[r]
(1)HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013) I GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:
1 Lý thuyết: * Giới hạn hữu hạn:
a) lim(un + vn) = limun + limvn b) lim(un – vn) = limun – limvn c) lim(un.vn) = limun.limvn d)
n n
n n
u lim u
lim
v lim v (nếu limvn 0)
e) Nếu un 0, n limun = a a 0 lim un a f) limkun = klimun
Đặc biệt: a)
lim
n b) k
1
lim
n với k nguyên dương
c) Nếu un = c (c số) lim un lim c c d) limqn = q 1 * Tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un) là:
n
1 n
u
S u u u u
1 q
với q 1
* Giới hạn vô cực:
a) Nếu limun = a limvn =
n n
u
lim
v
b) Nếu limun = a > 0, limvn = > 0, n
n n
u lim
v
c) Nếu limun = limvn = a > limun.vn =
Đặc biệt: a) limnk = với k nguyên dương b) limqn = q >1 2 Bài tập mẫu:
Bài 1: Tính giới hạn sau: a)
4n lim
2n
b)
2
3n n
lim
2n
c)
3
3
2n 5n lim
3n n
Giải: a)
1
n(4 )
4n n n
lim lim 7 lim 7
2n n(2 ) 2
n n
b)
2
2 2 2
2
2
2
1 5
n (3 )
3n n n n n n
lim lim 1 lim 1
2n n ( 2 ) 2
n n
c)
3
3 2 3 2 3
3
3
2 3
n ( )
2n 5n n n n n
lim lim 1 lim 1
3n n n (3 ) 3
n n
Bài 2: Tính giới hạn sau:
a)
3
5
(2 3n) (n 1) lim
1 4n
b)
n(2n 1)(3n 2) lim
(7 2n)
c)
5
2
4n n
lim
(2n 1)(3 n) (n 2)
Giải: a)
3 2
3
5
5
5
3
n (2 ) n (1 ) (2 ) (1 )
(2 3n) (n 1) n n n n
lim lim 1 lim 1
1 4n n ( 4) 4
n n
(2)b)
3
3 3
3
1 1
n.n(2 ).n(3 ) (2 ).(3 )
n(2n 1)(3n 2) n n n n 2.3
lim lim 7 lim 7
(7 2n) n ( 2) ( 2) ( 2)
n n
c)
5
5 3 5 3 5
2 2
2 2
2 2
1 1
n (4 )
4n n n n n n
lim lim 1 3 2 lim 1 3 2
(2n 1)(3 n) (n 2) n(2 )n ( 1) n (1 ) (2 ).( 1) (1 ) 2.( 1)
n n n n n n
Bài 3: Tính giới hạn sau:
a)
2
2n n
lim
n n
b)
2 3
9n n
lim
8n
c)
2
1 4n lim
1 2n
Giải: a)
2
2 3 2 3 2
2
2
3
1 8
n (2 ) 2
2n n n n n n
lim lim lim
1
n n n ( 3 7) 1 3
n n n n
b)
2 2 2
3
3
3
3
1 1
n 9
9n n n n n n
lim lim lim
2
2
8n n 8 8
n n
c)
2 n 4
1 4n n n
lim lim 1 lim 1
1 2n n( 2) 2 2
n n
Bài 4: Tính giới hạn sau:
a) n
2n lim
n.3
b)
n n
4
lim
3.4
c)
n n n
n n n
3
lim
3
d)
n n
n n
( 2)
lim
( 2)
Giải: a)
n
n n n n
5
n(2 )
2n n n 5
lim lim lim lim[(2 ) ] lim[(2 ) ] 2.0
n.3 n.3 n n
b)
n n
n n n
n n
n
n n
1
3 1 3.
