Chương III. §1. Phương trình đường thẳng

Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O.[r]

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

A LÝ THUY TẾ

 Vectơ phương (vtcp) vectơ pháp tuyến (vtpt) đường thẳng  Vectơ u0

 

gọi vecto phương đường thẳng  d giá u song song trùng với  d

u ( )d  Vectơ n0

 

gọi vecto pháp tuyến đường thẳng  d giá n vuông góc với  d

n ( )d

 Mối quan hệ vectơ pháp tuyến vectơ phương:

 nu n u  0

 Nếu đường thẳng  d có vtpt na b;  

 d có vtcp u  b a; 



u b a; 



 Các dạng phương trình đường thẳng

Phương trình tham số (PTTS) đường thẳng

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TH NG TRONGẲ M T PH NG OxyẶ Ẳ

Tóm t t n i dung:ắ ộ A.Lý thuy tế

B.Các d ng t p ví d minh h aạ ậ ụ ọ C.Bài t p t luy nậ ự ệ

Đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vtcp u→=(u

1;u2)

¿

x=x0+tu1

y=y0+tu2

(u1

+u2

≠0)

¿{

¿

Chú ý

 Khi cho t giá trị cụ thể ta tìm điểm thuộc đường thẳng (d)

 Nếu  d có vtcp uu u1; 2



(d) có hệ số góc  

1

0 u

k u

u

 

 Nếu đường thẳng (d) có hệ số góc k (d) có vtcp (1; )

u k

 

 Phương trình đường thẳng (d) qua M0(x0 ; y0) có hệ số góc k là:

– y y0 k x – x0 Phương trình tắc (PTCT) đường thẳng:

Từ PTTS

¿

x=x0+tu1

y=y0+tu2

(u12+u22≠0) ¿{

¿

0

1

x x y y

u u

 

 

, u10và u2 0

Phương trình tổng quát (PTTQ) đường thẳng

Đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vtpt →n=(a; b) là: a x x – 0b y y – 0 0 Chú ý:

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Muốn tìm điểm thuộc  d cần cho x giá trị cụ thể vào pt  d tìm y ngược lại (cho y tìm x)

 Đường thẳng (d) cắt Ox Oy A(a ; 0) B(0 ; b) Và có phương trình theo đoạn chắn là: xa+y

b=1(a , b≠0)

 Cho (d) : ax + by + c =

Nếu () song song với (d) phương trình () ax + by + m =

0 (m khác c)

Nếu ()( d) phươnh trình () : bx - ay + m = 0

 Vị trí tương đối hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng Δ1:a1x+b1y+c1=0

Δ2:a2x+b2y+c2=0

Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng Δ1vàΔ2 ta xét số nghiệm hệ phương trình

¿

a1x+b1y+c1=0

a2x+b2y+c2=0 ¿

{

¿

(I)

 Nếu (I) có nghiệm hai đường thẳng cắt điểm  Nếu (I) vơ nghiệm hai đường thẳng song song với

 Nếu (I) vô số nghiệm hai đường thẳng nằm (trùng nhau)

 Chú ý

Với a b c2, ,2 0ta có



1

1

2

a b

a b

    



1 1

1

2 2

/ / a b c

a b c

    



1 1

1

2 2

a b c

a b c

    

Góc hai đường thẳng Δ1vàΔ2 :

¿a1a2+b1b2∨ ¿

√a12+a22.√b12+b22

¿n →

1∨¿n →

2∨¿=¿ ¿n

→ 1.n

→ 2∨¿¿ cos(Δ1, Δ2)=cos(n

→ 1, n

→ 2)=¿

 Khoảnh cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0) đến Δ : ax + by + c = là: d(M0, Δ ) = ¿ax0+by0+c∨

¿

√a2+b2

¿

 Điểm thuộc đường thẳng

0

0 0

0

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

B.CÁC D NG BÀI T PẠ Ậ

D ng toán 1: Viết phương trinh đ̀ ương thẳng qua điểm và có

vectơ chỉ phương

Đường thẳng (d) đi qua điểm M x y( ; )0 và có vectơ chỉ phương ( ; )

u a b có dạng :

 Tham số:

0

: x x at ( )

d t R

y y bt        

 Chính tắc:

 



0

x x y y

a b ( Nếu a.b ≠ 0)

