Do đó từ đẳng thức trên ta suy ra điều phải chứng minh.. V) Tài liệu tham khảo:.. - Tạp chí toán tuổi thơ[r]
(1)Chương I: Phép chia hết phép chia có dư nguyencongk46
NTC Page Tháng 2/2008
Chương
Phép chia hết phép chia có dư
Nguyễn Thành Công THCS Triệu Trạch ,Quảng Trị Chú ý: Nếu khơng có lí giả thêm số xét đến chương số thuộc tập số nguyên
I) Định nghĩa:
Với hai só nguyên a b , ta nói a chia hết b , hay b chia hết cho a , hay a ước số b hay b bội a tồn số nguyên csao cho b=ca, ta kí hiệu b a⋮ hay |a b Trường hợp ngược lại, ta kí hiệu b a/⋮ hay a b/| nói a khơng chia hết b
Khi a không chia hết b hay b khơng chia hết cho a tồn cặp số nguyên ( ; )q r cho b=qa+r 0<r≤ b −1
Khi này, phép chia b cho a gọi phép chia có dư II) Tính chất:
1. Nếu b a⋮ bc a⋮ (c ∈ℤ ) 2. Nếu b a⋮ a c⋮ b c⋮
3 Nếu b c a c⋮ ; ⋮ ax+by c⋮ (∀x y, ∈ℤ ) 4. Nếu b a⋮ a b⋮ a=b a= −b 5. Nếu b a⋮ ,a b > b0 ≥a
6 Nếu m ≠0 b a⋮ ⇔bm am⋮ an−bn⋮(a−b) với n ∈ ℕ an+bn⋮(a+b) với n∈ ℕ,n lẻ
Hai tính chất có ứng dụng nhiều toán số học
III)Một số ví dụ:
Ví dụ 1.1:
Chứng minh tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n
Giải:
Trong n số ngun liên tiếp ta ln tìm số m mà m n⋮ ( điều dễ chứng minh) Từ tích n số ngun liên tiếp có chứa thừa số m mà m n⋮ nên tích chia hết cho n
Ví dụ 1.2:
Chứng minh n3−4n⋮48 với n chẵn
Giải:
Đặt n=2k Ta có: n3−4n=8k3−8k=8 (k k−1)(k+1) Mặt khác: k k( −1)(k+1) 6⋮ ( suy từ ví dụ 1.1) Từ ta có: n3 4n 6.8 48
− ⋮ = (đpcm)
(2)Chương I: Phép chia hết phép chia có dư nguyencongk46
NTC Page Tháng 2/2008
Cho ( )f x đa thức tuỳ ý với hệ số nguyên; a b hai số nguyên khác , Chứng minh rằng: f a( )− f b( ) (⋮ a−b)
Giải:
Giả sử ( ) n 1 n 1 0 ( , , ,0 1 , 0)
n n n n
f x c x c x − c x c c c c c
−
= + + + + ∈ℤ ≠
Khi :f a( )− f b( )=c an( n−bn)+cn−1(an−1−bn−1) + +c a1( −b)
Theo tính chất ta có ak −bk⋮(a−b) với k=1, 2, ,n Do từ đẳng thức ta suy điều phải chứng minh
Tương tự ta dễ dàng chứng minh được: 2
( ) ( ) ( ) f a − f b ⋮ a+b
Ví dụ 1.4:
Cho hai số nguyên x y Chứng minh 2x+3 17y⋮ ⇔9x+5 17y⋮
Giải:
Ta có
2x+3 17y⋮ ⇔13(2x+3 ) 17y ⋮ ⇔(26x+39 ) 17y ⋮ ⇔[(17x+34 )y +(9x+5 )] 17y ⋮ ⇔(9x+5 ) 17y ⋮
Suy 2x+3 17y⋮ ⇔9x+5 17y⋮
