1. Trang chủ
  2. » Văn bán pháp quy

HUONG DAN ON TAP CHUONG IV DAI SO 11 NAM 12-13 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

17 9 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 17
Dung lượng 2,54 MB

Nội dung

[r]

(1)

HƯỚNG DẪN ÔN TẬP CHƯƠNG IV ĐẠI SỐ 11 (2012 – 2013) I GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:

1 Lý thuyết: * Giới hạn hữu hạn:

a) lim(un + vn) = limun + limvn b) lim(un – vn) = limun – limvn c) lim(un.vn) = limun.limvn d)

n n

n n

u lim u

lim

v lim v (nếu limvn 0)

e) Nếu un 0, n limun = a a 0 lim un  a f) limkun = klimun

Đặc biệt: a)

lim

n  b) k

1

lim

n  với k nguyên dương

c) Nếu un = c (c số) lim un lim c c d) limqn = q 1 * Tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un) là:

n

1 n

u

S u u u u

1 q

      

 với q 1

* Giới hạn vô cực:

a) Nếu limun = a limvn = 

n n

u

lim

v 

b) Nếu limun = a > 0, limvn = > 0, n

n n

u lim

v 

c) Nếu limun =  limvn = a > limun.vn = 

Đặc biệt: a) limnk =  với k nguyên dương b) limqn =  q >1 2 Bài tập mẫu:

Bài 1: Tính giới hạn sau: a)

4n lim

2n 

 b)

2

3n n

lim

2n  

  c)

3

3

2n 5n lim

3n n

 

Giải: a)

1

n(4 )

4n n n

lim lim 7 lim 7

2n n(2 ) 2

n n

 

   

  

b)

2

2 2 2

2

2

2

1 5

n (3 )

3n n n n n n

lim lim 1 lim 1

2n n ( 2 ) 2

n n

   

 

  

     

c)

3

3 2 3 2 3

3

3

2 3

n ( )

2n 5n n n n n

lim lim 1 lim 1

3n n n (3 ) 3

n n

   

 

  

  

Bài 2: Tính giới hạn sau:

a)

3

5

(2 3n) (n 1) lim

1 4n

 

 b)

n(2n 1)(3n 2) lim

(7 2n)

 

 c)

5

2

4n n

lim

(2n 1)(3 n) (n 2)

 

  

Giải: a)

3 2

3

5

5

5

3

n (2 ) n (1 ) (2 ) (1 )

(2 3n) (n 1) n n n n

lim lim 1 lim 1

1 4n n ( 4) 4

n n

   

 

   

(2)

b)

3

3 3

3

1 1

n.n(2 ).n(3 ) (2 ).(3 )

n(2n 1)(3n 2) n n n n 2.3

lim lim 7 lim 7

(7 2n) n ( 2) ( 2) ( 2)

n n

   

 

   

   

c)

5

5 3 5 3 5

2 2

2 2

2 2

1 1

n (4 )

4n n n n n n

lim lim 1 3 2 lim 1 3 2

(2n 1)(3 n) (n 2) n(2 )n ( 1) n (1 ) (2 ).( 1) (1 ) 2.( 1)

n n n n n n

   

 

   

         

Bài 3: Tính giới hạn sau:

a)

2

2n n

lim

n n

 

   b)

2 3

9n n

lim

8n

 

 c)

2

1 4n lim

1 2n  

Giải: a)

2

2 3 2 3 2

2

2

3

1 8

n (2 ) 2

2n n n n n n

lim lim lim

1

n n n ( 3 7) 1 3

n n n n

   

 

   

  

     

b)

2 2 2

3

3

3

3

1 1

n 9

9n n n n n n

lim lim lim

2

2

8n n 8 8

n n

   

 

   

 

c)

2 n 4

1 4n n n

lim lim 1 lim 1

1 2n n( 2) 2 2

n n

 

    

    

Bài 4: Tính giới hạn sau:

a) n

2n lim

n.3 

b)

n n

4

lim

3.4

 c)

n n n

n n n

3

lim

3

 

  d)

n n

n n

( 2)

lim

( 2)  

 

 

Giải: a)

n

n n n n

5

n(2 )

2n n n 5

lim lim lim lim[(2 ) ] lim[(2 ) ] 2.0

n.3 n.3 n n

 

  

         

 

b)

n n

n n n

n n

n

n n

1

3 1 3.

4 (1 )

4 4 4

lim lim lim lim

1

3.4 4 (3 ) 3

3

4 4

 

   

  

   

    

  

 

c)

n n

n n n n

n

n n n n n n n

n n n n n n

n n n

n

n n n n

3

3 4 1

5 ( 1)

3 5 5 5 5 5

lim lim lim lim

3 4

3 5 ( 1) 1

1

5 5 5 5

   

 

       

     

    

      

        

   

d)

n n

n

n n n

n n

n n

n n

2

( 2) 1

3 [ 1]

( 2) 3 1

lim lim lim

( 2)

( 2) 3 [ 1] 3

1

3 3

 

 

 

 

 

  

   

   

    

 

 

Bài 5: Tính giới hạn sau:

(3)

Giải: a)

2

2

2

[ n 2n (n 2)][ n 2n (n 2)] lim( n 2n n 2) lim[ n 2n (n 2)] lim

n 2n (n 2)

     

       

  