 Tổng quát: b x x(  0) a y y(  0) 0 b x x(  0)a y y(  0) 0  Chú y ́ : Nếu (d) có vtcp u( ; )a b



d có vtpt n( ;b a )



n ( ; )b a



 vi ́ du ̣ : Viết phương trình đường thẳng   biết qua M1; 2  có vtcp u2; 1 

 H ng dướ ẫ n

Đường thẳng () qua điểm M(1;-3) có vtcp u2; 1 



có:  Phương trình tham số  

1 ( ) x t t R y t        

 Phương trình tắc   là:

1

2

x y 



 Phương trình tổng quát   là: 1.(x1) 2( y3) 0  x2y 5

 D ng toán 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm và có

vectơ pháp tuyến

Đường thẳng (d) qua điểm M x y( ; )0 và có vectơ pháp tuyến ( ; )

n A B 

có dạng :  Tham số:

0 :

( )

x x Bt d

y y At t R  

 

  



0

0 ( )

x x Bt

y y At t R         Chính tắc:     0

x x y y

B A

 

 

0

x x y y

 Tổng quát: A x x(  0)B y y(  0) 0  Ax By C  0  Chú y ́ :

 Nếu d có vtpt n( ; )A B



d có vtcp u( ;B A )



u ( B A; )



 Nếu d có vtpt n( ; )A B



d có PTTQ có dạng: Ax By m  0

 Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng   biết qua N3;2 có vtpt n  3;7

 H

ướ ng dẫ n

  có véc tơ pháp tuyến: n  3;7    có véc tơ chỉ phương là

7;3 u



   

  3; :

7;3 qua N vtcp u 

  

 





có phương trình tham số là:

3

x t

y t

   

  



   

  3; :

7;3 qua N vtcp u 

  

 





có phương trình tắc   là:

3

3

x y  



   

 

3; :

3;7 qua N vtpt n 

  

  





có phương trình tổng qt là:3x7y 5 0

 D ng toán 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm và có hệ

số góc

Đường thẳng (d) qua điểm M0(x0;y0) có hệ số góc k là:

 0   0

y y k x x( )

 Chú ý: Nếu (d) có hệ số góc k (d) có dạng: y = k.x + m (k ≠ 0, m  R, k 

R)

 Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng qua điểm M0(-5; -8) có hệ số

góc -3

H

ướ ng dẫ n

phương trình đường thẳng qua điểm M0(-5; -8) có hệ số góc

-3 có dạng là:

     

Gia sư V.A.K Phương pháp học thơng minh

Nhận xét: Ta viết phương trình đường thẳng dạng PTTS PTTQ

H

ướ ng dấ n: Vì  có hệ số góc k3 nên   có vtcp u1; 3  

rồi viết PTTS PTTQ

 D ng toán 4: Viết PTĐT (d) qua hai điểm phân biệt A(x y1; ) B( 2;

x y )

 Tính toạ độ vecto AB



 Khi AB



vtcp đường thẳng (d) qua điểm A B

 Trở lại toán dạng: viết phương trình đường thẳng qua điểm (A B) có vtcp (AB



)

 Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm phân biệt

4;1 , 4;2

M N

H

ướ ng dẫ n

 Vì   qua điểm M4;1 , N4; 2 nên có vtcp MN0;1





   

  4;1 :

0;1 qua M vtcp MN 

  

 





nên có phương trình tham số là:

4 x y t

  

  

 Chú ý:   qua M4;1 ; N4; 2 nên có vtcp MN



NM; viết ptts   qua điểm M điểm N

 D ng tốn 5: Viết phương trình đường thẳng ( d) qua điểm

M0(x0;y0) song song với đường thẳng (d’) cho trước có dạng là:

0 Ax By C  

Cách 1:

 Dựa vào giả thuyết để tìm vtpt n( ; )A B



(hoặc vtcp u ( B A; )



) đường thẳng (d)

 Viết PTTS (d) qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương u

 Hoặc viết PTTQ (d) qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến

n Cách 2:

 Vì (d) // (d’) nên (d) có dạng: Ax By m  0(*)

 Vì M0(x0;y0) (d) thay toạ độ điểm M vào (*) tính m

 Thay giá trị m vừa tìm vào (*) ta phương trình đường thẳng (d) cần tìm

 Chú ý: Hai đường thẳng song song với

 VTCP đường thẳng VTCP đường thẳng

 VTPT đường thẳng VTPT đường thẳng

 Ví dụ : Viết PTĐT ( ∆) qua điểm Q (2;1) song song với đường

thẳng (d) : 2x y  0 H

ướ ng dẫ n Cách 1:

  d có vtpt n2;1



   song song với (d) nên   có vtpt là: n2;1



 

  có vtcp là:

1; 2 u 



   

 

2;1 :

1; qua Q vtcp u 

  

  





nên có ptts là:

2 x t

y t

  

    Cách 2:

 Vì (∆) // (d) nên (∆) có dạng: 2x y m  0(*)  Mặt khác Q (2;1)  (∆) nên 2.2 + 1+m = 0 m= -5  Vậy PTĐT (∆) cần tìm có dạng là: 2x y  5 0

 D ng toán 6: Viết phương trình đường thẳng ( d) qua điểm

M0(x0;y0) vuông với đường thẳng ∆ cho trước có dạng là: 0

Ax By C  

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Dựa vào giả thuyết để tìm vtpt n( ; )A B



(hoặc vtcp u ( B A; )



) đường thẳng (d)

 Viết PTTS (d) qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương u



 Hoặc viết PTTQ (d) qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến

n Cách 2:

 Vì d   nên phương trình (d) có dạng: Bx Ay m  0(hoặc

0

Bx Ay m

    ) (*)

 Vì M0(x0;y0) (d) thay toạ độ điểm M vào (*) tính m

 Thay giá trị m vừa tìm vào (*) ta phương trình đường thẳng

(d) cần tìm

 Chú ý :

 Hai đường thẳng vng góc với thì: vtcp (vtpt) đường thẳng vtpt (vtcp) đường thẳng  Nếu d vuông với đường thẳng : y = kx + m đường

thẳng d có phương trình dạng:

1 y x n

k  

(Vì hai đường thẳng vng góc có tích hệ số góc -1)

 Ví dụ : Viết PTĐT( d) qua điểm P (-1;1) vng góc với đường thẳng

(∆):2x 3y 1 H

ướ ng dẫ n Cách 1:

   có vtpt n2; 3 



 (d) vng góc với đường thẳng   nên  d có vtcp là: u2; 3 



   

 

1;1 :

2; qua P d

vtcp u  

 

  





nên có PTTS là:

1

x t

y t   

    Cách 2:

 Mặt khác P (-1;1)  (d) nên 3.(-1) + 2.1+m = 0 m=  Vậy PTĐT (∆) cần tìm có dạng là: 3x2y 1 0

 D ng tốn 7: Viết phương trình đường thẳng ( d) qua điểm

M0(x0;y0) tạo với đường thẳng ∆ góc  cho trước (Bài tốn liên

quan đến góc)

 Gọi phương trình đường thẳng (d) qua M0(x0;y0) có hệ số góc k có dạng là:

 

 0   0    0 0 

y y k x x( ) kx y y kx

 Sau áp dụng cơng thứ tính góc hai đường thẳng d ∆ từ suy giá trị k cần tìm

 Thay giá trị k vừa tìm vào (2) ta PTĐT (d)

 Ví dụ : Cho đường thẳng (∆) : 3x-2y+1=0 Viết PTĐT (d) qua điểm M

(1;2) tạo với (∆) góc 450

H

ướ ng dẫ n

 PTĐT (d) viết dạng: y – = k ( x-1)  kx – y +2 – k =

 Vì (d) hợp với (∆) góc 450 nên:

| ( 1).( 2) |

cos 45

2 1 32 ( 2)2 k

k

  



  

2 | |

2 13. 1

k k



 



2

2 12

2

4 13.( 1)

k k

k

 

 



 5k224k 0

1 5 k k

 



   

 Vậy phương trình (d) là:

1 1

2 0

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

hay 5x y  2 ( 5) 0  5x y 7 0

 D ng tốn 8: Viết phương trình đường thẳng (∆) qua điểm M0(x0;y0)

và cách điểm (N( ; )x y1 khoảng a (Bài toán liên quan đến

khoảng cách)

 Gọi phương trình đường thẳng (∆) qua M0(x0;y0) có hệ số góc k có dạng là:

 0   0

y y k x x( ) kx y y  0  kx0 0 2

 Áp dụng công thức: d(N,∆)=a Từ suy giá trị k cần tìm  Thay giá trị k vừa tìm vào (2) ta PTĐT (∆)

 Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng ∆ qua M(2;7) cách N(1;2)

một khoảng H

ướ ng dẫ n

 PTĐT (∆) qua điểm M(2; 7) có hệ số góc k có dạng là:

 7 (  2)

y k x  kx y  7 2k 0

 Vì (∆) cách N(1;2) khoảng nên: Ta có: d(N, ∆) =1

| | | | 2 2 2

1 ( 5) ( 1)

2 1 1

12

2 10 25 1

5

k k k

k k

k k

k k k k

    