4 (1 )
4 4 4
lim lim lim lim
1
3.4 4 (3 ) 3
3
4 4
c)
n n
n n n n
n
n n n n n n n
n n n n n n
n n n
n
n n n n
3
3 4 1
5 ( 1)
3 5 5 5 5 5
lim lim lim lim
3 4
3 5 ( 1) 1
1
5 5 5 5
d)
n n
n
n n n
n n
n n
n n
2
( 2) 1
3 [ 1]
( 2) 3 1
lim lim lim
( 2)
( 2) 3 [ 1] 3
1
3 3
Bài 5: Tính giới hạn sau:
(3)Giải: a)
2
2
2
[ n 2n (n 2)][ n 2n (n 2)] lim( n 2n n 2) lim[ n 2n (n 2)] lim
n 2n (n 2)
=
2
2
4
n(6 )
n 2n (n 2) 6n n n
lim lim lim lim
2 2 1
n 2n n n 2n n n( 1 1 ) 1 1
n n n n
b)
2 2 2
2
2 2
( n n n 2)( n n n 2) (n n) (n 2)
lim( n n n 2) lim lim
n n n n n n
=
2
2
2
n(1 )
n n n 1
lim lim lim
2
1 2 1
n n n n( 1 1 ) 1 1
n n n n
c)
3 2 2
3 3
3
3
3 2 3 2
3
( n n n)( (n n ) n n n n )
lim( n n n) lim
(n n ) n n n n
=
3
3 2 3 2 2 3 2
3
n n n n
lim lim
(n n ) n n n n (n n ) n n n n
=
2
2
3
23 23 3 3
n 1
lim lim
3
1 1 1 1
n (1 ) n n (1 ) 1
n n n n
Ghi nhớ: Nhân với lượng liên hợp của:
a) A B nhân với lượng liên hợp là: A B Khi đó: ( A B )( A B ) = A – B2 b) A B nhân với lượng liên hợp là: A B Khi đó: (A B)(A B) = A2 – B
c) b) A B nhân với lượng liên hợp là: A B Khi đó: ( A B)( A B) = A– B
d) A B nhân với lượng liên hợp là: 3 A2 B A B3
Khi đó: (3 A B )(3 A2 B A B3 2) = A B3 e) A3 B nhân với lượng liên hợp là: A2A B3 3 B2
Khi đó: (A3 B)(A2A B3 3 B2 ) = A3 B f) A3 B nhân với lượng liên hợp là: 3 A2 3 AB3 B2
Khi đó: (3 A3 B)(3 A2 3 AB3 B2 ) = A B
Bài 6: Tính giới hạn sau:
a)
1 lim
n 2 n 1 b)
2
n n
lim
3n
c)
2
2
4n 2n
lim
n 4n n
Giải: a)
1 n n
lim lim
n n ( n n 1)( n n 1)
=
n n
lim lim( n n 1)
n n
b)
2 2
2
n n ( n n 1)( n n 1) n n
lim lim lim
3n (3n 2)( n 1 n 1) (3n 2)( n 1 n 1)
(4)=
2
2
2
1
n (1 )
n n n 1
lim lim
3.1
2 1
(3n 2)( n n 1) n(3 )n( 1 )
n n n n
c)
2 2
2 2
4n 2n [ 4n (2n 1)]( 4n 2n 1)( n 4n n)
lim lim
n 4n n ( n 4n n)( n 4n n)( 4n 2n 1)
=
2 2
2 2
[4n (2n 1) ]( n 4n n) 4n( n 4n n)
lim lim
(n 4n n )( 4n 2n 1) (4n 1)( 4n 2n 1)
=
2
2
4
4n ( 1) 4( 1) 4.2 1
n n n n
lim lim
4.4
1 1 1
n(4 )n( ) (4 )( )
n n n n n n
Bài 7: Tính giới hạn sau:
a) lim(n3 2n23n 5) b) lim( 3n 42n3 1) c) lim( n 2n n 1)
Giải: a)
3
2
2
lim(n 2n 3n 5) lim n (1 )
n n n
b)
4
4
2
lim( 3n 2n 1) lim n ( )
n n
c)
2
2
1
lim( n n n 1) lim n ( )
n n
Bài 8: Tính giới hạn sau: a)
2
3n 2n
lim
2n
b)
3
n 4n
lim
2n
c)
5
3
3n n 5n
lim
4n 6n
Giải: a)
3
2 2 3 2 3
3
3
3
3
n ( )
3n 2n n n n n n n
lim lim lim
5
2n n (2 ) 2
n n
b)
3
3 2 3 2 3
2
3
3
4
n (1 )
n 4n n n n n
lim lim lim
2 5
2n n ( )
n n n n
c)
5
5 3 4 5 3 4 5
3
5
2 5
1 7
n (3 )
3n n 5n n n n n n n
lim lim lim
4 6
4n 6n n ( )
n n n n n n
Bài 9: Tính tổng:
a) S = n
1 1
2 2 2 2 b) S = + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + + (0,9)n – +
Giải: a) Ta có: u1 =
1 2, q =
1
2 Vậy: S =
