HUONG DAN ON TAP CHUONG v DAI SO 11 NAM 12 13

HƯỚNG DẪN ƠN TẬP CHƯƠNG V GIẢI TÍCH 11 (2012 – 2013) I ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM: Định nghĩa đạo hàm điểm: * Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) x0∈ (a; b) f (x) − f (x ) ∆y f ′(x) = lim = lim ( ∆x = x − x ; ∆y = f (x) − f (x ) ) x →x ∆x →0 ∆x x − x0 * Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục điểm Ý nghĩa đạo hàm: * f ′(x ) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x0; f(x0)) * Phương trình tiếp tuyến (PTTT) đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x0; y0) với y0 = f(x0) là: y = f ′(x )(x − x ) + y Tính đạo hàm định nghĩa: PP: * Bước 1: Giả sử ∆x số gia đối số x0 Ta có: ∆ y = f(x0 + ∆ x) – f(x0) ∆y ∆y * Bước 2: Lập tỉ số: * Bước 3: Tìm ∆lim x →0 ∆x ∆x Phương trình tiếp tuyến (PTTT): a) PTTT đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x0; y0) * Bước 1: PTTT đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x )(x − x ) + y (1) * Bước 2: f ′(x) ⇒ f ′(x ) * Bước 3: PTTT là: (thay f ′(x ) , x0, y0 vào (1)) rút gọn dạng y = ax + b b) PTTT đồ thị hàm số y = f(x) điểm có hồnh độ a * Bước 1: Ta có: x0 = a ⇒ y0 = f(x0) = b: M(a; b) * Bước 2: Trình bày a) c) PTTT đồ thị hàm số y = f(x) điểm có tung độ b * Bước 1: Ta có: y0 = b ⇒ x0 = b (cho f(x) = b): M(a; b) * Bước 2: Trình bày a) d) PTTT đồ thị hàm số y = f(x) có hệ số góc k * Bước 1: Ta có: f ′(x ) = k * Bước 2: PTTT đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x )(x − x ) + y (1) * Bước 3: f ′(x) ⇒ f ′(x ) = k (giải PT suy nghiệm x0) ⇒ y0 = f(x0) * Bước 4: PTTT là: (thay f ′(x ) , x0, y0 vào (1)) rút gọn dạng y = ax + b e) PTTT đồ thị hàm số y = f(x) song song với đường thẳng y = ax + b * Bước 1: Ta có: f ′(x ) = k = a * Bước 2: Trình bày d) (từ bước 2) f) PTTT đồ thị hàm số y = f(x) vng góc với đường thẳng y = ax + b * Bước 1: Ta có: f ′(x ) = k = -1: a * Bước 2: Trình bày d) (từ bước 2) II QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM : Đạo hàm tổng , hiệu, tích, thương: a) (u + v)′ = u ′ + v′ b) (u − v)′ = u′ − v′ c) (u + v − w)′ = u ′ + v′ − w ′ u ′ u′v − uv′ d)  ÷ = v2 v Đạo hàm hàm hợp: Hàm ′ 1) (x) = 2) (x n )′ = nx n −1 ′ 3) x = x 4) (kx)′ = k k ′ k 5)  ÷ = − x x 6) (sin x)′ = cos x c) (u.v)′ = u′v + uv′ ( ) e) (u.v.w)′ = u′vw + uv′w + uvw ′ Hàm hợp 1) Khơng có 2) (u n )′ = nu n −1.u′ u′ ′ 3) u = u 4) (ku)′ = k.u′ k ′ k 5)  ÷ = − u′ u u 6) (sin u)′ = u′ cos u ( ) 7) (cos x)′ = − sin x 7) (cos u)′ = −u′ sin u u′ ′ (tan u) = 8) (tan