        

 

      

 Vậy phương trình (∆) là:

12 12

7 2. 0

 Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có ptts:

2 ;

x t

t R

y t

  

 

 

 .Tìm điểm Md

cho khoảng cách từ M đến điểm A(0;1) khoảng H

ướ ng dẫ n

 Điểm

2 (

3

; )

M x y d x t

y t

   

 

 nên tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình d

 GọiM(2 ;3 t t)d  Ta có:AM (2 ;2 t t)

uuur

 Theo giả thiết:

2

5 (2 ) (2 ) AM    t  t 

uuuur

2

(2 )t (2 t) 25     

2

1

5 12 17 17

5 t t t

t         

  

 Vậy có điểm M thỏa ycbt M1(4; 4)

24 ( ; )

5 M  

 D ng tốn 9: Viết phương trình đường thẳng  d1 đối xứng với đường

thẳng  d qua điểm I

 Lấy điểm A thuộc  d ; gọi A’ điểm đối xứng A qua I (tức I trung điểm AA’)

 Viết pt đường thẳng  d1 qua điểm A’ song song với  d

 Ví dụ : Cho điểm I1;1 đường thẳng  d :x 2y 2 Viết phương trình tổng quát đường thẳng  d1 đối xứng với đường thẳng  d qua

điểm I.

H

ướ ng dẫ n

 Lấy điểmA0;1   d ; gọi A điểm đối xứng với A qua I suy A2;1 (với I trung điểm AA’)

 Vì  d1 / / d nên phương trình (d1) có dạng: x 2y c 0   d1 qua A2;1 nên: 2.1   c c0

A’ d1

A

d I

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh  Vậy PTTQ  d1 x 2y0

 D ng tốn 10:Tìm hình chiếu điểm A xuống đường thẳng ∆ (Tìm tọa

độ điểm H   cho MH ngắn nhất); tìm điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng ∆

Cách 1:

 Viết pt đường thẳng d qua A vng góc với ∆  Gọi H hình chiếu A ∆ Khi đóH  d

 A điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng ∆ H trung điểm AA

Cách 2: Nếu pt ∆ cho dạng tham số:

0

x x u t y y u t

  



  

 Gọi H hình chiếu A ∆ H    H x 0u t y1; 0u t2   tọa độ

AH



 Do AH   nên AH u

 

 AH u  0

 

t

  tọa độ H

 A điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng ∆ H trung điểm AA

-Cách 3: Nếu pt ∆ cho dạng tổng quát: ax by c  0  Gọi H x y H; H hình chiếu điểm A ∆

 Khi

H AH

  



 

 H   axHbyH c (1)  AH    AH xH  x yA; H  yA



phương với na b; 



 Do đó: b x H  xA a y H  yA 0 (2)Giải (1) (2) ta tọa độ điểm H

Ví d : ụ Cho đường thẳng   :x 2y 4 điểm A4;1 a) Tìm tọa độ hình chiếu A  

b) Tìm điểm A điểm đối xứng A qua  

H

a) Tọa độ hình chiếu A  

 Gọi H hình chiếu A  

 Đường thẳng AH    pt AH có dạng: 2x y c  0  AH qua A nên: 2.4 1   c c9

 Vậy phương trình AH 2x y  0

 Tọa độ H nghiệm hệ:

14

2 5

2 17

5 x x y

x y

y 

    

 



 

  

  

 

14 17 ; 5

H

  

 

b) Tọa độ điểm A đối xứng A qua  

 A điểm đối xứng A qua    H trung điểm AA

5

29

8 29 ;

5 A A

A H

A A

A H

x x

x x

y y

y y

A









  

 



 

 

 

    



    



 







 D ng toán 11: Viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường

thẳng  d qua đường thẳng ()

Để giải toán này, trước tiên ta nên xét chúng cắt hay song song

 Nếu (d)// ()

 Lấy A(d) Xác định điểm A’ đối xứng với điểm A qua ()  Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A’ song song với (d)  Nếu (d) cắt () tại điểm I

Gia sư V.A.K Phương pháp học thơng minh

 Ví dụ : Cho hai đường thẳng (d1) : x y  0 ( ) :d2 x 3y 3 0 Lập

phương trình đường thẳng  d3 đối xứng với (d

1) qua (d2)  H ướ ng dẫ n

 Xét (d1) (d2) , Ta có:

1 1

13 Vậy (d1) cắt (d2 ) điểm I

 Tọa độ điểm I nghiệm hệ

-1

3

x y x y

 

