Chuyên đề PHƯƠNG TÍCH và ỨNG DỤNG

1.3.1 Tính chất 1 Điểm nằm bên ngoài đường tròn khi và chỉ khi Điểm nằm trên đường tròn khi và chỉ khi Điểm nằm bên trong đường tròn khi và chỉ khi 1.3.2 Tính chất 2 Trong mặt phẳng, cho đường tròn và một điểm nằm bên ngoài Qua kẻ cát tuyến và tiếp tuyến tới Khi đó 1.3.3 Tính chất 3 Cho hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tại ( không trùng ). Khi đó, nếu thì bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn. 1.3.4 Tính chất 4 Cho hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tại ( không trùng ). Khi đó, nếu thì đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với tại 1.4 Phương tích trong hệ tọa độ Descartes Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Descartes, cho điểm và đường tròn Đặt khi đó 2. Trục đẳng phương của hai đường tròn 2.1 Định lý và định nghĩa Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1; R1) và (O2; R2). Tập hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng, đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (O1) và (O2).

………… CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TÍCH VÀ ỨNG DỤNG ……………… ………… Phần A Cơ sở lý thuyết Phương tích điểm đường tròn Trang 2 Phần B Phần C Trục đẳng phương hai đường tròn Tâm đẳng phương ba đường trịn Ứng dụng phương tích giải số tập hình học phẳng Các tập sử dụng tính chất phương tích Các tập sử dụng tính chất trục đẳng phương Các tập sử dụng tính chất tâm đẳng phương Bài tập đề nghị Đề Lời giải Tài liệu tham khảo 7 10 23 28 28 30 40 MỤC LỤC Trang PHẦN A: CƠ SỞ LÝ THUYẾT Phương tích điểm đường trịn 1.1 Bài tốn Cho đường trịn (O; R) điểm M cố định, OM = d Một đường thẳng thay đổi qua M cắt 2 2 đường trịn hai điểm A B Khi MA.MB  MO  R  d  R Chứng minh A B M O C Gọi C điểm đối xứng A qua O Ta có CB  AM hay B hình chiếu C AM uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuu r MA.MB  MA.MB  MC.MA  MO  OC MO  OA Khi ta có uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r2  MO  OA MO  OA  MO  OA        OM  OA2  d  R 1.2 Định nghĩa 2 Đại lượng không đổi MA.MB  d  R Bài toán 1.1 gọi phương tích điểm M đường trịn (O), kí hiệu PM/(O) Ta có: P M /  O   MA.MB  d  R 1.3 Tính chất 1.3.1 Tính chất P  Điểm M nằm bên ngồi đường trịn (O) M /  O  P  Điểm M nằm đường tròn (O ) M / O  P  Điểm M nằm bên đường tròn (O) M / O  1.3.2 Tính chất Trang Trong mặt phẳng, cho đường tròn  O; R  điểm M nằm bên (O) Qua M MT tới (O) Khi kẻ cát tuyến MAB tiếp tuyếnuuu r uuur MA.MB  MT  OM  R 1.3.3 Tính chất Cho hai đường thẳng AB, CD phân biệt cắt M ( M không trùng A, B, C , D ) Khi uuur uuur uuuu r uuuu r MA MB  MC MD đó, bốn điểm A, B, C , D nằm đường trịn 1.3.4 Tính chất Cho hai đường thẳng AB, MT phân biệt cắt M ( M không trùng A, B, T ) Khi uuur uuur đó, MA.MB  MT đường trịn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với