un = n2 + n n+ 2n + n2 + 2 2n + n + Giải: a) Ta có: un = > 0, ∀n∈ ¥ * ⇒ dãy số (un) bị chặn n +n 2n + n + n− = 2− ≤ 2, ∀n∈ ¥ * (lấy tử chia cho mẫu) Ta lại có: un = n +n n +n ⇒ dãy số (un) bị chặn Vậy: Dãy số (un) bị chặn 2n − > 0, ∀n∈ ¥ * ⇒ dãy số (un) bị chặn b) Ta có: un = n +2 2n − 2n − 2n − 1 < = = − < , ∀n∈ ¥ * ⇒ dãy số (un) bị chặn Ta lại có: un = 2 n n n +2 n Vậy: Dãy số (un) bị chặn 2n3 − > , ∀n∈ ¥ * ⇒ dãy số (un) bị chặn c) Ta có: un = n+ 2n3 − ≤ M , ∀n∈ ¥ * Ta lại có: Dãy (un) khơng có số M mà un = n+ ⇒ dãy số (un) không bị chặn Vậy: Dãy số (un) không bị chặn n + (−1)n ≥ 0, ∀n∈ ¥ * ⇒ dãy số (un) bị chặn d) Ta có: un = 2n + n + (−1)n n + 1 1 ≤ = + ≤ + = , ∀n∈ ¥ * ⇒ dãy số (un) bị chặn Ta lại có: un = 2n + 2n + 2(2n + 1) Vậy: Dãy số (un) bị chặn Bài tập tự luyện Bài 1: Viết năm số hạng đầu dãy số có số hạng tổng quát un cho công thức: n n n 2n −  1 a) un = n b) un = n c) un =  1+ ÷ d) un = −1 +1 n2 +  n  u1 = −1 Bài 2: Cho dãy số (un), biết:  với n ≥  un+1 = un + Do a) Viết năm số hạng đầu dãy số b) Chứng minh phương pháp quy nạp: u n = 3n – c) Tìm số hạng thứ 200 dãy số (596) d) Tìm xem 245 số hạng thứ dãy số (83) 2n Bài 3: Cho dãy số (un) định bởi: un = n +1 a) Viết năm số hạng đầu dãy số b) Số số hạng thứ dãy số (9) 41 n− Bài 4: Cho dãy số (un), biết: un = n(n + 1) 12 a) Tìm số hạng thứ 25 dãy số ( ) b) Số số hạng thứ dãy số (7) 325 28  u1 = Bài 5: Cho dãy số (un) xác định sau:  với n ≥  un = 2un−1 + a) Viết số hạng đầu dãy số b) Chứng minh phương pháp quy nạp: u n = 2n – c) Tìm xem 1023 số hạng thứ dãy số (10)  u1 = Bài 6: Cho dãy số (un), biết:  với n ≥  un+1 = 2un − a) Viết năm số hạng đầu dãy số b) Chứng minh un = 2n – + phương pháp quy nạp b) Tìm xem 257 số hạng thứ dãy số (9)  u = ,u =  Bài 7: Cho dãy số (un), biết:  với n ≥  u = (3u − u )  n n−1 n−2 2n+1 − a) Viết năm số hạng đầu dãy số b) CM phương pháp quy nạp: un = 2n−1 Bài 8: Xét tính tăng, giảm dãy số (un) sau: 2− n n2 − a) un = 2n2 – (tăng) b) un = (giảm) c) un = (tăng) n+ n +1 n2 + n + 2n + u = d) un = (giảm) e) (giảm) n n2 + 2n d) un = 2n + (−1)n (không tăng, không giảm) Bài 9: Xét tính tăng, giảm dãy số (un) sau: n− 2n + a) un = − 2(giảm) b) un = (tăng) c) un = (giảm) n n+ 5n + 3n n d) un = (−1)n (2n + 1) (không tăng, không giảm) e) un = n (tăng) Bài 10: Xét tính tăng, giảm dãy số (un) sau: 2n + a) un = 101 – 2n (giảm) b) un = 3n – (tăng) c) un = (tăng) n2 Bài 11: Xét tính bị chặn dãy số (un) sau: 1 4n2 − * < u ≤ u = a) un = ( , ; bị chặn) b) ( 0< un < 1, ∀n∈ ¥ * ; bị chặn) ∀ n ∈ ¥ n n (n + 2)2 n + 4n n+ n +1 c) un = (un ≥ 2, ∀n∈ ¥ * ; bị chặn dưới) f) un = ( 1< un ≤ , ∀n∈ ¥ * ; bị chặn) n n +1 n n 2n + (−1) d) un = ( ≤ un ≤ 1, ∀n∈ ¥ * ; bị chặn) e) un = ( ≤ un ≤ 1, ∀n∈ ¥ * ; bị chặn) n+ 2n + III CẤP SỐ CỘNG Nếu (un) CSC (un) có cơng sai d un+1 = un + d với n∈ ¥ * Đặc biệt: Khi d = CSC dãy số không đổi (tất số hạng nhau) Số hạng tổng quát: un = u1 + (n − 1)d với n ≥ u1 số hạng đầu, d cơng sai u +u Các số hạng cấp số cộng: uk = k−1 k+1 với k ≥ 2 n n Tổng n số hạng đầu cấp số cộng: a) Sn = (u1 + un ) b) Sn = [2u1 + (n − 1)d] 2 Bài tập mẫu Bài 1: Trong dãy số (un) sau đây, dãy số cấp số cộng ? Tìm số hạng đầu công sai  u1 = 5− 3n ? (nếu có) a) un = − 5n b) un = c) un = 2n + d)   un+1 = 1− un Phương pháp: Xét hiệu H = un+1 − un ; a) Nếu H số dãy số cấp số cộng b) Nếu H = f(n) dãy số cấp số cộng Giải: a) Xét hiệu: un + – un = – 5(n + 1) – (9 – 5n) = – 5n – – + 5n = – Vậy : Dãy số un = – 5n cấp số cộng Số hạng đầu là: u1 = – = ; công sai là: d = – 5− 3(n + 1) 5− 3n 5− 3n − 3− 5+ 3n − = =− b) Xét hiệu: un + – un = 4 4 5− 3n Vậy: Dãy số un = cấp số cộng Số hạng đầu là: u1 = ; công sai là: d = − 4 n+1 n n+1 n c) Xét hiệu: un + – un = + 1− − 1= − Vậy: Dãy số un = 2n + 1khơng phải cấp số cộng d) Ta có: u1 = 1, u2 = 0, u3 = 1, u4 = 0,  u1 = Nhận thấy: u2 – u1 = –1 ≠ u3 – u2 = Vậy: Dãy số  cấp số cộng  un+1 = 1− un Bài 2: Cho cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát: un = 7n − a) Tìm số hạng đầu cơng sai CSC b) Tìm u2012 c) Tính tổng 100 số hạng đầu d) Số 1208 số hạng thứ CSC Giải: a) Số hạng đầu: u1 = 4; công sai: d = b) u2012 = 14081 n 100 [2.4 + (100 − 1).7] = 35050 c) S100 = [2u1 + (n − 1)d] = 2 d) Ta có: 7n – = 1208 ⇔ n = 173 Vậy: Số 1208 số hạng thứ 173 CSC Bài 3: Cho cấp số cộng (un), biết u1 = ; d = Sn = 34275 a) Tìm cơng thức số hạng tổng cấp số cộng b) Tìm u 99 c) Số 1502 số hạng thứ ? d) Tìm n Giải: a) un = u1 + (n – 1)d = + (n – 1).3 = + 3n b) * Cách 1: u99 = + (99 – 1).3 = 299 * Cách 2: u99 = + 3.99 = 299 c) * Cách 1: un = u1 + (n – 1)d ⇔ 1502 = + (n – 1).3 ⇔ 3n = 1500 ⇔ n = 500 * Cách 2: un = + 3n ⇔ 1502 = + 3n ⇔ 3n = 1500 ⇔ n = 500 n n d) Ta có : Sn = [2u1 + (n − 1)d] ⇔ 34275 = [2.5+ (n − 1).3] ⇔ 68550 = 10n + 3n2 – 3n 2  n = 150 ⇔ 3n2 + 7n – 68550 = ⇔  Vậy: n = 150  n = − 457(loaïi)  Bài 4: Cho cấp số cộng (un) có u20 = – 52 u51 = – 145 Tìm số hạng tổng quát cấp số cộng Giải: Ta có: u20 = u1 + 19d; u51 = u1 + 50d  u1 + 19d = −52 u = ⇔ Khi đó, ta có hệ:  d = −3  u1 + 50d = −145 Suy ra: un = u1 + (n – 1)d = + (n – 1).( –3) = – 3n Bài 5: Cho cấp số cộng (un) có u18 – u3 = 75 Tìm cơng sai d Giải: Áp dụng công thức: um = uk + (m – k)d Khi : u18 = u3 + (18 – 3).d ⇔ u18 – u3 = 15d ⇔ 15d = 75 ⇔ d = Bài 6: Cho cấp số cộng (un) có u4 + u12 = 90 Tìm S15 Giải: Ta có: u4 + u12 = u1 + 3d + u1 + 11d = 2u1 + 14d = 90 15 15 (2u1 + 14d) = 90 = 675 Suy : S15 = 2 Bài 7: Xác định số hạng công sai cấp số cộng (un), biết:  u6 =  u1 + u6 = 18  u9 − u4 = 15 a)  b)  c)  2  u3 + u7 = 22  u3.u8 = 184  u2 + u4 = 16 17  u1 =   u1 + u6 = 18  u + u + 5d = 18 2u + 5d = 18  ⇔ 1 ⇔ ⇔ Giải: a)   u1 + 2d + u1 + 6d = 22 2u1 + 8d = 22  u3 + u7 = 22 d =   u9 − u4 = 15  u1 + 8d − u1 − 3d = 15 5d = 15 ⇔ ⇔ b)  (u1 + 2d)(u1 + 7d) = 184 (u1 + 2d)(u1 + 7d) = 184  u3.u8 = 184 d = d = d = ⇔ ⇔  ⇔ (u1 + 6)(u1 + 21) = 184  u1 = 2; u1 = −29  u1 + 27u1 − 58 =  u6 =  u1 + 5d =  u1 = 8− 5d ⇔ ⇔ c)    2 2 (8− 4d) + (8− 2d) = 16 (u1 + d) + (u1 + 3d) = 16  u2 + u4 = 16  u1 = −6  u1 = 8− 5d  u1 = −2  ⇔ ⇔  14 d = 20d − 96d + 112 = d = Bài tập tự luyện Bài 1: Trong dãy số (un) sau đây, dãy số cấp số cộng ? Tìm số hạng đầu cơng sai ? (nếu có) n − 3n a) un = – 2n (CSC) b) un = − 1(CSC) c) un = 3n (không CSC) d) un = (CSC) 2 Bài 2: Cho cấp số cộng (un) có số hạng tổng quát: un = 5− 4n a) Tìm số hạng đầu công sai CSC (u1 = 1; d = – 4) b) Tìm u2013 (–8047) c) Tính tổng 200 số hạng đầu (–79400) d) Số – 8019 số hạng thứ CSC (2006) Bài 3: Cho cấp số cộng (un), biết u1 = –7 ; d = Sn = 7040 a) Tìm cơng thức số hạng tổng cấp số cộng (un = 2n – 9) b) Tìm u1973 (3937) c) Số 4013 số hạng thứ ? (2011) d) Tìm n (88) Bài 4: Cho cấp số cộng (un) có u30 = 83 u80 = 233 Tìm số hạng tổng quát CSC (3n – 7) Bài 5: Cho cấp số cộng (un) có u20 – u5 = – 15 Tìm công sai d (d = –1) Bài 6: Cho cấp số cộng (un) có u2 + u22 = 60 Tìm S23 (690) Bài 7: Xác định số hạng công sai cấp số cộng (un), biết:  u7 + u15 = 50  u1 − u3 + u5 = 10  u7 − u3 =  u7 = a)  b)  c)  d)   u1 + u6 = 17  u2.u7 = 75  u13 = 23  u4 + u12 = 1170  u1 = 16  