Điều kiện cần cực trị và tính ổn định nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu cho một lớp phương trình elliptic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _ VŨ HỮU NHỰ ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _ VŨ HỮU NHỰ ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS BÙI TRỌNG KIÊN PGS TS NGUYỄN HỮU ĐIỂN Hà Nội - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết số liệu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả luận án Vũ Hữu Nhự LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn tận tình TS Bùi Trọng Kiên PGS.TS Nguyễn Hữu Điển Trước tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Trọng Kiên - người đặt toán, giúp đỡ, bảo tận tình, chu đáo suốt trình tác giả thực luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Hữu Điển, người hướng dẫn tận tình ln động viên tác giả q trình học tập, nghiên cứu Tiếp theo, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn GS J.-C Yao giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả làm thực tập sinh 06 tháng Đại học Quốc gia Tôn Trung Sơn (National Sun Yat-sen University, Kaosiung, Taiwan, 3/2013 - 9/2013) Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Phòng Sau đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học tập thể thầy cô giáo trường Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi có ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trình học tập nghiên cứu Xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Lãnh đạo trường Học viện Quản lý giáo dục, Ban Lãnh đạo trường Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng, thầy giáo bạn đồng nghiệp Khoa Công nghệ thông tin – Học viện Quản lý giáo dục Khoa Cơ – Học viện Công nghệ Bưu Viễn thơng ln động viên giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu Nhờ ý kiến nhận xét góp ý quý báu GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, GS.TSKH Lê Dũng Mưu, GS.TSKH Nguyễn Đông Yên, PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, PGS.TS Cung Thế Anh, PGS.TS Phạm Ngọc Anh, PGS.TS Nguyễn Quang Huy TS Lê Huy Chuẩn – Thầy Hội đồng chấm luận án cấp sở Hội đồng chấm luận án cấp Đại học Quốc gia, luận án cải thiện đáng kể so với dự thảo luận án ban đầu Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Hội đồng chấm luận án cấp sở dẫn quan trọng Xin chân thành cám ơn GS.TSKH Hoàng Xuân Phú, GS.TSKH Nguyễn Đông Yên, PGS.TS Tạ Duy Phượng, PGS.TS Phan Thành An, TS Nguyễn Quỳnh Nga, thầy cô bạn đồng nghiệp góp nhiều ý kiến quý báu thời gian tác giả tham dự Xêmina Phòng Giải tích số Tính tốn khoa học Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy phản biện độc lập nhận xét quý báu, nhờ mà thảo lần có cải thiện đáng kể Cuối cùng, xin cám ơn bạn nghiên cứu sinh gia đình, bạn bè chia sẻ, động viên tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các ký hiệu Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Ánh xạ đa trị 1.2 Giải tích biến phân 1.2.1 Tập tiếp tuyến 1.2.2 Nón pháp tuyến 1.2.3 Nguyên lý biến phân 1.2.4 Hàm khả vi tính đơn điệu 1.2.5 Một số kết hình học Banach 1.3 Giải tích lồi 1.3.1 Hàm lồi 1.3.2 Bài toán quy hoạch lồi 1.3.3 Định lý tách tập lồi 1.4 Không gian Sobolev phương trình elliptic 1.4.1 Khơng gian Sobolev 1.4.2 Phương trình elliptic tuyến tính 1.4.3 Phương trình elliptic nửa tuyến tính Chương Điều kiện cần cực trị cho toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp 2.1 Bài tốn quy hoạch toán học 2.1.1 Một số kết giải tích biến phân 2.1.2 Điều kiện quy điều kiện cần cực trị 15 15 18 18 22 23 25 27 30 30 31 32 32 32 41 44 46 46 46 51 2.2 2.3 2.4 2.5 Bài toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp Chứng minh Định lý 2.7 Hệ 2.2 Các ví dụ Kết luận 69 76 88 91 Chương Điều kiện cần cực trị cho toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc trạng thái 92 3.1 Các điều kiện cần cực trị cho toán điều khiển tối ưu tổng quát 92 3.2 Các điều kiện cần cực trị bậc hai cho toán điều khiển tối ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc trạng thái 105 3.3 Kết luận 114 Chương Tính ổn định nghiệm số toán điều khiển tối ưu elliptic chứa tham số 115 4.1 Tính liên tục Holder ánh xạ nghiệm theo tham số 115 ă 4.1.1 Bài toán giả thiết 115 4.1.2 Một số kết bổ trợ 119 4.1.3 Chứng minh Định lý 4.1 122 4.1.4 Một số ví dụ 131 4.2 Tính nửa liên tục ánh xạ nghiệm theo tham số 135 4.2.1 Bài toán giả thiết 135 4.2.2 Một số kết bổ trợ 139 4.2.3 Chứng minh Định lý 4.2 143 4.2.4 Một số ví dụ 152 4.3 Kết luận 156 Kết luận kiến nghị 157 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 158 Tài liệu tham khảo 159 CÁC KÝ HIỆU F:X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y Dom( F ), Graph( F ), Im( F ) miền hữu hiệu, đồ thị, miền ảnh ánh xạ đa trị F R tập số thực RN không gian Euclide N −chiều N tập số tự nhiên X∗ không gian đối ngẫu tôpô X X ∗∗ không gian song đối ngẫu tôpô X không gian WCG không gian sinh tập compact yếu x∗ , x giá trị x ∗ ∈ X ∗ x ∈ X x chuẩn véc tơ x x X chuẩn véc tơ x không gian X |x| môđun véc tơ x ∈ R N xT chuyển vị véc tơ x ∈ R N [ x1 , x2 ] đoạn nối hai véc tơ x1 x2 ∅ tập rỗng x∈A phần tử x thuộc tập A x∈ /A phần tử x không thuộc tập A A ⊂ B( B ⊃ A) tập A tập B A tập A không tập B B A∩B giao hai tập A B A∪B hợp hai tập A B A\B hiệu tập A tập B B tích Descartes hai tập A B A+B tổng hai tập A B | A| độ đo tập đo A BX hình cầu đơn vị đóng khơng gian X BX ( x, ρ) hình cầu đóng tâm x với bán kính ρ X d( x, K ) khoảng cách từ x tới tập K ∂BX ( x, ρ) biên hình cầu tâm x bán kính ρ X SX mặt cầu đơn vị khơng gian X T∗ tốn tử liên hợp toán tử T T −1 ánh xạ ngược ánh xạ T T (K, x ) nón tiếp tuyến Bouligand tập K x T (K, x ) nón tiếp tuyến trung gian (kề) tập K x TC (K, x ) nón tiếp tuyến Clarke tập K x T (K, x, d) tập tiếp tuyến Bouligand bậc hai tập K x theo hướng d T (K, x, d) tập tiếp tuyến trung gian bậc hai tập K x theo hướng d TC2 (K, x, d) tập tiếp tuyến Clarke bậc hai tập K x theo hướng d N (K, x ) nón pháp tuyến tập K x σ( x∗ , K ) hàm giá tập K ( X, d) không gian mêtric L( X, Y ) không gian tất ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y f ,∇f đạo hàm ánh xạ f f , ∇2 f đạo hàm bậc hai ánh xạ f ∇ x f , ∇2xy f đạo hàm bậc 1, f theo biến x x, y A, cl( A) bao đóng tập A int( A) phần tập A span( A) khơng gian tuyến tính sinh tập A cone( A) tập nón sinh tập A { x n }, ( x n ) dãy véc tơ xn xn → x dãy { xn } hội tụ (mạnh) tới x xn x dãy { xn } hội tụ yếu tới x ∗ xn∗ K xn → x∗ dãy { xn∗ } hội tụ yếu−∗ tới x ∗ x dãy { xn } hội tụ tới x xn ∈ K f : X → [−∞, +∞] hàm thực mở rộng dom( f ) miền hữu hiệu hàm f epi( f ) epigraph hàm f ∂ f (x) vi phân hàm f x supp( ϕ) tập giá hàm ϕ α := (α1 , α2 , , α N ) đa số x α := x1 x2α2 x NN đơn thức cấp |α| := ∑iN=1 αi ∂ ∂x j α α D α := D1 D2α2 D NN C m (Ω) toán tử