=

2

2

4

n(6 )

n 2n (n 2) 6n n n

lim lim lim lim

2 2 1

n 2n n n 2n n n( 1 1 ) 1 1

n n n n

 

   

    

     

     

b)

2 2 2

2

2 2

( n n n 2)( n n n 2) (n n) (n 2)

lim( n n n 2) lim lim

n n n n n n

        

    

     

=

2

2

2

n(1 )

n n n 1

lim lim lim

2

1 2 1

n n n n( 1 1 ) 1 1

n n n n

 

   

  

     

c)

3 2 2

3 3

3

3

3 2 3 2

3

( n n n)( (n n ) n n n n )

lim( n n n) lim

(n n ) n n n n

     

  

   

=

3

3 2 3 2 2 3 2

3

n n n n

lim lim

(n n ) n n n n (n n ) n n n n

 

       

=

2

2

3

23 23 3 3

n 1

lim lim

3

1 1 1 1

n (1 ) n n (1 ) 1

n n n n

  

 

       

Ghi nhớ: Nhân với lượng liên hợp của:

a) A B nhân với lượng liên hợp là: A B Khi đó: ( A B )( A B ) = A – B2 b) A B nhân với lượng liên hợp là: A B Khi đó: (A B)(A B) = A2 – B

c) b) A B nhân với lượng liên hợp là: A B Khi đó: ( A B)( A  B) = A– B

d) A B nhân với lượng liên hợp là: 3 A2 B A B3 

Khi đó: (3 A B )(3 A2 B A B3  2) = A  B3 e) A3 B nhân với lượng liên hợp là: A2A B3 3 B2

Khi đó: (A3 B)(A2A B3 3 B2 ) = A3  B f) A3 B nhân với lượng liên hợp là: 3 A2 3 AB3 B2

Khi đó: (3 A3 B)(3 A2 3 AB3 B2 ) = A  B

Bài 6: Tính giới hạn sau:

a)

1 lim

n 2  n 1 b)

2

n n

lim

3n

  

 c)

2

2

4n 2n

lim

n 4n n

  

  

Giải: a)

1 n n

lim lim

n n ( n n 1)( n n 1)

  

        

=

n n

lim lim( n n 1)

n n

  

    

  

b)

2 2

2

n n ( n n 1)( n n 1) n n

lim lim lim

3n (3n 2)( n 1 n 1) (3n 2)( n 1 n 1)

           

 

(4)

=

2

2

2

1

n (1 )

n n n 1

lim lim

3.1

2 1

(3n 2)( n n 1) n(3 )n( 1 )

n n n n

 

  

   

   

c)

2 2

2 2

4n 2n [ 4n (2n 1)]( 4n 2n 1)( n 4n n)

lim lim

n 4n n ( n 4n n)( n 4n n)( 4n 2n 1)

           

           

=

2 2

2 2

[4n (2n 1) ]( n 4n n) 4n( n 4n n)

lim lim

(n 4n n )( 4n 2n 1) (4n 1)( 4n 2n 1)

         

         

=

2

2

4

4n ( 1) 4( 1) 4.2 1

n n n n

lim lim

4.4

1 1 1

n(4 )n( ) (4 )( )

n n n n n n

       

  

       

Bài 7: Tính giới hạn sau:

a) lim(n3 2n23n 5) b) lim( 3n 42n3 1) c) lim( n 2n n 1)

Giải: a)

3

2

2

lim(n 2n 3n 5) lim n (1 )

n n n

       

b)

4

4

2

lim( 3n 2n 1) lim n ( )

n n

        

c)

2

2

1

lim( n n n 1) lim n ( )

n n

        

Bài 8: Tính giới hạn sau: a)

2

3n 2n

lim

2n

 

 b)

3

n 4n

lim

2n

 

 c)

5

3

3n n 5n

lim

4n 6n

  

 

Giải: a)

3

2 2 3 2 3

3

3

3

3

n ( )

3n 2n n n n n n n

lim lim lim

5

2n n (2 ) 2

n n

   

 

   

  

b)

3

3 2 3 2 3

2

3

3

4

n (1 )

n 4n n n n n

lim lim lim

2 5

2n n ( )

n n n n

   

 

  

  

c)

5

5 3 4 5 3 4 5

3

5

2 5

1 7

n (3 )

3n n 5n n n n n n n

lim lim lim

4 6

4n 6n n ( )

n n n n n n

     

  

   

        

Bài 9: Tính tổng:

a) S = n

1 1

2 2 2  2  b) S = + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + + (0,9)n – +

Giải: a) Ta có: u1 =

1 2, q =

1

2 Vậy: S =

2 n

1

1 1 2

1

2 2 1

2

      

(5)

b) Ta có: S = +

2 n

9 9

10 10 10 10

     

       

      = +

9 10

9

10 

= + = 10 Bài 10: Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn dạng phân số, biết:

a) 0,7777 b) 5, 212121 c) 0,32111

Giải: a) 0,7777 =

7 7

10 10 10  =

7 10

7 9

1 10

 

b) 5, 212121 =

21 21 21

5

100 100 100

   

=

21

7 172

100

5

1 33 33

1 100

   

c) 0,32111 =

32 1

100 10 10  =

1

32 1000 289

1

100 1 900

10

 

3 Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính giới hạn sau:

a)

6n lim

3n 

(2) b)