2 n
1
1 1 2
1
2 2 1
2
(5)b) Ta có: S = +
2 n
9 9
10 10 10 10
= +
9 10
9
10
= + = 10 Bài 10: Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn dạng phân số, biết:
a) 0,7777 b) 5, 212121 c) 0,32111
Giải: a) 0,7777 =
7 7
10 10 10 =
7 10
7 9
1 10
b) 5, 212121 =
21 21 21
5
100 100 100
=
21
7 172
100
5
1 33 33
1 100
c) 0,32111 =
32 1
100 10 10 =
1
32 1000 289
1
100 1 900
10
3 Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính giới hạn sau:
a)
6n lim
3n
(2) b)
2
3n n
lim
2n
(
3
2) c)
2
3
n 4n
lim
3n n
(0) d)
3
3
3n 2n n
lim
n
(3)
e)
2n lim
n 4n
(0) f)
2
2n n
lim
3n 2n
(
2
3) g)
4
n
lim
2n n
(
1 2)
Bài 2: Tính giới hạn sau:
a)
4
n lim
(n 1)(2 n)(n 1) (1) b)
2
2
(3 5n) (n 2) lim
1 7n 10n
(10) c)
2
2n(3 n ) lim
(1 n)( 2n 5)
(
1 2)
Bài 3: Tính giới hạn sau:
a)
4
2
n 2n
lim
2n
(
1
2) b)
n n lim
n n 2n
(0) c)
6
3
n 7n 5n
lim
n 12
(1)
Bài 4: Tính giới hạn sau:
a) n
2 5n lim
3n.4
(0) b)
n n
n
3 2.5
lim
7 3.5
(
2
3) c)
n n
n n
4.3
lim
2.5
(7)
d)
n n
n
2
lim
(-5) e)
n n
n n
4
lim
5
(0) f)
n n
n n
1 2.3
lim
2 (3 5)
(
1 3)
Bài 5: Tính giới hạn sau: a) lim( n2 n n) (
1
) b) lim( n2 n n) () c) lim( n2 n n) (
) d) lim( n n3 n 2) (2) e) lim( 4n2 3n 2n) (
3
) f) lim n 5( 2n 3 2n 1) ( 2) g) lim( n3 32n2 1 n) (
2 3)
Bài 6: Tính giới hạn sau:
a)
1 lim
n 1 n 2 (1) b)
2
2n n
lim
n
( 1 ) c)
2
2
n 4n 4n
lim
9n n
(
1
(6)d)
2
2
4n 2n
lim
n 2n n
(1) e)
3
2
n( n n)
lim
4n 2n
(
16 )
Bài 7: Tính giới hạn sau:
a) lim(n32n2 n 1) () b) lim( n 25n 2) ( ) c) lim(n4 3n3 n 2)()
Bài 8: Tính giới hạn sau:
a)
2
lim n
n
() b)
3
3n 5n
lim
n
( ) c)
3
2
3n n
lim
2n n
( )
Bài 9: Tính tổng:
a) S = n
1 1
1
3 3
ĐS:
3
2 b) S = -1 +
n
2 n
1 ( 1)
10 10 10
ĐS:
10 11
c) S = + 0,3 + (0,3)2 + (0,3)3 + + (0,3)n + ĐS:
7
Bài 10: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dạng phân số, biết: a) 7, 282828 ĐS:
721
99 b) 0,3333 ĐS:
3 c) 1,020202 ĐS: 101
99
II GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:
1 Lý thuyết: * Giới hạn hữu hạn điểm:
a) x x0 x x0 x x0
lim[f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x)
b) x x0 x x0 x x0
lim[f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x)
c) x x0 x x0 x x0
lim[f (x).g(x)] lim f (x) lim g(x)
d)
0
0 x x x x
x x
lim f (x) f (x)
lim
g(x) lim g(x)
với x x0
lim g(x)
e) Nếu f(x) 0: x x0 x x0
lim f (x) lim f (x)
f) x x0 x x0
lim f (x) lim f (x)
* Giới hạn bên: x x0
lim f (x) L
x x0 x x0
lim f (x) lim f (x) L
* Giới hạn hữu hạn vô cực: (cách giải tương tự dãy số) * Giới hạn vô cực: a) xlim f (x) b) xlim [ f (x)] * Đặc biệt: a)
k
xlim x với k nguyên dương b)
k
xlim x k số lẻ c)
k
xlim x k số chẵn
Chú ý: a) x x0
lim x x
b) x x0
lim c c
, c số
c) xlim c c , c số d) x k
c
lim