  

 

 => I(0;1)

 Lấy A(1;0) (d1)

 Gọi A’ điểm đối xứng với A qua (d2) nên A’

1 12 ; 5 5

 

 

  (tìm tọa độ A’ dựa

vào dạng 10)

 Vậy phương trình  d3 phương trình đường thẳng qua hai điểm I A’

 d3 : 7x y  1 0

 D ng tốn 12: Viết phương trình đường phân giác góc tạo hai

đường thẳng (d1) (d2) Với: (d1) :A x B y C1   0và (d2):

2 2 0

A x B y C  

 Tính tích vơ hướng vecto n n1,

                           

lần lượt vtpt (d1) , (d2)  Phương trình đường phân giác góc tạo (d1) (d2):

   



 

2 2

' '

' ' Ax By C A x B y C

A B A B

 Khi đó: tồn đường phân giác vng góc với góc tạo (d1) (d2):

            

 

     

1 2 2 ' 2 ' 2 2 2 ' 2 ' 2

( ): ( ):

' ' ' '

Ax By C A x B y C Ax By C A x B y C

A B A B A B A B

1. n n 

                       

  Phương trình phân giác góc

nhọn

Phương trình phân giác góc tù

 (∆1)

2

( )

+ ( )2 (∆1)

Chú ý 1: Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng:

Cho đường thẳng d: ax by c  0 điểm A x y( ;A A), ( ;B x yB B)

Đặt TA axAbyAc T, B axB byBc nếu:

 T TA B axAbyAc  axB byBc 0 A, B cùng phía đối với đường thẳng d

 T TA B axAbyAc  axB byBc 0 A, B khác phía đối với đường thẳng d

Chú ý 2:

 Nếu phương trình đường thẳng cho dạng tham số, tắc ta trước hết phải đưa dạng tổng quát

 Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm tùy ý đường thẳng đến đường thẳng

 Ví dụ : Cho đường thẳng d x: 3y 0; : 3 d x y  2 a) Chứng minh d cắt d’

b) Lập phương trình hai đường phân giác góc tạo d d’

H

ướ ng dẫ n

a) Vì:

3 1 nên d cắt d’

b) Phương trình hai đường phân giác góc tạo d d’ là:

 

3

3

3

10 10

x y x y

x y x y

x y x y

     

   

  

     

4 x y x y

   

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d1):3x+4y - 1=0 (d2): 4x+3y+5 = 0 Viết

phương trình đường phân giác góc nhọn tạo (d1) (d2)

H

ướ ng dẫ n

 (d1) có vtpt n1 3; 4 

 (d2) có vtpt n2 4;3 

 Ta có: n n1.

                           

=3.4+4.3=24 >0

 Ta có phươngtrình :

   

      

 

2 2

3 4

3 4

3 4

x y x y

x y x y

 Vì n n1.

                           

>0 nên phương trình đường phân giác góc nhọn cần tìm là:

        

3x 4y ( 4x 3y 5) 7x 7y

 D ng toán 13: Viết phương trình đường trung tuyến, đường cao, trung

trực, phân giác cạnh tam giác

Dựa vào bảng sau để hinh thành nên cách viết PTĐT cần tìm

Bài tốn viết PT

Hình Phương trình tham số Phương trình tổng quát

Cạnh AB tam giác

0

( ; ) : qua A x y

AB u AB         AB :

quaA(x0; y0) 

u=AB⇒n

¿{

Trung tuyến AM

AM :

quaA(x0; y0) 

u=AM ¿{

AM :

quaA(x0; y0) 

u=AM⇒n

¿{

Đường cao AH

B

AH :

quaA(x0; y0) 

n=BC⇒u

¿{

AH :

Đường trung trực

Δ

Δ: quaI(xB+xc ;

yB+yc

2 )



n=BC⇒u

¿{

Δ: quaI(xB+xc ;

yB+yc

2 )

 n=BC

¿{

Đường

phân giác Dựa vào dạng tốn 12

 Ví dụ : Cho tam giác ABC với A4;5 ; B6; ;  C1;1 Viết phương trình tổng quát cạnh AB, đường trung tuyến AM, đường cao AH tam giác ABC; đường trung trực cạnh AB

H

ướ ng dẫ n

Phương trình cạnh AB:

 Đường thẳng AB qua A4;5 ; B6; 1   Nên có vtcp AB  10; 6 



  đường thẳngABcó vtpt là: n6; 10  

 Phương trình tổng quát AB là:

   