u1 =  u1 = −17  u1 = 21/  u1 =  u1 = −7 ĐS: a)  b)  ; c)  ; d)  d = −3 d = d = d = d = d = 5/ IV CẤP SỐ NHÂN Nếu (un) cấp số nhân với cơng bội q, ta có: un + = un.q với n∈ ¥ * Đặc biệt: a) Khi q = 0: CSN có dạng: u1, 0, 0, , 0, b) Khi q = 1: CSN có dạng: u1, u1, u1, , u1, c) Khi u1 = ∀ cơng bội q: CSN có dạng: 0, 0, 0, , 0, Số hạng tổng quát: un = u1.qn−1 với n ≥ 2, u1 số hạng đầu q công bội Các số hạng cấp số nhân: u2k = uk−1.uk+1 với k ≥ hay uk = uk−1.uk+1 Tổng n số hạng đầu CSN: Sn = u1(1− qn ) với q ≠ Đặc biệt : Nếu q = Sn = n.u1 1− q Bài tập mẫu Bài 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3; q = − a) Tìm cơng thức số hạng tổng quát b) Tìm u12 c) Hỏi số hạng thứ mấy? 256 n−1 11  1  1 n–1 Giải: a) Ta có: un = u1.q =  − ÷ b) u12 =  − ÷ = − 2048  2  2 n−1 n−1 n−1 1  1  1 ⇔  − ÷ =  − ÷ ⇔ n – = ⇔ n = c) Ta có: =  − ÷ ⇔  − ÷ = 256 256  2  2  2  2 Vậy: Số số hạng thứ chín 256 Bài 2: Cho cấp số nhân (un), biết u1 = 2, u3 = 18 a) Tìm cơng bội b) Tính tổng 10 số hạng 2 Giải: a) Ta có: u3 = 18 ⇔ u1.q = 18 ⇔ 2.q = 18 ⇔ q2 = ⇔ q = ±3 2[1− (−3)10 ] 2(1− 310 ) = −29524 = 59048 ; * Với q = –3: S10 = b) * Với q = 3: S10 = 1− (−3) 1− Bài 3: Cho dãy số (un) với un = 22n + a) Chứng minh dãy số (un) cấp số nhân Tìm số hạng đầu u1 cơng bội q b) Tính S14 c) Hỏi số 2048 số hạng thứ cấp số nhân 2(n+1)+1 u 22n+3 2n+ 3− 2n−1 = 22 = Giải: a) Xét tỷ số: n+1 = 2n+1 = 2n+1 = un 2 2n + Vậy: Dãy số (un) với un = cấp số nhân Số hạng đầu: u1 = 23 = công bội q = 8(1− 46 ) = 10920 b) Ta có: S6 = 1− c) Ta có: un = 22n + ⇔ 2048 = 22n + ⇔ 211 = 22n + ⇔ 2n + = 11 ⇔ n = Vậy: Số 2048 số hạng thứ cấp số nhân  u1 + u5 = 51 Bài 4: Cho cấp số nhân (un) có  a) Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân  u2 + u6 = 102 b) Hỏi tổng số hạng đầu 3069 ? c) Số 12288 số hạng thứ ? 4  u + u q = 51  u (1+ q ) = 51 (1)  u1 + u5 = 51 ⇔ 1 ⇔ Giải: a)   u1q + u1q = 102  u1(1+ q )q = 102 (2)  u2 + u6 = 102 Thay (1) va (2), ta được: 51.q = 102 ⇔ q = Suy ra: u1.17 = 51 ⇔ u1 = 3.