2

3n n

lim

2n

 

(

3

2) c)

2

3

n 4n

lim

3n n

 

  (0) d)

3

3

3n 2n n

lim

n

 

(3)

e)

2n lim

n 4n

  (0) f)

2

2n n

lim

3n 2n

 

   (

2

3) g)

4

n

lim

2n n

  (

1 2)

Bài 2: Tính giới hạn sau:

a)

4

n lim

(n 1)(2 n)(n  1) (1) b)

2

2

(3 5n) (n 2) lim

1 7n 10n

 

  (10) c)

2

2n(3 n ) lim

(1 n)( 2n 5) 

   (

1 2)

Bài 3: Tính giới hạn sau:

a)

4

2

n 2n

lim

2n

 

  (

1

2) b)

n n lim

n n 2n

  (0) c)

6

3

n 7n 5n

lim

n 12

  

(1)

Bài 4: Tính giới hạn sau:

a) n

2 5n lim

3n.4 

(0) b)

n n

n

3 2.5

lim

7 3.5 

(

2

3) c)

n n

n n

4.3

lim

2.5

(7)

d)

n n

n

2

lim

(-5) e)

n n

n n

4

lim

5

 

(0) f)

n n

n n

1 2.3

lim

2 (3  5)

 

(

1 3)

Bài 5: Tính giới hạn sau: a) lim( n2 n n) (

1 

) b) lim( n2 n n) () c) lim( n2 n n)  (

) d) lim( n n3   n 2) (2) e) lim( 4n2 3n 2n)  (

3 

) f) lim n 5( 2n 3   2n 1) ( 2) g) lim( n3 32n2  1 n) (

2 3)

Bài 6: Tính giới hạn sau:

a)

1 lim

n 1  n 2 (1) b)

2

2n n

lim

n

  

( 1 ) c)

2

2

n 4n 4n

lim

9n n

  

  (

1 

(6)

d)

2

2

4n 2n

lim

n 2n n

  

  (1) e)

3

2

n( n n)

lim

4n 2n

 

  (

16 )

Bài 7: Tính giới hạn sau:

a) lim(n32n2 n 1) () b) lim( n 25n 2) ( ) c) lim(n4 3n3 n 2)()

Bài 8: Tính giới hạn sau:

a)

2

lim n

n

 

 

  () b)

3

3n 5n

lim

n

  

( ) c)

3

2

3n n

lim

2n n

 

( )

Bài 9: Tính tổng:

a) S = n

1 1

1

3 3

     

ĐS:

3

2 b) S = -1 +

n

2 n

1 ( 1)

10 10 10 

   

ĐS:

10 11 

c) S = + 0,3 + (0,3)2 + (0,3)3 + + (0,3)n + ĐS:

7

Bài 10: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dạng phân số, biết: a) 7, 282828 ĐS:

721

99 b) 0,3333 ĐS:

3 c) 1,020202 ĐS: 101

99

II GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:

1 Lý thuyết: * Giới hạn hữu hạn điểm:

a) x x0 x x0 x x0

lim[f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x)

      b) x x0 x x0 x x0

lim[f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x)

     

c) x x0 x x0 x x0

lim[f (x).g(x)] lim f (x) lim g(x)

    d)

0

0 x x x x

x x

lim f (x) f (x)

lim

g(x) lim g(x)

 

với x x0

lim g(x)

 

e) Nếu f(x) 0: x x0 x x0

lim f (x) lim f (x)

   f) x x0 x x0

lim f (x) lim f (x)

  

* Giới hạn bên: x x0

lim f (x) L

   x x0 x x0

lim f (x) lim f (x) L

   

* Giới hạn hữu hạn vô cực: (cách giải tương tự dãy số) * Giới hạn vô cực: a) xlim f (x)   b) xlim [ f (x)]     * Đặc biệt: a)

k

xlim x   với k nguyên dương b)

k

xlim x     k số lẻ c)

k

xlim x    k số chẵn

Chú ý: a) x x0

lim x x

  b) x x0

lim c c

  , c số

c) xlim c c   , c số d) x k

c

lim

x

  

* Quy tắc tìm giới hạn:

0

x xlim f (x) L  x x0

lim g(x)

 x x0

lim[f (x).g(x)]

 x x0

lim f (x) L

  x x0

lim g(x)

Dấu

g(x) x x0

f (x) lim

g(x)

L >     L  Tùy ý

L >

0

+ 

L <     –  

L < +  

– 

2 Bài tập mẫu:

Bài 1: Cho hàm số: a) f(x) =

2x

3 x 

(7)

b) f(x) = 5x3 – 2x + Tìm xlim f (x) 2 c) f(x) =

3x

x x

  Tìm xlim f (x) 3

Giải: a)

2

x x

2x 2.3

lim f (x) lim

3

3 x 3

 

 

  

b)

3

xlim f (x) 2 xlim (5x 2  2x 7) 5( 2)    2( 2) 7  29

c) x x 2

3x 3( 3)

lim f (x) lim

x x ( 3) ( 3) 15

   

  

  

     

Bài 2: Tính giới hạn sau:

a) x 2

2x(x 3) lim

x

 b)

2

1 x

2

2x x

lim

2x

 

 

c)

2 x

lim(3x x 5)

  

Giải: a) x 2

2x(x 3)

lim

x



 b)