MT T 1.4 Phương tích hệ tọa độ Descartes M  x0 ; y0  Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Descartes, cho điểm đường tròn (C ) : x  y  2ax  2by  c  2 Đặt F ( x; y )  x  y  2ax  2by  c, P M /  O1   F ( x0 ; y0 )  x02  y02  2ax0  2by0  c Trục đẳng phương hai đường tròn 2.1 Định lý định nghĩa Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O1; R1) (O2; R2) Tập hợp điểm M có phương tích hai đường trịn đường thẳng, đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1) (O2) Chứng minh Giả sử điểm M có phương tích hai đường trịn cho Gọi H hình chiếu M O1O2, I trung điểm O1O2 Ta có: �  MH  HO12    MH  HO2   R12  R22 � HO12  HO2  R12  R22    � HO1  HO2 HO1  HO2  R12  R22 Trang M I O1 O2 H � O2O1.2 HI  R12  R22 � IH  R12  R22 2O1O2 Do H cố định, suy tập hợp điểm M có phương tích hai đường trịn đường thẳng qua H vng góc với O1O2 2.2 Tính chất Cho hai đường tròn (O1) (O2) Từ định lý 2.1 ta có tính chất sau: 2.2.1 Tính chất Trục đẳng phương hai đường trịn vng góc với đường thẳng nối tâm 2.2.2 Tính chất Nếu hai đường tròn cắt A B AB trục đẳng phương chúng 2.2.3 Tính chất Nếu điểm M có phương tích (O1) (O2) đường thẳng qua M vng góc với O1O2 trục đẳng phương hai đường trịn 2.2.4 Tính chất Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường trịn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường trịn 2.2.5 Tính chất Trang Nếu điểm có phương tích hai đường trịn điểm thẳng hàng 2.2.6 Tính chất Nếu (O1) (O2) tiếp xúc A đường thẳng qua A vng góc với O1O2 trục đẳng phương hai đường trịn 2.2 Cách xác định trục đẳng phương hai đường tròn khơng đồng tâm Trong mặt phẳng cho hai đường trịn không đồng tâm (O1) (O2) Xét trường hợp sau: 2.2.1 Trường hợp 1: Hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt A, B Khi đường thẳng AB trục đẳng phương hai đường tròn 2.2.2 Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc T Khi tiếp tuyến chung T trục đẳng phương hai đường trịn 2.2.3 Trường hợp 3: Hai đường trịn khơng có điểm chung Dựng đường tròn (O3 ) cắt hai đường tròn Trục đẳng phương cặp đường tròn (O1 ) (O3 ); (O2 ) (O3 ) cắt K Đường thẳng qua K vng góc với O1O2 trục đẳng phương (O1 ),(O2 ) 2.3 Trục đẳng phương Hệ tọa độ Descartes Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trịn khơng đồng tâm: (C1 ) : x  y  2a1x  2b1 y  c1  , (C2 ) : x  y  2a2 x  2b2 y  c2  Từ biểu thức phương tích điểm đường trịn hệ tọa độ suy trục đẳng phương (C1 ) (C2 ) đường thẳng có phương trình  a1  a2  x   b1  b2  y  c1  c2     Tâm đẳng phương ba đường tròn 3.1 Định lý định nghĩa Cho đường trịn (C1), (C2) (C3) Khi trục đẳng phương cặp đường tròn trùng song song qua điểm Nếu trục đẳng phương qua điểm điểm gọi tâm đẳng phương ba đường tròn Chứng minh Gọi dij trục đẳng phương hai đường tròn (Ci) (Cj) Ta xét hai trường hợp sau a)Giả sử có cặp đường thẳng song song, khơng tính