x
* Quy tắc tìm giới hạn:
0
x xlim f (x) L x x0
lim g(x)
x x0
lim[f (x).g(x)]
x x0
lim f (x) L
x x0
lim g(x)
Dấu
g(x) x x0
f (x) lim
g(x)
L > L Tùy ý
L >
0
+
L < –
L < +
–
2 Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho hàm số: a) f(x) =
2x
3 x
(7)b) f(x) = 5x3 – 2x + Tìm xlim f (x) 2 c) f(x) =
3x
x x
Tìm xlim f (x) 3
Giải: a)
2
x x
2x 2.3
lim f (x) lim
3
3 x 3
b)
3
xlim f (x) 2 xlim (5x 2 2x 7) 5( 2) 2( 2) 7 29
c) x x 2
3x 3( 3)
lim f (x) lim
x x ( 3) ( 3) 15
Bài 2: Tính giới hạn sau:
a) x 2
2x(x 3) lim
x
b)
2
1 x
2
2x x
lim
2x
c)
2 x
lim(3x x 5)
Giải: a) x 2
2x(x 3)
lim
x
b)
2
1 x
2
2x x
lim
2x
c)
2 x
lim(3x x 5) 49
Bài 3: Tính giới hạn sau: (Dạng
0 0)
a)
x
x x
lim
x
b)
2
2 x
x x
lim
x
c)
3
2 x
x x x
lim
x 3x
d)
3
2 x
8 x lim
x 3x
Giải: a)
2
x x x
x x (x 1)(x 2)
lim lim lim(x 2)
x x
b)
2
x x x
x x (x 2)(x 3) x
lim lim lim
x (x 2)(x 2) x
c)
3 2
2
x x x
x x x (x 1)(x 1) x
lim lim lim
x 3x (x 1)(x 2) x
d)
3 2
2
x x x
8 x (2 x)(4 2x x ) 2x x
lim lim lim 12
x 3x (x 1)(x 2) x
Bài 4: Tính giới hạn sau: (Dạng
0 0)
a) x 12
1 1
lim
2x x x
b) x
1
lim
1 x x
Giải: a) x 12 x 12 x 12 x 12
1 1 x x 2x 1
lim lim lim lim
2x x x (2x 1)x(x 1) (2x 1)x(x 1) x(x 1)
b)
2
3 3
x x x x
1 x x x x (x 1)(x 2)
lim lim lim lim
1 x x x x (1 x)(1 x x )
= x
x
lim
1 x x
Bài 5: Tính giới hạn sau: (Dạng
0 0)
a) x
2 x
lim x
b) x
2x 3x
lim
x
c) x
x 2x
lim
x 3x
(8)d) x
x 2 lim
x
e)
2 x
3x 4x x
lim
x 3x
Giải: a) x x x x
2 x (2 x )(2 x ) 4 x 1
lim lim lim lim
x x(2 x ) x(2 x ) x
b) x x
2x 3x ( 2x 3x 1)( 2x 3x 1)
lim lim
x (x 1)( 2x 3x 1)
= x x x
2x 3x x 1
lim lim lim
4
(x 1)( 2x 3x 1) (x 1)( 2x 3x 1) 2x 3x
c)
2
2 2
x x x
x 2x (x 2x )(x 2x ) x 2x
lim lim lim
x 3x (x 3x)(x 2x ) (x 3x)(x 2x )
= x x
(x 1)(x 3) x
lim lim
9
x(x 3)(x 2x ) x(x 2x )
d)
2 2
2 2 2
x x
3x 4x x (3x 4x x 2)(3x 4x x 2)
lim lim
x 3x (x 3x 2)(3x 2 4x x 2)
=
2 2
2 2
x x
(3x 2) (4x x 2) 9x 12x 4x x
lim lim
(x 3x 2)(3x 4x x 2) (x 3x 2)(3x 4x x 2)
=
2
2 2
x x
6
5(x 1)(x )
5x 11x 5
lim lim
(x 3x 2)(3x 4x x 2) (x 1)(x 2)(3x 4x x 2)
= x
6
5(x ) 1
5 lim
2
(x 2)(3x 4x x 2)
Bài 6: Tính giới hạn sau: (Dạng
0 0): a)
3
x
1 x x
lim
x
b)
2 x
8x 11 x
lim
2x 5x
Giải: a)
3 3
x x x x
1 x x ( x 1) ( x 1) x 1 x
lim lim lim lim
x x x x
* x x x x
1 x ( x 1)( x 1) x 1
lim lim lim lim
x x( x 1) x( x 1) x
*
2
3
3
2 3
x x x
( x 1)[ (1 x) x 1]
1 x 1 x
lim lim lim
x x[ (1 x) 1 x 1] x[ (1 x) 1 x 1]
= x 3
1
lim
3
(1 x) x
Vậy:
3
x
1 x x 1
lim
x
b)
3 3
2 2
x x x x
8x 11 x ( 8x 11 3) ( x 3) 8x 11 x
lim lim lim lim
2x 5x 2x 5x 2x 5x 2x 5x
*
2
3
3
2 2 2 3
x x
( 8x 11 3)[ (8x 11) 8x 11 9]
8x 11
lim lim
2x 5x (2x 5x 2)[ (8x 11) 3 8x 11 9]
(9)=
2
x x 3
8x 11 27 8(x 2)
lim lim
1
(2x 5x 2)[ (8x 11) 8x 11 9] 2(x 2)(x )[ (8x 11) 3 8x 11 9]
2
=
x 2 3
3
4
lim
1 81
(x )[ (8x 11) 8x 11 9]
2
* x 2 x 2 x 2
x ( x 3)( x 3) x
lim lim lim
2x 5x (2x 5x 2)( x 3) (2x 5x 2)( x 3)
=
x x
x 1
lim lim
1 18
2(x 2)(x )( x 3) 2(x )( x 3)
2
Vậy:
2 x
8x 11 x
lim
2x 5x 81 18 162
Bài 7: Tính giới hạn sau: (Dạng
)
a)
2 x
2x x
lim
5 x
b)
3
3
x
x 2x
lim
3x x
c)
2
x
7 3x x lim
3x 2x
Giải: a)
2
2 2 2
2
x x 2 x
2
1 1
x (2 )
2x x x x x x
lim lim lim
5
5 x x ( 1) 1
x x
b)
3
3 2 3 2 3
3
x x 3 x
3
2 4
x (1 )
x 2x x x x x
lim lim lim
1 5
3x x x (3 ) 3
x x x x
c)
3
2 3 2 3 2
3
x x 3 x
2 3
7
x ( )
7 3x x x x x x x x
lim lim lim
2
3x 2x x (3 ) 3
x x x x
Bài 8: Tính giới hạn sau: (Dạng
)
a)
2
x
x 2x 15
lim
x
b) x 2x lim
x x
c) x
x x lim
x x
d)
2
2 x
x 2x 3x
lim
4x x
Giải: a)
2 2 2
x x x
2 15 15
x 1
x 2x 15 x x x x
lim lim lim
5
x x(1 ) 1
x x
b)
2
x x x
2
3
x(1 )
2x x x 1
lim lim lim
(1 1)
1
x x x( 1 1) ( 1 1)
x x
(10)c)
2
2
x x 2 x
2
1 1
x ( )
x x x x x x
lim lim lim
1 1
x x x (1 ) 1
x x x x
d)
2
2
x x x
2
x( 3)
x 2x 3x x x
lim lim lim
2
1 2
4x x x( 4 1 ) 4 1
x x x x
Bài 9: Tính giới hạn sau: (Dạng )
a)
2
xlim (3x x x 1) b)
2
xlim (2x 3 4x 4x 3) c)
2
xlim (2x 3 4x 4x 3)
Giải: a)
2
2
2
x x
(3x x x 1)(3x x x 1)
lim (3x x x 1) lim
3x x x
=
2
2 2 2 2
2
x x x x
2
2 4
1 1
x (8 )
9x x x 8x x x x x x
lim lim lim lim
3 1 1
3x x x 3x x x x ( )
x x x x x x x x
b)
2
2
x x
3
lim (2x 4x 4x 3) lim [x(2 )]
x x x
c)
2
2
2
x x
(2x 4x 4x 3)(2x 4x 4x 3)
lim (2x 4x 4x 3) lim
2x 4x 4x
=
2
2
x x x
2
12
x( )
(2x 3) 4x 4x 8x 12 x
lim lim lim
3
2x 4x 4x 2x 4x 4x x(2 4 )
x x x
= x
2
12
8 8
x
lim
2
3
2
x x x
Bài 10: Tính giới hạn sau: a)
3
xlim (2x 5x 3x 1) b)
4
xlim ( x 5x 1) c)
2
xlim ( 3x 2x 5)
Giải: a)
3
2
x x
5
lim (2x 5x 3x 1) lim x (2 )
x x x
b)
4 2
2
x x
5
lim ( x 5x 1) lim x ( )
x x
c)
2
2
x x
2
lim ( 3x 2x 5) lim ( x )
x x
Bài 11: Tính giới hạn sau:
a)
3 x
2x 5x
lim
4x
b)
5 x
x 32
lim
x 16
c)
5
2 x
x 5x 4x
lim
(1 x)
(11)Giải: a)
3
3 2 3 2 3
2
x x 3 x
3
5
x (2 )
2x 5x x x x x
lim lim lim
4 4
4x x ( )
x x x x
b)
5 5 5
4
x x 5 x
5
32 32
x (1 )
x 32 x x
lim lim lim
16 16
16 x x ( )
x x x x
c)
5 5 5
2
x x 6 x
6
1 5
x ( 4)
x 5x 4x x x x x
lim lim lim
1 1
(1 x) x ( )
x x x x x x
Bài 12: Tính giới hạn sau:
a) x 5x lim 3x
b) x
2x lim 5x
c)
2
x ( 3)
x 2x
lim
x
d) x ( 12)
5 7x lim 2x Giải: a) x 5x lim 3x (Vì x 11
lim (5x 7)
3 , x
lim (3x 2) 0
x 3x
3
) b) x
2x lim 5x
(Vì x 1lim(2x 1) 2.1 0
,x 1lim(5 5x) 0
x 1 5x 5 5x 0 )
c)
2
x ( 3)
x 2x
lim x (Vì
x ( 3)lim (x 2x 3) 18
,x ( 3) lim (x 3) 0 x 3 x 0 )
d) x ( )
2 7x lim 2x (Vì x ( )
2
7 17
lim (5 7x)
2 , x ( )
2
lim (2x 1)
và
1
x 2x
2
)
3 Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hàm số f(x) =