2

1 x

2

2x x

lim

2x

 

 

 

c)

2 x

lim(3x x 5) 49

   

Bài 3: Tính giới hạn sau: (Dạng

0 0)

a)

x

x x

lim

x

 

 b)

2

2 x

x x

lim

x

 

 c)

3

2 x

x x x

lim

x 3x

  

  d)

3

2 x

8 x lim

x 3x

 

Giải: a)

2

x x x

x x (x 1)(x 2)

lim lim lim(x 2)

x x

  

   

   

 

b)

2

x x x

x x (x 2)(x 3) x

lim lim lim

x (x 2)(x 2) x

  

    

  

   

c)

3 2

2

x x x

x x x (x 1)(x 1) x

lim lim lim

x 3x (x 1)(x 2) x

  

     

   

     

d)

3 2

2

x x x

8 x (2 x)(4 2x x ) 2x x

lim lim lim 12

x 3x (x 1)(x 2) x

  

     

  

     

Bài 4: Tính giới hạn sau: (Dạng

0 0)

a) x 12

1 1

lim

2x x x

 

 

 

   

b) x

1

lim

1 x x

 

 

 

 

Giải: a) x 12 x 12 x 12 x 12

1 1 x x 2x 1

lim lim lim lim

2x x x (2x 1)x(x 1) (2x 1)x(x 1) x(x 1)

       

  

 

    

 

        

b)

2

3 3

x x x x

1 x x x x (x 1)(x 2)

lim lim lim lim

1 x x x x (1 x)(1 x x )

   

      

 

   

 

      

 

= x

x

lim

1 x x

 

  

Bài 5: Tính giới hạn sau: (Dạng

0 0)

a) x

2 x

lim x

 

b) x

2x 3x

lim

x

  

 c) x

x 2x

lim

x 3x

 

 

(8)

d) x

x 2 lim

x

 

  e)

2 x

3x 4x x

lim

x 3x

   

 

Giải: a) x x x x

2 x (2 x )(2 x ) 4 x 1

lim lim lim lim

x x(2 x ) x(2 x ) x

   

       

   

     

b) x x

2x 3x ( 2x 3x 1)( 2x 3x 1)

lim lim

x (x 1)( 2x 3x 1)

 

        

    

= x x x

2x 3x x 1

lim lim lim

4

(x 1)( 2x 3x 1) (x 1)( 2x 3x 1) 2x 3x

  

     

  

          

c)

2

2 2

x x x

x 2x (x 2x )(x 2x ) x 2x

lim lim lim

x 3x (x 3x)(x 2x ) (x 3x)(x 2x )

     

       

 

      

= x x

(x 1)(x 3) x

lim lim

9

x(x 3)(x 2x ) x(x 2x )

   

  

 

    

d)

2 2

2 2 2

x x

3x 4x x (3x 4x x 2)(3x 4x x 2)

lim lim

x 3x (x 3x 2)(3x 2 4x x 2)

 

           

       

=

2 2

2 2

x x

(3x 2) (4x x 2) 9x 12x 4x x

lim lim

(x 3x 2)(3x 4x x 2) (x 3x 2)(3x 4x x 2)

 

        

           

=

2

2 2

x x

6

5(x 1)(x )

5x 11x 5

lim lim

(x 3x 2)(3x 4x x 2) (x 1)(x 2)(3x 4x x 2)

 

 

 

           

= x

6

5(x ) 1

5 lim

2

(x 2)(3x 4x x 2)

    

Bài 6: Tính giới hạn sau: (Dạng

0 0): a)

3

x

1 x x

lim

x

  

b)

2 x

8x 11 x

lim

2x 5x

  

 

Giải: a)

3 3

x x x x

1 x x ( x 1) ( x 1) x 1 x

lim lim lim lim

x x x x

   

           

  

* x x x x

1 x ( x 1)( x 1) x 1

lim lim lim lim

x x( x 1) x( x 1) x

   

       

   

     

*

2

3

3

2 3

x x x

( x 1)[ (1 x) x 1]

1 x 1 x

lim lim lim

x x[ (1 x) 1 x 1] x[ (1 x) 1 x 1]

  

     

   

 

       

= x 3

1

lim

3

(1 x) x

 

    Vậy:

3

x

1 x x 1

lim

x

  

  

b)

3 3

2 2

x x x x

8x 11 x ( 8x 11 3) ( x 3) 8x 11 x

lim lim lim lim

2x 5x 2x 5x 2x 5x 2x 5x

   

           

  

       

*

2

3

3

2 2 2 3

x x

( 8x 11 3)[ (8x 11) 8x 11 9]

8x 11

lim lim

2x 5x (2x 5x 2)[ (8x 11) 3 8x 11 9]

 

     

 

(9)

=

2

x x 3

8x 11 27 8(x 2)

lim lim

1

(2x 5x 2)[ (8x 11) 8x 11 9] 2(x 2)(x )[ (8x 11) 3 8x 11 9]

2

 

  

           

=

x 2 3

3

4

lim

1 81

(x )[ (8x 11) 8x 11 9]

2

 

    

* x 2 x 2 x 2

x ( x 3)( x 3) x

lim lim lim

2x 5x (2x 5x 2)( x 3) (2x 5x 2)( x 3)

  

       

 

         