tổng qt ta giả sử d12 // d23 Ta có d12  O1O2 , d 23  O2O3 suy O1 , O2 , O3 thẳng hàng Mà d13  O1O3 suy d13 // d 23 // d12 Trang b)Giả sử d12 d23 có điểm chung M Khi ta có � �P M /  O1   P M /  O2  � P M /  O1   P M /  O3  � M �d13 � P  P M /  O3  � M /  O2  d1 O1 O2 M d2 d1 O3 Từ suy có hai đường thẳng trùng trục đẳng phương cặp đường tròn lại Nếu hai trục đẳng phương cắt điểm điểm thuộc trục đẳng phương cịn lại 3.2 Tính chất 3.2.1 Tính chất 1: Nếu đường trịn đơi cắt dây cung chung qua điểm 3.2.2 Tính chất 2: Nếu trục đẳng phương song song trùng tâm đường trịn thẳng hàng 3.2.3 Tính chất 3: Nếu đường tròn qua điểm có tâm thẳng hàng trục đẳng phương trùng Trang PHẦN B: ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG CÁC BÀI TẬP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TÍCH Bài tập 1.1 (S44 Mathematical Reflection MR2-2007) Từ điểm P nằm bên ngồi đường trịn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (O), (A, B tiếp điểm) Gọi M trung điểm AP N giao điểm BM với (O), (N không trùng B) Chứng minh PN  MN Lời giải N' A Ta có M P O N B MN MB  MA2  MA.MP Gọi N ' điểm đối xứng với N qua M , MN MB  MN '.MB, suy MA.MP  MN ' MB, hay tứ giác ABPN ' tứ giác nội tiếp đường tròn � � � � � � � Đặt NAP  , NAB  , ta có PAN '  PBN '  BAN   � NAN '  ANN '     � � � Mặt khác ANN '  NAB  NBA    , hay tam giác NPN’ cân N suy PN  MN Bài tập 1.2 Trang Cho đường tròn (O) hai điểm A, B cố định Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) M N Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc đường thẳng cố định Lời giải A M C B I O N Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB AB cắt (I) điểm thứ hai C Ta có P A /  I   AC AB  AM AN  P A /  O  Suy AC  (khơng đổi A, (O) cố định) P A / O AB Vì A, B cố định C thuộc AB nên từ hệ thức ta có C cố định Suy I thuộc đường trung trực BC cố định Suy AK  AB AC AI số nên điểm K cố đinh Bài tập chứng minh Bài tập 1.3 Cho đường tròn (O) dây AB Trên tia AB lấy điểm C nằm ngồi đường trịn (O) Từ điểm E cung lớn AB kẻ đường kính EF cắt dây AB D Tia CE cắt (O) điểm I Cho A, B, C cố định, chứng minh đường tròn (O) thay đổi qua A, B đường FI ln qua điểm cố định Lời giải Trang E I A D K B C F Gọi K giao điểm FI AB Tứ giác DKIE nội tiếp đường trịn đường kính EK nên CA.CB PC / EK   CK CD  CI CE  PC /  O   CB.CA � CK  CD � điểm K cố định Vậy đường thẳng FI qua điểm K cố định Bài tập 1.4 Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng (theo thứ tự đó) Một đường trịn (O) thay đổi ln qua B, C Từ điểm A kẻ tiếp tuyến AM, AN đến (O) Đường thẳng MN cắt AO AC H K Gọi I trung điểm BC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OHI qua hai điểm cố định Lời giải Hiển nhiên điểm I cố định Do HOIK nội tiếp nên ta có PA/ KO  AK AI  AH AO  AM (do tam giác AMO vng M có MH đường cao) Ta lại có AM tiếp tuyến (O) nên AM  PA/  