2x x
5x
Tìm
2
x
2x x
lim
5x
ĐS:
79 23
Bài 2: Tính giới hạn sau:
a)
2 x
3x x 2x
lim
5 2x
(-3) b) x 2
4x( x 7) lim
3x x
(
) c)
3
x
lim (7x 2x )
( 142 27 ) Bài 3: Tính giới hạn sau:
a) x x lim x
(4) b)
2 x
x 5x
lim x 3x (
3) c)
2 x
x
lim
x 3x
(4) d)
3 x
x x 10
(12)a) x
2
lim
x x
(
1
) b) x
1
lim
x x x
(
4
) Bài 5: Tính giới hạn sau:
a) x
1 2x lim
2x
(
1
2) b) x
x x
lim
3 4x
(
8
9) c) x
x 3 lim
x
(
1 6)
d) x
x lim
x 2x
(
1
24) e)
2
x
3x 4x x
lim
x 3x
(2) f) x
5 x x
lim
x
(
5
5 )
Bài 6: Tính giới hạn sau:
a)
2 x
8x 11 x
lim
x 3x
(
7
54) b)
3 x
x 11 43 8x
lim
2x 3x
(
7 30)
Bài 7: Tính giới hạn sau:
a)
2
2 x
4x x
lim
2 3x x
(-4) b)
4
5 x
5x 3x 2x
lim
3x 4x
(0) c)
2
4 x
(x 1) (7x 2)
lim
(2x 3)
(
7 16)
Bài 8: Tính giới hạn sau:
a)
2
2 x
x 2x 4x
lim
4x x
(5) b)
2
2 x
x 2x 3x
lim
4x x
(
2
) c) x
1 x x lim
x
(-1)
Bài 9: Tính giới hạn sau: a)
2
xlim ( x 2x 1 x 7x 3) (
5
2) b) xlim (3x x2 x 1) ( ) Bài 10: Tính giới hạn sau:
a)
4
xlim (x x x 1)() b)
3
xlim ( 2x 3x 5) () c)
2
xlim x 2x 5 () Bài 11: Tính giới hạn sau:
a)
3 x
3x 4x 16
lim
4 x
( ) b)
2
x
4 x lim
x
( ) c)
2 x
(2x 1) (3x 5) lim
5x
()
Bài 12: Tính giới hạn sau:
a) x
2x lim
x
( ) b) x
2x lim
x
( ) c)
1 x
2
3 8x lim
4x
() d)
2
x ( 3)
2x x
lim
2x
( )
III HÀM SỐ LIÊN TỤC:
1 Lý thuyết: * Hàm số liên tục điểm: Cho y = f(x) xác định khoảng K x0K
a) Nếu x x0
lim f (x) f (x )
f(x) liên tục x0
b) Nếu x x0
lim f (x) f (x )
f(x) khơng liên tục x0 hay f(x) gián đoạn điểm x0
* Định lý: Nếu y = f(x) liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b) < tồn điểm c cho f(c) =
* Phương pháp: Xét tính liên tục hàm số điểm a) Loại 1: Hàm số có dạng:
1 0
2 0
f (x), neáu x x f(x)
f (x), x x
Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0) Bước 2: Tính x xlim f(x) lim f (x) L 0 x x 0 Bước 3: + Nếu f2(x0) = L hàm số f(x) liên tục x0
(13)b) Loại 2: Hàm số có dạng:
1 0
2 0
f (x), neáu x x f(x)
f (x), x x
Bước 1: + Tính
x xlim f(x) lim f (x) Lx x + Tính
x xlim f(x) lim f (x) Lx x + Tính f(x0) = f1(x0) Bước 2: + Nếu f1(x0) = L1 hàm số liên tục bên phải x0
+ Nếu f1(x0) = L2 hàm số liên tục bên trái x0 + Nếu L1 = L2 = f1(x0) hàm số liên tục x0
* Nếu trường hợp khơng xảy hàm số không liên tục x0
* Phương pháp: Chứng minh PT f(x) = có nghiệm thuộc (a; b) Bước 1: Chứng minh hàm số f(x) liên tục [a; b]
Bước 2: Tính f(a); f(b) chứng minh f(a).f(b) < 0 Bước 3: Kết luận PT f(x) = có nghiệm thuộc (a; b)
Chú ý: Nếu tốn khơng cho khoảng (a; b) ta phải dự đốn khoảng này
2 Bài tập mẫu
Bài 1: Xét tính liên tục hàm số sau:
a)
3
x neáu x
f(x) x 2
12 neáu x
x0 = b)
x neáu x 4
x f(x)
3 neáu x 4
2
x0 =
Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(2) = 12