=

x x

x 1

lim lim

1 18

2(x 2)(x )( x 3) 2(x )( x 3)

2

 

 

      

Vậy:

2 x

8x 11 x

lim

2x 5x 81 18 162

  

  

 

Bài 7: Tính giới hạn sau: (Dạng

 )

a)

2 x

2x x

lim

5 x

 

 

 b)

3

3

x

x 2x

lim

3x x

  

 

  c)

2

x

7 3x x lim

3x 2x

 

 

 

Giải: a)

2

2 2 2

2

x x 2 x

2

1 1

x (2 )

2x x x x x x

lim lim lim

5

5 x x ( 1) 1

x x

     

   

 

  

  

b)

3

3 2 3 2 3

3

x x 3 x

3

2 4

x (1 )

x 2x x x x x

lim lim lim

1 5

3x x x (3 ) 3

x x x x

        

   

 

  

     

c)

3

2 3 2 3 2

3

x x 3 x

2 3

7

x ( )

7 3x x x x x x x x

lim lim lim

2

3x 2x x (3 ) 3

x x x x

     

   

 

   

     

Bài 8: Tính giới hạn sau: (Dạng

 )

a)

2

x

x 2x 15

lim

x

  

 

 b) x 2x lim

x x

  

  c) x

x x lim

x x

 

  d)

2

2 x

x 2x 3x

lim

4x x

 

 

  

Giải: a)

2 2 2

x x x

2 15 15

x 1

x 2x 15 x x x x

lim lim lim

5

x x(1 ) 1

x x

        

     

  

   

  

b)

2

x x x

2

3

x(1 )

2x x x 1

lim lim lim

(1 1)

1

x x x( 1 1) ( 1 1)

x x

        

 

   

 

 

(10)

c)

2

2

x x 2 x

2

1 1

x ( )

x x x x x x

lim lim lim

1 1

x x x (1 ) 1

x x x x

     

 

   

     

d)

2

2

x x x

2

x( 3)

x 2x 3x x x

lim lim lim

2

1 2

4x x x( 4 1 ) 4 1

x x x x

     

   

 

   

  

     

Bài 9: Tính giới hạn sau: (Dạng   )

a)

2

xlim (3x   x  x 1) b)

2

xlim (2x 3     4x  4x 3) c)

2

xlim (2x 3    4x  4x 3)

Giải: a)

2

2

2

x x

(3x x x 1)(3x x x 1)

lim (3x x x 1) lim

3x x x

   

     

   

  

=

2

2 2 2 2

2

x x x x

2

2 4

1 1

x (8 )

9x x x 8x x x x x x

lim lim lim lim

3 1 1

3x x x 3x x x x ( )

x x x x x x x x

       

   

    

   

           

b)

2

2

x x

3

lim (2x 4x 4x 3) lim [x(2 )]

x x x

                

c)

2

2

2

x x

(2x 4x 4x 3)(2x 4x 4x 3)

lim (2x 4x 4x 3) lim

2x 4x 4x

   

       

    

   

=

2

2

x x x

2

12

x( )

(2x 3) 4x 4x 8x 12 x

lim lim lim

3

2x 4x 4x 2x 4x 4x x(2 4 )

x x x

     

 

     

 

       

   

= x

2

12

8 8

x

lim

2

3

2

x x x

 

 

 

   

Bài 10: Tính giới hạn sau: a)

3

xlim (2x   5x 3x 1) b)

4

xlim ( x    5x 1) c)

2

xlim ( 3x    2x 5)

Giải: a)

3

2

x x

5

lim (2x 5x 3x 1) lim x (2 )

x x x

           

b)

4 2

2

x x

5

lim ( x 5x 1) lim x ( )

x x

           

c)

2

2

x x

2

lim ( 3x 2x 5) lim ( x )

x x

            

Bài 11: Tính giới hạn sau:

a)

3 x

2x 5x

lim

4x

 

 

 b)

5 x

x 32

lim

x 16

  

 c)

5

2 x

x 5x 4x

lim

(1 x)

 

 

(11)

Giải: a)

3

3 2 3 2 3

2

x x 3 x

3

5

x (2 )

2x 5x x x x x

lim lim lim

4 4

4x x ( )

x x x x

                  b)

5 5 5

4

x x 5 x

5

32 32

x (1 )

x 32 x x

lim lim lim

16 16

16 x x ( )

x x x x

                   c)

5 5 5

2

x x 6 x

6

1 5

x ( 4)

x 5x 4x x x x x

lim lim lim

1 1

(1 x) x ( )

x x x x x x

     

   

 

  

    

Bài 12: Tính giới hạn sau:

a) x 5x lim 3x          

b) x

2x lim 5x   

 c)

2

x ( 3)

x 2x

lim

x

  

 

 d) x ( 12)

5 7x lim 2x      Giải: a) x 5x lim 3x             (Vì x 11

lim (5x 7)

3              , x

lim (3x 2) 0

        

x 3x

3

   

) b) x

2x lim 5x     

(Vì x 1lim(2x 1) 2.1 0

      ,x 1lim(5 5x) 0

   x 1  5x 5  5x 0  )

c)

2

x ( 3)

x 2x

lim x        (Vì

x ( 3)lim (x 2x 3) 18

         ,x ( 3) lim (x 3) 0   x  3 x 0  )

d) x ( )

2 7x lim 2x        (Vì x ( )