x)′ = 8) cos x cos u u′ 9) (cot x)′ = − 9) (cot u)′ = − sin x sin u ad − bc adx + 2aex + be − cd ax + b ax + bx + c ′ ⇒ y′ = ⇒ y = y = Ghi nhớ: 1) y = 2) (cx + d) (dx + e) cx + d dx + e ax + bx + c (ab1 − a1b)x + 2(ac1 − a1c)x + (bc1 − b1c) ′ y = ⇒ y = 3) a1x + b1x + c1 (a1x + b1x + c1 ) sin u(x) sin x tan x u(x) = lim = với xlim =1 lim =1 4) lim 5) 6) →x x → x x →0 x →0 u(x) x x III VI PHÂN 1) Vi phân: df(x) = f ′(x)dx dy = y′dx 2) Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x ∈ (a;b) * Đạo hàm cấp hai y = f(x) Ký hiệu: y′′ = f ′′(x) = [f ′(x)]′ * Đạo hàm cấp ba y = f(x) Ký hiệu: y′′′ = f ′′′(x) = [f ′′(x)]′ y (3) = f (3) (x) = [f ′′(x)]′ * Đạo hàm cấp bốn y = f(x) Ký hiệu: y (4) = f (4) (x) = [f (3) (x)]′ 0 * Đạo hàm cấp n – y = f(x) Ký hiệu: y (n −1) = f (n −1) (x) * Đạo hàm cấp n y = f(x) Ký hiệu: y (n ) = f (n ) (x) = [f (n −1) (x)]′ BÀI TẬP MẪU Bài 1: Tình đạo hàm (bằng định nghĩa) hàm số sau: 3x + a) y = điểm x0 = b) y = 2x2 – x + x0 = -3 c) y = x0 = x +1 − 5x Giải: a) * Giả sử ∆x số gia đối số x0 = 2 − 2∆x − −2∆x − = = Ta có: ∆ y = f(2 + ∆ x) – f(2) = ∆x + 3 3(∆x + 3) 3(∆x + 3) ∆y −2∆x −2 ∆y −2 2 = ∆y = = = lim = − Vậy: y′(2) = − * * ∆lim x →0 ∆x ∆x →0 3( ∆x + 3) ∆x ∆x 3(∆x + 3) ∆x 3(∆x + 3) 9 b) * Giả sử ∆x số gia đối số x0 = –3 Ta có: ∆ y = f(–3 + ∆ x) – f(–3) = [2(–3 + ∆ x)2 – (–3 + ∆ x) + 3] – [2.( –3)2 – (–3) + 3] = ( ∆ x)2 – 13 ∆ x = ∆ x( ∆ x – 13) ∆y 1 ∆y = ∆y = ∆x(∆x − 13) = ∆x − 13 * lim = lim( ∆x − 13) = −13 Vậy: y′(−3) = −13 * ∆x →0 ∆x ∆x → ∆x ∆x ∆x c) * Giả sử ∆x số gia đối số x0 = 3(1 + ∆x) + + 3∆x −17 ∆x +4= +4= Ta có: ∆ y = f(1 + ∆ x) – f(1) = − 5(1 + ∆x) −1 − 5∆x −1 − 5∆x ∆y −17 ∆x 17 ∆y 17 = ∆y = = = lim = 17 Vậy: y′(1) = 17 * * ∆lim x →0 ∆x ∆x →0 + 5∆x ∆x ∆x −1 − 5∆x ∆x + 5∆x Bài 2: Viết PTTT hàm số sau: 2x + a) y = 2x2 – x + điểm M(3; -2) b) y = điểm M(1; -3) − 4x Giải: a) PTTT đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x )(x − x ) + y y′ = 4x – ⇒ y′(3) = 11 Vậy: PTTT là: y = f ′(x )(x − x ) + y = 11(x – 3) – = 11x – 35 b) PTTT đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x )(x − x ) + y 10 ⇒ y′(1) = 10 Vậy: PTTT là: y = 10(x – 1) + = 10x – (3 − 4x) Bài 3: Viết PTTT hàm số sau: − 2x a) y = x3 – 4x2 + x – điểm có hồnh độ -2 b) y = điểm có tung độ -1 3x + Giải: a) Ta có: x0 = -2 ⇒ y0 = (-2)3 – 4(-2)2 + (-2) – = -27 PTTT đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x )(x − x ) + y y′ = 3x2 – 8x + ⇒ y′ (-2) = 29 Vậy: PTTT là: y = 29(x + 2) – 27 = 29x + 31 − 2x = −1 ⇔ – 2x0 = –3x0 – ⇔ x0 = –3 b) Ta có: 3x + PTTT đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x )(x − x ) + y −7 y′ = ⇒ y′(−1) = −7 Vậy: PTTT là: y = –7(x + 3) – = –7x – 22 (3x + 2) Bài 4: Viết PTTT hàm số sau: 2x + a) y = có hệ số góc -5 b) y = x3 – 2x2 + 5x – song song với đt d: y = 4x – x−2 1 c) y = x3 – 3x + vng góc với đường thẳng d: y = − x + Giải: a) Ta có: k = f ′(x ) = −5 PTTT đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x )(x − x ) + y x0 =  y = −3 −5 −5 2 (x = − – 2) = ⇔ x − 4x + = ⇔ y′ = ⇒ ⇔ ⇒ x = y = 0 (x − 2) (x − 2)   y′ = Vậy: PTTT là: * y = –5(x – 1) – = – 5x + * y = – 5(x – 3) + = – 5x + 22 b) Ta có: k = f ′(x ) = PTTT đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x )(x − x ) + y x0 =  y0 = 2 2  ⇒ y′ = 3x – 4x + ⇒ 3x − 4x + = ⇔ 3x − 4x + = ⇔ x0 =  y = − 14 27   14 50 Vậy: PTTT là: * y = 4(x – 1) + = 4x – * y = 4(x – ) – = 4x – 27 27  1 c) Ta có: k = f ′(x ) = −1:  − ÷ = PTTT đồ thị hàm số có dạng: y = f ′(x )(x − x ) + y  6 x0 =  y0 = ⇒ y′ = x2 – ⇒ x 02 − = ⇔ x 02 − = ⇔   x = −3  y = Vậy: PTTT là: * y = 6(x – 3) + = 6x – 13 * y = 6(x + 3) + = 6x + 23 Bài 5: Tính đạo hàm hàm số sau: 2 a) y = 2x4 – 5x3 + x2 – 15 b) y = x − x + x − c) y = − x + x − 0,6x 5 3 Giải: a) y′ = 8x3 – 15x2 + 2x b) y′ = 2x2 – x + c) y′ = − + 3x2 – 3x4 5 Bài 6: Tính đạo hàm hàm số sau: x a) y = 3cos x − sin x + x + b) y = − tan x + cot x − 1 Giải: a) y′ = –3sinx – cosx + b) y′ = – – 2 x x cos x 2sin x Bài 7: Tính đạo hàm hàm số sau: x cos x + c) y = 2x sin x d) y = (2x + 1) tan x x x x x= − x Giải: a) y′ = – [x′ x + x( x )′] = – x – =− x− 2 x 1 ( x )′.x − x.(x)′ (cos x)′ x − cos x.( x )′ x − x − sin x x − cos x + b) y′ = = x x + x2 ( x )2 x x − x x sin x + cos x − = 2x 2x x ′ ′ c) y = (2x) sin x + 2x.(sin x)′ = 2sinx + 2xcosx 2x + d) y′ = (2x + 1)′ tan x + (2x + 1)(tan x)′ = 2tanx + cos x Bài 8: Tính đạo hàm hàm số sau: 3  a) y =  + 3x ÷ x − b) y = (4x3 – 2x2 – 5x)(x2 – 7x) c) y = (x – 1)(2 + x2)(3 – 2x) x   ′   3  3 Giải: a) y′ =  + 3x ÷ x − +  + 3x ÷ x − ′ =  − + ÷ x − +  + 3x ÷  x  x  x x  x  b) y′ = (4x3 – 2x2 – 5x)’(x2 – 7x) + (4x3 – 2x2 – 5x)’(x2 – 7x)’ = (12x2 – 4x – 5)(x2 – 7x) + (4x3 – 2x2 – 5x)(2x – 7) = 12x4 – 84x3 – 4x3 + 28x2 – 5x2 + 35x + 8x4 – 28x3 – 4x3 + 14x2 – 10x2 + 35x = 20x4 – 120x3 + 27x2 + 70x Cách khác: y = 4x5 – 28x4 – 2x4 + 14x3 – 5x3 + 35x2 = 4x5 – 30x4 + 9x3 + 35x2 ⇒ y′ = 20x4 – 120x3 + 27x2 + 70x c) y′ = (x – 1)’(2 + x2)(3 – 2x) + (x – 1)(2 + x2)’(3 – 2x) + (x – 1)(2 + x2)(3 – 2x)’ = (2 + x2)(3 – 2x) + (x – 1)2x(3 – 