Ví dụ 1.5:
Cho , ,a b c ∈ ℤ CHứng minh rằng: a3+b3+c3⋮6⇔a+b+c⋮ 6
Giải:
Xét A=(a3−a)+(b3−b)+(c3−c) Ta có: n3 n 6 ( n )
− ⋮ ∀ ∈ℤ Suy ra:A⋮6 Từ suy điều phải chứng minh
Ví dụ 1.6:
Chứng minh rằng:
1 ( )
S =n +n+ /⋮ ∀ ∈n ℕ
Giải:
Cách 1: Xét
2
3 ( 1)
3 ( 1)
3 3( 2)
n k S k k
n k S k k
n k S k k
/
• = ⇒ = + +
/
• = + ⇒ = +
/
• = + ⇒ = + + +
⋮ ⋮
⋮ Vậy S =n2+n+1 (⋮/ ∀ ∈n ℕ ) Cách 2:
Ta có S =n2+n+ =1 (n+1)(n−2)+3 1,
n+ n− chia hết cho không chia hết cho Với hai trường hợp S /⋮9
Cách 3:
2
4S=4(n +n+1)=(2n+1) +3 Nếu 2n+1 9⋮ ⇒4S =9l+3 9⋮/ ⇒S/⋮9 Nếu 2n+1 9⋮/ ⇒4S/⋮3⇒4S⋮/9⇒S⋮/9 Tóm lại S =n2+n+1 (⋮/ ∀ ∈n ℕ ) …
Còn nhiều cách khác viết hạn hẹp không đưa lên đây, mong các bạn tiếp tục khai thác
Với cách làm tương tự cách ta giải b tốn sau:
(3)Chương I: Phép chia hết phép chia có dư nguyencongk46
NTC Page Tháng 2/2008
Chứng minh rằng: ( )
9n +9n +3n−16 343⋮/ ∀ ∈n ℤ Từ đưa cách giải chung sau:
Chứng minh ( )T n ⋮/pk (∀n k, ∈ℕ,k>0, p số nguyên tố)
Phương hướng giải tìm đẳng thức: aT n( )=[A( )]n k + pm
trong A( )n đa thức biến n với a ∈ ℤ k>m>0 ( ,k m∈ ℤ) IV) Bài tập áp dụng:
1. Cho ,a b ∈ ℕ Chứng minh rằng: 11a+2 19b⋮ ⇔18a+5 19b⋮
2.Chứng minh rằng: 4n3 6n2 3n 37 125 (/ n )
− + + ⋮ ∀ ∈ℕ
3. Chứng minh rằng: 2
5a +15ab−b ⋮49⇔3a+b⋮7 ( ,a b∈ℕ ) 4. Chứng minh rằng: 2 ( )
11n+ 12 n+ 133 n
+ ⋮ ∀ ∈ℤ
5. Chứng minh rằng: 1 ( *) n−.2n+ +3 2n+ n− ⋮38 ∀ ∈n ℕ 6. Giả sử 1 1
2 1319
p q
− + − + = , ,p q ∈ ℤ Chứng minh rằng: 1979
p⋮
7. Tìm tất số nguyên n cho: 9 2 11 n + n− ⋮ 8. Chứng minh rằng: 321−224−68− ⋮1 1930 9. Chứng minh rằng: 99
2 +2 ⋮100
10. Giả sử: 2n =10a+b (n>3;0>b>10) Chứng minh rằng: ab⋮6 11. Chứng minh rằng: 2269 1779 1730 1776 2001n n n n
+ + − ⋮ (∀ ∈ ℕn )
12. Chứng minh rằng: 105 105
2 +3 chia hết cho 7,11, 463 13. Chứng minh với *
, ,
k n∈ ℕ k lẻ ta có 1 2
n
n
k − ⋮ +
14. Giả sử 1n+ =xy, ,x y∈ℕ, x y, >1,n>0 Chứng minh rằng: (x−1) 2⋮ a ⇔(y−1) 2⋮ a
15. Chứng minh với só tự nhiên n tồn tạióos tự nhiên x cho
64 21 2n x + x+ ⋮
16. Chứng minh tồn k ∈ ℕ cho với n ∈ ℕ 1k n+ hợp số 17. Chứng minh rằng: Nếu a≠ −b
(an− +b n− ) (⋮ a+b) với n∈ℕ,n>1 V) Tài liệu tham khảo:
- Tạp chí tốn tuổi thơ