2

7 17

lim (5 7x)

2         , x ( )

2

lim (2x 1)

  

 

1

x 2x

2

    

)

3 Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hàm số f(x) =

2x x

5x

 

 Tìm

2

x

2x x

lim

5x

 

ĐS:

79 23

Bài 2: Tính giới hạn sau:

a)

2 x

3x x 2x

lim

5 2x

  

(-3) b) x 2

4x( x 7) lim

3x x

      (

) c)

3

x

lim (7x 2x )

    ( 142 27  ) Bài 3: Tính giới hạn sau:

a) x x lim x   

(4) b)

2 x

x 5x

lim x 3x      (

3) c)

2 x

x

lim

x 3x

  (4) d)

3 x

x x 10

(12)

a) x

2

lim

x x

 

 

 

  (

1 

) b) x

1

lim

x x x

 

 

     (

4 

) Bài 5: Tính giới hạn sau:

a) x

1 2x lim

2x

 

(

1

2) b) x

x x

lim

3 4x

 

  (

8

9) c) x

x 3 lim

x

 

(

1 6)

d) x

x lim

x 2x

 

  (

1

24) e)

2

x

3x 4x x

lim

x 3x

   

  (2) f) x

5 x x

lim

x

  

(

5

5 )

Bài 6: Tính giới hạn sau:

a)

2 x

8x 11 x

lim

x 3x

  

  (

7

54) b)

3 x

x 11 43 8x

lim

2x 3x

 

  

  (

7 30)

Bài 7: Tính giới hạn sau:

a)

2

2 x

4x x

lim

2 3x x

 

 

  (-4) b)

4

5 x

5x 3x 2x

lim

3x 4x

  

  

(0) c)

2

4 x

(x 1) (7x 2)

lim

(2x 3)

 

 

(

7 16)

Bài 8: Tính giới hạn sau:

a)

2

2 x

x 2x 4x

lim

4x x

 

   

   (5) b)

2

2 x

x 2x 3x

lim

4x x

  

 

   (

2 

) c) x

1 x x lim

x

 

 

(-1)

Bài 9: Tính giới hạn sau: a)

2

xlim ( x   2x 1  x  7x 3) (

5

2) b) xlim (3x    x2 x 1) ( ) Bài 10: Tính giới hạn sau:

a)

4

xlim (x   x  x 1)() b)

3

xlim ( 2x    3x  5) () c)

2

xlim x    2x 5 () Bài 11: Tính giới hạn sau:

a)

3 x

3x 4x 16

lim

4 x

  

 

( ) b)

2

x

4 x lim

x

 

( ) c)

2 x

(2x 1) (3x 5) lim

5x

  

 

()

Bài 12: Tính giới hạn sau:

a) x

2x lim

x

 

( ) b) x

2x lim

x

 

( ) c)

1 x

2

3 8x lim

4x

       

 

() d)

2

x ( 3)

2x x

lim

2x

  

 

( )

III HÀM SỐ LIÊN TỤC:

1 Lý thuyết: * Hàm số liên tục điểm: Cho y = f(x) xác định khoảng K x0K

a) Nếu x x0

lim f (x) f (x )

  f(x) liên tục x0

b) Nếu x x0

lim f (x) f (x )

  f(x) khơng liên tục x0 hay f(x) gián đoạn điểm x0

* Định lý: Nếu y = f(x) liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b) < tồn điểm c cho f(c) =

* Phương pháp: Xét tính liên tục hàm số điểm a) Loại 1: Hàm số có dạng:

 



 

1 0

2 0

f (x), neáu x x f(x)

f (x), x x

Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0) Bước 2: Tính x xlim f(x) lim f (x) L 0 x x 0  Bước 3: + Nếu f2(x0) = L hàm số f(x) liên tục x0

(13)

b) Loại 2: Hàm số có dạng:

 



 

1 0

2 0

f (x), neáu x x f(x)

f (x), x x

Bước 1: + Tính  

  

x xlim f(x) lim f (x) Lx x + Tính  

   

x xlim f(x) lim f (x) Lx x + Tính f(x0) = f1(x0) Bước 2: + Nếu f1(x0) = L1 hàm số liên tục bên phải x0

+ Nếu f1(x0) = L2 hàm số liên tục bên trái x0 + Nếu L1 = L2 = f1(x0) hàm số liên tục x0

* Nếu trường hợp khơng xảy hàm số không liên tục x0

* Phương pháp: Chứng minh PT f(x) = có nghiệm thuộc (a; b) Bước 1: Chứng minh hàm số f(x) liên tục [a; b]

Bước 2: Tính f(a); f(b) chứng minh f(a).f(b) < 0 Bước 3: Kết luận PT f(x) = có nghiệm thuộc (a; b)

Chú ý: Nếu tốn khơng cho khoảng (a; b) ta phải dự đốn khoảng này

2 Bài tập mẫu

Bài 1: Xét tính liên tục hàm số sau:

a)

3

x neáu x

f(x) x 2

12 neáu x

 

 

 

 

 x0 = b)

x neáu x 4

x f(x)

3 neáu x 4

2

 

 

  



 

 x0 =

Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(2) = 12

+

3

2

x x x x

x (x 2)(x 2x 4)

lim f(x) lim lim lim(x 2x 4) 12

x x

   

   

     

 

