[r]
(1)Phòng GD-ĐT Tam D ơng Kỳ thi chọn Học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Năm học: 2009-2010
Thi gian lm bi 150 phỳt (khơng kể thời gian giao đề)
C©u (2 ®iÓm)
Cho biÓu thøc: 2 3
x y x y x y
A xy xy
víi xy0 a) Rót gän biĨu thøc A
b) T×m x y, biÕt 2010 2010
x y
A
. Câu (2,5 điểm)
a) Giải phơng trình nghiệm nguyên:
2
4x 4x 8 y 2z
b) Giải phơng trình: 10
(x 5) x 1
Câu 3.(1,5 điểm)
Cho n số nguyên dơng Biết 2n1 3n1là hai số phơng Chøng minh r»ng n chia hÕt cho 40.
C©u (1,5 ®iĨm)
Cho số khơng âm x y z, , thỏa mãn x y z 3. Tìm giá trị lớn
2 2
1 1 3( )
A x y z x y z
Câu ( 2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A Đờng cao AH, trung tuyến BM phân giác CD đồng quy.
a) Chøng minh
HB BC HC AC
b) TÝnh tØ sè
AB AC
HÕt -C¸n bé coi thi không giải thích thêm Phòng GD-ĐT Tam D -
ơng đề thi chọn Học sinh giỏi lp 9hng dn chm
Môn: Toán
Năm học: 2009-2010
C Câu Điểm toàn bài Nội dung Điểm th nh phà ần
(2)1 2 ®iĨm
a) Tríc hÕt ta cã nhËn xÐt:
a b a b
Đẳng thức xảy
0 ab
Ta cã:
2
( )
2
x y x y x y
xy xy xy
2
( )
0
x y
víi mäi
0 xy Do
2 2
x y x y x y x y
xy xy xy xy
x y
;
3 3
x y x y
Bëi vËy
2 3
x y x y x y
A xy xy
x y
3
x y
2 x y
-
-b) 2010 2010
x y
A
2
3 x y 2010 2010
x y
(§iỊu kiƯn xy0)
2
3 2010 2010
x y
x y
1339
0 2010 x y
0 x y
( tháa m·n §K)
0,25 0,25
0,5 0,25
0,25 0,5
2 2, ®iĨm
a) 4x2 4x 8 y3 2z2
2 2
4x 4x 1 8y 2z 5 (2x1) 8y 2z 5
(1)
VÕ trái (1) số
0,5
(3)chính phơng lẻ nên chia d (*)
XÐt vÕ ph¶i cđa (1):
3
8y
chia hÕt cho ;
2
2z chia hÕt cho nÕu z
ch½n , chia cho d nÕu
z lẻ vế phải chia cho d (**) Từ (*) (**) suy phơng trình (1) khơng có nghiệm ngun hay phơng trình cho vơ nghim
-
-b) Giải phơng tr×nh:
10
(x 5) x 1
(2) +) Ta thÊy x5;x6 tháa mÃn phơng trình (2) nên nghiệm phơng trình +) XÐt x5
10
6 ( 6)
x x
vµ
8
(x 5) >0 nên phơng
trình (2) vô nghiệm +) Xét x6
8
5 ( 5)
x x
và
10
(x 6) >0 nên phơng
trình (2) vô nghiệm + ) Xét 5x6
8
0 x 1 (x 5) x
;
10
1 x 6 x (x 6) x
Bëi vËy
10
(x 5) x x 6 x1
Phơng trình (2) vô nghiệm
KL: Tập hợp nghiệm phơng trình S 5;6
0,25 0,25 0,25
0,5 0,25
3
1,5 điểm
Đặt
2
2n 1 a ;3n 1 b
Ta cã: x số phơng x chia hết cho hc x chia cho d hc
NÕu n1 (mod 5) th×
2 2 1 3
a n (mod 5) ( lo¹i)
(4)n2 (mod 5) th×
2 3 1 2
b n (mod 5) ( lo¹i)
n3 (mod 5) th×
2 2 1 2
a n (mod 5) ( loại)
n4 (mod 5)
2 3 1 3
b n (mod 5) ( lo¹i)
n
chia hÕt cho (1)
2
2n 1 a a lỴ a2 chia cho d
2 4 1 2 1 2
a k n n k
(k N )
2 3 1 3.2 1
b n k
b lỴ Ta cã:
2
(3 1) (2 1) ( )( )
n n n b a b a b a Do a b, lẻ nên n4
4
n n hc n chia cho d
NÕu n chia cho d
2
8 ( ) 24 13
n q q N b n q
chia cho d
( vô lý, số phơng lẻ chia cho d 1) VËy n8 (2) Tõ (1) vµ (2) suy n chia hÕt cho 40
0,5
0,5
4 1,5 ®iĨm
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky, ta được:
2
1x 2x (1 1)(1 x 2 )x 2(x1)
Tương tự:
2
1y 2y (1 1)(1 y 2 )y 2(y1)
2
1z 2z (1 1)(1 z 2 )z 2(z1)
Bởi
2 2
1 1 3( )
2( 3) 2( ) 3( ) (3 2)( )
A x y x x y z
x y z x y z x y z x y z
6 (3 2)( (1 1)(x y z) (3 2).3
(Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky giả thiết x y z 3)
0,5
0,5
(5)Vậy maxA 9 2.
Dấu xảy ra
1 x y z
5
2,5 điểm a) Theo Định lý Cê-Va ta
cã:
HB MC DA
HC MA DB (*)
L¹i cã:
1 MC
MA ( Vì M
trung ®iĨm cđa AC);
DA AC
DB BC ( Tính chất
đ-ờng phân gi¸c cđa tam gi¸c)
Bëi vËy tõ (*) suy
HB AC HB BC HC BC HC AC
(1)
-b) áp dụng hệ thức lợng tam giác ABC vuông A ta có:
2
AB BH BC BH AC CH BC CH
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
2
AB AC
BC AC
4
AB AC
2
2
BC AB AC AC .
Đặt
2
AB
AC =x0 Ta có
phơng trình:
0,25 0,5 0,25
0,25 0,5
0,5 0,25
A
B
C M
D
(6)2
2 1 0 ( 1)2 0
2
x x x
1 5
( )( )
2 2
x x
1
2 x
=0
1 x
VËy
1 AB
AC