vi phân tốn tử vi phân cấp |α| C0 (Ω) khơng gian hàm liên tục α α D j := không gian hàm khả vi cấp m Ω với giá compact Ω C0∞ (Ω), D(Ω) không gian hàm khả vi vô hạn lần với giá compact Ω D (Ω) không gian đối ngẫu tôpô D(Ω) L p ( Ω ), ≤ p < ∞ khơng gian hàm p−khả tích tập Ω L1loc (Ω) khơng gian hàm khả tích địa phương Ω L∞ (Ω)   W m,p (Ω), W m,p (Ω), không gian hàm bị chặn hầu khắp nơi Ω   H m ( Ω ), H m ( Ω ) không gian Sobolev m,p W −m,p (Ω)( p−1 + p −1 = 1) không gian đối ngẫu tôpô W0 Γ biên tập Ω X →Y X nhúng liên tục Y X →→ Y ¯) C (Ω X nhúng compact Y ¯ không gian hàm liên tục tập Ω ¯) M(Ω khơng gian độ đo Borel quy hữu hạn A := B A định nghĩa B ∃x tồn x ∀x với x h.k hầu khắp tr trang ✷ kết thúc chứng minh (Ω) Chứng minh Định lý 4.2 ( a) Chọn M0 × Λ0 Bổ đề 4.11 Theo Bổ đề 4.10, với (µ, λ) ∈ M0 ì , bi toỏn P (à, λ) có nghiệm z = z(µ, λ) ∈ BZ (z, ¯ nữa, theo Bổ đề 4.11, ta có z ∈ intBZ (z, ) ) Hơn Cố định z ∈ K (λ), với t ∈ (0, 1) đủ nhỏ, ta ln có F (z, µ) ≤ F (z + t(z − z), µ) ≤ tF (z , µ) + (1 − t) F (z, µ) Điều dẫn tới F (z, µ) ≤ F (z , µ) ∀z ∈ K (λ) Do z = z(µ, λ) nghiệm tốn P(µ, λ) Vì vậy, ta có ¯ S(µ, λ) ∩ BZ (z, 0) = vi mi (à, ) M0 ì Vậy, ta thu khẳng định ( a) Định lý 4.2 ¯ λ¯ ) = ∅ Từ (b) Giả sử G0 tập mở không gian Z cho G0 ∩ S(µ, Khẳng định chứng minh Bổ đề 4.11, tốn tử Fz (·, µ¯ ) đơn điệu chặt ¯ λ¯ ), tức là, S(µ, ¯ λ¯ ) = {z¯ } tập K (λ¯ ) Do z¯ nghiệm tốn P(µ, Vậy z¯ ∈ G0 ¯ ¯ ) ⊂ G0 K (λ) ∩ BZ (z, ¯ ¯ ) = ∅ với Ta chọn ¯ ∈ (0, ) r1 > cho BZ (z, ¯ r1 ) Chọn r¯ thỏa mãn < r¯ < min{r1 , ¯ } sử dụng Bổ đề 4.9, λ ∈ BΛ (λ, 4l0 ta có ¯ r¯) ¯ ¯ ) ⊂ K (λ ) ∩ BZ (z, ¯ ¯ ) + 5l0 ||λ − λ ||Λ BZ , ∀λ, λ ∈ BΛ (λ, K (λ) ∩ BZ (z, Bằng cách sử dụng lập luận tương tự chứng minh khẳng định ( a), ¯ λ¯ ) cho toán tồn lân cận M1 × Λ1 ⊂ M0 × Λ0 (µ,    F (z, µ) → inf  z ∈ K (λ) ∩ BZ (z, ¯ ¯) ¯ ¯ ) Từ ta có nghiệm z(µ, λ) thỏa mãn z(µ, λ) ∈ / ∂BZ (z, chứng minh z(µ, λ) nghiệm tốn P(µ, λ) Nên ¯ ¯ ) = ∅ ∀(µ, λ) M1 ì S(à, ) G0 S(µ, λ) ∩ BZ (z, ¯ λ¯ ) Do ánh xạ S nửa liên tục điểm (µ, 151 4.2.4 Một số ví dụ Trong mục này, trình bày số ví dụ minh họa cho Định lý 4.2 Ví dụ thứ tốn gốc có nghiệm tốn nhiễu có nhiều nghiệm ánh xạ nghiệm nửa liên tục điểm cho trước Ví dụ 4.3 Giả sử p = 4, α( x ) = β( x ) = h.k x ∈ Ω µ¯ = 0, λ¯ = (0, 0, 0) Cố định số δ > Xét tốn P(µ, λ) : F (u, µ) = Ω L(u( x ), µ( x ))dx → inf (4.92) với (y, u) ∈ H (Ω) ∩ H01 (Ω) × L4 (Ω) thỏa mãn điều kiện sau: − ∆y + div(vy) = u + λ1 Ω, y =    u ≥ λ2 h.k Ω   u + y ≥ λ3 h.k Ω, Γ (4.93) (4.94) v ∈ W 1,∞ (Ω) N thỏa mãn div(v) ≥ 0, (4.95) µ ∈ L∞ (Ω), (λ1 , λ2 , λ3 ) ∈ L4 () ì L () ì L () v L(u, à) = 1 − sign(u + µ2 ) (u + µ2 )4 + + sign(u − µ2 ) (u − µ2 )4 2 Trong hàm sign(u) xác định    u > 0,    sign(u) = u = 0,     −1 u < Khi khẳng định sau đúng: ¯ λ¯ ) có nghiệm (y, ¯ u¯ ) = (0, 0) (i ) P(µ, (ii ) P(µ, λ) thỏa mãn điều kiện ( B4.1) − ( B4.5) (iii ) Nếu µ( x ) = µ, λ1 = s1 µ2 , λ2 = s2 µ2 , λ3 = s3 µ2 h.k x ∈ Ω, s1 ∈ (−1, 1), s2 , s3 ∈ 152 (0, 1) |µ| ≤ δ, µ = 0, tập nghiệm S(µ, λ) P(µ, λ) khơng tập đơn trị Hơn nữa, ta ln có y, u | u = C = số, y = S(u + λ1 ), µ2 γ ≤ C ≤ µ2 ⊂ S(µ, λ), với γ = max |s1 |, s2 , s3 ký hiệu S(u + λ1 ) nghiệm phương trình (4.93) tương ứng với vế phải u + λ1 Thật vậy, ta có b = v c = div(v) Với µ¯ = 0, λ¯ = (0, 0, 0), tốn P(0, 0) trở thành F (u, µ¯ ) = Ω u4 ( x )dx → inf với u ∈ L4 (Ω) thỏa mãn   −∆y + div(vy) = u Γ  y = Ω,   u ≥ h.k Ω,  u + y ≥ h.k Ω Dễ thấy S(0, 0) = {(0, 0)} Do đó, ta thu khẳng định (i ) Tiếp theo, ta tốn P(µ, λ) thỏa mãn giả thiết ( B4.1) − ( B4.5) Định lý 4.2 Dễ thấy    ( u + µ2 )4    L(u, µ) =      ( u − µ2 )4 Do    4( u + µ2 )3    Lu (u, µ) =     4( u − µ2 )3 u < −µ2 , − µ2 ≤ u ≤ µ2 , u > µ2 u < −µ2 , − µ2 ≤ u ≤ µ2 , u > µ2 Giả thiết ( B4.1) thỏa mãn với µ hàm L(·, µ) lồi, khả vi thỏa mãn L(0, µ) − L(0, 0) = Vì Lu (u, µ) ≤ 4(|u|3 + 3|u|2 |µ|2 + 3|u||µ|4 + |µ|6 ) 153 ≤ 4(|u|3 + 3δ2 |u|2 + 3δ4 |u| + |µ|6 ), nên điều kiện (4.57) (4.58) thỏa mãn Vì vậy, P(µ, λ) thỏa mãn giả thiết ( B4.2) Chú ý p/q = Với giả thiết ( B4.3), ta có    4(u + µ2 )3 − 4u3 u ≤ −µ2 ,    Lu (u, µ) − Lu (u, 0) = −4u3 −µ2 ≤ u ≤ µ2 ,     4(u − µ2 )3 − 4u3 u ≥ µ2 Vậy Lu (u, µ) − Lu (u, 0) ≤ 12u2 µ2 + 12|u|µ4 + 4µ6 ≤ 12(|u|2 + |u|δ2 + δ4 )|µ|2 Suy giả thiết ( B4.3) thỏa mãn Để kiểm tra giả thiết ( B4.4), ta ý ( Lz (z1 , 0) − Lz (z2 , 0)(z1 − z2 ) = ( Lu (u1 , 0) − Lu (u2 , 0))(u1 − u2 ) = 4(u31 − u32 )(u1 − u2 ) = 4(u1 − u2 )2 (u21 + u22 + u1 u2 ) = 4(u1 − u2 )2 ((u1 − u2 )2 + 3u1 u2 ) ≥ 4( u1 − u2 )4 Ở trên, ta sử dụng đánh giá u1 , u2 ≥ h.k với u1 , u2 ∈ K (λ¯ ) Vì vậy, giả thiết ( B4.4) thỏa mãn Tiếp theo ta phải kiểm tra giả thiết ( B4.5) Vì b = v, c = div(v) a(y, ϕ) = Ay, ϕ = Ω ∇y∇v + v T ∇yϕ + div(v)yϕ dx, nên c− N 1 Di bi = div(v) − div(v) = div(v) ≥ ∑ i =1 2 Vì giả thiết ( B4.5) kiểm tra Vậy, khẳng định (ii ) chứng minh Cuối cùng, với khẳng định (iii ), ta chọn u = C số thỏa mãn µ2 γ ≤ C ≤ µ2 Dễ thấy, F (u, µ) = Đặt y = S(u + λ1 ), (y, u) thỏa mãn ràng buộc (4.93) (4.94) Do (y, u) | y = S(u + λ1 ), u = C h.k., µ2 γ ≤ C ≤ µ2 h.k Ω ⊂ S(µ, λ) ✷ Do S(µ, λ) khơng đơn trị 154 Ví dụ sau minh họa tập nghiệm tốn gốc khơng đơn trị ánh xạ nghiệm S khơng nửa liên tục Ví dụ 4.4 Giả sử p = 2, α( x ) = β( x ) = h.k x ∈ Ω µ¯ = 0, λ¯ = (0, 0, 0) Xét tốn P(µ, λ) : F (u, µ) = với (y, u) ∈ H (Ω) ∩ H01 () ì L(u( x ), à( x ))dx inf Ω L2 ( Ω ) thỏa mãn điều kiện sau: − ∆y + y = u + λ1 Ω, y =    u ≥ λ2 h.k Ω,   u + y ≥ λ3 h.k Ω, Γ (4.96) (4.97) với µ ∈ L∞ (Ω), (λ1 , λ2 , λ3 ) ∈ L2 (Ω) × L∞ (Ω) × L∞ (Ω) L(u, µ) = 1 − sign(u + 1) (u + 1)2 + + sign(u − 1) (u − 1)2 + µ2 (u − 1)2 2 Ký hiệu S( f ) nghiệm phương trình (4.96) tương ứng với vế phải f ¯ λ¯ ) ⊃ {(y, u)|y = S(u), u = C h.k., ≤ C ≤ 1} Tuy nhiên, Hiển nhiên ta có S(µ, với µ = 0, ta ln có S(µ, λ¯ ) = {(y, u) | y = S(u), u = h.k.trong Ω} Do ¯ λ¯ ) ánh xạ S không nửa liên tục (µ, Thật vậy, dễ thấy giả thiết ( B4.1) − ( B4.3) ( B4.5) thỏa mãn, cịn giả thiết ( B4.4) khơng thỏa mãn Với µ¯ = 0, λ¯ = (0, 0, 0), ta có    ( u + 1)2    L(u, 0) =      ( u − 1)2 u < −1, − ≤ u ≤ 1, u > Điều dẫn tới F (u, 0) ≥ với cặp chấp nhận (y, u) Do với ¯ λ¯ ) Nên (0, 0) ∈ S(µ, ¯ λ¯ ) Mặt ≤ u ≤ 1, (S(u), u) nghiệm tốn P(µ, khác, với µ = 0, ta có    ( u + 1)2    2 L(u, µ) = µ (u − 1) +      ( u − 1)2 155 u < −1, − ≤ u ≤ 1, u > Suy S(µ, λ¯ ) = {(S(1), 1)} Gọi BZ ((0, 0), δ) hình cầu Z với tâm (0, 0) ¯ λ¯ ) ∩ BZ ((0, 0), δ) = ∅ bán kính δ = 1 − = |Ω| Khi S(µ, L (Ω) ¯ λ¯ ) ta cần chứng Để chứng minh ánh xạ S khơng nửa liên tục (µ, ¯ λ¯ ) cho S(µn , λn ) ∩ BZ ((0, 0), δ) = ∅ với minh tồn dãy (µn , λn ) → (µ, ¯ λ¯ ) n > Thật vậy, ta chọn dãy (µn , λn ) = ( n1 , λ¯ ) Khi (µn , λn ) → (µ, S(µn , λ¯ ) = {(S(1), 1)} Vì (S(1), 1) − (0, 0) = S(1) Y + L2 (Ω) ≥ |Ω| nên S(µn , λn ) ∩ BZ ((0, 0), δ) = ∅ với n > Vậy ánh xạ S không