Suy ra: f(2) = lim f(x)x 2 = 12 Vậy: Hàm số cho liên tục x0 = b) TXĐ: D = R Ta có: + f(4) =

3

2

+ x x x x

x ( x 2)( x 2)( x 3) (x 4)( x 3)

lim f(x) lim lim lim

x ( x 3)( x 3)( x 2) (x 9)( x 2)

   

       

  

         

= 

 

  

x

x lim

4

x Suy ra: f(4) = lim f(x)x 4 =

3

2 Vậy: Hàm số cho liên tục x0 = 4

Bài 2: Xét tính liên tục hàm số sau:

a)

2

2x 1 neáu x

f(x) x x

2 neáu x

  

 

 

 

 x0 = b)

2

x 7x neáu x 8

f(x) x 8

9 neáu x

  

 

 

 

 x0 = -8

Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(0) =

+ x x x x

2x 1 ( 2x 1)( 2x 1) 2x 1

limf (x) lim lim lim

x x (x x)( 2x 1) x(x 1)( 2x 1)

   

       

  

      

x

2

lim

(x 1)( 2x 1)

 

  

Suy ra: f(0) lim f (x)x 0 Vậy: Hàm số cho không liên tục x0 = b) TXĐ: D = R Ta có: + f(-8) = -9

+

2

x x x x

x 7x (x 1)(x 8)

lim f (x) lim lim lim (x 1)

x x

       

   

    

 

(14)

Bài 3: Xét tính liên tục hàm số sau:

a)

2

1 x x

f (x) x 2x 3

khi x 2x

 

 

  

 

 x0 = b)

x

khi x

f (x) 2x

(x 5) x

 

 

  

   

 x0 = 5

Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(3) = -2

+

2

x x x x

x 2x (x 1)(x 3) x

lim f (x) lim lim lim

6 2x 2(x 3)

   

   

    

   

   

+ x 3lim f (x) x 3lim (1 x)

     Suy ra: x x

lim f (x) lim f (x) f (3)

 

    

Vậy: Hàm số cho liên tục x0 = b) TXĐ: D = R Ta có: + f(5) =

+ x x x

x (x 5)( 2x 3)

lim f (x) lim lim

2x ( 2x 3)( 2x 3)

  

  

   

 

     

x x

(x 5)( 2x 3) 2x

lim lim

2x

 

 

    

  

 

+

2

x 5lim f (x) lim[(x 5) x 5 3]

      Suy ra: x 5lim

 f(x) =x 5lim

 f(x) = f(5) = Vậy: Hàm số cho liên tục x0 =

Bài 4: a) Cho hàm số

2

2x 2x

khi x

f (x) x

5 x

 

 

 

 

 Xét tính liên tục hàm số R.

b) Cho hàm số

2

x 5x

khi x

f (x) x 1

5 8x x

  

 

 

  

 Xét tính liên tục hàm số R.

Giải: a) TXĐ: D = R

* Với x 1: f(x) =

2

2x 2x

x 

 là hàm số hữu tỷ nên liên tục khoảng thuộc tập xác định

nó Vậy liên tục khoảng ( ;1)và (1; ) * Với x = 1: + f(1) =

+

2

x x x

2x 2x 2x(x 1)

lim lim lim 2x f (1)

x x

  

 

   

  Vậy: hàm số cho không liên tục x0 = 1

Vậy: Hàm số cho liên tục khoảng ( ;1)và (1; ) gián đoạn x0 = b) * Trên (1; ), ta có: f(x) =

2

x 5x

x

 

 hàm số hữu tỷ nên liên tục khoảng thuộc

tập xác định Vậy liên tục khoảng (1; )

* Trên ( ;1), ta có: f(x) = – 8x hàm số đa thức nên liên tục khoảng ( ;1) * Xét x0 = 1: + f(1) = – 8.1 = -3

+

2

x x x

x 5x (x 1)(x 4)

lim lim lim(x 4)

x x

  

  

   

   

 

+ x 1lim(5 8x) 8.1

(15)

a)

1 x neáu x 0

f(x) x

2a x neáu x

  

 



  

 x0 = b) 2

x neáu x

f(x)

x (a 1)x neáu x

 

 

   

 x0 = 1

Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(0) = 2a

+ x x x x x

1 x ( x 1)( x 1) x 1

lim f(x) lim lim lim lim

x x( x 1) x( x 1) x

    

         

    

     

Hàm số liên tục x0 =  f(0) = lim f(x)x 0  2a =

1 

 a =

1 

b) TXĐ: D = R Ta có: + f(1) = 12 + (a2 – 1).1 – = a2 –

+ lim f(x) lim(x 2) 3x 1 x 1   Hàm số liên tục x0 = 1 f(1) = lim f(x)x 1  a2 – = 3 a = 2 Bài 6: Tìm m để hàm số liên tục:

a)

3

2

x neáu x 1

f(x) x

mx x m neáu x

 

  

 

   

 x0 = -1 b)

x 3x neáu x 1

f(x) x 1

3mx neáu x

   

 

 

  

 x0 = 1

Giải: a) TXĐ: D = R Ta có: + f(-1) = m + + m2 +

3

2

x ( 1) x ( 1) x ( 1) x ( 1)

x (x 1)(x x 1)

lim f(x) lim lim lim (x x 1)

x x

   

       

   