6 x 10 y  0 6x10y26 0 Phương trình đường trung tuyến AM:

 M trung điểm BC nên

5 ;0 M 

 

 Vì AM qua

4;5 ; 5;0 A M 

  nên AM có vtcp

13 ; AM    

 



  AM có vtpt

13 5;

2 n  

  

 Phương trình tổng quát đường trung tuyến AM là:

  13 

5 10 13 25

2

x  y   x y 

Phương trình đường cao AH:

 Đường cao AH qua A4;5 có vtpt BC7; 2 

Δ

Gia sư V.A.K Phương pháp học thơng minh

 Phương trình tổng qt đường cao AH là:

   

7 x 2 y  0 7x2y 38 0 Phương trình đường trung trực AB:

 Gọi K trung điểm AB nên K1; 2  Gọi   đường trung trực AB

    qua điểm K1;2 có vtpt AB  10; 6  

 Phương trình tổng quát  

   

10 x y 10x 6y 5x 3y

             

 Ví dụ : Lập phương trình đường phân giác góc A ABC

biết ABC biết A2;0 ; B4;1 ; C1;2 H

ướ ng dẫ n

 Phương trình cạnh AB: x 2y 0  Phương trình cạnh AC: 2x y  0

 Phương trình hai đường phân giác góc A

   

2 2

3

5

x y d

x y x y

x y d

   

   

  

    

 Xét đường phân giác  d :x3y 0

 Thế tọa độ điểm B vào vế trái d:t1 4 3.1 0  

 Thế tạo độ điểm C vào vế trái củad:t2  1 3.2 0  

 Vìt t1 0 nên B C nằm phía đối vớid dlà đường phân giác

C.BÀI T P T LUY NẬ Ự Ệ

Bài tậ p 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng   trường

hợp sau:

a) Qua M1;3 có vtpt n2;5



b) Qua M1; 2 có vtcp u 3;7



c) Qua M4;1 ; N5;3

d) Qua M5; 8  có hệ số góc k 3

e) Qua M2;5 song song với đường thẳng d: 3x4y 0 f) Qua M2;5 vng góc với đường thẳng d: 3x4y 0 g) Qua A5;0 ; B0; 2

Bài tậ p 2: Cho tam giác ABC có A(-2; 1), B(2; 3) C(1; -5)

a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC tam giác

b) Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH tam giác c) Lâp phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM

d) Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung trực cạnh BC

e) Lập phương trình đường thẳng chứa đường phân giác góc A ABC

Bài tậ p 3: Viết PTĐT d1 đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng Δ biết:

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Bài tậ p 4: Cho A(1;1), B(3;6) Viết PTĐT (d) qua A cách B đoạn

bằng

Bài tậ p 5: Viết phương trình đường phân giác góc hai đường thẳng

1: 4x10y 1 0; 2:x y  2

Bài tậ p 6: Cho I(1;2) đường thẳng ( ) :3x 5  y 1 0

a) Tìm phương trình đường thẳng (d) qua A song song với ( )

b) Tìm phương trình đường thẳng (’ ) đối xứng với ( ) qua A.

Bài tậ p 7: Cho đường thẳng :x2y 0 Lập phương trình đường thẳng d

qua M6;1 tạo với   góc 450

D.BÀI T PẬ DÀNH CHO H C SINH KHÁ GI IỌ Ỏ

Bài tậ p 1*: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích

bằng 2,

A(2;–3), B(3;–2) Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm đường thẳng d: 3x – y – =

H

ướ ng dẫ n

PTTS d:

x t

y 4 3t

  

 

 Giả sử C(t; –4 + 3t)  d.

 

S 1AB AC .sinA AB AC2 AB AC

2

  

                           

=

2  4t2 4 3t  

t t 12

    

 C(–2; –10) C(1;–1)

Bài tậ p 2*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–

1; 1) trung điểm cạnh BC, hai cạnh AB, AC nằm hai đường thẳng

d1: x y  0 d2: 2x6y 3 Tìm toạ độ đỉnh A, B, C H

Toạ độ điểm A nghiệm hệ:

x y

x y2

2

    

  

  A

15 7; 4

 



 

 .

Giả sử: B b( ;2 b) d1,

c C c;

6

   

 

  d2

M(–1; 1) trung điểm BC 

b c c b 2 1                b c       

 B 7; 4

     , C

9 1; 4

      .

