[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ : BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT Bài 1: cho ab=1.CMR
A= a5+b5=(a3+b3) (a2+b2)−(a+b)
GIẢI
a5+b5+a3b2+a2b3− a− b
a5
+b5+a2b2(a+b)− a− b
A
Bài 2:cho ba0 thỏa mãn: 3a2+3b2=10 ab Tính giá trị biểu thức
P=a −b
a+b
GIẢI p2
=a
2−2 ab
+b2
a2+2ab+b2=
3a2−6 ab
+3b2
3a2+6 ab+3b2=
10 ab−6 ab 10 ab+6 ab =
4 ab 16 ab=
4
16 ⇒P= Bài 3: cho 1a+1
b+
c=0 Tính P= ab
c2+ bc
a2+ ac
b2 GIẢI
Ta có : a3+
1 b3+
1 c3=
3
abc Do : P=abc( a3+
1 b3+
1
c3)=abc abc=3 Bài 4: cho a3
+b3+c3=3 abc Tính A=(1+ab)(1+bc)(1+ca)
GIẢI
a3
+b3+c3=3 abc⇒(a+b+c)(a2
+b2+c2−ab−bc−ca)=0 ⇒
[ a+b+c=0
a2+b2+c2−ab−ac−cb=0
Nếu a+b+c=0 A=-1
Nếu a2+b2+c2−ac−ab−bc=o⇒(a −b)2+(b − c)2+(c − a)2=0⇒a=b=c ⇒A=8
(2)¿
x+y+z=0⇒x=− y − z⇒x2− y2− z2=2 yz⇒x4+y4+z4=4y2z2+2y2z2+2x2z2−2y2z2
¿
⇒2(x4+y4+z4)=(x2+y2+z2)2=a4
⇒x4+y4+z4=a
4
Bài 6:cho x=by +cz , y=ax+cz ,z=ax+by x+y+z khác tính Q=
1+a+
1 1+b+
1 1+c
GIẢI
x+y+z =2(ax+by+cz)=2[ax+by+c(ax+by)]=2(c+1)z ⇒
1+c=
2z x+y+z
Tương tự với số lại Q=2
Bài 7:cho
¿
x4 a +
y4 b =
1 a+b; x
2
+y2=1 CMR
A a
bx¿2=ay2¿b¿x
2000
a1000+ y2000 b1000=
2
(a+b)1000¿
GIẢI
a) ta có : x4
a + y4 b =
(x2+y2)2
a+b ⇒(a+b)(bx
4
+ay4)=ab(x2+y2)2
⇒(ay2−bx2)2
=0⇒ay2=bx2
b) từ ay2
=bx2⇒x
2 a=
y2 b =
1 a+b
x2000 a1000=
y2000 b1000=
1
(a+b)1000
Từ suy điều phải cm Bài 8: cho a ≠ b ≠ c CMR
b −c
(a −b) (a − c)+
c −a
(b −c) (b − a)+
a −b
(c −a)(c −b)=
2 a − b+
2 b − c+
2 c − a GIẢI
b −c
(a −b) (a − c)=
a −c −a+b (a − b) (a −c)=
1 a −b+
1 c −a Cm tương tự ta có dpcm
Bài 9: x=a −b
a+b, y=
b −c b+c , z=
c −a
c+a Cmr (1+x)(1+y) (1+z)=(1− x)(1− y) (1− z)
(3)Bài 10:cho a,b ,c khác nhau.CMR: a+b
a− b b+c
b −c+ a+c
a− c b+c
b − c+ a+c
c −a b+a
a −b=−1 GIẢI
Đặt : x=a+b
a −b⇒x+1= 2a
a −bvàx−1= 2b a − b Tương tự
Áp dụng suy ra: xy +yz +xz =-1 Từ suy dcm
Bài 11 :cho a+b − cc =b+c − a
a =
c+a −b
b Tính giá trị biểu thức: P=(1+b
a)(1+ c b)(1+
a c) GIẢI:
Từ giả thiết suy ra:
a+b − c
c +2=
b+c − a
a +2=
c+a −b
b +2
⇔a+b+c
c =
a+b+c
a =
a+b+c
b
Xét trường hợp:
Nếu:a+b+c=0 suy P=-1
Nếu a + b+c khác o suy a=b=c suy P = 2.2.2 =8
Bài 12:
x+1
x=a y+1
y=b xy+
xy=c
cmr: a
2
+b2+c2=abc+4
GIẢI
ta có: xy+ y
x=(x+ x)(y+
1
y)−(xy+
xy )=ab− c
cần chứng minh (ab− c)c=a2+b2−4⇒a2+b2+c2=abc+4
Bài 13:
x+y+z=1
x2
+y2+z2=1
x3+y2+z2=1
cmr : x+y2+z3=1
(4)⇒x3+y3+z3+3(x+y)(y+z)(x+¿z)=1⇒3(x+y)(y+z)(x+z)=0
¿
Nếu x+y =0 ⇒z=1⇒x2+y2=0⇒x=y=0⇒dpcm
Tương tự với trường hộp lại
Bài 14:cho a,b ,c khác a+1
b=b+ c=c+
1
a chứng minh abc=1 abc=-1
GIẢI
Từ a+1
b=b+
c⇒a −b= c−
1 b=
b − c
bc tương tự với trường hợp lại
Nhân vế với vế ta được: A= (a −b)(b − c)(c −a)=(a −b)(b −c)(c − a)
a2b2c2