Đang tải... (xem toàn văn)
Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các canh BC và CD ( hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và F.[r]
(1)PHÒNG GD-ĐT ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Mơn Tốn
Thời gian làm 180 phút
Bài 1( 1,5 điểm): Cho a, b, c thoả mãn:
a b c b c a c a b
c a b
Tính giá trị biểu thức: P = 1
b c a
a b c
Bài 2( 1,5 điểm): Chứng minh
1 1
a b c a + b + c = abc ta có
2 2
1 1
2 a b c
Bài 3( 1,5 điểm): Cho ba số x, y, z tuỳ ý Chứng minh
2
2 2
3
x y z x y z
Bài 4( 1,5 điểm): Cho a, b, c ba số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng:
a b abc
16
Bài 5( điểm): Cho hình vng ABCD Qua A vẽ cát tuyến cắt canh BC CD ( đường thẳng chứa cạnh đó) điểm E F Chứng minh rằng:
2 2
1 1
AE AF AD
Bài 6( điểm): Cho ∆ ABC cân A, gọi I giao điểm đường phân giác Biết IA = 5cm, IB = 3cm Tính độ dài AB
Hướng dẫn giải:
Bài 1: Từ gt ta suy 2
a b c b c a c a b
c a b
a b c b c a c a b
c a b
Xét hai trường hợp
*/ Nếu a + b + c = a + b = -c b + c = - a c + a = -b Khi P = 1
b c a
a b c
=
a b b c c a
a b c
=
( )c a
( a) b
( )b c
=
abc abc
= Nếu a + b + c 0 a = b = c P = 2.2.2 = 8
Bài 2: Từ
1 1 a b c
2
1 1 a b c
2
1 1 1
2
a b c ab bc ca
2
1 1
2 a b c
a b c abc
theo giả thiết a + b + c = abc
a b c abc
2
1 1
2
a b c 2
1 1
2
(2)Bào 3: Áp dụng BĐT Cơsi ta có x2 + y2 2xy (1)
y2 + z2 2yz (2)
z2 + x2 2zx (3)
Cộng vế ba BĐT ta 2( x2 + y2 + z2 ) 2( xy + yz + zx )
2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 ) ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )
3( x2 + y2 + z2 ) ( x + y + z )2 chia hai vế cho ta
2 2 ( )2
3
x y z x y z
hay
2
2 2
3
x y z x y z
Bài 4: Áp dụng BĐT Côsi x + y xy ta có ( a + b) + c (a b c ) (a b c ) 4( a + b)c nhân hai vế với a + b > ta được: A + b 4(a + b)2c mà ta chứng minh (a + b)2 4ab Do a + b 4(4ab)c hay a + b 16abc từ suy đpcm Bài 5:
Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AF cắt DC G Chứng minh ∆ ABR = ∆ ADG ( g.c.g)
AE = AG
Xét ∆ AGF vng A có AD đường cao nên ta có
2 2
1 1
AG AF AD thay AG = AE ta được
2 2
1 1
AE AF AD (đpcm)
Bài 6:
Kẻ AM AC M thuộc tia CI
Chứng minh ∆ AMI cân M MI = AI = 2 Kẻ AH MI HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > ) Xét ∆ AMC vng A ta có AM2 = MH.MC
(2 5)2 = x.(2x + 3)
2x2 + 3x – 30 = ( 2x – 5)(x + 4) = 0
x = 2,5 x = -4 ( loại x > 0) Vậy MC = 8cm
Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 5)2 = 64 – 20 = 44
AC = 44 = 2 11cm AB = 2 11cm
F E
G D C
B A
I
H M
C B