Bài tậ p 3*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD biết

M(2;1); N(4; –2); P(2;0); Q(1;2) thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phương trình cạnh hình vng

H

ướ ng dẫ n

Giả sử đường thẳng AB qua M có VTPT ( ; )



n a b (a2 + b2 0)

=> VTPT BC là: 1 ( ; ) 

n b a

Phương trình AB có dạng: a(x –2) +b(y –1)=  ax + by –2a –b

=0

BC có dạng: –b(x – 4) +a(y+ 2) =0  – bx + ay +4b + 2a

=0

Do ABCD hình vng nên d(P, AB) = d(Q,BC)

 2 2

2

3 

  

  



  

b a

b b a

b a

a b a b

 b = –2a: AB: x – 2y = ; CD: x – 2y –2 =0; BC: 2x +y – 6= 0; AD: 2x + y – =0

 b = –a: AB: –x + y+ =0; BC: –x –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0; CD: –x + y+ =0

Bài tậ p 4*: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), tam

giác ABC có diện tích

3

2 ; trọng tâm G ABC nằm đường

thẳng d: 3x – y – = Tìm bán kính đường tròn nội tiếp  ABC H

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0  d(C, AB) =

ABC

a b S

AB 2



 





a b

a b  3   a b8 (1)2 (2)

 

 ; Trọng tâm G

a 5;b

3

   

 

   d

 3a –b =4 (3)

 (1), (3)  C(-2; -10)  r = S p

3

2 65 89



 

 (2), (3)  C(1; –1) 

S r

p

3 2 5

 



Bài tậ p 5*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh

đáy BC có phương trình

d1: x y  1 0 Phương trình đường cao vẽ từ B

d2: x 2y 2 0 Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C Viết phương trình cạnh bên tam giác ABC

H

ướ ng dẫ n

B(0; –1) BM ( ; )2



 MB  BC

Kẻ MN // BC cắt d2 N BCNM hình chữ nhật

phương trình đường thẳng MN: x y  3 0 N = MN  d2 

8 3 N ; 

 .

NC  BC  phương trình đường thẳng NC:

7 0 3

x y  

C = NC  d1 

2 5 ; 3 3

 



 

 

C

AB  CM  phương trình đường thẳng AB: x2y 2 0 AC  BN  phương trình đường thẳng AC: 6x3y 1 0

Bài tậ p 6* :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 +

(y + 1)2 = 25 điểm

M(7; 3) Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt (C) A, B phân biệt cho

H

ướ ng dẫ n

M nằm (C) (C) có tâm I(1;–1) R = Mặt khác: MA MB. 3MB2  MB3

                           

Gọi H hình chiếu I lên AB

3

BH

   IH  R2 BH2  4 d I d ,( )

Ta có: phương trình đường thẳng d: a(x – 7) + b(y – 3) = (a2 + b2 > 0).

  2 2

0 6 4

,( ) 4 4 12

5 a a b

d I d

a b

a b

 

  

   

  

 .

Vậy d: y – = d: 12x – 5y – 69 =

Bài tậ p 7*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho DABC có cạnh AC qua

điểm M(0;– 1)

Biết AB = 2AM, phương trình đường phân giác AD: x – y = 0, phương trình đường cao CH: 2x + y + = Tìm tọa độ đỉnh DABC

H

ướ ng dẫ n

Gọi d đường thẳng qua M vng góc với AD cắt AD, AB I N, ta có:

1

( ) : 0, ( ) ( ) ; ( 1; 0)

2

 

         

 

d x y I d AD I N

(I trung điểm MN)

( ) : 2 1 0, ( ) ( ) (1; )

       

AB CH pt AB x y A AB AD A 1 .

AB = 2AM  AB = 2AN  N trung điểm AB  B3; 1  . 1

( ) : 2 1 0, ( ) ( ) ; 2 2

 

       

 



pt AM x y C AM CH C

Bài tậ p 8*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d1:

7 17

  

x y ,

d2: x y  5 0 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 tam giác cân giao điểm d1, d2

H

ướ ng dẫ n

Phương trình đường phân giác góc tạo d1, d2 là:

2 2

2 13

7 17

3

1 ( 7) 1

 

  

    

  

  

   

x y ( )

x y x y

Gia sư V.A.K Phương pháp học thơng minh

Đường thẳng cần tìm qua M(0;1) song song với  1, KL: x3y 0 3x y  1 0

Bài tậ p 9*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho DABC cân có đáy BC

Đỉnh A có tọa độ số dương, hai điểm B C nằm trục Ox, phương trình cạnh AB : y =3 7(x 1)- Biết chu vi củaDABC 18, tìm tọa độ đỉnh A, B, C

H

ướ ng dẫ n

(1;0)

  

B AB Ox B , A AB  A a ;3 7(a 1)  a1 (do xA 0,yA 0).