nửa liên tục ¯ λ¯ ) (µ, 4.3 Kết luận Chương đưa điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm toán điều khiển tối ưu elliptic liên tục Holder (cho trng hp hm mc tiờu li mnh) v na ă liên tục (cho trường hợp hàm mục tiêu không lồi mạnh) theo tham số 156 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết luận án bao gồm: Điều kiện cần cực trị bậc bậc hai cho lớp toán điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp điều khiển-trạng thái điểm Điều kiện cần cực trị bậc bậc hai cho lớp tốn điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc trạng thái điểm Điều kiện đủ cho tính ổn định (cụ th l tớnh liờn tc Holder v tớnh na ă liên tục dưới) ánh xạ nghiệm số tốn điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic tuyến tính chứa tham số với hàm mục tiêu lồi ràng buộc tuyến tính Có thể phát triển kết luận án sau: Nghiên cứu mở rộng điều kiện quy (2.9) nghiên cứu Chương Đồng thời đưa điều kiện cần cực trị bậc bậc hai cho tốn điều khiển tối ưu phương trình elliptic parabolic (nửa tuyến tính tựa tuyến tính) Nghiên cứu điều kiện đủ bậc hai cho lớp tốn điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic nửa tuyến tính Nghiên cứu sâu thêm kết Chương độ nhạy tính ổn định ánh xạ nghiệm toán điều khiển tối ưu elliptic chứa tham số Nghiên cứu tính ổn định hàm giá trị tối ưu tốn điều khiển tối ưu cho phương trình đạo hàm riêng chứa tham số 157 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Nhu V.H., Anh N.H and Kien B.T (2013), "Holder continuity of the soluă tion map to an elliptic optimal control problem with mixed control-state constraints", Taiwanese J Math 17(4), pp 1245-1266 Kien B.T and Nhu V.H (2014), "Second-order necessary optimality conditions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with mixed pointwise constraints", SIAM J Control Optim 52(2), pp 1166-1202 Kien B.T., Nhu V.H and Rosch A (2015), "Lower semicontinuity of the soluă tion map to a parametric elliptic optimal control problem with mixed pointwise constraints", Optimization 64(5), pp 1219-1238 Kien B.T., Nhu V.H and Rosch A (2015), "Second-order necessary optimală ity conditions for a class of optimal control problems governed by partial differential equations with pure state constraints", J Optim Theory Appl 165(1), pp 30-61 158 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Toàn (2012), Hàm Giá Trị Tối Ưu Ánh Xạ Nghiệm Trong Các Bài Toán Điều Khiển Tối Ưu Chứa Tham Số, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Vinh [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2014), Giáo Trình Giải Tích Lồi Ứng Dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [3] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo Trình Giải Tích Đa Trị, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội Tiếng Anh [4] Adams R.A (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, New York [5] Alt W., Griesse R., Metla N and Rosch A (2010), "Lipschitz stability for elă liptic optimal control problems with mixed control-state contraints", Optimization 59, pp 833-849 [6] Aubin J.-P and Ekeland I (1984), Applied Nonlinear Analysis, John Wiley and Sons, New York [7] Aubin J.-P and Frankowska H (1990), Set-Valued Analysis, Birkhăauser, Boston [8] Aubin J.