O   AB AC Trang Bên tam giác ABC vẽ tam giác cân BCD, CAE, ABF có cạnh đáy tương ứng BC, CA, AB Chứng minh đường thẳng qua A, B, C vng góc với EF, FD, DE tương ứng đồng quy Lời giải Gọi C1, C2 , C3 đường tròn tâm D, bán kính DB, đường trịn tâm E, bán kính EA, đường trịn tâm F bán kính FA Đường thẳng qua C vng góc với DE trục đẳng phương thẳng qua A vng góc với EF trục đẳng phương B vng góc với DF trục đẳng phương  C1 C2  C1  C  , đường  C  , đường thẳng qua  C3 Do đường thẳng đồng quy tâm đẳng phương đường tròn (đpcm) Bài tập 3.6 Cho tam giác ABC, điểm A’, B’ nằm hai cạnh BC CA Chứng minh trục đẳng phương hai đường trịn đường kính AA’ BB’ qua trực tâm H tam giác ABC Lời giải Kí hiệu  O1  ,  O2  đường trịn đường kính AA�và BB� Gọi M trung điểm AB Dễ thấy  M , MA � O1    A, E ,  M , MA � O2    B, F  (E, F chân đường cao hạ từ A, B tam giác ABC) Do AE, BF giao trực tâm H áp dụng định lý tâm đẳng phương ta suy trục đẳng phương  O1   O2  qua H (đpcm) Bài tập 3.7 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn AB Đường thẳng qua H vng góc với AB cắt đường trịn C Đường trịn đường kính CH cắt AC, BC (O) D, E F a) Chứng minh AB, DE CF đồng quy Trang 27 b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt (O) P Q Chứng minh P, D, E, Q thẳng hàng Lời giải C P D a) Ta có CA.CD  CH  CB.CE , suy ADEB nội tiếp E Xét đường trịn (ADEB), (O) đường trịn đường kính CH, DE, AB CF trục đẳng Q A O H B phương cặp đường trịn nên chúng đồng quy b) Ta có PQ trục đẳng phương (C) (O) nên OC  PQ Ta dễ thấy OD  DE Hơn M tâm đẳng phương ba đường tròn (O), ( C) đường tròn đường kính CH Suy PQ qua M Vậy DE, PQ qua M vng góc với OC nên trùng Hay D, E, P, Q thẳng hàng Trang 28 M PHẦN C: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ ĐỀ BÀI Bài tập Cho tam giác ABC, trực tâm H M, M, M trung điểm BC, CA, AB (M, MH)  BC={A, A}, (M, MH)  AC={B, B}, (M, MH)  AB={C, C}, CMR: A, A B, B, C, C thuộc đường trịn Bài tập Cho hình thang ABCD (AB>CD) K, L hai điểm AB, CD cho \f(AK,BK = \f(DL,CL Giả sử P, Q nằm đoạn thẳng KL cho ∠APB =∠BCD ∠CQD=∠ABC CMR bốn điểm P, Q, B, C thuộc đường tròn Bài tập Cho tứ giác ABCD có cạnh AB CD cắt I, AD BC cắt K a) CMR trực tâm tam giác AID, ABK, BCI, CDK thẳng hàng b) CMR trung điểm đoạn thẳng AC, BD, IK thẳng hàng Bài tập Cho tam giác ABC có đường phân giác (trong ngoài) đỉnh A, B, C theo thứ tự cắt cạnh đối D D’, E E’, K K’ Chứng minh trung điểm đoạn thẳng DD’, EE’, KK’ thẳng hàng Bài tập Cho tứ giác lồi ABCD Qua đỉnh D tứ giác kẻ đường thẳng a, b, c cho a  DA, b DB, c DC Các đường thẳng a, b, c theo thứ tự cắt đường thẳng BC, CA, AB A’, B’, C’ CMR ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng Bài tập Cho tam giác ABC Các phân giác ngồi góc A, B, C cắt cạnh đối diện A1, B1, C1 CMR A1, B1, C1 thẳng hàng nằm đường vng góc với đường thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài tập Cho tam giác ABC nội tiếp (O) (I), (I a) đường trịn nội tiếp bàng tiếp góc A Giả sử I Ia giao BC (O) A’, M Gọi N trung điểm cung MBA NI, NI a giao (O) S,T CMR S, T, A’ thẳng hàng Trang 29 Bài tập (Định lý Brianchon) Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp (O) CMR AD, BE, CF đồng quy Bài tập Cho tam giác ABC đường thẳng d Gọi A’, B’, C’ hình chiếu A, B, C d Gọi d, d, d theo thứ tự đường thẳng qua A’, B’, C’ vng góc với BC, CA, AB Chứng minh đường thẳng d, d, d đồng quy Bài tập 10 Cho (O,R) hai điểm P,Q cố định (P nằm (O), Q nằm (O)) Dây cung AB (O) qua Q PA, PB giao (O) lần thứ hai D,C Chứng minh CD qua điểm cố định Bài tập 11 Cho (O1,R1) tiếp xúc với (O2,R2) M (R2>R1) Xét điểm A di động đường tròn cho A,O1,O2 không thẳng hàng Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (O) Các đường thẳng MB, MC cắt (O) E, F D giao điểm EF với tiếp tuyến A (O) Chứng minh D di động đường thẳng cố định Bài tập 12 Cho tam giác ABC có D trung điểm cạnh BC Gọi d đường thẳng qua D vng góc với đường thẳng AD Trên đường thẳng d lấy điểm M Gọi E, F trung điểm đoạn thẳng MB, MC Đường thẳng qua E vng góc với d cắt đường thẳng AB P, đường thẳng qua F vng góc với d cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M, vng góc với đường thẳng PQ qua điểm cố định M di động đường thẳng d Trang 30 LỜI GIẢI Bài tập Cho tam giác ABC, trực tâm H M, M, M trung điểm BC, CA, AB (M, MH)  BC={A, A}, (M, MH)  AC={B, B}, (M, MH)  AB={C, C} CMR: A, A, B, B, C, C thuộc đường tròn Lời giải Do MM // AB ABHC nên MMHC Suy HC trục đẳng phương (M) (M)  = Suy A, A, B, B thuộc đường tròn (W) Tương tự A, A,C, C thuộc đường tròn (W), C, C, B, B thuộc đường tròn (W) Nếu điểm A, A, B, B, C, C khơng thuộc đường trịn trục đẳng phương đường tròn (W), (W), (W) phải đồng quy điểm, chúng lại cắt A, B, C nên vơ lý Vậy ta có đpcm Bài tập Cho hình thang ABCD (AB>CD) K, L hai điểm AB, CD cho \f(AK,BK = \f(DL,CL Giả sử P, Q nằm đoạn thẳng KL cho ∠APB =∠BCD ∠CQD=∠ABC CMR bốn điểm P, Q, B, C thuộc đường tròn Lời giải Từ giả thiết, \f(AK,BK = \f(DL,CL suy AD, BC, KL đồng quy E Dựng đường tròn (O1) qua hai điểm C, D tiếp xúc với BC, (O2) qua hai điểm A; B tiếp xúc với BC Khi ∠DQC = ∠ABC=∠DCE nên Q∈(O1), tương tự P∈(O2) Trang 31 Gọi F giao điểm thứ hai EQ với (O1) Ta có: = (1) Mặt khác, dễ dàng có ∠O1CD=∠O2BA △ AO2B ~ △ DOC  \f(OC,OB = \f(DC,AB = \f(EC,EB =k  E, O, O thẳng hàng \f(EO,EO =k  = k Suy phép vị tự H(E,k): (O1)→ (O2) Mà E, F, P thẳng hàng, F∈ (O1), P∈ (O2) nên =k  \f(EF,EP =k= \f(EC,EB (2) Từ (1), (2) suy = Vậy điểm P, Q, B, C thuộc đường tròn (đpcm) Bài tập Cho tứ giác ABCD có cạnh AB CD cắt I, AD BC cắt K a) CMR trực tâm tam giác AID, ABK, BCI, CDK thẳng hàng b) CMR trung điểm đoạn thẳng AC, BD, IK thẳng hàng Lời giải a) Gọi O, O, O3 theo thứ tự trung điểm AC, BD, IK