+
3
2
x x x x
x (x 2)(x 2x 4)
lim f(x) lim lim lim(x 2x 4) 12
x x
Suy ra: f(2) = lim f(x)x 2 = 12 Vậy: Hàm số cho liên tục x0 = b) TXĐ: D = R Ta có: + f(4) =
3
2
+ x x x x
x ( x 2)( x 2)( x 3) (x 4)( x 3)
lim f(x) lim lim lim
x ( x 3)( x 3)( x 2) (x 9)( x 2)
=
x
x lim
4
x Suy ra: f(4) = lim f(x)x 4 =
3
2 Vậy: Hàm số cho liên tục x0 = 4
Bài 2: Xét tính liên tục hàm số sau:
a)
2
2x 1 neáu x
f(x) x x
2 neáu x
x0 = b)
2
x 7x neáu x 8
f(x) x 8
9 neáu x
x0 = -8
Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(0) =
+ x x x x
2x 1 ( 2x 1)( 2x 1) 2x 1
limf (x) lim lim lim
x x (x x)( 2x 1) x(x 1)( 2x 1)
x
2
lim
(x 1)( 2x 1)
Suy ra: f(0) lim f (x)x 0 Vậy: Hàm số cho không liên tục x0 = b) TXĐ: D = R Ta có: + f(-8) = -9
+
2
x x x x
x 7x (x 1)(x 8)
lim f (x) lim lim lim (x 1)
x x
(14)Bài 3: Xét tính liên tục hàm số sau:
a)
2
1 x x
f (x) x 2x 3
khi x 2x
x0 = b)
x
khi x
f (x) 2x
(x 5) x
x0 = 5
Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(3) = -2
+
2
x x x x
x 2x (x 1)(x 3) x
lim f (x) lim lim lim
6 2x 2(x 3)
+ x 3lim f (x) x 3lim (1 x)
Suy ra: x x
lim f (x) lim f (x) f (3)
Vậy: Hàm số cho liên tục x0 = b) TXĐ: D = R Ta có: + f(5) =
+ x x x
x (x 5)( 2x 3)
lim f (x) lim lim
2x ( 2x 3)( 2x 3)
x x
(x 5)( 2x 3) 2x
lim lim
2x
+
2
x 5lim f (x) lim[(x 5) x 5 3]
Suy ra: x 5lim
f(x) =x 5lim
f(x) = f(5) = Vậy: Hàm số cho liên tục x0 =
Bài 4: a) Cho hàm số
2
2x 2x
khi x
f (x) x
5 x
Xét tính liên tục hàm số R.
b) Cho hàm số
2
x 5x
khi x
f (x) x 1
5 8x x
Xét tính liên tục hàm số R.
Giải: a) TXĐ: D = R
* Với x 1: f(x) =
2
2x 2x
x
là hàm số hữu tỷ nên liên tục khoảng thuộc tập xác định
nó Vậy liên tục khoảng ( ;1)và (1; ) * Với x = 1: + f(1) =
+
2
x x x
2x 2x 2x(x 1)
lim lim lim 2x f (1)
x x
Vậy: hàm số cho không liên tục x0 = 1
Vậy: Hàm số cho liên tục khoảng ( ;1)và (1; ) gián đoạn x0 = b) * Trên (1; ), ta có: f(x) =
2
x 5x
x
hàm số hữu tỷ nên liên tục khoảng thuộc
tập xác định Vậy liên tục khoảng (1; )
* Trên ( ;1), ta có: f(x) = – 8x hàm số đa thức nên liên tục khoảng ( ;1) * Xét x0 = 1: + f(1) = – 8.1 = -3
+
2
x x x
x 5x (x 1)(x 4)
lim lim lim(x 4)
x x
+ x 1lim(5 8x) 8.1
(15)a)
1 x neáu x 0
f(x) x
2a x neáu x
x0 = b) 2
x neáu x
f(x)
x (a 1)x neáu x
x0 = 1
Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(0) = 2a
+ x x x x x
1 x ( x 1)( x 1) x 1
lim f(x) lim lim lim lim
x x( x 1) x( x 1) x
Hàm số liên tục x0 = f(0) = lim f(x)x 0 2a =
1
a =
1
b) TXĐ: D = R Ta có: + f(1) = 12 + (a2 – 1).1 – = a2 –
+ lim f(x) lim(x 2) 3x 1 x 1 Hàm số liên tục x0 = 1 f(1) = lim f(x)x 1 a2 – = 3 a = 2 Bài 6: Tìm m để hàm số liên tục:
a)
3
2
x neáu x 1
f(x) x
mx x m neáu x
x0 = -1 b)
x 3x neáu x 1
f(x) x 1