-P and Cellina A (1984), Differential Inclusions, Set-Valued Maps and Viability Theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg [9] Berger M.S (1977), Nonlinearity and functional analysis: Lectures on nonlinear problems in mathematical analysis, Academic Press, New York, San Francisco, London 159 [10] Bonnans J.F and Shapiro A (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York [11] Bonnans J.F and Hermant A (2009), "Second-order analysis for optimal control problems with pure state constraints and mixed control-state constraints", Ann I H Poincaré-AN 26, pp 561-598 [12] Bonnans J.F and Hermant A (2009), "No-gap second-order optimality conditions for optimal control problems with a single state constraint and control", Math Program., Ser B 117, pp 21-50 [13] Borwein J.M and Zhu Q.J (2005), Techniques of Variational Analysis, Springer, Berlin, Heidelberg and New York [14] Brézis H (2010), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York [15] Cartan H (1971), Differential Calculus, Hermann, Paris [16] Casas E (1994), "Pontryagin’s principle for optimal control problems governed by semilinear elliptic equations", International Series of Numerical Mathematics, Ed Birkhăauser Verlad 118, pp 97-114 [17] Casas E (1997), "Pontryagin’s principle for state constrainted boundary control problems of semilinear parabolic equations", SIAM J Control Optim 35, pp 1297-1327 [18] Casas E (1993), "Boundary control of semilinear elliptic equations with pointwise state constraints", SIAM J Control Optim 4, pp 993-1006 [19] Casas E and Mateos M (2002), "Second order optimality conditions for semilinear elliptic control problems with finitely many state constraints", SIAM J Control Optim 40, pp 1431-1454 [20] Casas E., Mateos M and Raymond J.-P (2007), "Error estimates for the numerical approximation of a distributed control problem for the steady-state Navier-Stokes equations", SIAM J Control Optim 46, pp 952-982 160 [21] Casas E., Raymond J.-P and Zidani H (1998), "Optimal control problems governed by semilinear elliptic equations with integral constraints and pointwise state constraints", International Series of Numerical Mathematics, Ed Birkhăauser Verlad 126, pp 89-102 [22] Casas E., Raymond J.-P and Zidani H (2000), "Pontryagin’s principle for local solutions of control problem with mixed control-state constraints", SIAM J Control Optim 39, pp 1182-1203 [23] Casas E., Reyes J.C.D.L and Troltzsch F (2008), "Sufficient second-order ă optimality conditions for semilinear control problems with pointwise state constraints", SIAM J Optim 19, pp 616-643 [24] Casas E and Troltzsch F (2010), "Recent advanced in the analysis of pointă wise state-constrained elliptic optimal control problems", ESAIM: Control, Optim Caculus of Variations 16, pp 581-600 [25] Casas E and Troltzsch F (2009), "First- and second-order optimality condiă tions for a class of optimal control problems with quasilinear elliptic equations",SIAM J Control Optim 48, pp 688-718 [26] Cesari L (1983), Optimization Theory and Applications, Springer, New York [27] Chipot M (2009), Elliptic Equations: An Introduction Course, Birkhăauser Verlag AG, Basel-Boston-Berlin [28] Cioranescu I (1990), Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers, London [29] Clarke F.H (1990), Optimization and Nonsmooth Analysis, SIAM, Philadelphia [30] Cominetti R (1990), "Metric regularity, tangent sets, and second-order optimality conditions", Appl Math Optim 21, pp 265-287 [31] Dacorogna B (1989), Direct Methods in Calculus of Variations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg [32] Diestel J (1975), Geometry of Banach Spaces-Selected Topics, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 161 [33] Domokos A (1999), "Solution sensitivity of variational inequalities", J Math Anal Appl 230, pp 382-389 [34] Dontchev A.L and Hager W.W (1998), "Lipschitzian stability for state constrained nonlinear optimal control," SIAM J Control Optim 36(2), pp 698718 [35] Dubovitskii A.Ya and Milyutin A.A (1965), "Second variations in extremal problems with constarints", Dokl Akad Nauk SSSR 160, pp 18-21 [36] Evans L.C (2010), Partial Differential Equations, American Mathematical Society [37] Gilbarg D and Trudinger N.S (2001), Elliptic Partial Differential Equation of Second Order, Springer-Verlag Berlin Heidelberg [38] Griesse R (2006), "Lipschitz stability of solutions to some state-constrained elliptic optimal control problems", J Anal Appl 25, pp 435-455 [39] Grisvard P (1985), Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, Boston ´ [40] Hardy G., Littlewood J.E and Polya G (1934), Inequalities, Cambridge, At The University Press [41] Hoehener D (2012), "Variational approach to second-order optimality conditions for control problems with pure state constraints", SIAM J Control Optim 50, pp 1139-1173 [42] Ioffe A.D and Tihomirov V.M (1979), Theory of Extremal Problems, NorthHoland Publishing Company, Amsterdam [43] Jourani A (1993), "Regularity and strong sufficient optimality conditions in differentiable optimization problems", Numer Funct Anal and Optimiz 14, pp 69-87 [44] Jourani A (1994), "Metric regularity and second-order necessary optimality conditions for minimization problems under inclusion constraints", J Optim Theor Appl 81, pp 97-120 162 [45] Kawasaki H (1988), "An envelope like effect of infinitely many inequality constraints on second-order necessary conditions for minimization problems", Math Programming 41, pp 73-96 [46] Kawasaki H (1991), "Second order necessary optimality conditions for minimizing a sup-type function", Math.Program 41, pp 213-229 [47] Kien B.T (2008), "Lower semicontinuity of the solution set to a parametric generalized variational inequality in reflexive Banach spaces",Set-Valued Analysis 16, pp 1089-1105 [48] Kien B.T and Nhu V.H (2014), "Second-order necessary optimality conditions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with mixed pointwise constraints", SIAM J Control Optim 52(2), pp 1166-1202 [49] Kien B.T., Nhu V.H and Rosch A (2015), "Lower semicontinuity of the soluă tion map to a parametric elliptic optimal control problem with mixed pointwise constraints", Optimization 64(5), pp 1219-1238 [50] Kien B.T., Nhu V.H and Rosch A (2015), "Second-order necessary optimality ă conditions for a class of optimal control problems governed by partial differential equations with pure state constraints", J Optim Theory Appl 165(1), pp 30-61 [51] Kien B.T., Nhu V.H and Wong M.M (2015), "Necessary optimality conditions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with pure state constraints and mixed pointwise constraints", J Nonlinear and Convex Analysis 16 (7), pp 1363-1383 [52] Kien B.T., Toan N.T., Wong M.M and Yao J.