Các đường cao tam giác CDK CC’, DD’, KK’ H trực tâm Kí hiệu Γ, Γ, Γ theo thứ tự đường trịn tâm O bán kính OA, tâm O bán kính OB, tâm O bán kính OK Ta có phương tích điểm H đường tròn Γ Γ P\a\ac\vs0( = P\a\ac\vs0( = Xét đường trịn đường kính CD có = Do H thuộc trục đẳng phương hai đường tròn Γ Γ Trang 32 Chứng minh tương tự, trực tâm tam giác AID, ABK, BCI có phương tích hai đường tròn Γ Γ Vậy trực tâm tam giác AID, ABK, BCI, CDK thẳng hàng ( điều cần chứng minh) b) O trung điểm IK, ta chứng minh P\a\ac\vs0( = P\a\ac\vs0( Xét trực tâm J tam giác BCI, P\a\ac\vs0( = P\a\ac\vs0( = P\a\ac\vs0( suy ba đường trịn đơi nhận đường thẳng HJ làm trục đẳng phương, O, O O thẳng hàng (đpcm) Lưu ý: HJ OO Bài tập Cho tam giác ABC có đường phân giác (trong ngoài) đỉnh A, B, C theo thứ tự cắt cạnh đối D D’, E E’, K K’ Chứng minh trung điểm đoạn thẳng DD’, EE’, KK’ thẳng hàng Lời giải Trang 33 Gọi O, O, O theo thứ tự trung điểm DD’, EE’, KK’ ; gọi Γ, Γ, Γ theo thứ tự đường tròn tâm O bán kính OD, tâm O bán kính OE, tâm O bán kính OK Giả sử Γ đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O bán kính R Vì ΔOBA ∽ ΔOAC nên OB.OC = OA = OD, từ đó: P\a\ac\vs0( = OO - R = = OD Nhưng P\a\ac\vs0( = OO - OD , suy ra: P\a\ac\vs0( = R Chứng minh tương tự ta có: P\a\ac\vs0( = P\a\ac\vs0( = R Mặt khác gọi H trực tâm tam giác DEK, tương tự ví dụ ta chứng minh được: P\a\ac\vs0( = P\a\ac\vs0( = P\a\ac\vs0( Vậy ba đường trịn Γ, Γ, Γ đơi nhận đường thẳng OH làm trục đẳng phương O, O, O thẳng hàng Bài tập Cho tứ giác lồi ABCD Qua đỉnh D tứ giác kẻ đường thẳng a, b, c cho a  DA, b DB, c DC Các đường thẳng a, b, c theo thứ tự cắt đường thẳng BC, CA, AB A’, B’, C’ CMR ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng Lời giải Gọi trung điểm AA’, BB’, CC’ theo thứ tự O, O, O ; gọi Γ, Γ, Γ theo thứ tự đường tròn tâm O bán kính OA, tâm O bán kính OB, tâm O bán kính OC, P \a\ac\vs0( = P\a\ac\vs0( = P\a\ac\vs0( = Mặt khác, gọi H trực tâm tam giác ABC tương tự ví du ta có P\a\ac\vs0( = P\a\ac\vs0( = P\a\ac\vs0( Từ ba điểm O, O, O thẳng hàng Gọi P, Q, R theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB Sử dụng định lí Menelaus cho tam giác PQR ba điểm thẳng hàng O, O, O, ta có: \f(, \f(, \f(, = Nhưng \f(, = \f(, ; \f(, = \f(, ; \f(, = \f(, Áp dụng định lí Menelaus đảo cho tam giác ABC, ta có A’, B’, C’ thẳng hàng Trang 34 Bài tập Cho tam giác ABC Các phân giác ngồi góc A, B, C cắt cạnh đối diện A1, B1, C1 CMR A1, B1, C1 thẳng hàng nằm đường vng góc với đường thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải Gọi A2B2C2 tam giác tạo phân giác ngồi góc A, B, C Dễ dàng có AA2⊥ B2C2 , BB2⊥ A2C2 , CC2⊥ A2B2 Tứ giác BC2B2C nội tiếp nên = Tương tự = , = Suy A1,B1,C1 nằm trục đẳng phương đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn (J) ngoại tiếp tam giác A 2B2C2 Mà (O) đường tròn