3mx neáu x
x0 = 1
Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(-1) = m + + m2 +
3
2
x ( 1) x ( 1) x ( 1) x ( 1)
x (x 1)(x x 1)
lim f(x) lim lim lim (x x 1)
x x
+
2 2
x ( 1)lim f(x) x ( 1)lim (mx x m ) m m
Hàm số liên tục x0 = -1 f(-1) =x ( 1)lim f(x) x ( 1)lim f(x)
m2 + m + = 3 m = 1; m = -2 b) TXĐ: D = R Ta có: + f(1) = 3m +
+ x x x
x 3x ( x 3x 1)( x 3x 1)
lim f(x) lim lim
x (x 1)( x 3x 1)
= x x x
x 3x 2(x 1)
lim lim lim
2
(x 1)( x 3x 1) (x 1)( x 3x 1) x 3x
+ x 1lim f(x) lim(3mx 2) 3m 2 x 1
Hàm số liên tục x0 = 1 f(1) =x 1lim f(x) lim f(x) x 1
3m + =
1
m =
5
Bài 7: Chứng minh phương trình: a) x4 + x3 – 3x2 + x + = có nghiệm thuộc (-1; 1) b) x4 – 6x2 + = có nghiệm thuộc (-1; 3) c) x3 – 7x – = có hai nghiệm d) 2x5 – 7x2 + = có nghiệm nằm khoảng (-4; 3)
Giải: a) Đặt: f(x) = x4 + x3 – 3x2 + x + Ta có: f(x) liên tục [-1; 1] *
f( 1)
f(1)
Suy ra: f(-1).f(1) = -3 < Vậy: PT f(x) = có nghiệm thuộc (-1 ; 1)
b) Đặt: f(x) = x4 – 6x2 + Ta có: f(x) liên tục [-1; 0] [0; 3] *
f( 1)
f(0)
Suy ra: f(-1).f(0) = -4 < PT f(x) = có nghiệm thuộc (-1; 0)
*
f(0)
f( 3)
Suy ra: f(0).f( 3) = -8 < PT f(x) = có nghiệm thuộc (0; 3)
Vậy: PT f(x) = có nghiệm thuộc (-1; 3)
(16)*
f( 1)
f(0)
Suy ra: f(-1).f(0) = -5 < PT f(x) = có nghiệm thuộc (-1; 0)
*
f(0)
f(3)
Suy ra: f(0).f(1) = -5 < PT f(x) = có nghiệm thuộc (0; 3)
Vậy: PT f(x) = có nghiệm
d) Đặt: f(x) = 2x5 – 7x2 + Ta có: f(x) liên tục [-4; 0], [0; 1] [1; 3] *
f( 4) 2157
f(0)
Suy ra: f(-4).f(0) = -6471 < PT f(x) = có nghiệm thuộc (-4; 0)
*
f(0)
f(1)
Suy ra: f(0).f(1) = -6 < PT f(x) = có nghiệm thuộc (0; 1)
*
f(1)
f(3) 426
Suy ra: f(-1).f(0) = -852 < PT f(x) = có nghiệm thuộc (1; 3)
Vậy: PT f(x) = có nghiệm nằm khoảng (-4; 3) 3 Bài tập tự luyện
Bài 1: Xét tính liên tục hàm số sau:
a)
3
x 27 neáu x 3
f(x) 3 x
27 neáu x
x0 = b)
1 2x neáu x 2
f(x) 2 x
1 neáu x
x0 = 2
c)
x neáu x 1 x
f(x)
1 neáu x 1
6
x0 = d)
2
x neáu x 2
f(x) x
2 neáu x
x0 =
Bài 2: Xét tính liên tục hàm số sau:
a)
2
x 5x neáu x 1
f(x) x 1
1 neáu x
x0 = b)
3
2
x 3x 2x neáu x 2
f(x) x 5x
x neáu x
x0 = -2
c)
x neáu x 1
f(x) x
2x neáu x
x0 = d)
x neáu x x
f(x)
1 x neáu x
4
x0 = 1
Bài 3: Xét tính liên tục hàm số sau R:
a)
2
x x neáu x 2
f(x) x
5 x neáu x
b)
3
x neáu x 2
f(x) 4x
3 neáu x
Bài 4: Định a để hàm số sau liên tục:
a)
3
x x 2x neáu x 1
f(x) x 1
3x a neáu x
tại x0 = b)
8 2x neáu x
f(x) x
3x a a neáu x
x0 = -2
(17)a)
2
x 3x neáu x 2
f(x) x 2x
mx m neáu x
x0 = b)
2
m x neáu x
f(x)
(1 m)x neáu x
x0 =
Bài 6: Chứng minh phương trình: a) x4 – 3x2 + 5x – = có nghiệm thuộc (1; 2) b) x5 – 5x – = có nghiệm c) x3 + 3x2 – 4x – = có nghiệm nằm khoảng (-4; 0) d) x5 – 3x4 + 5x – = có nghiệm nằm khoảng (-2; 5)