(1− 2n ) = 3069 ⇔ – 2n = – 1023 ⇔ 2n = 1024 ⇔ 2n = 210 ⇔ n = 10 b) Ta có: Sn = 1− Vậy: Tổng 10 số hạng đầu 3069 c) Ta có: un = u1.qn – ⇔ 12288 = 3.2n – ⇔ 2n – = 4096 ⇔ 2n – = 212 ⇔ n – = 12 ⇔ n = 13 Vậy: Số 12288 số hạng thứ 13 Bài 5: Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân, biết: 32   u5 =  u4 − u2 = 72  u4 + u2 = 270 a)  b)  c)   u5 − u3 = 144  u3 + u5 = 810  u = − 64  27 32   32 u = (1)   u1q = 32 64 ⇔ ⇔q= − q = − Giải: a)  Thay (1) vào (2), ta được: 27  u = − 64  u q4.q = − 64 (2)   27 27   32 ⇔ Suy ra: u1  − ÷ = u1 = 18  3  u1.q3 − u1q = 72  u1.q(q2 − 1)) = 72 (1)  u4 − u2 = 72 ⇔ ⇔ b)   2  u1.q − u1q = 144  u1.q.q(q − 1) = 144 (2)  u5 − u3 = 144 Thay (1) vào (2), ta được: 72q = 144 ⇔ q = Suy ra: u1.2.3 = 72 ⇔ u1 = 12 (1)  u4 + u2 = 270  u1q + u1q = 270  u1q(q + 1) = 270 ⇔ ⇔ c)   u1q + u1q = 810  u1q.q(1+ q ) = 810 (2)  u3 + u5 = 810 Thay (1) va (2), ta được: 270q = 810 ⇔ q = Suy ra: u1.3.10 = 270 ⇔ Bài tập tự luyện Bài 1: Trong dãy số (un) sau đây, dãy số cấp số nhân ? Tìm số hạng đầu cơng bội ? (nếu có) a) un = (−5)2n+1 (CSN) b) un = (−1)n.33n+1 (CSN) Bài 2: Cho cấp số nhân (un) với u1 = − ; q = 3 a) Tìm cơng thức số hạng tổng quát ( un = (− ).3n – ) b) Tìm u9 (–2187) c) Hỏi –59049 số hạng thứ mấy? (n = 12) Bài 3: Cho cấp số nhân (un), biết u1 = -3, u6 = − 32 3069 a) Tìm cơng bội ( ) b) Tính tổng 10 số hạng ( − ) 512 2n−1 n  3 Bài 4: Cho dãy số (un) với un = (−2)  ÷  2 a) Chứng minh dãy số (un) cấp số nhân Tìm số hạng đầu u1 cơng bội q (u1 = –3 ; q = − ) 16113 2187 b) Tính S5 ( − ) c) Hỏi số số hạng thứ cấp số nhân (n = 4) 16  u2 + u5 = 156 Bài 5: Cho cấp số nhân (un) có   u3 + u6 = −468 a) Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân (u1 = 2; q = –3) b) Hỏi tổng số hạng đầu – 29524 ? (10) c) Số 1458 số hạng thứ ? (7) Bài 6: Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân, biết:  u5 = 96  u7 − u4 = −702  u4 + u6 = −540  u4 − u2 = 25 a)  b)  c)  d)   u2 + u4 = −60  u3 − u1 = 50  u7 = 384  u6 − u3 = −234 ĐS: a) u1 = 6; q = ±2 b) u1 = -1; q = c) u1 = ±2 ; q = ±3 10 d) u1 = − 200 ;q= ... + 11n chia hết cho d) 11n + + 122 n – chia hết cho 133 e) 2n3 – 3n2 + n chia hết cho n f) 13 – chia hết cho g) 3n + 15n chia hết cho 1 1 n + + + + Bài 3: Cho tổng Sn = ĐS: Sn = 1.5 5.9 9 .13. .. Vậy: Tổng 10 số hạng đầu 3069 c) Ta có: un = u1.qn – ⇔ 122 88 = 3.2n – ⇔ 2n – = 4096 ⇔ 2n – = 212 ⇔ n – = 12 ⇔ n = 13 Vậy: Số 122 88 số hạng thứ 13 Bài 5: Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân, biết:... với un = 2n − 31 a) Tìm số hạng đầu dãy số b) Tìm xem số hạng thứ dãy số 29 11 13 Giải: a) số hạng đầu là: 3; ; ; ; ; 11 2n + 31 31 ⇔ 58n + 29 = 62n – 31 ⇔ 4n = 60 ⇔ n = 15 Vậy: = b) Ta có: số