     

 

+

2 2

x ( 1)lim f(x) x ( 1)lim (mx x m ) m m

         

Hàm số liên tục x0 = -1 f(-1) =x ( 1)lim f(x) x ( 1)lim f(x)

      m2 + m + = 3 m = 1; m = -2 b) TXĐ: D = R Ta có: + f(1) = 3m +

+ x x x

x 3x ( x 3x 1)( x 3x 1)

lim f(x) lim lim

x (x 1)( x 3x 1)

  

  

        

 

    

= x x x

x 3x 2(x 1)

lim lim lim

2

(x 1)( x 3x 1) (x 1)( x 3x 1) x 3x

  

  

     

  

          

+ x 1lim f(x) lim(3mx 2) 3m 2 x 1

     

Hàm số liên tục x0 = 1 f(1) =x 1lim f(x) lim f(x) x 1

    3m + =

1 

 m =

5 

Bài 7: Chứng minh phương trình: a) x4 + x3 – 3x2 + x + = có nghiệm thuộc (-1; 1) b) x4 – 6x2 + = có nghiệm thuộc (-1; 3) c) x3 – 7x – = có hai nghiệm d) 2x5 – 7x2 + = có nghiệm nằm khoảng (-4; 3)

Giải: a) Đặt: f(x) = x4 + x3 – 3x2 + x + Ta có: f(x) liên tục [-1; 1] *

f( 1)

f(1)

 

 

 Suy ra: f(-1).f(1) = -3 < Vậy: PT f(x) = có nghiệm thuộc (-1 ; 1)

b) Đặt: f(x) = x4 – 6x2 + Ta có: f(x) liên tục [-1; 0] [0; 3] *

f( 1)

f(0)

 

 

 Suy ra: f(-1).f(0) = -4 <  PT f(x) = có nghiệm thuộc (-1; 0)

*

f(0)

f( 3)

 

 

 

 Suy ra: f(0).f( 3) = -8 <  PT f(x) = có nghiệm thuộc (0; 3)

Vậy: PT f(x) = có nghiệm thuộc (-1; 3)

(16)

*

f( 1)

f(0)

 

 



 Suy ra: f(-1).f(0) = -5 <  PT f(x) = có nghiệm thuộc (-1; 0)

*

f(0)

f(3)  

 

 Suy ra: f(0).f(1) = -5 <  PT f(x) = có nghiệm thuộc (0; 3)

Vậy: PT f(x) = có nghiệm

d) Đặt: f(x) = 2x5 – 7x2 + Ta có: f(x) liên tục [-4; 0], [0; 1] [1; 3] *

f( 4) 2157

f(0)

 

 

 Suy ra: f(-4).f(0) = -6471 <  PT f(x) = có nghiệm thuộc (-4; 0)

*

f(0)

f(1)

 



 Suy ra: f(0).f(1) = -6 <  PT f(x) = có nghiệm thuộc (0; 1)

*

f(1)

f(3) 426  

 

 Suy ra: f(-1).f(0) = -852 <  PT f(x) = có nghiệm thuộc (1; 3)

Vậy: PT f(x) = có nghiệm nằm khoảng (-4; 3) 3 Bài tập tự luyện

Bài 1: Xét tính liên tục hàm số sau:

a)

3

x 27 neáu x 3

f(x) 3 x

27 neáu x

 

 

 

 

 x0 = b)

1 2x neáu x 2

f(x) 2 x

1 neáu x

  

 

 

 

 x0 = 2

c)

x neáu x 1 x

f(x)

1 neáu x 1

6

  

 

 



 

 x0 = d)

2

x neáu x 2

f(x) x

2 neáu x

 

 

 

 

 x0 =

Bài 2: Xét tính liên tục hàm số sau:

a)

2

x 5x neáu x 1

f(x) x 1

1 neáu x

  

  

 

 

 x0 = b)

3

2

x 3x 2x neáu x 2

f(x) x 5x

x neáu x

  

  

  

  

 x0 = -2

c)

x neáu x 1

f(x) x

2x neáu x

 

 

  

 

 x0 = d)

x neáu x x

f(x)

1 x neáu x

4

  

 

 



 

 x0 = 1

Bài 3: Xét tính liên tục hàm số sau R:

a)

2

x x neáu x 2

f(x) x

5 x neáu x

  

 

 

  

 b)

3

x neáu x 2

f(x) 4x

3 neáu x

 

 

 

 

Bài 4: Định a để hàm số sau liên tục:

a)

3

x x 2x neáu x 1

f(x) x 1

3x a neáu x

   

 

 

  

 tại x0 = b)

8 2x neáu x

f(x) x

3x a a neáu x

  

 

 

   

 x0 = -2

(17)

a)

2

x 3x neáu x 2

f(x) x 2x

mx m neáu x

  

 

 

   

 x0 = b)

2

m x neáu x

f(x)

(1 m)x neáu x

 



 

 x0 =

Bài 6: Chứng minh phương trình: a) x4 – 3x2 + 5x – = có nghiệm thuộc (1; 2) b) x5 – 5x – = có nghiệm c) x3 + 3x2 – 4x – = có nghiệm nằm khoảng (-4; 0) d) x5 – 3x4 + 5x – = có nghiệm nằm khoảng (-2; 5)

Ngày đăng: 02/02/2021, 13:41

w