2x) + (x – 1)(2 + x2)(– 2) = – 4x + 3x2 – 2x3 + 6x2 – 4x3 – 6x + 4x2 – 4x – 2x3 + + 2x2 = –8x3 + 15x2 – 14x + 10 Cách khác: y = (2x + x3 – – x2)(3 – 2x) = 6x – 4x2 + 3x3 – 2x4 – + 4x – 3x2 + 2x3 = – 2x4 + 5x3 – 7x2 + 10x ⇒ y′ = – 8x3 + 15x – 14x + 10 Bài 9: Tính đạo hàm hàm số sau: sin x + cos x 3x − − x + 2x + a) y = b) y = c) y = sin x − cos x − 4x 5x − (sin x + cos x)′(sin x − cos x) − (sin x + cos x)(sin x − cos x)′ Giải: a) y′ = (sin x − cos x) (cos x − sin x)(sin x − cos x) − (sin x + cos x)(cos x + sin x) = (sin x − cos x) sin x cos x − cos x − sin x + sin x cos x − sin x cos x − sin x − cos x − sin x cos x = (sin x − cos x) −2cos x − 2sin x −2(cos x + sin x) −2 = = = 2 (sin x − cos x) (sin x − cos x) (sin x − cos x) (3x − 2)′(1 − 4x) − (3x − 2)(1 − 4x)′ 3(1 − 4x) − (3x − 2)( −4) −5 b) y′ = = = 2 (1 − 4x) (1 − 4x) (1 − 4x) 3.1 − (−2).(−4) −5 = Cách khác: y′ = (chỉ sử dụng để viết PT tiếp tuyến) (1 − 4x) (1 − 4x) (− x + 2x + 3)′(5x − 1) − ( − x + 2x + 3)(5x − 1)′ (−2x + 2)(5x − 1) − (− x + 2x + 3).5 ′ c) y = = (5x − 1) (5x − 1) b) y = a) y = − x x ( ) ( ) ( ) ( ) −10x + 2x + 10x − + 5x − 10x − 15 −5x + 2x − 17 = = (5x − 1) (5x − 1) Bài 10: Tính đạo hàm hàm số sau: c) y = b) y = − 5x − x a) y = (2x3 – 3x + 5)5 − 3x c) y = (2x − 3)3 Giải: Vận dụng công thức: y′ = y 'u u 'x a) y′ = 5(2x − 3x + 5) (2x − 3x + 5)′ = 5(2x − 3x + 5) (6x − 3) u 'x = 6x − Cách khác: Đặt: u = 2x – 3x + ⇒ y = u Ta có:  '  y u = 5u Vậy: y′ = 5u (6x − 3) = 5(2x − 3x + 5) (6x − 3) (3 − 5x − x )′ −5 − 2x ′ = b) y = 2 − 5x − x − 5x − x u 'x = −5 − 2x  Cách khác: Đặt: u = – 5x – x2 ⇒ y = u Ta có:  '  yu = u  −5 − 2x = Vậy: y′ = (−5 − 2x) u − 5x − x 2(5 − 3x)′ = c) y′ = − (5 − 3x) (5 − 3x) u 'x = −3   2 Cách khác: Đặt: u = – 3x ⇒ y = Ta có:  ' Vậy: y′ = −3  − ÷= u  u  (5 − 3x)  yu = − u  4[(2x − 3) ]′ 12(2x − 3) (2x − 3)′ 24(2x − 3) 24 =− =− =− d) y′ = − 6 [(2x − 3) ] (2x − 3) (2x − 3) (2x − 3) u 'x = 6(2x − 3)  Cách khác: Đặt: u = (2x – 3)3 ⇒ y = Ta có:  ' u  yu = − u  4 24(2x − 3) 24(2x − 3) 24 2 = − =− Vậy: y′ = 6(2x − 3)  − ÷ = − [(2x − 3) ] (2x − 3) (2x − 3)  u  Bài 11: Tính đạo hàm hàm số sau: x a) y = cos2x b) y = tan3x c) y = sin x + d) y = cot − 3x ’ Giải: a) y′ = 2cosx(cosx) = 2cosx(–sinx) = –2sinxcosx = –sin2x 3sin x 3sin x ’ ′ = b) y = 3tan x(tanx) = 3tan x = cos x cos x cos x cos x (x + 1)′ x cos x + cos x + = c) y′ = ( x + 1)′ cos x + = x2 +1 x2 +1  x ′  ÷ x  x x ′  − 3x  d) y′ = 2cot  cot = 2cot − − 3x  − 3x ÷ − 3x x  sin − 3x 5 x′(1 − 3x) − x(1 − 3x)′ x −2cot x (1 − 3x) = −2cot = − 3x (1 − 3x) sin x x − 3x sin − 3x − 3x Bài 12: Giải bất phương trình sau: x x2 + x + x2 + x +1 ′ ′ a) y > với y = b) y ≥ với y = c) y′ < với y = x − 4x + x +1 x − x +1 x + 2x − Giải: a) y′ = , ĐK: x ≠ −1 Khi đó: y′ > ⇔ x2 + 2x – > ⇔ x < –3 x > (x + 1) −2x + b) y′ = , ∀x ∈ ¡ Khi đó: y′ ≥ ⇔ – 2x2 + ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ (x − x + 1) −x + y′ < ⇔ – x2 + < ⇔ x < –2 x > c) y′ = 2 , ĐK: x ≠ Khi đó: (x − 4x + 4) 3 Bài 13: a) f(x) = x3 – 2x2 + , g(x) = x2 – 2x – Giải bất PT: f ′(x) > g′(x) b) f(x) = 3x3 + x2 – 7x + , g(x) = 2x3 + 3x2 + 11x – Giải bất PT: f ′(x) < g′(x) ′ f (x) Giải: a) = 2x2 – 4x, g′(x) = x – Khi đó: f ′(x) > g′(x) ⇔ 2x2 – 4x > x – ⇔ 2x2 – 5x + > ⇔ x < x > 2 2 b) f ′(x) = 9x + 3x – 7, g′(x) = 6x + 6x + 11 Khi đó: f ′(x) < g′(x) ⇔ 9x2 + 3x – < 6x2 + 6x + 11 ⇔ 3x2 – 3x – 18 < ⇔ –2 < x < 3 Bài 14: a) Tính f ′(−1) , biết: f(x) = + + x x x π f ′( ) πx πx b) Tính – cos , biết: f(x) = 2sin2x + 3x – 5, g(x) = g′(1) 9 − − = −1 + − = − Giải: a) f ′(x) = − − − ⇒ f ′(−1) = − (−1) (−1) (−1) x x x π b) f ′(x) = 4cos2x + ⇒ f ′( ) = 4.cos π + = –1 π f ′( ) πx π πx π π π ⇒ g′(1) = + sin = π Khi đó: g′(x) = + sin =−1 2 2 2 g′(1) π Bài 15: Tìm vi phân hàm số sau: sin 3x a) y = 5x3 – 2x + b) f (x) = sin 3[cos(3x − 2)] c) y = 1− x2 Giải: a) y′ = (5x − 2x + 3)′ = 15x − Vậy: dy = y′dx = (15x2 – 2)dx b) f ′(x) = 3sin [cos(3x − 2)].{ sin[cos(3x − 2)]} ′ = 3sin [cos(3x − 2)].cos[cos(3x − 2)].[cos(3x − 2)]′ = 3sin [cos(3x − 2)].cos[cos(3x − 2)].[ − sin(3x − 2)].(3x − 2)′ = −9sin [cos(3x − 2)].cos[cos(3x − 2)].sin(3x − 2) Vậy: df(x) = f ′(x)dx = ( −9sin [cos(3x − 2)].cos[cos(3x − 2)].sin(3x − 2) ) dx (sin 3x)′(1 − x ) − sin 3x(1 − x )′ 3(1 − x ) cos3x + 2x sin 3x = c) y′ = (1 − x ) (1 − x ) 3(1 − x ) cos3x + 2x sin 3x dx (1 − x ) d(cos x) d(cos x) (cos x)′dx − sin x = = = − tan x Bài 16: Tìm Giải: d(sin x) d(sin x) (sin x)′dx cos x Bài 17: Cho f(x) = (2x – 3)5 Tính f ′′(3) f ′′′(3) Giải: * f ′(x) = 5(2x − 3) (2x − 3)′ = 10(2x − 3) * f ′′(x) = 40(2x − 3)3 (2x − 3)′ = 80(2x − 3) * f ′′′(x) = 240(2x − 3) (2x − 3)′ = 480(2x − 3) Vậy: * f ′′(3) = 80(2.3 − 3)3 = 2160 * f ′′′(3) = 480(2.3 − 3) = 4320 Bài 18: Tính đạo hàm cấp hai hàm số sau: a) y = x + x b) y = x sin x c) y = xcos2x Vậy: dy = y′dx = x2 2 Giải: a) y′ = (x)′ + x + x( + x )′ = + x + y′′ = 4x + x − 1+ x2 = + 2x + x2 (1 + 2x )x 1+ x2 ( + x )2 = 4x(1 + x ) − x(1 + 2x ) (1 + x ) + x = x(3 + 2x ) (1 + x ) + x b) y′ = 2x.sin x + x cos x y′′ = 2sinx + 