Ơ-le tam giác A2B2C2, AA2, BB2 ,CC2 giao trực tâm I tam giác A 2B2C2 (cũng đồng thời tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC) suy I, O, J thẳng hàng Vậy đường thẳng qua A1, B1, C1 vng góc với OI (đpcm) Bài tập Cho tam giác ABC nội tiếp (O) (I), (I a) đường trịn nội tiếp bàng tiếp góc A Giả sử I Ia giao BC (O) A’, M Gọi N trung điểm cung MBA NI, NI a giao (O) S,T CMR S, T, A’ thẳng hàng Lời giải Trang 35 � � � � Ta có ∠NTS= \f(1,2 (sđ  + sđ S )= \f(1,2(sđ  +sđ AS )=∠NIM ⇒∠IaTS=∠IaIS Suy tứ giác IaTIS nội tiếp (w1) Mặt khác,∠ IBIa=∠ ICIa=90° nên tứ giác IBIaC nội tiếp (w2) Ta thấy I Ia trục đẳng phương (w1) (w2), BC trục đẳng phương (O) (w2), TS trục đẳng phương (O) (w1) Theo định lý tâm đẳng phương I Ia, TS, BC đồng quy A’ Vậy T, A’, S thẳng hàng (đpcm) Bài tập (Định lý Brianchon) Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp (O) CMR AD, BE, CF đồng quy Lời giải Gọi G, H, I, J, K, L tiếp điểm AB, BC, CD, DE, EF, FA với (O) Trên tia KF,HB, GB, JD, ID, LF lấy điểm P, S, Q, R, N, M cho KP = SH = GQ = JR = IN = LM Trang 36 Dựng (O1) tiếp xúc với EF,CB P, S, (O2) tiếp xúc AF, CD M, N, (O3) tiếp xúc AB, ED Q, R Ta có FP=PK-FK=LM-LF=FM, CS=SH+HC=IN+IC=CN Suy FC trục đẳng phương (O1) (O2) Tương tự AD trục đẳng phương (O2) (O3), BE trục đẳng phương (O3) (O1) Áp dụng định lý tâm đẳng phương ta có AD, BE, CF đồng quy (đpcm) Ta chứng minh ba đường thẳng trục đẳng phương cặp hai đường trịn có tâm không thẳng hàng Bài tập Cho tam giác ABC đường thẳng d Gọi A’, B’, C’ hình chiếu A, B, C d Gọi d, d, d theo thứ tự đường thẳng qua A’, B’, C’ vng góc với BC, CA, AB Chứng minh đường thẳng d, d, d đồng quy Lời giải Trang 37 Gọi O, O, O theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB, ta có OB’= OC’; OC’= OA’; OA’= OB’ Gọi Γ, Γ, Γ theo thứ tự đường tròn tâm O bán kính OC’, tâm O bán kính OA’, tâm O bán kính OB’ Ta có d trục đẳng phương Γ Γ Tương tự d trục đẳng phương Γ Γ; d trục đẳng phương Γ Γ Vậy, d, d, d đồng quy Bài tập 10 Cho (O,R) hai điểm P,Q cố định (P nằm (O), Q nằm (O)) Dây cung AB (O) qua Q PA, PB giao (O) lần thứ hai D,C Chứng minh CD qua điểm cố định Lời giải Gọi E giao điểm thứ hai khác P PQ với đường tròn ngoại tiếp tam giác PAB CD giao PQ F Ta có OQ- R=.=., mà P,Q cố định nên = const, suy = const, E cố định Mặt khác∠PDC=∠PBA=∠PEA nên tứ giác DAEF nội tiếp Suy PO - R = = Do P,E cố định nên =const, suy =const Do F cố định Vậy CD ln qua điểm F cố định (đpcm) Bài tập 11 Cho (O1,R1) tiếp xúc với (O2,R2) M (R2>R1) Xét điểm A di động đường tròn cho A,O1,O2 không thẳng hàng Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (O) Các đường thẳng MB, MC cắt (O) E, F D giao điểm EF với tiếp tuyến A (O) Chứng minh D di động đường thẳng cố định Lời giải Trang 38 Qua M kẻ tiếp tuyến chungcủa (O) (O) Ta có ∠MCA= ∠CMy=∠FMD=∠FAM Do đó, △FAM~△FCA (g.g)  FA= = FO - R (1) Tương tự, EA= EO - R (2) Coi (A,0) đường tròn tâm A, bán kính từ (1),(2), ta EF trục đẳng phương (A,0) với (O) Mà D nằm tren EF nên DA= DO - R  P/(O)=P/(O) Vậy D nằm trục đẳng phương hai đường tròn cố định (O) (O) Bài tập 12 Cho tam giác ABC có D trung điểm cạnh BC Gọi d đường thẳng qua D vuông góc với đường thẳng AD Trên đường thẳng d lấy điểm M Gọi E, F trung điểm đoạn thẳng MB, MC Đường thẳng qua E vng góc với d cắt đường thẳng AB P, đường thẳng qua F vng góc với d cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M, vng góc với đường thẳng PQ qua điểm cố định M di động đường thẳng d Trang 39 Lời giải P A d' M K E F K' B D C H' H I Q d Gọi H, K hình chiếu B, C lên đường thẳng d Do D trung điểm BC nên DH = DK, suy AD trung trực HK � AH =AK Gọi ( ) đường tròn tâm A qua H K Gọi H’, K’ điểm đối xứng với H, K qua đường thẳng AB, AC � H’, K’ thuộc ( ) Giả sử đường thẳng HH’, KK’ cắt I I điểm cố định (*) Ta có : PE // BH (cùng vng góc với d) mà PE qua trung điểm MB nên qua trung điểm MH � PE trung trực MH � PH = PM Gọi (1 ) đường tròn tâm P qua H M, tính đối xứng nên H’ thuộc (1 ) Hồn tồn tương tự, ta có: QF trung trực MK; gọi (2 ) đường tròn tâm Q qua K M K’thuộc (2 ) Ta lại có: + ( ) , (1 ) cắt tai H, H’ nên HH’ trục đẳng phương ( ) , (1 ) + ( ) , (2 ) cắt tai K, K’ nên KK’ trục đẳng phương ( ) , (2 ) Mặt khác : M thuộc (1 ) , (2 ) P, Q tâm (1 ) , (2 ) nên đường thẳng d’ qua M, vng góc với PQ trục đẳng phương (1 ) , (2 ) Từ suy ra: HH’, KK’, d’ đồng quy tâm đẳng phương ba đường tròn ( ) , (1 ) , (2 ) (**) Từ (*) (**) suy d’ qua I điểm cố định Vậy đường thẳng qua M, vng góc với đường thẳng PQ qua điểm cố định M di động đường thẳng d Trang 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, ĐỗThanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình: Tài liệu giáo khoa chun Tốn – Hình học 10 Một số tài liệu Internet Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem Dusan Djukic, Vladimir Jankovic, Ivan Matic, Nikola Petrovic: The IMO Compedium A collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads 1959-2004 Mathematical Reflection Website: http://www.imo-official.org/ Website: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/portal.php?ml=1 Trang 41 ... Trục đẳng phương hai đường tròn Tâm đẳng phương ba đường trịn Ứng dụng phương tích giải số tập hình học phẳng Các tập sử dụng tính chất phương tích Các tập sử dụng tính chất trục đẳng phương Các... trục đẳng phương Các tập sử dụng tính chất tâm đẳng phương Bài tập đề nghị Đề Lời giải Tài liệu tham khảo 7 10 23 28 28 30 40 MỤC LỤC Trang PHẦN A: CƠ SỞ LÝ THUYẾT Phương tích điểm đường trịn 1.1... trục đẳng phương chúng 2.2.3 Tính chất Nếu điểm M có phương tích (O1) (O2) đường thẳng qua M vng góc với O1O2 trục đẳng phương hai đường trịn 2.2.4 Tính chất Nếu hai điểm M, N có phương tích hai