Gọi AH đường cao ABC

( ;0) (2 1;0) 2( 1), 8( 1)

H a C a BC a AB AC a

         .

 

18 2 (3;0), 2;3 7

    

Chu vi ABC a C A .

Bài tậ p 10*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(1;0), B(–2;4),

C(–1;4), d(3;5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng

( ) : 3 x y  5 0 cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích

bằng H

ướ ng dẫ n

Phương trình tham số : 3 5

  

 



x t y t

M    M(t; 3t – 5)

( , ). ( , ).

  

MAB MCD

S S d M AB AB d M CD CD



7 9

3

  

t t



7 ( 9; 32), ( ; 2)

3

 

M M

Bài tậ p 11*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình

hai cạnh

5x – 2y + = 4x + 7y – 21 = Viết phương trình cạnh thứ ba tam giác đó, biết trực tâm trùng với gốc tọa độ O H

ướ ng dẫ n

Giả sử AB: 5x – 2y + = 0; AC: 4x + 7y – 21 =  A(0;3) Phương trình đường cao BO: 7x – 4y =  B(–4; –7)

Bài tậ p 12*:Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng

1: 2   5 0

d x y d2: 3x + 6y – = Lập phương trình đường thẳng

đi qua điểm P( 2; –1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường

thẳng d1, d2 H

ướ ng dẫ n

d1 có VTPT 1(2; 1) 

a ; d2 có VTPT (3;6)

 a

Ta có: 1. 2.3 1.6 0   

                         

a a nên d1d2 d1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d đường thẳng qua P( 2; -1) có phương trình:

đường thẳngd A x: (  2)B y( 1) 0  Ax By  2A B 0

d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I  d tạo với d1 (hoặc d2) góc 450

0 2

2 2

3 2

cos 45 3 8 3 0

3 2 ( 1)



 

       



   

A B A B

A AB B

B A A B

* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d: 3x y  5 0 * Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x:  3y 5 0

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d: 3x y  5 0 ;

:  3  5 0

d x y

Bài tậ p 13*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, choABC có đỉnh A(1;2),

phương trình đường trung tuyến BM: 2x y  1 phân giác CD: x y 1 0 Viết phương trình đường thẳng BC

H

ướ ng dẫ n

Điểm C CD x y :   1 0  C t ;1 t Suy trung điểm M AC

1 ;

2

 

 

 

 

t t

M

Từ A(1;2), kẻ AK CD x y:   0 I (điểm K BC ). Suy AK:x1  y 2 0 x y  1

Tọa độ điểm I thỏa hệ:

 

1

0;1

  



 

  



x y

I x y

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Đường thẳng BC qua C, K nên có phương trình:

1

4 3 4 0 7 8



    

 

x y

x y

Bài tậ p 14*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có

điểm I (6; 2) giao điểm đường chéo AC BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng : x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB

H

ướ ng dẫ n

I (6; 2); M (1; 5)

: x + y – = 0, E    E(m; – m); Gọi N trung điểm AB

I trung điểm NE 

2 12

2

   

  

      

 

N I E

N I E

x x x m

y y y m m  N (12 – m; m – 1)



MN = (11 – m; m – 6); IE = (m – 6; – m – 2) = (m – 6; – m)

0

 

MN IE  (11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = 0

 m – = hay 14 – 2m =  m = hay m = + m = 



MN = (5; 0)  phương trình (AB) y = 5

+ m = 



MN = (4; 1)  phương trình (AB) x – – 4(y – 5) =

 x – 4y + 19 =

Bài tậ p 15*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương

trình đường phân giác góc A d1: x + y + = 0, phương trình đường cao vẽ từ B d2: 2x – y + = 0, cạnh AB qua M(1; –1) Tìm phương trình cạnh AC

H

ướ ng dẫ n

Gọi N điểm đối xứng M qua d1  NAC (  1, 1)



N N

MN x y

Ta có: MN phương nd1 (1; 1)



1(xN 1) 1(yN 1) 0 xN yN 2 (1)

       

Tọa độ trung điểm I MN:

1

(1 ), ( )

2

I N I N

x  x y   y

1

1

( ) (1 ) ( )

2

   N    N  

I d x y    4 0 (2)

N N

x y

Giải hệ (1) (2) ta N(–1; –3)

Phương trình cạnh AC vng góc với d2 có dạng: x + 2y + C =

( ) 2.( 3)

       