2xcosx + 2xcosx + x2(–sinx) = 2sinx + 4xcosx – x2sinx c) y′ = cos2x – 2xsin2x; y′′ = –2sin2x – (2sin2x + 4xcos2x) = – 4sin2x – 4xcos2x Bài 19: a) Chứng minh rằng: Với y = xsinx, ta có: xy′′ − 2(y′ − sin x) + xy = x −3 b) Chứng minh rằng: Với y = , ta có: 2y′2 = (y − 1)y′′ x+4 c) Chứng minh rằng: Với y = cot 2x , ta có: y′ + 2y + = Giải: a) Ta có: y′ = sinx + xcosx; y′′ = cosx + cosx – xsinx = 2cosx – xsinx Vậy: xy′′ − 2(y′ − sin x) + xy = x(2cos x − x sin x) − 2(sin x + x cos x − sin x) + x sin x = 2xcosx – x2sinx – 2xcosx + x2sinx = (đpcm) x +4−x +3 14 = y′′ = − b) Ta có: y′ = 2 ; (x + 4) (x + 4) (x + 4)3 98 14  98 98  x −3   − − 1÷  − = − = (đpcm) Vậy: 2y′ − (y − 1)y′′ = ÷ (x + 4)  x +   (x + 4)  (x + 4) (x + 4) c) Ta có: y′ = − sin 2x 2 + 2cot 2x + = − + = (đpcm) Vậy: y′ + 2y + = − sin 2x sin 2x sin 2x BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tình đạo hàm (bằng định nghĩa) hàm số sau: x +1 a) y = x2 + x x0 = b) y = x0 = c) y = x0 = x x −1 x2 + x +1 d) y = 2x – x + x0 = e) y = x0 = x −1 x +1 Bài 2: a) Viết PTTT đồ thị hàm số y = điểm A(2; 3) ĐS: y = –2x + x −1 b) Viết PTTT đồ thị hàm số y = x3 + 4x2 – điểm có hoành độ x0 = –1 ĐS: y = –5x – c) Viết PTTT đồ thị h/số y = x2 – 4x + điểm có tung độ y0 = ĐS: y = –2x + 3, y = 2x + d) Viết PTTT đồ thị hàm số y = x3 – 5x2 + có hệ số góc -7 3x + 1 có hệ số góc 1− x f) Viết PTTT đồ thị hàm số y = x3 – 3x + song song với đường thẳng d: y = 9x + ĐS: y = 9x – 15, y = 9x + 17 3x − g) Viết PTTT đồ thị hàm số y = vng góc với đường thẳng 4x – y + 10 = x −1 17 ĐS: y = − x + ; y = − x + 4 4 Bài 5: Tính đạo hàm hàm số sau: 1 x 2x 4x − + −1 a) y = x5 – 4x3 + 2x – b) y = − x + x − 0,5x c) y = 3 x3 x2 d) y = − + x − f) y = x + x − x − x + 4x − 3 Bài 6: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = 5sin x − 3cos x + b) y = x + cot x − 3tan x + 2,5 c) y = 2sinx + 7cosx – cotx Bài 7: Tính đạo hàm hàm số sau: x − a) y = 2x x + b) y = c) y = x cot x d) y = (2 − 3x) cos x sin x x e) y = (1 – x2)cosx f) y = sin5xcos2x g) y = (2 – x 2)sinx + 2xcosx Bài 8: Tính đạo hàm hàm số sau:   2  a) y =  x − ÷( 7x − 3) b) y = (9 – 2x)(2x3 – 9x2 + 1) c)  + 3x ÷ x − x   x  d) y = (x + 1)(1 – 2x)(3x + 2) e) y = (2x – 3)(x – 2x) f) y = x(2x – 1)(3x + 2) 2 g) y = 3x (8 – 3x ) h) y = (x + 1)(5 – 3x ) i) y = (x – 2) x + Bài 9: Tính đạo hàm hàm số sau: sin 2x + cos 2x sin x − cos x sin x x sin x + a) y = b) y = c) y = d) y = sin 2x − cos 2x sin x + cos x x sin x + cos x cos x 3cos x tan x e) y = x sin x − f) y = g) y = x 