-C (2012), "Lower semicontinuity of the solution set to a parametric optimal control problem", SIAM J Control Optim 50, pp 2889–2906 [53] Knowles G (1981), An Introduction to Applied Optimal Control, Academic Press, New York [54] Kufner A., John O and S Fucik (1977), Function Spaces, Noordhof International Publishing Leyden and Academi, Prague 163 [55] Li X and Yong J (1995), Optimal Control Theory for Infinite Dimensional Systems, Birkhăauser, Boston [56] Malanowski K and Troltzsch F (2000), "Lipschitz stability of solutions to ă parametric optimal control for elliptic equations", Control Cybern 29, pp 237-256 [57] Maurer H and Zowe J (1979), "First- and second-order necessary and sufficient optimality conditions for infinite-dimensional programming problems", Math Program 16, pp 98-110 [58] Meyer C., Prufert U and Troltzsch F (2007), "On two numerical methods ă ă for state-constrained elliptic control problems", Opt Meth Software 22, pp 871-889 [59] Morrey C (1996), Multiple Integrals in the Calculus of Variations, Springer, New York [60] Nhu V.H., Anh N.H and Kien B.T (2013), "Holder continuity of the solution ă map to an elliptic optimal control problem with mixed control-state constraints", Taiwanese J Math 17(4), pp 1245-1266 [61] Páles Z and Zeidan V (1994), "Nonsmooth optimum problems with constraints", SIAM J Control Optim 32, pp 1476-1502 [62] Páles Z and Zeidan V (1998), "Optimum problems with certain lower semicontinuous set-valued constraints", SIAM J Optim 8, pp 707-727 [63] Páles Z and Zeidan V (2003), "Optimal control problems with set-valued control and state constraints", SIAM J Control Optim 14, pp 334-358 [64] Penot J.-P (2013), Calculus Without Derivatives, Springer, New York [65] Penot J.-P (1989), "Metric regularity, openness and Lipschitzian behavior of multifunctions", Nonlinear Anal 13, pp 629-643 [66] Robinson S.M (1976), "Stability theory for systems of inequalities, part II: Differentiable nonlinear systems", SIAM J Numer Anal 12, pp 497-513 164 [67] Rockafellar R.T and Wets R.J-B (1997), Variational Analysis, Springer, Berlin [68] Troltzsch F (2010), Optimal Control of Partial Differential Equations, Theory, ă Method and Applications, Americal Mathematical Society, Providence, Rhode Island [69] Yen N.D (1995), "Holder continuity of solutions to a parametric variational ă inequality", Appl Math Optim 31, pp 245-255 [70] Zeidler E (1986), Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: FixedPoint Theorems, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo [71] Zeidler E (1990), Nonlinear Functional Analysis and its Applications II/B: Nonlinear Monotone Operators, Springer - Verlag, Berlin [72] Zowe J and Kurcyusz S (1979), "Regularity and stability for the mathematical programming problem in Banach spaces", Appl Math Optim 5, pp 4962 165 ... Chương ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH VỚI RÀNG BUỘC HỖN HỢP Chương trình bày điều kiện cần cực trị bậc bậc hai cho lớp toán điều khiển tối ưu cho phương. .. thiết lập điều kiện cần cực trị cho tốn điều khiển tối ưu tổng qt Mục 3.2 trình bày điều kiện cần cực trị cho toán điều khiển tối ưu cho phương trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính với... ưu elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc trạng thái 92 3.1 Các điều kiện cần cực trị cho toán điều khiển tối ưu tổng quát 92 3.2 Các điều kiện cần cực trị bậc hai cho tốn điều khiển tối ưu elliptic