2x + sin x + Bài 10: Tính đạo hàm hàm số sau: n   a) y = (x – 5x ) b) y =  m + ÷ c) y = − 5x − x c) y = (2 − 3x) x   e) Viết PTTT đồ thị hàm số y = ( cos 3x Bài 11: Tính đạo hàm hàm số sau: d) y = + tan x a) y = sin3x e) y = b) y = cot2x f) y = c) y = cos x + − 4x d) y = tan x − cot x ) g) y = 2−x + 2x e) y = cos Bài 12: Tính đạo hàm hàm số sau: 2x − 5x x −1 2x + a) y = b) y = c) y = d) y = x −1 x − x +1 5x − − 3x 2 x + 2x + x + 7x + − x + 7x + e) y = f) y = g) y = − 4x x − 3x + 3x − x Bài 13: Giải bất phương trình sau: 2x − x2 + x + x2 + a) y′ < với y = b) y′ ≥ với y = c) y′ > với y = x +x+4 x −1 x +1 x 1+ x Bài 14: a) f(x) = x + x − , g(x) = 3x + x + Giải bất PT: f ′(x) > g′(x) x2 3 b) f(x) = 2x − x + , g(x) = x + − Giải bất PT: f ′(x) < g′(x) c) f(x) = x – 3x + Giải bất PT: y′ > y′ < x2 x3 − Giải bất PT: f(x) ≤ g′(x) d) f (x) = , g(x) = x Bài 15: a) Tính f ′(−1) , biết: f (x) = − + − x x x 7x f ′(1) πx b) Tính , biết: f(x) = x2 , ϕ (x) = 4x + sin ϕ′(1) 1 + x2 c) Tính g′(1) , biết: g(x) = + x x Bài 16: Tìm vi phân hàm số sau: a) y = – 2x + 4x3 b) f (x) = cos(sin 3x) c) y = sin (cos 2x) d) y = sin3(2x + 1) e) y = (2 + sin22x)3 f) f (x) = sin x + 2x g) y = 2sin 4x − 3cos 5x Bài 17: Tìm dy, biết: cos x x a) y = (a, b số) b) y = c) y = (x2 + 4x + 1)(x2 – x ) d) y = tan2x 1− x a+b d(tan x) Bài 18: Tìm d(cot x) Bài 19: a) Cho f(x) = (x + 10)6 Tính f ′′(2) f ′′′(0) π π b) Cho g(x) = sin3x Tính g′′(− ) , g′′(0) , g′′( ) 18 c) Cho f(x) = + x Tính f(3) + (x – 3) f ′ (3) Bài 20: Tính đạo hàm cấp hai hàm số sau: 1 a) y = b) y = c) y = tanx d) y = cos 2x 1− x 1− x Bài 21: a) Chứng minh rằng: Với y = xtanx, ta có: x y′′ − 2(x + y )(1 + y) = b) Chứng minh rằng: Với y = 2x − x , ta có: y3 y′′ + = c) Chứng minh rằng: Với y = tan x , ta có: y′ − y − = d) Chứng minh rằng: Với y = x + , ta có: y y′′ + xy′ = y π π cos x e) Chứng minh rằng: Với f (x) = , ta có: f ( ) − 3f ′( ) = 4 + sin x ... x) + 3] – [2.( –3)2 – (–3) + 3] = ( ∆ x)2 – 13 ∆ x = ∆ x( ∆ x – 13) ∆y 1 ∆y = ∆y = ∆x(∆x − 13) = ∆x − 13 * lim = lim( ∆x − 13) = 13 V y: y′(−3) = 13 * ∆x →0 ∆x ∆x → ∆x ∆x ∆x c) * Giả sử ∆x... – = –7x – 22 (3x + 2) Bài 4: Viết PTTT hàm số sau: 2x + a) y = có hệ số góc -5 b) y = x3 – 2x2 + 5x – song song v i đt d: y = 4x – x−2 1 c) y = x3 – 3x + vng góc v i đường thẳng d: y = − x +... = ĐS: y = –2x + 3, y = 2x + d) Viết PTTT đồ thị hàm số y = x3 – 5x2 + có hệ số góc -7 3x + 1 có hệ số góc 1− x f) Viết PTTT đồ thị hàm số y = x3 – 3x + song song v i đường thẳng d: y = 9x + ĐS: